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CRITERIOS DE MODELACIÓN DE PUENTES DE CONCRETO REFORZADO CON FINES DEEVALUACIÓN POR DESEMPEÑO Y DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL.

Eduardo de J. Vidaud Quintana y Gustavo A. Ayala.

Instituto de Ingeniería, UNAM. Circuito Escolar, Cd. Universitaria, México D.F., 04510Tel.: (5) - 622-3466, Fax: (5) – 622-3468, Email: gayala@dali.fi-p.unam.mx

RESUMEN

En este trabajo se ofrecen algunas herramientas y recomendaciones, acerca del modelado de los componentesestructurales de Puentes de Concreto Reforzado, aspectos que resultan esencialmente importantes para larealización de un análisis no lineal, ya que por medio de la aplicación de los elementos de modelado ofrecidos esposible evaluar con mayor efectividad el desempeño sísmico de estructuras de puentes, tanto a nivel local comoa nivel global; además de que es posible tomar en consideración, de una manera mas eficaz los efectos de no-linealidad, tanto por la geometría como por el material.

SUMMARY

In this work some tools and recommendations, for the modeling of the structural components of ReinforcedConcrete Bridges are offered, aspects that are essentially important for the application of a non linear analysis,since by means of the application of the offered elements of modeling it is possible evaluate the structural seismicperformance of bridges with more effectiveness, in the local level and global level; in addition, it is possible toconsider, in a more effective way the effects of non - linearity due to geometry and material.

INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES.

El objetivo de la mayor parte de los reglamentos de diseño sismo - resistentes es proveer a la estructura de unaadecuada capacidad de resistencia, rigidez, disipación de energía y deformación en el rango inelástico, tal que sepueda evitar el daño en la estructura del puente y sus componentes durante temblores de frecuente ocurrencia, asícomo evitar lesiones y perdidas humanas durante sismos intensos de ocurrencia poco frecuente. Lacaracterización y cuantificación de la respuesta sísmica en términos del desplazamiento estructural global, de lasfuerzas en los miembros y de las deformaciones locales se ha desarrollado en los últimos tiempos gracias alvertiginoso desarrollo de las computadoras digitales, que han permitido evaluar un gran número de modelos y detécnicas de análisis en puentes considerando las acciones dinámicas y el comportamiento no lineal tanto por elmaterial como por la geometría; todo esto ha traído como consecuencia que se hayan podido obtener más ymejores modelos, evaluados y caracterizados por medio del empleo de herramientas matemáticas, tales como elMétodo de los Elementos Finitos, así como con el desarrollo de textos altamente especializados en la DinámicaEstructural y la Ingeniería Sísmica. En resumen se puede plantear que el modelado dentro del proceso de análisissísmico no es más que el conjunto de todas las herramientas que facilitan la formulación matemática de lageometría, así como la caracterización del comportamiento de un determinado prototipo por medio de un modelomatemático que describe el dominio geométrico y mecánico de una estructura tipo, en donde el elementomatemático discreto y sus conexiones e interacciones son usados para describir el comportamiento de dichoprototipo.

La filosofía de diseño por desempeño ha adquirido actualmente un importante papel en el campo del diseñoestructural, debido a la interrelación que esta establece entre la estructuración, el detallado, los elementos noestructurales, el control de calidad durante y posterior a la construcción y el mantenimiento a largo plazo, con los

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niveles especificados de movimiento del terreno con niveles predefinidos de confiabilidad, tratándose de que laestructura no se dañe mas allá de ciertos estados límites u otros estados de utilidad (Vision 2000 Committee1995). El lograr este objetivo en sistemas de puentes es bastante complicado pues se requiere de un correcto yadecuado modelado de algunos elementos, cuyo funcionamientos son verdaderamente trascendentales en elcomportamiento global de la estructura, tal es el caso de la junta de dilatación que para su correcto modelado esnecesario tomar en consideración al unísono, una serie de aspectos particulares.

Recientemente algunos investigadores han logrado facilitar el análisis de estructuras de puentes por medio de laelaboración de algunas herramientas de cómputo, en las que se toman en cuenta de alguna manera elcomportamiento particular (lineal o no lineal) de los componentes en los mismos. Unos de los trabajos mastrascendentales en este sentido ha sido el sistema de computo NEABS (Imbsen et al. 1993) en el cual se permiterealizar análisis no lineal para puentes empleando un modelo no lineal para la junta de dilatación (Tseng et al.1973 y Kawashima et al. 1976); en el Instituto de Ingeniería de la UNAM Ramírez Boscán (Ramírez 1999) en sutesis doctoral desarrolló una herramienta de computo en la que ofrece una amplia librería de elementos paramodelar las características de rigidez y amortiguamiento de las componentes mas comúnmente encontradas enestructuras de puentes. Otros trabajos desarrollados para la estimación de la respuesta no lineal en puentes hansido desarrollados por Abbas (Abbas 1990) que formuló un procedimiento para estimar la respuesta no lineal enpuentes atirantados, Seible (Seible 1982) que desarrolló un modelo analítico simple para predecir la respuesta nolineal, la resistencia última y el mecanismo de colapso en puentes de superestructura hueca de concreto reforzadoen 2D y algunos otros investigadores.

En este articulo se realiza una síntesis de algunos de los elementos teóricos mas importantes a conocer en elanálisis de estructuras de puentes, haciendo énfasis en los criterios de modelado a tener en cuenta en la obtenciónde la respuesta sísmica global de este tipo de estructura.

MODELOS DE ANÁLISIS PARA SISTEMAS DE PUENTES.

La mayoría de los elementos estructurales que forman un puente tienen un comportamiento complejo, que juntocon un conocimiento incierto de las propiedades características de su material componente, trae comoconsecuencia que para el mejor entendimiento del comportamiento de las estructuras, haya que establecer algunasclasificaciones dependientes del nivel de resultados. Por ello en este punto vamos a establecer dos posiblesclasificaciones para el análisis de sistemas de puentes, la primera de ellas comprende los modelos elásticos y losinelásticos, y la segunda los modelos continuos, discretos y estructurados. A continuación se abordaránalgunas particularidades de ambas clasificaciones, haciendo énfasis en la primera de ellas, debido a que poseemucha mayor trascendencia en el entendimiento del contenido de los próximos puntos de este trabajo.

Figura 1. Componentes de un Modelo Discreto de Elementos.

Modelos continuos, discretos y estructurados: Las componentes independientes de una estructura pueden sermodeladas usando varios tipos de elementos (Fig. 1), siendo el aspecto más importante la selección del mismocon sus propiedades asociadas. Por ejemplo en un análisis lineal los elementos más comunes son las vigas y lascolumnas, en donde previo al análisis se definen las rigideces axiales, a flexión, cortante y torsión; hay ocasionesen que es necesario emplear otro tipo de modelo (modelación de cimentación flexibles por medio de resortes).

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En el caso del análisis no lineal, aunque la fase más importante sigue siendo la selección de los elementos con suspropiedades bien definidas, es muy diferente, ya que los elementos son más complejos a los vistos en el análisislineal, pues no solamente es necesario el conocimiento de las distintas rigideces, sino que además se necesita unadescripción detallada de las mismas cuando los elementos son sometidos a las diferentes acciones.

En sentido general, un modelo continuo a diferencia de uno discreto posee un número infinito de elementos y degrados de libertad de desplazamientos; siendo estos últimos frecuentemente utilizados en el caso de estructurascompletas y dada su complejidad se recomienda su uso en elementos simples. Una vez conocidas sus propiedadespueden ser utilizados en el modelo discreto de la estructura completa.

El comportamiento lineal de una estructura puede ser capturado por medio de elementos simples como losmencionados anteriormente, sin embargo, cuando existe un comportamiento no lineal resulta poco aproximado,por lo que se recomienda el uso de elementos estructurados, que son aquellos en los que se subdivide el elementoen subelementos de menor longitud, definiendo nudos adicionales en el interior del mismo. Se puede concluirentonces que en el análisis de elementos estructurados se combinan modelos discretos con modelos continuos yen su análisis se emplean técnicas numéricas corrientes, así como otras técnicas de mayor grado de sofisticación.

Modelos de análisis lineal y de análisis no lineal: En el desarrollo de este trabajo se hace referenciaconstantemente a estos tipos de análisis, a fin de esclarecer la diferencia entre uno y otro enumeramos acontinuación algunas particularidades de los mismos: (1) En un modelo lineal de un determinado elemento solose necesita la rigidez, por lo que se puede deducir que son menos complejos que los no lineales, que si tienen quedisponer de una gran cantidad de información. (2) En el análisis lineal es aplicable el principio de superposicióntanto en las cargas como en los modos de vibración, no así en el análisis no lineal. (3) Los algoritmos de cálculodel análisis lineal son más simples y confiables, muchas veces incluso, podemos tratarlos como “cajas negras”.Por otra parte, en el análisis no lineal los programas son de gran complejidad y llenos de incertidumbres en suaplicación, lo que trae como consecuencia que sea necesario conocer a fondo sus características y limitaciones.(4) Comúnmente en el análisis lineal solo se necesitan los valores máximos de desplazamientos y de elementosmecánicos en los miembros, sin embargo, en el no lineal se necesitan una gran cantidad de información de salidapara la correcta comprensión de los resultados obtenidos, lo cual resulta significativamente más complicado.

ELEMENTOS NO LINEALES DE MODELACIÓN.

Las no linealidades por el material y por la geometría son las más estudiadas en el análisis estructural. La primeracomo su nombre lo indica se debe al comportamiento no lineal de los materiales y es el resultado de la fluencia,el agrietamiento y el deslizamiento friccional. Esta no linealidad se toma en cuenta por medio de una relación nolineal acción – desplazamiento que depende del tipo de elemento y que puede ser: esfuerzo vs. deformación,fuerza axial vs. deformación axial, momento vs. curvatura o momento vs. rotación. Varias son las causas de la nolinealidad por el material, siendo algunas de las más importantes: la fractura frágil, la apertura y cierre de grietas,el flujo plástico, el deslizamiento friccional y el cambio inelástico de volumen. Para el análisis no lineal de unadeterminada estructura se exige el uso de un número mínimo de tipos de elementos que permitan se puedaobtener una respuesta más eficiente del comportamiento de la misma, lo que indiscutiblemente incrementasustancialmente el grado de complejidad del cálculo, debido a que se requiere del modelado en un rango ampliodel comportamiento de la estructura y a que es necesario combinar varios elementos para poder obtener elcomportamiento requerido. Por otra parte se conoce que el equilibrio, la continuidad y las relaciones constitutivasson elementos principales a tomarse en consideración a la hora de realizar un análisis estructural; el último deestos elementos resulta ser el principal parámetro a tener en cuenta en la cuantificación de la no linealidad por elmaterial; en cambio el equilibrio y la continuidad lo son para el caso de la no linealidad por la geometría, quepuede ser tomada en cuenta a través del análisis P - ∆ o del análisis con desplazamientos suficientemente grandes.

Todos los programas de cómputo empleados para efectuar análisis no lineal -DRAIN 2D, 2DX y 3DX (Powel,1993), RUAMOKO (Carr 1996), DYNDIR (Guillies 1979), IAI-NEABS (Imbsen 1993) y otros - se basan en laformulación matemática de elementos con relaciones constitutivas no lineales, por medio de las cuales es posibleobtener una respuesta adecuada de los elementos componentes de una estructura, así como la caracterización delcomportamiento no lineal de la estructura global a través de una combinación entre los mismos. A continuación

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se brindan algunos modelos expuestos en la familia de programas DRAIN, muchos de los elementos de estosprogramas con pequeñas modificaciones son empleados en muchos de los otros sistemas de cómputos.

El más sencillo de estos elementos está diseñado para resistir únicamente fuerza axial de tensión o compresión,por lo que su relación constitutiva acción – deformación es uniaxial, relacionando la fuerza axial con ladeformación axial; por medio de este tipo de elemento es posible modelar los componentes de una armadura, unacolumna simple o un resorte de apoyo. En este caso el DRAIN cuenta con el ELEMENTO 01 (Powell 1993) oelemento armadura (Fig. 2) y el ELEMENTO 09 (Powell 1993) o elemento cable.

Figura 2. ELEMENTO Tipo 01 o ELEMENTO Armadura. (a) Fuerzas Nodales; (b) Acción y Deformación; (c) Relación Constitutivaen Fluencia y (d) Relación Constitutiva en Pandeo.

Elementos algo más complejos son los llamados Elemento de Longitud nula (Fig. 3) utilizados en el modeladode apoyos y conexiones, y en donde la rigidez y la resistencia pueden ser traslacional (apoyos flexibles) orotacional (unión semirígida viga – columna); el ELEMENTO 04 usado como elemento de conexión, elELEMENTO 05 que es un elemento de apoyo con resbalamiento friccional y el ELEMENTO 13 que es una llavecortante con fractura, son los elementos que posee DRAIN con estas características. (Powell 1993).

Figura 3. Posibles Relaciones Constitutivas del elemento Tipo 04.

Figura 4. Características y Relaciones Constitutivas del ELEMENTO 02.

Por último los elementos Viga – Columnas que son mucho más complejos que los vistos anteriormente, debidoentre otras cosas a que utilizan en el análisis una relación multiaxial, a que tienen comportamiento no lineal tantoen la longitud como en el peralte, así como que las cargas pueden estar aplicadas en cualquier punto del miembro.Por supuesto que un análisis en 3D resulta ser aún más complicado. Los ELEMENTOS 02 y 15 son dos de loselementos que posee DRAIN para el modelado de este tipo de miembros; el ELEMENTO 02 (Fig. 4) cuenta condos subelementos vigas colocadas paralelamente una con respecto a la otra, por medio de este se permite tomaren cuenta la deformación de endurecimiento por flexión, al combinar un elemento elástico lineal con un elementoelastoplástico que fluye ante un momento flector constante

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Elementos fundamentados en la combinación de modelos simples son estudiados por varios investigadores(Powell 1993 y 1997). Algunas superficies de interacción usadas en el análisis se muestran en la Fig. 5.

Figura 5. Relaciones Constitutivas para la flexión y la flexocompresión.

Otros elementos de igual o mayor complejidad pueden ser empleados para establecer la formulación matemáticade vigas y columnas (Powell 1993 y 1997, Gillies 1979 y Carr 1996). Más adelante nos referiremos a laaplicación de los mismos al caso particular de los componentes estructurales de puentes de concreto reforzado.

MODELADO DE EFECTOS DINÁMICOS.

Se conoce que el análisis dinámico resulta más complejo que el estático, pues además de las fuerzas estáticas,tienen que tomarse en consideración las fuerzas viscosas y de inercia. Generalmente en este tipo de análisis lamasa se considera concentrada en los nodos del modelo de análisis, por lo que es posible afirmar que no existegran diferencia en la resolución de un análisis lineal y de otro no lineal. Por el contrario si se utiliza una matriz demasa consistente (depende de las formas modales), entonces la matriz de masas no es necesariamente constante ypuede variar conforme fluya el elemento. En las estructuras de los puentes es común subdividir los elemento envarios subelementos y concentrar en sus nodos masas independientes.

Un problema más serio sin embargo, resulta el modelado de los efectos viscosos, que como se conoce estáestrechamente relacionado con la cantidad de energía disipada conforme la estructura vibre. En sentido general ladisipación puede ser el resultado de la deformación inelástica de los componentes estructurales y no estructurales,de la energía de radiación a través de la cimentación, así como de la energía que se disipa por medio de losdispositivos disipadores de energía. Si se realiza un análisis modal a un modelo lineal, la vía más empleada paraaproximadamente absorber energía es la adición de amortiguamiento viscoso; o sea que se emplea un modelo endonde cada modo normal de vibración está amortiguado de manera independiente y las relaciones deamortiguamiento pueden seleccionarse por separado para cada uno de los modos considerados; esto esconveniente pero no lo necesariamente correcto, debido a que en realidad el amortiguamiento está distribuido entoda la estructura. Una alternativa es el uso del amortiguamiento de Rayleigh (Chopra 1995) en la que la matrizde amortiguamiento puede ser expresada en función de las matrices de masas y de rigidez de la estructura,permaneciendo invariable en cada uno de los modos de vibración.

A diferencia del análisis lineal, el análisis no lineal permite modelar directamente la absorción de energía, por loque entonces si la estructura experimenta incursiones significativas en el rango de comportamiento no lineal, nonecesariamente necesitará de la introducción de amortiguamiento viscoso ficticio; sin embargo, la práctica hademostrado que estos modelos no lineales no capturan el mecanismo de absorción de energía completamente,por lo que es necesario la introducción de un pequeño amortiguamiento viscoso. Por otra parte, debido a lafluencia y la descarga que se genera en los elementos estructurales durante un análisis sísmico no lineal, lasformas modales, así como los períodos varían, lo que complica notablemente desde el punto de vistacomputacional el análisis. Una alternativa para reducir esta problemática es el empleo del amortiguamiento deRayleigh, en donde la matriz de rigidez en este caso es sustituida por la matriz de rigidez en el estado inicial de laestructura (Powell 1997), manteniéndose constante la matriz de amortiguamiento. Si por el contrario se introduceen el análisis, amortiguamiento viscoso, entonces la matriz de amortiguamiento sufrirá cambio según laestructura incursione en el rango de comportamiento no lineal.

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ESTRATEGIAS DE MODELADO ESTRUCTURAL DE PUENTES.

Para poder lograr una adecuada modelación de los puentes, es necesaria la fragmentación del sistema ensubsistemas con un mayor nivel de maniobrabilidad, ya que es bastante complicado considerar en un prototipoglobal las relaciones existentes entre los componentes estructurales y sus correspondientes relaciones físicas yespaciales, sobre todo en sistemas de configuración espacial compleja, por lo que con fines de modelado serecomienda fragmentar el prototipo global en subsistemas, pórticos, vigas, pilas u otros elementos estructuralesindependientes. La Fig. 6 muestra una clasificación de los enfoques más usados para el modelado de puentes.

Figura 6. Clasificación de los más usados enfoques del modelado de sistemas de puentes.

Las estructuras de puentes están compuestas por la superestructura en la mayoría de los casos, fragmentada através de las juntas de expansión y por la subestructura, que a su vez esta compuesta por los cabezales, lacimentación, los marcos, etc. En este sentido con el fin de resaltar la importancia, así como las diferenciasexistentes entre cada una de estas partes, Priestley et al. 1996 establecen una clasificación en términos de lacuantificación de la respuesta sísmica de modelos analíticos de puentes, una breve explicación de lascaracterísticas predominantes de cada uno de estos modelos se presenta a continuación.

Modelo Global: Su uso está limitado a puentes pequeños formados preferentemente por un marco único, a laobtención de una respuesta aproximada esencialmente en el rango elástico y a que se posea durante el proceso deanálisis estructural una buena caracterización de los apoyos a lo largo de toda la estructura al ser sometido a unadeterminada acción sísmica. Este tipo de modelo se usa comúnmente para calcular con un análisis espectral lademanda sísmica (fuerzas y desplazamientos elásticos) en un modelo estructural elástico lineal.

Modelo de Marcos: Constituyen una útil herramienta de trabajo para la cuantificación de la respuesta sísmicaglobal de un puente a través de la caracterización de la respuesta de los marcos independientes; mediante elmismo se establece un detallado del modelo seleccionado y se efectúa un análisis no lineal a través del cual esposible obtener una adecuada estimación, tanto de la capacidad como de la demanda sísmica. Este modelo tieneel inconveniente de que es muy difícil poder correlacionar el comportamiento de un elemento con respecto a otro,lo que trae como consecuencia la disminución de la posibilidad de ocurrencia del fenómeno de resonancia,debido al decremento de la excitación armónica, esta situación se puede contrarrestar en el proceso de modeladopor medio de la colocación de marcos fronteras o resortes (modelado lineal o no lineal de juntas de expansión).

Modelo de Elementos de Marcos: El desarrollo de modelos adecuados para el modelo de marcos requiere de unacaracterización detallada de todos y cada uno de los elementos que intervienen en la rigidez de la estructuraglobal. Estos modelos pueden incluir el efecto de la flexibilidad en la cimentación, que pueden a su vez sercombinado en el modelo de marcos por medio de elementos subestructurados y por restricciones geométricas. Eneste caso es muy importante la hipótesis de considerar la superestructura infinitamente rígida en su plano, lo cualsimplifica notablemente el análisis.

La segunda estrategia de modelado (miembros estructurales individuales) es la empleada para definir unadiscretización matemática entre los puntos nodales que intervienen en la definición de un determinado prototipode puente, compuesto por elementos individuales que modelan los cabezales, las vigas, los marcos, etc. En lasestructuras los elementos están conectados por medio de los nodos definidos de una determinada discretización

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estructural, compatible con una respuesta modal desconocida y que generalmente es el desplazamiento en ungrado de libertad.

MODELADO DE ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE PUENTES.

Con el siguiente punto se trata de brindar al lector una serie de recomendaciones prácticas que le permitanrealizar la modelación de los diferentes elementos componentes de un puente, muchos de los elementos expuestosen el desarrollo del trabajo son tomados en consideración, recordando que la geometría y la caracterizaciónefectiva de los miembros, la definición de los apoyos y uniones, así como la participación de la masa y de lascargas permanentes son tomados muy en cuenta.

Superestructura: La superestructura es el conjunto de todos los componentes del puente que forman laestructura de la cubierta del mismo (tablero y sus soportes). Generalmente en un análisis dinámico se suponepermanece elástica, limitando el comportamiento no lineal solo a las juntas y conexiones entre elementos, y a lasconexiones con la subestructura. Esta claro que muchos puentes geométricamente constituyen estructurassumamente complejas, sin embargo es posible efectuar el estudio de algunas de estas estructuras por medio de unmodelo relativamente simple, en el cual es posible lograr una adecuada caracterización de la rigidez efectiva y dela masa distribuida. Generalmente las superestructuras de los puentes pueden ser consideradas infinitamenterígidas en su plano, por lo que se puede asumir que bajo cargas sísmicas se comportará como cuerpo rígido,quedando reducido notablemente el problema a resolver, al solo considerarse en el análisis las pilas con suscorrespondientes restricciones a la superestructura rígida. Sin embargo en puentes estrechos, largos o puentesconectores intercambiables en los que la superestructura no puede ser considerada rígida es necesario unadiscretización de la superestructura mediante la introducción de elementos vigas (Fig. 7d) o en su defecto através de un elemento con propiedades equivalentes, colocado longitudinalmente a lo largo de toda la longituddel puente (Fig. 7e).

Figura 7. (a) Elev. Transversal y (b) Longitudinal; (c) Detalle; (d) Mod. de Vigas y (e) Elem. de prop. equiv.; (f) Área Equiv.

En el caso de subestructuras de concreto reforzado sometidas a la acción combinada de sismo y de cargasgravitacionales se considera un agrietamiento incrementado, por lo que la rigidez EIx (E: Módulo de elasticidad eIx: Momento de inercia alrededor del eje de flexión) se determina tomando en cuenta una rigidez agrietada. Elproducto EIx no refleja únicamente la rigidez efectiva o agrietada del elemento, sino también el estado delmismo una vez que haya ocurrido teóricamente la primera fluencia. Algunos de estos textos (Priestley et al. 1996)estiman esta rigidez por medio de la obtención de Ie (momento de inercia efectivo) , que se obtiene a su vez dediagramas que relacionan, para diferentes tipos de secciones, la cuantía de refuerzo y el cociente del esfuerzoaxial actuante entre el producto del área bruta de la sección analizada y la resistencia del concreto a lacompresión. Algo muy similar se usa en la estimación del área de cortante (Ave) que se toma en cuenta paraconsiderar las deformaciones de cortante que se generan por flexión en el miembro de concreto agrietado, en estecaso existe la misma dependencia que en la rigidez a flexión, solo que la falta de datos experimentales trae comoconsecuencia que tenga que ser asumido que la rigidez a cortante sea función directa de la rigidez a flexión y quepuede ser cuantificada a través de la ec 1. En el caso de los subelementos que forman la subestructura serecomienda la obtención de las características reales de los mismos, aunque es también aplicable y sumamentepráctico determinar propiedades reducidas de la sección bruta, ec 2.

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.. .

.

E IeG Ave G Av

E Ig= (1)

En la ec 1 G, Av, y Ig son el modulo de cortante, el área bruta de cortante y el momento de inercia de la secciónbruta, respectivamente.

. . .E Ie E Igα= (2)

En donde α puede ser 0.5 o 1.0 para concreto reforzado o presforzado, respectivamente.

En la estimación de la rigidez torsional (J) se pueden emplear los principios de la mecánica clásica con bastantebuena aproximación, siempre y cuando el momento torsor de agrietamiento no sea excesivo en el punto donde seconsidere que la rigidez torsional se reduce significativamente.

Un criterio para modelar subestructuras huecas se brinda en la Fig 7f, en donde la rigidez torsional puede serestimada por la ec 3 y en donde la parte sombreada representa la zona del flujo de cortante; con la obtención de Jse puede obtener la relación entre T (esfuerzo de cortante) y la rotación θ en una viga isotrópica, ec 4. En caso desuponer la sección agrietada, la ec 3 se transforma en la ec 5, en donde se puede estimar que debido alagrietamiento tanto el área (A) como el perímetro (P) deben de ser reducidos por medio de las ecs 6 y 7. Noobstante se ha demostrado que una buena aproximación en la estimación de la rigidez torsional la da la ec 8, endonde Je es el momento torsional equivalente.

24 .Ao tJ

Po= (3)

. .T G J θ= (4)

24 . ( )

. .

A Es At Ae ApJcr

P Ec s P

+= (5)

0.85A Ao= (6)

0.90P Po= (7)

En las ecs 6 y 7 Ao y Po son el área y el perímetro definidos por la zona sombreada de la Fig. 7f.. Ae,Ap, At y sen la ec 5 son las área de refuerzo, preesfuerzo, acero transversal y espaciamiento de este ultimo, respectivamente

. . .G Je G Jβ= : (8)

En este caso β puede ser tomado como 1 para secciones no agrietadas o como 0.05 para las agrietadas.

Sin embargo, en el caso de puentes cuya configuración sea muy compleja (puentes con configuración curva en suplano) y en donde durante la acción símica se puedan generar efectos torsionales por encima de los límites, esnecesario reducir la rigidez antes definida. (Priestley et al. 1996)

Diafragmas: La rigidez transversal de un puente se puede incrementar por medio de diafragmas en lasuperestructura, estos se modelan generalmente a través de una discretización de vigas equivalentes de sección To I, colocadas transversalmente y que consideran un ancho equivalente de aproximadamente 8 veces el espesor dela losa existente. (Priestley et al. 1996)Viga – Columnas simples: En el análisis dinámico de puentes geométricamente poco complejos es factible eluso de un modelo de un grado de libertad (Fig. 8b), simplificando la estructura global a un marco equivalente. Sise analiza uno de estos sistemas de puentes transversalmente y se asume que la superestructura es un cuerporígido, se podrá realizar el análisis dinámico del modelo de un grado de libertad considerando la masa

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correspondiente a dos tramos adyacentes (Fig. 7b). La rigidez k que se necesita en el modelo es equivalente a lafuerza requerida para que el centro de masa de la base de la columna tenga un desplazamiento unitario y elamortiguamiento está expresado en forma de amortiguamiento viscoso como una fracción del amortiguamientocrítico, que a su vez está relacionado con la fuerza de amortiguamiento necesaria para resistir una velocidadunitaria en la masa considerada. Esto está limitado a puentes de geometría poco compleja, en donde el peso de lapila pueda no considerarse, en otros casos será necesario realizar una discretización adicional en las pilas paratomar en cuenta la distribución de la masa en cada una de las partes discretizadas.

Figura 8. (a) Geometría; (b) Modelo de 1 GL; (c) Modelo de Elemento prismático y (d) no prismático; (e) Modelo de cimentación.

En resumen se puede plantear que el criterio a utilizar para modelar un conjunto formado por cabezales y pilas deforma independiente, dependerá en gran medida de la geometría del conjunto, así como de la respuesta sísmicaesperada, por ejemplo si se desea obtener una respuesta elástica en un elemento de sección no prismática podráser empleado el modelo de la Fig. 8d, obteniendo la rigidez a través de los criterios de la teoría clásica de lasestructuras; lo mismo sucede en el caso en que las deformaciones de cortante sean importantes ( 3M hV≤ ,columnas cortas).

La ec 9 define la formulación por medio de la cual es posible estimar la rigidez cuando ambos efectos (flexión ycompresión) tengan que ser tomados en cuenta.

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1

. .

kH H

E I Av Gα

=+

(9)

Cuando los efectos de la masa de columnas o pilas de sección variable sean importantes y entonces, de algunamanera tengan que ser considerados, el modelo de análisis tendrá que ser discretizado (Fig. 8d). La evaluaciónno lineal de sistemas de puentes es más complicada, la misma se basa en un análisis Momento – Curvatura de lassecciones criticas de los elementos componentes del sistema global y en donde se toman en consideración losniveles de carga axial y los efectos del confinamiento. Es importante referir que generalmente el desplazamientolateral de las pilas es pequeño en relación con sus dimensiones, por lo que muchas veces merecen no ser tomadosen cuenta, en este caso se recomienda únicamente realizar un análisis P - ∆ ( caso de pilas esbeltas).

Los efectos de la deformación del suelo son modelados mediante la colocación a nivel de la cimentación deresortes, cuyas propiedades son dependientes de las características geotécnicas disponibles del terreno (Fig. 8e).

Pórticos múltiples: Se trata de pórticos compuestos por dos o más columnas que tienen la característica quetodas trabajan al unísono, contribuyendo en la respuesta sísmica debido al incremento de la rigidez y de lacapacidad durante una acción cíclica; un modelo como este en un análisis plano se concibe por medio de laincorporación de elementos vigas y columnas con propiedades efectivas como las tratadas anteriormente (Fig.9a). En el análisis lineal las propiedades efectivas se definen por medio de las expresiones ya expuestas (ver ecs 1a la 8), teniendo la rigidez axial la particularidad de ser reducida para tomar en cuenta la influencia de la cargaaxial, el agrietamiento por flexión y la cuantía de refuerzo, ec 10.

.. .

.

E IeE Ae E Ae

E Ig= (10)

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Como se observa en la Fig 9 a y b los nudos se ubican en lugares en donde se puedan capturar las solicitacionescriticas generadas por el estado de cargas considerado; estando el elemento de conexión situado en los extremos;las propiedades de los miembros pueden considerarse agrietadas o efectivas. Para la correcta caracterización delas propiedades de los pórticos múltiples es necesario estimar el nivel de carga axial que además de serdependiente de las cargas gravitacionales son también función de la acción sísmica (cíclica) considerada, o seaque para estimar la capacidad o la rigidez de estos elementos se deberá de actualizar, ajustar y definir el estado deesfuerzo axial generado por la combinación de la acción sísmica y las acciones gravitacionales (Método deEmpujón para marcos en 2D).

Figura 9. (a) Análisis Elástico Lineal. (b) Análisis no lineal.

El análisis no lineal tiene mayor complejidad, en él las estructuras pueden ser modeladas adicionándolesarticulaciones plásticas en zonas en donde supuestamente pueda generarse plastificación por flexión, así comoresortes no lineales en las conexiones y en la cimentación, todo esto, por supuesto, con el objetivo de poderestimar adecuadamente la respuesta no lineal característica de la estructura global. Anteriormente se ha hechoreferencia a las características de algunos de los elementos que manejan algunos sistemas de análisis no lineal(Powell 1993 y 1997, Imbsen et al 1993, Gillies 1979 y Carr 1996) y que pueden ser considerados en un análisiscomo el referido; mediante estos elementos o modelos es posible caracterizar la relación fuerza – deformación yasí la capacidad total del sistema, aunque están limitados a un estado límite de deformación predeterminado.

Cimentación: También la cimentación de un puente tiene el objetivo de dotar a la estructura global de unasatisfactoria resistencia lateral, vertical y rotacional, cuando esta se encuentre sometida a un estado de accionesverticales y/o horizontales, esta resistencia dependerá de la geometría de la cimentación, de las característicasgeotécnicas del suelo y de la interacción suelo - estructura. La cimentación aislada es recomendable en suelosduros, en donde los resortes traslacionales se asumen rígidos y la rotación únicamente se considera en caso queexista desplazamiento o balanceo de la cimentación completa. La resistencia en la dirección vertical se logra pormedio de la propia presión de compresión, en cambio en la dirección horizontal debido a la presión pasiva delsuelo que rodea a la cimentación, así como por medio de la fricción a lo largo de las caras y de la base de lazapata. La resistencia en la dirección rotacional se logra a través de la sobrecarga generada por el suelo que seencuentra encima de la cimentación, así como por el efecto de las cargas gravitacionales generadas por laestructura global para tomar en cuenta la traslación y la rotación cuando se considere. Hay ocasiones en que secuenta con una estimación del coeficiente de reacción del suelo ks (en kg/m3), de acuerdo a ello la estimación dela rigidez vertical y rotacional de una cimentación aislada de dimensiones Df x Bf, considerada como cuerporígido para que las condiciones de apoyos supuestas puedan ser modeladas como un punto simple con resortes,que físicamente se encuentran en la frontera entre la columna y la zapata de cimentación (Fig. 8e) se calculasegún las ecs 11 y 12.

. .Kv Bf Df ks= (11)

31. .

12Kr Bf Df ks= (12)

Si una cimentación está colocada encima de n pilotes en la dirección de Bf y m pilotes en la dirección de Df , larigidez puede ser estimada en función de las conexiones con la superestructura, de la rigidez (kp) a flexión de lospilotes y de la rigidez del suelo por medio de las expresiones (16) y (17).

11

. .Kv m n kp= (13)

2

1

.n

i

Kr m kp xi=

= ∑ (14)

Pilas y pilotes continuos: Hay ocasiones en que las características del suelo permiten concebir un únicoelemento que cubra tanto la pila como la cimentación (pilote), esto es recomendable para puentes estrechos. Elmodelado con fines de estimar la demanda sísmica depende del conocimiento previo de las característicasgeotécnicas del suelo circundante; por medio del módulo de Young (en Kg/cm2) es posible suponer un sistema deresortes de Winkler para las reacciones laterales del suelo, y así concebir un sistema de resortes (Fig. 10)situados a lo largo de toda la longitud del pilote (por debajo del nivel de terreno) en donde la rigidez de cada unode estos con fines no lineales puede ser dependiente de las dimensiones de la sección transversal del elemento, dela profundidad a la que se encuentre el resorte considerado y de las propiedades del suelo (módulo de Young).

Figura 10. Pilas y Pilotes continuos. (a) y (b) Prototipo global; (c) Modelo de los resortes del suelo; (d) Modelo Equivalente.

Juntas de expansión: Los puentes con grandes longitudes se fragmentan a través de las juntas de expansión(Fig. 11a), cuya principal finalidad es la de compensar las deformaciones que se generan debido al acortamientoinicial de preesfuerzo, así como por los efectos dependientes del tiempo (contracción y flujo plástico) y del medioambiente (cambios de temperatura). Desde el punto de vista dinámico estas juntas tienen la capacidad de permitira los marcos o partes independientes, desarrollar su respuesta dinámica característica y modificar la misma pormedio de una interacción compleja concebida con la colocación de dispositivos restrictores; en la modelación deestos dispositivos se toma en cuenta la fricción y el golpeteo que se genera entre las partes durante un eventosísmico. Las juntas de expansión permiten deformaciones traslacionales en la dirección longitudinal yrotacionales de flexión alrededor del eje de la junta, pudiéndose restringir el desplazamiento traslacionalperpendicular al eje del puente por medio de una llave de cortante. El cortante vertical se toma por medio de losrestrictores, así como por los apoyos de neopreno que ayudan a disipar gran parte de la energía que se generadurante un evento sísmico. Sin embargo, las juntas de expansión no podrán únicamente ser vistas comoelementos de separación longitudinal, ya que durante el desarrollo de una acción dinámica las partescomponentes del puente debido a las deformaciones sísmicas transversales tienden a abrir y a cerrar cíclicamentela junta de expansión, lo que unido a la gran rigidez de los estribos y a la descompensada rigidez de los marcospuede traer como consecuencia rotaciones de la superestructura en su plano horizontal y por tanto puedengenererarse los fenómenos de “abertura” y “golpeteo”.

Todo lo anteriormente expuesto trae como consecuencia que las juntas de expansión puedan ser modeladasutilizando su geometría exacta, empleando una ligadura rígida transversal colocada a lo largo de misma y en cadauno de sus extremos, las mismas estarán unidas a los elementos por medio de los llamados restrictores según seaprecia en la Fig 11b. En este modelo los apoyos elásticos, los restrictores y las llaves de cortante se puedensituar en su posición geométrica correcta con sus correspondientes relaciones espaciales. Para la modelación de

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los restrictores longitudinales se podrá utilizar una combinación de los elementos descritos en los inicios de estetrabajo; una simplificación que toma en cuenta la holgura se muestra en la Fig 11c.

Figura 11. (a) Prototipo; (b) Detalle y modelo; (c) Mod. del Restrictor; (d) Mod. de Llave de Cortante y (e) Mod. de Apoyo.

Como se observa en este modelo (Fig. 11c) cuando la junta está cerrada la rigidez es grande y puede suponerseinfinita en la zona de contacto entre las partes, en cambio cuando la junta se encuentra abierta la rigidez es muypequeña, pudiéndose considerar únicamente la pequeña rigidez que se genera debido al deslizamiento porfricción. Estas situaciones traen como consecuencia que cuando se trate de una carga cíclica sea absolutamentenecesario el uso de un análisis no lineal en el cual se modelen estos restrictores como resortes rígidos. En estesentido se puede destacar que un procedimiento con el que se han obtenido muy buenos resultados ha sido elprocedimiento de análisis dual, en donde en el modelo de tensión todos las juntas son proporcionadas por mediode resortes restrictores elástico lineales; en cambio en el de compresión las juntas estarán conectadas por mediode ligaduras axialmente rígidas que permiten la rotación alrededor del eje vertical; este procedimiento se aplicafundamentalmente para estimar las fuerzas y desplazamientos máximos de los miembros, no así para estimar eldesplazamiento relativo de la junta de expansión ya que el desplazamiento máximo de dos marcos adyacentes auna junta ocurre en dos instantes de tiempos diferentes durante el desarrollo de una determinada acción sísmica,lo que trae como consecuencia que el mismo deba de ser estimado por medio del uso de un análisis no lineal dehistoria en el tiempo.

Es muy común que en este tipo de análisis la junta de expansión se modele mediante una combinación deelementos (Tseng et al. 1973 y Kawashima et al. 1976) que permitan sean consideradas las características nolineales de rigidez (restrictores, fricción por deslizamiento del apoyo y llaves de cortante).

Anteriormente se hizo referencia al modelo empleado para los restrictores, en el caso de las llaves de cortante,puede utilizarse un modelo como el mostrado en la Fig 11d; según se observa la llave de cortante se activará enla dirección transversal una vez que la abertura transversal inicial sea nula y brindará una restricción rígida hastaque se produzca el fallo de la misma (llave de cortante), en este caso la relación fuerza - deformación en ladirección transversal utilizará una fuerza axial transferida a través de la llave de cortante considerando uncoeficiente de fricción µ ≥ 1 para la fricción de Coulomb considerada; sin embargo se puede presentar el caso queno exista esfuerzo axial actuando sobre la llave de cortante, entonces en la cuantificación de la fuerza de fricciónúnicamente se tendrá en cuenta la fricción que se genera por la fuerza de fricción de cortante generada por laligadura, esta puede ser estimada a través de los principios corrientes de la fricción por cortante.

Por último debemos referirnos al caso del cortante principal o reacciones de los apoyos, que en la mayoría de loscasos se transfiere por medio de dispositivos de apoyo elásticos en las juntas de expansión y que puedenmodelarse según se aprecia en la Fig 11e; en este caso el coeficiente de fricción depende del dispositivo de apoyoy varia entre el 2 y el 20 %.

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Estribos: Consideraciones de modelado realizadas en la estimación de la rigidez y la capacidad de estribos depuentes, así como también del amortiguamiento de la masa del suelo circundante, pueden tener una importanteinfluencia en la respuesta dinámica de pequeños sistemas de puentes, por supuesto en dependencia del tipo deestribo que se considere en el análisis: monolíticos, apoyados o los construidos integralmente con pilotes; todostienen en común que son estructuras masivas que movilizan e interactúan con la masa de terreno y que en funciónde su geometría poseen gran rigidez, lo que permite que absorban grandes fuerzas sísmicas. La capacidad y larigidez de los mismos se estiman para acciones sísmica o dinámicas por medio de formulaciones empíricas,muchas veces dependientes de una presión efectiva máxima amplificada del suelo (Priestley et al. 1996). Seconcluye que la rigidez de un estribo puede estimarse para un análisis espectral por medio de un procedimientoiterativo, basado en un análisis elástico lineal que supone un desplazamiento y calcula su rigidez resultante,finalizando el procedimiento una vez que se tenga un desplazamiento estable. Para muchos estribos se hademostrado que los resultados obtenidos conllevan a resultados invariables para el rango inelástico, por lo que serecomienda que varios niveles de desplazamientos se designen correctamente. No obstante, algunas referenciasen base a estudios experimentales brindan algunos criterios empíricos para la estimación de la rigidez de losestribos, en función del conocimiento previo de las características geotécnicas del terreno.

EJEMPLO ILUSTRATIVO.

Para ilustrar lo expuesto anteriormente, a continuación se desarrolla un ejemplo con parte de la modelaciónestructural de un puentes, tomando como punto de partida que los resultados serán usados como datos de entradapara el sistema de computo NEABS, especializado en el análisis no lineal de este tipo de estructuras.

Ejemplo 1. Obtener las propiedades determinantes para la realización de un análisis no lineal del puenterepresentado en la Fig. 12.

Fig. 12. Ejemplo ilustrativo.

El sistema NEABS necesita que se le suministren los valores máximos de resistencia de los elementos, acompresión y a flexión ( en los dos ejes), para los elementos que se van a considerar con comportamiento nolineal, en este caso las columnas. Para ello es necesario en cualquier sistema de computo especializado en ladeterminación de diagramas de iteración obtener dichos valores. Empleando el programa UCFiber (Chadwell1990 ) se obtienen los siguientes resultados: N = 1550 T (capacidad a compresión axial pura), My = Mz = 25 T –m (capacidad a flexión en y e z) y T = 62.5 T (capacidad a tensión axial pura). Conociendo estos valores esnecesario estimar para cada uno de los ejes de la flexión una función cúbica que relacione capacidades últimas (acompresión y a flexión), o sea que partiendo de los valores de capacidad obtenidos se obtienen los coeficientesa1, a2, a3. b1, b2 y b3 de las expresiones que a continuación se exponen:

2 3

1 2 31.0 ,U U UYPO U T

YO O O O

P P PMa a a P P P

M P P P

= + + + − < <

(15)

14

2 3

1 2 31.0 ,U U UZPO U T

ZO O O O

P P PMb b b P P P

M P P P

= + + + − < <

(16)

Realizando un ajuste de curva con algunos de los puntos obtenidos de los diagramas de interacción, se puedeentonces obtener que: a1 = b1 = 1.462, a2 = b2 = -0.069 y a3 = b3 = -0.017. Los valores para a y b son idénticosdebido a la simetría de la columna. Para el caso de la superestructura no se considerará comportamiento no lineal.

Para fines de nuestro ejemplo se considera que los estribos están apoyados rígidamente. Las pilas únicamente vana ser consideradas rígidas en la dirección transversal, estimándose entonces, dado un coeficiente ks de suelo de1000 T/m3 las rigideces vertical (kv) y rotacional (kr) por medio de las ecs. 11 y 12.

kv = 2250 T/m

kr = 421.88 T. m

Tabla 1. Propiedades geométricas (ver Fig. 12)

Pilas Superestructura.

A (cm2) 0.640 5.760

Iy (cm4) 0.034 0.660

Iz (cm4) 0.034 39.097

Mediante las propiedades geométricas tabuladas en la tabla 1 y el empleo de las ecs 1 a la 8 se pueden estimar laspropiedades necesarias relacionadas con las distintas rigideces para cada uno de los casos.

Por ultimo el modelado no lineal de la junta de dilatación exige del conocimiento exacto de la geometría de lamisma (Fig. 12a), con el objetivo de que se pueda caracterizar apropiadamente el comportamiento no lineal dedicha junta (Imbsen 1986 ). Para ello se necesita conocer entre otras cosas: la separación entre las dos partesseparadas por la junta (∆g), las características de los restrictores longitudinales (cantidad, material y geometría),dimensiones del dispositivo restrictor transversal (llave de cortante), características de los elementos de apoyo,etc. Previo conocimiento de estos elementos es posible entonces, tomando en consideración lo expuestoanteriormente para las juntas de dilatación, caracterizar el comportamiento no lineal de la misma estimando lasrigideces de impacto, de apoyo y de fricción, así como del coeficiente de fricción.

CONCLUSIONES.

En este trabajo se brindan una serie de elementos teóricos y prácticos, así como de criterios importantes aconsiderar en el correcto modelado lineal o no lineal de estructuras de puentes de concreto reforzado, con elobjetivo de que se pueda estimar adecuadamente el comportamiento de los mismos bajo la acción dinámicaproducidas por eventos sísmicos de mediana y gran intensidad. Los criterios referidos son especialmenteimportantes para la correcta utilización de la filosofía de diseño por desempeño, dada la gran importancia quetiene en dicha filosofía el modelado no lineal de los elementos estructurales del puente; en este caso se hacehincapié en el modelo de la junta de dilatación, de importancia determinante en el comportamiento global de laestructura. Se reflejan además en el trabajo varias formulaciones para la estimación de algunas de las propiedadesa suministrar a un sistema de computo especializado en el análisis no lineal de estructuras de puentes.

REFERENCIAS.

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3.- Carr, A. J. (1996) “RUAMOKO. The Maori God of Volcanoes and Earthquakes”. Universidad deCanterbury, Christchurch. Nueva Zelanda.

4.- Chadwell, Ch. (1990) Programa de Cómputo “UCFiber versión 1.0 (estudiantil)”. Fundación Nacional deCiencias y Laboratorio Nacional de Ingeniería Civil. Portugal.

5.- Chopra , A. (1995) “Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake Engineering”. PrenticeHall. Englewood Cliffs, Nueva Jersey.

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8.- Kawashima K. y Penzien J.,(1976) “Correlative Investigation on Theoretical and Experimental Behavior ofa Model Bridge Structures”. Informe No. 76-26. Centro de Investigación de Ingeniería Sísmica. Universidad deCalifornia en Berkeley, California.

9.- Powell, G. H. (1993) “DRAIN – 2DX. Elements Description and User Guide for Element Type01, Type02,Type04, Type, Type06, Type09 and Type15. Version 1.10”. Departamento de Ingeniería Civil de California enBerkeley, California.

10.- Powell, G. H. (1997) “Concepts and Principles for the Application of Nonlinear Structural Analysis inBridge Design.”, Informe No. UCB/SEMM-97/08. Departamento de Ingeniería Civil. Universidad de Californiaen Berkeley, California.

11.- Priestley, M. J. N., Seible y F., Calvi, G. M. (1996) “Seismic Design and Retrofit of Bridges”. A WileyInterscience Publication. NY.

12.- Ramírez Boscan, O. (1999), “Determinación de la Vulnerabilidad Sísmica de Estructuras de Puentes”, TesisDoctoral (Estructuras), DEPFI, UNAM, México.

13.- Seible, F. (1982) “Nonlinear Analysis and Ultimate Strength of Multi – Cell Reinforced Concrete BoxGirder Bridges”. Informe UCB/SEMM - 82/02. Departamento de Ingeniería Civil. Universidad de California enBerkeley, California.

14.- Tseng, W. S. y Penzien, J. (1973 “Analytical Investigation of the Seismic Response of Long Multiple SpanHighway Bridges”. Informe No. 73-12. Centro de Investigación de Ingeniería Sísmica, Universidad de Californiaen Berkeley, California.

15.- Vision 2000 Committee (1985) “Performance based seismic engineering of buildings”; StructuralEngineering Association of California (SEAOC).

RECONOCIMIENTOS.

Se agradece a la Dirección de Asuntos del Personal Académico de la UNAM la beca del primero de los autores,así como el patrocinio de este trabajo como parte del proyecto “Desarrollo de Modelos y Herramientas deAnálisis y Diseño de Puentes de Concreto con Sistemas de Protección.”.