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Índice
ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA
Pág.
T E M A 1 Numeros Complejos..................................................... 2
Clasificación....................................................................................................................... 2
Representación de complejos............................................................................................ 3
T E M A 2 Análisis Combinatorio.................................................. 10
Factorial de un número...................................................................................................... 10
Números combinatorios..................................................................................................... 18
Permutación, combinación y Variación............................................................................... 18
Binomio de Newton............................................................................................................ 22
T E M A 3 logaritmos................................................................... 27
T E M A 4 Funciones Exponenciales y logarítmicas........................ 37
Función Exponencial.......................................................................................................... 37
Función Logarítmica........................................................................................................... 41
T E M A 5 Matrices y Determinantes............................................ 43
Definición .......................................................................................................................... 43
Álgebra de Matrices........................................................................................................... 47
Determinantes................................................................................................................... 53
T E M A 6 Calculo Diferencial....................................................... 60
Funciones........................................................................................................................... 60
Límites ............................................................................................................................. 64
Derivadas........................................................................................................................... 80
Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
Tema nº 01: Números complejos
Capacidades:
Identificar el conjunto de los números complejos.
Clasifica correctamente a los números complejos.
Representa de diversas maneras a los números complejos.
Opera con números complejos.
Resuelve problemas con números complejos.
Desarrollo del Tema:
Cantidades Imaginarias
Se obtienen al extraer raíz de índice par a
un número negativo.
Ejemplo : 64 4;7;2 ; ... etc.
Unidad Imaginaria
Definición: La unidad imaginaria se
obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, se
representa de la siguiente manera :
i1
también se define como :
1i 2
Potencias de la Unidad Imaginaria
1i
ii
1i
ii
4
3
2
1
Propiedades :
1.Zn;1i n4
Ejemplo : 1ii )120(4480
2.)Zk;n(;ii kkn4
Ejemplo: iiii 33)11(447
1iii 22)4(310
Observación: Es conveniente recordar las
siguientes propiedades aritméticas.
nn ra)ra(
)parn(ra)ra( nn
)imparn(ra)ra( nn
Ejemplo :
iiiii 1o4
1211101o4
121110)1o4(1211109
Números Complejos
Son aquellos números que tienen la forma :
Z = a + b i = (a ; b ); a, b R
donde :
a = R e se llam a , p arte real d e Zb = Im se llam a pa rte im agin aria de Z
(Z)
(Z)
CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS
Complejos Conjugados )Z(
Son aquellos que sólo difieren en el signo
de la parte imaginaria.
Ejemplo :
Z = 3 +4 i ; su conjugado es : i43Z
Ecuación Segundo Año
Complejos Opuestos (Zop)
Son aquellos que sólo difieren en los signos
de la parte real e imaginaria,
respectivamente.
Ejemplo :
Z = 5 - 2i ; su opuesto es : i25Zop
Complejos Iguales:
Son aquellos que tienen partes reales e
imaginarias, respectivamente, iguales.
Ejemplo :
De la igualdad : a + bi = 8 - 11i
tenemos : a = 8; b = -11
Complejo Nulo:
Son aquellos que tienen su parte real e
imaginaria, respectivamente, iguales a
cero.
Si : a + bi es nulo a + bi = 0
Luego : a = 0; b = 0
Complejo Imaginario Puro
Es aquel cuya parte real es igual a cero y su
parte imaginaria distinta de cero.
Si : a + bi es imaginario puro a = 0
Complejo Real
Si un complejo es real, entonces su parte
imaginaria igual a cero :
Si : a + bi es real b = 0
Representación de los Complejos
I. Representación Cartesiana o
Geométrica
En este caso, el complejo está
representado de la forma:
Z = a + b i
Gráfica del Complejo
Cada complejo es un punto en el plano,
para ubicarlo se le representa en el
llamado plano complejo, Gaussiano o de
Argand, el cual está formado por un eje
vertical (eje imaginario) y un eje
horizontal (eje real).
Ejemplo :
Graficar : 1Z = 3 + 4i
2Z = 5 - 3i
En el plano Gaussiano :
Im
Z1 = (3 ; 4 )4
R e
E je rea l
Z 2 = (5 ; -3 )-3
E je im aginario
O rigen 3
5
Observación : Cada complejo se
representa por un punto en el plano al
cual se le llama afijo del complejo.
II. Representación Polar o
Trigonométrica :
En este caso, el complejo adopta la
forma :
)S eniC o s(Z
Donde :
módulo; r > 0
argumento; 20
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Gráfica del Complejo
En este caso, se utiliza el sistema de
coordenadas polares el cual está
formado por un punto fijo llamado polo
y una semirecta que parte del polo,
llamado eje polar. El módulo ( ) es la
distancia del polo al punto que
representa el complejo y el argumento
)( el ángulo positivo medido en sentido
antihorario desde el eje polar hasta el
radio vector O Z .
Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°)
En el sistema de coordenadas polares :
4 0
5
p o lo eje p o lar
Z (5 ; 4 0 º)
º
=
O
Relación entre la Representación
Cartesiana y Polar
Sea el complejo : Z = a+b i (a, b >0)
b
a R e
E je p o larP o lo
Z
O rigen E je real p ositivo
Im
En la figura sombreada :
ab
ArcTg*
Senb*
Cosa*
ba* 22
i)Sen(Cosbia
)iS enC o s(b ia
Para transformar de cartesiana a polar
se calcula y . En el caso inverso, se
calcula el valor de la función
trigonométrica.
Aplicación :
1. Transformar : Z = 3 + 4i
* 543 22
* 53
34
ArcTg
)53Seni53Cos(5i43
2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i
Sen37°)
Z = 6(Cos37°+ i Sen37°)
)53
i54
(6Z
i
518
524
Z
III. Representación de Euler
En este caso, se tiene :
ie)S eniC o s(
exp resad o enrad ianes
Se cumple :
ieiS enC o s
Siendo: e = 2,71828.... (base de los
logaritmos Naturales).
Asimismo :
ie)iS enC o s(b ia
OPERACIONES CON COMPLEJOS
I. Operaciones en forma cartesiana
Ecuación Segundo Año
a) Adición y multiplicación
Se utilizan las mismas reglas
algebraicas.
Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i)
Resolución :
i132
i452i3i69
i45i2i3i69 2
b) División
Se multiplica el numerador y
denominador por el complejo
conjugado de este último.
Ejemplo : i3i32
Z
2
2
i9
i3i9i26i3i3
.i3i32
Z
i107
109
10i79
)1(93i76
Z
c) Potenciación :
Se utiliza el teorema del binomio.
Ejemplo:
i125
9i124
9i12i4)3i2( 22
d) Radicación :
En general se asume que la raíz
adopta la forma (a+bi) ; luego a y b
se hallan por definición de
radicación.
Ejemplo : i125
biai125
Elevando al cuadrado
abi2bai125 22 Igualando :
ab212;ba5 22
Resolviendo :
i23i1252b
3a
i23i1252b
3a
Observación :
* (1 i) = 2i
*
ii1i1
* i
i1i1
Operaciones en forma polar
a) Multiplicación :
En este caso, los módulos se
multiplican y los argumentos se
suman.
)SeniCos(Z 1111
)SeniCos(Z 2222
)](S eni)(C o s[ZZ 21212121
b) División :
En este caso, los módulos se dividen
y los argumentos se restan.
)SeniCos(Z 1111
)SeniCos(Z 2222
)](S eni)(C o s[ZZ
21212
1
2
1
c) Potenciación :
En este caso, el exponente eleva al
módulo y multiplica al argumento.
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]nSeninCos[)]SeniCos([ nn
d) Radicación :
En este caso, se aplica la fórmula de
De Moivre.
Sea : Z = r(Cosq + iSenq)
)n
k2(S eni)
nk2
(C o sZ nn
k = 0, 1 , 2 , ..... , (n-1)
Nota : observa que n z tiene "n"
valores.
Ejemplo :
Hallar las raíces cúbicas de la
unidad.
333 0Seni0Cosi011
3k2
0Seni3
k20Cos13
k = 0, 1, 2
k = 0 31 = 1
k = 1 31 =
wi23
21
k = 2 31 =
2wi23
21
Raíces cúbicas de la unidad :
1; w; 2w .
donde :
* 1w3
* 0ww1 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Calcular :
13600121282
a) 76 b) -76 c) 44
d) -44 e) 50
2) Reducir :
iiii2
iiiV
15105
1694
a) 1 b) 2 c) 3i
d) 2i e) 4i
3) Simplificar :
20031973196019321921
17504932128
iiiii
iiiiiZ
a) i b) -i c) 1
d) -1 e) 1 - 1
4) 04. Reducir :
2003432 i...iiiiJ a) 1 b) 2 c) -1
d) i e) 2i
5) Hallar la suma "A" de números
complejos :
)in4(...)i4()i3()i2()i1(A n4432
a) n (2n+1) b) 2n (4n+1)
c) 0 d) n(4n+1) e) 2n(4n-1)
6) Calcular :
2019181716151413
1211109 iiiV
a) 0 b) 1 c) 3
d) 3i e) -3i
7) 07. Si :
R}n;b;a{;biani2)ini( 21312
Ecuación Segundo Año
Calcular : )1i(;)an(
n
b 22
a) 2/3 b)3/2 c) 6
d) 1/3 e) 3
8) Si : nimbia2
{a; b; m; n} R; además : 1i2
Calcular : mn
b
na
m22
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9) Calcular "n", si se cumple :
)ai2a(73)i3n(5)in(3
Si : RaRn
a) -3/8 b) 9/8 c) 9
d) 9/4 e) 3/4
10) Si : i21)i3n(5)in(3
zRn
es un complejo real. Calcular : "n".
a) -3/8 b) 9/8 c) 9
d) 9/4 e) 3/4
11) Hallar "n", si el número siguiente es
imaginario puro :
i34
ni23
a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
12) Sabiendo que :
i3bi2a
z
; es un número real.
biai)8a(b
w
; es un número
imaginario puro. Indique : a - b.
a) -12 b) 10 c) 24
d) 8 e) -10
13) Si : C}z;z{ 21
, calcular :
)z4z3z3z2
(Im)z4z3zz5
(Im21
21
21
21
a) -3 b) -1 c) 1
d) 3 e) 0
14) Si "i" es la unidad imaginaria, al
efectuar la siguiente operación :
1616 )i1()i1(2
a) 0 b) 1 c) -256
d) 512 i e) 256
15) Calcular el valor de : i2
a) 1 + i b) 1 - i c) -1 - i
d) -1 + i e) a ó c
16) Determinar el módulo de :
)i6)(i25(
)i35)(i37(Z
a) 1 b) 2 c) 2
d) 72 e) 14
17) Sea : i1Zi52Z 21
Determinar :
2
1
2
|Z|
Z58
a) 3 + i b) 5 - i c) 4
d) 2 - 2i e) 4i
18) Determinar el módulo de :
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Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
)1i3)(i4)i1)((i4)i1((Z 44
a) 2 b) 8 c) 32
d) 64 e) 128
19) Hallar "n".
1i;Rn;)i1(n)i1(8 6
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e)10
20) Hallar el módulo del complejo "Z", si
al dividirlo entre 5+i y al cociente
sumarle 2, se obtuvo 3-i.
a) 13 b) 132 c) 133
d) 134 e) 135
21) Sean : CZ;Z 21
. Reducir :
)z.z(R e)z.z(R e|zz||zz|
2121
221
221
a) 1 b) 1/2 c) 2
d) 3 e) 1/3
22) Indique la parte real de :
2222 )ni1(...)i31()i21()i1(z
; Zn
a) 2)1n(n
b) n c) 3)5n2(n
d) 6)1n(n
e) )n1)(5n2(
6n
23) Si : Cz
, resolver :
|z| - z = 3 + i
Indique : 1z
a) 1)i127(2
b) 1)i247(6
c) 1)i46(7
d) 1)i34(3
e) 1)i286(7
24) Sean : |z|= 2; |w| = 3.
Hallar : 22 |wz||wz|K
a) 36 b) 26 c) 34
d) 18 e) 22
25) Indique el módulo de :
)i37)(i1(
)i31)(i22(W
a) 1 b) 32 c) 2
d) 22 e) 2
26) Sabiendo que : m, n, x, y R.
Además : yixnim
Hallar el equivalente de :
42
2
ymy
nK
a) 6 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
27) Si : R}n;m;b;a{;nimbia3
además : . 1i
Calcular : 33
33
nm
)nb)(am(
a) 3 i b) 1 c) -3
d) -3 i e) 3
28) Resolver en : 0|z|2z:C 2
Indique : Re(3z) - Im(z).
a) -3 b) 9 c) 1
d) -2 e) 2
29) Efectuar :5 iii2
a) 1 + i b) 1 - i c) i
Ecuación Segundo Año
d) i2
e) 2i1
30) Hallar "Z", si cumple :
5|Z|
25
6
Z
1
Z
1
a) 3 - 4i b) 4 - 3i c) i43
5
d) i43
5
e)
i3
5
31) Llevar a su forma trigonométrica :
z = -3 - 4i
32) Llevar a su forma exponencial :
i344
a)
i3
4
e16
b)
i32
e4
c)
i34
e4
d)
i34
e8
e) i
32
e8
33) Efectuar :
43
32
51
z
zzK
sabiendo que :
)10Seni10Cos(2z1
20Cis8z2
5iSen45Cos4z3a) 4 i b) -1/2 c) 1/4d) i/2 e) 1
34) Sea : 20Cosi20Senw1
hallar : )w(Arg 1
a) 190° b) 250° c) 240°d) 340° e) 200°
35) Efectuar :
i4
2
i1
a) e b)
2/e c)
2/e
d) 2e e)
e
36) Un número real "x", que satisface la ecuación:
iCosxSenx)iCosxSenx( 4 es :
a) 10
b) c) 2
d) 5
e)
37) Si : i
23
21
z
Calcular : . 33 zz
a) ie2
b) i2e2
c) i2e2
d) i31
e) i
32
e
38) Reducir :
i4
i4
i4
i4
ee
eeL
a) 1 b) -1 c) id) -i e) e
39) Proporcionar un equivalente de : ii
.
a) 4/e
b) 2/e
c) e
d) 2/3e
e) Hay 2 correctas
40) Hallar el módulo de "z" que verifica :
)i1(4e
e 4z
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Tema nº 02 : Análisis combinatorio
Capacidades:
Define correctamente el factorial de un número.
Opera con factoriales.
Opera con números combinatorias.
Diferencia entre permutación, combinación y variación.
Resuelve problemas con variación, permutación , combinación y binomio de Newton.
Desarrollo del Tema:
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se denomina factorial de un número entero y positivo al producto indicado desde la unidad en
forma consecutiva, hasta el número dado. Al factorial de un número se puede representar por
cualquiera de los dos símbolos: ! ó
Si el factorial es “n”m su factorial se representa por:
n!
Se lee: Factorial del número “n” o “b” factorial.
n
Por definición:
n! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. X n
n! = n = n x (n – 1) x (n – 2) – (n x 3) x … 2 x 1
Ejemplos:
2! = 2 = 1 x 2 = 2
3! = 3 = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 7 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
OBSERVACIONES
1. Los factoriales sólo están definidos para cantidades enteras y positivas, así:
5! = 5 ¡ factorial de 5 (si existe)
(-3)! = -3 ¡ factorial de (-3) (no existe)
-4! = - 4 ¡ factorial de 4 (si existe)
¡ un medio de factorial de 6 (si existe)
¡ factorial de (no existe)
Análisis Combinatorio Quinto Año
¡ factorial de (no existe)
2. El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor.
Ejemplo:
Sea: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
6! = 6 = 5 x 6 6! = 6 = 6 x 5
También: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
6! = 6 = 4 6! = 6 = 5 x 6 x 4
O también: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
6! = 6 = 3 6! = 6 = 4 x 5 x 6 x 3
Noten que en los tres casos, todos ellos son iguales a 6! Y a su vez el número contenido en
el factorial y los que están fuera de él son sus consecutivos posteriores a él.
Ejemplo 1: Escribir 12! en función delEjemplo 2: Escribir 20! en función del
factorial de 9 factorial de 16
Solución: Solución:
12! = 9! X 10 x 11 x 12 20! = 16! X 17 x 18 x 19 x 20
Ejemplo 3: Escribir (x+5)! en función Ejemplo 4: Escribir (x-2)! en función del
del factorial de (x+2) factorial de (x-4)
Solución: Solución:
(x+5)! = (x+2)! (x+3) (x+4) (x+5) (x-2)! = (x-4)! (x-3) (x-2)
3. Por Convención: 0 = 0! = 1 ; y por definición: 1 = 1! = 1
Lo que no implica que no podrá hacerse: 0 = 1 0 = 1 porque los dos conceptos
tienen diferente punto de partida en cuanto a su definición.
Demostrar que: 0! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n y que esta igualdad cumple para todo número entero positivo
a partir de la unidad.
Acomodando la expresión, obtenemos:
Reemplazando será:
N = 1 1 = 0! l . q . q . d.
Demostrar que: 1! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n
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Es decir: damos a “n” valor de 2, obteniendo:
l.q.q.d.
4. De lo anterior, si:
a = 0
a! = 1 ó
a = 1
Ejemplo:
Dar la suma de los posibles valores de “x” en: (x – 3)! = 1
Solución:
x – 3 = 0 x = 3
(x – 3)! = 1 ó
x – 3 = 1 x = 4
La suma de los posibles valores de “x” será: 3 + 4 = 7
5. Si: a = b a = b a, b N ( = para todo)
Ejemplo: Determina el valor de “x” si: x – 1 = 24
Solución:
Tal como se presenta la igualdad, no es posible el despeje directo de “x” para ello es
recomendable desdoblar el 24 en factores de forma consecutiva veamos:
x – 1 = 1 x 2 x 3 x 4
x – 1 = 4
RECOMENDACIONES
En factoriales las siguientes operaciones no se cumplen:
I) (n + m)! n! + m! III) (n x m)! n! x m!
Ejemplo: Ejemplo:
(3+2)! 3° + 2! (3 x 2)! 3! X 2!
5! 6 + 2 6! 6 x 2
120 8 720 12
II) (n – m)! n! – m! IV)
Ejemplo: Ejemplo:
(4-2)! 4° - 2!
2! 24 -2 2!
Análisis Combinatorio Quinto Año
2 22 2 120
PRÁCTICA DE CLASE
1) Determina el valor de M, sabiendo que:
2) Halla:
3) Halla el valor de:
4) Simplifica:
5) Calcula el valor de:
6) Halla el valor de:
7) Reduce:
8) Halla el valor de:
Q = (n+2)! – (n+1)!
9) Resuelve la ecuación:
10) Resuelve la ecuación:
11) Resuelve la ecuación:
12. Simplifica:
13. Halla el valor de.
a) b) c)
14. Calcula el valor de:
15. Resuelve:
16. a) ¿Qué valor tiene “k”?
Si: k! x 7 x 8 x 9 x 10 = 10!
b) ¿Qué valor tiene “n”?
Si: (n-3)! X 9 x 19 x 11 x 12 = 12!
17. Determinar el valor de:
18. CALCULAR:
19. Calcular “X”:
20. Calcular:
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Reduce: E = (n+2)! – 2(n+1)!a) (n-2)! b) (n+3)! c) n(n+1)d) n(n+1) e) n! (n+1)
8. Reduce:
a) n b) n2 c) 2n d) e) n3
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2. Reduce:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
3. El valor de: ; es:
a) b) c) d) e)
N.A.
4. Efectúa:
a) b) c)
d) e)
5. Resuelve:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Simplifica:
a) b) c)
d) e)
7. Simplifica:
a) 8 b) 9 c) 12 d) 24 e) 36
9. Calcula el valor de “n”:
a) 1 b) 2 c) 3 d 4 e) 5
10. Calcula el valor de “x”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Indica la solución entera de la ecuación(x-1)! + (x! + (x+1)! = 5880a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
12. Efectúa:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
13. Calcula el valor de “x”:(119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!!)24
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6
14. El valor de:
; es:
a) b) c)
d) e) N.A.
15. Calcular:
PERMUTACIONES
Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,
las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus elementos y lo
representamos de la siguiente manera:
n(n+1) (n+2) (n+3) … 3.2.1
Pn = n!
Ejemplo:
1. ¿Cuántas maneras diferentes pueden formar una fila de 5 soldados?
Pn = n!
P5 = 5!
P5 = 120
Ejemplo : Halla todas las permutaciones posibles de las cifras del número 437.
Solución.-
Análisis Combinatorio Quinto Año
Las permutaciones se obtienen cambiando de lugar las cifras.
Así: 437; 473; 347; 374; 743; 734.
En total tenemos 6 permutaciones diferentes.
Si llamamos P3 al número total de permutaciones de 3 elementos, se comprende que:
P3 = 1 x 2 x 3 = 3! = 6
Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Angel, Beto, Carlos y Daniel en
una fila de 4 asientos?
Solución.-
Sea P4 el número de maneras distintas en que pueden sentarse A, B C D. Como intervienen
todos los elementos se trata de una permutación. Luego: P4=4! = 1x2x3x4 = 24
En general: El total de permutaciones diferentes que se pueden obtener con “n” elementos
se designa por Pn y el igual a n!
Pn = n!
Ejemplo : 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?
Las 6 personas pueden ordenarse empezando por una mujer (M) o empezando por un
hombre (H)
Así: M H M H M H ó H M H M H M
Permutaciones de los H : P3 = 3! Permutaciones de los H : P3 = 3!
Permutaciones de las M : P3 = 3! Permutaciones de las M : P3 = 3!
Como cada trío de mujeres se combinan con un trío de hombres para armar una fila de 6,
aplicamos el principio de multiplicación. 3! X 3!
Por lo tanto el total de formas de sentarse será: 3! X 3! + 3! X 3! = 72 maneras diferentes.
Ejemplo : Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el
resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si
queremos que los de matemática siempre deben ir juntos?
Designamos por M1, M2 y M3 a los libros de matemática y por F1, F2 y F3 a los libros de física.
Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:
i) M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4 # de formas = 3! X 4!
ii) F1 M1 M2 M3 F2 F3 F4 # de formas = 3! X 4! Total:
iii) F1 F2 M1 M2 M3 F3 F4 # de formas = 3! X 4! = 4 (3! X 4!)
iv) F1 F2 M3 M1 M2 M3 F4 # de formas = 3! X 4! = 576 formas diferentes
v) F1 F2 F3 F4 M1 M2 M3 # de formas = 3! X 4!
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 15
PERMUTACIÓN CIRCULAR.- En este caso no hay primero ni último elemento por
encontrarse en línea cerrada para hallar el número de permutaciones de n elementos.
A
F B n - 1
E C
D
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrían sentarse Blancanieves y los 7 enanos
alrededor de una mesa circular?
Ejemplo: ¿de cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda
7 personas?
Solución: n = 7 Pc(7) = (7-1)! Pc(7) = 6! = 720
PERMUTACIÓN POR REPITENCIA.- Consiste en efectuar permutaciones con elementos
repetidos, si el conjunto tiene “n” elementos, n, es de una clase, n2 son de 2° clase y nk son
de k clases. La permutación por repitencia se obtiene por la forma siguiente:
Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
casacas?
Solución.-
Vemos que se tiene una permutación por repetición donde se repite las letras C(2 veces),
A(3 veces), S(2 veces).
Luego: n = 7 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2
Ejemplo : Calcula el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden formar
permutando las letras de cada una de las siguientes palabras: i) manzana; ii) Alfalfa,
iii)catarata
Solución: i) MANZANA
MNAZANA
MZANAAN } Palabras diferentes
.
.
etc.
Total elementos: n = 7
Elementos repetidos: A 3 veces
N 2 veces
Total permutaciones:
Análisis Combinatorio Quinto Año
ii) ALFALFA
ALFAFAL
AFLAFLA } Palabras diferentes
.
.
Etc.
Total elementos: n = 7
Elementos repetidos: A 3
L 2
F 2
Total permutaciones:
Ejemplo : Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si se
dispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opciones
diferentes hay para escoger el modelo de la bandera?
Solución.- Diseño de la bandera
Total permutaciones:
2 franjas rojas
3 franjas blancas
Total elementos: n = 5
Elementos repetidos: B 3
R 2
Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden obtener en una fila 7 bolas de
billar (de igual forma y tamaño), si 2 son rojas, 4 amarillas y una blanca?
Solución:
VARIACIONES.- , son los diferentes arreglos que se pueden formar con parte de los
elementos de un conjunto formado de 2 en 2, 3 en 3, las variaciones se diferencian entre sí
por el orden se sus elementos o por uno o más de sus elementos.
El número de variaciones que pueden obtenerse de n elementos tomados de m y n se
representa por:
Ejemplo: Halla el número de variaciones en:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 17
a)
b)
c)
COMBINACIONES
Son las diferentes variaciones que se puede hacer en todos o parte de los elementos de un
conjunto. Las combinaciones se calculan por la siguiente forma:
NÚMERO COMBINATORIO
PROPIEDADES
1. Todo número combinatorio cuyo índice es 1, 2s igual al índice superior.
2. Todo número combinatorio cuyos índices son iguales, es igual a 1.
3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores
consecutivos es igual al número combinatorio, cuyo índice superior es igual al índice
superior común aumentado en 1 unidad y de índice inferior igual al mayor de estos.
=
=
=
=
=
= =
NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS
Análisis Combinatorio Quinto Año
Son 2 números combinatorios de igual índice superior y la suma de sus índices inferiores es
igual al índice superior común.
, donde k + 5 = n
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 19
Ejercicios Propuestos
1)
2)
3)
4) ¿De cuántas maneras se pueden
elegir y disponer de un escaparate 3
partes de calzado de un conjunto?
5) ¿Cuántas maneras diferentes de 4
cifras se pueden formar con los
nueves dígitos 1, 2, 3, ….. 9?
6) ¿Cuántas ordenaciones diferentes
pueden formarse tomando 5 letras
de la palabra gástrico?
7) En una fiesta hay 5 chicas y 10
chicos. ¿De cuántas maneras
podrían bailar?
8) ¿De cuántas formas distintas se
pueden sacar 3 banderines de una
caja que contiene 6 banderines?
9) En una empresa se necesitan un
supervisor, un tornero, un carpintero
y con conserje, y previo concurso
han quedado 9 personas. ¿De
cuántas maneras pueden escogerse
las personas requeridas.
10)Vamos a colocar un “trébol de la
suerte” (4 hojas) con un color
distinto para cada hoja. Si tenemos
una caja con 6 colores distintos. ¿De
cuántas formas podemos colorear al
trébol?
11)¿Cuántos equipos diferentes de
básquet podemos formar si
contamos con 8 jugadores que
pueden jugar en cualquier lugar?
12)Con 6 banderas de diferente color,
¿cuántas señales distintas de 2
banderas se pueden hacer?
13)Tres niños, ¿de cuántas formas
distintas pueden sentarse en 5
sillas?
14)5 viajeros llegan a una ciudad en la
que hay 7 hoteles. ¿De cuántas
maneras podrían alojarse en hoteles
diferentes?
15)¿De cuántas maneras podemos
formar en columna de a uno a 5
alumnos?
16)¿Cuántos números de 4 cifras se
pueden formar con los dígitos del 1
al 4?
17)¿Cuántas permutaciones de 7
elementos se pueden formar con las
letras de la palabra NÁUTICO?
18)¿Cuántas palabras diferentes se
pueden formar con todas las letras
de la palabra POPA?
19)¿De cuántas maneras pueden
cambiar de posición los jugaror5es
de básquet, si uno de ellos no
cambia?
20)¿Cuántas palabras diferentes se
pueden obtener con las letras de la
palabra COCCIÓN?
21)¿De cuántas maneras pueden
sentarse 5 personas en una mesa
redonda contando de un solo
sentido?
22)Un entrenador tiene a su cargo 7
deportistas. ¿de cuántas maneras
pueden distribuir a los citados
deportistas en dos competencias:
cinco en natación y dos en atletismo.
23)En un campeonato de bulbito han
participado 7 equipos. ¿De cuántas
maneras pueden quedar ubicados?
24)¿Cuántos conjuntos imitadores del
famoso trío “Los panchos” se
podrían formar a partir de un grupo
de 12 aficionados?
25)¿Cuántos equipos de básquet
podríamos formar a partir de un
conjunto de 12 jugadores’
Análisis Combinatorio Quinto Año
26)Cerebrito debe contestar de 10
preguntas en un examen. ¿De
cuántas maneras puede cerebrito
escoger las 7 preguntas?
27)En el problema anterior:
Si las 2 primeras fueron obligatorias,
¿de cuántas maneras podrían escoger
las preguntas?
28)En la figura cada línea representa un
camino. ¿De cuántas maneras
distintas se puede ir de la ciudad A a
la ciudad C?
29)¿Cuántos números pares de 3 dígitos
se pueden formar con los dígitos:
1;2;5;6;7;89; si:
a) Los dígitos del número pueden
repetirse.
b) Los dígitos del número no se
repiten.
30)En una carreta participan 7 atletas.
¿De cuántas maneras distintas
pueden llegar a la meta, si llegan
uno a continuación del otro?
31)En una fila de sillas se sientan 5
mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas
maneras se pueden ordenar si las
mujeres deben estar juntos y los
hombres también?
32)¿De cuántas maneras diferentes se
pueden ubicar 9 damas en una fila
de 9 asientos, si Mirian y Andrea
siempre deben estar juntas?
33)¿Cuántas permutaciones diferentes
se pueden realizar con las letras de
la palabra BANANA?
34)¿De cuántas maneras se pueden
distribuir 5 hombres y 3 mujeres en
una fila de 8 asientos, si las mujeres
no deben sentarse juntos?
35)De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes y de la ciudad B a C hay 4 caminos diferentes. ¿de cuantas maneras se puede hacer un viaje redondo de A a C pasando por B?
36)Maria tiene 5 pantalones y 3 blusas. ¿de cuantas maneras distintas puede ponerse un pantalón y una blusa?
37)Determinar el valor de m en la
expresión:
38)¿De cuantas maneras pueden sentarse en una banca de 6 asientos, 4 personas?
39)Una persona posee 3 anillos distintos. ¿De cuantas maneras puede colocarse en sus dedos de la mano derecha, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar?
40)Una señora tiene 10 amigas de confianza. ¿De cuantas maneras puede invitar a 6 de ellas a cenar?
41) Resolver :
42)¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales?
43)¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales ubicados alrededor de una mesa?
44)¿Cuantos números mayores de 6000 se podrán formar con las siguientes cifras: 2;5;6;3?
45)¿Cuantas banderas tricolores diferentes de franjas horizontales se pueden confeccionar si se disponen 7 colores distintos?
46)¿Cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra LIBRO?
47)La primera división de la liga de fútbol de huacho consta de 25 equipos.¿cuanto partidos se deben jugar para completar la primera rueda?
48)¿De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en un auto si solo una de ellas sabe manejar?
49)De un total de x personas se pueden formar 21 grupos de 5. Determinar el valor de “x”
BINOMIO DE NEWTON
FORMA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 21
Deducción del Binomio de Newton
BINOMIO DESARROLLO SUMA DE COEIFC.
(x+1) = x + a 21
(x+1)2 = x2 + 2ax + a2 22
(x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 23
(x+2)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 24
(x+a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a + 10x2a3 + 5xa4 + a5 25
…………………………. ..
…………………………. ..
2n
Generalizamos y podemos llegar a:
(x+a)n = xn + nxn-1 a +
(I)
Observamos lo siguiente:
Bases del binomio: x a
Exponentes del binomio: n
El desarrollo del binomio: El segundo miembro
Luego:
a) El desarrollo es un polinomio homogéneo con respecto a x, a, donde el grado de
homogeneidad corresponde al exponente n.
b) Siempre el desarrollo contiene un término más que el exponente n.
c) El primer término del desarrollo contiene a x elevado al exponente n; disminuyendo los
exponentes de x de uno en uno hasta cero.
d) El segundo término contiene a la base a elevado a la unidad, aumentado el valor de su
exponente en cada exponente n.
e) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
f) El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término anterior
multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de la primera base y
dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.
g) La suma de los coeficientes de un binomio (x+a) se da por 2n.
EL BINOMIO DE NEWTON USANDO NÚMEROS COMBINATORIOS
En la forma general (I) vemos que los coeficientes de cada término se dan como:
(x+a)n = 1.xn +
…. 1.an
Donde: …
Sustituyendo estos valores en la forma general, tendremos el desarrollo del binomio de
Newton con números combinatorios.
Análisis Combinatorio Quinto Año
Ejemplo:
1) (m+n)7 =
Así (m+n)7 = m7 +7m6n + 21m5n2 + 35m4n3 + 21m3n5 + 7mn6 + n7
FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR GENERAL K
TK =
Ejemplo 1: Halla el término quinto de (2a + b2)11
Solución.-
n = 11; k = 5; x = 2a ; a = b2
Luego: T5 =
T5 = 330 . 128ª7b2 T5 = 42240ª7b8
Ejemplo 2: Encuentra el 6° término de (x-3y)10
T6 =
T6 = 252x5 – 243y5 T6 = -61236x5y5
Ejemplo 3: Halla el término que contiene x6 en el desarrollo de (x-3)14.
Solución.- Por fórmula del término general.
Tk =
Como el exponente de x debe ser 6.
15 – k = 6 k = 9 (el término buscado es el de lugar 9).
Luego: T9 =
T9 =
T9 = 39 . 7 . 11 . 13 . x6
PRÁCTICA DE CLASE
1. Halla el desarrollo de: (2x + 3y)5 2) resuelve:
3. Calcula el tercer término del desarrollo 4) Calcula el sétimo término del desarrollo de: de: (2x + 3)5 (x + 1/x)9
5. Calcula el término central del desarrollo 6) Calcula el término central del desarrollo de: de: (a + 2b)8 (x + 1/x2)10
7. Halla el término que contiene a “x8” en 8) Halla el valor de “x” de tal manera que la el desarrollo de: (x+y)13 suma del 3° y 5° términos en el desarrollo de
(x+1)4 sea igual a 25.9. Obtén los siguientes desarrollos: a) (x-2y)5 b) (1+3a)7 c) (1-b)11 10) Determina el término indicado en el desarrollo
Correspondiente:
11) Determina el coeficiente numérico del a) 7° término en: (x-y)11
Término indicado: b) 5° término en: (a+b)21
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 23
a) 2° término en (2x-y)4 c) 10° término en:
b) 3° término en (3a+4b)6
c) 9° término en: 12) En el desarrollo de , determine:
a) El coeficiente numérico del cuarto término. b) El término que contiene x4. c) El término independiente de x.
13) Encuentra los 3 primeros términos en el
desarrollo de:
14) Calcula el producto de los coeficientes numéricos del primero y del último término del desarrollo de: (1+3x2)6.
15) Calcular el término central del desarrollo de:
A) B)
C) D)
E)
16) Hallar el término que contiene a x8 en el desarrollo de: (x + y) 13
A) B)
C) D) E)
17) Hallar el valor de x de tal manera que la suma del 3ro y 5to término en el desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25A) 1 B) 2C) 3 D) 4 E) 5
18) El último término en el desarrollo de:
A) B)
C) D) E)
19) Cual es el coeficiente de x14 en el desarrollo de: ( x2+x3 ) 6
A) 12 B) 18C) 15 D) 21 E) 24
20) El 5to término del desarrollo de:
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. El último término en el desarrollo de: (x-3y)5 es:a) -15y5 b) 15y5 c) 243y5
d) -243y5 e) -243xy5
2. El coeficiente numérico del 8° término del desarrollo de (2-x)11 es:a) 330 b) -330 c) 5280d) -5280 e) Otro valor
3. El coeficiente numérico del 2° término en el desarrollo de (2a+b)5 es:a) 16 b) 32 c) 80d) 10 e) 50
4. El término central en el desarrollo de:
, es:
a) b)
c) d)
e) no hay término central.
5. El término independiente de “x” en el
desarrollo de es el:
a) 2° término b) 3° términoc) 4° término d) último términoe) No hay término independiente de “x”
6. Halla el valor de “x” de tal manera que el coeficiente del 3° y 5° términos en el desarrollo de: (2x-1)5 sea igual a 72.a) x=2 b) x=4 c) x=3d) x=5 e) x=6
7. ¿Qué valor debe tener “n” para que el cuarto término del desarrollo de:
, sea el término independiente.
Cita el coeficiente del término que sigue al término de grado cero.
a) b) c)
Análisis Combinatorio Quinto Año
d) e)
8. El término central en el desarrollo de: (2x-y)6 es:a) -60x2y4 b) 60x2y4
c) 160x3y3 d) -160x3y3
e) No hay término central
9. Halla el término anterior al independiente de “x” en el desarrollo del siguiente binomio de Newton:
a) b)
c) 720x1/2 d) 360x1/4 e) 485x3
10. ¿Qué lugar ocupa el término del
desarrollo binomial de: que es
de grado 100. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
11)Hallar el 4to término de:
A) B)
C) D) E)
12)Hallar el 6to término de: Ver cual es el grado absoluto.A) 20 B) 21C) 23 D) 22 E) 10
13)Hallar el tercer término del desarrollo de:
A) B)
C) D)
E)
14)Hallar el término central de:
A) B)
C) D)
E)
15)Hallar el término central de:
A) B)
C) D) E)
16)Hallar el término central de:
A) B)
C) D) E)
17) Hallar el término de lugar 5 en:
A) B)
C) D) E)
18)Hallar el término de lugar 10 en:
A) B)
C) D) E) N.A.
19)Calcular el término central del desarrollo de:
A) B)
C) D) E) N.A.
20)Calcular el tercer término del desarrollo de:
A) B)
C) D) E)
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 25
Tema Nº 03: LOGARITMOS
Capacidades:
Define logaritmo.
Aplica propiedades de logaritmos.
Resuelve ecuaciones con logaritmos
Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.
Exploración y Desequilibrio:
¿Qué es un logaritmo?
¿En que se diferencia un logaritmo decimal, de un logaritmo neperiano?
¿Qué es un antilogaritmo y un cologaritmo?
De acuerdo a la definición de logaritmo calcula los siguientes ejercicios:
Logaritmo de en base
Si se sabe que: ; , calcular el .
Desarrollo del Tema:
1.-DEFINICIÓN DE LOGARITMOEl logaritmo de una cantidad real positiva es una determinada base (b) positiva y diferente de la unidad, es el exponente al cual debemos elevar dicha base (b) de manera que resulte dicha cantidad.
Traduzcamos a lenguaje matemático lo anterior:
donde N>0
Por ejemplo:
Otro ejemplo: Si , cuanto vale x.
2.- PROPIEDADES DE LOGARITMOSA continuación se presentan una serie de propiedades, las cuales son fundamentales para el buen desenvolvimiento del tema; del nivel de manejo que se tengan de ellas, dependerán los resultados a obtener.
(I) Relación fundamental
Logaritmos Segundo Año
(II) Logaritmo de una multiplicación y una división.
(III) Logaritmo de una potencia
(IV) Cambio de base
(V) Cologaritmo y antilogaritmo
3.- TEOREMAS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS
(I) Si:
(II) Si:
4.- ECUACIÓN LOGARÍTMICASe denomina ecuación logarítmica a toda aquella que contiene una o más funciones logarítmicas de la variable.Ejemplos:
Las raíces de una ecuación logarítmica puede hallarse:I. Aplicando la definición de logaritmo.
¡CUIDADO!
El número debe ser (+)
La base debe ser
La base debe ser (+)
RECUERDA QUE:
También:
(Regla de la cadena)
II. Aplicando la propiedad Si: entonces III. Introduciendo una nueva variable.
Ejercicios de Aplicación
1) Encontrar el valor de “x” a partir de:
Considere: a > 0 a 1
Solución:
Sabemos: logab = 1 logbbn = n logbb = n (1) = n
Según el enunciado:
Además:
Llamaremos:
Poniendo en (I):
Resolviendo:
Como m = logax
2) Reducir:
Sabemos: por lo tanto según el problema.
, reemplazando en el enunciado.
3) Resolver: Sabemos: , además
En el problema:
Como:
Logaritmos Segundo Año
En (I) tenemos:
(Para que cumpla)
Resolviendo:
Rpta: x = 2
4) Resolver la ecuación:
Sabemos:
Primeramente hacer que todos tengan una misma base.
(de I, II, III); reemplazando en el problema:
5) Calcular:
Sabemos:
En el problema:
I.
Reemplazamos:
813x
3x3logxlog
3loglog
3log1010xlogxlogx/1logxlog
4
102/5103
2/53
103
xx)x/1()x(3
1033
2333
2
Por lo tanto:
6) Si: . Calcular: log 16
Recordar:
Por lo tanto:
Luego:
Pero como:
reemplazando
Reemplazando en “a”
Por lo tanto:
1alogblog
)2log3log1(E
2log3log3log2log12log3logE
)2log1()3log1(2log3logE
ba
:Sabemos
32
322332
3232
Logaritmos Segundo Año
Práctica De Clase
1. Simplificar la expresión:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16
2. Reducir:
a) 4 b) c) 2 d) e) 1
3. Simplificar la expresión:
a) 9 b) 12 c) 18 d) 64 e) 73
4. Simplificar la siguiente expresión:
a) 15 b) 10 c) 9 d) 16 e) 41
5. Reducir la expresión
a) a b) b c) c d) 1 e) 0
6. Indicar el equivalente de:
a) 12 b) 4 c) 6 d) 42 e) 1
7. Reducir la expresión
a) 220 b)150 c)100 d)12 e) 42
8. Simplificar
a) -1 b) 4 c) -6 d) -9 e) 0
9. Indicar el equivalente de:
a) 60 b) 30 c) 15 d) 7.5 e) 3.75
10. Marcar el resultado de efectuar:
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
11. Halla el valor de ”x” en:
antilog x antilog x x =16a) 1 b) ½ c) 3/2 d) 2
12. Halla el valor de ”x” en:log 7 (x-2) + log 7 (x-5) = 2 log7 2
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6
13. log 3 (5x-1) + colog 3 (3x-5) = 2 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
14. Resuelve:
a) 2 b) 3 c) 4 d) a y b
15. ¿Que valor resuelve la ecuación? log 16 + log x + log (x - 1) + log 100 = 1 log (x2 - 4 ) + log 15 + log 2 4
a) 8 b) 9 c) 10 d ) 11
16. Calcular el valor de “x” en: Log x
x = 100a) 10-2 b) 10- 2 c) 10-3
17. El cuádruplo del logaritmo de un cierto
número excede en 4 al duplo del logaritmo del mismo número. ¿Cual es este número?
a)10 b) 102 c) 10-2 d) 10-1
18. Si log 2 = 0,30103 y log3 = 0,47712. Hallar el valor de log 48
a)1,80618 b) 0,60206 c) 1,68124
19. Calcular el valor de:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
20. Si: indicar el equivalente de:
a) b) c)
d) e)
21. Resolver:
a) 9 b) 6 c) d) 5 e) 2
22. Resolver:
a) b) c)
d) e)
23. Calcular:
Si además: ;
a) b) c)
d) e) N.A
24. Calcular el valor de “y” en:
y dar como respuesta el mayor valor de “x”
a) b) 9 c) 18
d) 27 e) 81
25. Resolver:
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
26. Resolver:
y dar como respuesta el mayor valor de “x”
a)3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10
27. Luego de resolver:
Indique la suma de raíces
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
28. Calcular el valor de “x” en:
a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9
29. Calcular el valor de “P”, si:
a)x-y b) x+y c) 2x d) 2y e) 1
30. Resolver:
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
31. Resolver:
a)1 b) 10 c) d) e)
32. Verificar la veracidad de las siguientes expresiones: ( ) El logaritmo de una
multiplicación es equivalente a la suma de los logaritmos de cada uno de sus factores
( ) El logaritmo de una división es equivalente a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
( ) La función logaritmo es toda aquella cuya regla de correspondencia viene expresado por: f(x) = log x; donde x > 0
33. Indicar cual frase es verdadera respecto a cualquier sistema de logaritmos.a) Los números positivos menores que
uno tienen logaritmos negativos
b) El logaritmo de la base siempre es cero
c) El logaritmo de uno es siempre unod) La base de un sistema de logaritmos
puede ser cero.
34. Resolver: ( logx )1/2 = log (x )1/2
a) 1 b) 102 c) 104 d) a y c
35. Calcular: 2 + log x = 3
log 24 - 8 log + 6 log - log 243
a) 32 b) 3,2 c) 0,32 d) 0,16
36. log 6x . log x 2x . log 2x 3x = log x x2
a) 2 b) 3 c) 6 d) 12
37. Determinar la suma de los valores
enteros de “n” para que: x2- x+log n=
0, admite raíces reales.a) 6 b) 7 c) 8 d) 5
Logaritmos Segundo Año
Práctica De Clase
1. Resolver la ecuación: log(7x-5) = 2
Indicar como respuestas:
a) 2 b) 5 c) 4 d) 9 e) 7
2. Calcular el logaritmo de en
base 125/27
a) 1/3 b) ½ c) 1/6 d) -1/6
3. Luego de resolver la ecuación:
Indicar como respuestas:
a) 1 b) 2 c) d) e) 3
4. Resolver la ecuación:
Marca luego el valor de 11x
a) 109 b) 201 c) 340 d) 100 e) 421
5. Después de resolver la ecuación:
Calcule el valor de:
a) 2.2 b) 1.2 c) 0.5 d) 1.5 e) 2.5
6. Calcular el valor de “x” en la
ecuación:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
7. Para qué valor de “x” se verifica la
relación:
a) 27 b) 9 c) 4 d) 16 e) 3
8. Resolver: log 2 log 3 (x+2) = 2
a) 81 b) 85 c) 79 d) 72
9. Analiza los logaritmos neperianos y
evalúa los problemas que se
presentan en la solución de los
ejercicios.
10. Elabora un listado de problemas para
ver en que se usan los problemas y
relaciónalo con la vida cotidiana.
11. ¿Cual es la base de log 8 si éste es
igual a -1,5 ?
a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d) 0,125
12. Reduciendo la expresión:
Se obtiene:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
13. Simplifique la expresión:
a) b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
14. Reducir:
a)6 b) c) 3 d) e) 2
15. Reducir la expresión:
a)25 b)5 c) 4 d)2 e) 1
16. Simplificar la expresión
a) 1 b) b c) 2 d) 2b e) 0
17. Reducir la expresión
a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 13
18. Señale el equivalente de:
a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1
19. Simplificar la expresión
a) 9 b) 0 c) -11 d) 6 e) 3
20. Hallar: log de 125 en base 625
a) 0,5 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,25
21. Hallar el número cuyo log de base 21/2
es igual a -6
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,125 d) 0,75
22. ¿Cuál de los siguientes valores es el
mayor?
a) log 1/0,25 b) log 0,2
4 5
c) log 1/27 d) log 8
3 2
23. Indicar lo falso:
a)log 7 (-7) = no existe
b)log 1 5 = no existe
c) log (-2) 8 = no existe
d)log 1 1 = no existe
e)Todas no son falsas
24. Averigua que condiciones debe
cumplir una función logarítmica para
graficarlas, además cuales son las
diferencias con otras funciones.
25. Efectuar la expresión
a) 30 b) 42 c) 12 d) 10 e) 15
26. El equivalente de la expresión
a) b) c)
d) e) ab
27. Reducir la expresión
a) 2 b) 3 c) 6
d) e)
28. Señale el equivalente de:
a) 1 b) 2 c) 4 d) a e) b
29. Hallar el valor de “x” en:
a) 3 b) c) 2 d) e)
30. Hallar el valor de “x” en:
a) b) c) d) e)
31. Calcular el logaritmo de en base
a) b) c) 4 d)2 e)
32. Hallar el de “x” en:
a) b) c) d)-4 e) -2
33. Si: ; Calcular el valor
de:
Logaritmos Segundo Año
a) b)m c)-m d) e) 2m
34. Reducir la expresión “E”
a) b) c)
d) e)
35. Resolver:
a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) 45
36. Si: Calcular el
valor de:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
37. Resolver: 6 (102x) -4 = 10 x+1
a) 1 b) 1/3 c) - 1/3 d) log 2
38. Calcular “x” si:
Log (x+1) N = 0,146 135 …..……( 1 )
log (x-1) N = 0,292 270 ………... ( 2 )
b) 2 b ) 3 c) 4 d) 5
39. Calcular el valor de E = 10r, si:
r = 0,5 - log 0,375 10
a) 5/3 b) 8/3 c) 0 d) 10/7
40. Indicar la diferencia de raíces:
log2 (9 x+1 +7) = 2 + log2 (3x+1 + 1)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
Tema Nº 04: funciones exponenciales y logarítmicas
Capacidades:
Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir
reconocer un polinomio y en forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos
ejercicios así lo requieran.
Desarrollo del Tema:
FUNCIÓN EXPONENCIAL:
Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir números reales positivos y los exponentes a números racionales.1) 7)
2) 8)
3) 9)
4) 10)
5) 11)
6) 12)
Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:
Observación:¿Por qué se excluye a, a = 1?También debemos excluir las bases negativas, ya que lo contrario tendríamos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (-1) 3/8, etc., no están definidas en el sistema de números reales.
Grafica de Funciones Exponenciales.a) Cuando la base a < 0,1>:
En el grafico se observa:
b) Cuando la base a < 1, >:
En el grafico se observa:
Grafica de la función exponencial natural, f(x) = e x :
)x( 1f
)x( 2f
1x 2x
x)x( af
(0 , 1)
y
x
x)x( af
1x 2x
)x( 2f
)x( 1f
(0 , 1)
y
x
Función Exponencial Quinto Año
Sus propiedades son las mismas que las de la función f(x) = ax
Problemas:
Graficar:
Caso I: f(x)=4x a>1
Localizamos los puntos:
Senota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Caso II:
Localizamos puntos:
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , x > 0
II) Si 1 < a < b entonces ax < bx , x < 0
III) Si 0 < a < 1 entonces Sol:1) Mediante la exponencial decreciente:
Como: 0 < a < b < 10x< ax < bx <1x solo si x es positivo, como veremos la
siguiente grafica:
x)x( 4f
64
16
4
1
-3 -2 -1 1 2 3
y
x643
162
41
10
4/11
16/12
64/13
)x(fx
1)x(f
0x:Para
1)x(f0
0x:Para
x3)x( )(f
-3 -2 -1 1 2 3
1
27
9
3
y
x27/13
9/12
3/11
10
31
92
273
)x(fx
1)x(f0
0x:Para
1)x(f
0x:Para
x3
x2
x)x( ef
x = 0
x
y
xa
xa
xbxb
y
x
2) Mediante la exponencial creciente:
Como: 1 < a < b 1 < ax < bx todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica:
Como habíamos visto anteriormente:
Cuando x < 0, caso contrario. ax > bx La proposición es verdadera
3) Graficando
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, cuales son funciones exponenciales y cuales no lo son ; escribiéndolo y mencionando si son crecientes o decrecientes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. Funciones; indica si son crecientes o decrecientes.
a.
b.
c.x
xf )/3()(
d.x
xf 12)(
e.x
xf 3/1)(
f.
g.
3. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a. + 3
b. - 1
c. + 1
d. - 5
e. + 2
f.
g. - 1
h.
4. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
xa
xa
xb
xb x)x( mf
x
y
xa
x)a1(
x
y
Función Exponencial Quinto Año
a. - 1
b. + 1
c. - 5
d.
e. - 1
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, cuales son funciones exponenciales y cuales no lo son ; escribiéndolo y mencionando si son crecientes o decrecientes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. Funciones; indica si son crecientes o decrecientes.
a.
b.
c.x
xf )/3()( +1
d.x
xf 12)( -2
e.x
xf 3/1)( - 4
f. 1
g. - 5
3. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a. + 3
b. + 1
c. -5
d. - 5
e. +5
f.
g. + 1
h.
4. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a. - 1
b. + 1
c. - 5
d. ;
e. + 1
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax, tal que f: R R+ es una función invectiva.
Y su función inversa es: (Función Logaritmo)
Sea: a > 0 a 1, siendo “a” la base, denotada por:
ay = x
Don f = R+ = < 0, > Ran f = R = <-, >
Ahora veremos las siguientes graficas:
Caso I: Si 0<a<1 0<b<1
Observamos:
0<b <a<1 x < 0,1> ; logax > logbx x < 1,> ; logax < logbx Si x = 1 logax = logbx = 0
Caso II: Si a >1 , b>1
Observamos:
1<a <1 a b son positivos. x < 0,1> ; logax > logbx x < 1,> ; logax < logbx
Ejemplos
1) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.
2) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.
3) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.
4) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su
rango.
5) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.
6) Graficar:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Para cada función sgte. Graficar y hallar dominio y rango:
y
x
xlogy axlogy b
(1, 0)
xlogy b
xlogy a
y
x(1, 0)
Función Exponencial Quinto Año
Tema nº 05: Matrices y determinantes
Capacidades:
Define matrices y determinantes
Opera con matrices.
Clasifica matrices.
Resuelve sistemas de ecuaciones aplicando matrices .
Resuelve problemas con matrices y determinantes, aplicando definiciones y
propiedades.
Desarrollo del Tema:
INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los
símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:
y , tienen la misma solución (2; 3)
y
tienen la misma solución (-4; -2; 6)
Si con los coeficientes y constantes del sistema escribimos un arreglo rectangular de números
como aparecen a continuación, dicho arreglo se llama matriz.
3 1 9 3 -3 -2 -18
5 -1 7 y B = 6 2 3 -10
3 -3 1 0
Los números de una matriz se llaman elementos.
DEFINICIÓN.- Una matriz “A” se m filas o renglones (horizontales) y n columnas (verticales) se
define tal como aparece en el arreglo de abajo y decimos que el orden de la matriz es m . n o
“matriz m . n” o simplemente matriz rectangular. Una matriz n . n se llama matriz cuadrad de
orden n.
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22 a23 …a2n
A = a31 a32 a33 …23n
. . . .
. . . .
am am2 am3 …amn
Cada elemento de la matriz se representa con doble subíndice aij, donde un elemento de la
matriz está en el í-enésima fila y j-ésima columna. Así, a22 está en la segunda fila y segunda
columna; a23 está en la fila 2 y columna 3, etc.
A=
Función Exponencial Quinto Año
IGUALDAD DE MATRICES. Sean las matrices:
3 -2 -1 9 -2 -1
4 1 2 22 10°
Observamos:
Las matrices A y B son del mismo orden 2 x 3.
Los elementos de A son igual a los correspondientes elementos de B.
Entonces A = B
De manera que: 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2
1 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2
¿Por qué?
Matriz fila: Si m = 1. Así: A =[2 -2 4 0]
Matriz columna: Si n = 1. Así: 3
A = -2
0
Matriz cuadrada: Si M = n. Así: 2 4 -1
A = 1 3 3
0 1 -5 Diagonal principal.
Matriz transpuesta.- Sea la matriz A de orden 2 x 3: 4 0 2
Si se intercambian las filas por las columnas, -1 3 5
se tiene la matriz transpuesta At de orden 3 x 2, o sea:
4 -1
At = 0 3
2 5
Matriz simétrica: Si At = A, las matrices, son simétricas, tales como:
-3 2 -3 2
2 1 2 1
Matriz antisimétrica: Si At = -A, las matrices son antisimétricas. Así:
0 3 -4 0 -3 4
A = -3 0 -2 y At = 3 0 2
4 2 0 -4 -2 0
Matriz diagonal: una matriz cuadrada es matriz diagonal, si todos los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son ceros, tales como A y B.
3 0 5 0 0
0 4 y B = 0 -2 0
0 0 4
A= B=
y
A=
A= y At=
A=
Matriz escalar: Una matriz diagonal es escalar K, si todos los lados de la diagonal principal
son iguales, tales como C y D.
2 0 -3 0 0
0 2 y D = 0 -3 0
0 0 -3
Matriz identidad: Es una matriz escalar, donde K = 1, tales como E y F.
1 0 1 0 0
0 1 y F = 0 1 0
0 0 1
Matriz nula: Es una matriz en la cual todos sus elementos son 0. Se denota por
0 0 0
0 0 0
PRÁCTICA DE CLASE
1. Si: x+1 1 4 2 y-3 y
y-x -1 2 3 -(x+y) 2
Halla:
2. Si: 4 2
1 3 , halla At
-2 3
3. Si 4 2x+y x+y
A = 3y-2 5 x2-1 ,
3y-2x 3 3
es simétrica, halla el valor de: x2-5y
4. La traza de: a 2a 3
A = 2a 5 b+1
3 2 b
vale 8, 5. Si A=At, halle: a2+b2- ¼
5. Halla: a22 + a41 + a34 – 3a12.
6. Resuelve: a21 + a14 . a45.
7. Halla la traza de la matriz A = [aij] de
orden 3 y tal que:
i+j , si ij
i-j , si i>j
8. Escribir explícitamente la matriz "A".
/32ij]A[A
ji;jia
ji;ija
ij
ij
a)
315
341
b)
543
431
c)
243
431
d)
215
341
e)
643
431
9. Dada la matriz:
y2x18
x5y9x4A
Donde se cumple:2112 a2a
0a22 Calcular: x + y.a) 5 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
10. Si:
41
53
qpnm
qp2nm
Hallar: (m - p) + (2n - q).
a) 4 b) -3 c) 2d) 3 e) -2
A=
E=
=
= [0 0]
=
=
aij=
Función Exponencial Quinto Año
11. Hallar la suma de los elementos de "x",
tal que:
04
52
12
12x
a) -2 b) 0 c) 1d) 3 e) 5
12. Construir la matriz:
j3ia/]a[A ij23ij
a)
76
12
43
b)
76
15
74
c)
96
85
74
d)
65
54
43
e)
98
76
54
13. Sean las matrices :
yx3
xy2xA
;
43
4y2B
Hallar : "x.y", si : A = B.a) 6 b) 10 c) 8d) 12 e) 14
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Dado:
1 4 2 8
2 3 1 4
A = 3 1 -3 -2
4 0 5 -1
5 -1 6 0
2. a22.a32+a42:a51- , es igual a:
a) 0 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2
3. La matriz A es de orden:
a) 5x3 b) 4x5 c) 5x4
d) 5 e) 4
4. Al resolver: a23x2-a41x-(a14+a24)=0, se
obtiene:
a) {-6; 2} b) {-6; -2} c) {2; 6}
d) {(6; -2)} e) {-2; 6}
5. x2-y2, es:
a) 27 b) 29 c) 21 d) 26 e) 24
6. Si A = [aij] es de orden 3 y aiji2-j, el valor
de tres (A) es:
a) 8 b) 10 c) 6 d) 2 e) 0
7. Si: a 8 -1
A = b+3 3 2 , traz (A) = 12
-1 k b
y A=At, el valor de es:
a) 5 b) 4 c) 9 d) 1 e) 3
8. La suma de todos los elementos de la
primera fila menos la suma de todos los
elementos de la primera columna es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -1
9. La suma de todos los elementos de la
matriz: A = [aij]2x3, donde:
aij = i + j, es:
a) 21 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25
10. Si A es una matriz de orden 4 x 3 At es
de orden:
a) 4x3 b) 3x4 c) 4
d) 3 e) 12
11. La ecuación cuadrática cuyas raíces son
½ y 1/3, es:
a) 6x2+5x+1=0 b) x2+5x+6=0
c) 6x2-5x+1=0 d) 6x2+5x+1=0
e) 6x2-5x-1=0
12. A es una matriz de orden 3. Si A es
escalar y traz(A)=21, el valor de aii es:
a) 7 b) 6 c) 5 d) a e) 21
13. A es una matriz diagonal, ¿es A=At?
a) Si b) No
14. a + 2y + x, es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 10 e) -10
ÁLGEBRA DE MATRICES
Cualquier par de números reales puede sumarse, restarse y multiplicarse; sin embargo, dos
matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse si cumple ciertas condiciones.
ADICIÓN DE MATRICES
Dos matrices A y B pueden sumarse si tienen el mismo orden m x n. La suma es la matriz m x
n que resulta de sumar cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así;
Halla A + B, si A = 3 1 -1 y B = 3 2 -5
3 -4 0 1 0 -1
Solución:
3+2 1+2 -1 +(-5) 5 3 -6
3+1 -4+0 0+(-1) 4 -4 -1
Luego: Si A = [aij]mxn y B = [bij]mxn , se tiene: A + B = [aij + bij]mxn
De donde se reduce, la operación de adición en el conjunto de matrices m x n satisface las
propiedades siguientes:
Conmutativa : A + (B+C) = (A+B) + C
Elemento Neutro : A + 0 = 0 + A = A
Inverso Aditivo : A + (-A) = 0 = (-a) + (A)
SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Para restar dos matrices A y B de orden m x n aplicamos el inverso aditivo: A – B = A + (-B)
Por ejemplo:
Halla: A – B, si: 3 2 2 -4
5 4 3 5
Solución:
-2 4 De donde: 3 2 -2 4 1 6
-3 -5 5 4 -3 -5 2 1
Luego:
Dadas las matrices: A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , se tiene: A – B = A + (-B)
PRODUCTO ESCALAR
Para multiplicar un número real “K” por una matriz A, se multiplica dicho número por cada
elemento de la matriz A.
Por ejemplo: Si K = 2 y A = -2 3 , halla: KA
5 -1
Solución:
-2 3 2(-2) 2(3) -4 6
A+B= =
A= y B=
-B= A-B=A+(-B)= + =
KA=2A = 2 = =
Función Exponencial Quinto Año
5 -1 2(5) 2(-1) 10 -2
Luego: Dado K un número real y A=(aij)mxn, el producto KA=K[aij]mxn =[kaij]mxn
PRÁCTICA DE CLASE
Sea: 3 1 1 3 1 0
3 4 -1 1 0 1
Hallar:
1. A + B
2. 4A + 5B
3. 2A – B – 3I
4. Resuelve A + X = I, si X es una matriz.
5. Si:
1 3 3 9
2 4 6 12
Hallar el valor de traz(X)
6. Si: -1 0 , calcular la suma de
2 -1
todos los elementos de la matriz.
E= A+2A+3A + … +nA
7. Si: 2x – y = B, donde: A = -1 2
x + y = A 0 1
B = 2 3 , halla la suma de todos
-1 -1
los elementos de “X”
8. Si: A + 2B + X = , donde:
1 -2 - ½ 1
-1 2 ½ -1
y es la matriz nula m, halla X
9. Efectuar: ; calcular
la suma de los elementos de la matriz
resultante.
10. Al efectuar:
;
Calcular la suma de los elementos de la
matriz resultante.
11. Calcular la transpuesta de la matriz
resultante:
12. Calcular “a + b + c + d” de modo que la
matriz resultante sea nula:
13. Calcular:”a + b + c + d ”
PRACTICA DOMICILIARIA
La suma de todos los elementos de la
matriz resultante de:
1 4 -1 -3 -1 1
1. 2 5 + 4 1 - 6 5 , es
3 6 2 2 5 7
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2. 2 1 6 9 5 8
3 4 10 12 7 9 es:
a) 0 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
3. Si: 4 -8 5 10 9 7
-12 13 7 8 11 -6
A= B= y I=
8x+4 x - =2
A=
A= B=
3 + 2 -4
- +
la suma de todos los elementos de la
matriz resultante es.
a) 39 b) -39 c) 40 d) -131 e) 131
4. Si:
4 -8 5 10 9 7
12 13 7 8 11 -6
la traza de la matriz resultante es:
a) 19 b) 65 c) 111 d) 93 e) -26
5. Si:
-8 13 a c 1 0
4 7 b d 0 1
el valor de ad – bc, es
a) 106 b) -106 c) -3 d) 2 e) -10
6. Si:
1 4 7 -1 4 -7
B = 2 5 8 -2 -2 5 -8
3 6 9 -3 6 -9
Traz(B) es:
a) 35 b) -25 c) 29 d) 25 e) -35
14. Si:
4 5 -3
Bt = -2 -8 7 , traz (B+Bt) es:
3 4 10
a) 12 b) 44 c) -16 d) -12 e) -44
15. Si: a d 1 3 0 1
b e +2 1 5 -3 -1 0 =
c f 1 -2 3 -2
El valor de: a+b+c-(d+e+f), es
a) 0 b) -5 c) 15 d) 5 e) 24
16. Si: -2 3 4 2 -3 4
A = 0 1 -2 y B = -3 5 2
0 0 0 4 2 8
Halla: At + b
0 0 8 0 -3 -4
a) -3 6 0 b) 0 6 2
4 2 8 8 0 8
0 -3 4 0 -3 4
c) 0 6 2 d) 0 6 2
8 0 8 -8 0 8
0 3 4
e) 0 -6 2
8 0 8
17. Sean las matrices:
21
73By
13
24A
Hallar: 3A - 4B.
a)
128
3224
b)
125
164
c)
248
140
d)
109
64
e)
513
220
18. Dados:
31
13A
y
10
29B
Si: P(x;y) = 3x - 2y + 2Hallar: P(A; B).
a)
11
07
b)
33
29
c)
10
72
d)
93
77
e)
20
19
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Dadas las matrices A y B, el producto de matrices AB está definido si y solo si el número de
columnas de A es igual al número de filas de B, tales como:
1 3 4 2 -2 1 4 3 -2 4
-2 4 1 3 3 2 0 y B = 0 5 -1
1 2 6
3 +2 -4
+ =
A= y B= A=
Función Exponencial Quinto Año
Para multiplicar dos matrices cada elemento de la fila “i” de la matriz A por el elemento
correspondiente de la columna “j” de la matriz B, luego se suman los productos.
Por ejemplo:
Sean:
-2 1 4 3 -2 4
3 2 0 y B = 0 5 -1 Halla: AB
1 2 6
Solución:
(-2)(3) + (1)(0) + (4)(1) (-2)(-2) + (1)(5) + (4)(2) (-2)(4) + (1)(-1) + (4)(6)
(3)(3) - (2)(0) + (0)(1) (3)(-2) + (2)(5) + (0)(2) (3)(4) + (2)(-1) + (0)(6)
-6 + 0 + 4 4 + 5 + 8 -8 -1 + 24 -2 17 15
9 + 0 + 0 -6 + 10 – 0 12 – 2 + 0 9 4 10
Observa que A es una matriz de orden 2 x 3 es de orden 3 x 3 y Ab es una matriz de orden 2 x
3. AB está definido, porque: 3 = 3. En general, el producto de una matriz A de orden m x n con
otra matriz B de orden m x p es la matriz C de orden m x p. C está definida, porque: m=n
Luego:
Si: A = [aij]mxn y B = [bij]mxp , entonces AB es la matriz.
C = [cij]mxp , donde cij = aijbij + ai2b2j + … + ain bnj
PRÁCTICA DE CLASE
A=
AB=
AB= =
Efectúa:
4
1. [1 3 4]1x3 x -2
2 3x1
4
2. -2 x [1 3 4]1x3
2 3x1
3. 4 3 2
1 5 2x2 3 2x1
4. 2 1
3 3 x
-1 4
5. 2 4 1 3
3 5 5 2
1 0 1 4 2
6. 2 2 x -1 0 2
4 3
7. Si: A = 1 1 , halla traz(A2)
-1 -1
8. Si: A = 2 -1 , halla A2
-1 2
9. Si: A = 1 0 , halla A3
0 1
10. Si A = a 2 B = 1 2 ,
b -1 3 4
A x B = B x A, halla: a + b
11. Si A = 1 -1 x 1 -1
0 -1 0 -1
12. Si A = 1 1 , halla el valor de:
-1 0
A15 + A19
13. Si A = a c , halla: I x A
b d
donde I es la matriz identidad.
14. Calcular El Producto DE : M.Mt ; sabiendo
que:
15. Calcular a + b:
16. Calcular “m + n”
17. Calcular la suma de de los elementos de la diagonal principal de la resultante de la
matriz:
18. Calcular la suma siguiente:
19. Efectuar: ;
Calcular la suma de los elementos de la matriz resultante.
PRACTICA DOMICILIARIA
El resultado de:
1. [-2 4] x 2 es: 3. Si: 3 -2 x a b = 17 1
3 1 4 -1 5 1 23
-1-2
x
Función Exponencial Quinto Año
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 el valor de a + b es:
a) -8 b) -2 c) 10 d) 8 e) 2
2. 2
[1 5 7] x 4 es 4. Si: 1 -1 3 a 5
6 2 -3 4 x b = 8 , el
3 -2 0 c 6
a) 64 b) 12 c) 25 d) 16 e) 24 valor de a+b – 2c es:
a) -1 b) 0 c) 4 d) 5 e) -2
5. Si: 4 8 x -1 = a 6. La suma de todos los elementos de la
-2 9 4 b resultante de:
el valor de: a + b, es: 2 -4 2 0 4
a) 65 b) 66 c) 67 d) 70 e) 16 3 0 x -3 1 2 , es:
-1 1
7. Si A = -1 1 , el valor de traz(A3), es a) 45 b) 46 c) 24 d) 28 e) 25
0 -1
a) 1 b) -3 c) -2 d) 3 e) -1 8. Si: a2 a x 1 = 8 ,
b2 -3b 2 -9
9. Si: 2 -1 x 1 2 = m 5 el valor de el valor de a3+b3, si a > 0 , b > 0, es:
3 4 5 -3 n x
(m+n) – (r+s), es: 10. 2 0 4 2 -4
a) 19 b) 13 c) 7 d) 21 e) 33 -3 1 2 x 3 0 , es:
-1 1
11. Si: A = -1 -1 , el valor de A3, es a) 3 b) 5 c) 7 d) 14 e) -9
0 1 12. Si M = 1 1 , el valor de 3M5-2M24 es
a) –A b I c) –I d) A+I e) A -1 0
a) A b) 2A c) I d) –A e) –I
13. Sean las matrices :
21
32A
214
321B
Hallar: A.B.
a)
709
12114
b)
709
12011
c)
109
10114
d)
809
12114
e) N.A.
14. Dada la matriz:
011
121
221
A
Hallar la traza de 2A
a) 7 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Dados :
423
312A
21
32
11
B
Hallar : A×B.
a)
42
10
b)
63
11
c)
53
11
d)
65
11
e)
51
22
16. Dada la matriz:
21
04A
Calcular: AA2
a)
24
06
b)
50
120
c)
01
43
d)
25
012
e)
10
05
17. " " y " " son las raíces de la ecuación:
031x4x2 Calcular el determinante de:
a) 4 b) 9 c) 16d) 25 e) 36
18. Dada la matriz:
10
12A
Además: I2x5x)x(P 2
Dar la suma de elementos de P(A):a) 8 b) -6 c) -4d) 6 e) -8
19. Dada la matriz:
25
14B
Calcular: IB3 T
a)
74
013
b)
69
1315
c)
73
1513
d)
29
516
e)
69
1518
DETERMINANTES
Hemos visto que una matriz es un arreglo rectangular de números. Si la matriz es cuadrada, se
le puede asignar un número al que se llama determinantes de la matriz. Si la matriz cuadrada
es A, el determinante es el número que se denota por |A| (no confundir con la notación de valor
absoluto).
Por ejemplo:
Si la matriz es A = 3 5 , su determinante es |A| = 3 5
2 -1 2 -1
De acuerdo al número de filas y columnas en una matriz cuadrada, el determinante puede ser
de: 2do. orden, 3er. orden, orden superior; nosotros nos referimos solamente de los
determinantes de segundo y tercer orden.
DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN
De la matriz cuadrada: A = a11 a12
a21 a22
El determinantes |A| es de segundo orden y se define como sigue:
a11 a12
|A| = a11 a22 – a12a21
a21 a22
Así:
3 5
|A| = = (3)(-1) – (5)(2) = -3-10 = -13. Rpta.
2 1
De manera que si las flechas indican la diagonal principal Diagonal secundaria
Función Exponencial Quinto Año
y diagonal secundaria, el determinante de segundo orden
es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la Diagonal principal
diagonal secundaria.
DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Si la matriz cuadrada: a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
El determinante de A es de tercer orden y se define como sigue:
a22 a23 a21 a23 a21 a22
|A| = a11 -a32 +a13
a32 a33 a31 a33 a31 a32
Este método de hallar una determinante de tercer orden se llama método de cofactores, donde
se observa:
Se toma cualquier elemento como un factor y el otro factor es el determinante de segundo,
donde no intervienen los elementos de su fila ni de su columna.
El primer y tercer factor son positivos y el segundo factor es negativo.
Por ejemplo:
2 1 1 -1 3 1 3 1 -1
|A| = 1 -1 3 = 2 2 2 -1 3 2 + 1 3 2
3 2 2
= 2(-2-6) – 1 (2-9) + 1 (2+3)
= -16 + 7 + 5 = -4 Rpta.
MÉTODO DE SARRUS
Para hallar una determinante de tercer orden por el método de Sarrus, se escribe a la derecha
de la matriz las dos primera columnas, luego se multiplican siguiendo el sentido de las flechas
y teniendo en cuenta el signo. Así:
FORMA GENERAL:
a11 a12 a13 a11 a12 |
|A| = a21 a22 a23 a21 a22 |
a31 a32 a33 a31 a32 |
- - - + + +
Ejemplo:
2 1 1 2 1
|A| = 1 -1 3 2 -1 |A| = (-4+9+2) – (-3+12+2)
3 2 2 3 2 = 7 – 11
= 4 Rpta.
- - - + + +
Advertimos que este método no funciona para determinantes de orden superior.
PRÁCTICA DE CLASE
Sean: A = 4 5 , B = -5 -1 C = 1 0 1 y D = 2 3 -1
-2 -3 3 2 1 2 2 0 4 2
4 1 3 1 -5 -3
Halla:
1. |A| + |B| 2. |A + b| 3. |A| x |B| 4. |A x B|
5. |C| - |D| 6. |C + D| - |C x D| 7. Si X Z, resuelve: x2 x = 10
1 3
PRACTICA DOMICILIARIA
1. Si. A = 2 3 , B = -3 10
1 5 4 -2
1 4 7 3 4 5
C = 2 5 8 D = 7 8 9
3 6 9 11 12 13
el valor de:
2. |A| - 3|B|, es:
a) 109 b) 115 c) -131 d) 131 e) -27
3. , es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. |C|, es:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
5. |D|, es:
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
6. |A+B|, es:
a) 68 b) -27 c) 62 d) -68 e) 27
7. |A+B|, es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 5
8. a b c
a b c es:
1 2 3
a) -1 b) 0 c) a d) b e) c
9. m n p
m2 mn mp , es:
m2 n2 p2
a) m b) 0 c) n d) p e) mnp
10. 37 -23
-27 -3 , es:
a) 147 b) -147 c) -721
d) 721 e) -21
11. 3 0 1
2 x 2 = 28, es
Función Exponencial Quinto Año
4 -2 3
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
12. Se define la siguiente función :
z00
5y0
75x
z98
0y4
00x
z00
0y0
00x
F )z,y,x(
A partir de ella, calcular: F (1, 2, 4).a) 16 b) 18 c) 24d) 15 e) 23
13. Sabiendo que :
3256
ba
32
ba
Calcular el valor de: 14
ba4
a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e)128
14. Luego de resolver la siguiente ecuación:
0
13
xx2
1x
Indicar la suma de cuadrados de las soluciones.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Luego de resolver la siguiente ecuación:
28x1
183
x2
15
Indicar su solución:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
16. Se define la siguiente regla:
143
102
cba
)c,b,a(P
A partir de ella, calcular : P(-2, 0, 1).a) 16 b) 19 c) 20d) 21 e) 22
17. Si :
2dc
ba
Hallar el valor de: b1
d12
dc2
ba2
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
18. Dada la ecuación:
z00
3y0
21x
z20
1y3
12x
= 0se pide calcular el valor numérico de :
1z
x
a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 11
19. Dadas las matrices:
11
13A
y
30
24B
Hallar: |A|
|B||B.A|
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
20. Hallar el valor de:
a0b
111
aba
E
a) a + b b) a - b c) ab
d) ab - 1 e) 22 ba
21. Si se sabe:
0
654
cba
321
Además: a + b + c = 18.Calcular:
13
bca
a) 6 b) 13 c) -6d) 12 e) 18
22. Luego de resolver la siguiente ecuación:
0x2
33
128
1x5
00x
Indicar el producto de soluciones.a) 5 b) -5 c) 6d) 3 e) -7
23. Si: y; son las raíces de la ecuación:
03x5x3 ; Calcular el
determinante de:
a) 0 b) 1 c) -1d) 4 e) 7
REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES
LINEALES
GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los
símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:
Sea un sistema de ecuaciones lineales:
Multiplicando la primera ecuación por b2 y la segunda ecuación por –b1:
De donde: aab2x – b1a2x = c1b1 – b1c2
Factorizando: x(a1b2 – b1a2) = c1 b2 – b1 c2 De donde:
De manera semejante hallamos “y” multiplicando la primera ecuación por a2 y la segunda
ecuación por –a1.
Observando cuidadosamente cada numerador y el denominador común, se deduce que se
pueden escribir como determinantes, así:
c1 b1
c2 b2 ; a1 b1
a2 b2
a1 c1
a2 c2 ;
Luego: Si: a1 b1 0, entonces:
a2 b2
c1 b1 a1 c1
c1 b2 a2 c2
X = ; y =
c1b2 – b1c2 =
a1b2 – b1a2 =
a1c2 – c1a2 =
Función Exponencial Quinto Año
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
Ejemplo:
Resuelve:
Solución:
1 3 1 1
-1 -5 -5 -3 1 - 1 -1 - 1
X = : = 4 ; y = = = -1
1 -3 -5 + 3 1 -3 -5 + 3
1 -5 1 -5
PRÁCTICA DE CLASE
Resuelve empleando determinantes o regla.
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
PRACTICA DOMICILIARIA
Resuelve la regla de Cramer:
1.
2.
Al resolver por la regla de Cramer:
3.
el valor de es:
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4
4.
el valor de x es:
5. el valor de y es:
a) 2458 c) 3687 c) 7374
d) -7374 e) -2458
6. , el valor de +x+y,
es
a) 388 b) -401 c) 401
d) -198 e) -388
Resuelve la regla de Cramer:
7. Resolver:
8. Resolver
9. Resolver:
10. Resolver:
11. Resolver:
12. Resolver:; hallar “x + 2y”
Cálculo Diferencial Quinto Año
Tema Nº 06: cálculo diferencial
Capacidades:
Reconoce y aplica los conceptos básicos de funciones.
Calcula el límite de funciones aplicando su definición.
Calcula el límite de una función aplicando propiedades.
Calcula la derivada de una función.
Desarrollo del Tema:
VARIABLES, FUNCIONES Y LÍMITES
1. VARIABLES Y CONSTANTES
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso
de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las
últimas letras del alfabeto.
Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.
Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los
problemas, como 2, 5 7, , etc.
Constantes arbitrarias o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores
numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente
se representan por las primeras letras del alfabeto.
Así, en la ecuación de la recta:
x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea, mientras que
a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada
en el origen, las cuales se supone que son los valores definidos para cada recta.
El valor numérico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico,
se representa por |a|. Así, |-2|=2=|2|. El símbolo |a| se lee “valor numérico de a” o “valor
absoluto de a”.
2. INTERVALO DE UNA VARIABLE
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo,
podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores
comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos
sean incluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los
números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga
explícitamente otra cosa. Este símbolo [a, b] se lee “intervalo de a y b”.
3. VARIACIÓN CONTINUA
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo (a, b) cuando x
aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores
intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes; o cuando x disminuye desde x=n
hasta x=a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios. Esta idea se ilustra
geométricamente mediante el diagrama siguiente.
a x b
0 A P B
Tomando el punto 0 como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B
correspondientes a los números a y b. Además, hagamos corresponde el punto P a un valor
particular de la variable x. Evidentemente, el intervalo [a, b] estará representado por el
segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [a, b], el punto P
engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA si x disminuye.
4. FUNCIONES
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda
determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de
la segunda.
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza,
y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en
las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso que
un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su
fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede
recorrer depende del tiempo. O también podemos decir que el área de un cuadrado es una
función de la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su
diámetro.
5. VARIABLE INDEPENDIENTE Y DEPENDIENTE
La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de límites que
dependen del problema particular, se llama la variable independiente o el argumento. La
primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable
independiente, se llama la variable dependiente o la función.
Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a nuestro
arbitrio el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha esta
elección, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones
y hacer las transformaciones pertinentes. El área de un cuadrado, por ejemplo, es una
función de la longitud del lado, y, recíprocamente, la longitud del lado es una función del
área.
Cálculo Diferencial Quinto Año
6. NOTACIÓN DE FUNCIONES
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto de
distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F(x), (x), f’(x), etc.
Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una
misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos más simples, esta
ley expresa la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable. Por
consiguiente, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma
operación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. Así, por
ejemplo, si
f(x) = x2 – 9x + 14,
entonces,
f(y) = y2 – 9y + 14;
f(b+1) = (b+1)2 – 9(b+1) + 14 = b2 – 7b + 6
f(0) = 02 – 9.0 + 14 = 14
f(-1) = (-1)2 – 9(-1) + 14 = 24
f(3) + 32 – 9.3 + 14 = - 4
7. LA DIVISIÓN POR CERO, EXCLUIDA
El cociente de dos números a y b es un números tal que a = bx. Evidentemente, con esta
definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = 0, y recordando que cero
tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no
existe, a menor que a = 0. Si a = 0, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto,
las expresiones que se presentan en una de las formas
,
carecen de sentido por no ser posible la división por cero.
Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un
ejemplo.
Supongamos que a = b
Entonces, evidentemente ab = a2
Restando b2, ab – b2 = a2 – b2
Descomponiendo en factores, b(a – b) = (a + b) (a – b)
Dividiendo por a – b b = a + b
Pero, a = b;
luego, b = 2 b,
o sea que 1 = 2
El resultado absurdo proviene de haber dividido por a b = 0
Ejercicios de clase
1. Dado f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2f(3), f(7)=5 f(-1).
2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).
3. Si F()=sen 2+cos , hallar F(0), F(1/2 ) . F().
4. Dado f(x)=x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(t + 1)=t3 – 2t2 – 11t+12.
5. Dado f(y) = y2 – 2y+6, demostrar que f(y + h)=y2 2y+6+2(y-1)h + h2.
6. Dado f(x) = x3 + 3x, demostrar que f(x + h) – f(x) = 3(x2+1)h + 3xh2 + h3.
7. Dado f(x) = , demostrar que f(x+h) – f(x) = .
8. Dado (z)=4, demostrar que (z+1) - (z) = 3 (z).
9. Si (x) = ar, demostrar que (y) . (z) = (y + z).
10. Dado (x) = , demostrar que (y) + (z) = .
11. Dado f(x)=senx, demostrar que f(x+2h) – f(x) = 2 os (x+h) senh.
8. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN; CONTINUIDAD
Consideremos la función x2 y hagamos
(1) y = x2
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y
para los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola
(Fig. 1) y se llama la gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 4) y se llama la
gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x=a hasta x=b, entonces y
variará continuamente desde y=a2 hasta y=b2, y el punto P(x, y) se moverá continuamente,
a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2) hasta (b, b2). Además, a y b pueden admitir
todos los valores. En este caso decimos que ´´ la función x2 es continua para todos los
valores de x´´.
Consideremos ahora la función . Hagamos.
(2)
Esta ecuación da un valor de y para cada valor de x, con excepción de x=0 (Art. 12); para
x=0 la función no está definida. La gráfica (Fig. 2), que es el lugar geométrico de (2), es
una hipérbola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo [a, b] que no
incluya x=0, entonces y decrecerá continuamente desde hasta , y el punto P(x, y)
Cálculo Diferencial Quinto Año
describirá la curva entre los puntos correspondientes , . En este caso decimos
que ´´la función es continua para todos los valores de x con excepción de x=0´´. No
existe en la gráfica un punto correspondiente a x=0.
Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función. Una definición se dará
en el Artículo 17.
9. LÍMITE DE UNA VARIABLE
La noción de una variable que se aproxima a un límite se encuentra en la Geometría
Semental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área
de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después,
que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacia un límite, y este límite se define
como área del círculo. En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la
diferencia a-v (siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a
ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño
que éste se haya elegido.
El concepto de límite se precisa mediante la siguiente definición: Se dice que la variable v
tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor
numérico de la diferencia v-l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número
positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.
La relación así definida se escribe lím v=l. Por conveniencia, nos serviremos de la notación
v l, que se leerá ´´v tiende hacia el límite l´´ o, más brevemente, ´´v tiende a l´´
(Algunos autores usan la notación v l).
Ejemplo: Si v toma la sucesión infinita de valores.
2 + 1, 2 +
Es evidente que v 2 al crecer n, es decir, lím v = 2.
Si sobre una línea recta, como en el Artículo 8, se señala el punto L que corresponde al
límite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud 8, sin importar lo pequeño que éste sea,
entonces se observará que los puntos determinados por v caerán todos, finalmente, dentro
del segmento que corresponde al intervalo [l-8, l+8]
10.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el
siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v
recibe valores tales que v l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable
dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un límite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa esta relación
escribiendo
y se leerá: ´´el límite de z, cuando v tiende a l, es a.´´
11.TEOREMAS SOBRE LÍMITES
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las
demostraciones se darán en el Artículo 20.
Supongamos que u, y y w sean funciones de una variable x y que
Entonces son ciertas las siguientes relaciones:
(1)
(2)
(3)
En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es
igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites
respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.
Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce:
(4)
Consideremos otros ejemplos:
1. Demostrar que
Demostración: La función dada es la suma de x2 y 4x. En primer lugar hallaremos los
límites de estas dos funciones.
Según (2)
Según (4)
Luego, según (1), el límite buscado es 4 + 8 = 12.
2. Demostrar que .
x a
x a x a x a
x 2
Cálculo Diferencial Quinto Año
Demostración: Considerando el numerador, , según (2) y (4). En
cuanto al denominador, . Luego, de (3), tenemos el resultado buscado.
12.FUNCIONES CONTINUNAS Y DISCONTINUAS
En el ejemplo 1 del Artículo 16, donde se demostró que
observamos que la solución es el valor de la función para x=2; es decir, el valor límite de la
función cuando x tiende a 2 es igual al valor de la función para x=2. En este caso decimos
que la función es continua para x=2. La definición general es la siguiente:
DEFINICIÓN: Se dice que una función f(x) es continua para x=a si el límite de la función,
cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x=a. En símbolos, si
entonces f(x) es continua para x=a.
Se dice que la función es discontinua para x=a si no se satisface esta condición.
Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente.
CASO I.- Como ejemplo sencillo de una función que es continua para un valor particular de
la variable, consideremos la función
Para x = 1, f(x)=f(1)=3. Además, si x tiende a 1, la función f(x) tiende a 3 como límite
(Art.16). Luego la función es continua para x=1.
CASO II.- La definición continua supone que la función está definida para x=a. Sin
embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la función tal valor para x=a
que la condición de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente
teorema:
Teorema: si f(x) no está definida para x=a, pero
entonces f(x) será continua para x=a, si se toma como valor de f(x) para x=a el valor B.
Así, por ejemplo, la función
no está definida para x=2 (puesto que entonces habría división por cero). Pero para todo
otro valor de x.
y
luego,
Aunque la función no está definida para x=2, si arbitrariamente asignamos a ella para x=2
el valor 4, se hace continua para este valor.
Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo cuando es continua para todos los valores de x dentro de este intervalo.
En el cálculo e integral, es frecuente tener que calcular el límite de una función de la
variable v, cuando v tiende a un valor a situado en un intervalo en un intervalo donde la
función es continua. En este caso el límite de la función es el valor de la función para v=a.
13.INFINITO ()
Es el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier
número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve
infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente
toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para
los tres casos es
En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición del Artículo 14. La notación
lím v = , o v, debe leerse ´´v se vuelve infinita´´ y no ´´v se aproxima al infinito´´**
Con esta notación podemos escribir, por ejemplo,
Significando que 1/x se hace infinito cuando x tiende a cero.
Según el Artículo 17, es evidente que si
es decir, si f(x) se hace infinita cuando x tiende a a, entonces f(x) es discontinua para x=a.
Una función puede tender hacia un límite cuando la variable independiente se hace infinita.
Por ejemplo:
En general, si f(x) tiende al valor constante A como límite cuando x, empleamos la
notación del Artículo 17 y escribimos
Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La
constante c no es cero.
z 2
z 0
x x
Cálculo Diferencial Quinto Año
Escrito en forma de interés Forma abreviada , frecuentemente usada
(1)
(2) c . =
(3)
(4)
Estos límites particulares son útiles para hallar el límite del cociente de dos polinomios
cuando la variable se hace infinita. El siguiente ejemplo ilustrará el método.
EJEMPLO ILUSTRATIVO.- Demostrar que .
DEMOSTRACIÓN: Divídanse el numerador y el denominador por x3, que es la mayor
potencia de x que entra en la fracción. Entonces tenemos:
El límite de cada término que contiene a x, tanto en el numerador como en el denominador
del segundo miembro, es cero, de acuerdo con (4). Por consiguiente, se obtiene la solución
aplicando las fórmulas (1) y (3) del Artículo 16.
En cualquier caso análogo se procede, por lo tanto, como sigue:
Se dividen numerador y denominador por la mayor potencia de la variable que entre en la
fracción.
Si u y v son funciones de x, y
Y A no es igual a cero, entonces
Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16, cuando B = 0 y A no es
cero. Véase también el Artículo 20.
PRÁCTICA DE CLASE
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
1. 2.
x 0
x
r
x a
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
PRÁCTICA DOMICILIARIA
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. Dado f(x)= x2, demostrar que
8. Dado f(x) = ax2 + bx + c, demostrar que
9. Dado f(x) = , demostrar que
10. Si f(x) = x3, hallar
PRÁCTICA
Hallar el valor de los siguientes límites:
Cálculo Diferencial Quinto Año
01)a) 13 b) 14 c) 15 d) 19 e) 20
02) a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 10
03) a) 1/6b) ½ c) 1/3d) 1/8e) 1/7
04) a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) N.A.
05) a) -1/4 b) 2/7 c) 1/8 d) -1/2 e) N.A.
06) a) 1/3b) 1/2c) -1/6 d) 1/7 e) 1
07) a) 1/3 b) 1/2 c) 1/8 d) 1/7 e) -1/2
08) a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1
09) a) 3 b) 3/2c) 2/3d) 3/7e) 7
10) a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4
11)siendo “f” una función definida por:
f(x) = sabiendo que existe:
. Hallar
a) -9 b) -8 c) -7 d) -6 e) -5
12)
a) 672 b) 600 c) 172 d) 345e) 729
13)
a) 1/12 b) 1/15 c) 1/25d) 1/16 e) N.A.
14)Calcular:
15)Calcular:
16)Calcular:
17)Calcular:
18)Calcular:
19)
20)
21)
22)
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
23)
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13
24)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
25)
a) 5 b) 25 c) 125d) 625 e) N.A.
26)
a) b) c)
d) e)
27)
a) b) c)
d) e)
28)
a) b) c)
d) e) N.A.
29)
a) 0 b) 1 c) 2
d) e)
30)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
31)
a) b) 1 c)
d) e)
32)
a) b) c)
d) e) N.A.
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
DERIVACIÓN
1. INTRODUCCIÓN
Cálculo Diferencial Quinto Año
En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable
independiente. El problema fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer con
toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole,
problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a
Newton * al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo Infinitesimal, el
instrumento científico más poderoso del matemático moderno.
2. INCREMENTOS
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se
obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el
símbolo x, que se lee ´´delta x´´. El estudiante no debe leer este símbolo ´´delta veces x
´´
Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo ** según que la variable
aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo,
y significa incremento de y,
significa incremento de ,
f(x) significa incremento de f(x), etc
Si en y=f(x) la variable independiente x toma un incremento x, entonces y indicará el
incremento correspondiente de la función f(x) (o sea, de la variable dependiente y).
El incremento y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que
corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el
incremento x. Por ejemplo, consideremos la función.
y = x2
Si tomamos x=10 como valor inicial de x, esto fija y=100 como valor inicial de y.
Supongamos que x aumenta hasta x=12, es decir, x = 2;
entonces y aumenta hasta y=144, y y = 44.
Si se supone que x decrece hasta x=9, es decir, x=.1;
entonces y decrece hasta y=81, y y = . 19.
En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuando x decrece. Los valores
correspondientes de x y y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca
cuando x aumenta, o viceversa; x y y tendrán entonces signos contrarios.
3. COMPARACIÓN DE INCREMENTOS
Consideremos la función
(1) y = x2
Supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos después un incremento x.
Entonces y tomará un incremento correspondiente y, y tendremos:
y + y = (x + x)2 ,
o sea, y + y = x2 + 2 . x + (x)2
Restando (1) , y = x2
(2) y = 2 x . x + (x)2
obtenemos el incremento y en función de x y x.
Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dos miembros de (2) por x, y
resulta.
Si el valor de x es 4, es claro (Art. 16) que
Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, cómo se comporta la razón de los
incrementos de x y de y cuando el incremento de x decrece.
Valor
Inicial de x
Valor
Final de x
Incremento
x
Valor
Inicial de y
Valor
Final de y
Incremento
y
4
4
4
4
4
4
4
5,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,1
4,01
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,01
16
16
16
16
16
16
16
24
23,04
21,16
19,36
17,64
16,81
16,0801
9
7,04
5,16
3,36
1,64
0,81
0,0801
9
8,8
8,6
8,4
8,2
8,1
8,01
Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer x también disminuye y, mientras que la
razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01. Esta
sucesión de valores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón sea tan
próximo a 8 como deseemos con sólo tomar a x suficientemente pequeño. Luego,
4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
La definición fundamental del Cálculo Diferencial es la siguiente:
La derivada * de una función es el límite de la razón del incremento de la función al
incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.
Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene
derivaba.
La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función:
(1) y = f(x)
consideremos un valor inicial fijo de x.
Cálculo Diferencial Quinto Año
Demos a x un incremento x; entonces obtenemos para la función y un incremento y,
siendo el valor final de la función.
(2) y + y = f(x+x)
Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene
(3) y = f(x + x) – f(x)
Dividiendo los dos miembros por x, incremento de la variable independiente, resulta:
(4)
El límite del segundo miembro cuando x0 es, por definición, la derivada de f(x), o sea,
según (a), de y, y se representa por el símbolo . Luego, la igualdad
(A)
define la derivada de y [o de f(x)] con respecto a x.
De (4) obtenemos también
Asimismo, si u es función de t, entonces,
= derivada de u con respecto a t.
La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación.
5. SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR LAS DERIVADAS
Puesto que y y x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión
es una verdadera fracción. Pero el símbolo ha de mirarse no como una fracción,
sino como el valor límite de una fracción. En muchos casos veremos que este símbolo sí
tiene propiedades de fracción, y más adelante demostraremos el significado que puede
atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo ha de considerarse como conjunto.
Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se emplea
también el símbolo f’(x) para representar la derivada de f(x). Luego, si y = f(x) podemos
escribir la igualdad , que se lee ´´la derivada de y con respecto a x es igual a f
prima de x´´ El símbolo , considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica
que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto a x. Así.
indica la derivada de y con respecto a x;
indica la derivada de f(x) con respecto a x;
indica la derivada de 2x2+5 con respecto a x
El símbolo y es una forma abreviada de .
El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de . Luego, si y = f(x), podemos
escribir las identidades.
Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que x0, la variable es x. El
valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x=x0 desde el principio
hasta el fin, podemos escribir:
6. FUNCIONES DERIVABLES
De la teoría de los límites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto
valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de
la variable.
Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son
continuas y, a pesar de eso, no tienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en
las matemáticas aplicadas, y en este libro se consideran solamente las funciones
derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable
independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados.
7. REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función
y=f(x) comprende los siguientes pasos:
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
PRIMER PASO.- Se sustituye en la función x por x + x, y se calcular el nuevo valor de la
función y + y.
SEGUNDO PASO.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene y
(incremento de la función).
Cálculo Diferencial Quinto Año
TERCER PASO.- Se divide y (incremento de la función) por x (incremento de la variable
independiente).
CUARTO PASO.- Se calcula el límite de este cociente cuando x (incremento de la variable
independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.
El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos
ejemplos. La resolución detallada de tres de estos ejemplos se da a continuación. Nótese
que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto piso, manteniéndose x constante.
Ejemplo 1.- Hallar la derivada de la función 3x2 + 5
Resolución: Aplicando los pasos sucesivos de la regla general, obtenemos, después de
hacer y = 3x2 + 5.
Primer Paso y + y = 3(x + x)2 +5
= 3x2 + 6x . x + 3 (x)2 + 5
Segundo Paso y + y = 3x2 + 6x . x + 3 (x)2 + 5
y = 3x2 + 5
------------------------------------------
y = 6x . x + 3 (x)2
Tercer Paso
Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos x0. Según (A) resulta:
O bien
Ejemplo 2.- Hallar la derivada de x3 – 2x + 7
Resolución: Hagamos y=x3 – 2x + 7
Primer Paso y + y = (x + x)3 – 2(x + x) + 7
= x3 + 3x2 . x + 3x . (x)2 + (x)3 – 2x – 2 . x + 7
Segundo Paso y + y = x3 + 3x2 . x + 3x . (x)2 + (x)3 – 2x – 2 . x + 7
Y = x3 - 2x + 7
--------------------------------------------------------------------
y = 3x2 . x + 3x . (x)2 + (x)3 - 2 . x
Tercer Paso
Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos x0. Según (A) tendremos:
O bien
Ejemplo 3.- Hallar la derivada de la función
Resolución: Hagamos
Primer Paso
Segundo Paso
Y =
------------------------
Tercer Paso
Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos x0. Según (A) tendremos:
PRÁCTICA DE CLASE
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1. y = 2 – 3x Sol. Y’ = -3 2. y = mx + b y’ = m
3. y = ax2 y’ = 2 ax 4. s = 2t-t2 s’ = 2-2t
5. y = cx3 y’ = 3cx2 6. y = 3x – x3 y’ = 3 – 3x2
7. u = 4v2 + 2v3 u’ = 8v + 6v2 8. y = x4 y’ = 4x3
9. 10.
Cálculo Diferencial Quinto Año
11. 12.
13. 14.
PRÁCTICA DOMICILIARIA
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1. 2.
3. 4.
5. 6. S = at2 + bt + c
7. v = 2v3 – 3v2 8. y = ax3 + bx2 + cx + d
9. Q = (a - b)2 10. y = (2 – x) (1 – 2x)
11. y = (Ax + B) (Cx + D) 12. s = (a + bt)3
13. 14.
REGLAS PRÁCTICAS DE DERIVACIÓN
1. Derivada de una potenciaSea f(x) una función y
Caso particular:
NOTA: Se lee: “Derivada de f(x) con respecto a x”
2. Derivada de una constante:
3. Derivada de una constante por una potencia.¡Es similar al a 1ª regla!
Caso particular:
4. Derivada de una suma
También:
NOTA:Se sabe que:
Si la base es una función así como:
Aplicamos la regla y lo multiplicamos por la derivada de
5. Derivada de una diferencia
También:
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Su
derivada
sen x Cos x
cos x - sen x
tg x Sec2x
ctg x -csc2x
sec x Secx . tgx
csc x -cscx . ctg x
6. Derivada de un producto
También :
Cálculo Diferencial Quinto Año
siendo U y V dos funciones.
7. Derivada de un cociente
También:
donde: u y v son funciones.
8. Derivada de una función exponencialCaso (I):
Donde: u = f(x), a = constante
Caso (II):
¡es el mismo que el caso 1!
Caso (III):
Donde : e = base de log. Neperianosu = f(x)
9. Derivada de la función logaritmoSi: u = f(x)
NOTA:
10.Valores máximo y mínimo de una función
Hallar los puntos críticos de:
Solución:Derivando la función:
Se hace que: f’(x)=0Luego:
PRACTICA de clase
1. Hallar:
2. Si:
Hallar: f’(x)
3. Hallar
4. Si
Hallar: f’(x)
5. Si
Hallar: f(x)
6. Si Hallar f’(x)
7. Hallar:
8. si Hallar f’(x)
9. Hallar:
10. Si: Hallar: f’(x)
11. Hallar:
12. Hallar: f’(x) en:
13. Si hallar f’(x)
14.
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18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Tarea domiciliaria
1. Hallar la derivada de:
por definición.
2. Hallar la derivada por definición:
3. , por definición
4. , por definición.
5.
APLICANDO LAS REGLAS:
6.
7.
8.
9.
10.
Cálculo Diferencial Quinto Año
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. Hallar
21. Averigua para que sirven las derivadas y cual es su aplicación en el cálculo superior de las matemáticas.