FSICA TERICA

TEORIA CUANTICA(NO-RELATIVISTA)

LANDAU LIFSHITZVOLMEN 3SEGUNDA EDICIN

y

CURSO D E FiSICA TERICA

Volumen 3

MECNICA CUNTICA N O = RELATIVISTA

L. D . L A N D A U

E . M. L I F S H I T Z

Academia de Ciencias, U. R.S. S.

MECANICA CUANTICANO=RELATIVISTAVolumen 3del

CURSO DE FSICA TERICA

EDITORIAL REVERTI?,

BARCELONA-BOGOTB-BUENOS AIRES-CARACAS-NXICO-RIOJANEIRO DE

s. A.

Ttulo de la obra original

K B A H T O B A H MEXAHkiIfCAHepeJIXTHBHCTCRaS3 TeOpHci

Editada por

MEZHDUNARODNAYA KNIGA,Moscou

Versin espaola directamente del ruso por el Prof. Dr. Ramn Ortiz Fornaguera Jefe de la Divisin de Fsica Terica de la Junta de Energa Nuclear - Madrid

Propiedad de EDITORIAL REVERT, S. A. Encarnacin, 86. Barcelona (24)Reservados todos los derechos. Ninguna parte del material cubierto por este ttulo

de propiedad literaria puede ser reproducida, almacenada en un sistema de informtica o transmitida de cualquier forma o por cualquier medio electrnico, mecnico, fotocopia, grabacin u otros mtodos sin el previo y expreso permiso por escrito del editor. Edicin en espaol

O EDITORIAL REVERT, S. A., 1983Impreso en EspaaISBN

Printed in Spainobra completa

- 84 - 291 - 4079 - 4

ISBN - 84 - 291 - 4083

-2

tomo 3

Dep. Lea. B. 44.225 - 1982 LITOCLUB, S.A. - Ndpoles, 300 - Barcelona-%

DEL PROLOGO A LA PRIMERA EDICIONJunto a los fundamentos de la mecnica cuntica, se exponen tambin en el libro sus nmerosas aplicaciones en grado considerablemente mayor que el normal en los cursos generales de mecnica cuntica. Hemos dejado a un lado tan,slo aquellas cuestiones cuyo estudio exigira de modo esencial el realizar a la vez un detallado anlisis de los datos experimentales, lo que inevitablemente se saldra de los lmites de la obra. Hemos intentado exponer de la manera lo ms completa posible los diferentes problemas concretos. En relacin con esto hay que decir que se han estimado innecesarias las referencias a los trabajos originales, limitndonos a indicar sus autores. Como en los tomos precedentes, nos esforzamos en presentar las cuestiones generales de tal manera que, en lo posible, resulte claramente evidente la esencia fsica de la teora y sobre esta base se construye el formalismo matemtico. Esto se advierte particularmente en los primeros prrafos del libro, dedicados a elucidar las propiedades generales de los operadores de la mecnica cuntica. En contraste con el esquema de exposicin que se adopta de ordinario, esquema que parte de teoremas matemticos referentes a los operadores lineales, nosotros, al revs, deducimos las condiciones matemticas que se imponen a los operadores y funciones propias partiendo del planteo fsico del problema. Es imposible dejar de hacer notar que en muchos cursos de mecnica cuntica la exposicin se ha complicado considerablemente en comparacin con los trabajos originales. Aunque esta complicacin se suele justificar por razones de generalidad y de rigor, sin embargo, un examen atento permite advertir fcilmente que en realidad, una y otro, son con frecuencia ilusorios, hasta tal punto que una parte considerable de los teoremas (( rigurosos D es errnea. Dado que ese complicar la exposicin nos parece algo completamente injustificado, hemos tendido a la mayor simplicidad y, en muchos casos, se ha vuelto a los trabajos originales. Algunos conocimientos puramente matemticos se presentan al final del libro en forma de (( Apndices matemticos , para, en lo posible, no interrumpir la exposicin en el texto con incisos orientados hacia lo que es puramente clculo. Estos apndices persiguen tambin una finalidad informativa general.

s

V

PRLOGO A LA SEGUNDA EDICINEl tercer tomo del Curso de fsica terica est dedicado a la exposicin de la mecnica cuintica no relativista. La teora cuntica relativista, en cambio, formar el contenido del volumen siguiente. Entendemos aqu por teora relativista, en el ms amplio sentido, la teora de todos los fenmenos cunticos que dependen de la velocidad de la luz de manera esencial. De acuerdo con esto, en ella se incluir no slo la teora basada en la ecuacin relativista de Dirac, sino tambin y de modo general toda la teora cuntica de la radiacin. Para esta segunda edicin, el libro ha sido revisado y ampliado considerablemente, si bien el plan general de la obra, al igual que su carcter, siguen siendo los mismos. La revisin ha afectado a todos 10s captulos. En particular, en las secciones que se refieren a la teora de la composicin de momentos y a la teora de las colisiones se han realizado grandes cambios. Se ha aadido un nuevo captulo acerca de la estructura del ncleo; de acuerdo con el plan general del Curso, estas cuestiones se exponen aqu tan slo en la medida en que es conveniente hacerlo sin entrar a la vez en un anlisis detallado de los datos experimentales. Quisiramos expresar nuestra sincera gratitud a todos aquellos numerosos compaeros que nos han hecho observaciones referentes a la primera edicin del libro, observaciones que se han tenido en cuenta al redactarlo de nuevo. Una gran cantidad de ellas, relativas a la teora de las colisiones, fueron hechas por la. A. Smorodinskii. Agradecemos en particular a L. P. Pitaevskii la gran ayuda prestada en la correccin de frmulas y problemas y en la lectura de las pruebas de imprenta.

L. D. LANDAU E. M. LIFSHITZ yMosc, enero de 1962.

vii

NOTACIONES Los operadores se caracterizan por el smbolo Elemento del espacio de configuraciones dq. Elementos de matriz de la magnitud f (vase la definicin en la pgina 14) Frecuencias de las transiciones Conmutador de dos operadores Hamiltoniano Campo elctrico y campo magntico Corrimientos de fase de las funciones de onda 6, Tenssr unidad antisimtrico

fNDICE DE MATERIASCAPTiJLO

i 2 3 4

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA MECNICA CUNTICA . . . . . . . . . . . . . . . El principio de la indeterminacin .................................... El principio de la superposicin ........... ........................... Operadores .......................................................... Suma y producto de operadores ...................................... 5 El espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 El paso al lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Funcin de onda y medicin ........................................11.ENERGA E IMPULSO

1

1 79 15

19 24 26

CAPTULO

............................................. 8 E1 operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Derivacin de los operadores respecto del tiempo ......................................................................

10 Estados estacionarios

11 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Transformacin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Los operadores en la representacin de Heisenberg .................... 14 La matriz densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Relaciones de indeterminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CAPTULO

30 30 31 33 36 42 44 45 49 5459

17 18 19 20 21 22 23 24 25

.................................. La ecuacin de Schrijdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades fundamentales de la ecuacin de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El principio variaciona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ECUACIN DE SCHRODINGER

111. LA

Propiedades generales del movimiento en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . El pozo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El oscilador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento en un campo homogneo .................................. Coeficiente de transmisin ............................................

59 62 66 68 71 75 79 86 8895

CAPTULO

26 27 28 29

Iv. MOMENTO CITICO .............................................. Momento cintico .................................................... Valores propios de) momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones propias del momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de matriz de vectores ......................................

95 1 00 1 04 i 07

x i

30 Paridad de un estado ................................................ 31 Suma de momentos ..................................................

111 114 118 118 122 130 132 135 146 150

CAP~TULO . MOVIMIEWTO V EN32 33 34 35 36 37

UN CAMPO CENTRAL

Movimiento en un campo central Movimiento libre (coordenadas esfricas) .............................. DeBarrollo de una onda plana ........................................ Cadade una partcula hacia un centro de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento de un campo coulombiano (coordenadas esfricas) . . . . . . . . . . Movimiento en un campo coulombiano (coordenadas parablicas) . . . . . . . .

.............................. ......................................

CAP~TULO. TEDRA PERTURBACIONES .................................... VI DE 38 Perturbaciones independientes del tiempo .............................. 39 La ecuacin secular .................................................. 40 Perturbaciones dependientes del tiempo ................................ 41 Transiciones debidas a una perturbacin que acta durante un tiempo finito . . 42 Transiciones provocadas por una perturbacin peridica . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Transiciones en el espectro continuo .................................. 44 La relacin de indeterminacin para la energa ........................ 45 La energa potencial como perturbacin ..............................CAP~TULO . EL VI147 48 49 50 51 52 53CASO CUASICLSICO

150154 159 163 170 172 175 178 183 183 186 188 193 198 204 209 213 217 217 221 227 228 231 236 238 242 242 245 250 256 263

........................................

46 La funcin de onda en el caso cuasiclsico ............................Condiciones en los lmites en el caso cuasiclsico ...................... Regla de cuantificacin de Bohr-Sommerfeld ............................ Movimiento cuasiclsico en un campo central .......................... Paso a travs de una barrera de potencial ............................ Clculo de los elementos de matriz cuasiclsicos ........................ Probabilidad de transicin en el caso cuasiclsico ...................... Transiciones debidas a perturbaciones adiabticas ......................

CAP~TULO . SPIN ........................................................ VI11 54 Spin ................................................................ 55 Espinores ............................................................ 56 Espinores de orden superior .......................................... 57 Funciones de onda de las partculas de spin arbitrario .................. 58 La relacin entre espinores y tensores ................................ 59 Polarizacin parcial de las partculas .................................. 60 Inversin del tiempo y teorema de Kramers ... ........................CAPTULO

61 62 63 64 65

.......................................... Principio de indistinguibilidad de las partculas idnticas ................ Interaccin de intercambio ............................................ Simetra respecto de las perturbaciones ................................ Segunda cuantificacin. Estadstica de Bose ............................ Segunda cuantificacin. Caso de la estadstica de Fermi ................IDNTICAS

I . PARTCULAS x

xii

CAPTULO

x.

EL

ATOMO

.....................................................

Niveles atmicos de energa .......................................... Estados de los electrones en un tomo ................................ Niveles de energa hidrogenoides ..................................... El campo autoconsistente ............................................ Ecuacin de Thomas-Fermi .......................................... Funciones de onda de los electrones exteriores cerca del ncleo .......... Estructura fina de ios -niveles atmicos ................................ El sistema peridico de los elementos de D. 1. Mendeleev ................ Trminos de rayos X ................................................ Momentos multipolares .............................................. Efecto Stark ........................................................ 77 El efecto Stark en el hidrgeno ......................................66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76CAPTULO

267 267 269 273 274 279 285 286 291 299 302 306 311 320 320 323 327 331 339 347 351 355 358 361 366 369 373 384 384 388 391

78 79 80 81 82 Estructuras de vibracin y rotacin de los trminos singlete de una molcula d iatmica ........................................................ 83 Trminos multiplete. Caso a ......................................... 84 Trminos multiplete. Caso b ......................................... 85 Trminos multiplete. Casos c y d ..................................... 86 Simetra de los trminos moleculares ................................... 87 Elementos de matriz para una molcula diatmica ...................... 88 Duplicacin A ..................................................... 89 La interaccin de los tomos a grandes distancias ........................ 90 Predkociacin ........................................................CAPTULO

........................................ Trminos electrnicos de una molcula diatmica ...................... La interseccin de trminos electrnicos .............................. Relacin entre los trminos moleculares y los atmicos .................. La Valencia ..........................................................DIATMICA

X . LA MOLCULA I

XII . TEOR~A LA DE

SIMETRfA

........................................

Transformaciones de simetra ........................................ Grupos de transformaciones .......................................... Grupos puntuales .................................................... Representaciones de los grupos ........................................ Representaciones irreducibles de l s grupos puntuales .................... o Representaciones irreducibles y la clasificacin de los trminos . . . . . . . . . . . . Reglas de seleccin para los elementos matriz .......................... Grupos continuos .................................................... 99 Representaciones bivalentes de los grupos puntuales finitos ................91 92 93 94 95 96 97 98CAPTULO

400408 413 415 419 422 428 428 436 439

100 101 102

.......................... :......... Clasificacin de las vibraciones moleculares .............................. Niveles de energa de vibracin ........................................ Estabilidad de las configuraciones simtricas de una moltkuia ...............XIII.MOLCULAS POLIAT6MICAS

Xlll

...

103 Cuantificacin de la rotacin de un slido .............................. 104 Interaccin de las vibraciones y de la rotacin de un molcula . . . . . . . . . . 105 Clasificacin de los trminos moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 1 449 454 463 463 472 475 483 486 486 489 493 500 502

CAPTULO XIV . COMPOSICIN DE MOMENTOS CINTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Smbolos 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Elementos de matriz de los tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Smbolos 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Los elementos de matriz en la composicin de momentos cineticos . . . . . . . . CAPTULO . MOVIMIENTO XV EN110 111 112 113 114

............................ La ecuacin de Schrodinger en un campo magntico .................... Movimiento en un campo magntico homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El spin en un campo magntico variable .............................. La densidad de corriente en un campo magntico ........................UN CAMPO MACNTICO

CAPTULO XVI . ESTRUCTURA NCLEO ATMICO .............................. DEL 115 Invariancia isotpica .................................................. 116 Fuerzu nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 E modelo de capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 118 Ncleos no esfricos ................................................ 119 El corrimiento isotpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Estructura hiperfina de los niveles atmicos ............................ 121 Estructura hiperfina de los niveles moleculares ........................ CAPTULO XVII. TEORA DE122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138

505505 510 515 527 533 535 539 542

La condicin de unitariedad en la dispersin ............................ Frmula de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El C ~ cuafkdsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Dispersin para grandes energas ...................................... Propiedades analticas de la amplitud de dispersin .................... Relaciones de dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersin de partculas lentas ........................................ Dispersin de resonancia para pequeas energas ........................ Resonancia en un nivel cuasidiscreto .................................. Frmula de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El sistema de las funciones de onda del espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . Colisiones entre partculas idnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersin de resonancia partculas cargadas ........................ Colisiones elsticas de electrones rpidos con tomos .................... La dispersin con interaccin spin-rbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......................... Teora general d e la dispersin ........................................ Estudio -de la frmula general ........................................LAS COLISIONES ELSTICAS

542 546 549 553 561 565 568 574 578 584 591 597 600 605 608 613 618

riv

CAPTULO

139 140 141 142 143 144 145 146 147 148

...................... La colicin elstica cuando son posibles los procesos inelsticoo . . . . . . . . . . Dispersin inelstica de partculas lentas .............................. La matriz de dispersin en la. reacciones ................................ s Frmulas de Breit y Wigner ..........................................TEORA DE LAS COLISIONES INELSTICAS

XVIII .

626 626633

Interaccin en el estado final en el caso de reacciones .................... Comportamiento de las reacciones eficaces cerca del umbral de reaccin . . . . Colisiones inelsticas de electrones rpidos con tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frenado eficaz ...................................................... Choques inelsticos de partculas pesadas con tomos .................... Dispersin por molculas ..............................................

636 640 649 652 659 670 675 678 685 685 688 691 694 698 70 1 707

APNDICES MATEMTICOS

......................................................

a PolinomioU de Hermite .............................................. b Funcin de Airy ..................................................... c Polinomios de Legendre .............................................. d La funcin hipergeomtrica confluente ................................ e La funcin hipergeomtrica .......................................... f Clculo de integrales que contienen funciones hipergeomtricas confluentes ...NDICE

......................................................................

xv

CAPTULO 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA MECNICA CUNTICA

0 1. El principio de indeterminacinCuando se intenta aplicar la mecnica y la eiectrodinmica clsicas a la explicacin de los fenmenos atmicos, ambas conducen a resultados que se encuentran en abierta contradiccin con la experiencia. Un ejemplo muy claro de esto lo proporciona ya la contradiccin a que se llega al aplicar la electrodinmica ordinaria al modelo de tomo en el que los electrones se mueven en torno del ncleo siguiendo rbitas clsicas. En este movimiento, como en cualquier movimiento acelerado de las cargas, los electrones deberan radiar continuamente ondas electromagnticas. Con la radiacin, los electrones perderan su energa y esto debera conducir, en ltimo trmino, a su cada sobre el ncleo. As, pes, segn la electrodinmica clsica el tomo sera inestable, lo que en modo alguno corresponde a la realidad. Esta profunda contradiccin entre teora y experimento nos dice que la construccin de una teora aplicable a los fenmenos atmicos - esto es, a fenmenos que ocurren con partculas de masa muy pequea y en muy pequeas regiones del espacio -, exige un cambio esencial en las leyes y nociones fundamentales de las teoras clsicas. Como punto de partida para descubrir cules son estos cambios resulta conveniente adoptar un fenmeno observado experimentalmente, la llamada difraccin de los electrones () Cuando un haz homogneo de electrones atraviesa un cristal, l. a la salida del mismo se observa una figura constituida por mximos y mnimos de intensidad consecutivos del todo anloga a la figura de difraccin que se observa en la difraccin de las ondas electromagnticas, As, en ciertas condiciones el comportamiento de las partculas materiales - de los electrones - presenta rasgos tpicos de los procesos ondulatorios. El siguiente experimento ideal, que corresponde a una esquematizacin de laEn realidad, el fenmeno de la difraccin de los electrones fue descubierto despus de fundada (l) ya la mecnica cuntica. Sin embargo, en nuestra exposicin no nos atenemos al desarrollo histrico de la teora, sino que tratamos de construida de tal manera que mejor quede de manifiesto cmo los principios fundamentales de la mecnica cuntica estn ligados con fenmenos observados.

2

Conceptos fundamentales d e la mecnica cuntica

difraccin electrnica por un cristal, pone claramente de manifiesto hasta qu punto es profunda la contradiccin entre este fenmeno y las nociones ordinarias acerca del movimiento. Imaginemos una pantalla que no se deja atravesar por los electrones y en la cual se han practicado dos rendijas. Si se observa el paso del haz de electrones (l) por una de ellas, cuando la otra rendija permanece cerrada, obtenemos sobre una pantalla plana colocada detrs de la rendija una cierta figura de distribucin de la intensidad; de la misma manera obtenemos otra figura abriendo la segunda rendija y cerrando la primera. En cambio, observando el paso del haz simultneamente por las dos rendijas, de acuerdo con las ideas ordinarias, deberamos esperar hallar una figura consistente en la simple superposicin de las dos anteriores, ya que cada electrn, movindose en su trayectoria, pasa por una de lasrendijas sin ejercer influencia alguna sobre los electrones que pasan por la otra. El fenmeno de la difraccin electrnica muestra, sin embargo, que en realidad se obtiene una figura de difraccin que, gracias a la interferencia, de ningn modo se reduce a la suma de las figuras dadas por cada una de las rendijas por separado. Es claro que este resultado en manera alguna se puede conciliar con el concepto de movimiento de los electrones a lo largo de una trayectoria. Resulta as que la mecnica a que obedecen los fenmenos atmicos - la llamada mecnica ondulatoriu o czrntica -, debe basarse en nociones acerca del movimiento diferentes en esencia de las ideas de la mecnica clsica. En la mecnica cuntica no existe el concepto de trayectoria de una partcula. Esta circunstancia constituye el contenido del llamado principio de indeterminacin - uno de los conceptos fundamentales de la mecnica cuntica descubierto por W. HEISENBERG 1927 (2). en Al rechazar las nociones ordinarias de la mecnica clsica, el principio de indeterminacin posee, por-as decirlo, un contenido negativo. Es natural que de por s es del todo insuficiente para construir, tomndolo como base, la nueva mecnica de las partculas. En la base de una tal teora deben encontrarse, claro est, ciertas proposiciones afirmativas que se considerarn ms adelante (4 2). Sin embargo, para formularlas es necesario examinar previamente cmo se plantean los problemas con que se enfrenta la mecnica cuntica. Para ello analicemos ante todo el carcter peculiar de la relacin que existe entre la mecnica cuntica y la clsica. De ordinario, la teora ms general se puede formular de manera lgicamente cerrada con independencia de una teora menos general que constituye un caso lmite de la primera. As, la mecdnica relativista se puede construir partiendo de sus principios fundamentales y sin hacer referencia ninguna a la mecnica newtoEl haz se supone enrarecido hasta tal punto que la interaccin mutua de las partculas que lo cons(l) tituyen no representa papel alguno. (9 Es interesante observar que todo el formalismo matemtico de la mecnica cuntica fue establecido por W. HEISENBERG SCHRODINGER1925-1926, antes del descubrimiento del principio de indeterminay E. en cin, que pone de manifiesto el contenido fsico de dicho formalismo.

El principio de indeterminacin

3

niana. La formulacin de las tesis fundamentales de la mecnica cuntica, en cambio, es en principio imposible sin acudir a la mecnica clsica.

El que un electrn (l) carezca de trayectoria determinada le priva tambin, al mismo tiempo, de cualesquiera otras caractersticas dinmicas ("). Es claro por ello que para un sistema constituido solamente por objetos cunticos sera imposible construir una mecnica lgicamente cerrada. La posibilidad de una descripcin cuantitativa del movimiento de un electrn exige la existencia de objetos fsicos que, con precisin suficiente, obedecen a la mecnica clsica. Si el electrn entra en interaccin con un (( objeto clsico ,el estado de ste, en general, cambia. El carcter y la magnitud de este cambio dependen del estado del electrn y pueden as servir para caracterizarlo cuantitativamente.En tales circunstancias el (( objeto clsico D se suele llamar aparato y del proceso de su interaccin con el electrn se suele decir que se trata de una medicin. Es necesario subrayar, sin embargo, que en modo alguno se trata aqu de un proceso de medicin en el que participa el fsico observador. En mecnica cuntica se entiende por medicin cualquier proceso de interaccion entre objetos clsicos y cunticos que ocurre aparte y con icdependencia de un observador cualquiera. Fue N. BOHR quien puso de manifiesto el profundo papel que desempea el concepto de medicin en la mecnica cuntica. Hemos definido un aparato como un objeto fsico que obedece con precisin suficiente a la mecnica clsica. Tal es, por ejemplo, un cuerpo de masa suficientemente grande. Con todo, no hay que pensar que el carcter macroscpico constituye una propiedad ineludible de un aparato. En ciertas condiciones puede representar tambin el papel de aparato un objeto evidentemente microscpico, dado que el concepto de G con precisin suficiente D depende del problema concreto planteado. As, el movimiento de un electrn en una cmara de Wilson se observa por la traza de niebla que deja, traza cuyo grosor es grande comparado con las dimensiones atmicas; dentro de este grado de precisin en la definicin de trayectoria, el electrn es un objeto enteramente clsico. La mecnica cuntica ocupa as una posicin muy particular en el conjunto de las teoras fsicas : contiene la mecnica clsica como caso lmite, y al mismo tiemp.0 tiene necesidad de este caso lmite para su propia fundamentacin.

En este prrafo y en el siguiente hablamos, para abreviar, de un electrn, si bien pensamos en (l) general en un objeto cuntico arbitrario, es decir, en una partcula o un sistema de partculas que obedecen 3 la mecnica cuntica, pero no a la clsica. (*) Se trata de magnitudes que caracterizan el movimiento del electrn, no de magnitudes que caracterizan a ste como partcula (carga, masa), que son parmetros.

4

Conceptos fundamentales d e la niecnica cuntica

Podemos formular ahora el problema que se plantea la mecnica cuntica. Un problema tpico consiste en predecir el resultado de una medicin, partiendo del resultado conocido de mediciones anteriores. Adems, veremos ms adelante que, en general, la mecnica cuntica limita, por comparacin con la mecnica clsica, el conjunto de valores que pueden tomar las diferentes magnitudes fsicas (por ejemplo, la energa), es decir, los valores que pueden constituir el resultado de la medicin de una cantidad dada. El formalismo de la mechica cuntica debe hacer posible determinar estos valores permitidos. El proceso de medicin posee en mecnica cuntica una peculiaridad muy importante: ejerce siempre una accin sobre el electrn a que se aplica, y esta accin no se puede hacer, por principio, tan dbil cuanto se quiera para una precisin dada de la medicin. Cuanto ms precisa sta, tanta ms intensa es la accin que se ejerce, y tan slo en las mediciones de precisin muy pequea puede conseguirse que la accin sobre el objeto de la medicin sea dbil. Esta propiedad de las mediciones est lgicamente ligada con el hecho de que las caractersticas dinmicas del electrn se manifiestan tan slo camo resultado de la propia medicin; es claro que si la accin del proceso de medicin sobre el objeto se pudiera debilitar cuanto se quisiera, ello significara que la cantidad medida posee de suyo un vzlor determinado, independiente de la medicin. Entre los diferentes tipos de medicin representa un papel fundamental la medicin de las coordenadas del electrn. Dentro de los lmites de aplicabilidad de la mecnica cuntica, es siempre posible realizar (l) la medicin de las coordenadas de un electrn con precisin arbitraria. Supongamos que al 'cabo de determinados intervalos de tiempo At se efectan sucesivas mediciones de las coordenadas de un electrn. Los resultados, en general, no se encuentran sobre una curva lisa. Por el contrario, cuanto ms exactamente se efectan las mediciones, tanto ms discontinua, ms desordenada es la marcha que presentan sus resultados en correspondencia con el hecho de que no existe para un electrn el concepto de trayectoria. Una trayectoria ms o menos lisa se obtiene solamente si se determinan las coordenadas de un electrn con un grado de precisin no ,muy grande, como, por ejemplo, mediante la condensacin de gotitas de vapor en la cmara de Wilson.

Si, en cambio, manteniendo constante la precisin de las medidas, se disminuyen los intervalos At entre mediciones, las medidas vecinas darn, claro est, valores de las coordenadas prximos entre s. Sin embargo, si bien los resultados de una serie de mediciones sucesivas se encontrarn en una pequea regin del espacio,

(t) Subrayaremos una vez ms que al hablar de una 12 es la probabilidad de que el impulso tome valores en el intervalo d3p. Las frmulas (15.9-10) determinan la relacin entre las funciones de onda en ambas representaciones. De manera anloga a coma el operador p corresponde al impulso, determinando sus funciones propias en la (( representacin-r D es posible introducir el concepto de operador r del vector posicin de la partcula en la (( representacin-p . El operador r se debe definir de manera que el valor medio de las coordenadas se pueda representar en la forma :

r=

1a*(p)3a(p) d3p.

(15.11)

Por otra parte, este mismo valor medio se determina a partir de la funcin de onda y(r) mediante la relacin r=J+*+dV. Escribiendo y(r) en la forma (15.9), tenemos (integrando por partes) (l):() La derivada respecto del vector p se interpreta como un vector cuyas componentes son las deriva das respecto de p x , prl, p z .

Impulso

53

Mediante esta expresin y teniendo en cuenta (15.10), se encuentra:

r' = +*r+ dV = ( ~ ? T A ) -I~$/ # " ( r ) i A [ a a ( p ) / a ~ ] B / d3pdV ~ fi)~.~

/

Comparando con (15.11), vemos que el operador del vector posicin en la a representacin-p )) es

P = itiaiap.

(15.12)

El operador de impulso en esta representacin, en cambio, se reduce simplemente a la multiplicacin por p.PROBLEMAS

1. Expresar el operador pa de la translacin finita caracterizada por el vector a mediante el operador de impulso.Solucin. Por definicin del operador Fa, debe ser

f-a#(r)= #(r+a).Desarrollando la funcin y(r+a) en serie de Taylor, tenemos:

#@+a) = $@)+a a#(r)/ar+O

0..

9

bien, introduciendo el operador

fi = -jfiv :

+(r+a) = [+$

.p+-(-a. 1 iZ f i

p>2+

... ]#(r>.

La expresin que aparece dentro del parntesis recto es el operador

Este es precisamente el operador buscado de la translacin finita.2. Hallar la ley de transformacin de la funcin de onda en una transformacin de Galileo. Solucin. Apliquemos la transformacin a la funcin de onda del movimiento libre de una Partcula (onda plana). Dado que cualquier funcin Y se puede desarrollar en ondas planas, esto nos permite hallar tambin la ley de transformacin para una funcin de onda arbitraria.

Las funciones de onda del movimiento libre en los sistemas de referencia K y K' (K' se mueve respecto de K con velocidad V) son:

54

Energa e impulso

Y = constante x e ( i / R ) ( P . r - E t ) ,y= constante x e(i/h)(P.r-Et),donde r = r+Vt y los impulsos y las energas en ambos sistemas estn ligados entre s por las frmulas (l)

p = p+mV, E = E+V.p+&mVS.Substituyendo estas expresiones de r, p, E en Y, obtenemos

1En esta forma la frmula en cuestin no contiene ya magnitudes que caractericen el movimiento libre de una partcula y constituye la ley general de transformacin buscada para la funcin de onda de un estado arbitrario de una partcula. Para un sistema de partculas, como exponente en (1) deber aparecer la suma respecto de las diferentes partculas.

8 16. Relaciones de indeterminacinDeduzcamos ahora las reglas de conmutacin entre los operadores del impulso y de las coordenadas. Dado que el resultado de la derivacin sucesiva respecto de una de las variables x, y, z y la multiplicacin por otra de ellas no depende del orden de estas operaciones, se tendr$xY-Y$x= o,$&-z$x

= 0,

(16.1)

y anogamente para

fiZ .& x - x j + , = -di a(x+)/ax+ifix= -i@.

Para deducir la regla de conmutacin de bZ con x , escribamos:

a+px

El resultado de aplicar el operador $ g - x j , se reduce, pues, a multiplicar la funcin por -itz lo mismo vale, naturalmente, para los conmutadores de & con y y de & con z. Tenemos as ( 2 ) ;$&-xjX(l)

= -ih,

$Yy-y$Y = -ih, jZz-z$, = -ih.

(16.2)

Vase tomo 1, Mecnica, 0 8. Estas relaciones, descubiertas en forma matricial por HEISENBERG 1925, sirvieron de punto de en partida para fundar la actual mecnica cuntica.P)

Relaciones de indeterminacin

55

Todas las relaciones (16.1-2) se pueden escribir en la forma:$ixk-xk$i = -ih& (i,k = %,y,x). (16.3) Antes de pasar al anlisis del sentido fsico de estas relaciones y sus consecuencias, deduzcamos dos frmulas que sern tiles ms adelante. Seaf(r) una funcin de las coordenadas; se tendr entonces

fif(r)-f(r)fi = -ihvf.

(16.4)

En efecto:

(Pf-ffw

= -WV(f+)-fV4

=

-i@Vf.funcin ))

Una relacin anloga vale tambin para la conmutacifi de r con una f@) del operador impulso :

f(p)r-rj(p) = -;tiayap. (16.5) Esta puede deducirse de la misma manera que (16.4) si se efecta el clculo en la representacin-p, utilizando para los operadores de las coordenadas las expresiones (15.12). Las relaciones (16.1-2) demuestran que la coordenada de una partcula a lo largo de un eje puede tener un valor determinado a la vez que las componentes del impulso respecto de los otros dos ejes; en cambio, una coordenada y la componente del impulso a lo largo del mismo eje no existen simultneamente. En particular, una partcula no puede encontrarse en un punto determinado del espacio y poseer al mismo tiempo un impulso determinado p. Supongamos que una partcula se encuentra en una cierta regin finita del espacio cuyas dimensiones respecto de los tres ejes son del orden de magnitud Ax, Ay, Az. Adems, sea po el valor medio del impulso de la partcula. Esto significa, desde el punto de vista matemtico, que la funcin de onda tiene la forma y = u(r)eiPorlh, donde u(r) es una funcin que difiere apreciablemente de cero tan slo en aquella regin del espacio. Desarrollemos la funcin y en funciones propias del operador de impulso (es decir, en integral de Fourier). Los coeficientes a(p) de este desarrollo vienen determinados por las integrales Para que una tal integral difiera de (15.10) de funciones de la forma u(r)ei(Po-P)r/h. cero de manera apreciable, los perodos del factor oscilante eibo-p)r/h, deben no ser pequeos respecto de las dimensiones Ax, Ay, Az de la regin en la que la funcin u@) es diferente de cero. Esto significa que a@) diferir apreciablemente de cero tan slo para valores p tales que (pox-px)Ax/h h. 1, . . . Dado que ln@)I2 determina la probabilidad de los diferentes valores del impulso, los intervalos de valores dep,, par, en los que a(p) es diferente de cero no son sino aquellos intervalos pz de valores en los que puedan encontrarse las componentes del impulso de la partcula

56

Energa e impulso

en el estado considerado. Designando estos intervalos por Apz, ApB,Apz, tenemos as :APJxN

A, ApAy

N

A, AP$X

N

A.

(16.6)

Estas relaciones (las llamadas relaciones de indeterminacin) fueron obtenidas por HEISENBERG. Vemos, pues, que con cuanta mayor precisin se conoce una coordenada de la partcula (es decir, cuanto menor es Ax), tanto mayor es la indeterminacin Apx relativa a los valores de la componente del impulso a lo largo del mismo eje, y recprocamente. En particular, si la partcula se encuentra en un punto rigurosamente determinado del espacio (Ax = Ay = Az = O), se tendr Apz = Apu = Apz = CQ, Esto significa que en este caso todos los valores del impulso son igualmente probables. Reciprocamente, si la partcula posee un impulso rigurosamente determinado p, todas las posiciones en el espacio son equiprobables (lo que tambin se ve inmediatamente observando que la funcin de onda (15.8) es tal que el cuadrado del mdulo no depende en absoluto de las coordenadas). Como ejemplo consideremos una partcula en el estado definido por la funcin de ondatb ,

= constante x d $ / n m o ~ - a x ' ~ f i

(16.7)

(para simplificar consideramos el caso unidimensional, con la funcin de onda dependiente tan slo de una coordenada). Las probabilidades de los diferentes valores de las coordenadas son iguales a1$12

= constante x e-azalB,

es decir, se distribuyen en torno del origen (valor medio R = O) de acuerdo con la ley de Gauss, con una fluctuacin cuadrtica media i [ ( = i( Ax)~] ti/Za)(Ax designa la diferencia x -2 (l-). El clculo de los coeficientes a(pJ del desarrollo de esta ) funcin en integral de Fourier segn la f6rmulaW

a@,) = (27&)-1/2

J' $(x)e-(IJhMzx dx,-m

conduce a una expresin de la forma:= constante x e-(po-pda/2Ba,

La distribucin de probabilidades de los valores del impulsolaI2 = constante xe-(Po-Px)'/m,

l) Como es sabido, la distribucin gaussiana para la probabilidad w(x) de los valores de una cierta magnitud x es de la forma:

~ ( x = [ 2 4 A x )2]-1/2,)

( Ads/2(A ~1'.

Relaciones de indeterminacin

57

tiene, por consiguiente, la misma forma gaussiana, con una fluctuacin cuadrtica media

(donde Apa:= p r -po). El producto de las fluctuaciones cuadrticas medias de la coordenada y del impulso son iguales, por Consiguiente, a

de acuerdo con (16.6) (l). Finalmente, deduzcamos aun otra relacin til. Sean f y g dos magnitudes fsicas cuyos operadores satisfacen la relacin de conmutacin

Jg = -iW, p8~ ~~ ~

(16.9)

Se puede demostrar que este valor del producto de las fluctuaciones es el menor posible. Para ello considereaos la siguiente deduccin formal (H. WEYL). Supongamos que el estado de una partcula viene descrito por la funcin y(x) y que los valores medios de las coordenadas y del impulso en este estado son, para simplificar la demostracin, iguales a cero. Consideremos la desigualdad evidente(l)

donde a es una constante real arbitraria (ei signo de igualdad vale para una funcin y de la forma (16.7)). Para calcular esta integral observemos que

1

(xg-#++*z)

s 1."1$J2dx =

-

dx = (Ax)~, xdx dx = dM12

-

1

J$J2 dx

= -1,

con lo que se obtiene

cc2(Ax)2-a+(1/h2)(Ap2)2

> O.

Para que este trinomio cuadrtico (respecto de a) sea positivo cualesquiera que sean los valores de a, debe quedar satisfecha la condicin

-

O

bien

4(Ax)*( 1/h2)(Apz)2 1 >,

d[W2 (APJ21 @

--

(16.8a)

58

Energa e impulso

donde 2 es el operador de una magnitud fsica c. En el segundo miembro de la igual' dad hemos introducido el factor h para tener en cuenta que en el lmite clsico (es decir, para h + O) todos los operadores de las magnitudes fsicas se reducen a la multiplicacin por estas mismas magnitudes y conmutan entre s. En el caso (( cuasiclsico N es posible, por consiguiente, considerar en primera aproximacin igual a cero el segundo miembro de la igualdad (16.9). En la siguiente aproximacin, en cambio, cabe substituir el operador 8- por un operador que consiste simplemente en multiplicar por la magnitud e. Se obtiene entonces:= -ifi, con la nica Esta igualdad es exactamente anloga a la relacin$g-x$, diferencia de que en vez de la constante h aparece-% ella a magnitud he () De l . esto podemos concluir, por analoga con la relacin AxAp, t , que en el caso cuasiclsico vale para las magnitudes f, g la relacin de indeterminacin

AfAg - h

(16.10)

(2)

En particular, si una de las magnitudes es la energa (f H ) y el otro operador no depende explcitamente del tiempo, segn (9.2) ser c = g y la relacin de indeterminacin en el caso cuasiclsico es :AEAg

-

hg.

(16.11)

La magnitud clsica c es el parntesis de Poisson correspondiente a las magnitudesf y g, vase (l) la nota en la pg. 3 ) 2.

CAPTULO 111

LA ECUACIN DE SCHRODINGEA

4 17. La ecuacin de SchrodingerPasemos ahora a determinar la forma del hamiltoniano-cuestin esta de la mayor importancia, porque es este operador el que determina la forma de la ecuacin de onda. Empecemos por considerar una partcula libre, es decir, una partcula que no se encuentra en ningn campo exterior. Dada la completa homogeneidad del espacio para una tal partcula, su hamiltoniano no puede contener en forma explcita las coordenadas y debe expresarse tan slo en funcin del operador impulso. Adems, para una partcula libre se conservan tanto la energa como el impulso, por lo cual ambas magnitudes pueden existir simultneamente. Dado que el valor del vector impulso determina por completo el estado de la partcula, los valores propios de la energa E deben ser funcin del valor del impulso en el mismo estado. Adems, E debe ser funcin solamente del mdulo del impulso, no de su direccin; esto ltimo se sigue de la completa isotropa del espacio con relacin a una partcula libre, es decir, de la equivalencia en l de todas las direcciones. La propia forma de la funcin E(p) queda completamente determinada por las condiciones que impone *el llamado principio de relatividad de Galileo, principio que debe quedar satisfecho en la mecnica cuntica no relativista al igual que en la mecnica clsica (no relativista). Como se demuestra en mecnica () esta condicin conduce a una depenl , dencia cuadrtica de la energa con relacin al impulso E = p2/2m, donde la constante m se llama masa de la partcula. Para que la relacin E = p2/2m se cumpla para todos los valores propios de la energa y del impulso, esta misma r4aci.n debe ser tambin vlida para sus operadores :(17.1)

Substituyendo aqu (15.2), obtenemos el hamiltoniano de una partcula que se mueve libremente en la forma:(9 Vase tomo1, Mecanica,

0 4.

60

La ecuacin de Schrodinger

Iz = -(ta/2m)A,donde A = a2/ax2+ a2/ay2 a2/3x2es el operador de Laplace. +

(17.2)

Si tenemos un sistema de partculas que no interactan entre s, su hamiltoniano es igual a la suma de los hamiltonianos de cada una de ellas :

Iz = -*P T:(i/ma>Aaa

(17.3)

(el ndice a numera las partculas; A, es el operador de Laplace en el que la derivacin se efecta respecto de las coordenadas de la a-sima partcula). La forma del hamiltoniano para un sistema de partculas en interaccin mtua no se puede deducir partiendo nicamente de los principios generales de la mecnica de cuntica. Su forma es anloga a la funcin de HAMILTON la mecnica clsica, y se obtiene sumando al hamiltoniano de las partculas sin interaccin una cierta funcin U ( q , r2, . . .) de sus coordenadas: (17.4) El primer trmino se puede considerar como el operador de la energa cintica y el segundo como el operador de la energa potencial. Este ltimo se reduce a la simple multiplicacin por la funcin U, y del paso al lmite de la mecnica clsica se sigue que esta funcin debe coincidir con la que determina la energa potencial en dicha mecnica. En particular, el hamiltoniano de una sola partcula que se encuentra en un campo exterior es

A =@2/2m U(%, z) = -(A2/2m) + y,

*+

~ ( x , z), y,

(17.5)

donde U(x, y , z ) es la energa potencial de la partcula en dicho campo. Observemos que los valores propios del operador de la energa cintica son positivos, lo que se sigue desde luego del hecho que este operador es igual a la suma de los cuadrados de los operadores que corresponden a las componentes del impulso con coeficientes positivos. En consecuencia, tambin el valor medio de la energa cintica en un estado arbitrario ser siempre positivo. La substitucin de las expresiones (17.2)-(17.5) en la ecuacin general (8.1) nos da la ecuacin de onda de los correspondientes sistemas. Escribamos, en particular, la ecuacin de onda de una partcula en un campo exterior

ili ay/&= -(A2/2m)AY+ U(x,y,z)Y.

(17.6)

La ecuacin (10.2) que determina los estados estacionarios toma, en cambio, la forma : (17.7)

La ecuacin d e Schrodinger

61

Las ecuaciones (17.6), (17.7), fueron obtenidas por E. SCHRODINGER 1926 y se en llaman ecuaciones de Schrodinger - temporal y no temporal, respectivamente. Para una partcula libre la ecuacin de Schrodinger (17.7) tiene la forma:

(A2/2m)A$+E$ = o.

(17.8)

Esta ecuacin posee soluciones finitas en todo el espacio para cualquier valor positivo de la energa E (incluido el valor O). Como a tales soluciones se pueden tomar las funciones propias (15.5) comunes a los operadores de las tres componentes del impulso. Las funciones de onda completas de los estados estacionarios tendrn entonces la forma:Yp = constante x e-(i /)Et+(i/?)P*r ( E = p2/2m).

(17.9)

Cada una de estas funciones describe un estado en el que la partcula posee una energa determinada E y un impulso determinado p. Es una onda plana que se propaga en la direccin p y que posee una frecuencia E / h y una longitud de onda Znh/p (esta ltima se llama longitud de onda de De Broglie de la partcula) ( l ) . El espectro energtico de una partcula que se mueve libremente resulta as ser continuo, extendindose de cero a +m. Cada uno de estos valores propios (con la nica excepcin del valor E = O) es degenerado y la degeneracin es de multiplicidad infinita. En efecto, a cada valor E diferente de cero corresponde una multiplicidad infinita de funciones propias (17.9) que difieren entre s en la direccin del vector p para un mismo valor absoluto del mismo. Veamos de qu manera tiene lugar en la ecuacin de Schrodinger el paso al lmite de la mecnica clsica, considerando, para simplificar, una sola partcula en un campo exterior. Substituyendo en la ecuacin de Schrodinger ( 1 7.6) la expresin lmite (6.1) de la funcin de onda Y = obtenemos, efectuando la derivacin,

as aa a ih ih A2 a--itz-+-(~S)2--aAS--VS. Va--Aa+ Ua = O. at at 2m 2m m 2m En esta ecuacin aparecen trminos puramente reales y trminos puramente imaginarios (recordemos que S y a son reales); igualando unos y otros a cero por separado, obtenemos dos ecuaciones:aa a

-+-AS+-Tp.at 2m(l)

1

vu

=

m

o.

GLIE

El concepto de onda asociada a una partcula fue introducido por vez primera por L. DE BROen 1924.

62

La ecuacin de Schrodinger

Prescindiendo en la primera de estas ecuaciones del trmino que contiene A2, obtenemos: as 1 (1 O) 7.1 -+-( VS)2+ u = o,at

zm

es decir, cual debe ser, la conocida 'ecuacin clsica de Hamilton-Jacobi para la accin S de la partcula. Obsrvese, a propsito, que cuando f 3 O, la mecnica clsica es vlida con una precisin que es del primer orden de magnitud (y no de orden cero) respecto de A. La segunda de las ecuaciones precedentes se puede escribir, despus de multiplicarla por 2a, en la forma:(17.11)

Esta ecuacin posee un significado fsico intuitivo: a2 es la densidad de probabilidad de encontrar la partcula en un lugar del espacio (ly?i2 = a2);o S / m = p/m es la velocidad clsica v de la partcula. La ecuacin (17.11) no es, por lo tanto, sino la ecuacin de continuidad que nos dice que la densidad de probabilidad (( se desplaza )) segn las leyes de la mecnica clsica con la velocidad clsica v en cada punto.

8 18. Propiedades fundamentales de la ecuacin de SchrodingerLas condiciones a que deben satisfacer las soluciones de la ecuacin de Schr6dinger son de un carcter muy general. Ante todo la funcin de onda debe ser uniforme y continua en todo el espacio. La condicin de continuidad se mantiene tambin en aquellos casos en que el propio campo U(x, y , z ) presenta superficies de discontinuidad. En tales superficies deben conservarse continuas tanto la funcin de onda como sus derivadas. Acerca de la continuidad de las derivadas hay que hacer, sin embargo, la reserva de que stas dejan de ser continuas si ms all de una cierta superficie la energa potencial U se hace infinita. Una partcula no puede en absoluto penetrar. evidentemente, en una regin del espacio donde U = 00, es decir, en dicha regin debe ser en todas partes y =- O. La continuidad de y , exige que en la frontera de este dominio y se anule; en cambio, las derivadas de y experimentan en este caso, por lo general, una discontinuidad finita. Si el campo U(x, y , z ) no se hace infinito en ningn punto, tambin la funcin de onda debe ser finita en todo el espacio. Esta misma condicin debe quedar satisfecha en los casos en que U se hace infinito en algn punto, pero no ms rpidamente 35). que 1 Ir" con s < 2 (vase tambin j Sea Uniin el valor mnimo de la funcin U ( x , y , 2 ) . Dado que el hamiltoniano de una partcula es suma de dos trminos -el operador energa cintica y el

Propiedades fundamentales d e la ecuacin d e Schrodinger

63

operador energa potencial -, el valor medio de la energa en un estado arbitrario es igual a le suma E-= T+ 0.Pero todos los valores propios del operador T (que coincide con el hamiltoniano de una partcula libre) son positivos; por ello tambin el valor medio T 2 O. Teniendo tambin en cuenta la desigualdad evidente 0 > Umin, encontramos que E > U,, . Dado que esta desigualdad se cumple para cualquier estado, es evidente que vale tambin para todos los valores propios de la energa:(18.1)

Consideremos una partcula que se mueve en un campo de fuerzas que se anula en el infinito; la funcin U(x, y , z), como de costumbre, la definiremos de manera que en el infinito tienda a cero. Es fcil ver que el espectro de valores propios negativos de la energa ser entonces discreto, es decir, en un campo que se anula en el infinito todos los estados con E < O son estados ligados. En efecto, en los estados estacionarios del espectro continuo, estados que corresponden a un movimiento infinito, la partcula se encuentra en el infinito (vase cj 10). Pero a distancias suficientemente grandes se puede prescindir de la existencia del campo, con lo que es posible considerar el movimiento de la partcula como un movimiento libre; ahora bien, en un movimiento libre la energa slo puede ser positiva., Por el contrario, los valores propios positivos forman un espectro continuo y corresponden a un movimiento infinito; para E > O la ecuacin de SCHRODINGER no tiene, por lo general (en el campo considerado), soluciones para las que la integral Jiy12dV converja () l. Debemos hacer notar que en la mecnica cuntica y para un movimiento finito la partcula puede encontrarse tambin en regiones del espacio en las que E < U ; aunque la probabilidad !y\2de encontrar la partcula en ellas tiende rpidamente a cero al penetrar en una regin de este tipo, con todo dicha probabilidad es distinta de cero a cualquier distancia finita. Se presenta aqu una diferencia fundamental con la mecnica clsica, en la que una partcula no puede en modo alguno penetrar en una regin donde U > E. Enla mecnica clsica, la imposibilidad de penetrar en esta regin est ligada con el hecho de que para E < U la energa cintica sera negativa, es decir, la velocidad sera imaginaria, lo que es absurdo. En mecnica cuntica los valores propios de la energa cintica son tambin positivos; sin ernbargo, no llegamos aqu a una contradiccin dado que si en el proceso de medicin la partcula se localiza en un determinado punto del espacio, como resultado de este mismo proceso el estado de la partcula se perturba de tal manera que sta deja de poseer una energa cintica determinada, cualquiera que sea.

Si en todo el espacio es U(x, y , z ) > O (con U 3 O en el infinito), en virtud de laDesde un punto de vista puramente matemtico es necesario advertir, sin embargo, que para cier(l) tas formas determinadas de la funcin U ( x , y , z ) (que carecen de significacin fsica) pueden dejar de pettenecer al espectro continuo los puntos de un conjunto discreto de valores.

64

La ecuacin de Schrodinger

desigualdad (18.1) tenemos E, > O. Dado que, por otra parte, cuando E > O el espectro debe ser continuo, llegamos a la conclusin de que en el caso considerado el espectro discreto no existe, es decir, es slo posible un movimiento infinito de la partcula. Supongamos que U tiende a - 00 en un cierto punto (que elegimos como origen de coordenadas) de acuerdo con la ley (18.2) Consideremos una funcin de onda que es finita en una pequea regin (de radio r,) en torno del origen de coordenadas e igual a cero fuera de ella. La indeterminacin de los valores de las coordenadas de la partcula en un tal paquete de ondas es del orden de yo; por consiguiente, la indeterminacin en el valor del impulso es , h/ro. El valor medio de la energa cintica en este estado es del orden de magnitud de h2/mro2,yel valor medio de la energa potencial es del orden de - xx/rOs. Supongamos primero que s > 2. Entonces la suma

U z -arS

(a> O).

-

para valores de ro suficientemente pequeos toma valores negativos tan grandes cuanto se quiera en valor absoluto. Pero si la energa media puede tomar tales valores, ello significa en cualquier caso que existen valores propios negativos de la energa que, en valor absoluto, son tan grandes cuanto se quiera. A los niveles de energa con [ E !grande corresponde un movimiento de la partcula en una regin muy pequea del espacio en torno del origen de coordenadas. El estado H normal )) corresponder a una partcula que se encuentra en el propio origen de coordenadas, es decir, tiene lugar una (( cada )) de la partcula al punto r = O. Si, en cambio, s < 2, la energa no puede tomar valores negativos tan grandes cuanto se quiera en valor absoluto. El espectro discreto comienza con un cierto valor finito negativo. No tiene lugar en este caso la ((cada )) de la partcula al centro. Obsrvese que en la mecnica clsica una tal ((cada )) de la partcula es en principio posible en cualquier campo atractivo (es decir, para cualquier valor positivo de s). El caso s = 2 se considerar aparte en el 0 35. Examinemos ahora el carcter del espectro energtico en su dependencia del comportamiento del campo a grandes distancias. Supongamos que para r -f 00 la energa potencial, que es negativa,- tiende a cero de acuerdo con la ley (18.2) (en esta frmula se supone ahora que r es grande). Consideremos un paquete de ondas que ((llena )) un estrato esfrico de gran radio ro y de espesor Ar- < r,. En estas condiciones, el orden de magnitud de la energa cintica ser de nuevo h2/m(Ar)2, y la energa potencial ser del orden de - ar. Aumentemos ro y a la vez tambin /: el valor de Ar (de forma que AY crezca proporcionalmente a r,). Si s (2, para valores ro suficientemente grandes la suma h2/m( ArI2 z/ro8 pasa a ser negativa.

-

l r o p i ~ r l a d ~ funt1anrcwtale.s de la ecuacin de Scliriidinger s

65

Se sigue de aqu que existen estados estacionarios con energas negativas en los que la partcula puede encontrarse, con probabilidad apreciable, a grandes distancias del origen de coordenadas. Pero esto significa que existen niveles energticos negativos de valor absoluto arbitrariamente pequeo (es necesario recordar que en un dominio del espacio donde U > E las funciones de onda se amortiguan rpidamente). As, pues, en el caso considerado el espectro discreto contiene una infinidad de niveles que se acumulan hacia el nivel E = O. Si, en cambio, el campo tiende a cero en el infinito como - l / r s con s > 2, no existen niveles negativos con valores absolutos arbitrariamente pequeos. El espectro discreto termina a un nivel con valor absoluto diferente de cero, de forma que el nmero total de niveles es finito. La ecuacin de SCHRODINGER temporal), al igual que las condiciones im(no puestas a sus soluciones, es real. Por lo tanto, sus soluciones y se pueden siempre elegir reales ( l ) . En lo que concierne a las funciones propias de los valores no degenerados de la energa, stas resultan automiticamente reales, salvo un factor de fase que carece de importancia. En efecto, y* satisface la misma ecuacih que y y, por consiguiente, es tambin funcin propia para aquel mismo valor de la energa; por lo tanto, si este valor no es degenerado, y y y* deben ser en esencia idnticas, es decir, tan slo pueden diferir en un factor constante (de mdulo igual a la unidad). En cambio, las funciones de onda qne corresponden a un mismo nivel degenerado de la energa, no son necesariamente reales, pero mediante una eleccin adecuada de combinaciones lineales de las mismas es siempre posible obtener un sistema de funciones reales. Las funciones de onda completas y?, en cambio, se determinan por upa ecuacin entre cuyos coeficientes aparece i. Esta ecuacin, sin embargo, conserva su forma si en ella se cambia t en - t y a la vez se pasa a la conjugada compleja (). Por esto es siempre posible elegir las funciones y. tales que y. y y?* difieren tan slo en el signo del tiempo -resultado ste que ya conocemos en virtud de las f6rmulas (lO.l), (10.3). Como es sabido, las ecuaciones de la mecnica clsica no cambian en la inversin del tiempo, es decir, al cambiar el signo de ste. En mecnica cuntica la sirnetra con relacin a los dos sentidos del tiempo se expresa, conforme vemos, en la invariancia de la ecuacin de onda respecto del cambio de signo de ? acompaado simultneamente de la substitucin de Y por y?*. Sin embargo, hay que recordar que esta simetra se refiere aqu tan slo a las ecuaciones, no al propio conceptoas (1 Estas proposiciones no son vlidas para los s i ~ ~ e m que se encuentran en u n campo magnetico (vase cap. XV). Se supone que la energa poencial U no depende explcitamente del tiempo: o el si\tcma e\ aislado. () O se encuentra en un campo constante (no magntico).

66

La ecuacin d e Schrodinger

de medicin, que representa un papel fundamental en mecnica cuntica (conforme se discuti ya detenidamente en el 9 7).

5 19. Densidad de corrienteEn mecnica clsica la velocidad de una partcula es igual al impulso dividido por la masa. Veamos cmo esta misma relacin se cumple, como era de esperar, tambin en la mecnica cuntica. Segn la frmula general (9.2) de derivacin de los operadores respecto del tiempo, para el operador velocidad se tiene 8 = $

v = (i/h)(fir-rQ).Valindonos de la expresin (1 7.5) de I y de la frmula (1 6.5), obtenemos: ! l 8 =film.(19.1)

Las mismas relaciones existirn tambin, evidentemente, entre los valores propios de la velocidad y del impulso y entre sus valores medios en un estado cualquiera. La velocidad, como el impulso de una partcula, no puede tener un valor determinado a la vez que sus coordenadas. Pero la velocidad multiplicada por un elemento de tiempo infinitesimal dt, determina el desplazamiento de la partcula en el tienpo dt. Por consiguiente, el hecho de que no exista la velocidad a la vez que las coordenadas significa que si la partcula se encuentra en un determinado punto del espacio en un cierto instante, no podr tener una posicin definida en un instante infinitamente prximo. He aqu una frmula til relativa al operador jcorrespondiente a la derivada respecto del tiempo de una magnitudf(r) que es funcin del vector posicin. Teniendo en cuenta que f conmuta con U(r), encontramos:

f = (i/h)(Qj-jfi) (i/ZnzR)(fiy-ffi2). =Mediante (16.4) podemos escribir

fiy = fi .( f f i - i h o f )

=f i j . f i - i h @ .

fp:

=

(fif+ihrJf).fi4

= fif.fi+ihvf

Vf, .@.(1 9.2)

Substituyendo en la frmula para .f, obtenemos la expresin buscada

f

=(Wm)(@

Vf+Vf.fi).

Determinemos ahora el operador aceleracin. Tenemos:

+ = (i/h)(Ay- 3?) (i/n&>(PI, = (i/mh>(Ufi fiU) = -@A) -

Densidad d e corriente

67

(con fi conmutan todos los trminos de mula (16.4), se encuertra:A

fi salvo

U(r)). Teniendo en cuenta la fr-

mV

= -vU.

(19.3)

Esta ecuacin entre operadores coincide exactamente en su forma con la ecuacin del movimiento de la mecnica clsica (ecuacin de NEWTON). La integral lYI2dV, extendida a un cierto volumen finito V , representa la probabilidad de encontrar la partcula en dicho volumen. Calculemos la derivada de esta magnitud respecto del tiempo. Tenemos :

dt

d

.V

IY12 V = d

ay* a y j(y',+'y.->atV

dV =

1V

(YA*Y*-Y+fiY") d V

Substituyendo aqu

A = A* = -(ft2/2m)n + ~ ( x , y2) ,y utilizando la identidad

dtV

d

]T2 V = dV

div i dV,

donde i designa el vector:i = (iti/2m)(YvY*-y*~y).

(19.4)

La integral de div i se puede transformar mediante el teorema de GAUSS una en integral extendida a la superficie cerrada S que rodea el volumen V ( l ) :

A/iY/2dY=dtY

sS

i .df.

(19.5)

Vemos as que se puede llamar a i vector densidad de corriente de probabilidad. La integral de este vector extendida a una superficie es la probabilidad de que en la unidad de tiempo la partcula atraviese esta superficie. El vector i y la densidad de probabilidad IY l 2 satisfacen la ecuacin a]Y12/at+div i anloga a la ecuacin clsica de continuidad.(') El elemento de superficie df se define como un vector cuyo valor absoluto es igual al area dfdel ielemento y cuyo versor coincide con el de la normal exterior al dominio.

= O,

(19.6)

68

L a wuncin d e Schrodinger

lntroduciendo el operador de impulso, es posible escribir el vector i en la forma:

i

= (1/2m)(Y@*Y*+Y*fiY).

(19.7)

Es til demostrar cmo de la ecuacin de Schrodinger se sigue inmediatamente la ortogonalidad de las funciones de onda de dos estados con valores diferentes de la energa. Sean y I , ,y y l r dos de tales funciones; una y otra satisfacen las ecuaciones

Multipliquemos la primera de ellas por yI,*,la segunda por 'yIli restemos miembro y a miembro una de otra; esto da:

Si ahora integramos ambos miembros de la ecuacin en todo el espacio, el segundo se miembro, transformndolo mediante el teorema de GA~JSS, reduce a cero y obtenemos:

de donde, en virtud de la hiptesis E,, #E,,, se sigue la relacin de ortogonalidad buscada

$mt,bn* d V = O.

8 20.

El princlpio variacional

La ecuacin de SCHRODINGER su forma general I?# = E#, se puede obtener en a partir del principio de variacin

8 #*@-E)+

1

dq = O.

(20.1)

Dado el carcter complejo de y , la variacin de y y de y* se puede efectuar independientemente. Variando y*, tenemos :

f 8#*(I?-E)$

dq

= O,

de donde se sigue, dada la arbitrariedad de 6y*, la ecuacin buscada &h = E$. La variacin de ?y no da nada nuevo. En efecto, variando y y teniendo en cuenta

El principio uariacional

69

el carcter hermtico del operador

fi tenemos:

J #*(A-E)6#dp = J 6#(R*-E)#* = O, dplo que conduce a la ecuacin conjugada compleja Z?*$*= E$*.

El principio variacional (20.1.) impone a la integral la condicin de extremo incondicionado. Es posible presentarlo en otra forma considerando a E como un multiplicador de Lagrange en el problema de extremo condicionado(20.2)

con la condicin suplementaria/yh,b* dq = 1.

(20.3)

El valor mnimo de la integral (20.2) (con la condicin suplementaria (20.3)) es el primer valor propio de la energa, es decir, la energa E. del estado normal. La funcin v, que conduce a este mnimo es, por consiguiente, la funcin de onda yo del estado normal (l). En cambio, las funciones de onda y,(n > O) de los siguientes estados estacionarios corresponden simplemente a extremos, no a un mnimo de la integral en sentido estricto. Para obtener a partir de la condicin de mnimo de la integral (20.2) la funcibn de onda t, y la energa E , del estado que sigue al normal, hay que admitir corno p funciones y nicamente aqullas que no slo satisfacen la condicin de norriialrracin (20.3), sino tambin la condicin de ser ortogonales a la funcin de onda del estado normal J y y o d9 = O. De manera general. si \e conocen lab funcione\ de onda y+,. vi, . . ., de los n primeros estados (ordenado\ de acuerdo con lo\ valores crecientes de la energa), la funcin de onda del estado Ggiiiente hace mniniLi la integral (20.2) en el supuesto de que se cumplan las condicione\ \upiementaria\:,$! ,,

1

$2

dp = 1,

I

##m

dp = O

(m = 0, 1,2, ...,n- 1).

(20.4)

Presentemos aqu algunos teoremas generales que se pueden dernmtritr a parr irdel principio variacional (2). La funcin de onda y,, del estado fundamental no se anula ( o . c o m o \ehiitsle

y (*) En lo que resta de este prrafo supondremos que las funciones de onda t son reales, lo cual siempre se puede conseguir (si no existe iin campo magntico). La demostracin de los teoremas relativos a los ceros de las funciones propias (vase tambien (2) el prrafo siguiente) se puede encontrar en los libros: M. A. LAVRENT'FV A . LIUSTERNIK, de y L. Curso 1950: y calculo de variaciones, 2.a edicin, Cap. IX, GOSTEJIZDAT, R. COURANT D. H I L B F R T , Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, Chapter V i , lnterscience Publishers, 1953.

70

La ecuacin d e Schrodinger

decir, no presenta nodos) para ningn valor finito de las coordenadas ( l ) . Con otra5 palabras, posee u n signo constante en todo el espacio. De aqu se sigue que las funciones de onda y,) ( n > O) de los dems estados estacionarios, que son ortogonales a yo, deben presentar necesariamente nodos (si y,, fuera tambin de signo constante, la integral f yoylldq no podra reducirse a cero). Adems, del hecho de que yo carezca de nodos se sigue que el nivel energtico fundamental no puede ser degenerado. En efecto, supongamos que s lo fuera y sean yo, yo dos funciones propias distintas correspondientes al nivel ,,. Toda combinacin lineal cy,, T ~ y ~ osera tambin funcin propia; pero eligiendo de manera con veniente las constantes c, es siempre posible conseguir que esta funcin se anule en un punto dado cualquiera del espacio, es decir, obtendramos una funcin propia con nodos.( 8 ,

Si el movimiento tiene lugar en un dominio finito del espacio, en su frontera debe ser p = O (vase $ 18). Para determinar los niveles de energa hay que encontrar, mediante el principio variacional, el mnimo de la integral (20.2) para esta condicin de contorno. 1 teorema segn el cual la funcin de onda del estado fundamental carece de nodos significa aqu que yo no se anula en punto ninguno interior el dominio considerado. Observemos que al aumentar las dimensiones de la regin en que tiene lugar el movimiento todos los niveles de energa E,, disminuyen; esto se sigue desde luego de que el crecimiento del dominio aumenta el sistema de funciones admisibles que pueden conducir al mnimo de la integral y como resultado de ello el valor mnimo de la integral slo puede disminuir.

La expresin

para los estados del espectro discreto de u n sistema de partculas se puede transformar en otra, mas cmoda para efectuar de hecho la variacin. En el primer trmino del integrando haremos:

La integral de div,,(~ * - 7 , , yrespecto de q,, se transforma en una integral extendida ),i una superficie cerrada 4tuada en el infinito. y dado que en este las funciones de \)ndii de los estados del espectro discreto tienden a cero de manera suficientemente rpida. esta integral \e anula. As. pues,

Este teorema(a1 igual que sus consecuencias) deja de valer, en general, para las funciones de onda (l) de los sistemas constituidos por partculas idnticas (vase la nota al final del g 6 3 ) .

Propiedades generales del movimiento en una dimensin

7 1(20.5)

tj 21. Propiedades generales del movimiento en una dimensin

Si la energa potencial de la partcula depende de una sola coordenada xl. 1~ funcin de onda se puede buscar en la forma de producto de una funcin de y . z por una funcin de ,Y solamente. De ellas, la primera se determina mediante la ecuacin de Schrodinger del movimiento libre y la segunda mediante la ecuacin unidimensional de Schrodinger

d2$ 2m -+-[E-

dx2 h2

U(x)]$ = o.

(21.1)

A la misma ecuacin unidimensional conduce, evidentemente, el problema que plantea el movimiento en u n campo con energa potencial U ( x , .i., z) == b',(- Y )+ + U2(r)- U&), que se descompone en suma de funciones cada una de las cuales depende de una sola coordenada. En los $8 22-24 se estudiarn toda una serie de ejemplos concretos de este tipo de movimiento (( unidimensional D. Pero aqu nos limitaremos a ciertas consideraciones previas relativas a algunas de sus propiedades generales.

Demostremos ante todo que en el problema unidimensional ningn nivel energtico del espectro discreto es degenerado. Para ello supongamos que as no fuera y sean yi y dos funciones propias distintas correspondientes a un mismo valor de la energa. Dado que ambas satisfacen la misma ecuacin (21.1 ) ,tenemos:

o bien y i " y 2 - y2"yi= O (se representa con un apstrofo la derivacin respecto de s).Integrando esta relacin, encontramos:#l'$2-$&2'

= constante.

(21.2)

Dado que en el infinito tpl

=

y2 = O, la const. debe ser igual a cero, de forma que

o bien y ~ l r , y l= y ~ ~ ~ Integrando de nuevo, obtenemos p, ;y~. en esencia ambas funciones coinciden.

=

const. y'?, es decir,

Para las funciones de onda y r j ( x )del espectro discreto se puede enunciar el siguiente teorema (llamado teorema de oscilacin): la funcin y,,(x) que corresponde al n t 1 -simo valor propio, ordenados stos en orden creciente, ,,, \e anula

72(para valores finitos de x)11

La ecuacin de Schrodingar

veces ( l ) .

Supondremos que la funcin (x)tiende a lmites finitos para x + + 00 (pero no que deba ser funcin montona). El lmite U ( & = ) lo tomaremos como origen de energas (es decir, suponemos que U( 5 00) = O). y el lmite U(- =) lo designaremos por U,,, suponiendo, adems, que o> O. El espectro discreto pertenece al intervalo de valores de la erierga para los que la partcula no puede escapar al infinito; para ello la energa debe ser menor que ambos lmites ( m), es decir, ~ debe ser negativa:

E < O,

(21.3)

donde, claro est, en cualquier caso debe tenerse E > nrr,,decir, la funcin es U(x) debe presentar por lo menos un mnimo con rrlir,

(2 1.7)

el espectro ser continuo, y el movimiento infinito en ambos sentidos. En esta parte del espectro todos los niveles son doblemente degenerados. Esto se sigue de que las correspondientes funciones de onda se determinan por la ecuacin de segundo orden (21.1) y de que las dos soluciones de esta ecuacin independientes satisfacen las condiciones en el infinito (mientras que, por ejemplo, en el caso anterior una de las soluciones tiende a infinito para x -+- 00 y es necesario, por consiguiente, prescindir de ella). La forma asinttica de la funcin de onda para x 0 es 0

-++

+ = a,eikx+a,e-ikx,

(21.8)

y anlogamente para x -+ - rm. El trmino con eikx corresponde a una partcula que se mueve hacia la derecha y el trmino con e-ikx a una partcula que se mueve hacia la izquierda.

Supongamos que la funcin U(x) es par (U(- x = U(x)). En tal caso, al cam) biar el signo de la coordenada la ecuacin de SCHROD~NGER no vara. Se sigue (21.1) de aqu que si y(x) es una solucin de esta ecuacin, tambin lo es y)(--u) y coincide con y ( x ) salvo un factor constante: y(-x) = cp(x). Cambiando otra vez el signo de x, obtenemos y(x) = c2p(x), de donde r = - l . As, pues, cuando la energa potencial es simtrica (respecto del punto -Y = O) las funciones de onda de los estados estacionarios pueden ser o pares (y(- -u) = y(x)) o impares (y(- x) = - - y(x)) () En particular, la funcin de onda del estado fundamental es par: -_ l. en efecto, dicha funcin no puede presentar nodos, y una funcin impar siempre se anula para x = O(y(0)= - y(0) = O). Para normalizar las funciones de onda del movimiento unidimensional (en el espectro continuo) existe u n mtodo simpie que permite determinar el coeficiente de normalizacin directamente a partir de la expresin asinttica de la funcin de onda para grandes valores de 1x1.(l) . En estas consideraciones se supone que el estado estacionario no es degenerado, es decir, que el movimiento no es infinito en ambos sentidos. En caso contrario, al cambiar el signo de x, dos funciones de onda relativas al nivel energtico dado pueden transformarse entre s. Sin embargo, en este caso, las funciones de onda de los estados estacionarios, aunque no son necesariamente pares o impares, siempre se pueden elegir de forma que lo sean (mediante una eleccin conveniente de combinaciones lineales de las funciones de partida).

74

La ecuacin de Schrodinger

Consideremos la funcin de onda del movimiento infinito en u n sentido, es decir, de un estado estacionario del intervalo (21.4) del espectro continuo. La integral de normalizacin diverge para x + cx> (para x 4 - la funcin decrece exponencialmente, de forma que la integral converge rpidamente). Por consiguiente, en la determinacin de la constante de normalizacin se puede substituir y por su valor asinttico (para grandes valores x > O) y efectuar la integracin eligiendo como lmite inferior un valor finito cualquiera x , por ejemplo el valor cero; esto equivale a prescindir de una cantidad finita frente a otra infinitamente grande. Demostremos que la funcin de onda normalizada segn la funcin-b de p (el impulso de la partcula en el infinito) debe presentar la forma asinttica (21.5) con a = d(2/7rh), es decir,00

#p

x

d(~/&) cos(kx+S)

=

d( 1/Z71.~)[ei(k~+6)+e-ilk2+8)].

(21.9)

donde 1,

=p

h.

Dado que no se trata de comprobar la ortogonalidad dos a dos de las funciones que corresponden a valores distintos de p , al substituir las funciones (21.9) en la integral de normalizacin J yp*y p t dx consideraremos impulsos p infinitamente prximos; podemos as suponer 6 = S(6 es, en general, una funcin de p ) . Adems, en el integrando conservaremos solamente aquellos trminos que divergen para p = p t ; con otras palabras. prescindiremos de trminos que contienen los factores e*g(-+k)z. Obtenemos as:

1

a,bpxa,bpt

dx = (1/2nh)

(

m

ei(k-k)s dx+O

J e-i(kt-k)z dx),O

m

o bien, de otra manera,

1

a,bpxt,bPt dx = (1/2&)

-m

s

ei(kt-k)s dx.

Pero la integral as obtenida coincide con la integral de normalizacin para la funcin de onda del movimiento librey!rp = (2nh)-1/2efkz,

(21.10)

normalizada segn la funcin4 del impulso (cf. (15.8)). El paso a la normalizacin segn la funcin4 de la energa se efecta de acuerdo con (5.14), multiplicando y,, por dp/dE= l , / f v ( v es la velocidad). As, para el movimiento libre tenemos: = (2nh)-1/2eikX. (21.11) Observemos que la densidad de corriente de probabilidad en esta onda es igual aZJl#Ep

= 1/2nh.

(21.12)

Dividiendo la funcin (21.9) por

1v

y teniendo en cuenta la igualdad (21.12),

El pozo de potencial

75

podemos formular la siguiente regla para la normalizacin de la funcin de onda del movimiento infinito en un slo sentido respecto de la funcin4 de la energa: una vez representada la expresin asinttica de la funcin de onda como suma de dos ondas planas que se mueven en sentidos opuestos, hay que elegir el coeficiente de normalizacin de tal manera que la densidad de corriente de probabilidad en la onda que se mueve hacia el origen de coordenadas (o que se aparta de este origen) sea igual a 112 nh. De manera anloga se puede obtener la regla para la normalizacin de las funciones de onda del movimiento infinito en ambos sentidos. La funcin de onda estar normalizada respecto de la funcin4 de la energa si la suma de las corrientes de probabilidad en las ondas que se mueven hacia el origen de coordenadas a lo fargo de los semirrayos negativo y positivo del eje x es igual a 1/2 d . i

9 22.

El pozo de potencial

Como ejemplo simple de movimiento en una dimensin consideremos el movimiento en un pozo de potencial unidimensional de forma rectangular, es decir, en el campo caracterizado por la funcin U ( x ) representada en la fig. 1: U ( x ) = O para O < x < a, U ( x ) = U. para x < O, x > a. Es desde luego evidente que para E < U. el espectro ser discreto y que para E > U. se tiene un espectro continuo cuyos niveles son doblemente degenerados.. En el dominio O

< x < a tenemos la ecuacin#"+(Zrn/P)E#=

de Schradinger

o

(22.1)

(el apstrofo designa la derivacin respecto de x), y en la regin exterior al pozo se tiene:

#"+(Zrn/h"(E- U0)+= o.

(22.2)

Para x = O, a, las soluciones de estas ecuaciones deben enlazarse de manera continua al igual que sus derivadas primeras, y para x = & 00 la solucin de la ecuacin (22.2) debe conservarse finita (para el espectro discreto, cuando E < Uo,debe tender a cero).

FIG.1

76

Lu ecuacin de Schrodinger

Para E

< U,, 1a.solucin de la ecuacin (22.2) que tiende a cero en el infinito es$ =constantexeTK, dondeK

= d[(2rn/h2)( U,,-E)];

(22.3)

x> ay x

(los signos - y en el exponente se refieren, respectivamente, a los dominios < O). La probabilidad /yi2de encontrar la partcula decrece exponencialmente al penetrar en el dominio en el que E < U@). En vez de la continuidad de y y y en la frontera del pozo de potencial, es conveniente imponer la continuidad de y y de la derivada logartmica yiy. Teniendo en cuenta (22.3), obtenemos la condicin de contorno en la forma:

+

$/#

=

FK.

(22.4)

No nos entretendremos aqu en determinar los niveles de energa en un pozo de profundidad arbitraria U. (vase el problema 2) y analizaremos tan slo el caso lmite en que las paredes del pozo son de altura infinita (Uo-+ 00). Paia U. = 00 el movimiento se efecta solamente en el segmento limitado por los puntos x = O, y x = a y, conforme se indic en el 4 18, la condicin de contorno en estos puntos debe ser:

*

= o.

(22.5)

(Es fcil ver que esta condicin se obtiene tambin a partir de la condicin general (22.4). En efecto, para U. -+ tenemos asimismo 3t -+ 00 y por ello y/y -+ 00; dado que y no puede hacerse infinita, de aqu se sigue que y = O.) Busquemos la solucin de la ecuacin (22.1) dentro del pozo en la forma:00

$J = csen(kx+s), donde k = d(2rnE/fi2).

(22.6)

La condicin y = O para x = O nos da S = O, con lo cual la msma condicin en x == a da sen ka = O, de donde kn = nn (n es un nmero entero positivo, mayor o igual que la unidad (*)) o bien

E,

= (v2h2/2ma2)n2, n =

1,2,3, ... .

(22.7)

Mediante esta frmula se determinan los niveles de la energa de una partcula en el pozo de potencial. Las funciones de onda normalizadas de los estados estacionarios son$n

= ~(2/a)sen(vnx/a).

(22.8)

Basndonos en estos resultados es posible escribir sin mas los niveles de energa de una partcula en una (( caja de potencial )) tridimensional rectangular, es decir, para el movimiento en tres dimensiones en un campo carcterizado por la energa potencial U = O para O < x < a, O < y < 5, O < z < c y U = 00 fuera de este : dominio. Estos niveles vienen determinados precisamente por las sumas(l)

Para n

=

O se obtendra la identidad y = O.

El p o z o d e potencial

77

Enl,,,,

==

(n1,n2,n3 = 1,2,3, ...),

(22.9)

y las correspondientes funciones de onda por los productos$n,np,

=

J

sen-x -

8 abc

m l

a

sen-y b

m 2

sen-x.

m 3

(22.10)

C

Observemos que la energa del estado fundamental resulta ser, de acuerdo con (22.7) o (22.9), del orden de E,,-h2/mZ2, donde Z representa las dimensiones lineales del dominio en que se efecta el movimiento de la partcula. Este resultado concuerda con las relaciones de indeterminacin : para una indeterminacin de una coordenada Z, la indeterminacin del impulso, y con ella el orden de magnitud del propio impulso, es h/Z.; la energa correspondiente resulta ser (h/Z)2/m.

-

-

-

PROBLEMAS Determinar la distribucin de probabilidad de los diferentes valores del impulso en el estado normal de una partcula que se encuentra en un pozo de potencial rectangular (unidhensional) de profundidad infinita.1.

Solucin. Los coeficientes a(p) del desarrollo de la funcin Y, (223) en funciones propias del impulso (21.10) son iguales a:

Calculando la integral y elevando al cuadrado su mdulo, obtenemos la distribucin de probabilidades buscada :

2. Determinar los niveles de energa para el pozo de potencial representado en la fig. 2.

Solucin. El espectro de energas E < U, es discreto, y es precisamente ste el que consideraremos. En la regin x < O la funcin de onda es

$ = cleKi2, dondey en la regin x

K~

= 2/[(2m/h2)( Ul-E)],

>a $ = CZe-KzZ,dondeK~

= d[(2?n/h2)(u2-E)].

Dentro del pozo (O < x < a) escribiremos y en la forma= csen(kx+8),

donde

k=2/(2mE/h2).

78

La ecuacin de Schrodinger

La condicin de continuidad de y/y en las fronteras del pozo da las ecuaciones

kctg 8 = K~ = i[(2m/h2)Ul-k2], ctg(ka+8) = ko bien

K ~

= -2/[(2m/h2)U2-k2],

sena = kA/d(2mUl),sen(ka+8) = -kh/d(2mU2).Eliminando S, obtenemos la ecuacin transcendente

ka = nr- arcsen[kh/l/( 2m Ul)] - arcsen[kh/d(2m u2)]

(1)

(donde n = 1, 2, 3, . . . y los valores de a r a n se toman entre O y n/2), cuyas races determinan los niveles de energa E = k2h2/2m.Para cada valor de n se tiene, en general, una raz; los valores n numeran los niveles en orden creciente de energas.

U

X

FIG.2 Dado que el argumento del amen no puede ser mayor que 1, es claro que los valores de k pueden pertenecer slo al intervalo entre O yd(2mUl/h2).El primer miembro de la ecuacin (1) es funcin montona creciente de k, y el segundo, funcin montona decreciente. Por consiguiente, para que exista una raz de la ecuacin (1) es necesario que parak = 1/(2mU1/ti2)elsegundo miembro sea menor que el primero. En particular, la desigualdad

a1/(2mUl)/ft

-+arcsend(

Ul/U,),

(2)

que se obtiene para n = 1 es la condicin para que en el pozo exista por lo menos un nivel energtico. Vemos as que para valores dados U,# U, existen siempre valores di: la anchura a del la pozo tan pequeos que no existir ni un solo nivel discreto de la energa. Cuando U,= U,, condicin (2) se cumplir siempre, evidentemente. Para U,= U, = U,, (pozo simtrico) la ecuacin (1) se reduce a

arcsen[hk/2/(2mU0)] = $(nn- ka).Introduciendo la variable 5= kd2.

(3)

obtenemos para n impar la ecuacin

COS 8 = -J-yt, donde y = (h/a)d(2/mU0), (4) de la que hay que tomar aquellas races para las que tg > O. Para n par, obtenemos la ecuacin-

sen5 = &y&

(5)

y hay que elegir las races para las que tg E < O. De las races de estas dos ecuaciones se deducen y O) es finito. los niveles energticos E = 2t2h2/ma2, el nmero de niveles (para y

#

El oscilador lineal

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En particular, para un pozo no profundo, en el que U , h2/rnu2,tenemos y 9 1 y la ecuacin (5) no tiene ninguna raz. La ecuacin (4), en cambio, tiene una raz (para el signo superior en el segundo miembro), raz l s l/y (1 - 1/2y2). En este pozo de potencial se tiene as nicamente un nivel energticoE0

O, es decir, n < s.

$24. Movimiento en un campo homogneo

Consideremos el movimiento de una partcula en un campo exterior homogneo. Elegiremos la direccin del campo como eje x y sea F la fuerza que el campo ejerce sobre la partcula; en un campo elctrico de intensidad E, esta fuerza es F = eE, donde e es la carga de la partcula. La energa potencial de la partcula en un campo homogneo es de la forma U = - Fx+const.; eligiendo la constante de forma que sea U = O para x = O, tenemos U = - Fx. La ecuacin de SCHRODINGER problema en cnestin es de del la formad2$/dx2+(2m/h2)(E+Fx)+ = O. (24.1)

Dado que U tiende a para x -+ - y U -+ - 00 para x 00, es evidente, sin ms, que los niveles de energa forman unaespectrocontinuo que cubre todo el intervalo de valores de la energa E, desde - 00 a +.o. Ninguno de estos valores propios es degenerado y corresponden a un movimiento que es finito en el sentido x = - e infinito en el sentido x =+OO.

+-

++

Movimiento en un campo homogneo

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Introduzcamos en vez de la coordenada x la variable sin dimensiones(24.2)

La ecuacin (24.1) toma entonces la forma

f'+t+ = o.

(24.3)

Esta ecuacin no contiene ya el parmetro energa. Por consiguiente, si hallamos la solucin que satisface las condiciones necesarias de finitud, habremos con ello obtenido la funcin propia correspondiente a valores arbitrarios de la energa. La solucin de la ecuacin (24.3) que es finita para todo valor de x tiene la forma (vase j de los apndices matemticos): b(24.4)

donde

es la llamadafuncin de Airy y A es un factor de normalizacin que determinaremos ms adelante. Para [ -+ - 00 la funcin y ( f ) tiende a cero exponencialmente. u n a expresin asinttica, que determina a y([) para valores negativos de grandes en valor absoluto, tiene la forma (vase (b, 4)):(24.5)

En cambio, para grandes valores positivos de f , una expresin asinttica de la funcin y([) es la siguiente (vase (6, 5)) (l): # ( f ) = A[-1/4~en(953/2+~).(24.6)

Segn la regla general (5.4) de normalizacin de las funciones propias del espectro continuo, normalizaremos las funciones (24.4) respecto de la funcin4 de la ene