document5

5 Geometría analítica

IntroducciónLa geometría del plano se puede estudiar de forma sintética, es decir, estudiando las distintas figuras planas sin sistema de referencia, o bien de forma analítica, dibujan-do los ejes coordenados e identificando cada objeto del plano, fundamentalmente las rectas, mediante ecuaciones.

La base de la geometría analítica plana son los vectores, en los que se estudian las operaciones de suma, resta, producto por un número y producto escalar de vectores.

En la ecuación de la recta, se comienza viendo cómo queda definida por un vector director y un punto, o bien por dos puntos. A continuación se estudian los distintos tipos de ecuaciones y los haces de rectas.

Las propiedades de la geometría analítica del plano se clasifican en propiedades afi-nes, que derivan de las ecuaciones de la recta y tratan de incidencia y paralelismo (pertenencia de un punto a una recta, posiciones relativas de dos rectas, etc.), y pro-piedades métricas, que derivan del producto escalar y estudian las distancias y ángu-los (distancia entre dos puntos, distancia de un punto a una recta, distancia entre dos rectas y ángulo entre dos rectas).

05mat1bach.indd 106 29/02/12 10:38

Organiza tus ideas

tiene un

que permite estudiar

que sonque se

determinan con que son que son

sistema de coordenadas

vectores rectas propiedadesafines

propiedadesmétricas

que se

operan:◾ suma◾ multiplicación

de un número por un vector

◾ producto escalar

y se expresan con

ecuaciones:◾ vectorial◾ paramétricas◾ continua◾ general◾ explícita◾ punto-pendiente◾ segmentaria

◾ un punto y un vector

◾ dos puntos

posiciones relativas de:◾ punto y recta◾ dos rectas

cálculos de:◾ distancias◾ ángulos

segmentos con:◾ módulo◾ dirección◾ sentido

El plano

05mat1bach.indd 107 29/02/12 10:38

1.1 Vectores

Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por →OA. El punto O es el

origen, y el punto A, el extremo.

◾ Características de un vector

Las características de un vector →OA son:

a) El módulo: es su longitud. Se representa por |→OA|

b) La dirección: es la dirección de la recta que lo contiene. c) El sentido: es el que va del origen al extremo.

Un vector libre es un vector fijo →v = →OA, que representa a todos los vectores que

tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

◾ Componentes o coordenadas de un vectorB = {

→u1,

→u2} es la base ortonormal porque sus vectores son perpendiculares, tienen

de módulo uno y cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos.

EJEMPLO

Dado el vector →v (4, 3), la componente horizontal es 4 y la componente verti-cal es 3, es decir, →v = 4→u1 + 3 →u2

1.2 Cálculo del módulo y argumento de un vector

• El módulo de un vector es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de Pitágoras.

→v (x, y) & |→v | = x y2 2+• El argumento de un vector es el ángulo que forma el semieje positivo X

con el vector. Para calcularlo se aplica la definición de tangente:

xy

tg α =

EJERCICIO RESUELTO

1 Calcula el módulo y el argumento del vector →v(– 4, 3)

|→v | = ( 4) 3 516 9 25– 2 2+ = + = =

–4

°143 7 48� �3tg =αα = &

tan–1 ( 3 ÷ 4 ) = 180 - Ans = ° 143° 7 48

◾ Vector opuestoAnalíticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes. Geométricamente, es el que tiene el mismo módulo y dirección, y sentido contrario.

EJEMPLO: El opuesto del vector →v (3, – 4) es – →v = (– 3, 4)

Dado el vector →v(3, 4) del 1.er dibujo del margen, calcula mentalmente su longitud y la

pendiente.

piensa y calcula

1 Operaciones con vectores

108 Bloque II. Geometría

Y

XO

A

C

D

v (3, 4)

4u1u1

Y

X

O

v = 4u1 + 3u2

3u2

u2

Y

X

v(–4, 3)

α

– 4

3

Y

X

–v (–3, 4)

v (3, –4)

05mat1bach.indd 108 29/02/12 10:38

1.3 Suma y resta de vectoresPara sumar y restar vectores analíticamente, se suman o restan sus componentes.Para sumar vectores geométricamente, se traslada uno sobre el extremo del otro; y la suma es el vector que tiene como origen el origen del 1.º, y como extremo, el del 2.º. Para restar geométricamente dos vectores, se le suma al primero el opuesto del segundo.

EJERCICIO RESUELTO

2 Dados los vectores →u (5, 7) y →v (– 2, 3), calcula →u + →v y →u – →v

→u + →v = (5, 7) + (– 2, 3) = (3, 10)u – →v = (5, 7) – (– 2, 3) = (7, 4)

1.4 Producto de un número por un vector

Para multiplicar analíticamente un número por un vector, se multiplica el número por las componentes del vector.Para multiplicar geométricamente un número por un vector, se lleva tantas veces el vector sobre sí mismo como indique el número.

1.5 Coordenadas de un vector definido por dos puntos

El vector definido por dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) es el que se obtiene al restar al vector de posición del extremo el del origen.

→AB =

→OB –

→OA

Sus coordenadas o componentes son:→AB (x2 – x1, y2 – y1)

EJERCICIO RESUELTO

4 Dados los puntos A(– 3, 1) y B(2, 4), calcula el vector →AB

→AB (2 – (– 3), 4 – 1) &

→AB (5, 3)

Unidad 5. Geometría analítica 109

Regla del paralelogramoPara sumar y restar vectores, se forma un paralelogramo uniendo por el origen los vectores →u y →v. La diagonal que parte del origen de →u es el vector suma →u + →v, y la diago-nal que parte del extremo de →v es el vector resta →u – →v

Vector de posición El vector de posición del punto A es aquel cuyo origen es el origen de co-ordenadas, O, y extremo, el punto A

Y

X

u + v = (3, 10)

u (5, 7)

u – v = (7, 4)v (–2, 3)

Y

Xv (2, –1)

3v (6, –3)

Y

X

A(–3, 1)

B(2, 4)

O

AB(5, 3)

AB

1 Dibuja los vectores de posición de los siguientes puntos:

Y

XA

BC

D

E

FG H

2 Calcula el módulo y el argumento del vector →v en los si-guientes casos:a) →v (3, 4) b) →v (– 2, 2) c) →v (– 4, –2) d) →v (2, – 5)

3 Calcula →u + →v y →u – →v analítica y gráficamente en los siguien-tes casos:a) →u (1, 3) y →v (5, 2)b) →u (1, 3) y →v (4, 1)

4 Calcula y representa en cada caso los vectores siguientes:a) Multiplica por 3 el vector →v (1, 2) b) Multiplica por – 2 el vector →v (– 3, 1)

5 Calcula las coordenadas de los vectores →AB en los siguientes

casos:a) A(– 2, 1), B(3, – 2)b) A(4, 1), B(– 3, 5)

aplica la teoría

EJERCICIO RESUELTO

3 Multiplica por 3 el vec-tor →v (2, –1)

3 →v = 3 (2, – 1) = (6, – 3)

05mat1bach.indd 109 29/02/12 10:38

2.1 Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores es el número que se obtiene al multipli-car sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

→u →v = |→u | |→v | cos αExpresión analíticaEl producto escalar de dos vectores →u(x1, y1),

→v (x2, y2) es la suma del producto de sus componentes.

→u →v = x1 x2 + y1 y2

EJERCICIO RESUELTO

5 Halla el producto escalar de los vectores: →→u(4, 3) y →v(– 2, 5)→u →v = 4 · (– 2) + 3 5 = – 8 + 15 = 7

2.2 Interpretación geométrica del producto escalar

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él:

→u →v = |→v | proy→v →u y también →u →v = |→u | proy→u →v

Si la proyección es negativa, significa que el ángulo α es obtuso.

EJERCICIO RESUELTO

6 Calcula la proyección del vector →→u sobre →v siendo →→u(–5, 1) y →v(4, 2)

→u →v = |→v | proy→v →u & proy→v →u = →u →v |→v |

proy→v →u = – – – 4,024 2

5 4 1 22018

2 2++ = =

2.3 Cálculo del ángulo de dos vectores

Se obtiene de la definición de producto escalar y de su expresión analítica, despejando el coseno del ángulo:

cos α = x1 x2 + y1 y2

|→u| · |→v |

◾ Demostración en detalle en la página 120.

EJERCICIO RESUELTO

7 Calcula el ángulo que forman los vectores: →→u(6, – 2) y →v(3, 4)

2)

6 ( 2)

6 3 ( 4 18 8cos3 4 40 25 10 10

10101

1010

–

– –2 2 2 2

α =+ +

+ = = = =

De donde: α = 71° 33 54

cos–1 ( √– 10 ÷ 10 ) = ° 71° 33 54

Calcula de forma razonada y mentalmente el ángulo que forman los vectores →u y

→v del

dibujo del margen.

piensa y calcula

2 Producto escalar de vectores


Y

X

v (–5, 5)

u(3, 3)α

vproyv u

u

α

cos α = |u|

proyv u

Y

X

(4, 2)v(–5, 1)u α

cos(180° – α) = –cos α =|u|

proyv u

proy v u180° – α

Y

X

v(3, 4)

u(6, –2)

α

05mat1bach.indd 110 29/02/12 10:38

2.4 Vectores perpendiculares u ortogonales

Dos vectores distintos del vector nulo son perpendiculares u ortogonales si y solo si su producto escalar es cero.

→u ⊥ →v + →u →v = 0 con →u ≠ 0 y →v ≠ →0


EJERCICIO RESUELTO

8 Halla el valor de x para que los vectores →u(3, 4) y →v(x, –3) sean perpen-diculares.→u →v = 0 & (3, 4) (x, – 3) = 0 & 3x – 12 = 0 & 3x = 12 & x = 4

2.5 Cálculo de un vector perpendicular a otro

Dado un vector →v (x, y), para hallar un vector perpendicular se cambian las coordenadas de orden y a una de ellas se le cambia el signo. Se obtienen los vectores: →n1(y, – x), →n2(– y, x)


EJERCICIO RESUELTO

9 Calcula un vector perpendicular al vector →v(3, 5)

Un vector perpendicular es: →n1 = (5, – 3), o bien →n2 = (– 5, 3)

Comprobación: (3, 5) · (5, – 3) = 15 – 15 = 0 (3, 5) · (– 5, 3) = – 15 + 15 = 0

Cuando en un problema hay que calcular un vector perpendicular a otro, se sue-le tomar el que tiene la abscisa positiva.Observa que los vectores →n1 y →n2 son opuestos. También son perpendiculares al vector →v todos los vectores que se obtienen al multiplicar o dividir →n1 o →n2 por un número distinto de cero.

EJERCICIO RESUELTO

10 Calcula un vector perpendicular al vector →v(4, 6)

(6, – 4) || →n(3, –2)


Y

X

u (3, 4)

v (4, –3)

90°

Y

X

v (3, 5)

n1 (5, –3)

n2 (–5, 3)

90°90°

Y

X

v (4, 6)

n (3, –2)

90°

6 Halla el producto escalar de los vectores siguientes:a) →u (3, 4) y →v (– 2, 5) b) u (– 2, 0) y →v (– 3, –1)

7 Calcula la proyección del vector →u sobre →v siendo →u (2, – 1) y →v (3, 4)

8 Calcula el ángulo que forman los vectores siguientes:a) u (6, – 1) y →v (2, 5) b) u (– 2, – 5) y →v (3, – 4)

9 Halla el valor de x para que los vectores →u (2, 6) y →v (x, – 3) sean perpendiculares.

10 Halla el valor de x de forma que el producto escalar de los vectores →u (2, 3) y →v (x, – 2) sea igual a 4

11 Escribe las coordenadas de dos vectores perpendiculares a →v (5, – 3)

aplica la teoría

05mat1bach.indd 111 29/02/12 10:38

3.1 Vector director de una recta

Un vector director de una recta es cualquier vector paralelo a la recta; es decir, que tenga la misma dirección que la recta.

Para hallar el vector director de una recta, se toman dos puntos de la recta A(x1, y1) y B(x2, y2) y se calcula el vector →v =

→AB = (x2 – x1, y2 – y1)

EJERCICIO RESUELTO

11 Halla un vector director de la recta que pasa por los puntos A(– 5, 1) y B(–1, 3)

Un vector director es:→AB = (– 1 – (– 5), 3 – 1) = (4, 2)

→AB = (4, 2)

→AB(4, 2) | | →v (2, 1)

Un vector director siempre se debe simplificar, porque lo único que interesa es su dirección, no su longitud.

3.2 Determinación de una recta

Una recta se puede determinar de dos formas diferentes:

a) Dando un punto A y un vector director →v

b) Dando dos puntos A y B

EJERCICIO RESUELTO

13 Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 2, 5) y B(3, 1) y halla un vector director.

Un vector director de la recta es:→v =

→AB = (3 + 2, 1 – 5) = (5, – 4)

3.3 Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma el semieje positivo de las X con la recta; es decir, la pendiente del vector de dirección de la recta. Se representa con la letra m

m vvtg

1

2α= =

Para obtener la pendiente de una recta a partir de dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), se calcula: →v =

→AB = (x2 – x1, y2 – y1)

––m x x

y y2 1

2 1=

Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 2, 0) y B(1, 5) y calcula mentalmente las coordenadas del vector

→AB y las coordenadas de un vector perpendicular a

→AB

piensa y calcula

3 Determinación de una recta


Y

Xv (2, 1)

B(–1, 3)

A(–5, 1)

Y

X

v (3, 2)

A(– 4, 1)

Y

X

v (5, – 4)

A(– 2, 5)

B(3, 1)

Y

X

v (v1, v2)

v1

v2α α

EJERCICIO RESUELTO

12 Dibuja la recta que pasa por el punto A(– 4, 1) y tiene de vec-tor director a →v(3, 2)

05mat1bach.indd 112 29/02/12 10:38

EJERCICIO RESUELTO

14 Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(– 3, 2) y B(3, 6)→v =

→AB = (3 + 3, 6 – 2) = (6, 4) | | (3, 2)

32m =

3.4 Condición para que tres puntos estén alineados

Tres puntos, A(x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3), están alineados si se verifica que los vectores

→AB y

→BC tienen la misma dirección; es decir, si tiene la misma pendiente:

m →AB = m

→BC +

––

––y y y y

x x x x2 1

2 1

3 2

3 2=

EJERCICIO RESUELTO

15 Comprueba si los puntos A(– 3, – 2), B(– 1, 2) y C(1, 6) están alineados.

m →AB =

––

–;

x xy y

1 32 2

24 2

2 1

2 1 =++ = = m

→BC =

–– –

x xy y

1 16 2

24 2

3 2

3 2 =+

= =

m →AB = m

→BC & Están alineados.

3.5 Vector normal a una recta

Un vector normal a una recta es un vector perpendicular a dicha recta.Dado un vector →v (x, y), para hallar un vector normal se cambian las coorde-nadas de orden y a una de ellas se le cambia el signo. Se obtienen los vectores: →n1(y, – x), →n2(– y, x)

EJERCICIOS RESUELTOS

16 Calcula un vector normal a la recta que pasa por el punto A(– 2, 3) y tiene como vector director →v(5, – 2)Un vector normal a →v es →n (2, 5)

17 Calcula dos vectores directores de una recta cuyo vector normal es →n(3, 4)

Como el vector director y el normal son perpendiculares, se tiene:→v1(4, – 3) y →v2(– 4, 3)


Y

X

v(3, 2)

32

B(3, 6)

A(–3, 2)

90°

Y

X

n(2, 5)

v(5, –2)

A(–2, 3)

Y

X

n (3, 4)

v1(4, –3)

v2(–4, 3)

90°90°

12 Determina el vector director de las rectas r y s

Y

X

r

s

13 Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por el punto A y tiene como vector director →v:

a) A(2, 1), →v (1, 1) b) A(2, – 4), →v (– 3, 2)

c) A(– 2, – 4), →v (3, 1) d) A(– 3, 0), →v (4, – 3)

14 Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por los puntos A y B, calcula el vector director y la pendiente de la recta:a) A(1, 2), B(– 4, – 1)b) A(– 2, 3), B(5, – 1)c) A(– 1, – 2), B(3, 1)d) A(– 1, 3), B(5, – 3)

15 Comprueba si los puntos A(1, 4), B(2, 1) y C(3, – 2) están alineados.

16 Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B y calcula un vector director y uno normal a la recta en cada caso: a) A(– 4, – 1), B(3, 4)b) A(– 2, 1), B(1, – 3)

aplica la teoría

05mat1bach.indd 113 29/02/12 10:38

4.1 Ecuaciones de la recta

La recta queda determinada por un punto P( p1, p2) y un vector director →v (v1, v2). Los puntos X(x, y) de la recta se determinan con un vector de posición →x = →p + t→v, donde t es un número real.Los elementos característicos de una recta son:• Un punto P(p1, p2) Ejemplo: P(– 5, 2)• Un vector director →v (v1, v2) Ejemplo: →v (3, 2)

• La pendiente mvv

1

2= Ejemplo: m32=

• Un vector normal →n(v2, – v1) Ejemplo: →n(2, – 3)

EJERCICIO RESUELTO

18 Halla la ecuación de la recta determinada por el punto P(– 5, 2) y el vector →v(3, 2)

a) Ecuación vectorial de la recta. →x = →p + t→v con t ∈ R (x, y) = (p1, p2) + t (v1, v2); t ∈ R

(x, y) = (– 5, 2) + t (3, 2); t ∈ R

b) Ecuaciones paramétricas. Se obtienen de la ecuación vectorial al igualar las

componentes.x p tvy p tv

1 1

2 2

= += + 2 t ∈ R

––5 32 2

x ty t= += + 3 t ∈ R

c) Ecuación continua. Se obtiene de las ecuaciones paramétricas despe-

jando el parámetro, t, e igualando los valores.– –v

x pv

y p1

1

2

2=

–;

35

22x y

t x t y3

52

2

–+ =

= + =

d) Ecuación general. Se obtiene de la ecuación continua al realizar las

operaciones y pasar todos los términos al primer miembro.

Ax + By + C = 0 Un vector normal es: →n (A, B) Un vector director es: →v (B, – A)

La pendiente es: –mBA=

2(x + 5) = 3(y – 2)2x + 10 = 3y – 62x – 3y + 16 = 0

Un vector normal es: →n (2, – 3)Un vector director es: →v (3, 2)

m32La pendiente es: =

e) Ecuación explícita Se obtiene despejando y en la ecuación general.

y = mx + b m es la pendiente, y b, la ordenada en el origen.

– 3y = – 2x – 163y = 2x + 16

32

316y x= +

Calcula mentalmente las coordenadas del punto P, de un vector director, de un vector normal y el valor de la pendiente de la recta del dibujo siguiente.

piensa y calcula

4 La recta en el plano


Y

X

P(p1, p2)

O

v2

v1

α

X(x, y)

v p + v

p

p +

2v

v (v1, v2)

x = p

+ tv

05mat1bach.indd 114 29/02/12 10:38

4.2 Otras ecuaciones de la recta• Ecuación punto-pendiente. La ecuación de la recta que pasa por el punto A(x1, y1) y tiene de pendiente

m es:y = m(x – x1) + y1

• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)→v =

→AB = (x2 – x1, y2 – y1) & –

–m x xy y

2 1

2 1=

y se aplica la ecuación punto-pendiente.

• Ecuación canónica o segmentaria.

px

qy 1+ =

donde p es la abscisa en el origen, y q, la ordenada.

Importante: cuando se pide la ecuación de una recta y no se indica cuál, se debe hallar la general o la explícita.

4.3 Rectas paralelas y perpendiculares

a) Dos rectas paralelas, r y s, tienen la misma pendiente: mr = ms

b) Dos rectas perpendiculares, r y t, cumplen que la pendiente de una es igual a la opuesta de la inversa de la otra: si –m v

v m vv

r t1

2

2

1= =&

EJERCICIO RESUELTO

22 Dada la recta r ≡ 5x + 2y + 4 = 0 a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P (3, 1)

b) Halla una recta t perpendicular a r que pase por el punto Q (1, 4) a) La recta s tendrá la misma pendiente que la recta r, que es m = – A/B = – 5/2

Su ecuación será:

– – – –( 3) 1 2 5 15 2 5 2 17 0x yy x y x25 + == + = + +& &

b) La pendiente de r es: mr = – 5/2. La pendiente de t será: mt = 2/5. Su ecuación será:

– – –( 1) 4 5 2 2 20 2 5 18 0x yy x y x52 + == + = +& &


X

v (2, – 5)

Y

P(3, 1)

sr

Yr t

X

v (2, –5)

n (5, 2)Q(1, 4)

17 Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta determinada por el punto P(– 3, 1) y vector director →v (2, 3)

18 Dada la recta r ≡ 4x + 3y – 6 = 0a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P(3, 4)b) Halla una recta t perpendicular a r que pase por el pun-

to Q (– 2, 1)

19 Dadas las siguientes rectas, escribe el tipo de ecuación y halla un punto, un vector director y la pendiente:

a) (x, y) = (– 2, 1) + t (3, 2), t ∈ R

–x y4

55

2b) + = c) –x t

y t4

3 2= += + 3 t ∈ R

d) 3x – 5y + 6 = 0 e) y = 3x – 4

aplica la teoría


19 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 4) y tiene de pendiente 5y = 5(x – 3) + 4 &

y = 5x – 11

20 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, 1) y B(1, – 5)→v =

→AB = (3, – 6) | |

(1, – 2) & m = – 2y = – 2(x + 2) + 1 ⇒

y = – 2x – 3

21 Escribe la ecuación ca-nónica de la recta: 4x + 3y = 12

Dividiendo entre 12:

3 41x yx y

124

123

1212 + =+ = &

05mat1bach.indd 115 29/02/12 10:38

5.1 Propiedades afines

Las propiedades afines son las que estudian la posición relativa entre punto y recta y entre rectas. Por ejemplo, si un punto está o no está en una recta, o bien si dos rectas se cortan, son paralelas o coincidentes.

5.2 Posición relativa de punto y recta

Entre un punto y una recta se pueden dar dos posiciones relativas:a) El punto está en la recta.b) El punto no está en la recta.El punto está en la recta si verifica la ecuación de la recta, y no está en ella si no la verifica.

EJERCICIO RESUELTO

23 Estudia la posición relativa de los puntos A(– 2, 3) y B(1, 5) respecto de la recta: r ≡ 3x + 4y = 6 A(– 2, 3) & 3 (– 2) + 4 3 = – 6 + 12 = 6 & A(– 2, 3) ∈ r B(1, 5) & 3 1 + 4 5 = 3 + 20 = 23 ≠ 6 & B(1, 5) ∉ r

5.3 Posición relativa de dos rectas

Estudiar la posición relativa de dos rectas r ≡ Ax + By + C = 0 s ≡ Ax + By + C = 0

consiste en ver si son secantes, paralelas o coincidentes.

Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes

Dos rectas son secantes si tienen un punto en común.

Dos rectas son paralelas si no tienen nin-gún punto en común. Se representa por ||

Dos rectas son coincidentes si son la misma recta.

Criterio

Los coeficientes de las variables no son proporcionales:

≠ A BA B

Los coeficientes de las variables son pro-porcionales y no lo son los términos inde-pendientes:

≠ AA

BB

CC=

Los coeficientes de las variables y los términos independientes son proporcionales:

A B CA B C

= =

Calcula mentalmente y compara, en cada gráfico, las pendientes de las rectas r y s y di cuántos puntos tienen en común las rectas.

piensa y calcula

5 Propiedades afines


Y

X

rs

Y

Xrs

Y

X

rs

a) b) c)Y

X

rs

Y

Xrs

Y

X

rs

a) b) c)Y

X

rs

Y

Xrs

Y

X

rs

a) b) c)

Y

X

B(1, 5)

rA(–2, 3)

NomenclaturaEl símbolo d significa pertenece.El símbolo z significa no perte-nece.

05mat1bach.indd 116 05/03/12 11:10

EJERCICIO RESUELTO

24 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

––

3 8 2 05 6 16 0x yx y+ =

+ = 3–x y

x y2 4 02 1 0

+ =+ + = 3

––

x yx y

2 2 03 6 6 0

+ =+ = 3

–≠

53

68 –≠ 4

11

22

1=

––

62

31

62= =

Secantes Paralelas Coincidentes

X

Y

A(–2, 1) X

Y Y

X

5.4 Haz de rectas

a) Haz de rectas secantes en el plano: es el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto A(x1, y1). Su fórmula es:

y = m(x – x1 )+ y1; m ∈ R El número m es la pendiente, y al variar, va dando todas las rectas.b) Haz de rectas paralelas: es el conjunto de todas las rectas paralelas a una recta

dada r ≡ Ax + By + C = 0. La fórmula del haz es:Ax + By + K = 0; K ∈ R

Al variar el número K, va dando todas las rectas paralelas.

EJERCICIO RESUELTO

25 Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a r ≡ 4x + 3y – 5 = 0 y, de ellas, calcula la que pasa por el punto A(1, 2)

Ecuación del haz: 4x + 3y + K = 0; K ∈ RPara hallar la recta que pasa por el punto A(1, 2), se sustituye: x = 1, y = 2

4 1 + 3 2 + K = 0 & 4 + 6 + K = 0 & 10 + K = 0 & K = – 10La ecuación de la recta pedida es: s ≡ 4x + 3y – 10 = 0


Y

X

4x + 3y – 10 = 0

A(1, 2)

Y

X

y = 2x – 3

A(2, 1)

20 Determina cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta r ≡ 2x – 3y + 4 = 0:a) A(1, 2) b) B(3, 5) c) C(–5, – 2) d) D(– 1, 4)

21 Estudia la posición relativa de los pares de rectas:

a) c)b)––

––

–x yx y

x yx y

x yx y

3 23 9 6

3 5 26 10 3

2 3 14 2 5

==

==

=+ =3 3 3

22 Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a:r ≡ 3x – 2y + 6 = 0

y, de ellas, calcula la que pasa por el punto A(3, 2)

23 Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el punto A(1, 2) y escribe la ecuación de la que tiene pendiente 3

aplica la teoría

05mat1bach.indd 117 05/03/12 11:11

6.1 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es el módulo del vector →AB(x2 – x1, y2 – y1), y viene dada por el teorema de Pitágoras.

– –( , ) ( ) ( )d A B x x y y2 12

2 12= +

EJERCICIO RESUELTO

26 Halla la distancia que hay entre los puntos A(2, 5) y B(6, 8)→AB(4, 3) & d(A, B) = 54 3 16 9 252 2+ = + = =

6.2 Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto P (p1, p2) a la recta r ≡ Ax + By + C = 0 viene dada por:

( , )d P rA B

Ap Bp C2 2

1 2=+

+ +


EJERCICIO RESUELTO

27 Halla la distancia del punto P(7, 8) a la recta r ≡ 3x + 4y – 12 = 0

– –( , ) 8,2 unidadesd P r3 4

3 7 4 8 129 16

21 32 1225 5

41412 2

=+

+ =+

+ = = =� �

6.3 Distancia entre dos rectas

Se pueden presentar dos casos:a) Las dos rectas se cortan o son coincidentes. La distancia es cero: d(r, s) = 0b) Las dos rectas son paralelas. Para hallar la distancia entre ellas, se calcula

un punto en una de ellas y se halla la distancia de ese punto a la otra recta.

EJERCICIO RESUELTO

28 Halla la distancia que hay entre las rectas:r ≡ 2x + 3y – 23 = 0

s ≡ 2x + 3y – 6 = 0Como los coeficientes de las variables son proporcionales, y no lo son a los términos independientes, las rectas son paralelas.Se calcula un punto en la recta r:

– – , , ( , )x y y x x y P2 3 23 03

23 2 4 5 4 5para+ = = = =& &

Se calcula la distancia:

–( , ) 4,71 unidadesd P s2 3

2 4 3 5 613

1713

1713

17 132 2

=+

+ = = = =� �

Dibuja las rectas y = 2 e y = 5. Halla mentalmente el ángulo que forman y la distancia que hay entre ellas.

piensa y calcula

6 Distancias y ángulos en el plano


Y

X

A(2, 5)

B(6, 8)

v (4, 3)3

4

X

Y

r

3x + 4y – 12 = 0

P(7, 8)

d(P, r)

Y

X

d(r , s)

2x + 3y – 6 = 0

2x + 3y – 23 = 0

s

r

P(4, 5)

05mat1bach.indd 118 05/03/12 11:11

6.4 Ángulo de dos rectas

El ángulo que forman dos rectas viene dado por:

r ≡ Ax + By + C = 0s ≡ Ax + By + C = 0

& cos α = |A A + B B|

√—A2 + B 2 · √

—A2 + B2


EJERCICIO RESUELTO

29 Halla el ángulo que forman las rectas:r ≡ 2x – 5y + 1 = 0 s ≡ 4x – 3y – 5 = 0

2 ( 5) 4 ( 3)2 4 ( 5) ( 3)cos

4 25 16 98 15

29 523

– –– –

2 2 2 2α =

+ ++ =

+ ++ =

=

°31 19 43� �145

23 29 α= =&

cos–1 ( 23 × √– 29 ÷ 145 ) = ° 31° 19 43

6.5 Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos A(x1, y1) y B(x2, y2)

,M x x y y2 2

1 2 1 2+ +b l


30 Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(– 2, 5) y B(4, – 1)

– –, 5 (1, 2)M2

2 42

1+ =c m

31 El punto M (3, 2) es el punto medio del segmento AB. Si A(1, 4), calcula las coordenads del punto B

3 1 6 5

2 4 4 0

(5, 0)B

x x x

y y y

21

24

El punto es

+ = + =

+ = + = =

=& &

& &


Y

X

2x – 5y + 1 = 0

4x – 3y – 5 = 0

s

r

α = 31° 19´ 43˝

Y

X

A(–2, 5)

B(4, –1)

M(1, 2)

24 Halla la distancia que hay entre los puntos A(1, 4) y B(5, 2)

25 Halla la distancia que hay del punto P(3, 2) a la recta r ≡ 4x – 3y + 9 = 0

26 Halla la distancia que hay entre las rectas:r ≡ x + 3y – 7 = 0

s ≡ 2x + 6y – 5 = 0

27 Halla el ángulo que forman las rectas:r ≡ 2x – 7y = 4s ≡ 3x + 4y = 1

28 Calcula mentalmente las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(– 4, 3) y B(6, – 5)

29 El punto M(1, – 1) es el punto medio del segmento AB. Si A(– 3, – 4), calcula las coordenadas del punto B

aplica la teoría

05mat1bach.indd 119 05/03/12 11:11


2.3 Cálculo del ángulo de dos vectores

cos α = x1 x2 + y1 y2

|→u| |→v |

◾ Demostración

La demostración se obtiene de la definición del producto escalar y de su expresión analítica:→u · →v = |→u | |→v | cos α→u · →v = x1 x2 + y1 y2

⇒ |→u| |→v | cos α = x1 x2 + y1 y2

Despejando cos α, se obtiene: cos α = x1 x2 + y1 y2

|→u| |→v |

2.4 Vectores perpendiculares u ortogonales

Dos vectores distintos del vector nulo son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero.→u ⊥ →v + →u →v = 0 con →u ≠

→0 y →v ≠

→0

Y

X

v

u

90°

◾ Demostración

Según la definición de producto escalar, se tiene:→u →v = |→u| |→v | cos α

a) Si →u ⊥ →v , el ángulo que forman es de 90° y, como cos 90° = 0, el producto escalar es:→u →v = |→u| |→v | cos α = |→u| |→v | 0 = 0

b) Si →u →v = 0 y →u ≠ →0 y →v ≠

→0, entonces |→u| ≠ 0 y |→v | ≠ 0. Por tanto, tiene que ser cos α = 0, y el ángulo que forman

los vectores →u y →v es de 90°. Es decir, →u ⊥ →v

2.5 Cálculo de un vector perpendicular a otro

Dado un vector →v (x, y), para hallar un vector perpendicular se cambian las coordenadas de orden y a una de ellas se le cambia el signo. Se obtienen los vectores: →n1(y, – x), →n2(– y, x)

◾ Demostración

Se aplica que dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.→v · →n1 = (x, y) (y, – x) = x y + y (– x) = x y – y x = 0

→v · →n2 = (x, y) (– y, x) = x (– y) + y x = – x y + y x = 0

Profundización: demostraciones

05mat1bach.indd 120 29/02/12 10:38


6.2 Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto P ( p1, p2) a la recta r ≡ Ax + By + C = 0 viene dada por:

( , )d P rA B

Ap Bp C2 2

1 2=+

+ +

◾ Demostración

Esta demostración se basa en el concepto de proyección de un vector sobre otro:Por definición de producto escalar:

→n →u = |→n | |→u | cos αComo se observa en el dibujo de la derecha:

La proyección de →u sobre →n es: |→u | cos α

Luego →n →u = |→n | proy→n →u

De donde: proy→n →u = →n →u|→n |

Si se observa la gráfica, la distancia d coincide con la proyección de →u sobre →nEs decir:

d = |→n →u||→n |

El valor absoluto del numerador es debido a que una distancia es siempre positiva.

Expresando los vectores con coordenadas y calculando, se tiene:

d = (A, B) · ( p1 – q1, p2 – q2 )√A 2 + B 2

= A( p1 – q1) + B( p2 – q2 )√A 2 + B 2

=

= Ap1 + Bp2 – (Aq1 + Bq2 )√A 2 + B 2

= Ap1 + Bp2 + C√A 2 + B 2

ya que – (Aq1 + Bq2) = C

6.4 Ángulo de dos rectas

El ángulo que forman dos rectas viene dado por:

r ≡ Ax + By + C = 0s ≡ Ax + By + C ' = 0

& cos α =

|A A + B B|

√—A 2 + B 2 · √

—A2 + B2

◾ Demostración

Un vector director de la recta Ax + By + C = 0 es →u (B, – A)Un vector director de la recta Ax + By + C = 0 es →v (B, – A)Aplicando la fórmula del ángulo que forman dos vectores, se tiene:

cos α = |B B + (– A) (– A)|

√—B 2 +

— (– A)2 √

—B2 +

— (– A)2

= |A A + B B|

√—A2 + B2 √

—A2 + B2

n

u

α|u | cos α

Y

X

d

d

Ax + By + C = 0

r

P(p1, p2)Q(q1, q2)

n(A, B)

u

05mat1bach.indd 121 29/02/12 10:38


Ejercicios de vectores

32 Un paralelogramo tiene tres vértices en los puntos A(1, 3), B(4, 5) y C(7, – 1). Halla el cuarto vértice.

Se tiene que →OD =

→OA +

→BC

→OA = (1, 3)→BC = (7 – 4, – 1 – 5) = (3, – 6)→OD =

→OA +

→BC

→OD = (1, 3) + (3, – 6) = (4, – 3)

33 Dados los vectores →u (k, – 5) y →v (4, – 1) a) Calcula el valor de k para que →u →v sea 17 b) Calcula el ángulo que forman.

a) →u →v = 17 (k, – 5) (4, – 1) = 17 4k + 5 = 17 4k = 12 & k = 3

b) cos α = x1 x2 + y1 y2

|→u| |→v |

|→u| = –( )3 5 342 2+ =

|→v | = –( )4 1 172 2+ =

°45cos34 17

1717 2 17

1717 2

1722 =α α= = = = &

Ejercicios de rectas paralelas y perpendiculares

34 Dada la recta:

r ≡ –x y5

33

1+ =

a) Halla un vector director y un punto de la recta. b) Halla una recta s paralela a r que pase por P (4, 1)

a) Vector director: →u (5, 3)

Punto: A(– 3, 1)

b) La recta s tiene la misma pendiente que la recta r

→u (5, 3) & m m53

53

r s= =&

–

–

( 4) 1

5 3 12 5– –3 5 7 0x y

y x

y x53

=

= +

= +

35 Dada la recta

r ≡ –

–4x t

y t3

1 4== + 3

a) Halla un vector director y un punto de la recta. b) Halla una recta s perpendicular a r que pase por

P (– 2, 1)

a) Vector director: →u (– 3, 4)

Punto: A(4, – 1)

b) La pendiente de s es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta r

→u (– 3, 4) & –m m 334

4r s= =&

( ) 1

4 3 6 4–

2

3 4 10 0x y

y x

y x43

=

= + +

= + ++

Ejercicios y problemas resueltos

Y

X

B(4, 5)A(1, 3)

OC(7, –1)

BC

OD

OA

05mat1bach.indd 122 29/02/12 10:38


Problemas de geometría analítica

36 Halla un punto P en el eje de abscisas tal que la distancia a la recta

r ≡ 3x – 4y + 11 = 0 sea igual a 4 unidades.

Entérate

El punto P está en el eje X; sus coordenadas serán P(x, 0)La distancia de P a r es 4 unidades.Pregunta: halla el punto P

Manos a la obra

Como la distancia de P a r es de 4 unidades, se tiene:

–

–

– – –

( , )( )

20

d P r x x

x x

xx x x

x x x

3 4

3 4 0 119 16

3 11 4

53 11 4 3 11 20

3 113 11 20 3 9 3

3 11 20 3 31331

2 2=

+

+++ =

+ = + =

++ = = =

+ = = ==

& &

&

&

&

& &

*

Solución

Hay dos soluciones: P1(3, 0) y P2(– 31/3, 0)

37 Los vértices de un triángulo son: A(4, 4), B(– 1, 3) y C(3, – 1) Comprueba que es isósceles y calcula el área.

Entérate

Se dan los vértices del triánguloPreguntas: comprueba que es isósceles. Calcula el área.

Manos a la obra

Se calcula la longitud de los lados, que es la distancia entre los vértices:

– – –

– – –

– –

( , )

( , )

( , )

d A B

d A C

d B C

1 4 3 4 25 1 26

3 4 1 4 1 25 26

3 1 1 3 16 16 32

u

u

u2 2

2 2

2 2

= + = + =

= + = + =

= + + = + =

^ ^

^ ^

^ ^

h h

h h

h h

Como d(A, B) = d(A, C) & El triángulo es isósceles.

El área es A b h2=

• Se calcula la base ( , )b d B C 32 u= =

• Se calcula la altura h, que es la distancia de A a la recta r que pasa por B y C

La recta r tiene como vector de dirección:→BC (4, – 4) | | (1, –1) & m = – 1 y se toma el punto B(– 1, 3)r ≡ y = – (x + 1) + 3 & y = – x – 1 + 3 & r ≡ x + y – 2 = 0

–( , )h d A r1 1

4 4 22

62

6 2 3 2 u= =+

+ = = =

El área es:

A b h2 2

32 3 22

3 642

3 8 12 u2= = = = =

Solución

El triángulo es isósceles y su área mide 12 u2

Y

h

b X

A(4, 4)

C(3, –1)

B(–1, 3)

05mat1bach.indd 123 29/02/12 10:38

124

Ejercicios y problemas propuestos

Bloque II. Geometría

1 Operaciones con vectores

30 Dado el cuadrilátero de la figura, calcula:

Y

XA

B

C

D

a) Los vectores de posición de los vértices del cuadrilátero.

b) Las coordenadas de los vectores: →AB,

→BC,

→DA y

→DC

c) Las coordenadas de →AB +

→BC y representa el vector.

d) Las coordenadas de →DA –

→DC y representa el vector.

31 Calcula el módulo y el argumento del vector en los siguien-tes casos:

a) →v (1, 5) b) →v (– 3, 4) c) →v (– 2, – 3) d) →v (3, – 5)

32 Calcula →u + →v y →u – →v analítica y gráficamente en los siguien-tes casos:

a) →u (– 3, 2) y →v (3, 3) b) →u (1, 2) y →v (4, 3)

33 Calcula y representa en cada caso los siguientes vectores:

a) Multiplica por 2 el vector →v (– 2, 3)

b) Multiplica por – 3 el vector →v (1, 2)

2 Producto escalar de vectores

34 Halla el producto escalar de los vectores siguientes:

a) →u (– 2, 3) y →v (4, – 7) b) →u (0, 1) y →v (– 5, 2)

35 Calcula la proyección del vector →u sobre →v siendo →u (– 3, 5) y →v (2, 1)

36 Calcula el ángulo que forman los vectores siguientes:

a) →u (3, – 5) y →v (4, 1) b) →u (5, – 2) y →v (– 3, 4)

37 Halla el valor de x para que los vectores →u (6, x) y →v (5, – 3) sean perpendiculares.

38 Halla el valor de x de forma que el producto escalar de los vectores →u (2, – 4) y →v (1, x) sea igual a 6

39 Analiza si los siguientes vectores →u (– 2, 5) y →v (3, 2) son perpendiculares.

40 Escribe las coordenadas de dos vectores perpendiculares a →v en los siguientes casos:

a) →v (3, – 2) b) →v (– 1, – 3)

c) →v (0, – 1) d) →v (1, 0)

3 Determinación de una recta

41 Determina el vector director de las rectas r y s en cada caso: a) b)

Y

X

r

s

Y

X

r

s

42 Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por el punto A y tiene como vector director →v:

a) A(5, 1), →v (– 1, 0) b) A(– 3, 0), →v (2, 5) c) A(– 3, –2), →v (4, – 1) d) A(2, 1), →v (– 3, 1)

43 Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B, y calcula el vector director, la pendiente y un vector normal de la recta en cada caso:

a) A(2, 1), B( – 1, – 4) b) A(3, – 2), B(– 1, 5) c) A(– 2, – 1), B(1, 3) d) A(3, – 1), B(– 3, 5)

44 Comprueba si los puntos están alineados en cada caso: a) A(– 2, 5), B(2, 1) y C(3, 0) b) A(– 2, –1), B(3, 4) y C(1, 1)

4 La recta en el plano

45 Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, ge-neral y explícita de la recta determinada por el punto A y el vector director:

a) A(2, 5) y →v (2, 3) b) A(– 1, 3) y →v (4, – 1) c) A(– 2, 1) y →v (2, 1) d) A(0, 3) y →v (1, – 2)

46 Escribe las ecuaciones vectorial, paramétricas y general de los ejes de coordenadas.

47 Dadas las siguientes rectas, escribe el tipo de ecuación, ha-lla un punto, un vector director y la pendiente:

a) (x, y) = (– 4, 2) + t(5, 1), t ∈ R b) x + 3y + 4 = 0 c) y = – 2x – 1

d)

–x ty t

24 2

= += 3 t ∈ R –e) x y

35

42= +

48 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(– 4, 5) y tiene pendiente –3

49 Dada la recta r ≡ 3x – 5y + 8 = 0 a) halla una recta s paralela a r que pase por el punto

P (3, 2) b) halla una recta t perpendicular a r que pase por el pun-

to P (–1, 2)

05mat1bach.indd 124 29/02/12 10:39


❚ Para ampliar 60 Dados los vectores →u (3, – 4) y →v (– 2, 1), calcula las

coordenadas de los siguientes vectores:

a) 2→u + →v b) 3→u – 2→v

c) 2(→u + →v ) d) →v – 2→u

e) 3(→u + →v ) – 2(→u – →v )

61 Calcula las coordenadas del vector →u de forma que

21 →u + 3→v = →w

siendo →v (2, –1) y →w (– 4, 3)

62 Calcula x e y para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) 2(x, y) = (4, 5) b) – 3(x, 2) = 4(9, 2y)

63 Dados los siguientes vectores →u (– 2, 3), →v (5, – 1) y →w (3, 4), calcula:

a) (2→u + 3→v ) →w b) →u · →v + →u · →w

64 Dados los vectores →u (3, 1) y →v (2, 3), calcula el ángulo que forman los vectores →u + →v y →u – →v

65 Halla el valor de x para que los vectores →u (7, x) y →v (3, – 4) sean perpendiculares.

66 Halla el valor de x de forma que el producto escalar de los vectores →u (– 3, – 2) y →v (5, x) sea igual a 5

67 Escribe las coordenadas de un vector perpendicular a →v en los siguientes casos:

a) →v (5, – 2) b) →v (– 3, – 1) c) →v (0, – 4) d) →v (– 3, 5)

68 Dibuja las rectas que pasan por el punto A y tienen como vector director →v, y determina otro punto de la recta en cada caso:

a) A(– 2, 1), →v (2, 3) b) A(0, 3), →v (2, – 1) c) A(– 2, – 5), →v (3, 4) d) A(2, 3), →v (1, – 2)

5 Propiedades afines

50 Determina cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta 4x + y – 8 = 0:

a) A(1, 4) b) B(– 2, 0)

c) C(3, – 4) d) D(– 3, 20)


a) –

–x yx y

7 84 5

== 3

b) –

–– 6 52 6x y

x y2 12 3=

+ = 3


a) –

–x yx y

4 3 18 6 2

== 4

b) –

––3 6 5x y

x y2 5 3=

+ = 3

53 Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el pun- to A y escribe la ecuación de la que tiene la pendiente, m, que se indica en cada caso:

a) A(–1, 2) y m = 2

b) A(2, 4) y m = – 3

– –( 3, 2)c) A m 21y =

– –( 1, 3)d) A m 32y =

54 Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta r ≡ 4x + 5y – 2 = 0 y, de ellas, calcula la que pasa por el punto A(1, – 2)

6 Distancias y ángulos en el plano

55 Halla la distancia que hay entre los puntos A y B en los casos siguientes:

a) A(2, 5) y B(– 3, 1) b) A(– 2, 4) y B(2, 0) c) A(3, – 2) y B(– 3, 4) d) A(3, 0) y B(0, 4)

56 Halla la distancia del punto P a la recta r en cada caso: a) P(2, 5) y r ≡ x – 3y + 5 = 0 b) P(–1, 3) y r ≡ 3x + 5y – 7 = 0 c) P(0, 5) y r ≡ 4x + y + 1 = 0 d) P(– 2, – 3) y r ≡ 2x – 6y + 3 = 0

57 Halla la distancia que hay entre las rectas r y s en los casos siguientes:

a) r ≡ 2x + y – 5 = 0 y s ≡ 4x + 2y + 1 = 0 b) r ≡ x + 6y + 9 = 0 y s ≡ x + y – 6 = 0 c) r ≡ 5x – 3y + 7 = 0 y s ≡ 15x – 9y – 2 = 0 d) r ≡ y – 5 = 0 y s ≡ y + 1 = 0

58 Halla el ángulo que forman las rectas r y s en los casos si-guientes:

a) r ≡ x + y – 5 = 0 y s ≡ x + 2y + 3 = 0 b) r ≡ x – 4y + 9 = 0 y s ≡ 2x + 3y – 1 = 0 c) r ≡ 3x – 5y + 2 = 0 y s ≡ 6x – 10y – 5 = 0 d) r ≡ y – 2 = 0 y s ≡ x + 3 = 0

59 Calcula mentalmente las coordenadas del punto medio del segmento AB:

a) A(–5, 2) y B(1, –4) b) A(3, 5) y B(–1, –5)

05mat1bach.indd 125 29/02/12 10:39

126

Ejercicios y problemas propuestos


69 Dibuja las rectas que pasan por los puntos A y B, y calcula el vector director y la pendiente de la recta en cada caso:

a) A(3, 4), B(– 5, – 1)

b) A(– 3, 2), B(4, – 2)

c) A(– 2, – 3), B(5, 6)

d) A(– 2, 4), B(3, – 2)

70 Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, ge-neral y explícita de las rectas dibujadas:

a)

Y

X

rs

b) Y

X

r

s

71 Dadas las siguientes rectas, escribe el tipo de ecuación, ha-lla un punto, un vector director y la pendiente:

a) y = – 4x + 5

b) 2x – 5y + 10 = 0

c) – –

–x ty t

4 23 5

== 3 t ∈ R

d) x y3

55

4+ = +

e) (x, y) = (2, 5) + t (– 2, 3), t ∈ R

72 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(– 3, – 5) y tiene pendiente 4

73 Dada la recta r ≡ 5x + 3y +1 = 0

a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P (1, 3)

b) Halla una recta s perpendicular a r que pase por el pun-to P (– 5, 2)

74 Estudia la posición relativa de los pares de rectas:

a) r ≡ 2x + 3y – 1 = 0; s ≡ 3x – 4y – 5 = 0

b) r ≡ x + 5y – 6 = 0; s ≡ ––x y5

1 3= +

c) r ≡ y = – 3x + 2; s ≡ –

–2x t

y t4 3=

= + 3 t ∈ R

d) r ≡ x – 4y + 5 = 0; s ≡ y = 2x + 1

75 Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el pun- to A y escribe la ecuación de la que tiene la pendiente, m, que se indica en cada caso:

a) A(3, 2) y m = – 4

– –( 2, 1)b) A m 31y =

c) A(– 2, 0) y m = – 2

–( 1, 2)d) A m 23y =

76 Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta r ≡ 5x – 3y + 7 = 0 y, de ellas, calcula la que pasa por el punto A(2, – 3)

77 Halla la distancia del punto P a la recta r en cada caso:

a) P (3, 5) y r ≡ 6x – y + 1 = 0

b) P (– 2, 5) y r ≡ 3x – 4y + 9 = 0

c) P (0, – 3) y r ≡ –x y3

24

1+ =

d) P (0, 0) y r ≡ x ty t

23

= += + 3 t ∈ R

78 Halla la distancia que hay entre las rectas r y s en los casos siguientes:

a) r ≡ x + y – 3 = 0; s ≡ y = – x + 1

b) r ≡ – –x y4

13

2= ; s ≡ 3x – 4y = 0

79 Halla el ángulo que forman las rectas r y s en los casos si-guientes:

a) r ≡ y = x2 + 3; s ≡ y = – x + 2

b) r ≡

x ty t

1 23

= += + 3; s ≡ y = 3x – 7

05mat1bach.indd 126 29/02/12 10:39


80 Sea P el punto medio del segmento AB. Expresa →OP en

función de →OA y

→OB

Y

XO

A

B

P

81 Se tiene que A (1, 2) y se conocen los vectores →AB (3, 1),

→AC (– 4, 1) y que

→AD = 2

→AB +

→AC. Calcula las coordena das

de los puntos B, C y D

82 Sean los vectores →u (4, 3) y →v (– 5, x). Calcula el valor de x para que los vectores →u + →v y →u – →v sean ortogonales.

83 Halla el valor de x para que los vectores →u (4, 3) y →v (x, 1) formen un ángulo de 45°

84 Determina si los tres puntos siguientes están alineados:

a) A(1, 2), B(– 2, – 4) y C(3, 6)

b) A(0, 1), B(2, – 5) y C(– 1, 4)

c) A(1, 3), B(– 2, 0) y C(4, 5)

d) A(0, 2), B(– 3, – 1) y C(5, 3)

85 Halla el valor de k para que los siguientes puntos estén alineados:

a) A (1, 4), B (– 2, 1) y C (3, k)

b) A (0, – 1), B (2, – 5) y C (– 1, k)

86 Calcula el valor de k para que el punto P (– 3, 5) perte-nezca a la recta determinada por los puntos A (2, 3) y B (– 1, k)

87 Dados los puntos A (2, 4), B (– 1, – 2) y C (– 3, 1), deter-mina las coordenadas del punto D (x, y) de forma que los cuatro puntos formen un paralelogramo.

88 Halla el valor de k para que las rectas:

r ≡ 4x + ky + 8 = 0

s ≡ –x y

21

43+ = +

sean paralelas.

89 Calcula el valor de a y b para que las rectas:

r ≡ ax + 3y + 6 = 0

s ≡ bx – 2y – 1 = 0

sean perpendiculares y la recta r pase por el punto A (3, 4)

90 Halla la longitud del segmento determinado por los pun-tos de corte de la recta dada por la ecuación 3x + 5y – 15 = 0 con los ejes de coordenadas.

91 Calcula el valor de k para que la distancia del punto A (2, 1) a la recta x – 2y + k = 0 sea 5

92 Dado el triángulo de vértices A (1, – 3), B (– 4, 5) y C (5, 1), calcula:

a) La longitud de la altura que pasa por el vértice A

b) El área del triángulo.

❚ Para profundizar

93 Los lados de un triángulo ABC tienen como ecuaciones:

AB ≡ 2x + 5y – 8 = 0

AC ≡ 5x + 3y – 1 = 0

BC ≡ 3x – 2y – 12 = 0

Calcula las coordenadas de los tres vértices.

94 Calcula el área del cuadrilátero A (0, – 2), B (– 3, 2), C (1, 3) y D (4, 2)

95 Calcula las amplitudes de los ángulos del triángulo de vér-tices A (2, – 1), B (– 1, 3) y C (4, 3)

96 Halla el área del rombo cuyos vértices son: A (1, 0), B (3, 4), C (5, 0) y D (3, – 4)

97 Calcula el área del triángulo formado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de la recta 5x + 3y – 15 = 0 con los ejes.

98 Calcula las coordenadas de un vector de módulo uno de la misma dirección y sentido que →v (3, 4)

99 Halla un punto de la recta 2x – y + 2 = 0 que equidiste de los puntos A (1, 0) y B (–2, 0)

100 Halla el haz de rectas que pasan por el origen y calcula la ecuación de la recta del haz, tal que la distancia del punto P (2, 0) a dicha recta sea 2

101 Un cuadrado tiene dos vértices opuestos en B (1, 1) y D (5, 3). Calcula las coordenadas de A y C y el área del cuadrado.

102 Calcula los vértices del triángulo ABC, del que se conocen las coordenadas del punto A(4, 3) y las ecuaciones de las alturas: x – y + 2 = 0, 2x + y – 6 = 0

❚ Problemas

05mat1bach.indd 127 29/02/12 10:39

128

Paso a paso


103 Dibuja la recta que pasa por el punto P(– 5, 2) y tiene de vector director v(3, 2). Halla la ecuación de la recta.

Solución:

a) En la Barra de entrada introduce P = (– 5, 2)

b) Selecciona Elige y mueve, haz clic en el pun-to y en Fija estilo de rótulo, selecciona Nombre y valor.

c) Elige Vector entre dos puntos, haz clic en el origen de coordenadas y en el extremo, punto (3, 2)

d) En la Barra de estilo escoge Nombre y valor. Renombra el vector como v

e) Elige Recta paralela, haz clic en el punto P y en el vector v

f ) Selecciona Elige y mueve, haz clic sobre la recta y en la Barra de estilo escoge Nombre y valor. Renómbrala como r

g) Guárda el dibujo con el nombre RectaPv

Geometría dinámica: interactividad

Arrastra el punto P o el extremo del vector v y observa cómo se obtiene la nueva recta y su ecua-ción.

104 Halla la distancia del punto P(7, 8) a la recta r ≡ 3x + 4y =12

Solución:

a) En el Campo de entrada introduce r: 3x + 4y = 12, selecciona Elige y mueve, haz clic en la recta y en Fija estilo de rótulo, selecciona Nombre y valor.

b) Arrastra el origen de coordenadas como en el dibujo.

c) En el Campo de entrada introduce el punto P = (7, 8), muestra Nombre y valor.

d) Elige Recta perpendicular, haz clic en r y en P

e) Halla el punto A, intersección de las dos rectas.

f ) En el menú Contextual de la recta perpendicu-lar, desactiva Muestra objeto.

g) Dibuja el segmento PA, renómbralo como d y en la Barra de estilo escoge Nombre y valor.

h) Guárdalo como Distancia

Geometría dinámica: interactividad

Arrastra el punto P o la recta r y observa cómo se obtiene la nueva distancia. Haz doble-clic sobre el punto P o la recta r y modifícalos y observa cómo se obtiene la nueva distancia.

• Crea en tu carpeta personal la carpeta 09 para guardar todos los ejercicios de este tema.

• Cierra la Vista algebraica y activa la cuadrícula haciendo clic en Cuadrícula.

• Selecciona Desplazar vista gráfica y arrastra el origen de coordenadas al lugar de la pantalla que se ve en cada ejercicio. Si cambia la graduación de los ejes, en el menú Contextual de la Vista gráfica en EjeX y EjeY, en Distancia elige 1

5. Geometría analítica

05mat1bach.indd 128 29/02/12 10:39

http://www.matesdigitales.com/videos/mat1bcttutg/mat1bcttutg.html

http://www.infoymate.es/GeoGebra/index.htm


Así funciona

Windows/Linux GeoGebra

Practica105 Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 2, 5) y

B(3, 1). Halla la ecuación de la recta y el vector director.

a) Introduce los puntos A, B y el origen de coordena-das O(0, 0)

b) Dibuja el vector ABc) Elige Vector desde un punto, haz clic en el pun-

to O y en el vector AB

Geometría dinámica: interactividadArrastra uno de los puntos que definen la recta y observa cómo se obtiene la nueva ecuación de la recta y el nuevo vector director.

106 Dados los puntos A(– 3, 1) y B(2, 4) calcula el vector v = AB

Geometría dinámica: interactividadArrastra los puntos A o B; observa los resultados. Tienes definido un sistema para calcular un vector conocidos los extremos.

107 Dada la recta r ≡ 5x + 2y + 4 = 0. Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P(3, 1)

Geometría dinámica: interactividadArrastra o haz doble-clic sobre el punto P o la recta r y modifícalos. Obtendrás la nueva recta paralela.

108 Dada la recta r ≡ 5x + 2y + 4 = 0. Halla una recta t perpendicular a r que pase por el punto P(1, 4)

Geometría dinámica: interactividadArrastra o haz doble-clic sobre el punto P o la recta r y modifícalos. Obtendrás la nueva ecuación de la recta perpendicular.

❚ Representar un punto de coordenadas y una recta conocida la ecuaciónSe introducen en la Barra de entrada las coordenadas del punto o la ecuación de la recta. Si se desea ponerle nombre, se escribe este delante de las coordenadas y un signo =, o la ecuación con dos puntos. Ejemplo P = (– 5, 2), r: 3x + 4y = 12

05mat1bach.indd 129 29/02/12 10:39

document5

Documents