5matematicasfinancieraparadocentenuevo-120411210340-phpapp01

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIN PBLICA

5

1. CONCEPTOS DE MATEMTICAS FINANCIERAS

Porcentaje

Ganancias y prdidas en transacciones comerciales

Valor del dinero en el tiempo

Inters

Tasa de inters

Equivalencia

Flujo de caja

2. INTERS SIMPLE

Clculo de inters

Inters comercial y real

Calculo del nmero de das entre fechas

Valor futuro a inters simple

Desventajas del inters simple

Intereses moratorios

Valor presente e inters simple

Clculo de la tasa de inters simple

Clculo del tiempo de negociacin

Operaciones de descuento

3. INTERS COMPUESTO

Valor futuro e inters compuesto

Definicin de inters compuesto

Caractersticas del inters compuesto

Valor futuro con inters compuesto

Valor presente con inters compuesto

Tasa de inters compuesta

Tiempo de negociacin

Valor futuro con tasa variable

Valor presente con tasa variable

4. TASAS DE INTERS

Tasa de inters nominal Tasa efectiva peridica Relacin entre tasas de inters Tasas equivalentes De tasa efectiva a tasa efectiva

De tasa nominal a tasa efectiva De tasa efectiva a tasa nominal

De tasa nominal a nominal

Tasas de inters anticipadas

Equivalencias entre tasas anticipadas y vencidas

5. ANUALIDADES O SERIES DE TIEMPO

Clases de anualidades

Valor presente anualidad vencida

Valor de la cuota en funcin del valor presente

Valor futuro de una anualidad vencida

Valor futuro de una anualidad vencida con tasa variable

Valor de la cuota en funcin del valor futuro

Clculo del tiempo de negociacin

Anualidad con inters global

Clculo del saldo insoluto

Anualidades anticipadas

6. AMORTIZACIONES

Sistemas de amortizacin.

Clases de amortizaciones.

Sistema de amortizacin con pago nico del capital al final del plazo

Sistema de cuota fija

Sistema de cuota fija con cuotas extraordinarias

Sistema de cuota fija con periodo de gracia.

Sistema de abono constante a capital con intereses vencidos

Sistema de abono constante a capital con intereses anticipados

Sistema de cuota fija con inters global

Sistemas de amortizacin de crditos de vivienda

BIBLIOGRAFIA

La tasa de inters es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como para el que lo tiene porque cobra un precio por prestrselo al que lo requiere. El dinero es una mercanca que tiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interaccin entre la oferta y la demanda. La tasa de inters est presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crdito, o se hace un prstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupacin diaria de cualquier persona o empresa, porque mide el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de inters est afectado por diversas variables, a saber: la inflacin, la devaluacin, la oferta y la demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado el costo del dinero.

TASA DE INTERES NOMINALEs una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de inters que se nos cobra en una operacin financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el nmero de veces o periodos que el inters se convierte en capital se denomina capitalizacin y se simboliza con (m)

Ejemplos de tasas de inters nominal.

INTERES NOMINALLECTURACAPITALIZACION

J =15% NMse lee 15% nominal mensualdonde el inters se convierte 12 veces en capital (m=12)





J =24% NTse lee 34% nominal trimestraldonde el inters se convierte 4 veces en capital (m=4)

J =24% NBse lee 24% nominal bimestraldonde el inters se convierte 6 veces en capital (m=6)

J =30% NDse lee 30% nominal diariadonde el inters se convierte 360 veces en capital (m=360)

J =12% NSse lee 12% nominal semestraldonde el inters se convierte 2 veces en capital (m=2)

TASA EFECTIVA PERIODICAEs aquella tasa que en realidad se aplica a un capital en un periodo de tiempo que puede ser: un da, una semana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un ao.

Ejemplos de tasa de inters peridica efectiva

TASA NOMINAL MENSUALLECTURATASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL

1J =15% NMla tasa efectiva mensual correspondiente seri = J/m = 15%/12 = 1.25%





TALLER: Hallar la tasa efectiva peridica ( i ) para:

TASA NOMINAL MENSUALLECTURATASA PERIODICA EFECTIVA MENSUAL

1J =12% NS

2J =24% NT

3J =24% NB

4J =30% ND

RELACION ENTRE TASAS DE INTERESA diferencia de las tasas nominales, las tasas peridicas no se fraccionan (no se dividen entre el nmero de perodos), ni se pueden obtener multiplicando la tasa efectiva peridica de menor perodo por el nmero de perodos. La tasa efectiva peridica resulta de hacer capitalizaciones Real o virtual de los intereses peridicos. La forma de calcular una tasa efectiva peridica equivalente a otra efectiva peridica, corresponde a los casos de equivalencia de intereses, o tasas equivalentes. Para estas equivalencias se utilizar los siguientes smbolos:

a) TEA = tasa efectiva anual

b) TES = tasa efectiva semestral

c) TET = tasa efectiva trimestral

d) TEB = tasa efectiva bimensual

e) TEM = tasa efectiva mensual

f) TED = tasa efectiva diaria

TASAS EQUIVALENTESDos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia a que ambas capitalizan en perodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en el sistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes:

a) De tasa efectiva a tasa efectiva

b) De tasa nominal a tasa efectiva

c) De tasa efectiva a tasa nominal

d) De tasa nominal a tasa nominal

1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA

En este caso se pueden presentar dos alternativas: tasa efectiva de menor a una tasa efectiva mayor o tasa efectiva mayor a tasa efectiva menor.

Donde

n. = nmeros de periodos de la nueva capitalizacin

m = nmeros de capitalizaciones dadasi2 = tasa efectiva dadai1. = ? nueva tasa efectiva

Ejemplo 1. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA)

n = 12 nuevas capitalizaciones en un ao

m = 1 capitalizacin dada en un ao

TEA =i2 = 15% = 0.15

i1= ? nueva tasa efectiva Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:TEM = = = 1.011714917 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensualEjemplo 2. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectiva anual (TEA)

n = 1 nuevo nmero de capitalizaciones en un ao

m = 12 nmero capitalizaciones dadas por ao

TEM = i2 = 2,5% = 0.025

i1. =? nueva tasa efectivaReemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEA = i1. = = = =1.3449 1 = 0.3449 = 34. 49% efectivo anual.

2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA

Conocida la tasa nominal del crdito se necesita conocer la tasa efectiva peridica equivalente. Esta situacin se presenta con frecuencia en el sector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, por lo general, las tasas de inters de colocacin en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasa efectiva peridica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del crdito.

n. = nmero de periodos de la nueva capitalizacin

m = nmero de capitalizaciones dadas

i. = nueva tasa efectiva

Ejemplo 1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual (TEA)

n. = 1 nmero de periodos de la nueva capitalizacin

m = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un ao

j = 36%NM = 0.36

Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEA = = = 0.4258 = 42.58 efectivo anual

Ejemplo 2. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectiva bimensual (TEB)

n. = 6 nmero de periodos de la nueva capitalizacin


j = 36%NM = 0.36


TEB = = = 0.0609 = 6.09% efectivo bimensualEjemplo 3. Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)n. = 12 nmero de periodos de la nueva capitalizacin


j = 24%NM = 0.24Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEM. = = = = 0.01961 = 1.96% efectiva trimestral

3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINAL

Conocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza la siguiente expresin.

n. = nmero de capitalizaciones dadas

m = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

j = tasa nominal a buscari = tasa efectiva peridica

Ejemplo 1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral (NT)

n. = 12 nmeros de capitalizaciones dadas en un ao

m = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un ao

j = ? tasa nominal

i = 2.5% tasa efectiva peridica = 0.025


TNT. = = = = 4(0.07689) = 0.3076 = 30.76% nominal trimestral.

3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de inters del 22% capitalizable mensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qu opcin se debe elegir?

4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la tasa efectiva:

a) Mensualb) Bimestral

c) Trimestral

d) Semestral

e) Anual del3. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crdito bancario: 30%MV o 30% TV; realizar su proceso correspondiente.

4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINAL

Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el perodo de capitalizacin de la tasa de inters nominal con que se pact una operacin financiera. Este caso conduce a calcular una tasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresin:

Dnde:

J1 = tasa nominal a buscar

m1. = nuevos periodos de capitalizacin

J2 = tasa nominal dada

m2. = periodos de capitalizacin dados

Ejemplo. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crdito a una tasa del 36% con capitalizacin mensual (36%NM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal pero capitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente.

J1 = ? tasa nominal a buscar

m1. = 4 nuevos periodos de capitalizacin en el ao

J2 = 36% tasa nominal dada = 0.36

m2. = 12 periodos de capitalizacin dados

Reemplazando en la expresin correspondiente se tiene:

=4=4=4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable trimestralmente J1 = 37.09%NTTALLER. 1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV

2 Se tiene una tasa del 30% con capitalizacin mensual (36%NM), se quiere convertir en una nueva tasa nominal capitalizable:

a) Bimestral

b) Trimestralmentec) Semestral

d) Anual

EQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS

Cuando se cobra la tasa de inters en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite utilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayor costo del crdito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o peridicas efectivas. Las tasas nominales son las que se capitalizan ms de una vez en el ao.

1. CONVERSIN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDA.

Consiste en disear una expresin que permita calcular la tasa peridica vencida equivalente a una tasa peridica anticipada. La ecuacin que permite realizar esta operacin es la siguiente:

Donde:

iv = tasa efectiva peridica vencida

ia = tasa efectiva peridica anticipada

Ejemplo. Le ofrecen un prstamo de $ 100.000 que debe pagar despus de un mes pero le cobran intereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000, le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados slo recibir $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensual anticipado.

ia. = 0.05

iv = = = 5.26%

iv = 5.26% mensual

Al hacer la operacin con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibir los $ 100.000 y al finalizar el mes entregara $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital ms $ 5.260 de inters (100.000*0.0526)

2. CONVERSIN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADA.

Ahora estamos ante una situacin contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa peridica vencida se necesita calcular la tasa peridica anticipada equivalente.

Dondeiv = tasa efectiva peridica vencida

ia = tasa efectiva peridica anticipada

Algunos autores simbolizan la tasa peridica vencida como: iv = i

Ejemplo. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exige el pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de inters.

iv = 0.02

ia = = = 0.019607843 = 1.96%

ia = 1.96% anticipados

3. CONVERSIN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA.

Donde

m. = nmero de capitalizaciones dadas en un ao

n. = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

j = tasa nominal dadaiv = ? tasa efectiva vencidaEjemplo 1. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV).

m. = 12 nmero de capitalizaciones dadas en un ao

n = 1 nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

j = 30% TNMA = 0.30

TEAV = ?Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

= = ==0.3550=35.50%,TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencida

Ejemplo 2. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).

m. = 4 nmero de capitalizaciones dadas en un ao

n = 12 nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

j = 32% TNTA = 0.32


====0.02818=2.82%,TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencida4. CONVERSIN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA.

Donde

m1. = nmero de capitalizaciones dadas en un ao

m2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

j1 = tasa nominal dada

j2. = ? tasa nominal a buscarEjemplo. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).

m1. = 6 nmeros de capitalizaciones dadas en un ao

m2 = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un ao

j1 = 24% TNTA = 0.24

j2. = ?


=4==4=0.2525 J2=25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencida

TALLER.

1. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).

2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).

3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).

5. CONVERSIN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA.

Donde

n1. = nmero de capitalizaciones dadas en un ao

n2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

iv= tasa efectiva vencida dada

ia. = ? tasa anticipada a buscar

Ejemplo. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA).

n1. = 1 nmero de capitalizaciones dadas en un ao

n2 = 4 nmero de capitalizaciones nuevas en un ao

TEAV = iv = 35% = 0.35

ia. = ?


= = = 0.07228 = 7.23%

TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipada6. CONVERSIN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA.

Donde

m1. = nmero de capitalizaciones dadas en un ao

m2 = nmero de capitalizaciones nuevas en un ao)

j1 = tasa nominal mes anticipada

j2= ? tasa nominal anticipada a buscar

Ejemplo. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA).

m1. = 12 nmeros de capitalizaciones dadas en un ao

m2 = 4 nmeros de capitalizaciones nuevas en un ao

TNMA =j1 = 24% = 0.24

TNTA = j2= ?


=====02352=23.52%TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipada

DESCUENTO POR PRONTO PAGOLos proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquier empresa. Evidentemente, el crdito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para las empresas comerciales y manufactureras sera vender los productos al contado, ya se ha constituido en una prctica comercial no exigirle a los compradores que paguen por las mercancas al momento de su entrega, sino que se les conceden un corto perodo de aplazamiento para hacerlo.

Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos por medio de fracciones, cuyo numerador seala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempo dentro del cual el comprador tiene la opcin de pagar, para tener derecho al descuento sealado en el numerador.

Ejemplo. Un proveedor factura una mercanca por valor de $ 500.000 con el siguiente plan de descuento por pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por pronto pago.

La expresin 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercanca dentro de los primeros 10 das tendr derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagar a los 30 das el valor neto de la factura.

Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000

Costo a pagar dentro de los 10 primeros das = 500.000 20.000 = $ 480.000

Si no se acoge al descuento pagar a los 30 das el valor neto de la factura $ 500.000

Una amortizacin financiera se define como el proceso por medio del cual se cancela una deuda, junto con sus respectivos intereses, mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En trminos concretos, amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago que amortiza una deuda tiene dos componentes: intereses y abono a capital. Al disear un plan de amortizacin de una deuda se acostumbra construir la tabla de amortizacin, que registra perodo a perodo la forma como se va pagando la deuda. Una tabla de amortizacin debe contener como mnimo 5 columnas: la primera muestra los perodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota peridica, la tercera el valor los intereses, la cuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada perodo.NoCUOTA (A)INTERESES ( I )ABONO A CAPITAL (A I)SALDO

0

1

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

TOTALES

SISTEMAS DE AMORTIZACINCuando se adquiere una obligacin, su pago se pacta con una serie de condiciones mnimas que determina el comportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema de amortizacin, es necesario conocer cuatro datos bsicos: Valor de la deuda. P Plazo durante el cual estar vigente la obligacin n Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelacin de la deuda. Este costo financiero es la tasa de inters cobrada en la operacin financiera i. El patrn de pago del crdito. Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A.

CLASES DE AMORTIZACIONES.

1. SISTEMA DE AMORTIZACIN CON PAGO UNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZOEn este sistema, se pagan peridicamente los intereses y al final del plazo del crdito se devuelve el capital prestado.Ejemplo. Una deuda de $20.000.000 se va a financiar a 6 meses a una tasa de inters del 2.5% mensual. Los pagos mensuales sern nicamente intereses y el capital se pagar al final del plazo del crdito. Construir la tabla de amortizacin. Calcular el valor de los intereses mensuales.

I = P*i

I = 20.000.000*0.025 = 500.000

I = $ 500.000

Abono capital = cuota inters;

Cuota = abono a capital + intersAmortizacin con pago nico del capital al final del plazo20.000.000,002,50%

NoCUOTA (A)INTERESES ( I )ABONO A CAPITAL (A I)SALDO

0

1500.000,00500.000,0020.000.000,00

2500.000,00500.000,0020.000.000,00

3500.000,00500.000,0020.000.000,00

4500.000,00500.000,0020.000.000,00

5500.000,00500.000,0020.000.000,00

6$ 20.500.000,00$ 500.000,00$ 20.000.000,000

2. SISTEMA DE CUOTA FIJAEste sistema, llamado tambin sistema de amortizacin simple o crdito plano, tiene la caracterstica que los pagos son iguales y peridicos, o sea, que hace referencia a la anualidad o serie uniforme. En la vida prctica es el sistema ms utilizado por los Bancos y casas comerciales para financiamiento de artculos de consumo, crditos bancarios y de vivienda. Tiene la particularidad que desde el pago de la primera cuota, el saldo de la deuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el valor de la cuota sobre pasa el costo financiero.

Ejemplo. Un electrodomstico que vale de contado $ 5.000.000 se financia de la siguiente forma: una cuota inicial (Ci) de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de inters de financiacin que se cobra es del 30% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortizacin.P = 5.000.000

Ci = 500.000

i. = 0.30/12 = 0.025 = 2.5%

A = (P-Ci)

A = (5.000.000-500.000)= 4.500.000= = $ 816.974,87A = Abono a capital + Intereses = $ 816.974,87

Tabla: sistema de cuota fija 5.000.000,0 2,50%


0500.000,004.500.000,00

1816.974,87112.500,00704.474,873.795.525,13

2816.974,8794.888,13722.086,743.073.438,39

3816.974,8776.835,96740.138,912.333.299,48

4816.974,8758.332,49758.642,381.574.657,09

5816.974,8739.366,43777.608,44797.048,65

6816.974,8719.926,22797.048,650,00

$ 5.401.849,22$ 401.849,22$ 4.500.000,00

3. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIASBsicamente casi es el mismo sistema de amortizacin con cuota fija, pero con la diferencia de que en el plazo del crdito se hacen abonos adicionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas peridicas.Ejemplo. Un vehculo que tiene un valor de contado $ 20.000.000 se piensa financiar de la siguiente forma: cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1.500.000 y 2 cuotas extraordinarias de 1.994.324.21 en los meses 6 y 12; construir la tabla de amortizacin. Cuota fija con cuotas extraordinarias20.000.000,0 3,00%1.994.324


02.000.000,0018.000.000,00

11.500.000540.000960.00017.040.000

21.500.000511.200988.80016.051.200

31.500.000481.5361.018.46415.032.736

41.500.000450.9821.049.01813.983.718

51.500.000419.5121.080.48812.903.230

63.494.324387.0973.107.2279.796.002

71.500.000293.8801.206.1208.589.882

81.500.000257.6961.242.3047.347.579

91.500.000220.4271.279.5736.068.006

101.500.000182.0401.317.9604.750.046

111.500.000142.5011.357.4993.392.548

123.494.324101.7763.392.5480

23.988.6483.988.64818.000.000,0

4. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIAEl perodo de gracia o tiempo muerto es un perodo en el cual no hay amortizacin de capital, pero si hay causacin de intereses. Si los intereses se pagan peridicamente, el capital inicial permanece constante y sobre ste mismo se calculan las cuotas. Si los intereses causados no se pagan, estos se capitalizan y la deuda habr aumentado al final del perodo de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortizacin.Ejemplo. Una deuda de $ 20.000.000 se va a cancelar con 4 pagos trimestrales iguales, a una tasa del 9% trimestral, con un perodo de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tabla de amortizacin, suponiendo:4.1 Durante el perodo de gracia los intereses causados se pagan peridicamente. En este caso, cada trimestre se debe pagar los intereses causados por la obligacin inicial a la tasa de inters pactada. Como los intereses se pagan, el capital inicial no cambia.I = P*i

I = 20.000.000*0.09 = 1.800.000

I = $ 1.800.000 trimestrales

A = P

A = 20.000.000= 20.000.000= = 6.173.373.24A = $ 6.173.373.24Sistema de cuota fija con periodo de gracia 20.000.000,0 9,00%


020.000.000,00

11.800.000,001.800.000,00-20.000.000,00

21.800.000,001.800.000,00-20.000.000,00

36.173.373,241.800.000,004.373.373,2415.626.626,76

46.173.373,241.406.396,414.766.976,8310.859.649,93

56.173.373,24977.368,495.196.004,755.663.645,18

66.173.373,24509.728,075.663.645,170,01

$ 28.293.492,96$ 8.293.492,97$19.999.999,99

4.2 Los intereses causados durante el perodo de gracia se capitalizan. Este caso despierta confusin entre los usuarios de un prstamo, porque al no hacer el pago peridico de cuotas durante el perodo de gracia creen que siempre estn debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante el perodo de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del prstamo sobre el cual se har el clculo de las cuotas peridicas.En este caso los intereses causados durante el perodo de gracia se capitalizan de tal forma que, al final del mes 6 el capital inicial se ha transformado en:

Construimos la tabla de amortizacin.

20.000.000,0 9,00%


020.000.000,00

11.800.000,001.800.000,0021.800.000,00

2-1.962.000,001.962.000,0023.762.000,00

37.334.584,752.138.580,005.196.004,7518.565.995,25

47.334.584,751.670.939,575.663.645,1812.902.350,07

57.334.584,751.161.211,516.173.373,246.728.976,83

67.334.584,75605.607,916.728.976,84- 0,01

$ 29.338.339,00$ 9.338.338,99$ 20.000.000,01

F = P(1 + i)n F = 20.000.000 *(1 + 0.09)2F = $ 23.762.000

Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales.

A = P= 23.762.000= $ 7.334.584.75

A = $ 7.334.584.75

5. SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITALEste es uno de los sistemas de amortizacin utilizados por los bancos para sus crditos ordinarios y de consumo, como tambin para la amortizacin de los crditos de vivienda. Aunque los intereses pueden ser cobrados en forma vencida o anticipada, la amortizacin al capital es constante, es decir, cada perodo se abona al capital una cantidad constante igual al monto del prstamo dividido entre el nmero de perodos de pago. En el siguiente ejemplo se analizar los intereses en forma vencida y en forma anticipada.5.1 Con intereses vencidosEjemplo. El Banco Ganadero concede un crdito por valor de $ 100.000.000 a una tasa de inters del 36% trimestre vencido, con un plazo de 1 ao. La restitucin del capital se har en 4 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortizacin.Calculamos las 4 cuotas, mediante la siguiente ecuacin con intereses vencidos:Ck =

EMBED Equation.3 , donde: Ck = valor de cada una de las cuotas para: k = 1,2,3,4,La primera cuota:

C1 =

EMBED Equation.3 ,C1 = 25.000.000 + 9.000.000 = 34.000.000La segunda cuota:

C2 =

EMBED Equation.3 ,C2 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000

Con intereses vencidos

100.000.000,09,00%


0100.000.000,00

134.000.000,009.000.000,0025.000.000,0075.000.000,00

231.750.000,006.750.000,0025.000.000,0050.000.000,00

329.500.000,004.500.000,0025.000.000,0025.000.000,00

427.250.000,002.250.000,0025.000.000,00-

$ 122.500.000,00$ 22.500.000,00$ 100.000.000,00

La tercera cuota:

C3 =

EMBED Equation.3 ,C3 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000

La cuarta cuota:

C4 =

EMBED Equation.3 ,C4 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000

5.2 Con intereses anticipados

Este es el caso utilizado con mayor frecuencia por los bancos para amortizar los crditos a corto plazo. La amortizacin del capital se hace con cuotas constantes pagaderas al final del perodo, pero los intereses son cobrados en forma anticipada.

Ejemplo. Con los datos del ejemplo anterior, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construir la tabla de amortizacin, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado.Dividimos la tasa nominal: i. = j/m = 0.36/4 = 0.09 = 9%

En el momento de hacer el desembolso del prstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es:

I = p*i = 100.000.000*0.09 = $ 9.000.000

Luego calculamos las 4 cuotas mediante la siguiente ecuacin:Ck =

EMBED Equation.3 , Donde: Ck = valor de cada una de las cuotas para cada valor de k = 1,2,3,4,

La primera cuota:

C1 =

EMBED Equation.3 ,C1 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000

La segunda cuota:

C2 =

EMBED Equation.3 ,C2 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000

La tercera cuota:

C3 =

EMBED Equation.3 ,C3 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000

La cuarta cuota:

C4 =

EMBED Equation.3 ,C4 = 25.000.000 + 0 = 25.000.000

La tabla de amortizacin ser:Con intereses anticipados100.000.000,09,00%


09.000.000,00100.000.000,00

131.750.000,006.750.000,0025.000.000,0075.000.000,00

229.500.000,004.500.000,0025.000.000,0050.000.000,00

327.250.000,002.250.000,0025.000.000,0025.000.000,00

425.000.000,00-25.000.000,00-

$ 113.500.000,00$ 13.500.000,00$ 100.000.000,00

Cuotas fija mes anticipado

Ejemplo. Se obtiene una obligacin de $ 212.491.72 y pacta cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000 cada una por mes anticipado, construir la tabla de amortizacin correspondiente.Sistema de cuota fija mes anticipado 212.491,78 3,00%


015.000,00197.491,78

115.000,005.924,759.075,25188.416,53

215.000,005.652,509.347,50179.069,03

315.000,005.372,079.627,93169.441,10

415.000,005.083,239.916,77159.524,33

515.000,004.785,7310.214,27149.310,06

615.000,004.479,3010.520,70138.789,37

715.000,004.163,6810.836,32127.953,05

815.000,003.838,5911.161,41116.791,64

915.000,003.503,7511.496,25105.295,39

1015.000,003.158,8611.841,1493.454,25

1115.000,002.803,6312.196,3781.257,88

1215.000,002.437,7412.562,2668.695,61

1315.000,002.060,8712.939,1355.756,48

1415.000,001.672,6913.327,3142.429,17

1515.000,001.272,8813.727,1228.702,05

1615.000,00861,0614.138,9414.563,11

1715.000,00436,8914.563,110,00

$ 270.000,00$ 57.508,22$ 197.491,78

6. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON INTERS GLOBALEste sistema de pagos consiste en abonar una porcin al capital, los intereses se siguen cobrando sobre el capital prestado inicialmente. Lo importante es disear la tabla de amortizacin para observar el comportamiento del crdito.Ejemplo. Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelar por medio de 4 cuotas trimestrales iguales con inters global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y disear la tabla de amortizacin.A = = = $ 3.100.000

Sistema de cuota fija (con inters global) 10.000.000,0 6,00%


010.000.000,00

13.100.000,00600.000,002.500.000,007.500.000,00

23.100.000,00600.000,002.500.000,005.000.000,00

33.100.000,00600.000,002.500.000,002.500.000,00

43.100.000,00600.000,002.500.000,00-

$ 12.400.000,00$ 2.400.000,00$ 10.000.000,00

Meza Orozco Jhonny de Jess. MATEMATICAS FINANCIERAS APLICADAS Haeussleir Jr. Ernest. MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA

Arvalo Nio Jos Abdenago. MATEMATICA FINANCIERA APLICADA A LA ADMINISTRACION PUBLICA

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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