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FACTORIZACIN
FACTORIZACIONEs el proceso de transformacin sucesiva de un polinomio en una multiplicacin indicada de polinomios primos, denominado factores primos, dentro de un conjunto numrico.
CONTEO DE FACTORESEn general se tiene:
donde K R - 0
# factores primos mnicos: f.p.m = n# factores algebraicos mnicos:f.a.m. = (a1+1)(a2+2)(an+1)-1
CRITERIOS PARA FACTORIZAR
1. FACTOR COMUN Y/O AGRUPACION DE TERMINOSSe extrae el factor comn de cada una de las expresiones pero elevados a su menor exponente, tratando en lo posible que la expresin se encuentre expresada en sus factores primos.
La agrupacin consiste en tomar trminos adecuadamente a fin de obtener factores comunes.
2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES
a2n - b2n = (an+bn)(an-bn)a3n + b3n = (an+bn)(a2n-anbn+b2n)a3n - b3n = (an-bn)(a2n+anbn+b2n)a2n+2anbn+b2n = (an+bn)2a2n-2anbn+b2n = (an-bn)2a4n+a2nb2n+b4n=(a2n+anbn+b2n)(a2n-anbn+b2n)
3. CRITERIO DEL ASPA SIMPLESe emplea para factorizar polinomios que adoptan la forma: ax2n+bxnyn+cy2n consiste en descomponer los trminos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados, nos reproduzca el termino central, siendo los factores las sumas horizontales.
4. ASPA DOBLEForma general del polinomio a factorizar:
P(x,y)=Ax2n+Bxnym+Cy2m+Dxn+Eym+F t1 t2 t3 t4 t5 t6
Procedimiento:1. se aplica dos veces aspa simple con los siguientes trminos:* t1, t2, t3* t3, t5, t6
2. Finalmente solo para comprobar se aplica otro aspa simple con:* t1, t4, t6
luego:P(x,y)=(a1xn+c1ym++f1)(a2xn+c2ym+f2)
5. ASPA DOBLE ESPECIALForma general del polinomio a factorizar:
P(x)=Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E
Procedimiento:Se descompone los extremos tratando de buscan un aproximado al termino central.
Balance:Tenemos (a1e2+a2e1)x2nFalta (C-a1e2-a2e1)x2n=Fx2nP(x)=(a1x2n+f1xn+e1)(a2x2n+f2xn+e2)
6. DIVISORES BINOMICOSSe aplica para factorizar polinomios que admiten por lo menos un factor lineal.
Raz de un polinomioSea P(x) un polinomio tal que:P(x) 1a es raz de P(x)P(a)=0es decir, raz es el valor que anula al polinomio.
Posibles races racionales (PRR)
Sea P(x)=a0xn+a1xn-1++an-1x+an
TEOREMA DEL FACTORSea P(x) un polinomio tal que:
P(x)1P(a)=0 (xa) es un factor de P(x)
7. ARTIFICIOS DIVERSOSDependen de la habilidad y grado de prctica del que se posea. Los principales artificios que se emplean son: sumas y restas (quita y pon); cambio de variable; etc.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Factorizar:a2 + ab +ac + a3 + a2b + a2c
2. Factorizar:x2 + (1 + x2)(1 + x)2
3. Factorizar:a12 a8b4 a4b8 + b12
4. Factorizar:E = (x3 + 1)2 x2(x2 + 4)
5. Factorizar:P(x)=(x+1)(2x+1)(3x+1)+(x+1)2+x+x2
6. Factorizar:X3+y3+z3+x2y+x2z+y2z+y2z+z2x+z2y
7. Factorizar:P(x)=2(x+21)2+(x+20)2-(x+19)2-1
8. Factorizar:a(b-c)x2 + b(c-a)x + c(a-b)
9. Factorizar:x12 6x8 + 5x4 + 2x6 6x2 + 1
10. Factorizar:13(x+1)3.(x-1)-4x2-(x-1)3.(x+1)+4
11. Factorizar:6x2-20y2-14z2+7xy+38yz-17xy
12. Factorizar:6x2+12xy+6y2+xy+29y+26x+28
13. Factorizar:P(x)= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
14. Factorizar:P(x)= x5 + 4x4 10x2 x + 6
15. Factorizar:P(x)= x5 + 5x4 + 7x3 x2 8x - 416. Factorizar:P(x)= x5 + x + 1
17. Factorizar:P(x)=6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6
18. Hallar n si es un trinomio cuadrado perfecto.
19. Factorizar:E = x4 + x2y2 + y4
TAREA DOMICILIARIA
20. Factorizar:(a+b)2 11(a2 b2) 26(a b)2
21. Factorizar:8x2n 22xny2n 21y4n
22. Factorizar: P(x;y)=x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+x2y5+xy6+y7
Nota:Observe que: P(x;y)=(x+y)(x2+y2)(x4+y4)El polinomio tiene:* 3 factores primos: (x+y);(x2+y2);(x4+y4)* 1 factor lineal: x + y* 1 factor cuadrtico primo: x2 + y2
23. Factorizar:ax (ax-2) (x2 1) + a(2x a)
24. Factorizar:15x2+151xy+10y2+45x + 301y+30
25. Factorizar:21xy 39x2 + 32 -92y + 56x
26. Factorizar:X3 x - 627. Factorizar:x3 11x2 + 31x - 21
28. Factorizar:x5 + 5x4 + 7x3 x2 8x - 4
29. Factorizar:2x3 + 3x2 + 3x + 1
30. Factorizar:12x3 + 8x2 3x - 2
31. Factorizar:P(x)= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
32. Indicar el numero de factores primos de la expresin:(x2+1)(x2-2)-x(1-x2)+6
33. Factorizar sobre Q:P(x;y)= x3 + 28y3 + 3xy(x+y)
34. Factorice sobre Q:P(x)=(x2+x+1)(x2-x+1)+7x2-385
35. Factorizar:E = x6 x4 + 2x3 4x2 + 136. Factorizar:(x+2)2(x+1)(x+3)-5x(x+4)-27
37. Factorizar:X5 + x + 1
38. Factorizar:x5+3x4-17x3-27x2+52x+60
39. Factorizar:15x4n+9x3n-14x2n-xn+1
40. Factorizar:6x4-5x2y-25x2-23x2z-5yz+20z2MCD - MCMMXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.):El Mximo Comn Divisor de 2 o ms polinomios es otro polinomio que tiene la caracterstica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicacin de los factores primos comunes afectados de sus menores exponentes.
MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M):El Mnimo Comn Mltiplo de 2 ms polinomios es otro polinomio que tiene la caracterstica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicacin de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.
Ejemplo:Hallar el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios:
Rpta:Como ya estn factorizados el:
PROPIEDADES:Slo para 2 polinomios: A(x), B(x).
Se cumple:
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas:Una fraccin algebraica se obtiene como la divisin indicada de dos polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomio no constante y no nulo.
Donde:N(x): Polinomio numerador (no nulo)D(x): Polinomio denominador (no constante y no nulo)
Ejemplo:
Signos de una fraccin:a) Signo de Numerador: +b) Signo de Denominador: -c) Signo de Fraccin propiamente dicha: -
Observacin:Si intercambiamos un par de signos por un mismo signo el valor d la fraccin no se altera en el ejemplo anterior, es decir:
Tambin:
Ejemplo:Sumar: x y
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Hallar el M.C.D. de las siguientes expresiones: a-1xn-1 ; b-1xn-2 ; c-1xn-3A) abcxn
B) C) xn-3D) xn-2E) xn-1
02. Dados los monomios:A(x,y,z) = xa-3yb+1zc-1B(x,y,z) = xa-1yb+3zc-4C(x,y,z) = xa-2yb+2zc+2Si el M.C.D. (A,B,C) = x6y8Indique el M.C.M.(A,B,C).A) x10y6B) x8y9z6C) x8y10z6D) x7y6z5E) x8y6z9
03. Siendo:A(x) = x2+3x-10B(x) = x4-25x2C(x) = x3+4x2-5xHalle el M.C.D.(A;B;C)A) x - 2B) x - 1C) x + 5D) xE) x(x - 2)
04. Encontrar el M.C.D. de los polinomios:I. x4 - 5x2 + 4II. x3 + x2 - 4x - 4III. x3 2x2 x + 2A) x2 x 1B) x2 + x - 1C) x2 x 2D) x2 + x + 2E) x 1
05. Halle el valor numrico del M.C.D para x = 3 de los polinomios:A(x) = x4 + 2x2 3B(x) = x4 + x3 x2 xC(x) = x3 7x - 6A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5
06. Hallar el M.C.D. de los siguientes polinomios:P(x,y) = x4 + xy3 + x3y + y4Q(x,y) = 3x3 + 5x2y + xy2 y3R(x,y) = x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3A) (x y)2B) x - yC) x + yD)(x + y)2E)x(x + y)(3x y)07. Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:P(x) = 2x3 x2 + 3x + mQ(x) = x3 + x2 + nes (x2 x + 2)
Calcular el valor de: A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5
08. Si el M.C.D. de los polinomios:A(x) = x3 + 4x2 + ax + bB(x) = x2 + cx + des (x 1)(x + 3), hallar el trmino independiente de su M.C.M.A) -6B) 6C) -12D) 12E) 15
09. Reducir a su ms simple expresin:
Dando como respuesta la suma del numerador y denominador de la expresin obtenida.A) 2ax + 2byB) 2axC) -2bxD) -2ayE) 2by
010. Al realizar:
; se obtiene:
A)
B)
C) D) 3E) 2
011. Efectuar:
A) x + 2B) x 2C) 1D) x - 4E) x + 4
012. Efectuar:
A) 0B) 3C) 2
D) E) 4
013. Calcular:
Para:
A)
B)
C)
D)
E)
014. Efectuar y simplificar:
Dar como respuesta el valor numrico del denominador para x = 9.A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7
015. Determine el valor de a para que la fraccin:
.sea independiente de su variables.A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10
TAREA DOMICILIARIA
016. Cunto le sobra a:
; para ser x
A)
B)
C)
D)
E)
017. Simplifique:
A) 2abB) a + bC) b - aD) a - bE) 0
018. Si la fraccin:
Toma un valor constante para todos los valores de x e y, entonces este valor constante es:A) 1/9B) -9C) 9D) -1/9E) 1
019. Hallar el MCM de :F(m) = m2 + 4m + 3R(m) = m2 m 2A(m) = m2 + 2m + 1A) m + 1B) m - 1C) (m + 1)2 (m + 3) (m - 2) D) (m + 1) (m - 2)E) (m + 3) (m + 1) (m 2)
020. Encontrar el MCD de los polinomios:A(x) = x4 3x2 + 2B(x) = x4 + x3 x 1A) x2 - 1B) x2 + 1C) x + 1D) x - 1E) x2 + x - 1
021. Sabiendo que el MCD de los polinomios:A(x) = 2x3 x2 + 3x + mB(x) = x3 + x2 + nes (x2 x + 2), calcular: m + nA) 2B) 4C) 6D) 8E) 10
022. Simplificar:
Indicando luego su denominador: A) 2B) a2 - 1C) aD) a2 + 1E) 2a
023. Reducir:
A) B) aC) a2D) a2E) a2 + 2
024. Si el valor numrico de la expresin:
es 2, la relacin entre x e y es:A) x y = 0B) x + y = 1C) 2x + y = 0D) 3x y = 2E) x + y = 1
025. Hallar el valor numrico de:
Para A) 2/3B) 1/3C) 3/2D) 3E) 4