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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE._ ECAPMA

CALCULO DIFERENCIAL

CALCULO DIFERENCIAL

SECESIONES

TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR:

YARIMA ROBLES NAVARRO

CÓDIGO: 68292855-

LUIS FELIPE RAMÍREZ BLANCO

CÓDIGO 13927344

CAMILO PRIETO PASTRANA

CODIFO 12210407

TUTOR: JORGE RONDÓN

GRUPO: 614

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE._

ECAPMASEPTIEMBRE DE 2015


CALCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCIÓN

La materia de cálculo diferencial es la parte del cálculo infinitesimal que se ocupa de

hallar la derivada de una magnitud respecto de otra de la que es función.

El presente momento 1, da a conocer la aplicabilidad de los conceptos básicos de

cálculo diferencial, en referencia a una situación problema, lo cual permitió aplicar los

conocimientos adquiridos a lo largo de los contenidos de la unidad uno del cuso.

En este documento se encuentra el planteamiento, la acción de la investigación y la

información pertinente de la mis referente a los ejercicios planteados, y cuyas cifras son

aplicables a un método del cálculo diferencial, para que a través del comportamiento de

las variables, se argumente la toma de decisiones que propendan por encontrar

soluciones a la crisis que se arraiga.


CALCULO DIFERENCIAL

1. Entre las ciudades A y B hay una distancia que resulta de multiplicar

el número de su grupo colaborativo por 20 km. (Por ejemplo si el

número de su grupo colaborativo es tres, entonces debe multiplicar

20Km*3 = 60Km, si el número del grupo es cuatro, entonces debe

multiplicar 20Km*4 = 80Km y así sucesivamente de acuerdo al

número de su grupo). Dos ciclistas parten cada uno de una ciudad

hacia la otra. ¿A los cuántos días se encuentran si el que va de la

ciudad A hacia la B recorre 1 km el primer día, 2 km el segundo día, 3

km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido contrario, es

decir de la ciudad B hasta la A, recorre 5 km el primer día, 7 km el

segundo día, 9 km el tercer día y así sucesivamente? ¿Cuántos

kilómetros recorre cada uno?

Para iniciar calcularemos la distancia entre las ciudades

20km∗614=12280km

El que sale de A recorre: {1, 2,3,.....,} ===> an=n

El que sale de B recorre:{5, 7,9,.....} ===> bn

Progresiones aritméticas

an=a1+(n−1 )d=1+(n−1 )1=n

bn=b1+(n−1 )d=5+(n−1 )2=3+2n

Total de kilómetros recorridos en n días

Sn=(a1+an )n2

=(1+n )n2

El de B será

Sn=(b1+bn )n2

=(5+3+2n )n

2=

(8+2n )n2

En ese orden de ideas cuando los dos se encuentren abran recorrido los

12280km


CALCULO DIFERENCIAL

(1+n )n2

+(8+2n )n2

=12280

Entonces tenemos que

n+n2+8n+2n2=24560

3n2+9n−24560=0

n=−9±√92−4 (3)(−24560)

2(3)=

−9±542.95586

=88.99≈89

Rta: se encuentran aproximadamente en el día 89

El que sale de A ha recorrido

S89=(1+89 )89

2=4005km

El que sale de B

12280−4005=8275km


CALCULO DIFERENCIAL

2. Halle el término número 15, a15, y la suma de esos 15 términos,S15, de

la progresión geométrica, cuya razón es 2, donde: 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 (Por ejemplo si el

número de su grupo colaborativo es 1 el primer término de su

progresión es 1, si su grupo colaborativo es el número 2 el primer

término de su progresión será 2 y así sucesivamente.) 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 = 2

Solución

Para el desarrollo de este ejercicio citaremos esta formula

an=a1∗rn−1

Se citan los datos conocidos

a1=614

r=2

Entonces remplazando tenemos

a15=614∗(2)15−1

Haciendo las operaciones obtenemos

a15=614∗(2)14

a15=614∗16384

a15=10059776

Entonces a15=10059776

Ahora piden hallar la suma de estos 15 términos para lo cual se usa la siguiente formula

Sn=a1(1−r

n)1−r

Se remplazan los datos

S15=614 (1−215)1−2


CALCULO DIFERENCIAL

Solucionamos

S15=614 (1−32768)

−1

S15=614 (−32767)

−1

S15=20118938

Entonces la solución para este ejercicio será:

a15=10059776

S15=20118938


CALCULO DIFERENCIAL

3. Halle el primer término de una progresión aritmética en donde la diferencia común d es -6 y el décimo término a10 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 ∗ 15. (Por ejemplo si el número de su grupo colaborativo es 1 el décimo término de su progresión será a10 = 1 ∗ 15 = 15, si su grupo colaborativo es el número 2 el décimo término de su progresión será a10= 2 ∗ 15 = 30 y así sucesivamente.)

Primero se identifica que clase de progresión es y observamos que según el enunciado es una progresión aritmética así que se parte de la fórmula general:

an=a1+(n−1 )d

Los datos conocidos son:

a10=614∗15

a10=9210

d=−6

a1=?

Se remplazan los datos en la formula general así:

a10=a1+(n−1 )d

9210=a1+(10−1 )−6

Se resuelve

9210=a1+(9 )−6

9210=a1+(−54)

9210=a1−54

Se despeja a1

9210+54=a1

9264=a1

El primer término seria 9264

Se puede probar así:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a109264 9258 9252 9246 9240 9234 9228 9222 9216 9210


CALCULO DIFERENCIAL

4. primer término de una progresión aritmética, cuya diferencia común

es 1, es el número de su grupo colaborativo y el último es 2.154.

Halle la suma de todos los números de la progresión e indique

cuántos términos hay en ella (n).

(Por ejemplo si el número de su grupo colaborativo es 1 el primer

término de su progresión debe ser 1, si su grupo colaborativo es el

número 56 el primer término de su progresión debe ser 56 y así

sucesivamente.)

Mi grupo es el 614

Solución

Formula que se debe utilizar

an=a1+(n−1 )d

Datos conocidos

a1=614

an=2154

d=1

Dato por hallar

n=?

Se remplazan en la formula los datos que se conocen

2154=614+(n−1 )1

Se continua el procedimiento con las operaciones según indica la formula recordemos

que se desconoce el termino n el cual debemos despejar.

2154=614+1n−12154=613+1n


CALCULO DIFERENCIAL

2154−613=1n

1541=1n

15411

=n

n=1541

La segunda parte es hallar la suma de los términos de la progresión para eso se usa la

siguiente formula Sn=¿¿

Donde a1=614

an=2154

n=1541

Se remplaza y tenemos que

S1541=(614+2154)

2∗1541

S1541=(614+2154)

2∗1541

S1541=27682

∗1541

S1541=1384∗1541

S1541=2132744

Rta :

S1541=2132744

n=1541


CALCULO DIFERENCIAL

5. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad

tiene el pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y

por cada metro adicional se canceló el 20% más que el

inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron

$193.738.560? La Razón de ésta progresión geométrica es r =1, 2

Bueno primero se debe identificar qué clase de progresión es y el enunciado en

la parte inferior nos dice que una progresión geométrica, para resolver este

problema se utilizaran la siguiente fórmula para progresión geométrica:

Sn=a1(r

n−1)r−1

Los datos que se conocen son los siguientes

a1=15000000

Sn=193738560

r=1.2

n=?

Se remplaza en la formula los términos:

193738560=15000000(1,2n−1)

1,2−1

193738560=15000000(1,2n−1)

0,2

Se traspasan términos para mantener la ecuación lineal

193738560(0,2)=15000000 (1,2n−1)

38747712=15000000 (1,2n−1)

Seguimos trasladamos términos para despejar a n


CALCULO DIFERENCIAL

1,2n−1=3874771215000000

1,2n−1=3874771215000000

1,2n−1=2,5831808

1,2n=2,5831808+1

1,2n=3,5831808

Para resolver esta operación en necesario emplear el logaritmo natural para poder

despejar n

n∗l n (1,2 )=ln (3,5831808)

n=ln (3,5831808)

l n (1,2 )

n=7

Entonces la respuesta a la pregunta central del ejercicio será: la profundidad del pozo

será de 7 metros esto se puede comprobar de la siguiente manera:

Se remplaza la formula general a n y tendrá que igualar la ecuación

Sn=a1(r

n−1)r−1

193738560=15000000((1,2)7−1)

1,2−1

193738560=15000000(3.5831808−1)

1,2−1

193738560=15000000(2.5831808)

1,2−1

193738560=387477120.2

193738560=193738560

Ejercicio resuelto.


CALCULO DIFERENCIAL

CONCLUSIONES

Se pudo encontrar a través del cálculo diferencial, las cifras que se manejan en unos

ejercicios planteados y que repercute en los resultados de procesos enseñanza –

aprendizaje, esto con base al análisis de aspectos relacionados a la variable cualitativa.

Se adquirió la habilidad de aplicar en situaciones previamente planteadas, los

conceptos, diagramas y obtención del cálculo diferencial.

El desarrollo del programa o curso de cálculo diferencial nos permite el avance de los

diferentes niveles de competencias necesarias para el desarrollo profesional como

Ingenieros dando de esta forma solución a las problemáticas que se puedan presentar.

Se realizó satisfactoriamente el análisis, diseño e implementación del sistema

propuesto.


CALCULO DIFERENCIAL

BIBLIOGRAFÍA

Informe Nacional Sobre el Desarrollo de La educación en Colombia (2001). 46ª

Conferencia Internacional de Educación (CIE). Ginebra Suiza. Tomado de:

http://www.ibe.unesco.org/International/ICE/natrap/Colombia.pdf

Booch, G., Rumbaugh, J., & Jacobson, I. (2006). El lenguaje unificado del modelado

(Segunda ed.). Pearson Educación.

Connolly, T. E. (s/f). Sistemas de bases de datos: Un enfoque práctico para diseño,

implementación y gestión. Pearson Education S.A.

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