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* Ingeniero Electrnico, Magster en Radioelectrnica y Doctor en Acstica, Universidad Tcnica de Praga. Docente Investigador de la M. Sc. Ingeniera Qumica, Universidad Nacional de Colombia. Ingeniero qumico, Universidad Nacional de Colombia, Tutor Semillero de Estudios Astronuticos (SE-AST), Universidad de San Buenaventura, Bogot. E-mail: wpinzon@usbbog.edu.co

Recibido:25 de febrero de 2013Aprobado:28 de febrero de 2013

Problema de optimizacinde la trayectoria de ascenso a rbita elptica para un vehculo cohete multietapaOptimization Problem of the Trajectory of Ascent to Elliptical Orbit for a Rocket Vehicle Multi-Stage

Wilson Pinzn Velasco*

Resumen

En el presente documento se hace una revisin preliminar alrededor del problema de optimizacin de trayectorias de vuelo de vehculos cohete, presentando un anlisis sim-plificado sobre minimizacin de consumo de combustible y orientado a su vez, hacia la optimizacin de la potencia requerida durante la fase de ascenso hasta el cut off, durante la fase de vuelo potenciado.

Se presenta finalmente una propuesta de problema de optimizacin que parte de la discusin preliminar.

Palabras clave

Vuelo potenciado, fase de ascenso, cut off, optimizacin, vehculo cohete, clculo de variaciones.

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Problemadeoptimizacindelatrayectoriadeascensoarbitaelpticaparaunvehculocohetemultietapapp.120-130

Investigacin

Abstract

This document makes a preliminary review about the optimization problem of flight trajectories of rocket vehicles, introducing a simplified analysis about minimization of fuel consumption, and at the same time, directed toward the optimization of the required potency during the ascent phase to the cut off during the phase of a potentiated flight.

Finally, there is a proposal of the optimization problem that comes from the preliminary discussion.

Key words

Potentiated flight, ascent phase, cut off, optimization, rocket vehicle, variation calculus.

I. Introduccin

El Semillero de Investigacin de Estudios Astronuticos (SE-AST), de la Universi-dad de San Buenaventura, Bogot, ha planteado un proyecto de investigacin marco, orientado a formular conceptualmente, una misin espacial colombiana. Dentro de este proyecto marco, figura como uno de sus problemas de investigacin derivados o constituyentes, la optimizacin de la trayectoria de ascenso de un vehculo cohete de N etapas, con carga til, desde su base de lanzamiento en tierra, hasta una altura de 250 km.

Este problema especfico, es adems de proyecto asociado, un ejercicio de reflexin acadmica de entrenamiento astronutico, planeado adems, para dar claridad conceptual a la estrategia de optimizacin por clculo de variaciones con aplicacin aeroespacial y buscando convertir esta tcnica, en una herramienta analtica habitual dentro de los trabajos del semillero de investigacin.

II. Definiciones bsicas para el problema de optimizacin

A. Con relacin a la trayectoria

Cut-off

La altura respecto a la superficie terrestre, conocida como altura de cut off, ver fig.1, es la distancia vertical ganada finalmente por la ltima etapa del vehculo cohete, en la que cesa el consumo de combustible, finaliza el vuelo potenciado y se efecta la inyeccin a rbita de la carga til desde el cohete o vehculo lanzador, gracias a que se han alcanzado en este momento, tanto la velocidad de orbitacin, como el ngulo de vuelo, necesarios para asegurar la trayectoria elptica especificada por la misin espacial y que ha de seguir la carga til gracias a la mecnica celeste.

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Revista de la Facultad de Ingeniera Ao 14 n. 28, Julio - Diciembre de 2013

Figura 1. Trayectoria de ascenso a cut-offFuente www.aviacionargentina.net/

Nota sobre cohete Tronador 2, Argentino,

Misin espacial

La figura 2 expone las rbitas posibles en el vuelo espacial, resultantes de la interac-cin entre un cuerpo, centro de atraccin gravitacional y un segundo cuerpo que gravita alrededor de este primero, siguiendo una rbita de trayectoria cnica. Estas trayectorias se identifican matemticamente al solucionar el problema dinmico de los dos cuerpos que interactan gravitacionalmente, fig. 2 [1].

Figura 2. rbitas elpticas

Por ejemplo, si la rbita establecida alrededor de la Tierra es una trayectoria elptica con un apogeo de 500 km y un perigeo de 250 (altura de cut off), se requiere por tanto en el cut off una velocidad de 7860 km, y un ngulo de vuelo de 0o, en tanto se procura hacer inyeccin exacta en el perigeo de la rbita [2].

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Problemadeoptimizacindelatrayectoriadeascensoarbitaelpticaparaunvehculocohetemultietapapp.120-130

Investigacin

En relacin con el ngulo de vuelo en el momento de la inyeccin de la carga til, debe tenerse presente, que este ngulo se logra, como resultado de una evolucin programada del mismo, a travs de toda la trayectoria en la fase propulsada, ver fig. 3.

Figura 3. Evolucin del ngulo de vuelo

Como consecuencia de lo anterior, esta evolucin o cambio de ngulo con respecto al tiempo, es particular de la trayectoria establecida; por lo tanto, se tiene una funcin del ngulo de vuelo respecto al tiempo, particular para la trayectoria ptima, e igualmente, y de forma asociada, una funcin para el vector velocidad o vector posicin. Ver fig. 4.

Figura 4. Tendencias de variables de operacin

Trayectoria ptima desde base de lanzamiento hasta el cut off

La figura 5, presenta un conjunto de posibilidades de trayectorias de ascenso para el vehculo cohete, pero debe elegirse de entre ellas u otra desconocida no identificada en la figura, la trayectoria que involucre el mnimo consumo de combustible y exija la menor potencia de los motores, sin que se deba por ello sobrepasar el peso total mximo permisible del cohete, ni disminuir el peso de la carga til que debe transportarse para ser puesta en rbita.

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Figura 5. El problema de la trayectoria ptima

Por lo anterior, se pretende establecer una relacin, entre elementos de la trayectoria de ascenso y el empuje desarrollado, mediante la correlacin de variables de desempeo de los motores cohete, variables asociadas a la trayectoria y las especificaciones de la misin espacial, identificando adicionalmente, el requerimiento global de control y logrando una exigencia mnima tanto en consumo de combustible como en potencia en el cohete, para alcanzar el cut off, tanto en altura como en velocidad y ngulo de vuelo.

La necesidad de buscar una trayectoria inclinada, responde a exigencias de seguridad o ubicacin del sitio de lanzamiento, respecto de los elementos orbitales finales requeridos para el punto de inyeccin, entre otros aspectos [3, 6].

Como se puede ver, el problema de optimizacin se formula aqu, desde la perspec-tiva de establecer la trayectoria de ascenso, de manera indirecta; es decir, no se busca optimizar un funcional, de trayectoria, definido por una expresin que involucre como extremal, una funcin de distancia entre puntos, como pudiera parecer a primera vista, sino que esta trayectoria, desde la perspectiva geomtrica, resultar de la optimizacin de funcionales que relacionen empuje y consumo de combustible, asociados, s, con las variables de trayectoria pertinentes [4].

Motores cohete

El ngulo de vuelo, est asociado indirectamente con eventos aerodinmicos, que pue-den llevar a serias modificaciones no programadas de los vectores velocidad y posicin instantneos, debidos a cambios drsticos e indeseados en el cabeceo, alabeo o guiada del vehculo cohete, generando la necesidad de correcciones en la trayectoria, mediante estrategias de control, que reajusten estos inesperados cambios, en los parmetros de dinmica de vuelo mencionados [5].

Adicionalmente, aun sin existir alteraciones serias, de carcter aerodinmico en la tra-yectoria programada (o plan de vuelo) hasta el cut off, debe asegurarse que los valores instantneos del ngulo de vuelo y de los vectores posicin y velocidad, correspondan a lo establecido segn la trayectoria ptima. En consecuencia, las relaciones funcionales

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Investigacin

expresadas en la figura 4, han de asegurarse mediante lazos de control automtico, ma-nipulando de forma programada, los flujos de combustible y superficies de control, que aseguren la evolucin en el tiempo de los vectores velocidad y posicin del vehculo, gracias a la modificacin instantnea y correctiva del empuje desarrollado por lo motores cohete y los elementos finales de control aerodinmico [6].

Ha de notarse que se ha asociado la trayectoria ptima buscada, con funciones tem-porales de flujo de combustible, empuje, vector velocidad (o posicin), ngulo de vuelo, y variables aerodinmicas.

Este ltimo criterio aerodinmico se correlacionar con la trayectoria ptima, en tanto supongamos que la variacin indeseada en el ngulo de ataque, incidir decididamente en el ngulo de vuelo programado.

B. La trayectoria de ascenso ptimo, como problema de clculo de variaciones

La figura 6, es una representacin particular del problema del clculo de variaciones, en la que aparecen representadas las funciones admisibles que cumplen los valores en los extremos del intervalo: Y(a)= , Y(b)= ; y dentro de las cuales habr de estar la funcin extremal que optimiza al funcional que ha de haberse planteado.

Figura 6. Funciones admisibles y funcin extremal.Octubre 2013. Monografa disponible en: http://mates.albacete.org/ICEAMCM/PDF/calvaring.pdf.

De manera muy sucinta se hace a continuacin una introduccin en el problema del clculo de variaciones, sin embargo, se recomienda al lector remitirse a la literatura espe-cializada, para tener una visin completa y general del mtodo [7].

El FUNCIONAL es de algn modo, una funcin de funciones, F(x,y,y') la cual se constituye en una expresin integral, que se desea evaluar en un intervalo [Xo, X1], pero con la particularidad, de que se requiere obtener de esta integral, su valor ms grande o ms pequeo, segn se est enfrentando un problema de maximizacin o minimizacin respectivamente.

J[y(x)]=

Figura 6. Funciones admisibles y funcin extremal.

Octubre 2013. Monografa disponible en:

http://mates.albacete.org/ICEAMCM/PDF/calvaring.pdf.

De manera muy sucinta se hace a continuacin una introduccin en el problema del clculo de variaciones, sin

embargo, se recomienda al lector remitirse a la literatura especializada, para tener una visin completa y general

del mtodo [7].

El FUNCIONAL es de algn modo, una funcin de funciones, ( la cual se constituye en una expresin integral, que se desea evaluar en un intervalo [Xo, X1], pero con la particularidad, de que se requiere obtener de

esta integral, su valor ms grande o ms pequeo, segn se est enfrentando un problema de maximizacin o

minimizacin respectivamente.

J[y(x)]= (

(1)

Es de notar pues, que hay que identificar la funcin y=y(X), involucrada en el funcional, que permita su

optimizacin, pero sujeta a la restriccin: y(X0) = y0; y(X1)= y1, establecida naturalmente, por el problema fsico

matemtico de optimizacin, cuando este ha sido, delimitado y enunciado.

Si se identifica la funcin y=y(X), que por ejemplo, minimiza el funcional, y que por otra parte cumple con los

valores definidos para los extremos del intervalo, se puede decir que se ha encontrado la funcin extremal que

soluciona el problema. Si por el contrario, se ha encontrado la funcin y=y(X), que cumple con la restriccin, pero

que no optimiza al funcional, se puede decir que la funcin hallada es una funcin admisible, pero que esta no es

un extremal del problema.

(1)

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Es de notar pues, que hay que identificar la funcin y=y(X), involucrada en el funcional, que permita su optimizacin, pero sujeta a la restriccin: y(X0) = y0; y(X1)= y1, establecida naturalmente, por el problema fsico matemtico de optimizacin, cuando este ha sido, delimitado y enunciado.

Si se identifica la funcin y=y(X), que por ejemplo, minimiza el funcional, y que por otra parte cumple con los valores definidos para los extremos del intervalo, se puede decir que se ha encontrado la funcin extremal que soluciona el problema. Si por el contrario, se ha encontrado la funcin y=y(X), que cumple con la restriccin, pero que no optimiza al funcional, se puede decir que la funcin hallada es una funcin admisible, pero que esta no es un extremal del problema.

El clculo para hallar la funcin extremal, se basa en la aplicacin de la condicin de Euler, ecuacin (2), Lo que implica, tomar el integrando del funcional y efectuar las derivadas solicitadas en la condicin de Euler, reemplazarlas posteriormente en la misma expresin dada en (2), resolver las ecuaciones diferenciales que surgen y despejar, acto seguido, la funcin extremal, verificando que se cumplan las restricciones de frontera. Si esto ltimo no sucede, no hay solucin al problema, es decir, no existe un extremal para el funcional; no al menos, como este se ha planteado dado el problema fsico matemtico concreto.

El clculo para hallar la funcin extremal, se basa en la aplicacin de la condicin de Euler, ecuacin (2), Lo que

implica, tomar el integrando del funcional y efectuar las derivadas solicitadas en la condicin de Euler,

reemplazarlas posteriormente en la misma expresin dada en (2), resolver las ecuaciones diferenciales que surgen

y despejar, acto seguido, la funcin extremal, verificando que se cumplan las restricciones de frontera. Si esto

ltimo no sucede, no hay solucin al problema, es decir, no existe un extremal para el funcional; no al menos,

como este se ha planteado dado el problema fsico matemtico concreto.

Fy

Fy = 0 (2)

El mtodo numrico de integracin aparece precisamente al momento de resolver las ecuaciones diferenciales,

cuando los mtodos analticos son inocuos, si el modelo matemtico planteado es demasiado complejo, para

abordar la solucin de forma analtica exclusivamente.

Problemas isoperimtricos

Un problema isoperimtrico, es desde cierto punto de vista, un problema en el que un funcional tambin hace parte

del juego de restricciones del problema. Se tiene un ejemplo sencillo e ilustrativo de un problema isoperimtrico,

cuando se ha construido un funcional con una expresin matemtica, relativa al permetro de una figura

geomtrica, cuyo valor es conocido o predeterminado y es por lo tanto, una restriccin para la maximizacin de un

rea buscada. En este caso el rea podra concebirse como el funcional a optimizar.

La solucin, a rasgos generales, de un problema isoperimtrico en el clculo de variaciones, implica la construccin

de un funcional J[y(x)] a minimizar o maximizar, otro K[y(x)] = ( restrictivo y uno auxiliar L[y(x)],

L[y(x)] [ ( ( ] (3)

que cumpliendo la condicin de Euler, permita establecer el extremal y= y(x) buscado para lograr la

optimizacin. La ecuacin 3, presenta un parmetro , cuyo propsito es asegurar que la funcin extremal

satisfaga tambin a la funcional restriccin [8].

El problema de optimizacin propuesto para la trayectoria de ascenso del vehculo cohete, es un problema

isoperimtrico, pues se puede establecer que el problema cumple con la estructura de la ecuacin (3), debido a

que el funcional a minimizar, debera ser uno asociado con la potencia desarrollada por el vehculo cohete, J[y(x)]=

(2)

El mtodo numrico de integracin aparece precisamente al momento de resolver las ecuaciones diferenciales, cuando los mtodos analticos son inocuos, si el modelo ma-temtico planteado es demasiado complejo, para abordar la solucin de forma analtica exclusivamente.

Problemas isoperimtricos

Un problema isoperimtrico, es desde cierto punto de vista, un problema en el que un funcional tambin hace parte del juego de restricciones del problema. Se tiene un ejemplo sencillo e ilustrativo de un problema isoperimtrico, cuando se ha construido un funcional con una expresin matemtica, relativa al permetro de una figura geomtrica, cuyo valor es conocido o predeterminado y es por lo tanto, una restriccin para la maximizacin de un rea buscada. En este caso el rea podra concebirse como el funcional a optimizar.

La solucin, a rasgos generales, de un problema isoperimtrico en el clculo de va-riaciones, implica la construccin de un funcional J[y(x)] a minimizar o maximizar, otro K[y(x)] =

El clculo para hallar la funcin extremal, se basa en la aplicacin de la condicin de Euler, ecuacin (2), Lo que

implica, tomar el integrando del funcional y efectuar las derivadas solicitadas en la condicin de Euler,

reemplazarlas posteriormente en la misma expresin dada en (2), resolver las ecuaciones diferenciales que surgen

y despejar, acto seguido, la funcin extremal, verificando que se cumplan las restricciones de frontera. Si esto

ltimo no sucede, no hay solucin al problema, es decir, no existe un extremal para el funcional; no al menos,

como este se ha planteado dado el problema fsico matemtico concreto.

Fy

Fy = 0 (2)

El mtodo numrico de integracin aparece precisamente al momento de resolver las ecuaciones diferenciales,

cuando los mtodos analticos son inocuos, si el modelo matemtico planteado es demasiado complejo, para

abordar la solucin de forma analtica exclusivamente.

Problemas isoperimtricos

Un problema isoperimtrico, es desde cierto punto de vista, un problema en el que un funcional tambin hace parte

del juego de restricciones del problema. Se tiene un ejemplo sencillo e ilustrativo de un problema isoperimtrico,

cuando se ha construido un funcional con una expresin matemtica, relativa al permetro de una figura

geomtrica, cuyo valor es conocido o predeterminado y es por lo tanto, una restriccin para la maximizacin de un

rea buscada. En este caso el rea podra concebirse como el funcional a optimizar.

La solucin, a rasgos generales, de un problema isoperimtrico en el clculo de variaciones, implica la construccin

de un funcional J[y(x)] a minimizar o maximizar, otro K[y(x)] = ( restrictivo y uno auxiliar L[y(x)],

L[y(x)] [ ( ( ] (3)

que cumpliendo la condicin de Euler, permita establecer el extremal y= y(x) buscado para lograr la

optimizacin. La ecuacin 3, presenta un parmetro , cuyo propsito es asegurar que la funcin extremal

satisfaga tambin a la funcional restriccin [8].

El problema de optimizacin propuesto para la trayectoria de ascenso del vehculo cohete, es un problema

isoperimtrico, pues se puede establecer que el problema cumple con la estructura de la ecuacin (3), debido a

que el funcional a minimizar, debera ser uno asociado con la potencia desarrollada por el vehculo cohete, J[y(x)]=

restrictivo y uno auxiliar L[y(x)],

L[y(x)]

El clculo para hallar la funcin extremal, se basa en la aplicacin de la condicin de Euler, ecuacin (2), Lo que

implica, tomar el integrando del funcional y efectuar las derivadas solicitadas en la condicin de Euler,

reemplazarlas posteriormente en la misma expresin dada en (2), resolver las ecuaciones diferenciales que surgen

y despejar, acto seguido, la funcin extremal, verificando que se cumplan las restricciones de frontera. Si esto

ltimo no sucede, no hay solucin al problema, es decir, no existe un extremal para el funcional; no al menos,

como este se ha planteado dado el problema fsico matemtico concreto.

Fy

Fy = 0 (2)

El mtodo numrico de integracin aparece precisamente al momento de resolver las ecuaciones diferenciales,

cuando los mtodos analticos son inocuos, si el modelo matemtico planteado es demasiado complejo, para

abordar la solucin de forma analtica exclusivamente.

Problemas isoperimtricos

Un problema isoperimtrico, es desde cierto punto de vista, un problema en el que un funcional tambin hace parte

del juego de restricciones del problema. Se tiene un ejemplo sencillo e ilustrativo de un problema isoperimtrico,

cuando se ha construido un funcional con una expresin matemtica, relativa al permetro de una figura

geomtrica, cuyo valor es conocido o predeterminado y es por lo tanto, una restriccin para la maximizacin de un

rea buscada. En este caso el rea podra concebirse como el funcional a optimizar.

La solucin, a rasgos generales, de un problema isoperimtrico en el clculo de variaciones, implica la construccin

de un funcional J[y(x)] a minimizar o maximizar, otro K[y(x)] = ( restrictivo y uno auxiliar L[y(x)],

L[y(x)] [ ( ( ] (3)

que cumpliendo la condicin de Euler, permita establecer el extremal y= y(x) buscado para lograr la

optimizacin. La ecuacin 3, presenta un parmetro , cuyo propsito es asegurar que la funcin extremal

satisfaga tambin a la funcional restriccin [8].

El problema de optimizacin propuesto para la trayectoria de ascenso del vehculo cohete, es un problema

isoperimtrico, pues se puede establecer que el problema cumple con la estructura de la ecuacin (3), debido a

que el funcional a minimizar, debera ser uno asociado con la potencia desarrollada por el vehculo cohete, J[y(x)]=

(3)

que cumpliendo la condicin de Euler, permita establecer el extremal y= y(x) buscado para lograr la optimizacin. La ecuacin 3, presenta un parmetro l, cuyo propsito es asegurar que la funcin extremal satisfaga tambin a la funcional restriccin [8].

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Investigacin

El problema de optimizacin propuesto para la trayectoria de ascenso del vehculo cohete, es un problema isoperimtrico, pues se puede establecer que el problema cumple con la estructura de la ecuacin (3), debido a que el funcional a minimizar, debera ser uno asociado con la potencia desarrollada por el vehculo cohete, J[y(x)]= P(x,y,y), en cuya expresin como funcin compuesta, debe considerarse el flujo msico variable del combustible y el impulso especfico del propelente para cada una de las etapas del vehculo cohete [9].

Un problema simplificado, pero extremadamente til tericamente, de optimizacin del gasto de combustible de un vehculo cohete en trayectoria vertical, puede expresarse con el funcional auxiliar:

L[V(t)]

P(x,y,y), en cuya expresin como funcin compuesta, debe considerarse el flujo msico variable del combustible

y el impulso especfico del propelente para cada una de las etapas del vehculo cohete [9].

Un problema simplificado, pero extremadamente til tericamente, de optimizacin del gasto de combustible de un

vehculo cohete en trayectoria vertical, puede expresarse con el funcional auxiliar:

L[V(t)] [ ( ] (4)

Cuya solucin lleva a la obtencin del siguiente extremal:

V = 3[

]

(5)

De lo anterior se pueden derivar dos expresiones interesantes funcin de la altura mxima h, para obtener el

tiempo durante el que se debe acelerar el cohete para consumir el menor combustible posible, y a otra expresin

que permite obtener el gasto mnimo de combustible:

T = 6

(6); F(V) = 3(

4

) (7)

T: tiempo disponible para alcanzar h; g: gravedad terrestre, V: velocidad de exostacin de los gases del cohete

Los detalles del clculo se pueden encontrar en la referencia [8].

II. Algunas consideraciones para la construccin del funcional auxiliar L[y(x)]

El problema planteado al semillero, finalmente consiste en correlacionar mediante el funcional adecuado, la

trayectoria de ascenso (), con el empuje desarrollado por los motores cohetes a lo largo del ascenso (F); de

manera que se pueda calcular el mnimo gasto de combustible ( ) y se extienda el tiempo de combustin ( ) hasta un mximo permisible, que optimice la potencia desarrollada ( Debe tenerse presente, que del cohete lanzador se restringe su peso mximo (Mo), correlacin estructural ( ), e impulso especfico mximo disponible

para propulsor lquido (Isp) [10].

Trayectoria de ascenso

(4)

Cuya solucin lleva a la obtencin del siguiente extremal:

V = 3

P(x,y,y), en cuya expresin como funcin compuesta, debe considerarse el flujo msico variable del combustible

y el impulso especfico del propelente para cada una de las etapas del vehculo cohete [9].

Un problema simplificado, pero extremadamente til tericamente, de optimizacin del gasto de combustible de un

vehculo cohete en trayectoria vertical, puede expresarse con el funcional auxiliar:

L[V(t)] [ ( ] (4)

Cuya solucin lleva a la obtencin del siguiente extremal:

V = 3[

]

(5)

De lo anterior se pueden derivar dos expresiones interesantes funcin de la altura mxima h, para obtener el

tiempo durante el que se debe acelerar el cohete para consumir el menor combustible posible, y a otra expresin

que permite obtener el gasto mnimo de combustible:

T = 6

(6); F(V) = 3(

4

) (7)

T: tiempo disponible para alcanzar h; g: gravedad terrestre, V: velocidad de exostacin de los gases del cohete

Los detalles del clculo se pueden encontrar en la referencia [8].

II. Algunas consideraciones para la construccin del funcional auxiliar L[y(x)]

El problema planteado al semillero, finalmente consiste en correlacionar mediante el funcional adecuado, la

trayectoria de ascenso (), con el empuje desarrollado por los motores cohetes a lo largo del ascenso (F); de

manera que se pueda calcular el mnimo gasto de combustible ( ) y se extienda el tiempo de combustin ( ) hasta un mximo permisible, que optimice la potencia desarrollada ( Debe tenerse presente, que del cohete lanzador se restringe su peso mximo (Mo), correlacin estructural ( ), e impulso especfico mximo disponible

para propulsor lquido (Isp) [10].

Trayectoria de ascenso

(5)

De lo anterior se pueden derivar dos expresiones interesantes funcin de la altura mxima h, para obtener el tiempo durante el que se debe acelerar el cohete para consumir el menor combustible posible, y a otra expresin que permite obtener el gasto mnimo de combustible:

T =

P(x,y,y), en cuya expresin como funcin compuesta, debe considerarse el flujo msico variable del combustible

y el impulso especfico del propelente para cada una de las etapas del vehculo cohete [9].

Un problema simplificado, pero extremadamente til tericamente, de optimizacin del gasto de combustible de un

vehculo cohete en trayectoria vertical, puede expresarse con el funcional auxiliar:

L[V(t)] [ ( ] (4)

Cuya solucin lleva a la obtencin del siguiente extremal:

V = 3[

]

(5)

De lo anterior se pueden derivar dos expresiones interesantes funcin de la altura mxima h, para obtener el

tiempo durante el que se debe acelerar el cohete para consumir el menor combustible posible, y a otra expresin

que permite obtener el gasto mnimo de combustible:

T = 6

(6); F(V) = 3(

4

) (7)

T: tiempo disponible para alcanzar h; g: gravedad terrestre, V: velocidad de exostacin de los gases del cohete

Los detalles del clculo se pueden encontrar en la referencia [8].

II. Algunas consideraciones para la construccin del funcional auxiliar L[y(x)]

El problema planteado al semillero, finalmente consiste en correlacionar mediante el funcional adecuado, la

trayectoria de ascenso (), con el empuje desarrollado por los motores cohetes a lo largo del ascenso (F); de

manera que se pueda calcular el mnimo gasto de combustible ( ) y se extienda el tiempo de combustin ( ) hasta un mximo permisible, que optimice la potencia desarrollada ( Debe tenerse presente, que del cohete lanzador se restringe su peso mximo (Mo), correlacin estructural ( ), e impulso especfico mximo disponible

para propulsor lquido (Isp) [10].

Trayectoria de ascenso

(6);

F(V) = 3

P(x,y,y), en cuya expresin como funcin compuesta, debe considerarse el flujo msico variable del combustible

y el impulso especfico del propelente para cada una de las etapas del vehculo cohete [9].

Un problema simplificado, pero extremadamente til tericamente, de optimizacin del gasto de combustible de un

vehculo cohete en trayectoria vertical, puede expresarse con el funcional auxiliar:

L[V(t)] [ ( ] (4)

Cuya solucin lleva a la obtencin del siguiente extremal:

V = 3[

]

(5)

De lo anterior se pueden derivar dos expresiones interesantes funcin de la altura mxima h, para obtener el

tiempo durante el que se debe acelerar el cohete para consumir el menor combustible posible, y a otra expresin

que permite obtener el gasto mnimo de combustible:

T = 6

(6); F(V) = 3(

4

) (7)

T: tiempo disponible para alcanzar h; g: gravedad terrestre, V: velocidad de exostacin de los gases del cohete

Los detalles del clculo se pueden encontrar en la referencia [8].

II. Algunas consideraciones para la construccin del funcional auxiliar L[y(x)]

El problema planteado al semillero, finalmente consiste en correlacionar mediante el funcional adecuado, la

trayectoria de ascenso (), con el empuje desarrollado por los motores cohetes a lo largo del ascenso (F); de

manera que se pueda calcular el mnimo gasto de combustible ( ) y se extienda el tiempo de combustin ( ) hasta un mximo permisible, que optimice la potencia desarrollada ( Debe tenerse presente, que del cohete lanzador se restringe su peso mximo (Mo), correlacin estructural ( ), e impulso especfico mximo disponible

para propulsor lquido (Isp) [10].

Trayectoria de ascenso

(7)

T: tiempo disponible para alcanzar h; g: gravedad terrestre, V: velocidad de exostacin de los gases del cohete

Los detalles del clculo se pueden encontrar en la referencia [8].

III. Algunas consideraciones para la construccin del funcional auxiliar L[y(x)]

El problema planteado al semillero, finalmente consiste en correlacionar mediante el funcional adecuado, la trayectoria de ascenso (), con el empuje desarrollado por los motores cohetes a lo largo del ascenso (F); de manera que se pueda calcular el mnimo gasto de combustible () y se extienda el tiempo de combustin (Tb) hasta un mximo permisible, que optimice la potencia desarrollada (). Debe tenerse presente, que del cohete lanzador se restringe su peso mximo (Mo), correlacin estructural (), e impulso especfico mximo disponible para propulsor lquido (Isp) [10].

Trayectoria de ascenso

La figuras 5 presenta el dilema para la eleccin de la trayectoria ptima. Por ahora se puede decir, que en el cut off todas las trayectorias representadas, deben tener la misma

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Revista de la Facultad de Ingeniera Ao 14 n. 28, Julio - Diciembre de 2013

energa mecnica en tanto que en dicho punto, las energas cinticas y potenciales son iguales y corresponden a las exigencias de la rbita de la misin. Igual ocurre con el ngulo de vuelo, el cual debe ser de cero grados, correspondiente a un vector velocidad paralelo a la horizontal local. Esto implica que la trayectoria ptima, que lleva la carga til hasta los 250 km, es aquella que maximice Tb , para minimizar , pero que debe implicar un mnimo. Aunque aparenta una contradiccin, se trata de un proceso de optimizacin.

Cabe ser analizado el trayecto totalmente vertical, en tanto que este fuera viable.

De manera instantnea ha de tenerse un vector velocidad y un vector posicin, que definan juntos, el ngulo de vuelo. (Figuras 3 y 4). Parece interesante en primera instancia correlacionar estas variables de la trayectoria, con la ecuacin de Tsiolkovsy para la situa-cin transiente, de manera que se tenga velocidad y posicin en funcin del flujo msico.

La figura 7, define algunas variables adicionales que podran tenerse en cuenta en la construccin de la funcional auxiliar, pues contiene adems de los vectores velocidad ( V ) y empuje ( F ), ngulo de vuelo (g), ya relacionados, al ngulo de rango de vuelo propulsado (), adems de los coeficientes aerodinmicos de arrastre y sustentacin D y L, respectivamente.

Figura 7. Fuerzas operantes en el ascensoDocumento disponible en https://campus.tum.de/tumonline/LV_TX.wbDisplayTerminDoc?pTerminDoc

Nr=7537

Las componentes el movimiento, tanto radial como tangencial en coordenadas polares, son:

La figuras 5 presenta el dilema para la eleccin de la trayectoria ptima. Por ahora se puede decir, que en el cut off

todas las trayectorias representadas, deben tener la misma energa mecnica en tanto que en dicho punto, las

energas cinticas y potenciales son iguales y corresponden a las exigencias de la rbita de la misin. Igual ocurre

con el ngulo de vuelo, el cual debe ser de cero grados, correspondiente a un vector velocidad paralelo a la

horizontal local. Esto implica que la trayectoria ptima, que lleva la carga til hasta los 250 km, es aquella que

maximice , para minimizar , pero que debe implicar un mnimo. Aunque aparenta una contradiccin, se trata de un proceso de optimizacin.

Cabe ser analizado el trayecto totalmente vertical, en tanto que este fuera viable.

De manera instantnea ha de tenerse un vector velocidad y un vector posicin, que definan juntos, el ngulo de

vuelo. (Figuras 3 y 4). Parece interesante en primera instancia correlacionar estas variables de la trayectoria, con la

ecuacin de Tsiolkovsy para la situacin transiente, de manera que se tenga velocidad y posicin en funcin del

flujo msico.

La figura 7, define algunas variables adicionales que podran tenerse en cuenta en la construccin de la funcional

auxiliar, pues contiene adems de los vectores velocidad ( V ) y empuje ( F ), ngulo de vuelo (), ya relacionados,

al ngulo de rango de vuelo propulsado (), adems de los coeficientes aerodinmicos de arrastre y sustentacin

D y L, respectivamente.

Figura 7. Fuerzas operantes en el ascenso

Documento disponible en https://campus.tum.de/tumonline/LV_TX.wbDisplayTerminDoc?pTerminDocNr=7537

Las componentes el movimiento, tanto radial como tangencial en coordenadas polares, son:

(8) (8)

(9)

Y el empuje

(10)

Donde es la masa instantnea del vehculo [11].

Debe aclararse que estas expresiones son vlidas para cada etapa del cohete y que tanto el empuje F, como el

ngulo de vuelo , son funcin del tiempo, en el presente problema de optimizacin.

Por otra parte, se est suponiendo expansin ptima para las toberas de los motores cohete.

Control de flujo msico

El flujo msico no podra definirse como constante en toda la trayectoria, pues de ser as, un tiempo de combustin,

definira la masa de propelente, la cual quedara fijada por el coeficiente estructural del cohete y no dara grado de

libertad, para buscar la optimizacin de la potencia desarrollada.

III. Conclusiones

El problema de optimizacin propuesto en este documento, se circunscribe a un problema isoperimtrico del

clculo de variaciones. Se trata de la elaboracin de funcionales que asocien elementos instantneos de trayectoria

como vectores de velocidad, posicin y ngulo de vuelo, con el consumo instantneo de combustible.

Las restricciones propuestas son el factor estructural del cohete, la masa de carga til, las condiciones de inyeccin

al cut off para velocidad, altura y ngulo de vuelo.

Para la optimizacin debera verificarse si es necesario tener en cuenta el clculo etapa a etapa del cohete, para

identificar la necesidad de seleccionar en cada una de ellas, un propelente particular, con su respectivo impulso

especfico (Isp), en tanto se asocie con las modificaciones del flujo msico del motor de la etapa ensima. [12].

(9)

Y el empuje

(9)

Y el empuje

(10)

Donde es la masa instantnea del vehculo [11].

Debe aclararse que estas expresiones son vlidas para cada etapa del cohete y que tanto el empuje F, como el

ngulo de vuelo , son funcin del tiempo, en el presente problema de optimizacin.

Por otra parte, se est suponiendo expansin ptima para las toberas de los motores cohete.

Control de flujo msico

El flujo msico no podra definirse como constante en toda la trayectoria, pues de ser as, un tiempo de combustin,

definira la masa de propelente, la cual quedara fijada por el coeficiente estructural del cohete y no dara grado de

libertad, para buscar la optimizacin de la potencia desarrollada.

III. Conclusiones

El problema de optimizacin propuesto en este documento, se circunscribe a un problema isoperimtrico del

clculo de variaciones. Se trata de la elaboracin de funcionales que asocien elementos instantneos de trayectoria

como vectores de velocidad, posicin y ngulo de vuelo, con el consumo instantneo de combustible.

Las restricciones propuestas son el factor estructural del cohete, la masa de carga til, las condiciones de inyeccin

al cut off para velocidad, altura y ngulo de vuelo.

Para la optimizacin debera verificarse si es necesario tener en cuenta el clculo etapa a etapa del cohete, para

identificar la necesidad de seleccionar en cada una de ellas, un propelente particular, con su respectivo impulso

especfico (Isp), en tanto se asocie con las modificaciones del flujo msico del motor de la etapa ensima. [12].

(10)

Donde m es la masa instantnea del vehculo [11].

129

Problemadeoptimizacindelatrayectoriadeascensoarbitaelpticaparaunvehculocohetemultietapapp.120-130

Investigacin

Debe aclararse que estas expresiones son vlidas para cada etapa del cohete y que tanto el empuje F, como el ngulo de vuelo , son funcin del tiempo, en el presente problema de optimizacin.

Por otra parte, se est suponiendo expansin ptima para las toberas de los motores cohete.

Control de flujo msico

El flujo msico no podra definirse como constante en toda la trayectoria, pues de ser as, un tiempo de combustin, definira la masa de propelente, la cual quedara fijada por el coeficiente estructural del cohete y no dara grado de libertad, para buscar la optimizacin de la potencia desarrollada.

IV. Conclusiones

El problema de optimizacin propuesto en este documento, se circunscribe a un pro-blema isoperimtrico del clculo de variaciones. Se trata de la elaboracin de funcionales que asocien elementos instantneos de trayectoria como vectores de velocidad, posicin y ngulo de vuelo, con el consumo instantneo de combustible.

Las restricciones propuestas son el factor estructural del cohete, la masa de carga til, las condiciones de inyeccin al cut-off para velocidad, altura y ngulo de vuelo.

Para la optimizacin debera verificarse si es necesario tener en cuenta el clculo etapa a etapa del cohete, para identificar la necesidad de seleccionar en cada una de ellas, un propelente particular, con su respectivo impulso especfico (Isp), en tanto se asocie con las modificaciones del flujo msico del motor de la etapa ensima. [12].

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[5] UNIVERSITY OF CALIFORNIA ENGINEERING AND PHYSICAL SCIENCES EXTENSION SERIES. Lunar missions and explorations. 1964. John Weiley and Sons New York, London. P: 142-145

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Revista de la Facultad de Ingeniera Ao 14 n. 28, Julio - Diciembre de 2013

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[10] PIN LU. Trajectory optimization for the national aerospace plane. Final Report. June, 1992. NASA No. NAG-1.1255. Langly Research Center.

[11] Monografa de clculos Astronuticos. Institute of Astronautics Spacecraft Technology WS10/11. Ascent and Environment. Documento en lnea, disponible en https://campus.tum.de/tumonline/LV_TX.wbDisplayTerminDoc?pTerminDocNr=7537. Octubre de 2013.

[12] REILLY M.H., Equations of powered rocket ascent and orbit trajectory. NRL REPORT 8237. Naval Research Laboratory. Documento en lnea, disponible en http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA069296 . Octubre de 2013.

[13] HARO DELICADO MARA J., PREZ HARO MARA J. Figura 6. Introduccin al Clculo de variaciones. En lnea, disponible en http://mates.albacete.org/ICEAMCM/PDF/calvaring.pdf. Octubre 2013.