60250080 libro mecanica de materiales prof vallejo

Mecnica de MaterialesIng. lvaro Vallejo P.

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOS

1

Contenido


Contenido............................................................................................................... 1 Introduccin........................................................................................................... 7 Esfuerzos ............................................................................................................... 91. 1.1. CARGAS Y ESFUERZOS .......................................................................................10 CARGAS ..............................................................................................................10 TIPOS DE CARGAS .....................................................................................10

1.1.1.

1.2 ESFUERZOS ............................................................................................................10 1.2.1. CLASES DE ESFUERZO ..................................................................................11 1.3 PROBLEMAS RESUELTOS .....................................................................................14 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. 1,3,8. 1.3.9. PROBLEMA 1 ...............................................................................................14 PROBLEMA 2 ...............................................................................................14 PROBLEMA 3 ...............................................................................................15 PROBLEMA 4 ...............................................................................................16 PROBLEMA 5 ...............................................................................................17 PROBLEMA 6 ...............................................................................................18 PROBLEMA 7 ...............................................................................................21 PROBLEMA 8 ...............................................................................................24 PROBLEMA 9 ...............................................................................................26 2

1.3.10. PROBLEMA 10 .............................................................................................28 1.3.11. PROBLEMA 11 .............................................................................................30 1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................32 PROBLEMA 1 ...............................................................................................32 PROBLEMA 2 ...............................................................................................33 PROBLEMA 3 ...............................................................................................34 PROBLEMA 4 ...............................................................................................35 PROBLEMA 5 ...............................................................................................35

1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4. 1.4.5.

Deformaciones .................................................................................................... 372. DEFORMACION ......................................................................................................38 2.1. DEFORMACIN AL ESFUERZO CORTANTE .......................................................38 2.2. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES .................................................................38 2.3. 2.4. 2.5. LEY DE HOOKE...................................................................................................39 RELACIN DE POISSON....................................................................................40 DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACION .........................................................40


2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

FACTOR DE SEGURIDAD

..........................................................................40

DIAGRAMAS DE DESPLAZAMIENTO ................................................................41 ELEMENTOS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS ......................................41 PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................41 PROBLEMA 1 ...............................................................................................41 PROBLEMA 2 ...............................................................................................42 PROBLEMA 3 ...............................................................................................43 PROBLEMA 4 ...............................................................................................45 PROBLEMA 5 ...............................................................................................46 PROBLEMA 6 ...............................................................................................47 PROBLEMA 7 ...............................................................................................49 PROBLEMA 8 ...............................................................................................51 PROBLEMA 9 ...............................................................................................53

2.9.1. 2.9.2. 2.9.3. 2.9.4. 2.9.5. 2.9.6. 2.9.7. 2.9.8. 2.9.9.

2.9.10. PROBLEMA 10 .............................................................................................56 2.9.11. PROBLEMA 11 .............................................................................................58 2.9.12. PROBLEMA 12 .............................................................................................60 3 2.9.13. PROBLEMA 13 .............................................................................................62 2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................64

2.10.1. PROBLEMA 1 ...............................................................................................64 2.10.2. PROBLEMA 2 ...............................................................................................65 2.10.3. PROBLEMA 3 ...............................................................................................66 2.10.4. PROBLEMA 4 ...............................................................................................66 2.10.5. PROBLEMA 5 ...............................................................................................67

Flexin .................................................................................................................. 69 3. VIGAS............................................................................................................. 703.1 CARGAS FLEXIONANTES.......................................................................................70 3.1.1. VIGA ..................................................................................................................70 3.1.2. TIPOS DE VIGAS ..............................................................................................70 3.2. 3.3. 3. 4. 3.4. 3.5. 3.6. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR .................................................72 RELACIN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR ..73 DEFORMACIN EN VIGAS ................................................................................74 ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS ...............................................................75 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS ...................................................................78 PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................79


3.6.1. 3.6.2. 3.6.3. 3.6.4. 3.6.5. 3.6.6. 3.6.7. 3.6.8. 3.6.9.

PROBLEMA 1 ...............................................................................................79 PROBLEMA 2 ...............................................................................................82 PROBLEMA 3 ...............................................................................................84 PROBLEMA 4 ...............................................................................................87 PROBLEMA 5 ...............................................................................................89 PROBLEMA 6 ...............................................................................................92 PROBLEMA 7 ...............................................................................................93 PROBLEMA 8 ...............................................................................................96 PROBLEMA 9 ...............................................................................................98

3.6.10. PROBLEMA 10 .............................................................................................99 3,7 PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................101 3.7.1. 3.7.2. 3,7,3, 3.7.4. 3.7.5. PROBLEMA 1 .............................................................................................101 PROBLEMA 2 .............................................................................................102 PROBLEMA 3 .............................................................................................103 PROBLEMA 4 .............................................................................................103 PROBLEMA 5 .............................................................................................104 4

Deflexin ............................................................................................................ 1054. DEFLEXIONES EN VIGAS .......................................................................................106 4.1 MTODO DEL REA DE MOMENTOS .................................................................106 4.2. DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES ........................................................108 4.3. PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................108 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. PROBLEMA 1 .............................................................................................108 PROBLEMA 2 .............................................................................................111 PROBLEMA 3 .............................................................................................113 PROBLEMA 4 .............................................................................................115 PROBLEMA 5 .............................................................................................117

Torsin ............................................................................................................... 121 5. TORSION ........................................................................................................ 1225.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. DEDUCCION DE LA FORMULA DE TORSION ................................................123 MOMENTOS DE INERCIA POLAR ...................................................................125 TORSION EN SECCIONES NO CIRCULARES ................................................127 TORSION EN SECCIONES CIRCULARES HUECAS DE PARED DELGADA .128 ARBOLES ESTTICAMENTE INDETERMINADOS ..........................................129 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................129


5.6.1. 5.6.2. 5.6.3. 5.6.4. 5.6.5. 5.6.6. 5.6.7. 5.7.

Ejercicios .....................................................................................................129 Ejercicio 2....................................................................................................131 Ejercicio 3....................................................................................................133 Ejercicios 4 ..................................................................................................135 Ejercicio 5....................................................................................................136 Ejercicio 6....................................................................................................137 Ejercicio 7....................................................................................................139

Ejercicios propuestos .........................................................................................141 Ejercicio 1....................................................................................................141 Ejercicio 2....................................................................................................141 Ejercicio 3...................................................................................................142 Ejercicio 4....................................................................................................142 Ejercicio 5....................................................................................................143

5.7.1. 5.7.2. 5.7.3. 5.7.4. 5.7.5.

Bibliografa......................................................................................................... 145

5


6


7

Introduccin


El objetivo de este problemario de Mecnica de slidos o resistencia de Materiales es proporcionar al estudiante de Ingeniera, Diseo Industrial y afines un gran nmero de problemas tipo, sobre esfuerzos y deformaciones en estructuras debido a carga axial, carga flexionante, deflexiones en vigas, como tambin a cargas torsionales para que le sirvan como material de estudio de sta asignatura y lo apliquen en el diseo de sus productos. En sta gua de apoyo en el aprendizaje de la Mecnica de slidos el estudiante encontrar informacin y procedimientos adecuados en la resolucin de los ejercicios tipo. En el inicio de cada captulo hay un pequeo resumen de los principios bsicos que el estudiante debe comprender para la resolucin de los problemas como tambin al final del mismo se proporcionan ciertos problemas relativamente sencillos para que los resuelva y le sirva para afianzar sus conocimientos. Agradecimiento a los estudiantes de Diseo Industrial Nathali Caldern Campos, German Quiroga Quintero y Fidel Jimnez en la colaboracin y diagramacin de ste problemario. 8


9

Esfuerzos


1. 1.1.

CARGAS Y ESFUERZOS CARGAS

Son fuerzas externas que actan sobre un cuerpo, las cuales producen esfuerzos y deformaciones. 1.1.1. TIPOS DE CARGAS

10

1.2 ESFUERZOSCuando una fuerza o carga acta sobre un material, se crea en el material una resistencia o fuerzas internas para resistir las fuerzas externas. Estas fuerzas de resistencia se denominan esfuerzos. Para definir el esfuerzo en un punto dado de la seccin transversal de un cuerpo, debemos considerar una pequea rea A. Entonces si dividimos F sobre A obtenemos el esfuerzo promedio en A y si A tiende a cero, tenemos:


(sigma), designa los esfuerzos normales, los cuales son producidos por las cargas perpendiculares a la seccin transversal.

(Tao), designa los esfuerzos de corte, los cuales son producidos por las cargas paralelas a la seccin transversal. Luego los esfuerzos normales que se pueden presentar en una pieza o cuerpo son:

Y los esfuerzos de corte que se pueden presentar en un cuerpo o pieza son:

1.2.1. CLASES DE ESFUERZO

11

En sntesis hasta el momento tenemos los siguientes esfuerzos ms usados con sus respectivas frmulas: Esfuerzo normal : Este puede ser a tensin o a compresin.

Donde F es la fuerza axial. A es la seccin transversal de la barra a la que se le halla su esfuerzo axial. Sus unidades pueden ser Lb/pulg= 1psi o N/m= 1 Pa.


Esfuerzo cortante :

Donde P es la fuerza de corte, A es la seccin transversal del pasador al que se le halla su esfuerzo cortante. Esfuerzo de Apoyo

b:

P es la fuerza en el apoyo Ap es el rea proyectada del apoyo.

En el esfuerzo normal la fuerza F es perpendicular al rea de la seccin transversal A mientras que en el esfuerzo cortante la fuerza P es paralela al rea de la seccin transversal. Esquemticamente tenemos: 12

Esfuerzo en un plano inclinado u oblicuo:


De acuerdo a las condiciones de equilibrio el lado izquierdo debe ser equivalente a la fuerza P.

Para el esfuerzo normal tenemos:

pero

Luego

Luego

; Donde 13 Entonces

Recordando que:

Para el esfuerzo cortante tenemos:

pero

Luego

Recordando que En donde Resumiendo

entonces

Luego

si = 45, entonces


En donde: A= rea de la seccin recta. P= carga axial.

n= esfuerzo normal en la seccin oblicua.= esfuerzo cortante en la seccin oblicua.

1.3 PROBLEMAS RESUELTOS1.3.1. PROBLEMA 1 Supngase que la junta encolada forma un ngulo de 15 con el eje, en lugar de 30. Si la tensin cortante a lo largo de la junta esta limitada a 18 Kgf/cm y la tensin normal no debe exceder de 90 Kgf/cm. Determinar la carga mxima P.

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1.3.2. PROBLEMA 2 Una mnsula de perfil estructural esta fijada a una columna mediante dos tornillos de 16mm de dimetro, como se muestra en la figura, la mnsula sostiene una carga P de 35 KN, calcular el esfuerzo cortante medio ( med) en los tornillos cuando se desprecia la friccin entre la mnsula y la columna.


15

1.3.3. PROBLEMA 3 En la figura se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determinar el esfuerzo de compresin en el tornapuntas AB producida en el aterrizaje por una reaccin del terreno R= 2000 Kgf. AB forma un ngulo de 53 con BC.

Segn DCL


1.3.4. PROBLEMA 4

Dos sistemas idnticos de barras articuladas y cilindro hidrulico, controlan la posicin de los tenedores de un montacargas de horquilla. La carga soportada por el sistema mostrado es de 1500 Lbs. Sabiendo que el espesor del elemento BD es de 0,625 pulg. Determinar: a) El cortante promedio en el pasador de pulg de dimetro en B. b) El esfuerzo de apoyo del elemento BD en B.

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1.3.5. PROBLEMA 5

Se aplica un par M de magnitud 100Lb.pie a la manivela del sistema ilustrado en la figura. Para la posicin exhibida, determinar (a) la fuerza P requerida para mantener el sistema en equilibrio. (b) El esfuerzo normal de la biela BC que tiene una seccin transversal uniforme de 0.72 pulg. 17


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1.3.6. PROBLEMA 6


Se coloca un aro de acero ABCD, longitud 1,2m y dimetro 10mm alrededor de una varilla de acero de 24mm de dimetro AC. Los cables BE y DF de 12 mm de dimetro cada uno, permite aplicar una carga Q. Sabiendo que para la varilla adm= 60 MPa y para los cables y el aro adm= 180 MPa. Determinar la carga Q mxima que puede aplicar.

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1.3.7. PROBLEMA 7 La barra ABC que se muestra, se mantiene en equilibrio por los soportes del pasador A y B. El esfuerzo cortante admisible del material de ambos pasadores es adm= 150MPa. Si se coloca sobre la barra una carga uniformemente distribuida W= 8 KN/m, determinar la ubicacin de la misma (x medida desde B). Los pasadores A y B tienen cada uno un dimetro de 8mm.


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1,3,8. PROBLEMA 8 Un rtulo de 4,5m X 6m est sostenido por dos armaduras como se muestra en la figura. Todos los elementos tienen una seccin transversal de 50mm X 100mm. Calcular el esfuerzo en cada barra debido a la fuerza del viento horizontal de 96Kgf/m sobre el tablero. Todas las juntas son articulaciones y cada cuarta parte de la fuerza total del viento acta en B y C. Nota: se desecha la posibilidad de pandeo y el peso de la estructura.

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25

AB= 864Kgf 50cm

DE= 1620Kgf 50cm

= 17.28Kgf/cm = 32.4Kgf/cm

AB= 17.28Kgf/cm DE= 32.4Kgf/cm


AD= = 10.8Kgf/cm DC= 1080 50 864Kgf BC= 50cm

AD= 10.8Kgf/cm DC= -21.6Kgf/cm BC= -17.28Kgf/cm

= 17.28Kgf/cm

= 21.6Kgf/cm

1.3.9. PROBLEMA 9

Para la estructura mostrada que soporta la carga de 200Kgf en la forma indicada, calcular el esfuerzo cortante en el pasador B si el dimetro es de 1/2pulg, y cual es el dimetro del pasador en E si adm a cortante es de 300Kgf/cm.

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1.3.10. PROBLEMA 10 La estructura mostrada est unida por pasadores en A, B, C y D; tambin se muestra la vista superior de los pasadores en A y en C. Si los pasadores tienen un esfuerzo cortante permisible perm= 12,5Ksi y los esfuerzos permisibles de las barras sometidas a tensin es t= 16,2Ksi y de compresin c= 20,2Ksi. Determinar el dimetro de los pasadores en A y en C y el dimetro de las barras AB y BD necesarios para soportar la carga indicada.

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30 1.3.11. PROBLEMA 11 Para la estructura mostrada el perno que se aloja en la ranura de la barra BD, est fijo a la varilla AC de seccin rectangular de 1 X 3/8 pulgadas. El peso W es de 125Klbs. a) Hallar el esfuerzo normal mximo en la barra AC si el dimetro de los pasadores en A y en B es de 0,6pulg. B) Determinar el esfuerzo cortante en los pasadores A y B.


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1.4.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.4.1. PROBLEMA 12 Las barras de la armadura tienen cada una un rea transversal de 1,25 pu lg . Determine

el esfuerzo normal promedio en cada barra debido a la carga P = 8kp. Identifique si el esfuerzo es de tensin o de compresin.


Respuestas:

BC = 23.466,66 lb BD = 18663,11lb BE = 4.800 lb

p lg 2 Tensin

p lg 2 Compresin

pul 2Tensin DB = 10666,4 lb pul 2Tensin AE = 8534,24 lb pul 2 Compresin ED = 8534,24 lb pu lg 2 Compresin

1.4.2. PROBLEMA 2

Sabiendo que

= 40 y P = 650lb. a) Determine el dimetro del pasador en B para el

cual el esfuerzo cortante promedio en el pasador es de 6klb

.b) El esfuerzo de pu lg 2 apoyo corriente al elemento AB en B. c) El esfuerzo de apoyo en cada soporte en B.

33 Se utiliza un pasador de 5/8 pulg. de dimetro en el soporte B, fabricado de acero con adm de 7.5klb . El esfuerzo de apoyo admisible es b = 11 klb en el elemento pu lg 2 pu lg 2 AB y en el soporte B. Para = 60 determine la carga mxima P que puede aplicarse.

Respuestas:


a ) = o,43 pu lg A = 6620,68 lb

pu lg 2 AB = 4137,93 lb pu lg 2 Pmax = 1706,76lbs

1.4.3. PROBLEMA 3 Para la estructura mostrada determinar: a) el esfuerzo cortante en el pasador B b) el esfuerzo de apoyo en A si el dimetro de los pasadores A y B = 1 pulgada o el espesor pulgadas.

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Respuestas

a ) pasador B = 3,025 kgf b)apoyoB = 4,75 kgf

cm 2

cm 2


1.4.4. PROBLEMA 4 En la figura se muestra una torre para una lnea de alta tensin, si acta sobre ella una fuerza horizontal 540KN y los esfuerzos admisibles son de 100MPa en compresin de 140MPa en tensin. Cul es el rea transversal requerida en cada elemento? Todos los miembros estructurales estn articulados y sus dimensiones se indican en metros.

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ADE = 14843,2mm 2 Compresin ACD = 1157mm 2 Compresin ABD = 4503,1mm 2 Compresin ABE = 3636,6mm 2Tensin ABC = 7969,28mm 2Tensin AAB = 5301,1mm 2Tensin AAD = 3641,07 mm 2Tensin

1.4.5. PROBLEMA 5 Una viga que soporta carga de 450KN en un extremo esta sostenida por un cable apuntalado como se muestra en la figura. Determinar el rea transversal requerida en los


elementos AC , BC , CE , si el esfuerzo de tensin permisible es de 1.400 kgf esfuerzo de compresin permisible es de 700 kgf

cm 2

y el

cm 2

Respuestas.

AAC = ACE = 6,559 10 3 m 2 ABC = 3,711 10 3 m 2

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Deformaciones


2. DEFORMACIONLa deformacin es el cambio de dimensiones de un cuerpo como el resultado de un esfuerzo. La deformacin correspondiente a la tensin es el alargamiento, produciendo una contraccin transversal y la correspondiente a la compresin es el acortamiento, produciendo una expansin transversal del cuerpo. Ambas deformaciones se produce en la misma direccin de la fuerza y es representado por (delta). La deformacin unitaria se define como la relacin de la deformacin y la longitud total de la barra, es decir,

2.1. DEFORMACIN AL ESFUERZO CORTANTELa deformacin correspondiente al esfuerzo cortante es un desplazamiento normal a la longitud L. La deformacin unitaria es 38 Esquemticamente tenemos:

2.2. PROPIEDADES DE LOS MATERIALESFRAGILIDAD: Propiedad en el cual el material no se deja deformar fcilmente sin romperse. Ejemplo: fundiciones.


DUCTILIDAD: Propiedad en el cual el material permite grandes deformaciones antes de romperse. Ejemplo: acero de bajo carbono. ELASTICIDAD: Es la propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma original, despus de que desaparecen las cargas. PLASTICIDAD: Es la propiedad de los materiales de conservar la deformacin despus de suprimido el esfuerzo. MALEABILIDAD: Propiedad por la cual un material permite la deformacin plstica cuando est sometido a compresin. RIGIDEZ: Propiedad que permite al material soportar un gran esfuerzo y sufrir una deformacin muy pequea. TENACIDAD: Capacidad de los materiales de soportar choques o impactos. DUREZA: Propiedad de los materiales a resistir en mayor o menor grado las penetraciones o a ser rayado.

2.3.

LEY DE HOOKE

39

Dentro de ciertos lmites, el esfuerzo es proporcional a la deformacin, es decir, =E donde es el esfuerzo; E el modulo de elasticidad y es la deformacin unitaria.P

Recordando que:

entonces

=

AE

PL

=

A

, =E

y

=

L

en donde

= es la deformacin de la barra. P= es la carga axial que acta en la barra. A= es el rea de la seccin transversal de la barra. E= es el mdulo de elasticidad del material. L= es la longitud total de la barra.

Si se tiene varias cargas entonces la

Para el esfuerzo cortante, la ley de Hooke se expresa como mdulo de rigidez, es el esfuerzo cortante y

donde G es el

es la deformacin unitaria.


2.4.

RELACIN DE POISSON

Es la relacin entre la deformacin unitaria transversal y la deformacin unitaria longitudinal y es una constante. Es decir:

para materiales istropos

2.5.

DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACION

40 e= esfuerzo en el lmite elstico y= esfuerzo de fluencia u= esfuerzo ultimo

2.6. FACTOR DE SEGURIDADEs aproximadamente las tantas veces que puede soportar una pieza ms esfuerzos.

En zona elstica

En zona plstica


2.7.

DIAGRAMAS DE DESPLAZAMIENTO

La determinacin de los desplazamientos es mucho mas complicado cuando la estructura consta de ms de un miembro. Se usa el mtodo geomtrico para determinar los desplazamientos. Cuando la estructura contiene dos miembros cargados axialmente, que tienen conexiones articuladas en sus extremos.

2.8.

ELEMENTOS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS

Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axialmente que con las ecuaciones de equilibrio esttico no son suficientes para determinar las fuerzas que en cada seccin soportan. Cuando esto sucede se llaman estticamente indeterminadas y se requiere ecuaciones adicionales que relacionan las deformaciones elsticas en los distintos elementos; entonces se procede de la siguiente manera: a) Plantear ecuaciones del slido aislado de la estructura o de la parte de ella y aplicar las ecuaciones del equilibrio esttico. b) Si hay ms incgnitas que ecuaciones independientes de equilibrio se deben plantear nuevas ecuaciones mediante relaciones geomtricas entre las deformaciones elsticas producidas por las cargas y por las fuerzas incgnitas. c) Se hace el diagrama exagerado de las deformaciones elsticas. d) Se desarrolla el sistema de ecuaciones que se conformen.

41

2.9.

PROBLEMAS RESUELTOS

2.9.1. PROBLEMA 1 Una barra de acero como se muestra en la figura y de longitud 12m, est sometida al sistema de fuerzas que se indica. Determinar la deformacin total de la barra por efecto solo del sistema de fuerzas.


2.9.2. PROBLEMA 2 Una barra de acero cuadrada tiene 5cm de lado y 25cm de longitud, y est cargado por una fuerza de traccin axial de 20000Kg. E=2,1X10 Kg/cm y=0,3. Determine la variacin unitaria de volumen. 42


2.9.3. PROBLEMA 3 43 A la temperatura ambiente (20c) existe una separacin de 0,5mm entre los extremos de las varillas de la figura. Ms tarde, cuando la temperatura alcanza 140c; Hallar: A) Esfuerzo normal en el aluminio B) La longitud exacta de la barra de aluminio


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2.9.4. PROBLEMA 4 Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se aseguran entre dos placas rgidas que se pueden apretar tensando dos tornillos de acero. A 10c no existen fuerzas axiales en el conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada material a 95c con los siguientes datos:

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2.9.5. PROBLEMA 5 Sea una estructura formada por tres barras articuladas sometidas a una fuerza F=10Ton ejercida a travs de una pieza rgida. Determinar las fuerzas en las barras y sus deformaciones considerando la barra 1 de acero y las barras 2 y 3 de duraluminio.


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2.9.6. PROBLEMA 6 Sea un tirante BC formado por tres cables 1,2 y 3; del mismo material e igual seccin, articulados en sus extremos y sometidos a una fuerza F. Las longitudes de los cables son ligeramente diferentes. Determinar las fuerzas en cada uno de los cables y el desplazamiento vertical del punto B. Halle el esfuerzo en el cable ms largo.


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2.9.7. PROBLEMA 7 Para la estructura mostrada determinar la carga mxima P que puede aplicarse si: A1=A2=A3= 4cm el perm= 2000Kgf/cm A4=A5= (3,5) cm y perm= 1500Kgf/cm Para todas las barras E=2X10 Kgf/cm max=4mm.

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2.9.8. PROBLEMA 8 Para la estructura mostrada los elementos rgidos DEF y ABC estn soportados por las barras elsticas 1,2,3 y 4 de acero y tienen esfuerzo de fluencia y=36 KLb/pulg y un factor de seguridad 2,4. Calcular el valor de la carga mxima si A1=1pulg, A2=2pulg y A3=A4=3pulg y a=20pulg.

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2.9.9. PROBLEMA 9 Para la estructura mostrada, cuntas vueltas hay que darle al tornillo para que el elemento rgido ABC permanezca horizontal si:

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Barras de acero 1,2 y 3 A1=A2= (2,5) cm A3= 5cm E= 2,1X10 Kgf/cm

Barras (4) Bronce A= 8cm E= 1X10 Kgf/cm

Tornillo (5) P=0,02 cm n= 1 entrada A= 2cm E= 2,1X10 Kgf/cm N= ?


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2.9.10. PROBLEMA 10 El patn de la gra mvil que soporta una carga W= 2000 Lb, puede desplazarse a lo largo de la viga rgida BC entre los topes E y F. Si el material de las barras 1 y 2 tienen un esfuerzo admisible adm= 6500 Lb/pulg. Calcular la posicin de los topes XE, XF, si el recorrido del patn sobre la viga rgida debe ser tan grande como sea posible. E = 30x106 Lb/pulg

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2.9.11. PROBLEMA 11 En la estructura mostrada los miembros I,II y III son elsticos y las barras 4 y 5 son rgidas. A) Determinar el mximo valor P segn los siguientes datos B) Los esfuerzos normales en los miembros I, II y III 58


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2.9.12. PROBLEMA 12 Las barras elsticas 1,2 y 3 y las escuadras mviles y rgidas ABC y DEF. Determinar el mximo valor admisible para la carga P, si los esfuerzos axiales en 1 y 2 no han de exceder de 16 y 3 Klb/pulg respectivamente.

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2.9.13. PROBLEMA 13 La barra horizontal rgida AB est soportada por tres cables verticales y soportan una carga de 12000 Kg, el peso de AB es despreciable y el sistema est exento de tensiones antes de aplicar los 12000 Kg. Despus de aplicados, la temperatura de los cables aumenta de 14c. Hallar la tensin de cada cable y la posicin de la carga aplicada para que AB permanezca horizontal.

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2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS2.10.1. PROBLEMA 1 El sistema que se muestra en la figura esta compuesto por 3 elementos del mismo material, con las siguientes propiedades; E = 200GPa, A1 = 5cm 2 , A2 = 10cm 2 , A3 = 10cm 2 Determinar el valor mximo de la carga P que se puede aplicar si el esfuerzo permisible es de 150MPa.


Respuesta

Pmax = 1875 10 2 N2.10.2. PROBLEMA 2 En la figura se muestra una repisa que soporta un motor de 5000kgf de peso. Calcular el mximo esfuerzo cortante que estn soportando los tornillos de acero de fijacin de la repisa, considerar la repisa absolutamente rgida y que pivota alrededor del punto A los tres tornillos tienen el mismo dimetro

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= 1 2 pu lg ada


Respuestas: B= 183.44 Kgf/cm C=1019.1 Kgf/cm

2.10.3. PROBLEMA 3 La figura muestra el sistema compuesto por las barras rgidas ABC y CDE y las barras deformables de acero 1,2,3 que sirven de soporte a la barra rgida CDE, la barra rgida ABC se conecta a travs de un pasador a la barra rgida CDE, la carga W de 3000kgf descansa sobre la barra rgida ABC el esfuerzo de fluencia para las barras deformables es y = 2000 kgf

cm 2

y el rea A= 2cm 2 ; E = 2,1 10 6 kgf

cm 2

. Calcular el factor de

seguridad de cada barra.

66

Respuestas

1 = 1,8 2 = 3,61 3 = 2,67

2.10.4. PROBLEMA 4 La barra rgida ABC esta soportada por el cable de acero 1 de 1cm de rea y

perm = 2000 kgf

cm 2 cm 2

y para las barras de acero 2 y 3 de

2cm 2

de rea y

perm = 1500 kgf

. Determinar el mximo valor de carga P que se puede aplicar

como se muestra en la figura.


Respuesta Pmax = 80,95kg

67

2.10.5. PROBLEMA 5 Para la estructura mostrada hallar el valor de P que puede aplicarse, si las barras tienen un factor de seguridad = 1,5

polea r = 5cm L = 100cm Barra1y 4 A = 1,5cm 2 E = 2 10 6 kgf cm 22

Barra 2 A = 2cm 2 E = 2 106 kgf cm 2

y = 1500 kgf

cm

y = 1270 kgfBarra3 A = 1cm 2 E = 1 106 kgf

cm 2

cm 2 cm 2

y = 1870 kgf


Respuesta: P=3750Kg

68


69

Flexin


3.

VIGAS

3.1 CARGAS FLEXIONANTES3.1.1. VIGA Miembro estructural para soportar fuerzas que actan transversalmente a su eje. 3.1.2. TIPOS DE VIGAS

70

La viga simplemente apoyada consta de un apoyo articulado en un extremo y un apoyo simple en el otro. La funcin del apoyo articulado es impedir simultneamente el desplazamiento horizontal y vertical de la viga sin impedir su rotacin. En el apoyo simple

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOSnicamente se impide los desplazamientos en la direccin vertical pero no en la direccin horizontal Luego su esttica seria:

La viga empotrada en un extremo y libre en el otro es la viga denominada viga en voladizo. La caracterstica es que la viga no puede desplazarse ni girar en el extremo fijo, mientras que si lo hace en el extremo libre. Luego su esttica seria:

Las cargas que operan en la vigas pueden ser: concentradas, distribuidas o momentos concentrados. 1. Cargas concentradas 71

2. Cargas distribuidas

3. Momentos concentrados

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOS3.2. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Cuando sobre una viga actan fuerzas o momentos, se originan esfuerzos y deformaciones internas; luego debemos determinar las fuerzas y momentos internos que se ejercen sobre las secciones transversales de la viga. Consideremos la siguiente viga; hagamos un corte por m-n a una distancia X y separemos las partes como cuerpos libres y observemos que:

72

La fuerza cortante en m-n es positiva cuando las fuerzas externas que actan en la viga tienden a cortar la viga como se indica en la figura:

El momento flector en m-n es positivo cuando las fuerzas externas que actan en la viga tienden a flexionar la viga corno indica la figura:

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOSEl momento es positivo si tiende si comprimir la fibra superior y estirar la fibra inferior. El momento es negativo si tiende a estirar la fibra superior y comprimir la fibra inferior. Para hallar los diagramas de fuerza cortante y momento flector se procede de la siguiente manera: * Se determina las reacciones de la viga. * Se halla el cortante y el momento flector en cada tramo haciendo cortes entre cargas o tramos en cualquier parte de la viga. * Se representa sobre un grfico los tramos mostrados sobre los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

3.3.

RELACIN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Cuando la viga soporta ms de dos o tres cargas concentradas o distribuidas, la construccin del diagrama de fuerza cortante y momento flector se hace ms simple si se toma en consideracin ciertas relaciones existentes entre carga, fuerza cortante y momento flector. Consideremos una viga simplemente apoyada AB que soporta una carga distribuida W; si tomamos dos puntos cualesquiera de la viga CC a una distancia dx. En C la fuerza cortante y el momento flector se llama V y M respectivamente; en C los llamaremos V + dV y M + Dm. Si extraemos el segmento CC tenemos:

73

(+)Fy, entonces: ( + ) = -dV W dx = 0

= -W

Esta ecuacin indica que para una viga cargada, la pendiente de la curva de fuerza cortante es negativa y el valor numrico de dicha pendiente en cualquier parte es igual a la carga por unidad de longitud. Ahora integrando la ecuacin anterior tenemos:

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOS ; VD- VC = - rea bajo la curva de la carga. = -

Para el caso de cargas concentradas la pendiente cortante sea constante.

es cero lo que implica que el

+MC= 0 ; (M+dM)- M- VdX+ WdX (dX/2)= 0 dM= V dX- W(dx)2/2 ; dM/ dX= V Esta ecuacin indica que la pendiente de la curva de momento flector es igual al valor de la fuerza cortante. Ahora integrando la ecuacin anterior tenemos:

= ; MD- MC = rea bajo la curva de fuerza cortante.

3. 4. DEFORMACIN EN VIGASConsideremos una porcin de la viga sometida a un momento flexionante.

74

Los planos de las secciones transversales m-n-p-q de la viga deformada se cortan en el centro de curvatura O. El ngulo entre esos planos se denota por d y la distancia desde O hasta la superficie neutra es el radio de curvatura . La distancia inicial dx no var a en la superficie neutra, entonces el arco dx =d ; sin embargo las dems fibras longitudinales se alargan o se acortan originando deformaciones longitudinales x. Para evaluar stas deformaciones, consideremos una fibra longitudinal e-f localizada en la viga a una distancia Y del eje neutro; entonces la longitud de sta fibra es: L= (-)d= d- d pero d= L= dx-

; entonces:

Puesto que la longitud original de e-f es dx, su alargamiento es:

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOSL- dx= dxEntonces:

- dx

Entonces:

Pero la deformacin unitaria correspondiente es: = ; entonces:

= -

=-

x= -

La ecuacin (1) dice que la deformacin normal longitud x var a linealmente con la distancia y.1

(1)

La curvatura se define como K=

La deformacin x alcanza su m ximo valor absoluto cuando "y" es mximo; denotando que C es la mxima distancia desde la superficie neutra y m el mximo valor absoluto de la deformacin. max= De (2) reemplazamos en (1), entonces:

(2)

75

x= - max (3) Pero segn la ley de hooke:

max=Entonces:

max E max E

x= -

y

3.4.

ESFUERZOS NORMALES EN VIGASque

A partir de las deformaciones normales x, podernos obtener los esfuerzos x actan perpendicularmente a la seccin transversal de una viga. Segn la Ley de Hooke x = Ex y con la ecuacin (3) obtenemos:

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOSx=

mx

Ahora consideremos la resultante de los esfuerzos normales x, para eso tomemos un dA en la seccin transversal a una distancia y del eje neutro; entonces la fuerza normal que acta sobre el elemento tiene una magnitud x dA = dF Como la = O, entonces dA = 0 -( mx)dA= 0

Como mx y C son constantes en la seccin transversal entonces: dA = O para una viga en flexin pura. Esta ecuacin nos muestra que el momento de primer orden con respecto a su eje neutro es cero; entonces el eje neutro pasa por el centroide de la seccin. Ahora consideremos el momento resultante de los esfuerzos x que an act sobre Ja seccin transversal: +Mo= 0; dMo+ xdAy= 0, entonces 2 M=- ydA= mxydA= dA max I C

- dA = 0

76

Entonces M=

momento de inercia I= 2 dA; Entonces: M=

max C

2 dA; la integral representa el momento de segundo orden o

Donde: xmx: Esfuerzo mximo de flexin. C: Distancia de la fibra ms lejana al eje neutro. I: Momento de inercia de la seccin transversal con respecto al ej neutro.

Luego xmx=

; esta es la ecuacuin de esfuerzo mximo de flexin.

Para hallar el esfuerzo en cualquier punto, la ecuacin seria:

PROBLEMARIO MECANICA DE SOLIDOSx=

;

como el modulo de la seccin transversal es S=

seleccionar la seccin transversal de una vida; entonces usamos S=

; entonces el xmx = adm

, si deseo

, recordemos:

momentos de primer orden:

X= ( Ai Xi ) / Ai Y= ( Ai Yi ) / Ai

momentos de segundo orden:

Ix= A y2dA Iy= A x2dA

77

Teorema de los ejes paralelos:

Ix = x = d2A; donde: x : momento de inercia centroidal. d: distancia entre los ejes A: rea


3.5.

ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS

A fin de evaluar los esfuerzos cortantes, consideremos el equilibrio de un elemento p-pn-n. recortado entre dos secciones transversales m-n y m-n separados por una distancia dx. Si los momentos flexionantes en las secciones transversales m-n y m-n son iguales, los esfuerzo normales x que actan sobre los lados n-p y n-p tambin sern iguales. En consecuencia el elemento estar en equilibrio bajo la accin de estos esfuerzos, por tanto el esfuerzo contante debe ser cero.

Para en el caso mas general de un momento flexionante variable, denotemos por M y M+dM y si consideramos un elemento de rea dA a una distancia y del eje neutro. La fuerza normal ser dF= xdA , entonces: dF= ( M ydA )/I , pero al sumar estas fuerzas elementales sobre el rea de la cara p-n del elemento macizo. Se obtienen la fuerza horizontal F1=(My)/I dA; y si tomamos la otra cara p- n tendremos que F2=(M+dM)/I y dA; finalmente la fuerza F3 que acta sobre la cara superior del elemento F3= bdx, en la cual bdx, constituye el rea de la cara superior por esttica F3=F2-F1; entonces: Por esttica Fx =0, -F1 +F2 F3 =0, entonces F3 =F2 F1

78

bdx= [(M+dM)/I y dA]-[( MydA )/I] = dM/dx (1/bI) y dA, pero V=dM/dx, entonces: = V/ bI y dA, pero Qx= y dA, entonces: = VQ/bI

donde: : esfuerzo contante. Q: primer momento de rea que tiende a deslizarse. I: momento de inercia de la seccin transversal con respecto al eje neutro. b: longitud de la seccin en el eje neutro. El primer momento de rea Q, se obtiene de multiplicar el rea a deslizarse por la distancia comprendida desde el centroide del rea hasta el eje neutro. El flujo de corte esta definido como q= VQ/I, sea que q=b


3.6.

PROBLEMAS RESUELTOS

3.6.1. PROBLEMA 1 Para la viga y cargas mostrada considerar la seccin n-n determinar

79

a) b) c)

El mayor esfuerzo normal El mayor esfuerzo cortante El esfuerzo cortante en el punto a

DCL

+M A =0, entonces: -75KN60cm -100KN120cm -75KN180cm +RB240cm =0 RB= [ (4500KNcm +1200KNcm +13500KNcm) / 240cm ] RB= 125KN


+FY =0, entonces: -75KN -100KN -75KN +RA + RB =0 RA= 125KN Hacemos cortante en la seccin n-n

+FY =0, entonces: RA -V1 =0 RA =V1 V1 =125 KN +M 1 =0, entonces: M1 -125KN 30cm =0 M1 =3750 KNcm

80

a) b)

=

M C I

,entonces

y=

=1 =1

1 2 3

Area cm2 24 14.06 24 62,08

Y cm 0,6 10 12,4 -

YArea cm3 14,40 140,8 465,6 620,8


y=

620,8 62,08

=10cm

mx = ,entonces: mx=, entonces: mx= [ (10500KN 10cm) / (4610,49cm4) ] mx=22,77412 KN/cm2b)

=

Y= 10cm b= 0,8cm Q= (20 1,2) (10 - 8,8) + (8,8 0,8) 4,4 Q= 256,57

mx= [ (125KN 256,55cm3) / (4610,49 0,8) ] mx= 8,69 KN/cm281 I1= I3= [(1/12) (20) (1,2)3] + [(9,4)2 (24)] I1= I3= 2123,5cm4 I2= [(1/12) (0,8) (17,6)3] + [(0) 2 (14.08)] I2= 363,45cm4 I1 + I2 + I3 = Itotal = 4610,49cm4 c) YAi =YiAi Y (20 1,2) + (0,8 0,3) Y= 9,393cm

Q= AY = [(20 1,2) + (0,8 0,3)] 9,393cm, donde: Q= 227,68cm3 V= 125KN b= 0,8cm

a= [(125 227,686) / (4610,49 0,8)], donde: a= 7716KN/cm2


3.6.2. PROBLEMA 2 Para la viga cargada como se indica en la figura, hallar el esfuerzo mximo normal y el mximo esfuerzo cortante en la madera y el acero, encuentre la fuerza cortante permisible por el tornillo si la separacin entre tornillos es de 2 pulgadas. Nota: Eacero= 2,9103 lb/plg2 , Emadera= 1,9103 lb/plg2

82

DCL

+M A =0, entonces: BY18pies -36Klb9pies -36Klb12pies =0


BY =[ (369)+(3612) / (18) ] BY =42Klb +FY =0, entonces: AY -36Klb -36Klb +42Klb =0 AY =30Klb

+FY =0, entonces: 30Klb -2X (X2/9) =V V =-270 +18X +X2

4/18 = w/x, entonces w= 4x/18 w=x/3

+M 1 =0, entonces: M1 30(X) -2X(X/2) [(X2/9)1X/3] =0 M1= 30(X) X2 (X3/27) 83 X= 2 4 2

=

1818 2 4(270) 2

=9.73pies

M =30(9,73) (9,73)2 [(9,73)2/27] M =291,9 -94,67 -34,12 =163,11Klb-pie M =163,11Klb-pie

mx= MC / I, entonces:

n =Emadera / Eacero =1,9103 / 2,9103 =0,655

entonces, (7,50,655) = 4,91pulgadas 1 2 y= =1 =1

Area cm2 40 82,5 122,5

Y cm 1 17 -

YArea cm3 40 1402,5 1442,5

= [(1442,5cm3)/(122,5cm2)], entonces: Y=11,77cm


I1= [(1/12) (20) (2)3] + [(11,77 - 1)2 (40)] I1= 4653,05plg4 I2= [(1/12) (2,75) (30)3] + [(20,23 - 15) 2 (82,5)] I2= 8444,11plg4 I1 + I2 = Itotal = 13097,16plg4

mx= MC / I, entonces: mx= [ (163Klb-pie 20,23plg 12plg) / (13097,16plg4 1pie) ] mx acero =3021,25lbs/plg2 mx madera = (n 3021,25 lbs/plg2) =1978,92lbs/plg2 = VQ/bI, entonces:

84

Q =YA = [(11,77)(40)] + { [ (11,77 -2)(2,75) ]4885 } =562,05plg

acero=[(42000lb562,05 plg3)/(13097,16 plg42,75plg)] =655,41lb/plg2 madera=[(0,655) 655,41lb/plg2] =429,29lb/plg2q= VQ/I =F/S, entonces: F= VQS/I Q=YA =(11,77 -1) 40 =430,8plg3 F =(42000lb 430,8plg3 2plg) / 13097,16plg4 F =2762,98lb

3.6.3. PROBLEMA 3 Trazar los diagramas de fuerza cortante, momento flexionante y fuerza axial correspondientes a la grua de brazo cargada como se muestra en la figura; despreciar el peso de la viga. La seccin transversal es una viga. Determinar los esfuerzos normales mximos y cortante mximo.


DCL

Hallamos el angulo tan =(60/120), entonces: =26,565 Hallamos reacciones +M A =0, entonces: [ -4K 60+(C sen 26,565 120) +(C cos26,565 (5,3 +3.7))] C =3,888K sen26,565 = Cy/3,888K, entonces: Cy =1,738K cos26,565 = Cx/3,888K, entonces: Cx =3,477K

85

+Fy =0, entonces: Ay -4K +1,738K =0 Ay = 2,262K

+FX =0, entonces: Ax -3,477K =0 Ax =3,477K


Hallamos momento Area1 (+): 2,262 60 =135,72plg2 Area2 (-): 1,738 60 =104,28plg2 Mto = 3,477 (5,3 + 3,7) Mto = 3,477 (9) Mto = 31,393K plg Hallamos I total

1 2 3

rea plg2 1,772 3,153 1,772 6,692plg2

Y plg 7,787 4,000 0,212 -

Y rea plg3 13,799 12,612 0,375 26,786

86

Y= AY/A =26,786/6,697 Y =3,999 4,000, luego C1 =C2 por simetra

I1= I3= [(1/12) (4,171) (0,425)3] + [(3,787)2 (1,772)] I1= I3= 25,460plg4 I2= [(1/12) (0,44) (7,15)3] + [(0) 2 (3,153)] I2= 13,402plg4 I1 + I2 + I3 = Itotal =64,28plg4 Hallamos el esfuerzo normal mximo mx= MC / I, entonces: mx= [ (135,72Kplg 4plg) / (64,28plg4) ]

mx= 8,441Klb / plg2

Hallamos el esfuerzo cortante mximo Q =YA, donde: Q =A1 Y1 + A2Y2 Q =[(4,171 0,425) 3,7875] +[(7,15/2) 0,411] 1,7875 Q =9,532plg3


mx= VQ/bI, entonces: mx= [( 2,262K 9,532plg3 ) /(64,311plg4 0,411plg)] mx= 0,760 Klb/plg2

3.6.4. PROBLEMA 4 La viga ABCD est cargada con una fuerza =6KN mediante el arreglo mostrado en la figura. El cable pasa atravs de una pequea polea son friccin en B, y est fija al brazo vertical en E. Calcular la fuerza cortante V y el momento flector M en la seccin C la cual est junto a la izquierda del brazo vertical. Determinar el esfuerzo normal mximo y cortante mximo si la seccin transversal es de 25cm x 15cm.

87

DCL

Hallamos el angulo = tan-1(1,5m/2m), entonces: =36,8696 +Fy =0, entonces: R D + RAy = 0 R D + RAy = =

+MA =0, entonces: (6 kN)(2 m) + R D (6 m) = 0 R D = 2 kN


RAy = 6kN 2 kN RAy =

Mc = (Tx)(1.5 m) Mc = 72 kN. m En B = 3.6 6 kN = 2.4 kN

88 = 1 I= b. h3 12 1 (0.15 m)(0.25 m)3 I= 12 = .

(11.2 kN. m)(0.125 m) = (1.9531 x 104 m4 ) =


= 7168.091 kN/m2 (3)(4 kN) 3 V max = = 2 A (0.15 x 0.25 m2 ) = / 3.6.5. PROBLEMA 5 La viga ABCDE mostrada en la figura tiene apoyos simples en A,C y E; y una articulacin en D. una carga de 4KN acta en el extremo de la mnsula que se extiende desde la viga en B y una carga de 2KN acta en el punto medio de la porcin DE. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga. Adems determinar el esfuerzo normal mximo y cortante mximo si la seccin transversal es de w 10 x 68.

89

Anlisis D-E

+MD =0, entonces: (R E )(2) (2 kN)(1) = 0 +FY =0, entonces: Dy + RE 2 kN = 0


90

+MA =0, entonces: (RC )(4) = (4 kN)(1) + Dy (6) = 0 RC = 2.5 kN +FY=0, entonces: RA + 2 . 5 4 2 + 1 = 0 RA = 2.5 kN 1 2 3

rea cm2 50.17 26.17 50.17 127.11 cm2

Y cm 25.42 13.2 0.97

Y rea cm3 1275.32 353.36 48.66 1677.34 cm3

1 b. h3 + d2 A 12 ITOTAL = I1 + I2 + I3 I=

A. Y 1677.34 cm3 Y= = = 13.2 cm A 127.11 cm2


1 (25.73)(1.95)3 + (12.22)2 (50.17) I1 = I3 = 7507.7 cm4 12 1 I2 = (1.19)(22.50)3 + (0)2 (26.77) I2 = 1129.57 cm4 I1 = ITOTAL=16144.97 cm4 MAX = MC I12

MAX=408.79 N/cm4 max =VQ Ib

MAX =

(5000 N. m)(13.2 cm) (16144.97 cm4 )

: Si

Q = Y. A Q = (25.73)(1.95)(12.225) + (11.25)(1.19)(5.62) Q = 688.608 cm3

Si VMAX = 2500 N 91 I = 16144.97 cm4 B = 1.19 cm max = (2500 N)(688.608 cm3 ) (16144.97 cm4 x 1.19 cm)

max=89.60 cm2


3.6.6. PROBLEMA 6 La lancha tiene un peso de 2300lb y centro de gravedad en G; si se apoya en el costado liso A del remolque y puede considerarse soportada por un pasador en B, determinar el esfuerzo mximo absoluto de la flexin desarrollada en la barra principal del remolque. Considere que est barra en una caja articulada en C y las dimensiones mostradas en la figura.

92

DCL lancha

+MB=0 2300lbs x 5 Ay X 9=0, entonces: Ay= (2300lb x 5)/ 9 Ay= 1277,78 lbs Bx=0 +Fy=0 1277,78- 2300= By= 0


By=1022,2lbs DCL remolque

+MD=0 1277,78 x 3 1022,22 x 6 + cy x 10 =0 Cy= (1022,22 x 6 1277, 78 x 3)/10 = 230lbs 93 +Fy=0 -1277,78 lb + Dy 1022,22 lb + 230lb = 0 Dy=2070lbs y= 1,5 plg I= 1/12 (1,75)(3)3 (1/2) (1,5) (1,75)3 I= 3,26 plg4 = mc/I, entonces el max= [(3833,34 lb-pie x 1,5 plg x 12)/3,26] plg4 max= 21165,68lb/plg2 3.6.7. PROBLEMA 7 Para la viga mostrada en la figura, calcular el mximo esfuerzo normal a tensin que soporta el acero y la madera. Eacero =2106Kgf/cm2 , Emadera =0,2106Kgf/cm2


Solucin: DCL AF

+MA=0 -5000kgf x 1m + 400 kgfm + Fy x 2,5m = 0 Fy=[ (500kgf-4000kgfm)/2,5m]= 400kgf, entonces Fy=400 Kgf +Fy=0 Ay-5000kg + 400Kgf = 0 Ay= 4600 kgf DCL FC 94

+FC=0 400kgf x 3,5m By x 3m + 3000 X 1,5m= 0 By = [(400 x 3,5 kgfm + 3000 x 1,5)/3m]= 1966,67 kgf +Fy=0 -400kgf + 1966,67 kgf 3000 kgf + Cy= 0 Cy= 3000kgf + 400kgf 1966,67 kgf, entonces Cy= 1433,33kgf Se hace el diagrama de cortante y momento flector del conjunto


1566,67/X = 1433,33/ 3-X; entonces, 1566,67 (3-X)= 1433.33X 95 4700,01= 1433,33X + 1566,67X 4700= 3000X, entonces, X= (4700/3000)= 1,56m X= 1,56m n= Emadera/Eacero= 0,2 x 10 /2 x 106 6

y=(Ai Yi)/ A1 2

= 0,1; entonces n=0Y rea cm3 1200 2112 216

rea cm2 120 96 216

Y cm 10 22

y= (3312/216)-15,33cm I t = I1 + I 2I1= (1/12)(6)(20)4+(120)(15,33-10)2= 7409,07 cm4 I2= (1/12)(24)(4)3+(96)(8,67-2)2= 4,3398,93 cm4 It=11,808cm4 t = (MC/I), entonces: [(4600kgfcm x 15,33cm x 100cm)/11808cm4 x 1cm]= 597,21 kgf/cm2


n= madera/acero, entonces madera= 0,1 x 597,21 kgf/cm2 = 59,721 kgf/cm2.

3.6.8. PROBLEMA 8 Para la viga mostrada en la figura, hallar la mxima carga P que puede ser aplicada si cada tornillo esta situado a 40cm, el coeficiente de rozamiento del tornillo =0,4. El esfuerzo permisible de la madera es de 80Kgf/cm2 y el esfuerzo permisible del tornillo es de 1200Kgf/cm2. Hallar el dimetro del tornillo para que trabaje solamente a esfuerzo normal. Nota: =

96

DCL

+M A=0,entonces: 60Pkgf x 6m + Cy x 12m- 200pKgfm= 0 Cy=[ (200pKgrm-360 pKgrm)= 540p/12 ]= 45pKgf= Cy +Fy =0 Ay+60P+45P=0, entonces Ay= -105plg


y=15cm t = (MC/I) I= (1/12)(15)(30)3 =33750cm4=I 80kgf/cm2= (900pKgrm x 15cm x 100cm)/(33750cm4 x 1m) al despejar p, hallamos que p= 2kgf. 97 q= VQ/I, entonce, V=105 x 2 = 210 Kgf Q=Ay= (10)(10 X 15) = 1500cm3 I= (1/12)(15)(30)3= 33750cm4 Q= (210Kgf x 1500cm3)/33750cm4 = 9,33 Kgf/cm

Ftornillo = q x S, entonces:9,33Kgf/cm x 40cm = 373,33 Kgf =

Ftornillo

= Fr/N, entonces, N= (373,33/0,4)= 933,33 Kgf ad = N/A d2 / 4 = N / ad d= (4 N / ad) = 0,995cm


3.6.9. PROBLEMA 9 Para la viga mostrada se aplica una carga uniformemente repartida de q Kgf/m en los dos metros centradas. Determinar el valor mximo de q si el esfuerzo normal mximo es 100Kgf/cm2 y el cortante mximo es 10Kgf/cm2 y los tornillos tienen una resistencia a la cortadura de 100kgf y una separacin de 5cm.

98 +MA=0 Cy x 3cm 2Q x 2m=0, Cy=4/3Q

+FY=0 Ay-2Q+(3/4 Q)= 0 Ay= 2Q -(3/4 Q)= Ay= 2/3 Q

(2/3Q)/x = (4/3Q)/2-X X=2/3


Y=14cm I= 1/12 (22)(28)3 (1/12) (16) (22)3 I= 26,048 cm4 =Itotal Hallamos el esfuerzo normal mximo

mx= MC / I, entonces: mx= [ (0,88Q Kgfm14cm100cm) / (26048cm41m) ] mx= 88Q14 / 26048, entonces Q: 2114,286Kgf mx= [(3/2) (V/A)]= mx= (2Q/264), entonces Q:1320Kgfse toma el menor Q, 1320 q =Q/2, entonces: q =1320/2 =660Kgf/m q =VQ/I , entonces: V =100kgf Q =YA, entonces: Q= (223)(14-15) Q = 825cm3 99 q = (100 825)/(26048) q =3,167kgf/cm2 F =qs =3,1675 =15,836Kgf

3.6.10. PROBLEMA 10 Para la viga cargada como se indica en la figura: a) Hallar el esfuerzo normal mximo y el esfuerzo cortante mximo debido a la flexin si w=4KN/m, a=3m b) Cual es la mxima fuerza que soporta el tornillo si esta separado 35cm a lo largo de la viga?


+MB=0 -36 +12 x 1,5 -12 x 1,5 + 36 12 x 4,5 + Dy x 3 = 0 Dy= 54/3= 18 Dy=18KN +FY=0 -12KN + By 12KN + 18 KN- 12= 0 By= 18 KN

100

y=13,25, entonces: =MC/I, donde M=27KNm, C=13,25cm IT= I1+I2+I3 I1= I3 =(1/12)(26)(2)3+(52)(12,26)2= 7820,583cm4 I2= (1/12)(2)(22,5)3= 1898.438cm4 It=17539,604cm4

max= (27000Nm x 13,25cm x 100cm)/ 17539,604= 2039,669N/cm2, entonces: max= 2039,669N/cm2 = VQ/bI, donde: V=12kn


I=17539,604cm4 b=2cm Q=AY = 52 x 12,25 + 22,5 x 11,25 = 890,125 cm3

=(12.000N X 890,125cm3)/(17539,604cm4 x 2cm)= 304,496 N/cm2b) q= VQ/I=Fc/S, entonces Fc= VQS/I, donde: V=12KN, S=35cm, I=17539,604 Q=Ay =(26 X 2)12,25=637cm3 Fc= (12000KN x 627cm3 x 35cm) / (17539,604 cm4)= 15253,48N Fc =15253,48N

3,7 PROBLEMAS PROPUESTOS3.7.1. PROBLEMA 1 Calcular los esfuerzos normal y cortante que actan en el punto C en la viga de acero mostrada. La viga esta simplemente apoyada y tiene la seccin transversal que se indica.

101

Respuesta:

a)c= 3360,21 lb/plg2 C b)c= 450,03 lb/plg2


3.7.2. PROBLEMA 2 Las barras 1 y 3 tienen un rea de 4cm2 y E=2106 Kgf/cm2, la placa ED es rigida. Disear la seccin transversal de la viga mostrada sabiendo que el esfuerzo admisible de la madera es de 80kgf/cm2. NOTA: las conexiones en A,B,D,E son pasadores

102

Respuesta:

d=23,59 cm


3,7,3, PROBLEMA 3 Para la siguiente viga y sus cargas mostradas. Determinar la intensidad de una carga distribuida mxima que puede soportar la viga son presentar falla. Para la anterior carga calculada determinar el esfuerzo cortante mximo que actua sobre la viga y la fuerza que debe soportar cada clavo si la separacin S=5cm. Considerar permisible = 100 kgf/cm2 , a=1 m

103 Solucin: w= 0,9886 kgf/cm, max= 4,95 kgf/cm2

3.7.4. PROBLEMA 4 Para la viga cargada como se indica en la figura, hallar el esfuerzo normal mximo y el esfuerzo cortante mximo debido a la flexin.


Respuesta: max= 3939,87 lb/plg2 max= 70,70 lb/plg2 3.7.5. PROBLEMA 5 La viga que se muestra esta sometida a una carga uniformemente variable con intensidad mxima de P kgf por metro lineal en el extremo derecho de la viga, si la viga es un perfil de seccin T. determinar la mxima intensidad de carga P. a) Determinar la mxima intensidad de carga P que se puede aplicar si las tensiones de trabajo son de 1250 kgf/cm2 tanto en tensin como en compresin. b) Determinar el mximo esfuerzo que soporta la madera y el acero si Emadera= 0,1106 2 kgf/cm , Eacero= 2106 kgf/cm2

Respuesta: a) Pmax = 1302,37 kgf b) madera = 62,5 kgf/cm2, acero = 1249,99 kgf/cm2

104


105

Deflexin


4. DEFLEXIONES EN VIGAS 4.1 MTODO DEL REA DE MOMENTOSEs un mtodo sencillo para determinar las pendientes y flechas en las vigas, en las cuales intervienen el rea del diagrama de momento y el momento de dicha rea.

106

Recordemos que . Si la viga es linealmente elstica y cumple con la ley de hooke entonces de la frmula de flexin se tiene:

entonces

entonces


Integrando tenemos,

entonces,

En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el rea del elemento diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B. Por tanto la ecuacin anterior nos conduce al primer teorema del mtodo del rea de momentos que dice: la variacin o incremento de la pendiente entre las tangentes trazadas a la elstica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al rea del diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EI.

107

es positivo cuando va en sentido anti horariosea ( corresponde a un rea positiva del momento flector). Al observar la segunda figura anterior, la distancia vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a la elstica en puntos sucesivos, entonces, cada uno de stos segmentos es igual a dt= xd; integrando,

, pero como

entonces,

Si observamos la tercera figura anterior; la expresin x(Mdx) es el momento del rea del elemento rayado respecto a la ordenada en B, por tanto la ecuacin anterior conduce al segundo teorema que dice La desviacin tangencial de un punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elstica en otro punto cualquiera A, en direccin perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento respecto de B del rea de la porcin del diagrama de momento entre los puntos A y B dividido por EI.


donde: = distancia del centroide del rea al eje vertical al cual le estamos sacando la desviacin, en ste caso sera con respecto a B. = es la desviacin tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la tangente.

4.2. DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTESEste mtodo consiste en evaluar cada carga separadamente, dibujndose el diagrama de momento para cada carga y para hallar el ngulo de rotacin o la desviacin tangencial en un punto determinado se suman algebraicamente las reas bajo los diferentes diagramas. Para ste mtodo se fija un centro de momentos y se toma con respecto a ese punto.

4.3. PROBLEMAS RESUELTOS4.3.1. PROBLEMA 1 Determinar el desplazamiento en el punto B y la pendiente en el soporte A de la viga mostrada. E= 7X10 Kgf/cm 108


109


110


111

4.3.2. PROBLEMA 2 Para la viga que se indica, determinar la mxima deflexin y la carga mxima (W) si: perm= 200Kgf/cm, E=10 Kgf/cm y L=1m


112


113

4.3.3. PROBLEMA 3 La barra rgida DEC est soldada en C a la viga de acero con E=500X10 N/m e I=1,781cm y G=200GPa. Para la carga mostrada hallar: a) La pendiente en A b) La deflexin en C


114


4.3.4. PROBLEMA 4 115 La barra rgida DEF esta soldada en D a la viga de acero AB. para la carga mostrada hallar: a) La pendiente en A b) La deflexin del punto medio C Usar E =4,32106 klb/pies2 W =1640 I= 0,024 pies2


+MB=0, entonces -Ay(16) +32klb8 +40klb-pie +104 =0 32 8klb pie +40klb pie +40klb Ay = 16 Ay =21Klb +Fy =0 By -32 -10 +21 =0 By =21Klb

116

Diagrama de momentos por parte


A =

EI tB/A = [(672 (8)) + (672(8+ )] [(80( )4+4) 170,66( )8 170,66(8+ ) - 1606] 3 3 3 4 4 EI tB/A =3584 + 7168 533,333 1023,96 1706,6 960 EI tB/A =6528,107klb-pie3 tB/A =(6528,107klb-pie3)/ (4,32106klb/pie2 0,024pie4) =0,0629 0,063 A = C = -yc + tC/A , entonces: tB/A/2 =-yc + tC/A yc = tC/A tB/(A/2)0,063 pie 16

t B/A 16

1

2

8

2

3

8

=3,93510-3rad =0,225 8

=

16

,entonces C=8 3

2

EI tC/A =AMCAXC = A2X2C A5X5C =[672 - 170,66 2] EI tC/A =1450 ,68

entonces: 1450 ,68 6528 ,107 yc = ,entonces yc = -0,0175pies 2

117

4.3.5. PROBLEMA 5 La viga mostrada esta sometida a la carga P y a la carga F a) Determinar la magnitud de carga F en funcin de P que debe aplicarse en el punto, para que la deflexin en ese mismo punto sea cero b) Determinar el mximo valor de P si la viga esta fabricada de acero A-36 con un esfuerzo normal admisible de 1200Kgf/cm2 , segn la seccin transversal mostrada

DCL


Por esttica: MB=0, entonces -Ay(4m) +P8m +Fx4m =0 4Ay +2F =2P, entonces: 2Ay +F =P (1) +Fy =0 Ay +By =P +F

(2)

Anlisis por deformacin

118

6

=

4

,entonces: =

6 4

,entonces, =1,5


EI tC/A =AMCA Xc tC/A =A1X1C A2X2C A3y3C 4 4 A1 = =8Ay X1C = (4) + 2 = 3,33m A2 = X2C = (2) +2 =2,66m A3 = 119 X3C = (2) = 1,33m EI tC/A =8Ay(3,33) -2P(2,66) -2F(1,33) EI tC/A =26,664Ay 5,332P 2,666F (3) EI tB/A =AMBA XB , entonces: EI tB/A =A1X1B A2XB 1 1 EI tB/A =8Ay( )4 2P( )2 3 3 EI tB/A =10,666Ay 1,333P (4) 26,664Ay 5,332P 2,666F =1,5(10,666Ay 1,333P] 26,664Ay 5,332P 2,666F =16Ay -2P3 3 2 +8 2 2 3 2 +2 2 1 1 2

=2P = 2F

26,664Ay -16Ay =5,332P -2P 10,664Ay -16Ay =5,332P -2P 10,664Ay =3,332P + 2,66F

Ahora de (1) Ay = ,entonces: Ay =0,5P 0,5F 2 10,66 (0,5P 0,5F) =3,332P + 2,66F 5,33P 5,33F = 3,336P + 2,66F 5,33P 3,336P = 2,66F + 5,33F 1,994P =7,99F, entonces= 0,25P


De (1) Ay= 0,5P 0,5(0,25P),entonces Ay =0,37P De (2) By =P+F-Ay,entonces By =P=0,25P -0,375P

[()(382,5cm4)(1m)] / [(0,75 kgfm)(10,2cm)(100cm)] =P P= 600Kgf

= =[ (0,75P kgfcm)(10,2cm)(100cm) / (382,5cm4)(1m)]

120


121

Torsin


5. TORSIONAqu estudiaremos los elementos sometidos a torsin especficamente a elementos de seccin circular, sobre todo en arboles de Transmision de Potencia que pueden ser macizos o pueden ser huecos. Para deducir las formulas de la torsin se establecen una serie de hipostesis que pueden demostrarse matemticamente y algunas de ellas comprobarse experimentalmente. Las secciones circulares permanecen circulares despus de la torsin.1. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean despus de la 2. torsin. La proyeccin sobre una seccin transversal de una lnea radial de una 3. seccin permanece radial despus de la torsin. El rbol esta sometido a la accin de pares torsores que actan en planos 4. perpendiculares a su eje. Las tensiones no sobrepasan el limite de proporcionalidad Si el torque externo visto desde la derecha es antihorario, el torque interno es horario, si el torque extremo es positivo, el interno es negativo (regla de la mano derecha)

122

2Para determinar la seccin critica si el eje es uniforme esta en el torque mximo Si es de seccion variable, se determina hallando los esfuerzos en cada seccin y donde sea mayor el esfuerzo ser la zona critica.


5.1.

DEDUCCION DE LA FORMULA DE TORSION

Consideremos un rbol circular unido a un soporte fijo en un extremo y se le aplica un momento torsor en el otro extremo libre rotar en un ngulo llamado angulo de torsin.

123 Consideremos una fibra cualesquiera a una distancia del eje del rbol de la deformacin del corte.

La deformacin del corte es mxima en la superficie del rbol en donde = c (formula) reemplazando 2 en 1.


La fuerza contarte segn la ley de Hooke tenemos

L B B = L B B = pero

M

Si al rbol AB le hacemos un corte perpendicular al eje del rbol.

ECANICA DE SOLIDO S sustituyendo T, tenemos

124 pero la expresin

es el momento polar de inercia de la seccin transversal con respecto al centro O

formula de torsin el zona elstica

angulo de torsin se expresa en radianes para obtenerlo en grados sexagesimales se multiplica por 180/ radianes= 57.3 grados/radianes.T


esfuerzo cortante 5.2. MOMENTOS DE INERCIA POLAR

En explicaciones practicas, los arboles se emplean para transmitir potencia. La relacin entre potencia mecnica y el par torsor se obtiene de la siguiente manera: Trabajo realizado (w) durante una evolucin es:

si expresa revoluciones por minuto la potencia viene dado porP

125 R

OBLEMARIO

A DE SOLIDO S 6 Ejemplo Un rbol macizo de un tren de laminacin tiene que transmitir una potenicade 30cv a 100 RPM, determinar su dimetro de manera que la tensin constante mxima no exceda de 420 Kgt/cm2 y que el angulo de torsin en una longitud de 3m sea como mximo 5.73 G= 8.4*105kgt/cm2.TO


RSIN 7

TtT= 21 480kgf/cm

126

Solucin: Se toma el dimetro mayor ya que se satisface las condiciones de resistencia y de rigidez.


5.3.

TORSION EN SECCIONES NO CIRCULARES

8

El mximo esfuerzo esta en el punto medio del lado mas largo y el punto medio del lado mas corto es menos critico. El punto mas alejado tiene la mxima tensin y el esfuerzo cortante = 0 concluimos que no hay esfuerzos cortantes en las esquinas de la seccin transversal de la barra b/c 1 1,25 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 8,0 10 127 1 2 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 ,282

>10

0,291 0,299 0,307 0,312 0,333

0,208 0,235 0,269 0,291 0,309 0,336 0,335 0,378 0,392 0,402 0,414 0,421 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,245 0,263 0,281 0,291 0,299 0,307 0,312 0,333

Cuando b>>c osea es pared delgada


5.4. TORSION EN SECCIONES CIRCULARES HUECAS DE PARED DELGADA

128

Si multiplicamos ambos trminos por S (permetro)


Cuando el rbol esta sometido a momentos de torsin en sitios diferentes de los extremos o si consta de varias porciones con diferentes secciones transversales y posiblemente de materiales diferentes debemos dividirlo en partes que satisfagan las condiciones de aplicacin de la formula. El angulo total de torsin del rbol, o sea el angulo atraves del cual el extremo A rota con respecto al extremo B se obtiene sumando algebraicamente los angulos de torsin en cada parte componente. Nota: cuando el rbol esta unido a un soporte fijo el angulo de torsin del rbol es igual al angulo de rotacin de su extremo libre, pero cuando ambos extremos rotan el angulo de torsin del rbol es igual al angulo a travs del cual un extremo del rbol rota con relacin al otro entonces el angulo de torsin es la diferencia entre las rotaciones de un extremo respecto del otro y tendremos.

129

5.5.

ARBOLES ESTTICAMENTE INDETERMINADOS

Cuando los momentos internos no pueden ser determinados solo por la esttica, es decir los momentos de torsion ejercidos sobre el rbol por los apoyos y conexion no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre del arbol completo. Entonces las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con otras relaciones que involucran las deformaciones del arbol y se obtienen mediante un anlisis geomtrico.

5.6.

EJERCICIOS PROPUESTOS

5.6.1. Ejercicios Las flechas circulares macizas A(de aluminio aleado G=4000klb/plg2) y B de acero, estn fijas en un extremo y conectadas por el enlace C segn la figura. El juego en la conexin permite al brazo D girar 0.006 radianes antes de que el ajuste tenga lugar. Se despreciara, la deformacin elstica del enlace y se calculara el mximo torque admisible T, si los esfuerzos cortantes por torsin no exceden de 9klb/plg2 en el aluminio y de 12klb/plg2 en el acero.


130


131

5.6.2. Ejercicio 2 La superficie interior del collar de aluminio y la superficie exterior del eje de acero, no desarrollan rozamiento entre ellas. Tanto el collar como el eje estn fijos a la pared en D.

El pasador C de 0.5 pulgadas de diametro llena completamente un taladro hecho segn dimetro del collar y del eje. La determinacin por esfuerzo cortante en el pasador y la deformacion entre el pasador y el eje pueden ser despreciables. Calcula el mximo torqe T que puede aplicarse al eje de acero sin exceder al esfuerzo cortante medio de 3200Lb/pulg2 en la seccin transversal del pasador E, en la intercara entre el eje y el collar.


132


5.6.3. Ejercicio 3 Entre A y C la barra es maciza de 5cm de dimetro, entre C y E es hueca con dimetro interior de 2.5cm. determinar el esfuerzo cortante mximo.

133


134


5.6.4. Ejercicios 4

La flecha de 4 pulg de dimetro que se muestra en la figura Muesta compuesta por secciones de laton (G=5000 kb/pulg2) y acero rigidamente conectadas. Determine el mximo por admisible que puede ser aplicado de manera que se muestra, si los esfuerzos cortantes en el laton y en el acero no han de ecceder de 7500 lbs/pulg2 y 10.000 lb/pulg2 respectivamente, y que la distancia AC que recorre el indicador de 10 pulgadas, no sea superior a 0.72 pulg.

135


5.6.5. Ejercicio 5

Usando T admisible = 8klb/pulg2 hallar para c/u de las barras de aluminio mostradas el momento torsor mximo T que puede aplicarse y el angulo de Torsion correspondiente use G=4*106 lb/pulg2.

136


137

5.6.6. Ejercicio 6 Un motor de 100 C.V. mueve un eje de transmisin por medio del engranaje A a una velocidad de 25 RPM.

Engranajes cnicos en B y C mueven unas mezcladoras de cemento. si la potencia que requiere la mezcladora impulsable en B es de 25 C.V. y la de C es de 75 C.V. a) Qu dimetro de eje se requerirn? El esfuerzo cortante permisible en la barra es de 400 y tal eje cuenta con un nmero suficiente de cojinetes para evitar la flexin si G = 8.4*105 Kgf/cm2. b)Cul ser el ngulo de torsin bajo carga en la seccin izquierda del eje de transmisin?. Expresar el valor del ngulo en grados.


138


5.6.7. Ejercicio 7

Para el eje mostrado en la figuralos tramos AB y CD son macizos de dimetro 4 cm y el tramoBC es hueco de diametro interior 2 cm. EL material es de acero de permisible igual a 1200Kgf/cm2. Determinar: a)El mximo torque distribuido t que se puede aplicar. b)El ngulo de torsin en el punto medio del eje T = 50t G = 0,8 x 106 Kgf/cm2

139


140


5.7.

Ejercicios propuestos

5.7.1. Ejercicio 1 Para el sistema mostrado se usan rboles de acero del mismo dimetro para AB y CD adems se especifica que m ximo 60 MPa y que el ngulo de rotacin D del rbol CD no exceda de 1,5. Use G = 80 GPa y considerando nicamente esfuerzo debido a la torsin, hallar:

El dimetro mnimo que puede utilizarse en el rbol.

141

5.7.2. Ejercicio 2 Se aplica un momento de torsin T= 300 Nm a cada una de las barras de aluminio mostradas, sabiendo que el admisible es igual a 60MPa. Hallar la dimensin d

requerida para cada barra.


5.7.3. Ejercicio 3 Para el eje de acero mostrado, las cargas torsionadas aplicadas, producen un esfuerzo cortante mximo de 12 600Lb/pulg y un ngulo de torsin en el extremo libre de 0,015 radianes. Determine los valores de T1 y T2. G=11,5 x 10-6 Lb/pulg2.

5.7.4. Ejercicio 4 Determinar el dimetro del eje y B si T= 200 N m t=50 Nm/m

el cortante permisible= 10MPa G= 80 GPa142


5.7.5. Ejercicio 5 Para el eje y la barra de acero que se indican en la figura permisible es igual a 2000 Kgf/cm2. E= 2 x 106 Kgf/cm2. G=0,4E. Determinar Tmax y c.

143


144


145

Bibliografa


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Mecnica de materialesAutor ROBERT W AUTOR FITZGERALD, Robert W. Fitzgerald Publicado por Fondo Educativo Interamericano, 1984 ISBN 9685001065, 9789685001069

Mecnica de materialesAutor Madhukar Vable Publicado por Oxford University Press, 2003 ISBN 970613770X, 9789706137708

Mecnica de Materiales Ing. lvaro Vallejo P.

60250080 libro mecanica de materiales prof vallejo

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