6. proyecciones estereograficas 2014

Proyecciones estereogrficas

Ing. Norberto D. ique G.

Ingeniera Industrial UNT

Este mtodo de proyeccin se usa con el objeto de: Representar direcciones y planos especficos dentro de un cristal, as como las

correspondientes relaciones angulares entre ellos. Realizar una proyeccin del cristal sobre un plano geomtrico, de tal manera

que se conserven las relaciones angulares. Proporcionar un mapa de planos y direcciones. Visualizar y discutir las relaciones entre planos y direcciones en un cristal. Anlisis de patrones de difraccin de Rayos X y de haces de electrones. Representa esquemticamente la simetra de una red. Determinar ngulos entre planos y direcciones de un cristal.

IntroduccinLa proyeccin estereogrfica ha sido ampliamente usada en el trabajo cristalogrficopor muchos aos y adems ha sido escrita en numerosos textos que conciernendifraccin, cristalografa y mineraloga.Recientemente este mtodo ha ido incrementando su empleo en simultneo con lasinvestigaciones realizadas en microscopia electrnica de barrido (SEM) y detransmisin (TEM), donde algunas de sus aplicaciones son de alta especializacin.Algunas aplicaciones de la proyeccin estereogrfica estn generalmenterelacionadas con las investigaciones estructurales (determinacin de laestructura).

PROYECCIN ESTEREOGRFICA

La proyeccin estereogrfica proyecta el cristal sobre un plano geomtricoconservando las relaciones angulares. Es una herramienta muy til en el campode la metalurgia debido a que permite, como se menciono anteriormente:

1. Visualizar y discutir las relaciones entre los planos y las direcciones (familia) enun cristal.

2. Ayuda en el anlisis de rayos X y patrones de difraccin de electrones.3. Permite representar esquemticamente la simetra de una red, etc.

El propsito de esta seccin es concentrarse sobre la correspondencia geomtricaentre planos y direcciones cristalogrficas y sus proyecciones estereogrficas.

La proyeccin estereogrfica puede ser realizada para cualquier tipo de estructuracristalina, pero para una mejor explicacin slo nos centraremos en la estructuracbica debido a su mayor simplicidad.

Los puntos A y B se ven proyectados a diferentes puntos sobre un plano, dependiendodel foco de proyeccin.

Gnomnica:cuando el focode proyeccin seencuentra en elcentro de laesfera

Ortogrfica:El foco de proyeccinse encuentra en elinfinito.

Estereogrfica:Si el foco de proyeccinse encuentra en la basede la esfera.

Cubos referenciales en los que se aprecian las tres familias de planoscorrespondientes a cristales cbicos

El plano y su direccin perpendicular a l, tienen los mismos ndices. Por lo tanto,en la proyeccin estereogrfica un plano puede ser identificado por su lainterseccin en la esfera de referencia (polo)

hkl hkl

Mg. Ing.Norberto D. ique G.

Relacin entre la proyeccinestereogrfica y esfrica para

un cristal cbico

Proyeccin de planos y polos

Mg. Ing. Norberto D. ique G.

Proyeccin estereogrfica cubica 001

Mg. Ing.Norberto D. ique G.

Proyeccinestereogrfica

cubica 100

Mg. Ing. Norberto D. ique G.

Los ngulos pueden medirse contando los grados a lo largo de una latitud o a lo largo de una longitud,pero existe una diferencia.La figura de la derecha muestra una figura tridimensional del cuadrante derecho superior con los trespuntos localizados. En la figura de la izquierda y con la red de Wulff se tiene un ngulo de 60 entre A yB (latitud), en la figura de la derecha este es . Notese que si A y B son polos este no es el ngulo entrelos planos representados por los polos, este ngulo seria que es el ngulo entre las normales de losplanos el cual se debe originar en el centro de la esfera. A diferencia del ngulo entre B y C el cual es de30 el cual corresponde a .Por lo tanto las mediciones de ngulos se realizan en una longitud o crculos mayores o en todo casoen el ecuador.

PROYECCIN ESTEREOGRFICAProyeccin estereogrfica 001El polo de la proyeccin va al centro

011

111101


Proyeccin estereogrfica 100

011

111

101


Red de Wulff Longitudescrculos mximos

Latitudes(crculos menores)


Construccin de una proyeccin estereogrfica

Red de Wulff + un papel transparente

45o



45o

En el interior de esta figura se hantrazado 4 rectas y 4 curvas. Todosellos constituyen las proyecciones decrculos que pasan por el centro de laesfera de referencia, llamados crculosmximos.

De esta manera la proyeccin quedadividida en cuatro cuadrantes a travsde un eje N-S (001) (001) y un ejeO-E, (010) (010).

--


La interseccin de un plano con la esfera de referencia determina uncrculo mximo


El polo de un plano debe estar a 90 de todas las direcciones quecontenga el plano

La proyeccin del plano (010), seencuentra a 90 desde el polo (010) yes la recta vertical que contiene a lospolos (100), (101) (001), (101) y (100).

La proyeccin del plano (110), seencuentra a 90 desde el polo (110) ysu proyeccin es la recta que contienea los polos (110), (111), (001), (111) y(110).

La proyeccin del plano (011), seencuentra a 90 desde el polo (011) ysu proyeccin es la recta que contienea los polos (100), (111), (011), (111)y(100).

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PROYECCIN ESTEREOGRFICADe manera analtica, para determinar el plano de un polo conocido, se procede allevar el polo de la proyeccin hasta el ecuador de la red; luego se mide 90 sobreste, y la longitud que pase por ese punto es el plano buscado. El procedimientoinverso permite hallar el polo de un plano especfico.


Medicin de ngulos entre polosEn el sistema cbico se cumple que elngulo que forma dos planos es el mismoque forman sus polos.

Para medir el ngulo entre los planosrepresentados por los polos A y B:

1. Primero se identifica los polos A y Busando una hoja de papel translcidosobre la red de Wulff.


Medicin de ngulos entre polosEn el sistema cbico se cumple que elngulo que forma dos planos es el mismoque forman sus polos.

Para medir el ngulo entre los planosrepresentados por los polos A y B:

1. Primero se identifica los polos A y Busando una hoja de papel translcidosobre la red de Wulff.

2. Luego se coloca un alfiler en el origen dela red de Wulff y se gira el papeltranslcido sobre la red de Wulff hastaque ambos puntos caigan sobre algunalnea longitudinal. El ngulo verdadero,, puede entonces medirse a lo largo deesa longitud.

PROYECCIN ESTEREOGRFICAZona de planos

Se llama zona de planos, al conjunto de planosque tienen una lnea de interseccin comn. A lalnea de interseccin se le denomina eje dezona.

Los polos de estos singulares planos soncoplanares, es decir, estn sobre un plano(uvw). Por lo tanto, el eje de interseccin destos planos o eje de zona, estar dado por elpolo [uvw].

El eje de zona es, perpendicular a los polos delos planos pertenecientes a la zona. As secumple:

h.u + k.v + l.w = 0


Ejemplo, en la proyeccinestereogrfica (001):

Si el eje de zona es [010], losplanos de la zona seran:

(100), (101), (001), (101) y(100)._

_


Segundo ejemplo: Si el eje dezona es [111], los planosmostrados en la figurapertenecen a la zona deplanos.


PROYECCIN ESTEREOGRFICAUbicacin de un polo [hkl] en la proyeccin estereogrfica (001)

Procedimiento, ejemplo polo (211):

1. Determinar el cuadrante al cualpertenece el polo. El polo (211),estar en el cuadrante donde h, k y lson positivos.



2. Determinar que planos contiene a ladireccin buscada. Para esto,consideramos al polo buscado(uvw)=(211) como un eje de zona, ydeterminamos los planos (hkl) quecontiene a este eje de zona segn:

0l. wkvh. u

11 )1(==>1=l1,=k-1,=h1 )1( 0==>1=l1,-=k0,=h

0lk2h0l. wkvh.u

Tanto el plano (011) como el plano (111) contiene al polo (211), y por lo tanto, lainterseccin de ambos planos, determinan la ubicacin del polo (211).

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3. Para verificar su posicin se mide elngulo existente entre el polo (211)obtenido, y otros dos polosconocidos, tales como: (101) y (111),en forma grfica y se compara con elobtenido en forma analtica.

cos63112

cos]211[.]111[]211].[111[

47.19184cos.arc

30

cos6212cos]211[.]101[]211].[101[

PROYECCIN ESTEREOGRFICAUbicacin de un polo [231] en la proyeccin estereogrfica 100

1. El polo pertenece al cuadrantedonde, h y l son positivos y k esnegativo.

2. El polo se encuentra en el plano(111), debido a que cumple:

3. Para establecer la ubicacin del polo[231], se determina el ngulo queforma este polo con un polo conocidoque se encuentre en el plano (111),tal como el polo [110].

_

0)1(x1)3(x1)2(x10l wkvhu

-

-

19.1285arc.coscos21432

cos011.132011.132

Se mide 19.1, a partir del polo [110] y en lalongitud que corresponde al plano (111), yla ubicacin del polo queda determinado

-

PROYECCIN ESTEREOGRFICAUbicacin de un polo [302] en la proyeccin estereogrfica 100

1. El polo [302] esta en el cuadrantedonde h k l son positivos.

2. El polo [302] se encuentra en el plano(010), debido a:

3. Para establecer la ubicacin del polo[302], se determina el ngulo queforma este polo con el polo [100] quese encuentre en el plano (010).

0)2(x0)0(x1)3(x00l wkvhu

Se mide 33.7, a partir del polo [100] y en lalongitud que corresponde al plano (010), yla ubicacin del polo queda determinado

069.3313

3cos.arccos133

cos302.100302.100

PROYECCIN ESTEREOGRFICAMedicin del ngulo entre una direccin y un plano

Ejemplo: Determinar el ngulo formadopor la direccin [011] y el plano (111), enuna proyeccin estereogrfica (001).

Procedimiento:1. Determinar el polo [011] de la direccin

evaluada.2. Determinar la longitud del plano (111)

con su respectivo polo.

El ngulo entre un plano y una direccines el existente entre la misma direccin ysu proyeccin en el plano.

PROYECCIN ESTEREOGRFICAMedicin del ngulo entre una direccin y un plano

3. Trazar la longitud que une el polo delplano evaluado (111) con el polo de ladireccin evaluada [011].

4. La interseccin de las dos longitudesobtenidas en los pasos (2)y(3),determinan la proyeccin de ladireccin sobre el plano.

5. Por ltimo, se determina el ngulo entreel polo de la direccin evaluada [011],y el polo correspondiente a laproyeccin de esta direccin sobre elplano, obtenido en el paso (4).

BibliografaBIBLIOGRAFIA(1) Estructuras y propiedades de los materiales (2000). Nilthon Zavaleta

Gutirrez. 48-98 pp.(2) Curso: Structure & Prop of Metals. U. Cambrigde. Internet.

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