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5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA

JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 77

V. La geoestadística como herramienta de mejora

5.1.- Introducción

Los primeros usos de la geoestadística surgen para satisfacer la

demanda por el estudio de fenómenos con correlación espacial. Estos

primeros usos comenzaron a partir de los años sesenta, especialmente

con el propósito de predecir valores de las variables en sitios no

muestreados. Como precursores de estas técnicas suelen citarse

trabajos de Sichel (1947; 1949) y Krige (1951). El primero observó la

irregular naturaleza y disposición del mineral de oro en las minas

sudafricanas. En una primera aproximación asimiló esta distribución a

una distribución de probabilidad lognormal y desarrolló las fórmulas

básicas para describir esta disposición en el espacio. Se trataba con ello

de realizar estimaciones acerca de las reservas, sin necesidad de

realizar carísimas prospecciones.

Con esta técnica se realizaron unas primeras estimaciones de las

reservas, pero bajo el supuesto de que las mediciones eran

independientes, en clara contradicción con la experiencia de que

existen “zonas” más ricas que otras.

Para tratar de considerar la dependencia espacial, el geólogo G. Krige

que propuso una variante del método de medias móviles, el cual puede

considerarse como el equivalente al krigeado simple que, resulta ser uno

de los métodos de estimación lineal más robustos.

Ya a principio de los años 60, en la Escuela de Minas de París (Matheron

1.962), se le da una formulación académica a estos métodos

desarrollados por profesionales.



Con los años la teoría se fue depurando, ampliando su campo de

validez y reduciendo las hipótesis necesarias (Samper y Carrera, 1990).

De la minería las técnicas geoestadísticas, se han "exportado" a muchos

otros campos como hidrología, física del suelo, ciencias de la tierra y

más recientemente a la monitorización ambiental, al procesamiento de

imágenes de satélite y a la valoración inmobiliaria.

La clave del análisis geoestadístico es la determinación de la estructura

de autocorrelación entre los datos y su uso en la predicción a través de

las técnicas conocidas como kriging y cokriging. Otros ámbitos

importantes dentro de esta rama de la estadística son el diseño de

redes de muestreo (McBratney et al ., 1981), la geoestadística

multivariada (Wackernagel, 1995) y la simulación (Deutsh y Journel,

1992).

Esta técnica es solo una las áreas del análisis de datos espaciales. Sin

embargo no toda la información georreferenciada es susceptible de ser

analizada por medio de dicha metodología.

Por ello una primera e ineludible etapa del trabajo será la de realizar un

análisis exploratorio de los datos. En esta fase se trata de identificar la

localización, variabilidad, forma y observaciones extremas. Por ello se

comenzará por una descripción de los datos de los que se dispone, así

como una mención a las fuentes de dichos datos. Posteriormente se irán

desgranando los principales conceptos básicos dentro de la teoría

geoestadística.

Posteriormente se entrará a detallar los procedimientos empleados para

identificar de manera experimental (con base en datos muestrales) la

estructura de autocorrelación espacial, para algunas distancias dadas,

de un conjunto de datos de una variable. Una vez detectada la



autocorrelación espacial, el siguiente paso es la predicción en sitios de

la región de estudio donde no se ha hecho medición de la variable de

interés. Para ello se recurrirá a los procedimientos kriging que sirven para

realizar predicciones.

5.2.- Análisis exploratorio de los datos

a. Estadística espacial (geoestadística)

Estadística espacial o geoestadística es un conjunto de metodologías

diseñadas para el análisis de datos que corresponden a la medición de

variables aleatorias en diversos puntos del espacio de una región. De

manera más formal se puede decir que la estadística espacial trata con

el análisis de realizaciones de un proceso estocástico { }Ss:X(s)X ∈= , en

el que S representa una región objeto de estudio, X (s) es una variable

aleatoria en la ubicación s y s una localización precisa sobre S.

b. Áreas de la geoestadística

La geoestadística se subdivide en tres grandes áreas. Esta clasificación

se realiza atendiendo a las características de la región objeto de

estudio. A continuación se mencionan dichas áreas y se describen las

propiedades de la región objeto de estudio.

• Geoestadística: Los emplazamientos s provienen de una región o

conjunto S continuo y son seleccionadas atendiendo a las

necesidades del investigador. Este es el uso original que tuvo esta

técnica y como ejemplos de datos que pueden ser tratados con

esta son: estimación y localización de los contenidos de mineral

en una mina, niveles de un contaminante en diferentes sitios de



una región afectado por un vertido, valores de precipitación

medida en las diferentes estaciones meteorológicas en un mes

dado y como no, valores de inmuebles en un código postal. En los

ejemplos anteriores es claro que hay continuidad espacial, puesto

que en cualquier sitio de la parcela, de la mina, del acuífero o del

código postal pueden ser medias las correspondientes variables.

Es importante poner de manifiesto que en esta técnica el

propósito esencial es la predicción y si no hay continuidad

espacial pueden hacerse interpolaciones carentes de sentido. A

pesar de que las mediciones realizadas son georreferenciadas, es

muy frecuente que se corresponden a una superficie (finca) más

que a un punto del espacio.

• Lattices (enmallados): Los emplazamientos s pertenecen a un

conjunto S discreto y son seleccionadas por el investigador (S fijo).

La distribución espacial de los emplazamientos puede ser regular

o irregular. Algunos ejemplos de datos en mallas son los

siguientes42: Tasa de morbilidad de una enfermedad en un país o

región, tasa de accidentalidad en sitios de una ciudad,

producción de un determinado cultivo según municipio, colores

de los pixeles en interpretación de imágenes de satélite. La

característica común que se observa en los anteriores ejemplos es

que el conjunto de ubicaciones de interés es discreto y que estas

corresponden a agrupaciones en el espacio más que a un

conjunto de puntos del espacio. Evidentemente, la interpolación

espacial con este tipo de datos, probablemente, no tenga

sentido.

• Patrones Espaciales: el conjunto S objeto de estudio puede ser

discreto o continuo y su selección no depende del investigador (S

aleatorio). Ejemplos de datos dentro de esta área son43:

42 GIRALDO HENAO, RAMÓN. “Introducción a la geoestadística”. Universidad Nacional de Colombia. 43 Ibid.



Localización de nidos de pájaros en una región dada, puntos de

imperfectos dentro de una placa metálica, ubicación de los sitios

de terremoto en zonas sísmicas o cuadrantes de una región con

presencia de una especie particular. Obsérvese como la

ubicación de los nidos de los pájaros, de los imperfectos dentro

de la placa metálica, de los sitios de terremoto o de los

cuadrantes con presencia de la especie presentarán

aleatoriedad en su ubicación. En este caso la primera etapa del

proceso es la de seleccionar los sitos en los que se quiera estudiar

una variable. En este caso, la máxima aspiración de la técnica

estará en verificar si esa variable que se pretende estudiar sigue

patrones de distribución aleatorios o no.

c. Datos Georreferenciados

Al realizar la toma de datos de las características de interés en un

estudio regionalizado, es imprescindible también emplazar

exactamente el sitio donde se realiza la medición. Para ello es necesario

recurrir a las coordenadas de los sitios en donde estas fueron tomadas.

El ámbito en el que este proyecto trata de llevarse a cabo es lo

suficientemente amplio como para que sea preciso un instrumento o

una herramienta que nos permita conocer las coordenadas que

emplacen la muestra tomada. En otros estudios en ámbitos más

reducidos es suficiente con plantear posiciones según unos planos

cartesianos.

A continuación, algunos conceptos básicos que permiten entender el

sistema de referencias que elegiremos;

• Coordenadas

o Geográficas.



Mediante el Sistema de Coordenadas Geográficas es

posible definir toda posición sobre la Tierra usando dos de

las tres coordenadas de un sistema de coordenadas

esféricas. Este sistema de referencia estaría alineado con el

eje de rotación de la Tierra y a través de él es posible definir

dos ángulos medidos desde el centro de la Tierra:

• La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el

ecuador, es decir, se mide la “altura” respecto al plano

perpendicular al eje de rotación de la tierra. Las líneas

de latitud se llaman paralelos y son círculos paralelos al

ecuador en la superficie de la Tierra.

• La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador desde

cualquier punto de la Tierra. El origen de esta sistema

pasa por Greenwich en Londres (sería la longitud 0). A

diferencia de los paralelos las líneas de longitud son

círculos iguales que pasan por los polos y se llaman

meridianos. En la figura 41 se representa el sistema de

coordenadas esféricas necesario para emplazar un

punto sobre la superficie terrestre.

Figura 41: Coordenadas geográficas; meridianos y paralelos



o UTM.

El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de

Mercator (En ingles Universal Transverse Mercator, UTM) es

un sistema de coordenadas basado en las ideas de

representación de Gerardo Mercator (1.512-1.594),

cartógrafo flamenco que ideo un sistema cartográfico a

partir del cual era posible representar la superficie esférica

de la tierra sobre una superficie cilíndrica que al ser

desplegada permitiera la identificación de cualquier punto

de la superficie terrestre sobre un mapa.

La idea de base es la misma aunque la superficie cilíndrica

ideada por Mercator era tangente al ecuador.

Actualmente la proyección se hace tangente a un

meridiano.

Mientras que el sistema de coordenadas tradicional utiliza

ángulos, el sistema UTM utiliza metros (al nivel del mar que es

la base de la proyección del elipsoide de referencia). En la

figura 42 se representa el desarrollo de la proyección de la

superficie terrestre sobre un cilindro tangente al ecuador.

Figura 42: Coordenadas UTM



Podemos observar las 60 zonas UTM (llamadas “husos”)

cada uno de ellos dividido en 20 bandas;

- Las bandas C a M están en el hemisferio sur.

- Las bandas N a X están en el hemisferio norte.

• GPS (Sistema de Posicionamiento Global)

El Global Position System (GPS) o Sistema de

Posicionamiento Global (más conocido con las siglas GPS

aunque su nombre correcto es NAVSTAR-GPS[]) es un

Sistema Globsal de Navegación por Satélite (GNSS) que

mediante un sistema formado por 27 satélites, es capaz de

localizar la posición de un cuerpo, con una precisión de

centímetros, en cualquier punto del Globo Terráqueo. El

origen del sistema es militar (actualmente es operado por el

Departamento de Defensa de los EEUU).

Sinteticamente, el funcionamiento del sistema es el

siguiente; el aparato utilizado para determinar la posición

(hoy este aparato podría ser un teléfono móvil) localiza un

mínimo de tres de los satélites del sistema. Al recibir una

señal de la posición de cada satélite dicho aparato

sincroniza el reloj del GPS y calcula el retraso de las señales,

es decir, la distancia al satélite. Por triangulación calcula la

posición en que éste se encuentra. Al tratarse de un

posicionamiento en tres dimensiones la triangulación se

resuelve averiguando el ángulo respecto de puntos

conocidos y la distancia de cada satélite respecto al punto

de medición. Conocidas las variables, se determina

fácilmente la propia posición relativa respecto a los tres

satélites que con posiciones conocidas permiten obtener la



posición absoluta o coordenadas reales del punto de

medición.

• Sistemas de Información Geográfica

Un Sistema de Información Geográfica (SIG o GIS, en su

acrónimo inglés) es un sistema formado por equipos,

programas informáticos y datos diseñado para almacenar,

analizar, manipular y desarrollar información situada en el

espacio. Las utilizadas de estos sistemas son enormes, desde

el apoyo para el conocimiento y la gestión del territorio

(Ministerio de Defensa o de medio Ambiente), la

ordenación y disciplina urbanística (Ayuntamientos),

comercial (páginas web de locales, inmuebles, telleres...),

etc.

A finales de 2.007 se publicó en el B.O.E. La Orden Ministerial 3011/2007,

de 4 de octubre, que modificó la Orden Ministerial 805/2003, de 27 de

marzo, sobre normas de valoración de bienes inmuebles y de

determinados derechos para ciertas finalidades financieras.

Entre otras novedades, la Orden introdujo la necesidad de incluir la

información catastral descriptiva y gráfica del inmueble acreditativa de

sus características físicas entre los documentos precisos para la

determinación del valor de tasación a efectos hipotecarios.

La consulta descriptiva y gráfica de bienes catastrales, en la que se

excluyen los datos de carácter personal, incluye la referencia catastral

que identifica unívocamente el bien en cuestión. Gracias a esa

referencia y gracias a que en la muestra utilizada disponemos de ella



usaremos la cartografía catastral para emplazar las muestras. Dicha

cartografía tiene las siguientes características 44:

• Proyección: U.T.M. en los husos 27, 28, 29, 30 y 31

• Sistema Geodésico: ED50 para península y Baleares (husos 29, 30 y

31) y WSG84 para Canarias (husos 27 y 28) .

• Ámbito de unidades de proceso: Término municipal, dividido en:

o Cartografía Catastral de Urbana:

§ Escalas de captura 1:500 y 1:1.000

o Cartografía Catastral de Rústica:

§ Escalas de captura 1:2.000 y 1:5.000

Figura 43: Ficha catastral de la Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla

En la figura 43 en la que pueden verse, en el plano de la derecha, las

coordenadas geográficas en las que se encuentra esta Escuela de

Ingenieros.

44 Servicio de publicación de mapas catastrales. Catastro. Ministerio de Economía y Hacienda.



En una primera fase de aplicación de la geoestadística se suele utilizar,

al igual que en otros procedimientos estadísticos (por ejemplo los

modelos ARIMA dentro de la teoría de series de tiempo), el análisis

gráfico. Mediante la utilización de gráficos es posible identificar

fácilmente valores extremos y su ubicación geográfica, la evaluación

de la forma de la distribución y el cálculo de medidas de localización.

El gráfico explotarlo más empleado es el histograma45, con el propósito

de identificar localización, variabilidad, forma y observaciones extremas.

De igual modo son muy utilizados también los gráficos de dispersión

(que son especialmente útiles para detectar tendencias y relaciones

entre las variables) y para tener una idea visual de la existencia o no de

estacionariedad (un supuesto fundamental en el análisis geoestadístico

es que el fenómeno es estacionario, para lo cual, entre otros aspectos,

la media de la variable debe ser constante en todos los puntos del área

de estudio.)

Una detección de tendencia en el gráfico de dispersión puede ser una

muestra de que no se satisface dicho supuesto. El gráfico se construye

tomando como eje de las abcisas la variable que representa la

coordenada geográfica y en el eje de las ordenadas la variable

cuantitativa de estudio, el valor unitario en el caso que nos ocupa). La

observación de la nube de puntos resultante, incluso el ajuste de una

línea de regresión, permite establecer de manera empírica si existe

dicha tendencia. Un gráfico de dispersión entre valores de la variable

separados por una distancia espacial dada (dispersograma rezagado)

es útil en la detección de autocorrelación espacial46.

45 Ver figura 44 de histograma en un código postal de Sevilla, facilitado por ATASA. 46 GIRALDO HENAO, RAMÓN. “Introducción a la geoestadística”. Universidad Nacional de Colombia. Http://www.docentes.unal.edu.co/rgiraldoh/docs/LIBRO%20DE%20GEOESTADISTICA..pdf



Figura 44: Histograma de la distribución de valores unitarios

5.3.- Conceptos básicos de geoestadística

a. Procesos estocásticos

Puesto que son los procesos estocásticos la base sobre la que se apoya

el edificio de la geoestadística, en este capítulo introductorio se

repasará, sucintamente, los principales conceptos que definen los

citados procesos.

Un proceso estocástico (del griego “hábil en conjeturar”) puede

definirse, sencillamente, como un conjunto de variables aleatorias.

En el caso del presente proyecto, en el que se trata de explicar y aplicar

técnicas geoestadísticas para modelar el comportamiento de los

valores de determinados inmuebles, el proceso X se expresa como

{ },),...(),...,(),( 10 nSXSXSX donde el argumento de la función indica las

distintas localizaciones del plano euclídeo, y en el que cada variable



aleatoria )( isX representa, por ejemplo, el precio de la vivienda en la

localización is .

Todo ello se basa en la premisa de que un determinado fenómeno

puede ser modelado a partir de una (pequeña) muestra extraída de un

(gran) conjunto de datos o potenciales observaciones del fenómeno.

Bajo este enfoque, se entiende realización del proceso o variable

regionalizada47 a una asignación para cada valor de ,Ss∈ de un

posible valor de )(sX , es decir, se obtendrían n predicciones,

formalmente, se obtendrían n valores )(),...,(),( 21 nsxsxsx relativos a los

valores de las respectivas variables aleatorias.

¿Pueden considerarse los valor de los inmuebles como la realización de

un proceso estocástico?

Cualquier operador inmobiliario conoce las variaciones que se puede

encontrar en mercados de naturaleza inmobiliaria. Las causas de estas

variaciones pueden ser de lo más peregrinas por lo que está

perfectamente justificado el tratamiento probabilístico que se le

daremos a los valores, a pesar de que en problemas de estimación no

se conoce la función de distribución conjunta del proceso estocástico.

La máxima aspiración será con conocer algunos estadísticos básicos

(momentos de primer y segundo orden en la literatura) como son;

- Esperanza del proceso o valor esperado: función no aleatoria de s

que en cada punto coincide con la esperanza de la variable

aleatoria en ese punto.

NisXEssiXEs ii ∈∀== )),(()()()( µµ

47 MONTERO LORENZO J.M. Y LLARRAZ IRIBAS B. (2008): “Introducción a la Geoestadística Lineal”, Netbiblo, La Coruña.



En el caso de que esta función )(sµ no sea constante, se dice que

el proceso presenta deriva o tendencia.

- Varianza del proceso: función no aleatoria de s que en cada

punto coincide con la varianza de la variable aleatoria en ese

punto.

NisiXVssiXVs i ∈∀== )),(()²()()²( σσ

- Autocovarianza del proceso: función no aleatoria de is y js tal

que para cualquier par de valores ),( sjsi coincide con la

covarianza entre las variables aleatorias en esos dos puntos.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]jjiijiji ssXssXEsXsXssC µµ −−== ,cov,

- Función de autocorrelación: función no aleatoria de is y js tal que

para cualquier par de valores ),( sjsi coincide con el coeficiente

de correlación lineal de las correspondientes variables aleatorias;

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]ji

jiji

sVsVssC

ss·

,

, =ρ

Cabe la posibilidad de que el proceso tenga varianza constante

por lo que

[ ] [ ] [ ])()()( sXVsXVsXV ji ==

- Semivariograma del proceso es una función no aleatoria de dos

variables definida de la siguiente manera:



[ ])()(21

),( jiji sXsXVss −=γ

b. Clasificación de procesos estocásticos

b.1. Proceso Estocástico Estacionario en sentido estricto

Se dice que la función aleatoria }:)({ SssXX ∈= es estrictamente

estacionaria si las familia (o los conjuntos) de variables aleatorias

{ },)(),...,(),( 21 nsXsXsX y { })(),...,(),( 10 hsXhsXhsX n +++ tienen la misma

función de distribución conjunta .0fhys∀ Es decir, la función de

distribución conjunta no sufre modificaciones por un movimiento de una

magnitud cualquiera h, por lo que las funciones de densidad

unidimensionales son independientes de la localización.

Por tanto, una función aleatoria es estacionaria en sentido estricto si

todas las variables aleatorias que la componen tienen la misma función

de distribución de probabilidad o lo que es lo mismo, el lugar concreto

en el que se examinará el proceso no es relevante.

En la práctica, ésta es una condición tremendamente estricta (se trata

más de una condición teórica que práctica), ya que será muy difícil

aceptar que las variables aleatorias que conforman la función aleatoria

generadora de la regionalización observada tengan la misma función

de distribución de probabilidad, pues normalmente la función de

distribución variará a medida que nos movemos en el espacio. Es por

esto por lo que dicha hipótesis suele relajarse hasta la denominada

hipótesis de estacionariedad de segundo orden, que impone la

igualdad de medias y varianzas pero permite distintas funciones de

distribución.



b.2. Proceso Estocástico Estacionario de segundo orden

Se dice que el proceso { }SssXX ∈= :)( es estacionario de segundo

orden (débilmente estacionario o simplemente estacionario) si posee

momentos de segundo orden finitos (es decir, la covarianza existe) y

cumple que (Clark, 1979):

- el valor esperado existe y es constante: NisXE i ∈∀= ,))(( µ

- la covarianza existe y depende de la distancia entre las dos

localizaciones pero de los puntos )s(y)s( 21 concretos:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )hsXhsXsXsX jiji ++= ,cov,cov Ni ∈∀ y .0fh

Vemos como la covarianza es función única del vector de

separación h que une las dos localizaciones en las que se está

observando sendas variables. Y puede depender no sólo de su

distancia o módulo sino también dirección. Se dice que la

covarianza es isótropa si solo depende del módulo de h y

anísotropa si además del módulo también depende de su

dirección

En la figura 45 se muestra el gráfico de una variable regionalizada

estacionaria.

Exceptuando fluctuaciones aleatorias, el valor promedio de la variable

no muestra una tendencia definida en alguna dirección.



Figura 45: Gráfico de una variable regionalizada estacionaria

La existencia de la covarianza implica que la varianza existe, es finita y

no depende de h, es decir ( ) ².)0( σ== CXV s

Si un proceso es estacionario en sentido estricto, entonces lo es también

en sentido amplio. El reciproco, claro está, no es cierto en general. Este

caso de estacionariedad es más interesante que el anterior debido a

que se ajusta mejor al mercado inmobiliario, dada la severidad de las

condiciones de estacionariedad estricta.

b.3. Procesos intrínsicamente estacionarios.

La función aleatoria { }SssXX ∈= :)( se dice que intrínsicamente

estacionaria si para todo vector h , los incrementos de primer orden

( ) ( )sXhsX −+ de la función son estacionarios de segundo orden, no

teniendo por qué serlo la función aleatoria propiamente dicha:

( ) ( )[ ] 0=−+ sXhsXE



( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )',cov'',cov hhhsXhhsXsXhsX =++++−+

b.4. Procesos no estacionarios

Se dice que la función aleatoria { }SssXX ∈= :)( es no estacionaria si:

( )[ ] ( )ssXE µ=

En la figura 46 se representa una variable regionalizada en la que existe

tendencia en el valor promedio de la variable, lo cual es claro indicador

de no estacionariedad.

Figura 46: Gráfico de una variable estacionaria

En la práctica resulta compleja la identificación de estacionariedad.

Suelen emplearse gráficos de dispersión de la variable respecto a las

coordenadas, de medias móviles y de valores clasificados según puntos

de referencia, con el propósito de identificar posibles tendencias de la

variable en la región de estudio. La isotropía es estudiada a través del



cálculo de funciones de autocovarianza o de semivarianza muestrales)

en varias direcciones. Si estas tienen formas considerablemente distintas

puede no ser válido el supuesto de isotropía. Finalmente una variable

regionalizada será no estacionaria si su esperanza matemática no es

constante y presenta deriva, esto es si ( )( ) )(ssXE µ= .

5.4.- Análisis estructural de la dependencia espacial

Para el estudio de la estructura de dependencia espacial se utilizarán la

covarianza y el semivariograma ya que al aparecer al menos dos

localizaciones muestrales en su definición, son capaces de transmitir

información estructural mediante la descripción de la interacción entre

los valores.

a. Covariograma

• Definición

Tal y como se definió en los conceptos previos, la función de covarianza

viene dada por la siguiente expresión;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]jjiiji ssXssXEssC µµ −−=,

Para el estudio de la función de covarianza es necesario restringirse al

caso en que la función aleatoria )(sX sea estacionaria de orden dos, es

decir, bajo la hipótesis de estacionariedad de la media y la varianza ya

que al aparecer al menos dos localizaciones muest rales en su definición,

son capaces de transmitir información estructural mediante la

descripción de la interacción entre los valores.

• Elementos

En la figura 47 se representan los principales elementos de un

covariograma tipo:



C(0) m

a h

Figura 47: Ejemplo de covariograma tipo

o Valor en el origen (m): que coincide con la varianza de la

función aleatoria, C(0).

o Su comportamiento a medida que aumenta la distancia h,

módulo de h, indica la rapidez con la que decrece la

función.

o Su alcance (a), es la distancia a partir de la cual se

considera que la covarianza entre las variables aleatorias es

nula.

• Principales modelos teóricos de Covariograma

o Efecto pepita puro (figura 48)

0,0 fmsiendohsim =

=)(hC

0 0fhsi

C(0)

h

Figura 48: Covariograma teórico denominado “Efecto Pepita”



Este modelo refleja, mediante su discontinuidad en el origen, una

ausencia total de correlación espacial, que puede ser debida a

errores de medida o al mal uso de la escala utilizada.

o Esférico (figura 49)

ahsiah

ah

m ≤≤

−− 0

³³

21

23

1

=)(hC

ahsi ≥0

Indicando a, la distancia a partir de la cual la correlación es

nula y la meseta m , el valor que coincide con la varianza

del proceso.

C(0) m

a h

Figura 49: Covariograma teórico denominado “esférico”

El efecto pepita puro puede ser considerado como un caso

particular de éste en el caso en el que el alcance sea

infinitamente pequeño. Sin embargo hay una diferencia

importante entre los dos y es que, mientras el modelo de

covarianza de efecto pepita describe un fenómeno

discontinuos cuyos valores cambian repentinamente de

una localización a otra, el modelo esférico representa un

fenómeno continuo aunque no diferenciable, es decir, la

representación gráfica de un fenómeno puede representar

cambios bruscos de pendiente.



o Exponencial (figura 50)

0m,asiendoem=)h(C ah

f

Como puede observarse, el parámetro a la rapidez con

que decrece la función de covarianza. En este caso, el

valor de covarianza cero se alcanza de forma asintótica

por lo que se puede hablar de a3 como la distancia a partir

de la cual la covarianza es prácticamente 0 ya que a3 es el

valor en el cual la covarianza ha decrecido el 95 % del valor

que tomaba en el origen.

C(0) m

a h

Figura 50: Covariograma teórico denominado “exponencial”

• Covariograma experimental

En la práctica, de lo que se dispone es de una muestra de la variable

objeto de estudio, es decir, de un conjunto de datos georreferenciados

en un dominio determinado. De esta muestra se deberá inferir la

estructura de dependencia espacial que presenta el fenómeno. Para

estimar esta covarianza experimental en la bibliografía consultada48 se

recurre al siguiente estimador, denominado covariograma experimental

y representado como C* (h):

( )( )

( )( ) ( )( )( )

∑=

−−+=hN

i

ii XsXXhsXhN

hC1

,1

*

48 MONTERO LORENZO J.M. Y LLARRAZ IRIBAS B. (2008): “Introducción a la Geoestadística Lineal”, Netbiblo, La Coruña.



Es éste un estimador que puede calcularse a partir de la información

disponible, donde )(hN es el número de parejas de localizaciones que se

encuentran a una distancia que és el módulo de .h

Sin embargo el estimador ha de ser ajustado a uno de los modelos

teóricos expuestos anteriormente, ya que:

1.- No es una función definida en todo el campo positivo sino sólo en

algunos puntos.

2.- Debería tener algún significado físico.

3.- La utilización de uno de los covariogramas teóricos expuestos

garantiza la la positividad de la varianza de cualquier combinación

lineal de valores muestrales. Si se utilizase directamente el covariograma

experimental en el sistema de ecuaciones de krigeado, pudiera ocurrir

que la varianza del error de estimación fuese negativa.

A pesar de la utilidad de la función de covarianza como herramienta

para describir la estructura de la dependencia espacial del fenómeno

de interés, es el semivariograma el instrumento generalmente utilizado

para tal fin debido a que es capaz de modelar también fenómenos más

amplios que los estacionarios de segundo orden, en aquellos casos en

los que la covarianza puede no existir en el origen. Si el fenómeno

objeto de estudio es el de estacionariedad de segundo orden, ambas

funciones son equiparables desde el punto de vista teórico.

b. Semivariograma

• Definición

El semivariograma, por definición puede definirse como:



[ ])()(21

),( jiji sXsXVss −=γ

de manera más específica, atendiendo a los desplazamientos que se

producen en la región objeto de estudio:

[ ])()(21

),( sXhsXVhss −+=+γ

El uso más frecuente del semivariograma viene motivado porque en el

caso de que el proceso sea no estacionario (la esperanza no es

constante y la función aleatoria presenta deriva), la varianza tiende a

infinito, por lo que la covarianza no está definida en el origen.

• Elementos

Cabe decir que, como función, es semivariograma es una función

monótona que expresa gráficamente a la perfección una idea intuitiva

que ya se ha mencionado “las cosas que está más cercanas se

parecen más entre sí que aquellas que están más distantes.” En la figura

51 pueden apreciarse los elementos característicos de la función.

Rango o alcance

Meseta

C(0)

γ(h)

Distancia integral

Efectopepita

Figura 51: Elementos de un semivariograma



o Efecto pepita

Representa una discontinuidad puntual del

semivariograma en el origen. Puede ser debido a errores

de medición en la variable o a la escala de la misma. En

algunas ocasiones puede ser indicativo de que parte de

la estructura espacial se concentra a distancias inferiores

a las observadas.

o Meseta

Es la cota superior del semivariograma. También puede

definirse como el limite del semivariograma cuando la

distancia h tiende a infinito. La meseta puede ser o no

finita. Los semivariogramas que tienen meseta finita

cumplen con la hipótesis de estacionariedad fuerte;

mientras que cuando ocurre lo contrario, el

semivariograma define un fenómeno natural que

cumple sólo con la hipótesis intrínseca. Si se interpreta la

pepita como un error en las mediciones, esto explica

porque se sugiere que en un modelo que explique bien

la realidad,

la pepita no debe representar mas del 50% de la

meseta. Si el ruido espacial en las mediciones explica en

mayor proporción la variabilidad que la correlación del

fenómeno, las predicciones que se obtengan pueden

ser muy imprecisas.

o Rango

En términos prácticos corresponde a la distancia a partir

de la cual dos observaciones son independientes. El

rango se interpret a como la zona de influencia. Existen

algunos modelos de semivariograma en los que no existe



una distancia finita para la cual dos observaciones sean

independientes; por ello se llama rango efectivo a la

distancia para la cual el semivariograma alcanza el 95%

de la meseta. Cuanto más pequeño sea el rango, más

cerca se esta del modelo de independencia espacial.

o Distancia integral

Un buen indicador del nivel de correlación es la

denominada distancia integral que puede definirse

como la distancia a partir de la cual el área por debajo

de la curva semivariográfica coincide con el área por

encima de ella y bajo la asíntota horizontal C(0). Una

distancia integral pequeña es indicativa de que la

correlación existe sólo en distancias cortas. Una distancia

estructural grande es característico de un fenómeno

poco estructurado, en el sentido de que en las distancias

cortas la correlación existente es escasa y además

decreciente.

Se trata esta de una curva muy interesante, más si cabe desde la

perspectiva del experto inmobiliario. Si la curva fuese “plana” no habría

dependencia espacial. En el ámbito que nos ocupa estaríamos en un

espacio heterogéneo, de difícil comparación de unas partes con otras

dentro del espacio objeto de estudio. Por el contrario, la existencia de

pendiente distinta de 0 indica la existencia de dependencia. Otro

aspecto interesante es el cambio brusco de pendiente que anuncia el

paso a una estructuración distinta en el espacio.



• Principales modelos teóricos de semivariogramas:

Los semivariogramas denominados teóricos no son más que funciones

con una expresión analítica sencilla que satisface la condición de ser

condicionalmente negativos y que se utilizan para representar los

semivariogramas experimentales que se obtienen a partir de la

información disponible, ya que éstos pueden no satisfacerlas, lo cual

daría lugar a distintos problemas a la hora de llevar a cabo el proceso

de Krigeado49.

Hay que tener presente que estos modelos no se han deducido a partir

de ninguna hipótesis especial, ni pretenden representar procesos

específicos. Tan solo se tratan de “funciones sencillas”,

condicionalmente negativas, que se suelen construir en función de su

comportamiento en el origen y de su comportamiento a grandes

distancias (básicamente, si existe meseta o no)

El comportamiento en el origen, que traducirá el grado de regularidad

de la regionalización, puede ser continuo (lineal o parabólico) o

discontinuo.

Igual que en el caso de los covariogramas, de entre los principales

modelos teóricos, nos centraremos en los isotrópicos, es decir, aquellos

que sólo dependen de la distancia que separa las distintas

localizaciones y no la dirección del vector que las une. A la hora de

clasificarlos50, se ha optado por tomar como primer criterio de

clasificación si t ienen o no meseta. Posteriormente, los primeros se

vuelven a clasificar según su comportamiento en el origen (según

49 LARRAZ IRIBAS, Beatriz, “Introducción a la geoestadística lineal”. Netbiblo, la Coruña. 2.008. 50 Tesis doctoral “Técnicas de Cokrigeado para el análisis económico. Estimación de precios de inmuebles en el casco histórico de la ciudad de Toledo” Beatriz Larraz Lorenzo.



pendiente de la recta tangente a la curva en el origen). En la figura 52

se recogen los diferentes tipos de semivariogramas teóricos isotrópicos:

Figura 52: Tipos de semivariogramas teóricos isótropos

5.5.- Predicción de valores en localizaciones no muestreadas: Krigeado

Una de las principales ventajas de esta técnica de estimación es el

hecho de tener en cuenta la correlación espacial entre las variables

aleatorias que componen el proceso. Gracias a esta consideración se

obtendrán estimaciones más fiables.

Mediante esta técnica (importada de la Geología) se pueden realizar

distintos tipos de estimaciones. Lo más usual por su utilidad práctica, es

la estimación puntual, es decir, la estimación del valor de un proceso

estocástico en una localización no muestreada. Por medio de ella se



podrá disponer, por ejemplo, de la estimación del valor de una vivienda

en una localización cualquiera, utilizando para ello la información

facilitada por los valores de los precios de las viviendas en su entorno.

Para estimar el valor de una función aleatoria en un punto )(so no

muestreado se utilizará el estimador lineal;

)()(*1 ss i

n

i ioXX ∑ =

= λ

construido a partir de las variables aleatorias )(siX correspondientes a

las n localizaciones )(si del entorno )(so .

Su principal ventaja frente a otras técnicas de estimación espacial de

carácter interpolador es que no sólo tiene en cuenta las características

geométricas como el número y configuración de las localizaciones

observadas, sino que también considera la estructura de la correlación

espacial que se deduce de la información disponible a través de las

estructuras semivariográficas, dando lugar a predicciones más fiables.

Además proporciona el mejor estimador lineal, en el sentido de ser

insesgado y de mínima varianza51, en presencia de dependencia

espacial entre las variables aleatorias que forman el proceso. Además,

hay que resaltar su capacidad de medir la precisión de la estimación

mediante el cálculo de la varianza del error de estimación, pudiendo

aportarse un mapa estándar de estimación. Cabe también señalar a su

favor que el estimador de krige es un interpolador exacto, lo que implica

que los puntos que forman parte de la muestra la estimación krigeada

51 LARRAZ IRIBAS, B. “Técnicas de Cokrigeado para el análisis económico. Estimación de precios de bienes inmuebles en el Casco Histórico de la ciudad de Toledo” . Director: José María Montero Lorenzo. Universidad de Castilla la Mancha, Departamento de Economía y Empresa, Área de Estadística, 2004.



coincide con el valor observado, siendo por tanto nula la varianza de

estimación asociada.

Existen varios tipos de krigeado dependiendo de las necesidades

planteadas a la hora de estimar . En el caso que nos ocupa, en el que

deseamos realizar estimaciones puntuales, se utiliza el krigeado puntual

(otras herramientas son el krige por bloques y el krige de la media).

a. Krigeado puntual

Esta metodología se aplica en el caso de que la cantidad a estimar sea

un valor puntual )(X so , desconocido, en un punto so no perteneciente a

la muestra. Para ello se ut ilizará toda la información disponible acerca

de la variable regionalizada, bien en los puntos del dominio completo o

bien en un subconjunto del mismo denominado vecindad.

La cuestión de la vecindad es uno de los asuntos que deben ser

aclarados. Se define como vecindad de Krigeado el subconjunto del

dominio que contiene el punto en el que se quiere estimar la función

aleatoria y las localizaciones muestrales correspondientes a los datos

que van a ser utilizados en la estimación52.

La elección de este entorno se puede realizar de dos modos diferentes,

cada uno de ellos con sus ventajas e inconvenientes, tal y como se

muestra a continuación:

• Criterio de vecindad única: en él se utilizan todos los datos

disponibles en el dominio completo para estimar el valor de la

función aleatoria en el punto deseado.

52 Ibid.



Este criterio no podrá ser utilizado en el caso de que el proceso

presente deriva, excepto si ésta es estimada previamente y

eliminada de los datos.

Otro inconveniente que plantea este criterio es el excesivo tiempo

de cálculo necesario para cada estimación en el caso de que se

disponga de un número elevado de datos.

• Criterio de vecindad móvil: en este caso sólo se utilizan los valores

de la realización del proceso correspondientes a puntos cercanos

a la localización en la que se quiere realizar la estimación. A la

hora de seleccionar comparables este ha sido siempre el sistema

que se ha utilizado en el ámbito de la valoración inmobiliaria,

seleccionando comparables lo más cercanos posibles.

Dado que intervienen distintos puntos en cada estimación se

hace necesario definir previamente la forma y el tamaño del

vecindario, siempre centrado en el punto )(soen el que se quiere

realizar la estimación.

• Tamaño: habrá que elegirlo teniendo en cuenta que en la región

de vecindad el proceso estocástico debe ser estacionario de

segundo orden o intrínseco para así eliminar la posibilidad de

existencia de deriva local. Así mismo su tamaño no debería ser

muy grande ya que conforme van aumentando el

semivariograma experimental va perdiendo fiabilidad debido a la

escasez de parejas implicadas en su estimación, mientras que a

distancias cortas el semivariograma capta bien la estructura de

dependencia espacial de los datos. Sin embargo tampoco resulta

conveniente elegirlo demasiado pequeño, ya que en este caso la

estimación se hace demasiado sensible a los datos vecinos que

intervienen en el cálculo. Además, a la hora de estimar en todas



las localizaciones del dominio, este hecho puede ocasionar

discontinuidades en determinadas localizaciones del mapa.

Otro hecho a tener en cuenta es la densidad del muestro, es decir

que el número de datos por vecindario sea suficiente.

Para encontrar el equilibrio en lo que respecta al tamaño del

vecindario resulta útil recurrir a la validación cruzada, pudiendo

cambiar el vecindario y elegir el que aporte resultados más

favorables.

Es necesario que tenga en cuanta la anisantropía de la variable

(las propiedades varían en función de la dirección en la que es

examinada la variable) .

Un criterio de decisión sobre los puntos que forman parte del

vecindario móvil y cuales no atienden a los conceptos de distancia

máxima, distribución angular y proximidad. De esta manera,

formarán parte del vecindario de )(so aquellos puntos que se hallen

a una distancia de él menor que un radio r , que se encuentren

distribuidos de forma que se acepte un mínimo de p localizaciones

por octante o cuadrante y además que resulten ser las n

localizaciones más próximas. En la figura 53 puede verse un ejemplo

de decisión de muestras

Figura 53: Elección de vecindario móvil de radio r, p=2 y n = 12



Dependiendo del tipo de proceso estacástico que más se adecue al

fenómeno a estudiar, hablaremos de krigeado simple, ordinario o

universal.

b. Krigeado simple

b.1. Condiciones

Para poder aplicar el krigeado simple, es necesario que el proceso sea

estacionario de segundo orden, con media constante y conocida,

varianza constante y función de covarianza exclusivamente

dependiente del vector .h

b.2. Ecuaciones

Sea X(s) una función aleatoria estacionaria de segundo orden, con

media µ constante y conocida, varianza constante y conocida C(0) =

²s y función de covarianza conocida C(h)53.

Se supone que se desea realizar la estimación del valor desconocido

)(soX , siendo )(so una localización que no forme parte de la realización

del proceso. En estas condiciones, el proceso se puede expresar como;

)()( sesX += µ

donde e(s) tiene esperanza nula.

Con objeto de facilitar los cálculos, como la media del proceso es

constante y conocida, se puede definir otro proceso estocástico

µ−= )()( sXsY de esperanza constante nula. De esta manera, para este

53 La notación C(h) significa que la función de covarianza no depende de las localizaciones en las que se encuentren situadas las variables, sino sólo de la distancia que separa dichas localizaciones.



nuevo proceso Y(s), se pretende una estimación en el punto )(so

mediante el estimador lineal:

)()(*1

ss i

n

iioYY ∑

=

= λ

y una vez obtenidos los ponderadores λ i , se suma µ con el fin de

obtener la estimación de )(soX de la forma

[ ]µµ λ −+= ∑=

)()(*1

ss i

n

iio

XX

La estimación de estos ponderadores λ i , correspondientes al valor de

la función aleatoria en cada localización )(si , se llevará a cabo

mediante la imposición de ciertas condiciones al error de estimación;

• Qué el valor esperado del error de estimación sea nulo:

( ) ( )[ ] 0* =− ss ooYYE

En el caso del krigeado simple esta condición se cumple

siempre

• Que tenga la mínima varianza del error de estimación, se trata

por tanto de minimizar

( ) ( )[ ]ss ooYYV −*

con la condición de insesgadez, siendo ( )soY desconocido.

Operando bajo esas premisas llegamos a un sistema de n

ecuaciones con n incognitas:

( ) ( ) niCC ssss iji

n

jj

,...,1,0

1

=∀−=−∑=λ

SISTEMA DE ECUACIONES DE KRIGEADO SIMPLE



Una vez obtenidos los ponderadores de λ i que multiplican a

los valores de las variables en las localizaciones muestrales, se

puede obtener el valor de la estimación ( )soY * . Posteriormente

es necesario sumar a esta estimación el valor de la media del

proceso ( )sX para obtener la estimación del valor de ( )soX .

La varianza del error de estimación resultante, recordemos que

es mínima, sería:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )ssssss i

n

iiooooCCYYVXXV

01

0** −−=−=− ∑=

λ

MÍNIMA VARIANZA DEL ERROR DE ESTIMACIÓN

c. Krigeado ordinario

c.1. Condiciones

Para poder aplicar el krigeado ordinario, deben verificarse las mismas

condiciones que en el caso anterior, excepto que la media del proceso

puede ser desconocida y puede también aplicarse al caso en el que el

proceso sea intrínseco, y por tanto de media constante pero con

varianza del proceso no acotada.

En estas situaciones las ecuaciones de krigeado ordinario pueden ser

expresadas, en el primer caso en términos de la función de covarianza

y en el segundo, en términos de semivariograma, ya que no existe la

función de covarianza.



c.2. Ecuaciones

En este caso, como hemos visto, los sistemas de ecuaciones se pueden

expresar en términos de la función de la covarianza54:

( ) ( ) niCC ssss iji

n

jj

,...,1,0

1

=∀−=−−∑=

αλ

11

=∑=

n

iiλ

SISTEMA DE ECUACIONES DE KRIGEADO ORDINARIO (COVARIANZA)

Una vez resuelto el sistema se pude obtener la varianza mínima del error

de estimación:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) αλ +−−=− ∑=

ssss ii

iooCCXXV

01

0*

MÍNIMA VARIANZA DEL ERROR DE ESTIMACIÓN

O en términos del semivariograma del proceso:

( ) ( ) nissss iji

n

jj

,...,1,0

1

=∀−=+−∑=

γαγλ

11

=∑=

n

iiλ

SISTEMA DE ECUACIONES DE KRIGEADO ORDINARIO (SEMIVARIOGRAMA)

Con un mínimo error de estimación de:

( ) ( )[ ] ( ) αγλ +−=− ∑=

ssss i

n

iioo

CXXV0

1

*

54 Se ve como aparece un nuevo parámetro α que aparece al minimizar la varianza del error de estimación mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.



d. Krigeado universal

d.1. Condiciones

Por último, el krigeado universal tiene su utilidad cuando la media del

proceso no es constante, es decir, para procesos que presenten deriva.

d.2. Ecuaciones

La operativa en este caso es descomponer el proceso en dos

componentes: una determinista )s(µ y otro estocástica )s(e que se

puede tratar como un proceso como un proceso intrínseco55 de

esperanza nula. Tras una larga serie de operaciones se deducen las

siguientes expresiones:

( ) ( ) ( ) ( )ssssfss oieik

P

kkjie

N

jj

Niso

,...,1,0

1

)(

1

=∀−=+− ∑∑==

γαγλ

( ) ( ) pks

sfsfkik

N

ii

o

,...,1,0

)(

1

=∀=∑=λ

Obsérvese que en este caso ( )soN,...,1=i en vez de n,...,1=i . Esto se debe

a que la expresión de la deriva es sólo válida localmente, por lo que

( )soN representa el número de observaciones en un entorno ( )( )nN ss oo≤

La mínima varianza del error de estimación es la siguiente:

( ) ( )[ ] ( ) ( )sfssss ok

P

kkoie

N

iioo

sXXV

o

∑∑==

+−=−1

)(

1

* αγλ

55 Media constante (de hecho se sabe que es nula) pero no así su varianza.

5.geoestadisitica como herramienta de …bibing.us.es/proyectos/abreproy/30152/fichero/5... · v....

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