6 factorizacion

MEZCLAS

FACTORIZACINDEFINICIN

Es el proceso que consiste en transformar un polinomio racional entero en una multiplicacin de 2 o ms polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamados factores y si estos no se pueden descomponer en ms factores se les denomina factores primos.

Ejemplo:

P(x) ( x2 + 3x -18

Factorizando: P(x) ( (x - 3)(x + 6)

Ejemplo:

Q(x; y) ( x6y5 x4y7

Factor comn:

Q(x, y) ( x4y5 (x2 y2)

Q(x, y) ( x4y5 (x + y)(x y)El nmero de factores primor es 4, los cuales son:

x, y; (x + y); (x - y)

MTODOS DE FACTORIZACIN

Para factorizar un polinomio se estudiarn los siguientes casos:

I. Mtodos del Factor Comn y/o Agrupacin e IdentidadesEl factor comn es aquel factor que se repite en todos los trminos de una expresin, para factorizar se extrae el factor comn elevado a su menor exponente.Ejemplo:

Factorizar:P(x; y) ( x9y6 x7y8Factor comn:P(x; y) ( x7y6(x2 - y2)

diferencia de

cuadrados

P(x; y) ( x7y6(x + y)(x - y)Ejemplo:

Factorizar: P(x; y) ( 3x - 6xy + 4x 8y;

Como se observa, no hay factor comn en los trminos, entonces se tendr que agripar (en este caso de 2 en 2).

P(x; y) ( 3x - 6xy + 4x - 8yP(x; y) ( 3x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Factor comn(x - 2y)

P(x; y) ( (x - 2y) (3x + 4)

Para el mtodo de las identidades se debe tener en cuenta los productos notables

Ejemplo:

Factorizar: P(x) ( x5 25x + 8x - 200

Agrupando convenientemente:

P(x) ( x5 25x + 8x - 200

P(x) ( x(x - 25) + 8(x - 25)Factor comn (x - 25):

P(x) ( (x - 25) ( + 8)

diferencia desuma de

cuadradoscubos

Desarrollando los productos notables:

P(x) ( (x + 5) (x - 5) (x + 2) (x - 2x + 4)II. Mtodo del Aspa SimpleSe emplea para factorizar trinomios y para ello debemos indicar lo siguiente: Se adecuan los trinomios a una de las formas:

ax2m + bxm + cax2m + bxmyn + cy2yluego se descompone convenientemente los trminos extremos incluyendo signos: Se efecta el producto en aspa y se suman los resultados, si ste coincide con el trmino central de la expresin incluyendo el signo, finalmente se concluye que los factores sern las sumas horizontales de los trminos resultantes de las descomposiciones.Ejemplo:

1. Factorizar

P(x) (6x + 19x + 10

3x+2+4x

2x+5+15x

+19x

( P(x) ( (3x + 2) (2x + 5)2. Factorizar

P(x;y) (12x + 17xy + 6y

4x+3y+4x

3x+2y+15x

+19x

( P(x;y) ( (4x + 3y) (3x + 2y)

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Factorizar:

P(x; y) = x4y3 + x2y5

Seale un factor primo:

a) x + 1 b) y + 2 c) x + y

d) x2 + y2e) x - y

2. Factorizar:

F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy

El nmero de factores primos es:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5e) 6

3. Factorizar:F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2El factor primo de 2do grado es:

a) xy + 1 b) xy + y2 c) x2 + y2d) x2 + y2e) x2 + xy

4. Factorizar: F(x; y) = x4y - x2y3 x3y2 + xy4

El nmero de factores primos binomios es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4e) 5

5. Dado el polinomio factorizado dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:P(m) = 4(x 5)(m + 2)3 (x + m)2( ) Tiene 4 factores primos

( ) Tiene 2 factores primos

( ) x 5 es el factor primo de menor trmino independiente

a) FFF b) VVV c) VFV

d) FVFe) VFF

6. Al factorizar los polinomios:

P(x; y) = x6y7 - 2x5y8 + x4y9

Indicar verdadero o falso las siguientes proposiciones:( ) P(x, y) posee 3 factores primos

( ) (x + y) es factor de P(x; y)

( ) xy no es factor de P(x; y)

a) VFV b) VVV c) VFF

d) FVVe) FFV

7. Indicar un factor de:

a3 + 2a2b + 4ab2 + 8b3a) a2 + b2 b) a2 + 2b2 c) a + b

d) a + 2b e) a + 4b

8. Luego de factorizar:

P (m) = m4 m2 - 4m2 4

Proporcione la suma de su factores primos:

a) 2(m + 2) b) m2 + 4 c) 2m2 + 2

d) 2m2 e) 2m

9. Calcular un factor de :

a) a + b + 1 b) b + 1 c) b 1

d) a 1 e) a + b

10. Factorizar: e indicar un factor:

a) a + b b) b + 2 c) 2b a

d) a-b e) b - 2

11. Al factorizar:

EMBED Equation.3 se obtiene:

a) (x + y) (x y)3b) (x + y)2(x y)

c) (x2 + y2) (x y)d) xy + 1)2 ( x y)

e) (x + y) (xy - 1)

12. Factorizar m2 4p2 + 4mn + 4n2y calcular la suma de los factores primos obtenidos

a) 2m + 4n b) m + n + 2p c) m + n

d) 2m + n e) m + 2n

13. Si un factor de : m3 + 3m2 n + 6mn2 + 18n3 Tiene la forma: am + bn

Calcular:

a) b) c) 2

d) e) 1

14. Factorizar: F(m; x)=(1+mx)2 e indicar la suma de los factores primos obtenidos

a) 2(m + x) b) 2(1 + x) c) 4

d) 2 e) 0

15. Factorizar:

P(a; b; c) = a2 + a b2 + b c2 c + 2bc

Y dar un factor primo:a) a + b + c b) a - b + c + 1 c) a - b - cd) a - b - c + 1 e) a + c + b - 1

16. Factorizar: P (x; y) = x2 - 4xy + 4y2 - 3x + 6y y proporcione la diferencia de los factores obtenidos

a) 1 b) 0 c) 3d) x e) 217. Luego de factorizar:P(x) ( 12x2 - 7x - 2

Indicar la suma de sus factores primos

a) 7x- 3b) x- 3 c) x + 7d) 6x- 3e) 2x + 5

18. Indicar uno de los factores de:P(a; b) ( 4a5b3- 37a3b5 + 9ab7a) 2a + 3bb) a- 2b c) a + 9b d) 2a- be) 4a + 3b19. Factorizar: P(x) ( (x2+ 7x + 5)2 + 3 (x2 + 21x + 5)E indicar un factor

a) x- 2b) x + 3 c) x + 5d) x- 1e)x2 + 7x + 5

20. Calcular m + n + p + q si al factorizar el siguiente polinomio por aspa simple se obtiene (m; n; p; q; (Z)P(x) ( 6xm- nx3- (3 + q)

px3

2

2x3

qa) 2b) 3 c) 7d) 5e) 6TAREA1. El siguiente polinomio factorizado en Z:

P(x, y) ( 3(x- y)2 (x2 + y) (x + y)

I. P(x; y) posee 4 factores primos II. (x- y) es un factor primo repetido de P(x; y)III. x2- y2 es un factor de P(x, y)

es (son) verdadera (s):

a) Todasb) Slo IIc) I y II

d) II y IIIe) Slo III

2. Factorizar.M(a; b; c) ( a2 + ab + ac + a3 + a2b +a2c

Indicar uno de sus factores primos.

a) a + cb) a + 1 c) b + c

d) 2e) 2 + b + c

3. Factorizar: ab(x2 + y2) + xy (a2 + b2)

e indicar un factor primo obtenido.

a) x +y b) a + b c) ax + yd) ay + bxe) x +by 4. Un factor de: R(x; y) = x2- y2 + 5x + 5ya) x + y + 5 b) x- y + 5 c) x- y

d) x + y + 1e) x + y-5

5. Luego de factorizar: 3xy + 9ax- ay- 32e indicar un factor primo obtenido

a) y- 3b) y + 3c) x + y

d) x- ye) x- a6. Hallar el nmero de factores primos de:P(x: y: z) ( 8x2y5z4 + 12xy10z4 + 6x2z5 + 9xy5z5a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 7

7. Factorizar:P(a; b) ( a2b2 + 2a2b + ab2 + 2abe indicar un factora) a + 1b) a + 2c) ab + 1

d) ab + 2e) a- 1

8. factorizar: P(x) ( 8x2- 2x- 3e indicar un factor:

a) 2x- 1 b) 3x- 4 c) 4x- 3

d) 8x- 1e) 8x- 1

9. Factorizar:

F(x; y) ( 12x2 + 6y2 + 17xy

e indicar el valor numrico de uno de sus factores primos para x =2; y = 3

a) 12 b) 15 c) 14

d) 17e) A y D

10. Si un factor de:P(x) ( ( x- 1)4 + (x- 1)2- 6

Adopta la forma: (axc + bx + 4)

Calcular:

a) 1b) -1/2c) 1/2d) -1e) 0

MTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL DIVISIONES SINMICASMTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIALEste mtodo se emplea para factorizar polinomios de cuarto grado de la forma:

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

u otra expresin transformable a esta. Para factorizar indicaremos lo siguiente: Se adecua al polinomio a la forma general; si faltase uno o ms trminos se complementar con ceros Se descompone convenientemente el ltimo (E) y el primer (Ax4) trmino, luego se efecta el producto en aspa y se calcula la suma de dichos producto en aspa

El resultado anterior se compara con el trmino central (Cx2) y la expresin que sobre o falte se descompondr debajo del trmino central.

Luego la expresin descompuesta realizar un aspa simple hacia el lado izquierdo con (ax4) y hacia el lado derecho con (E) verificando (Bx3 y Dx); concluyendo que los factores sern las sumas horizontales del os trminos resultantes de las descomposiciones. Ejemplo: factorizar:

P(x) ( 2x4 + 5x3 + 10x2 + 9x + 6

2x2 3x 3 3x2

| x2 x 2 4x2

7x2 + 3x2

( P(x) ( (2x2 + 3x + 3) (x2 + x + 2)MTODOS DE LOS DIVISORES BINMICOS Se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado de admitan por lo menos un factor binomio de la forma (ax + b) o transformable a ella.

Cero de un polinomio: Es el valor o valores de la variable que anulan a un polinomio.

Ejemplo:

Sea:

P(x) ( x2- 13x + 40

Para x = 5

P(5) = (5)2- 13(5) + 40

( P(5) = 0 ( 5 es un cero de P(x)

Para factorizar indicaremos lo siguiente:

1. Determinaremos los posibles ceros de un polinomio dividendo los divisores del trmino independiente entre los divisores del

Coeficiente principal (incluir los negativos)

2. Se evala con el posible cero utilizando la regla de divisin por Ruffini, si dicha divisin resulta exacta entonces hemos hallado un factor del polinomio y el cociente ser el otro factor.

Ejemplo:

Factorizar:

P(x) ( x3- 6x2 + 3x +10

i) x = ( 1; (2; (5; (10 (posibles ceros)

ii) 1 -6 3 10

X =-1 -1 7-10

1 -7 10 x2 x T.l.

iii) (x + 1) es factor y(x2- 7x + 10)es el otro factor pero:

x2 - 7x + 10x

x -5

x -2

(x- 5) (x- 2)

( P(x) ( (x + 1) (x- 5) (x- 2)

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Factorizar:

8x2 -2x -3xe indicar un factor

a) 2x + 1 b) 3x - 4 c) 4x - 3d) 8x + 1e) 8x - 32. Factorizar:m2 (4m2 -5) + 1

e indicar un factor:

a) m + 2b) m - 2 c) 2m + 1

d) m + 5e) m2 + 1

3. Factorizar:

12(x + y)2 + 7 (x + y) 12

se obtiene que:

a) (4x - 4y - 3) (3x - 3y + 4)b) (4x + 4y - 3) (3x - 3y - 4)c) (4x - 4y + 3) (3x + y - 4)

d) (3x + 4y +3) (4x +3y - 4) e) (6x + y + 2) (2x - y - 6)4. Factorizar:(x +1)4 + (x 1)2 6

se obtiene un factor de la forma:

(axb + cx + d)) , d es par

hallar: a + b + c + d

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4e) 5

5. Factorizar:

P(x;y)= 4x4y 2x3y2 20x2y3

se obtiene un factor primo de multiplicidad 2. Cul es?:

a) 2x +5y b) x + 2y c) x 2y

d) xe) y

6. Al factorizar:M(x;y)= 2x4 - x2 1

El factor de menor grado obtenido es:

a) 2x2 + 1b) x +1c) x 1

d) 2x 1e) hay dos correctas

7. Factorizar:

F(x)= x4 - 4x3 + 11x2 14x + 10

y calcular el mayor trmino independiente de un factor primo oprimo obtenido

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 58. Factorizar:

P(x)= x4 + 6x3 + 7x2 +1

Y calcular la suma d coeficientes de un factor primo obtenido

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5e) 7

9. Factorizar:

P(x)= 2x2 + x3 16x2 +8x 1

e indicar un factor

a) 2x2 -5x - 1 b) x2 + 3x -1 c) x2 +2x - 1

d) 2x2 + x -1e) x2 + 5x +1

10. Factorizar:

N(x)= 2x4 - 3x3 - -2x2 -x + 6

E indique un factor

a) 2x2 -x + 1b) 2x2 x +1c) x2 +x + 1

d) x2 - x + 3e) x3 - x +1

11. Factorizar:2x4 + 3x3 + 6x2 +3x +2 Y seale el valor numrico para un factor primo para x=2

a) 2 b) 8c) 10

d) 12e) 14

12. Factorizar:10x4 x3 + 8x2 + 3

se deduce que la suma de coeficientes de in facto es:a) Mayor que 5b) Igual a 7c) Mltiplo de 5

d) Mltiplo de 3 e) Menor que 4

13. Luego de factorizar:x4 + 5x3+ 10x2 +10x + 4el trmino de un factor primo

a) x b) 2x c) 4x

d) 5x e) -x

14. Factorizar:

x3 -3x2 +4x - 2

y calcular un factor

a) x + 1b) x - 1c) x2 +x + 1

d) x2 + 2x -2e) x +2

15. Factorizar:n3 - 4n2 7n + 10Indique la suma de los factores primos

a) 3n 1b) 3n - 2c) 3n - 3

d) 3n - 4e) 3n - 5

16. Seale uno de los factores de: a3 - 2a2 + 2a 1a) a2 + a + 1b) a2 - a + 1c) a2 - a - 1

d) a2 + a + 2e) a2 - a + 217. Factorizar:m3 + 3m2 18m 40 e indicar la suma de coeficientes de un factor primo obtenidoa) 3 b) 4 c) 5

d) 8e) 7

18. Factorizar:

K(x)= x3 + x2 + 2x 4

Y dar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos

a) 3 b) 6 c) 7

d) 8e) 4

19. Si al factorizar el polinomio:Q(x) = x3 + ax2 + bx + c

resulta Q (x)= (x+2)(x-2)(x+3), de un acuerdo de ello, hallar el valor de: ab -ca) 1 b) 2 c) -2

d) 0e) -1

20. Si al factorizar el polinomio:

P(x) = x3 - 4x2 + x + a

Uno de sus factores resulta (x +1); indicar la suma de sus otros factores primos

a) 2x +5 b) 2x + 5 c) 2x + 3d) 2x 3e) 2x + 7

TAREA


F(x) =25x4- 109x2 + 36

e indicar cuantos factores primo9s se obtienen:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


P(x; y) = 3x2y2- 11xy + 8

proporcione el coeficiente principal de uno de los factores primos obtenidos

a) -8 b) -1 c) 0

d) 1e) Hay dos correctas


F(x) = 4x2- 4x- 15

proporcione la suma de los trminos independientes de los factores primos obtenidos a) -2 b) -1 c) 2

d) 8e) 0

4. Luego de factorizar: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1Se obtiene: (axb + cx + d)e

Calcular: a + b + c + d + e

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

5. Factorizar. x4- 4x3 + 11x2- 14x + 10

e indicar un factor:

a) x- 5b) x + 2 c) x2- 2x + 3

d) x2-2x + 2e) x2 + x + 1

6. Factorizar: A(x) = 2x4 + 3x2- x + 3 e indicar la suma de coeficientes de un factora) 0b) 2 c) 3

d) 4e) 5

7. Calcule la raz cuadrada de la suma de coeficientes de un factor: x3 + 5x2- 4x- 2

a) 1 b) 2 c) 3

d) e)

8. Luego de factorizar: n3 + 4n2- 17n- 60 indique un factor:

a) n + 4b) n- 3 c) n + 6

d) n + 5e) n + 7

9. Luego de factorizar: a4- 4a + 3, un factor primo es: a) a + 1b) a + 2 c) a + 3

d) a2 + 1e) a2 + 2a + 3

10. Dado: F(x) ( x3- 3 + 1, indicar un factor primo al factorizar el polinomio:

P(x) ( F(x + 1)- 7

a) x + 1 b) x2 + 4x + 6 c) x2 + 2x + 3

d) x- 2 e) x2 + 1

_1137886144.unknown

_1137888373.unknown

_1137888571.unknown

_1137926927.unknown

_1137926956.unknown

_1137907480.unknown

_1137888432.unknown

_1137888216.unknown

_1137884982.unknown

_1137886088.unknown

_1137884531.unknown

6 factorizacion

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