55362646 ingenieria economica en la construccion 1

IIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGGEEEEEEEENNNNNNNNIIIIIIIIEEEEEEEERRRRRRRRIIIIIIIIAAAAAAAA EEEEEEEECCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNOOOOOOOOMMMMMMMMIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA EEEEEEEENNNNNNNN LLLLLLLLAAAAAAAA CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNSSSSSSSSTTTTTTTTRRRRRRRRUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN

La narración financiera de los proyectos de infraestructura civilLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civilLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civilLa narración financiera de los proyectos de infraestructura civil

ALEX JOSE BRACAMONTE MIRANDA

Ingeniería económica en la construcción

2

ACERCA DEL TEXTO

La presente obra tuvo sus orígenes hacia inicios del año 2004 y se ha llevado más que

sólo este tiempo, medido hasta ahora finales de 2006, en lograr su culminación. Nació

como resultados de las experiencias y destrezas requeridas para impartir docencia en

las clases de los núcleos profesionales del programa de Ingeniería Civil de la

Universidad de Sucre, las que luego fueron fortalecidas a lo largo del ejercicio y del

estudio. Pero sin embargo lo que orienta a la creación del texto es de manera

fundamental el conocimiento referente a la necesidad de un orden diferente para el

manejo de evaluación financiera y económica de proyectos de infraestructura civil a

manos de Ingenieros Civiles, capaces y decididos. Lo que hasta ahora se ha logrado

plantear la inclusión de esta asignatura en el programa de Ingeniería Civil.

El libro inicia con los conceptos básicos de Ingeniería Económica y se detiene con

especial detalle en la valoración y conceptualización del manejo de créditos.

Utilizados en la construcción de edificaciones. Luego se dirige hacia aplicaciones

efectivas hacia la toma de decisiones para proyectos de inversión.

Alex José Bracamonte Miranda

Ingeniero Civil. Esp, MSc


3

Por


Ingeniero Civil

Profesor Asistente

Departamento de Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería

Universidad de Sucre

Sincelejo, Sucre. Septiembre de 2006

Primera Impresión

IIIIIIIINNNNNNNNGGGGGGGGEEEEEEEENNNNNNNNIIIIIIIIEEEEEEEERRRRRRRRIIIIIIIIAAAAAAAA EEEEEEEECCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNOOOOOOOOMMMMMMMMIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA

EEEEEEEENNNNNNNN LLLLLLLLAAAAAAAA CCCCCCCCOOOOOOOONNNNNNNNSSSSSSSSTTTTTTTTRRRRRRRRUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNN

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4


Ingeniería Económica en la Construcción. La narración financiera de los

proyectos de infraestructura civil

2ª impresión. Sincelejo

120 p.

ISBN 978-958-440392-6

Colección: Ingeniería Civil

Tipo de contenido: Libro universitario

Area: Ingeniería Económica

Materia: Actividades generales en la construcción

ISBN: 978-958-440392-6

Portada: Alex José Bracamonte Miranda

E-mail: [email protected]


5

De nuevo a María Isabel … y a mi madre Melania… como siempre, señalándome el

camino


6

Agradecimientos

A Dios, por mantenerme en el camino

A la Universidad de Sucre, por darme una oportunidad

A mis alumnos, por mostrarme que era necesario

A mis amigos nuevamente, a esos amigos míos, por estar siempre junto a mí, aún en

aquellos momentos difíciles cuando el final de este libro no mostraba asomo de salir.


7

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION 11

CCAAPPIITTUULLOO II.. SSOOBBRREE IINNGGEENNIIEERRIIAA EECCOONNOOMMIICCAA

1. CONCEPTOS PRELIMINARES 14

1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 14

1.2 CONCEPTO DE INTERES 15

1.3 TIPOS DE INTERÉS 17

1.3.1 INTERÉS SIMPLE 17

1.3.2 INTERÉS COMPUESTO 18

1.4 FACTORES DE EQUIVALENCIA 18

1.4.1 VALOR FUTURO, PN 20

1.4.2 VALOR PRESENTE, P 22

1.4.3 ANUALIDADES O SERIES UNIFORMES DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL. 24

1.5 INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO Y POR PERÍODO VENCIDO. 27

CCAAPPIITTUULLOO IIII.. CCAAPPIITTAALLIIZZAACCIIOONN DDEE IINNTTEERREESSEESS

2. CLASIFICACION DE LAS TASAS DE INTERES 29

2.1 PÉRIODOS DE CAPITALIZACIÓN. 29


8

2.2 PERÍODOS DE PAGO 29

2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS 35

CCAAPPIITTUULLOO IIIIII.. AAMMOORRTTIIZZAACCIIOONN DDEE CCRREEDDIITTOOSS DDEE CCOONNSSTTRRUUCCCCIIOONN

3. DEVOLUCIONES DE CREDITO 39

3.1 CRÉDITOS EN PESOS. 40

3.1.1 CUOTA FIJA CON ABONO VARIABLE A CAPITAL E INTERESES 40

3.1.2 CUOTA VARIABLE CON ABONO CONSTANTE A CAPITAL 43

4.0 MODALIDADES DE CREDITO 46

4.1 CRÉDITO EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR). 47

4.1.1 VARIACIÓN DE LA UVR 48

CCAAPPIITTUULLOO IIVV.. IINNDDIICCAADDOORREESS FFIINNAANNCCIIEERROOSS DDEE RREENNTTAABBIILLIIDDAADD

5.0 VALOR PRESENTE NETO. 58

5.1 FORMAS DE ALTERNATIVAS PARA DETERMINAR VPN 61

5.1.1. ALTERNATIVAS CON IGUAL LONGITUD DE PERÍODOS O VIDA ÚTIL IGUAL 61

5.1.2 ALTERNATIVAS CON ALTERNATIVAS QUE TIENEN LONGITUDES DE TIEMPO DIFERENTES. 67

6.0 TASA INTERNA DE RETORNO 73

CCAAPPIITTUULLOO VV.. IINNDDIICCAADDOORREESS FFIINNAANNCCIIEERROOSS DDEE OOPPEERRAACCIIÓÓNN YY MMAANNTTEENNIIMMIIEENNTTOO

6.0 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE 81


9

7.1 ESTIMACION DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE EN LOS PROYECTOS 84

7.1.1 ESTIMACIÓN DEL CAUE EN PROYECTOS CON ALTERNATIVAS DE IGUAL DURACIÓN DE VIDA 84

7.1.2 ESTIMACIÓN DEL CAUE EN PROYECTOS CON ALTERNATIVAS DE DISTINTA DURACIÓN DE VIDA 92

CAPITULO VI. TECNICAS Y ANALISIS DE REMPLAZO

8. 1CONSIDERACIONES GENERALES 106

8.2 MODELOS DE AGOTAMIENTO

8.2.1 DEPRECIACION LINEAL 105

8.2.2 DEPRECIACION POR SALDO DRECECIENTE Y DOBLEMENTE DECRECIENTE 105

8.2.3 DEPRECIACION POR SUMA DE DIGITOS

106

8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS

106

8.3 PREMISAS FUNDAMENTALES DE UN MODELO DE AGOTAMIENTO

117

BIBLIOGRAFIA 124


10

INDICE DE GRAFICAS

Gráfica 1. Crédito con variación de períodos de pago y capitalización 32

Gráfica 2. Comportamiento general de un crédito 42

Gráfica 3. Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización 44

Gráfica 4. Comportamiento de saldos e intereses un crédito en pesos 46

Gráfica 5. Comportamiento de un crédito en UVR con variación de períodos 51

Gráfica 6. Excedentes de subrogación en créditos por UVR y en pesos 52

Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento 107

Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo 118

Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación 119


11

INTRODUCCION

Muchas veces hemos emprendido proyectos de construcción de edificaciones y obras

civiles, con un manejo técnico excelente, sin embargo, es probable, y debe así

reconocerse llegado el caso, sin asomo de duda que hemos alejado de la probabilidad

de éxito cada vez que tales proyectos les dado la característica de vulnerables, ya sea

en su totalidad o en parte. Vulnerabilidad que llega en un escenario de movimiento

donde las variables financieras y económicas no se han logrado disponer con excelente

certeza y con necesaria precisión para modelar todas las situaciones derivadas de la

ejecución y operación del proyecto bajos diferentes y supuestas condiciones que en un

momento del futuro definen el accionamiento y funcionamiento del proyecto. Cabe

ahora la pregunta, ¿Cuántos proyectos no han podido validar la certeza de su ejecución

frente a una elección de varia alternativas? Innumerables veces hemos apartado la

acumulación de capital en el tiempo y su influencia sobre la elegibilidad genuina para

dirimir en la elección de alternativas de proyectos de construcción.

¿En cuántas oportunidades hemos hecho a un lado la valoración económica de alguno

que otro componente de costos al realizar una matriz de asignación de variables y

valores a un proyecto?

Surge en este escenario que intentamos abrir, una situación cuya respuesta toca de

manera profunda la ejecución de proyectos en tiempos de antaño. ¿Cómo se ha

manejado la toma de decisiones de inversión en proyectos de construcción, realizados

tanto por el sector público como por el privado?

Este libro ha nacido de la necesidad planteada al interior de un raciocinio que busca

remover las formas anquilosténicas que permitan alcanzar el éxito a este sector de la

economía, como lo es la construcción de edificaciones.

En lo más profundo del texto se enmarca lo sutil, pero necesario como condición

inmediata, de introducir conceptos analíticos para la toma de decisiones de inversión


12

de capital en las actividades gerenciales relacionadas con los proyectos de

infraestructura civil. Los conceptos que se mueven en este texto parten a ser apoyo

para estudiantes y profesionales de la construcción, pero fue definitivamente la

tendencia en el ejercicio de la construcción en la panorámica regional del siglo XX, lo

que direccionó su contenido.

Estoy convencido que definitivamente, a los Ingenieros Civiles nos llega tarde la

transferencia de tecnología de soporte decisivo en la valoración económica de la

construcción. Avanzamos con lentitud hacia la trama del mundo donde se enfrentan el

balance de tareas de una sociedad como muestra de desarrollo económico frente al

liderazgo histórico siempre mantenido por la Ingeniería Civil, trama en la cual es

posible acertar a las mejores situaciones resultantes luego del compromiso de la

Ingeniería Económica discernida y aplicada bajo el escenario de la construcción. Es que

en definitiva no existe, al igual que no ha existido, un proyecto de Ingeniería que no

haya resultado susceptible de ser evaluado económicamente

No le corresponde a los Ingenieros Civiles más que constituirse en líderes de sus

propios campos de acción, ejerciendo el dominio sobre el desarrollo de los pueblos y

con acertado manejo en la toma de decisiones, ser protagonista de un orden de

antiguo legado que sólo hasta hace poco descubre su papel en el aprendizaje y

construcción de la ciencia.


13

Ciertamente la evaluación económica de alternativas a de inversión para proyectos de

construcción, y en general de cualquier proyecto, en ausencia de la Ingeniería

Económica contaría con una gran incertidumbre.

Mediante la Ingeniería Económica es posible valorar el dinero en el tiempo y con ello

valorar las decisiones de soporte para asignación de recursos para la ejecución de un

proyecto bajo diferentes que puede ser modelado para un sinnúmero de

probabilidades. Implica ello un examen y seguimiento de la movilidad de los flujos de

estos recursos a lo largo de la ejecución del proyecto al igual que todas las variables

económicas, financieras y de ejecución de la obra en específico.

Atendiendo a las diferentes alternativas de ejecución de infraestructura, a lo cual se

asocia un costo y un tiempo, resulta importante, además de interesante, aquella

propuesta favorable que hace que la relación inversión y rentabilidad para algunos

proyectos o inversión –beneficios para otros, sea la más atractiva de un proyecto en

particular, aunque haya sido objeto de evaluaciones por formas distintas. Sin lugar a

dudas la Ingeniería Económica es una herramienta para la toma de decisiones.

El ejercicio permanente de la construcción está enfrentado continuamente a la

elección de alternativas, que bajo la premisa que desarrollan igual nivel de servicio y

de respuesta, logren ofrecer las mejores condiciones económicas. No resulta acaso

cierto que la opción de proyecto con una nivelación óptima de recursos de tiempo y de

orden económicos conforme a lo especificado, resulta ser la más favorable.

CAPITULO

SOBRE INGENIERIA ECONOMICA II


14

1. CONCEPTOS PRELIMINARES

1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Los cambios en la economía de finales de siglo, las variaciones en la comercialización

de productos en el entorno internacional han caracterizado cambios interesantes en el

poder adquisitivo de las monedas, medido como una variación a lo largo de tiempo. Se

identifican varias situaciones, una primera corresponde a la diferencia cambiaria entre

varias monedas a nivel mundial, es decir, distintas capacidades adquisitivas. Otra se

dirige hacia la acumulación de nuevos capitales por tenencia de y movilidad de flujos

de dinero.

La carrera hacia la adquisición de capitales, pareciera que acelerase los

comportamientos de la economía, y con ello las actividades de los individuos quienes

encuentran en el manejo del capital, el activo de mayor comercialización. Ello supone

que las sociedades que desean incrementar sus mercados o aumentar sus fuerzas

productivas, deberán adquirir activos de manos de sociedades productoras, al igual

que facilitar el ingreso de capitales de inversión y operación. Este capital es un activo

cuya puesta al servicio permite alcanzar utilidades en órdenes diversos de rentabilidad

económica en función de la clase y de las características de la actividad. Luego una

fuente de capital invertido acumula utilidades dispuestos nuevamente en capital.

Se presentan entonces nuevas inquietudes ¿Qué alternativas me conduce a una mayor

rentabilidad o a menores costos de operación? Para el caso inicial, ya se ha entendido

que las labores de inversión de capital tienen como resultado la obtención de

rentabilidad.

Para el caso de capitales dados en crédito, la generación de utilidades se expresa por

medio de la devolución adicional a la cantidad original prestada, definido estos pagos

en función de una serie de factores para tal caso. Estas acumulaciones que aumentan

la cantidad original de estos capitales, es lo que se denomina interés.


15

1.2 CONCEPTO DE INTERES

Definido un capital C y dado en modalidad de crédito a un usuario para ser devuelto en

un tiempo t compuesto por n períodos, podemos encontrar una serie de relaciones

entre estos elementos.

Luego de un intervalo de tiempo ∆t, la cantidad original ha acumulado ganancia

valorada en una fracción del capital original. Ahora, si el instante inicial es to, el

nuevo período está definido por t= to + ∆t. Transcurrido este tiempo se ha generado

una cantidad i que es función del capital inicial y de los términos en que fue suscrita la

tenencia. Esta cantidad se denomina interés. La tenencia de capital en préstamo tiene

costo, y esto sucede por la simple razón que al disponer tal capital en otra alternativa

de inversión generará una utilidad distinta.

Expresado funcionalmente tenemos:

Para t= to la cantidad inicial en préstamo es C

Para t= to +∆t, la cantidad de capital corresponde a C + interés (I)

El interés generado puede expresarse como una fracción de C, en lo que podemos

aproximarla a fC por lo generado para un intervalo definido, en un período ofrece al

final C + fC, donde f es una variable que identifica la ganancia de interés por período.

Luego, el interés acumulado a lo largo de n períodos de tiempo, puede relacionarse

como cantidad final – cantidad inicial= C+fC-C= fC. Esta es la primera conclusión

importante, nos establece que luego de consumirse los períodos, el capital se ha

acumulado en un valor fC. No es congruente la comparación de dos cantidades de

capital en períodos distinto. Para que esta comparación pueda efectuarse es necesario

que medie una equivalencia entre dos tiempos distintos. Esta equivalencia la

proporciona sólo el interés.


16

Igualar una cantidad de hoy con una dentro de 48 meses, o una de hace 56 meses con

una de hoy, sólo es posible con el interés. Esta premisa nos permite definir muy

sutilmente que cualquiera cantidad de capital dispuesta en la alternativa

correspondiente generará devoluciones agregadas a este capital inicial. Esta la para

toma de decisiones en la inversión de capitales.

Determinar la variación periódica de un capital, debe introducirse el concepto de tasa

de interés. Esta tasa nos permite proyectar y entender la manera como cambia un

valor inicial a lo largo de n períodos. La tasa de interés puede evaluarse a partir de la

ecuación siguiente

100 i interés de Tasa xinicialCantidad

Interés==

El concepto de amplio y masivo uso, tanto en el sector financiero como fuera de él, es

la tasa de interés. Esto se presenta por sólo ella permite actualizar cualquier capital

en cualquier momento.

Veamos la siguiente inquietud.

Ejercicio 1. Un individuo coloca $40’000.000 en una cuenta fiduciaria en septiembre

1. Al cabo de 6 meses retiró el aporte y la fiduciaria le entregó $42’500.000. ¿Cuál es

el interés y tasa de interés causado?

Interés= 42’500.000 - 40’000.000 = 2’500.000

Tasa de interés.00000040

0005002

.'

.'X1OO= 6.25%. Como el período de capitalización es

mensual, la tasa de interés debe expresarse en igual período, es decir, 6

256.=1.041%

mensual


17

Ejercicio 2. ¿Cuál es el interés o cantidad a pagar dentro de un mes por un crédito de

$15’000.000 con tasa de interés del 2.25% mensual?

I=originalCantidad

Interés, luego, el interés corresponde a = 15’000.000 x 0.0225= $337.5000

Establecemos entonces, que el interés I es una cantidad a diferencia de la tasa de

interés i la cual corresponde a un porcentaje.

1.3 TIPOS DE INTERÉS

1.3.1 Interés simple.

Cuando a lo largo de varios períodos se pagan intereses teniendo sólo en cuenta el

capital inicial, estamos frente a interés simple.

Ejercicio 3. Describa la relación de pagos para devolver un préstamo de $10,000,000

pagando intereses durante 5 meses y realizar la devolución al final del período,

tomado a una tasa del 2% mensual simple.

El interés para cada mes está definido por la cantidad equivalente a saldo x tasa de

interés

Mes Saldo Interés Devolución

0 10000000 0

1 10000000 200000 0

2 10000000 200000 0

3 10000000 200000 0

4 10000000 200000 0


18

5 10000000 200000 10000000

Nótese que el saldo no varía a lo largo de los períodos de pagos. A nivel financiero los

pagos se realizan de una manera distinta.

1.3.2 Interés compuesto.

Manejemos el crédito anterior pero añadiendo una diferencia referente con el saldo.

En esta modalidad los intereses generados en un período se acumulan con la cantidad

original y forman el saldo de capitalización para el siguiente período. Este es el tipo de

interés manejado en el sector financiero.

Mes Saldo inicial Interés Saldo

acumulado Devolución

0 10000000 0 10000000 0

1 10000000 200000 10200000 0

2 10000000 204000 10404000 0

3 10000000 208080 10612080 0

4 10000000 212241,6 10824321,6 0

5 10000000 216486,4 11040808,0 11040808,03

1.4 FACTORES DE EQUIVALENCIA

Miremos el comportamiento del flujo de dinero prestado, contemplando la recepción

del préstamo, los abonos de intereses periódicos y la devolución del crédito al final del

período 5


19

Este diagrama se conoce como diagrama de flujo. En el desarrollo de este texto,

tendrá un uso permanente para notación y representación de situaciones. En él los

ingresos, utilidades o dividendos se representan como flechas ascendentes, y los

egresos, pagos o inversiones se denotan como flechas descendentes. Los diagramas de

flujo nos permiten el entendimiento de situaciones donde se involucran

indistintamente inversiones, pagos, retiros y demás transacciones que lleguen a

implicarse.

En el diagrama anterior se observa una inversión Po al inicio de un período 0 y

posteriormente el retiro de cinco cantidades iguales al final de cada período siguiente,

P1, P2, P3, P4 y P5 de manera respectiva.

+

200000

204000

212241 21648

10000000

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

1,000,000

208080

P1 P2

P3 P4 P5

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

P0


20

Ejercicio 4. Construya el diagrama de depósitos de $700.000 que desean hacerse cada

dos años a partir del final del primer año a fin de realizar al final del año 7 el retiro

de todas las cantidades con sus intereses expresado como P

-

Surgen inquietudes respecto a la pronosticar el comportamiento de las cantidades

dispuestas en un flujo específico. ¿Si tengo hoy disponible un monto P para inversión, y

la tasa de interés ofrecida es i evaluada por mes, cuánto tendré dentro de treinta

meses si tomo la decisión de invertir hoy?

1.4.1 Valor Futuro Pn.

Del ejercicio 3 podemos extraer un comportamiento del crédito con monto P frente a

la tasa de interés i. Para el primer período, n=1, el saldo al final del período resulta

ser P + Pi, es decir P1 = (1 + i). Para n=2, el valor se inicia con el saldo final del

período anterior, es decir, P + Pi. Sin embargo al final del período esta cantidad ha

originado un interés en este período de valor (P + Pi)i, con lo que resulta P + Pi+( P +

Pi)i. Solucionando esta ecuación tenemos P+Pi+ Pi+ Pi2, a P(1 + 2i + i2) este es un

producto notable que puede factorizarse como P2 = (1+i)2

Para n=3, el valor de saldo al inicio del período es P + Pi+( P + Pi)i, el cual generará un

interés correspondiente a (P + Pi+( P + Pi)i)i, con ello el saldo final es P + Pi+( P + Pi)i

700000

P

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7

700000 700000

n=6


21

+ (P + Pi+( P + Pi)i), esta ecuación resulta como P(1 + 2i + i2 + i + 2i2 + i3), factorizado

como P(1 + 3i + 3i2 + i3), esto corresponde al producto P3 = P(1 + i)3

Por deducción para otros períodos ∀ n, Pn = (1+i)n

Valor futuro lo definimos como el valor equivalente Pn de un valor actual P

determinado en un período n requerido. Esta ecuación es de mucho valor en la

Ingeniería Económica, pues nos permite hallar la equivalencia entre dos montos,

fijados en períodos distintos mediando de intermedio el interés.

Ejercicio 5. ¿Cuánto dinero acumularé al final de 30 meses, si dispongo ahora de

$15000000 para inversión, a una tasa de 1.5% mensual?

P 15000000

I 1,5% mensual

n 30 meses

23446203,3$)015,01(15000000)1( 303030 =+=+= iPP

P30

n=1 n=2 n=3 n=4 n=30

P=15000000


22

Ejercicio 6. Resolver el ejercicio 3 para determinar el saldo resultante utilizando la

fórmula de valor futuro.

P 10,000,000

I 2% mensual

n 5 meses

11040808$),()( =+=+= 555 0201100000001 iPP .

Para el cálculo del capital acumulado en períodos futuros o hacia atrás, los intereses

que se cobran son compuestos. Nótese la diferencia entre el saldo del ejercicio 6 y el

resultante en el ejercicio 3

1.4.2 Valor Presente P.

Denominado también valor actual y corresponde efectivamente a las sumas de dinero

acumuladas para un período actual o las que corresponden a un período en estudio. No

significa ello que P corresponda exclusivamente a valor correspondiente al período

n=0.

En el cálculo de valores, P corresponde a un valor que puede fijarse en cualquier

período desde el cual se toma como punto de partida para examinar valores que se

encuentran períodos adelante o atrás.

El valor presente puede expresarse mediante la ecuación de valor futuro, de forma

P5

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

P=10000000


23

nn

i

PP

)1( +=

Expresado de otra manera, el valor presente es el equivalente de un valor futuro

evaluado n períodos atrás.

Ejercicio 7. ¿De cuánto dinero debo disponer hoy si deseo tener $23,000,000 para

acceder a la cuota inicial de un apartamento dentro de 10 años, si las tasas de

captación más atractivas están en el orden del 0.2% mensual?

Pn= 23000000

n= 120

i= 0,002

P=12000201

23000000

).( + = $18,O96,777

Obsérvese que el rendimiento es muy lento, pero es posible elegir entre la

presentación de otras acciones con menor tiempo, mayor rentabilidad y sin duda con

una variante del riesgo, el cual es un factor asociado a cada evento Los eventos

presente y futuro se desarrollan en un ambiente de variables y parámetros, lo cual,

para pasar de uno a otro de desarrolla en medio de probabilidad. Los ejercicios

realizados hasta ahora se enmarcan en la probabilidad más alta de realizarse. Sin

23000000

n=1 n=2 n=3 n=80 n=120

P=?


24

embargo es posible que el evento de alcanzar tal posibilidad esté marcado por un

escenario de baja probabilidad.

1.4.3 Anualidades o series uniformes de recuperación de capital.

Analicemos el siguiente flujo del diagrama

Si realizamos un crédito para construcción por $10000000, cual es la cuota mensual

que debemos pagar mensualmente dentro de los siguientes 7 meses para devolver el

crédito, pagando en cada abono, tanto intereses como capital?

La alternativa para solucionar esta situación sólo es posible a través del cálculo de

anualidades. Las anualidades son una serie uniforme y periódica de valores futuros que

discretizan pos la magnitud y la frecuencia. Para el caso de préstamos, la generación

de la cuota es la determinación del pago periódico con el cual se amortizan tanto

intereses del saldo original como abonos al mismo. Para el caso de abonos hacia la

acumulación de un capital futuro, las cuotas mensuales son la expresión del pago

mínimo periódico para acumular tal capital.

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

10000000

n=6 n=7

A A A A

A A A


25

Para poder relacionar P con la serie de valores A, es necesario describir A en función

de P, es decir que a lo largo del tiempo existe equivalencia de forma

∑= +

=n

jni

AP

1 )1(. Ahora es necesario determinar período por período la suma de los

valores futuros A traídos y evaluados en n=0, de manera que la suma algebraica de

ellos sea igual a P

P=nn i

A

i

A

i

A

i

A

)1()1(...

)1()1( 121 ++

+++

++

+ − , multiplicando toda la expresión por )1( i

A

+

132 )1()1(...

)1()1()1( +++

+++

++

+=

+ nn i

A

i

A

i

A

i

A

i

P

Restando de la ecuación anterior la primera, tenemos como resultado:

n=1 n=2 n-2 n-1 n

P

A A A A A

n=1 n=2 n-2 n-1 n

P

A A A A A


26

[ ] [ ]11

111

1

1

11

11

1

1

1

1

1

11

111

1

11

−++=−+

+=

+−

+=

+

+−

+=

++

++

+−=−

+

+

+−

n

nn

n

n

n

n

)i(

)i(PiAfinalmentequeaquíde,)i(

)i(

APi

)i()i(

A

)i(

iP

)i()i(A

)i(P

;)i(

A

)i(

AP

)i(

P

La premisa fundamental de esta deducción es considerar que los pagos se realizan al

final de cada período. Esta expresión hallada es denominada factor de recuperación de

capital y tiene una aplicación enorme, tanto en temas financieros como en los de

evaluación de proyectos de inversión.

Vamos a determinar A en función de Pn

[ ]

[ ]

1)1(

1)1(

)1(

)1(

1)1(

)1(

−+=

−++

+=

−++=

nn

n

n

nn

n

n

i

iPA

i

ii

i

PA

i

iPiA

Una de las aplicaciones de mayor reconocimiento de la anualidad es la obtención de

valores de cuotas o abonos de créditos y en la valoración de costos uniformes anual

equivalentes CUAE, referente a los gastos de operación y mantenimiento en un

proyecto


27

Ejercicio 8. ¿SI empiezo ahorra dentro de un año, cuánto dinero debo consignar

mensualmente durante tres años si deseo tener al final del cuarto año, una cantidad

de $12,000,000 manejando una tasa de interés mensual del 2%?

Aquí debemos relacionar una serie uniforme A con un valor futuro Pn a lo largo de 36

meses. Nótese que la anualidad se comienza a pagar en el momento n=0, con lo cual

se realizarán entonces 37 pagos.

230,794.2$1)02,01(

02,0000,000,12

1)1( 36 =−+

=−+

= x

i

iPA

nn

1.5 INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO Y POR PERÍODO VENCIDO.

Imaginemos el desembolso de un crédito de $10,000,000 a una tasa del 15% anual para

ser devuelto dentro de un año. En esta instancia la condición para acceder al crédito

es el pago anticipado de los intereses, es decir, en el inicio de cada período de pago y

no al final como veníamos trabajando, con lo que del préstamo se descuenta el valor

de los intereses.

n=1 n=2 n=12 n=24 n=36

A A A A

n=0

A

1,500,000

n=1

10,000,000

10,000,000


28

Determinamos efectivamente el interés cobrado.

Luego 1)(1

−= nn

P

Pi , comoquiera que n=1, %64.171176.11

8500000

10000000 =−=−=i . En

los pagos por anticipados, el interés efectivamente cobrado es mayor al que

inicialmente se definía.

Veamos el caso del mismo préstamo con la variante que en éste, los intereses se pagan

al final del período

Luego %.,,

,,i 1511511

00000010

00050011 =−=−= . En efecto, sólo cuando los pagos de intereses

se realizan al final del período, la tasa de interés que se anuncia coincide con la tasa

finalmente cobrada

10,000,000

n=1

10,000,000 +

1,500,000

nn iPP )1( +=


29

2. CLASIFICACION DE LAS TASAS DE INTERES

En la capitalización de intereses, vemos por ejercicio como los depósitos a término fijo

DTF varían diariamente, como la UVR igualmente varía cada día, los préstamos de

diferente índole causan intereses mensuales, es decir, existe distinta longitud para

cobrar intereses por los saldos acumulados.

2.1 PÉRIODOS DE CAPITALIZACIÓN.

Corresponde a la longitud de tiempo o al intervalo temporal en los cuales se causan o

se abonan intereses.

Si el período de capitalización es diario, tal como UVR y DTF, se generan intereses

diariamente. Si este período se vuelve bimestral, cada dos meses deberán pagarse o

abonarse intereses por los saldos acumulados del crédito o del valor dado en custodia.

2.2 PERÍODOS DE PAGO

Corresponde al tiempo de frecuencia de devolución del capital mediante anualidades,

mediante el cual se abona o se pagan las obligaciones.

CAPITULO

CCAAPPIITTAALLIIZZAACCIIOONN DDEE IINNTTEERREESSEESS IIII


30

Si el período pactado con quien concede el crédito es mensual, la obligación deberá

devolverse mensualmente hasta el número de cuotas igualmente pactadas. Si por el

contrario, si para un caso específico, la recuperación de capital se plante a través de

trimestres, cada 3 meses deberán abonarse o cancelarse las obligaciones

correspondientes.

Es necesario e imprescindible que la unidad de tiempo asignada tanto el período de

capitalización coincida con la asignada al período de pagos. Para la entidad que

entrega el dinero en préstamo le es interesante sostener una deuda que crece

diariamente, pero no así resulta para quien la recibe en igual modalidad.

Ejercicio 9. Desarrolle la amortización de un crédito por $10,000,000, entregados a

una tasa semanal del 0.5%. Esta tasa nominalmente equivale a una del 2% mensual, el

cual será devuelto a lo largo de 12 meses. El período de pago es mensual

Valor crédito 10,000,000

Número de períodos n 12

Tasa de interés de capitalización 0,05% Semanal

2% Mensual

Cuota de pago o anualidad $ 836.044,15 Mensual

La tabla de pagos resultante es la siguiente:

Semana Valor Abono de intereses

Abono a capital

Saldo

0 $ 0.00 0 0 $10,000.000.00

1 $ 836,044.15 200000 $ 636,044.15 $ 9,363,955.85

2 $ 9,368,637.83

3 $ 9,373,322.15

4 $ 836,044.15 187466.443 $ 648,577.71 $ 8,724,744.44

5 $ 8,729,106.81

6 $ 8,733,471.37

7 $ 8,733,471.37


31


Abono a capital

Saldo

8 $ 836,044.15 174669.4274 $ 661,374.72 $ 8,072,096.65

9 $ 8,076,132.70

10 $ 8,080,170.76

11 $ 8,080,170.76

12 $ 836,044.15 161603.4152 $ 674,440.73 $ 7,405,730.03

13 $ 7,409,432.89

14 $ 7,413,137.61

15 $ 7,416,844.18

16 $ 836,044.15 148336.8836 $ 687,707.27 $ 6,729,136.91

17 $ 6,732,501.48

18 $ 6,735,867.73

19 $ 6,739,235.67

20 $ 836,044.15 134784.7133 $ 701,259.44 $ 6,037,976.23

21 $ 6,040,995.22

22 $ 6,044,015.72

23 $ 6,047,037.72

24 $ 836,044.15 120940.7545 $ 715,103.39 $ 5,331,934.33

25 $ 5,334,600.30

26 $ 5,337,267.60

27 $ 5,339,936.23

28 $ 836,044.15 106798.7246 $ 729,245.42 $ 4,610,690.81

29 $ 4,612,996.15

30 $ 4,615,302.65

31 $ 4,617,610.30

32 $ 836,044.15 92352.20604 $ 743,691.94 $ 3,873,918.36

33 $ 3,875,855.32

34 $ 3,877,793.25

35 $ 3,879,732.14

36 $ 836,044.15 77594.64286 $ 758,449.51 $ 3,121,282.64

37 $ 3,122,843.28

38 $ 3,124,404.70

39 $ 3,125,966.90

40 $ 836,044.15 62519.33805 $ 773,524.81 $ 2,352,442.09

41 $ 2,353,618.31


32


Abono a capital Saldo

42 $ 2,354,795.12

43 $ 2,355,972.52

44 $ 836,044.15 47119.45039 $ 788,924.70 $ 1,567,047.82

45 $ 1,567,831.35

46 $ 1,568,615.26

47 $ 1,569,399.57

48 $ 836,044.15 31387.99137 $ 804,656.16 $ 764,743.41

Podemos observar en la gráfica 4, el comportamiento de este crédito. Vemos que los

descensos del saldo se realizan mensualmente cuando se efectúan los pagos

correspondientes. Sin embargo para cualquier mes en particular, es posible apreciar

que el saldo existente al momento del pago no coincide con el del siguiente mes. Esto

se explica si se nota que dentro de un mes el saldo se capitaliza semanalmente, con lo

que en un mes se presentan 3 alzas del saldo que corresponden a las líneas con

pendiente ascendente posteriores a cada fecha de pago que aparentemente aparecen

como horizontales

MOVILIDAD DE SALDOS CON UNIDADES DE PERIODOS DE CAPITALIZACION Y PAGO DISTINTOS

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

8000000

9000000

10000000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48

Períodos (semanas)

Saldos ($)

Gráfica 1. Comportamiento de un crédito con períodos de capitalización y pago diferentes.


33

Al finalizar el período 12, la amortización de las anualidades no cierran el crédito,

pues aparece un saldo por valor $ 764.743,41 que deberá pagarse en adición al valor

de propio de la cuota. Es decir, para poder cancelar el crédito, en el último período,

deberán abonarse a la deuda $ 1.600.787,56, en contraste con el valor de la cuota por

$ 836.044,15

Ejercicio 10. Imaginemos un crédito por valor de $1,000,000, el cual tiene período de

pago anual y una tasa de interés del 1% mensual.

El interés a lo largo del año aparentemente corresponde a 12 x 1% = 12%. Esta

premisa sería válida si la modalidad del interés fuera simple, de manera que se

pagase interés por un saldo sin variar a lo largo del crédito, sin embargo el interés

financiero, como habíamos mencionado en el capítulo I, es compuesto. De manera que

a los saldos periódicos, se les suma el interés periódico acumulado. Para este crédito

el interés efectivamente generado es de 12,68% frente a un aparente o nominal del

12%

Que sucedería si el crédito se pagase por períodos quincenales, ¿Cuál sería el interés

efectivamente cobrado

2.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL.

Esta variedad significa que el interés que se pronostica es aparente. En adelante

distinguiremos este interés como r. La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al

final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente

no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una función lineal al cabo

del periodo anual.

La variación de la tasa nominal se determina en función del período inicial y los

períodos o subperíodos de capitalización en estudio.


34

El interés nominal r dado en cada subperiodo puede expresarse como rn para cualquier

período que contenga n subperíodos

Ejercicio 11. Determine la variación del interés subperiódico r=0,21 semanal, en

mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.

Período Subperíodos # de subperíodos

Interés subperíodico Notación

Interés periódico

Mes Semana 4 0,21% 4 x 0,21 0,84%

Bimestre Semana 8 0,21% 8 x 0,21 1,68%

Trimestre Semana 12 0,21% 12 x 0,21 2,52%

Semestre Semana 24 0,21% 24 x 0,21 5,04%

Año Semana 48 0,21% 48 x 0,21 10,08%

Obsérvese que puede pasarse de un subperiodo a un período mayor tanto como de un

período mayor a un subperíodo.

Para el ejercicio anterior, pártase del interés nominal anual y determine las tasas

subperiódicas semestral, cuatrimestral, bimestral, mensual, semanal y diario

Período Subperíodos # de subperíodos

Interés periódico Notación

Interés periódico

Año Semestre 0,5 10,08% 1 x 1/2 5,04%

Año Cuatrimestre 0,333333333 10,08% 1 x 1/3 3,36%

Año Bimestre 0,166666667 10,08% 1 x 1/6 1,68%

Año Semana 0,020833333 10,08% 1 x 1/48 0,21%

nrr xn =


35

Año Día 0,002739726 10,08% 1 x 1/365 0,03%

El interés nominal se expresa mencionando solo el valor de la tasa y el período de

capitalización, 2% mensual, 1.2% quincenal

2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

Las tasas efectivas corresponden al interés verdaderamente cobrado o abonado para

una operación definida. Es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre

y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés

periódica pactada inicialmente. Por lo tanto la tasa efectiva anual es una función

exponencial de la tasa periódica.

Estas tasas se expresan enunciado el valor de la tasa respectiva, seguida del período

de pago y del período de capitalización. Otra forma de expresar este interés es

enunciar la tasa de interés correspondiente, complementado por la palabra efectiva y

seguida del período de pago.

1.2% mensual x mes

4,6% cuatrimestre por mes

13% anual x año

1,2% efectivo mensual

4,6% efectivo cuatrimestral

13% efectivo anual.

Estas notaciones muestran una congruencia entre los períodos de capitalización y de

pago. Las tasas efectivas varían exponencialmente en la medida que suben o

descienden subperíodos, al contrario de la forma aritmética de las tasas nominales


36

Al final de un período n, la tasa nominal se habrá aumentado en un valor (1+i) y la

tasa efectiva habrá variado (1+ri)n, donde ri es la tasa subperiódica. Con lo cual al

igualar estos montos deberán ser iguales, de manera que

(1+i) =(1+r)n

i= (1+ri)n-1,

Pero si cuando se desciende en subperíodos, la ecuación toma la forma

1)r(1 i1

i −+= n .

Al tener un período n subperíodos, es posible deducir en orden contrario que un

subperiodo contiene a la vez n

1períodos.

Algunos autores expresan las tasas nominales mediante le siguiente expresión.

1)r

(1 i1

o −+= n

m, donde ro es la tasa de interés nominal en estudio y m es el número de

veces que se capitaliza ro dentro de un período n. Interesa tener claro que tanto ri como

m

ri corresponde a la tasa de interés que efectivamente se capitaliza de manera

subperiódica en definidos subperíodos de pago.

Ejercicio 12. Determine la variación de las tasas efectivas del interés semanal

mostrado en el Ejercicio 14 evaluado para los mismos períodos.

Período Subperiodo # de subp

Interés subp

Notación Interés periódico

Denominación

Mes Semana 4 0,21% 1002101 4 −+ ),( 0,843% efectivo mensual


37

Bimestre Semana 8 0,21% 1002101 8 −+ ),( 1,692% efectivo bimestral

Trimestre Semana 12 0,21% 112002101 −+ ),( 2,549% efectivo trimestral

Semestre Semana 24 0,21% 1002101 24 −+ ),( 5,164% efectivo semestral

Año Semana 48 0,21% 1002101 48 −+ ),( 10,594% efectivo anual

Obsérvese que existen diferencias entre los valores nominales y las tasas efectivas

correspondientes a períodos iguales señalados indistintamente en ambos ejercicios.

Ejercicio 13. Describa las variaciones de una tasa de interés mensual del 2.0 % y

realice la comparación entre los valores nominales y efectivos para los mismos

períodos

Interés nominal mensual 2,00%

Subperíodo Período # de

subperíodos Notación nominal

Interés nominal

Notación efectiva

Interés efectivo

Mensual Bimestre 2 2 x 0,02 4,000% 1)02,01( 2 −+ 4,040%

Mensual Trimestre 3 3 x 0,02 6,000% 1)02,01( 3 −+ 6,121%

Mensual Cuatrimestre 4 4 x 0,02 8,000% 1)02,01( 4 −+ 8,243%

Mensual Semestre 6 6 x 0,02 12,000% 1)02,01( 6 −+ 12,616%

Mensual Anual 12 12 x 0,02 24,000% 1)02,01( 12 −+ 26,824%

Mediante este ejercicio es necesario observar la diferencia en las tasas acumuladas de

interés para un determinado período. Esta situación es clara: Las tasas efectivas se

calculan mediante fracción exponencial, mientras que las tasas nominales se expresan

de forma aritmética


38

Ejercicio 14. ¿A cuanto ascenderá una deuda de $7,000,000 dentro de 18 meses

tomados a una tasa efectiva del 1.6% anual liquidado por mes?

Es necesario determinar la tasa de interés efectivo anual por año, decir, la tasa

correspondiente a un período de pago de un año y período de capitalización anual.

%,),( 9820101601 12 =−+=anualxaño

i

Como el período de capitalización es anual, el número de períodos n es 1,5.

Luego 9,314,698$),( , =+= 51209801n

P

7,000,000

n=1

Pn

n=1,5


39

Es imprescindible obtener las influencias de orden financiero y económico que se

suscitan por la posesión de crédito, para definir de forma muy certera el proceso de

evaluación económica de un proyecto de construcción.

La tenencia de un crédito trae inmersa una trama de situaciones que pueden volverse

complejas. Es también posible que manejadas deficientemente pueden ofrecer el

fracaso financiero y económico de un proyecto de construcción.

Los créditos de construcción en Colombia están regulados y la modalidad y términos de

manejo están definidos por normas. Para construcción de edificaciones, los créditos

están presentes en una modalidad distinta de los créditos para adquisición de activos

tal como veremos más adelante

Tener un crédito para construir edificaciones tiene un costo que debe ser estudiado en

la generación de costos totales del proyecto y finalmente incluido dentro del área

vendible.

3. DEVOLUCIONES DE CREDITO

Los créditos se retornan mediante pagos de una serie uniforme o cuotas que se pagan

periódicamente a lo largo de una longitud de período n en el cual la tasa de interés

CAPITULO

AMORTIZACION DE CREDITOS DE CONSTRUCCIÓN IIIIII


40

puede mantenerse fija o variable de acuerdo a lo que se exprese en los iniciales

suscritos.

3.1 CRÉDITOS EN PESOS.

Los créditos en pesos implican una devolución del crédito a partir del cálculo de una

serie de cuotas tomando como valor presente el valor en pesos del crédito en estudio.

Los créditos para construcción de edificaciones no se efectúan en pesos de acuerdo a

la legislación colombiana. Sin embargo los créditos para compra de inmuebles o

diferentes activos, están presentes en pesos

Lo interesante al tomar un crédito, en cualquiera modalidad, se define por la manera

como se comportan los saldos de la deuda tras los pagos periódicos.

Para todas las modalidades de crédito existen muchas formas de devolver el monto

prestado

3.1.1 Cuota fija con abono variable a capital e intereses.

En esta modalidad se calcula la cuota de pago a lo largo del crédito. Los abonos a

intereses se causan sobre el saldo del período inmediatamente anterior. El excedente

de la cuota sobre este valor es el abono a capital.

El pago de cuotas mediante el sistema de anualidades calculadas con base en el valor

presente del crédito P tomado en el período n=0, la tasa de interés i al momento de

tomar el crédito y la longitud total de tiempo. Calculadas las anualidades con base en

el valor presente o futuro se desarrolla en la serie aportes periódicos al capital y pago

de intereses al saldo de la deuda que se amortizan de cuota a cuota.


41

Ejercicio 15. Calcule la serie de pagos para un préstamo de $10,000,000 a ser

devuelto mediante cuotas iguales en un plazo de 12 meses a una tasa de interés del 2%

mensual.

P= 10000000, n= 12 e i= 0,02%

A en función de P, con una tasa de interés i, n períodos, se denota como (A/P,i, n)

[ ] 945.595,97 $10201

02010200000001012

12

=−++=

),(

),(x,x,,A

Realicemos ahora la tabla de amortización de intereses y abonos a capital

Tabla 1. Tabla de amortización de pagos

No de

cuota Valor

Abono de

intereses

Abono a

capital Saldo

0 10000000

1 $ 945.595,97 200000 $ 745.595,97 $ 9.254.404,03

2 $ 945.595,97 185088,081 $ 760.507,89 $ 8.493.896,15

3 $ 945.595,97 169877,923 $ 775.718,04 $ 7.718.178,10

4 $ 945.595,97 154363,562 $ 791.232,40 $ 6.926.945,70

5 $ 945.595,97 138538,914 $ 807.057,05 $ 6.119.888,65

6 $ 945.595,97 122397,773 $ 823.198,19 $ 5.296.690,46

7 $ 945.595,97 105933,809 $ 839.662,16 $ 4.457.028,30

8 $ 945.595,97 89140,566 $ 856.455,40 $ 3.600.572,90

9 $ 945.595,97 72011,458 $ 873.584,51 $ 2.726.988,39

10 $ 945.595,97 54539,7678 $ 891.056,20 $ 1.835.932,19

11 $ 945.595,97 36718,6438 $ 908.877,32 $ 927.054,87

12 $ 945.595,97 18541,0974 $ 927.054,87 $ 0,00


42

Expliquemos la cuota 1. El abono a intereses en la tercera columna corresponde al

producto del saldo acumulado en el período anterior n=0 por la tasa de interés, esto es

$10,000,000 x 0,02=$200,000. El abono a capital de la cuarta columna se obtiene al

restar el valor pagado en la cuota del abono de intereses, ello es, $945,595.97 –

$200,000=$745,595.97

La gráfica siguiente muestra el comportamiento de este crédito

COMPORTAMIENTO DE UN CREDITO EN PESOS

y = -10540x2 - 689142x + 1E+07

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

0 2 4 6 8 10 12

Períodos de pago (meses)

Saldo ($)

Gráfica 2. Comportamiento general de un crédito

El movimiento de datos en la serie del crédito nos muestra que el comportamiento no

corresponde a una línea recta sino a una curva polinomial. La ecuación que rige este

caso en específico es y=-10540X2 – 68912X + 10000000, donde x es define los períodos

de pago y la variable y define los saldos de la deuda. Esta serie de valores no presenta

dispersión frente a la línea de tendencia teniendo un coeficiente de correlación de 1.

Si buscáramos una línea de tendencia lineal, la recta más cercana a estos valores,

tiene ecuación y = -832735x + 1E+07, con un coeficiente de correlación de valor

0,9989, presentando dispersión de datos respecto a la primera del 0,11%.Por ello

trabajaremos con la primera ecuación.


43

3.1.2 Cuota variable con abono constante a capital

En esta opción el valor de la cuota es reajustado periódicamente. Solo es constante el

valor del aporte que se hace al capital. El abono de intereses se realiza igualmente

sobre los saldos del período inmediatamente anterior.

El aporte a capital se obtiene de dos formas. La primera es el cociente entre el monto

del crédito sobre el número de períodos de pago

períodosdeNúmero

prestadovalorAporte =

La segunda forma resulta de tomar un valor definido de aporte al capital, con lo cual

el número de períodos se calcula por el valor prestado sobre el aporte en cuestión

Ejercicio 16. Realice el listado de amortización del crédito presentado en el Ejercicio

2 mediante el sistema de abono constante a capital para a) 12 períodos de pago y b)

un aporte definido por el cliente de $500.000

Primera forma

Valor del aporte fijo= 333,83312

000,000,10 =

Aporte fijo 833333,3 No de cuota Valor cuota Abono de

intereses Abono a capital

Saldo

0,0 10000000,0 1,0 1033333,3 200000,0 833333,3 9166666,7 2,0 1016666,7 183333,3 833333,3 8333333,3 3,0 1000000,0 166666,7 833333,3 7500000,0 4,0 983333,3 150000,0 833333,3 6666666,7 5,0 966666,7 133333,3 833333,3 5833333,3 6,0 950000,0 116666,7 833333,3 5000000,0 7,0 933333,3 100000,0 833333,3 4166666,7 8,0 916666,7 83333,3 833333,3 3333333,3


44

No de cuota Valor cuota Abono de intereses

Abono a capital

Saldo

9,0 900000,0 66666,7 833333,3 2500000,0 10,0 883333,3 50000,0 833333,3 1666666,7 11,0 866666,7 33333,3 833333,3 833333,3 12,0 850000,0 16666,7 833333,3 0,0

Y mediante la segunda forma

Valor del aporte fijo 500000,0

Número de períodos n 20,0

No de cuota Valor cuota Abono de

intereses Abono a capital

Saldo

0,0 10000000,0

1,0 700000,0 200000,0 500000,0 9500000,0

2,0 690000,0 190000,0 500000,0 9000000,0

3,0 680000,0 180000,0 500000,0 8500000,0

4,0 670000,0 170000,0 500000,0 8000000,0

5,0 660000,0 160000,0 500000,0 7500000,0

6,0 650000,0 150000,0 500000,0 7000000,0

7,0 640000,0 140000,0 500000,0 6500000,0

8,0 630000,0 130000,0 500000,0 6000000,0

9,0 620000,0 120000,0 500000,0 5500000,0

10,0 610000,0 110000,0 500000,0 5000000,0

11,0 600000,0 100000,0 500000,0 4500000,0

12,0 590000,0 90000,0 500000,0 4000000,0

13,0 580000,0 80000,0 500000,0 3500000,0

14,0 570000,0 70000,0 500000,0 3000000,0

15,0 560000,0 60000,0 500000,0 2500000,0

16,0 550000,0 50000,0 500000,0 2000000,0

17,0 540000,0 40000,0 500000,0 1500000,0

18,0 530000,0 30000,0 500000,0 1000000,0

19,0 520000,0 20000,0 500000,0 500000,0

20,0 510000,0 10000,0 500000,0 0,0


45

Veamos ahora cual es la diferencia entre las dos opciones. La selección de una de estas

alternativas responde al comportamiento de los intereses sobre el saldo de la deuda

Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización

0

50000

100000

150000

200000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Períodos (meses)

Abo

nos de

interés ($)

a

b

variable

Gráfica 3. Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización

En la gráfica 3 es posible observar los comportamientos de pago de intereses bajo las

tres formas vistas de amortización. La línea superior y media representan la segunda y

primera forma para cuota variable de pago. La línea inferior corresponde a una forma

de pago mediante cuota fija.

Comoquiera que ambos trazos, son líneas de función, es posible determinar las áreas

cubiertas por cada una de ellas. La integración definida entre 0 y 12 nos permite

concluir que el área mayor corresponde a la línea que corresponde a la primera forma

de pago con cuota variable. Ello quiere decir que en esta forma se abona mayor valor

de intereses que en las restantes.

A nivel financiero es más frecuente encontrar la devolución de crédito en cuotas

variables desarrolladas a partir de la primera forma descrita en el numeral 3.1.1


46

4. MODALIDADES DE CREDITO

Estudiemos la gráfica 1. Para un período n=0, el saldo de la deuda tiene valor igual al

monto original prestado por cuanto no se ha realizado abonos de capital.

Para n= 1, el saldo ha decrecido de acuerdo a la función inn Ass −= −1 , donde sn es el

saldo para un período cualquiera n, sn-1 corresponde al saldo del período

inmediatamente anterior a n y Ai es el aporte al capital original prestado

El comportamiento de abono de intereses es contrario al del abono a saldos. El pago

máximo de intereses está dado para n=0, donde el valor del saldo es máximo. En este

período el aporte a capital es mínimo. Para el período final n el pago de intereses se

ve reducido al valor mínimo, mientras que el aporte a capital en este mismo período

es el valor más alto.

COMPORTAMIENTO COMBINADO DE INTRESES Y APORTES AL CAPITAL PRESTADO

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Períodos de pago (meses)

Valores ($)

Intereses

Aport es

Gráfica 4. Comportamiento de saldos e intereses un crédito en pesos


47

4.1 CRÉDITO EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR).

En un crédito en pesos sólo se devuelve el interés generado. Sin embargo en el

escenario financiero colombiano los valores entregados en préstamos relacionados para

la construcción, el interés no es suficiente para mantener equivalente el monto

original a lo largo de n períodos. De acuerdo a ello, es necesario, que el dinero

prestado una vez termine el período de devolución posea la misma capacidad

adquisitiva dada en el período n=0, esta es la llamada indexación que en Colombia se

conoce como corrección monetaria. No es simple la equivalencia económica que

permita definir la paridad de poder adquisitivo en dos períodos distintos.

En Colombia la unidad tomada para la indexación de la operaciones de construcción se

inició en 1972 con el UPAC (unidad de poder adquisitivo constante), el cual sólo hasta

1976 conservaba aún la filosofía básica de esta medida. A partir de esta fecha se

introdujeron modificaciones para las tasas máximas de la corrección monetaria que la

llevarían a un caos de tomadores de créditos inmobiliarios, tomadores de créditos de

construcción y el sector financiero años más tarde con lo cual el sistema no tuvo un

final feliz entre usuarios, entidades bancarias y el Estado debido fundamentalmente a

la manera de medición de la corrección monetaria. A lo largo de la existencia del

sistema UPAC, se dieron muchas maneras de medir y correlacionar el valor de las tasas

de corrección monetaria.

La UVR fue el dispositivo que reemplazó al antiguo Sistema de Colombiano de Ahorro y

Vivienda de valor Constante mediante la ley 546 de 1999.

El comportamiento de los excedentes por pago de intereses es una cualidad

importante a observar cuando se toma un crédito, pues nos permite elegir entre las

variantes de créditos existentes. Nos ofrece un punto de comparación entre dos

modalidades, los créditos en pesos como el anterior y los realizados por UVR

(antiguamente por UPAC)


48

La unidad de valor real UVR es una unidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo

de la moneda, con base exclusivamente en la variación del índice de precios al

consumidor certificado por el DANE, cuyo valor será establecido por la Junta Directiva

del Banco de la República.

La UVR hoy 26 de Junio de 2006, tiene un valor de $157,21. Cuando un usuario

adquiere créditos o realiza abonos mediante este sistema, se hace la transferencia de

la cantidad en cuestión al número equivalente de UVR en la fecha de la transacción.

De esta forma el banco pagará o recibirá intereses sobre una tasa de interés en uso

que se efectuará sobre la transacción en cuestión, expresada en UVR, y devolverá las

cantidades en depósito o recibirá las obligaciones crediticias, por el equivalente en

pesos que tenga la transacción en el día de la acción, liquidando la UVR con el valor de

ese día.

Los créditos utilizados para la financiación de proyectos de construcción son

efectuados bajo esta modalidad. El constructor traslada al comprador del inmueble

parte de esta deuda como se verá más adelante.

En este tipo de créditos además del pago de los intereses por la tenencia del capital

debe indexarse otro concepto. El de corrección monetaria, esto es la pérdida de poder

adquisitivo por la inflación. Este concepto se expresa mediante la actualización

permanente el valor de la UVR en cada período, ajustando el saldo de la deuda al valor

resultante de dicha actualización.

4.1.1 Variación de la UVR

La variación de las tasa de corrección monetaria está a cargo de la Junta Directiva del

Banco de la República.

La variación de la UVR hace que este valor actualizado en pesos sea tomado dentro de

los costos de los proyectos. Ello implica que los costos generados por concepto en los


49

créditos de construcción se vean reflejados en el valor de la unidad de venta del

producto en ensayo de construcción. Indudablemente que se traduce en un aumento

del valor de los inmuebles.

Las totalidad de los valores pagados por concepto de la corrección monetaria se

conocen como excedentes de subrogación. Cabe repetir que el pagador de esta

obligación es el constructor.

Ejercicio 17. Calcule las variaciones periódicas de un crédito de construcción por

$40,000,000 que se entregará mediante 5 desembolsos bimestrales a partir del mes 1

de iniciado el proyecto. La tasa de interés es del 1,5% efectivo mensual. El valor de la

UVR en el momento de tomar el crédito es de $161.50 y se prevé una variación

mensual del 1,2%. El crédito deberá devolverse al final del último período.

El monto del crédito en UVR está dado por el cociente

UVR,,

,,$

nenUVRladevalor

pesosencréditodelvalor019247678

50161

00000040

0==

=

No de desembolso

Mes Variación UVR

Saldo UVR

Valor deuda sin intereses

Intereses

0 161.5 247678.0 40000000.0 1209000.0 1.0 1 163.4 247678.0 40480000.0 1223508.0 2.0 3 165.4 247678.0 40965760.0 1238190.1 3.0 5 167.4 247678.0 41457349.1 1253048.4 4.0 7 169.4 247678.0 41954837.3 1268085.0 5.0 9 171.4 247678.0 42458295.4 1283302.0

Vemos que además del interés de $1,283,302, el acreedor deberá retornar un valor de

$2,458,295 por concepto de indexación monetaria.

Para cualquier período el valor de la UVR está definido por la

expresión nnn UVRUVR )1(1 ∆+= − donde:

UVRn corresponde al valor de la UVR en el período deseado


50

UVRn-1 es el valor de la UVR en el período inmediatamente en el período anterior al

período en estudio y ∆ es la variación periódica de la UVR

Ejercicio 18. Un constructor recibe la aprobación de un crédito por $100,000,000, a

una tasa del 16% anual. Bajo las políticas del banco, el constructor deberá iniciar el

proyecto con sus aportes, los cuales corresponden al 30% del costo total del proyecto y

el crédito el 70%. Se estima que haya invertido su aporte dentro de tres meses, con lo

cual el banco entregará el 50% del crédito, es decir, $50,000,000. El saldo lo entregará

cuatro meses después. La UVR en el momento del desembolso tiene valor de $151,75 y

se espera una variación del 18% anual.

Determine la amortización de este crédito tomado a 10 años mediante devoluciones

anuales

Valor desembolso 1 50,000,000 Número de períodos n 10 Tasa de interés 16.00% anual Valor UVR 151.75 Variación 1.50% Valor crédito en UVR 329489.29 Anualidad o cuota mensual 68,171.6 En UVR Análisis en la entrada del primer desembolso No de cuota

Valor cuota UVR

Valor cuota pesos

Abono de intereses

Abono a capital

Saldo UVR

Variación UVR

Valor deuda

0.0 329489.3 151.8 50000000.0 1.0 68171.7 10500230.0 52718.3 15453.4 314035.9 154.0 48369770.0 2.0 68171.7 10657733.4 50245.7 17925.9 296109.9 156.3 46292833.8 3.0 68171.7 10817599.4 47377.6 20794.1 275315.8 158.7 43687583.1 4.0 68171.7 10979863.4 44050.5 24121.2 251194.7 161.1 40457897.0 5.0 68171.7 11144561.4 40191.1 27980.5 223214.1 163.5 36490566.5


51

Análisis en la entrada del primer desembolso Valor desembolso 2 50,000,000 Número de períodos n 5 Tasa de interés 16.00% Valor UVR 163.5 Variación 1.50% Valor crédito en UVR 305851.84 Cuota adicional 93410.02 529066.0

No de cuota

Valor cuota UVR

Valor cuota pesos

Abono de intereses

Abono a capital

Saldo UVR

Variación UVR

Valor deuda

6.0 161581.7 26811255.9 84650.6 76931.2 452134.8 165.9 75022737.1 7.0 161581.7 27213424.7 72341.6 89240.1 362894.7 168.4 61118346.0

8.0 161581.7 27621626.1 58063.1 103518.

6 259376.1 170.9 44339114.4

9.0 161581.7 28035950.5 41500.2 120081.

5 139294.6 173.5 24168922.8

10.0 161581.7 28456489.8 22287.1 139294.

6 0.0 176.1 0.0

Observaciones:

El valor de la cuota en pesos varía de acuerdo a la movilidad de la UVR.

Los intereses se liquidan multiplicando la tasa mensual sobre el saldo del período

anterior.

El aporte de capital resulta de restar de la cuota mensual el valor de los intereses.

El saldo en cada período viene dado por el saldo del período anterior menos el aporte

a capital en este período.

Para este caso, en el cual el período de retorno es menor a un año, la variación de la

UVR en los saldos aparece poco perceptible. Sin embargo en la medida que estos


52

créditos tomen períodos largos, como los correspondientes a financiación de vivienda,

el comportamiento del crédito cambia drásticamente. Nótese en la siguiente gráfica la

variación del saldo en función de la variación de períodos para las mismas variables de

crédito.

VARIACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE CRÉDITOS EN UVR FRENTE A LA VARIACIÓN

DE LOS PERÍODOS DE PAGO

0

25000000

50000000

75000000

100000000

125000000

150000000

175000000

200000000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Períodos (meses)

Saldos ($) 120

72

48

24

Gráfica 5. Comportamiento de un crédito en UVR variando la longitud del período de

devolución

Obsérvese que en la medida que crece la longitud del período de pagos el saldo de la

deuda se amplifica grandemente. Miremos con detenimiento esta situación.

El valor inicial de la UVR era de $151.75 para el período 0 y alcanza el tope de $905,04

correspondientes al período 120, esto significa un factor de escala aproximado de 1,7

veces el saldo inicial para n=0. De hecho es la variación de la UVR lo que condiciona el

uso de este sistema, pues la variación por encima de la inflación en los años 1990, fue

lo que determinó la caída del sistema predecesor, el UPAC. Ello implica la

imposibilidad de atender un pago de una deuda con un saldo que se incrementa más


53

rápido que la variación de los ingresos, haciendo insostenible la serie de pagos

respectivos

Estos créditos sólo son atractivos si el gobierno, en quien está el control de la variación

de la UVR, mantenga con mínima variabilidad los valores de la UVR.

En la gráfica 6 se muestra la diferencia existente entre un crédito en pesos y otro en

UVR, manejando los mismos parámetros en ambos eventos que a continuación se

esquematizan

Valor crédito $100000000

Número de períodos n 60 y 120

Tasa de interés mensual 1,33%

Valor UVR 151,75

Variación mensual UVR 1,50%

Valor crédito en UVR 658978,58

VARIACION DE SALDOS DE CREDITOS EN PESOS Y EN UVR VARIANDO LOS PERIODOS DE PAGO

0

20000000

40000000

60000000

80000000

100000000

120000000

140000000

160000000

180000000

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

Períodos (meses)

Saldo ( $) UVR 60

$ 60

UVR 120

$ 120

Area de excedencia de pago para 120

períodos

Area de excedencia de pago para 60 períodos

Gráfica 6. Excedentes de subrogación en un crédito por UVR para construcción


54

La diferencia entre un crédito en pesos y otro en UVR manteniendo las mismas

restricciones es notoria en la medida en que la variación de la UVR tenga altos valores.

Mediante el uso de los créditos en UVR se agrega un nuevo concepto relacionado con la

corrección monetaria, los denominados excedentes de subrogación. Este concepto es

la excedencia que le corresponde pagar al constructor por el uso de un crédito para

construcción. Estos valores pueden tener gran magnitud. Veamos en que proporción se

encuentran estas cantidades. Comoquiera que no se pueden comparar dos montos de

capital en períodos distintos, procederemos a obtener las áreas que cubre cada una de

los grupos de curva que se presentan en el Ejercicio.

Grupo 1. Créditos a 60 cuotas.

Para la curva superior, se ha encontrado una línea de tendencia polinómica de tercer

grado que se aproxima a la movilidad de la serie de datos. Esta línea señala una

ecuación y = -582,02x3 + 4552,9x2 + 157796x + 1E+08, con r= 0,9999 es decir existe

dispersión de datos en un orden de aproximadamente 0,01%

Para la línea inferior, la cual señala el comportamiento de un crédito en pesos, se ha

determinado una línea de tendencia con ecuación y = -10878x2 - 997542x + 1E+08 con

r=1

Al integrar las funciones entre límites de 0 y 60, se encuentra que la curva de UVR

encierra un área correspondiente a 4,726,096,800 u2, mientras que la curva del crédito

en pesos muestra un área equivalente a 3,421,208,400 u2. La relación entre estas áreas

tiene valor de 1,38. Ello implica que para 60 meses los intereses de subrogación

corresponden a un 38% de los que se pagaría si el crédito se realizara en pesos.


55

Grupo 2. Crédito a 120 cuotas.

En la medida que aumenta el número de cuotas o períodos para devolver el crédito, la

modalidad por UVR se aleja de un comportamiento cuadrático, como el de los créditos

en pesos y sólo se puede aproximar mediante una ecuación cúbica.

El crédito en UVR genera una línea de tendencia cúbica de ecuación y = -426,45x3 +

45618x2 - 134596x + 1E+08, con r=0,9909. Esta curva encierra un área de

151,99,708,800 u2.

El crédito en pesos posee una línea de tendencia cuadrática con ecuación y = -5210,4x2

- 175804x + 1E+08 y r=0,9903. Esta curva genera un área correspondiente a

7,733,020,800 u2. El cociente entre estas dos áreas es de 1,97. Mediante ello, podemos

inferir que el excedente de subrogación del crédito en estudio, corresponde al 97% en

exceso si la obligación fuese tomada en pesos.

4.1.2 Ejercicios proyectados

I. Cuanto dinero tendré acumulado en quince años si empiezo a pagar durante cada año una cuota de U$ 2800, los cuales reportan una tasa del 12% anual. Estas operaciones son registradas en el exterior, pero por ser en el ámbito de seguros, no generan impuestos que disminuyan el saldo. II. Cuál es la cuota que debo empezar a ahorrar desde hoy hasta los próximos 24 meses para acumular $15,000.000 bajo un rendimiento del 0,8% mensual. III. Cuanto dinero habré acumulado luego de depositar $2,000,000 cada mes durante 6 meses y desde el mes 7 hasta el 15 depósitos de 3,000,000 cada dos meses. La tasa de colocación es del 0,9% mensual. IV. Si presté $15,000,000 que deben de ser devueltos en una cuota dentro de 6 meses, y se cobra de forma anticipada $2,000,000. ¿ Que tasa se está pagando? V. Cuando podré retirar $7,000,000 de una cuenta a la que le abono a partir de ahora $500,000 cada mes y $1,500,000 cada tres meses, si manejo una tasa mensual del 0,9%? V. En un ahorro programado se venía ahorrando $2,000,000 durante 8 meses a una tasa de 0,8% mensual. En el mes 10 se requieren retirar $19,000,000 para pago de materiales.¿Es posible que el dinero ahorrado alcance para pagar esta obligación? VII. Una empresa de acueductos tiene como ingreso el cobro tarifario mensual a una población de 15000 usuarios. Los costos mensuales de administración están en el orden de


56

$70,000,000 por mes y los operativos corresponden a $30,000,000. ¿Cuánto debe ser el ingreso tarifario por usuario para no entrar en pérdida, es decir para que los ingresos no sean menores a los egresos? VIII. Una deuda tiene un saldo de $12,000,000 a la fecha de hoy. Si el pago es mensual por valor de $1,500,000. Cual será el saldo de la deuda dentro de 3 meses si la capitalización de intereses se hace por períodos quincenales a una tasa de 0,65% quincenal IX. Para ejecutar una remodelación a un bloque de apartamentos se requiere un préstamo de $70,000,000. Realice el programa de amortizaciones bajos las siguientes condiciones.

a) Cuota única fija a lo largo del plazo de 18 meses, con una tasa de 1,4% mensual. Cuota única fija a lo largo del plazo de 18 meses, con una tasa de 1,4% mensual y se

presenta un abono de $15,000,000 en los meses 6 y 12. Plante la amortización restante a

las mismas cuotas y determine cuál es la nueva longitud de período. Por otro lado planteo

como segunda opción el cálculo de una nueva cuota a partir de cada abono para el mismo

tiempo


57

La construcción de edificaciones y obras civiles en general al igual que la operación de

sistemas construidos, son etapas que han superado con anterioridad instancias de la

evaluación económica. Supone la construcción, dos cosas.

Una, correspondiente al evento en el cual el proyecto construido, devuelve la inversión

realizada con ganancias acumuladas sobre este original. En este caso el proyecto posee

rentabilidad económica que hace atractivo invertir en él. Interesante es comparar

entre varias alternativas cuál posee mayor rentabilidad.

No con todos los proyectos se busca rentabilidad económica. Para el caso de las

inversiones sociales realizadas por el Estado en materia de infraestructura, no existen

objetivos de lucro en la construcción. Este tipo de proyectos busca satisfacer

necesidades para el desarrollo de una comunidad entre otros objetivos y metas. De

esta manera, la evaluación económica deberá estudiarla factibilidad de la operación

del sistema a lo largo de su vida útil. Este el caso de acueductos, alcantarillados,

sistema de manejos de residuos sólidos, carreteras, puentes, etc.

Se recurre a la evaluación económica de proyectos de construcción para establecer

parámetros denominados indicadores que conduzcan a decisiones sobre la inversión. La

toma de decisiones es uno de los sectores estadísticamente más complejo cuando se

asocia con el riesgo. El riesgo establece variantes condicionales sobre tomar decisiones

frente a un u otro evento como se verá en el capítulo final.

CAPITULO

INDICADORES FINANCIEROS DE RENTABILIDAD IIVV


58

La evaluación económica se realiza sobre todas las variables relacionadas con los

ingresos y egresos de un proyecto de construcción en un tiempo previo a la ejecución.

Ello quiere decir que la toma de decisiones es posterior a la evaluación pero anterior a

la construcción en sí.

5.0 VALOR PRESENTE NETO.

Si se invierte hoy un valor P, y se proyecta que dentro de 2 meses recibiré una fracción

de P sumado con dividendos ocasionados en estos períodos en un valor generado P1, y

finalmente a los 6 meses se reintegrará el final mediante un valor P2 el capital final y

el rendimiento respectivo. La pregunta interesante es ¿Cuánto me representa en pesos

de hoy tomar la decisión de invertir?

Realicemos una suma algebraica de toso los valores concurrentes en n=0. Para ello es

necesario trabajar con equivalencias de cantidades. Los valores futuros P2 y P5

deberán expresarse en términos de valor presente

Valor presente de P5= 55

)1( i

P

+

Valor presente de P2= 22

)1( i

P

+

La suma de estos valores debe ser igual a P.

P5

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

P

P2


59

P= 0)1()1()1()1( 2

25

52

25

5 =−+

++

⇒+

++

Pi

P

i

P

i

P

i

P Esta sumatoria es lo que denominados

Valor Presente Neto en adelante abreviado como VPN

Luego el valor VPN se expresa como la suma algebraica de todos los valores futuros

traídos a presente en n=0. Para este caso resulta

Pi

P

i

PVPN −

++

+= 2

25

5

)1()1(

Si el primer flujo de caja ocurre al inicio del primer período, el primer valor se deberá

agregar al resultado VNA, que no se incluye en los argumentos valores. Para obtener

más información, vea los Ejercicios a continuación.

Si n es el número de flujos de caja de la lista de valores, la fórmula de VNA es:

∑= +

=n

jj

j

TMAR

PVPN

1 )1(

Si el VPN resultante es positivo, luego el proyecto se aprecia como rentable y se hace

atractivo para invertir.

Cuando el VPN es negativo, se traduce en pérdidas con la ejecución del proyecto. Esto

hace no atractiva la inversión.

Si el VPN toma valor cero, quiere expresar que el proyecto no presenta ni pérdidas ni

ganancias en medio de una situación de indiferencia.

El VPN se evalúa con tasa de interés denominada tasa mínima atractiva de retorno

TMAR. Ello es con el menor valor encontrado en la lista de alternativas de inversión.

No existe cálculo para la TMAR. Su determinación obedece a las tendencias financieras


60

existentes en esa área de negocios en el los momento de toma de decisiones. La TMAR,

luego es presumida y asumida.

La TMAR está asociada al fenómeno del riesgo. En ambientes de incertidumbre, se

prescriben bajos valores.

Ejercicio 18. Es posible invertir en una edificación de consultorios médicos. Se

requiere invertir ahora $45,000,000 y de acuerdo al flujo del proyecto, se prevé que

se retornarán dividendos en el período n=10 de $12,000,000, en n=14 de $ 25,000,000

y en n=17 de $14,000,000, tomando una TMAR del 4.1% mensual. ¿Cuál sería el

resultado de invertir en este momento?

7.7-15,656,08-7070752,514243928,88029231,0 =++

−+

++

++

=−+

++

++

=

00000045

0000004504101

00000014

04101

00000025

04101

00000012

111 171411010

1414

1717

,,

,,),(

,,

),(

,,

),(

,,

)()()( OP

i

P

i

P

i

PVPN

Significa esta evaluación que si es tomada la decisión de invertir ahora, $45,000,000

en este momento, el inversionista perdería afrontaría una pérdida por disminución

del capital original en $15,656,087

25,000,000

n=1 n=2 n=3 n=10

45,000,000

12,000,000 14,000,00

n=14 n=17 n=4


61

5.1 METODOS DE ESTUDIO PARA DETERMINAR VPN

En la selección de la opción óptima para la ejecución de un proyecto, es posible

enfrentar alternativas que tengan períodos de vida de igual o de diferente duración.

Es factible que las opciones de estudie coincidan en la longitud de los períodos o que

la longitud no sean iguales. Para determinar el VPN en cada caso se siguen dos

procedimientos definidos.

5.1.1. Alternativas con igual longitud de períodos o vida útil igual

Para este caso en el cual las vidas útiles son iguales, la base o longitud de tiempo

sobre la cual se trabaja el VPN, es la correspondiente a la duración de la vida útil.

Dado que ambas longitudes son iguales, se procede a calcular el VPN para cada

alternativa y posteriormente se comparan los correspondientes valores de VPN para la

elección correspondiente.

Ejercicio 19. Se desea compactar plataformas colocadas cerca al mar. Para ello debe

disponerse de equipos de alto desempeño. La primera opción es adquirir una

compactadora por vibración y chorro de agua por valor de $220,000,000. Se presume

que las labores tomarán un tiempo de 18 meses. Cada 4 meses se deberá realizar

mantenimiento al equipo por valor de $15,000,000 incluyendo las reservas de

reparaciones y reposición de accesorios. Al final de cada mes se recibirán pagos por

los trabajos realizados en valor de $30,000,000 como valor neto descontando los

gastos de personal y de operación. Al finalizar el trabajo la máquina puede venderse

por $30,000.000

Una segunda alternativa estriba en alquilar una serie de compactadores por neumática

en serie por valor de $22,000,000 mensuales. Los costos de operación y de personal

están en el orden de $5,000,000. La facturación de trabajos se recibe mensualmente

por valor de $30,000,000 y cada 6 meses deberá reemplazarse componentes por valor

de $6,000,000 Trabaje con una TMAR del 6%


62

Para la primera opción tenemos

Para esta representación el VPN es:

VPN(6%)16

1612

128

84

418

18

111111

1

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))((

i

P

i

P

i

P

i

P

i

P

ii

iiAP

n

n

+−

+−

+−

+−

++

+−+

+−=

[ ]

millonesO

x

x

9680601

15

0601

15

0601

15

0601

15

0601

30

0601060

1060130220

16

12841818

18

.),(

),(),(),(),(),(,

),()%

=+

−+

−+

−+

−+

++

−++−=6VPN(

Nótese que las cantidades están expresadas en millones

3 4

5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1 17 18

30,000,00

15,000,000 15,000,000 15,000,000 15,000,000

+

30,000,00

220,000,000

2


63

El planteamiento para la segunda opción es:

VPN6%= 1818

1212

66

1 )1()1()1()1(

1)(

i

P

i

P

i

P

ii

iiAn

nn

j +−

+−

+−

+−+= ∑

=

[ ]123

0601

6

0601

6

0601

6

0601060

1060131812618

18

.),(),(),(),(,

),(VPN %6 =

+−

+−

+−

+−+

=x

x

Comparando los dos VPN encontramos que resulta más atractiva la primera opción al

exceder por 4 veces el anterior VPN. Significa que al invertir en la primera

alternativa, estaría obteniendo utilidades en el futuro que serían equivalentes ahora

a $8O,9 millones

3 4 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1 17 18

30,000,00

6,000,000 6,000,000 6,000,000

+ 22,000,000

5,000,000

+


64

Apreciaciones sobre el valor presente neto VPN

El VPN nos representa la equivalencia en momento actual. Ello explica en el Ejercicio

anterior que si se toma la opción de comprar la máquina, equivaldría a ganarse un

excedente de $81,400,0000, mientras que al tomar la segunda solo alcanzaría

23,160,0000.

Las anteriores situaciones nos dan un margen de rentabilidad que aún no podemos

determinar. Pero que sucede para el caso de situaciones donde el VPN resulte negativo

en ambos casos? Para ello se elige la opción con el menor VPN

Ejercicio 20. Una entidad desea obtener alternativas para impulsión de aguas

residuales en una estación de bombeo de un alcantarillado que será reemplazado

dentro de 36 meses.

Una primera alternativa consiste en comprar dos bombas de impulsión sumergibles de

105 HP cada una con capacidad para 200 lps que impulsan el agua desde los tanques de

succión hasta la laguna de oxidación. Cada bomba tiene un costo de $11,000,000. El

ciclo de bombeo es de 12 horas por día. El sistema en paralelo de la conexión entre

bombas permite sólo la operación de una bomba, de manera que si una sale de

circulación, la otra entra al ciclo. La bomba consumo 3 KW por hora y el costo por KW

es de $250. Para poder accionar estas bombas debe utilizarse un múltiple de impulsión

que tiene un costo de $3,000,000 y un tablero de control con costo de $2,000,000.

Cada 6 meses debe realizarse mantenimiento a la bomba en uso por valor de

$700,000. Al final del proceso, estas máquinas tienen un valor de salvamento de

$4,000,000

La segunda alternativa plantea el uso de una estación de bombeo adicional a la

existente en los tanques de succión. Las estaciones están separadas 4 km entre sí. Para

el transporte del líquido se requieren dos bombas de succión positiva por en cada

estación de 65 HP, una para tomar el ciclo de 12 horas diarias de bombeo. Una unidad


65

en funcionamiento consumo 4 KW por hora con costo de $250 por KW. Cada bomba

tiene un costo de $4,500,000 y el múltiple de impulsión así como las obras

complementarias tienen costo de $1,700,000 por estación. Cada 4 meses las bombas en

uso deben tener mantenimiento por valor de $400,000. Al final del proceso, estas

máquinas tienen un valor de salvamento de $6,000,000

Para ambas tasas evalúe con una TMAR de 5% mensual

Análisis de la primera alternativa. En el diagrama de flujo puede advertirse el

comportamiento de los costos

Estudio de la primera alternativa

El consumo mensual de energía eléctrica es: 1x3 KW/hx12hx$250x30 días= $270,000.

Costo de adquisición de las bombas: 2 x $11,00,000=$22,000,000

3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 1 20

+

270,000

24 32 30

700,000 700,000 700,000 700,000

36

22,000,000

27 26 31 2 14

4,000,000


66

689347927

0501

000004

0501

00700

0501

00700

0501

00700

0501

00700

0501

00700

0501050

1050100027000000022

1111111

1100000022

5

3630

241812636

36

3636

3030

2424

1818

1212

66

.,'

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,'

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,

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,

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,

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% −=

++

+

−+

−+

−+

−+

−+

−+−−=

++

+−

+−

+−

+−

+−

+

−+−−==

VPN

i

P

i

P

i

P

i

P

i

P

i

P

ii

iAn

n

VPN5%

Estudiemos la segunda alternativa.

El consumo mensual de energía eléctrica es: 2x4 KW/hx16hx$250x30 días=$720,000

Costo de adquisición de las bombas: 4 x$ 4,500,000 + 1,700,00*2 =$21,400,000

4 5 8 9 12 13 16 17 18 20 21 23 24 26 27 28 30 31 1

32 33 34 36

400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000

14

400,000

960,000

6,000,000

+ 21,4000,000


67

69138434

0501

0000006

0501

00400

0501

00400

0501

00400

0501

00400

0501

00400

0501

00400

0501

00400

0501050

1050100027000040021

1111111

1

5

36282420

16128436

36

3636

3030

2424

1818

1212

66

5

,')(

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,,

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−=

++

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+−

+−

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+−

+−+

−−=

++

+−

+−

+−

+−

+−

+−+

=

VPN

i

P

i

P

i

P

i

P

i

P

i

P

ii

iiAVPN

n

n

Con ello encontramos que mejor alternativa es la número 1, pues es que representa

menos pérdida si se valorara en el momento actual

5.1.2 Alternativas con alternativas que tienen longitudes de tiempo diferentes.

En este caso el proyecto presenta alternativas de solución que discrepan en la duración

de las vidas útiles.

La base de tiempo sobre la cual se trabaja es el mínimo común múltiplo obtenido a

partir de las duraciones respectivas. Luego, para cada alternativa, se realiza un

modelo equivalente en el que sobre la nueva base se trasladan los ciclos originales

tantas veces como se valore el cociente de la nueva base / longitud inicial.

Ejercicio 21. Solucione el ejercicio 20 considerando que la primera alternativa tiene

duración de 24 meses y la segunda de con duración de 48 meses.

Trabajemos la primera alternativa.


68

Entre 24 y 48 el mínimo común múltiplo es 48. De esta manera la nueva base de

cálculo es de 48 períodos.

El nuevo diagrama para esta alternativa es

4236

3024181262424

24

24

24

244824

051

000700

051

000700

051

000700

051

000700

051

000700

051

000700

051

000700

051051050

1051000270

051050

1051000270

051

0000002200000022

051

0000004

051

0000004

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.).(.

).(,

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.

,,,,

.

,,

.

,,

−−

−−−−−−

−−−−−+=

x

x VPN(5%)

700,000 700,000 700,000 700,000 700,000 700,000 700,000

4,000,000

2 4 10 32 34 36 38 40 42 44 46 48

270,000

+

22,000,000 22,000,000

12 6 8 14 16 18 20 22 24 26 28

4,000,000

30

3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 1 20

+

270,000

22

700,000 700,000 700,000 22,000,000

2 14 24


69

VPN(5%) = -33,937,847

La segunda alternativa tiene el siguiente diagrama

42363228242016

128448

48

48

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051

000400

051050

105100070000000018

051

0000006

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

,

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.

,,

−−−−−−−

−−−−

−−=x

VPN(5%)

VPN(5%)=-36’4O2,837.7

Con ello la alternativa con mayor atracción es la número 1, la cual tiene el mayor valor de VPN.

Ello equivale a que siendo negativos ambos valores, donde se obtiene la mayor función de costo

es la alternativa escogida.

2 4 10 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48

400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000

700,000

+

400,000

6,000,000

18,000,000

6 8 12 14 20 16 18 22 26 28 24

400,000 400,000 400,000


70

Es posible encontrar situaciones concurrentes que podamos desplazar en un intervalo

de períodos que podamos localizar en una base común. Esta situación es una variación

de alternativas que tienen igual longitud de períodos. Para ello se coloca como base de

trabajo, la base sobre la que se desarrolla la situación y se desarrollan las alternativas.

Ejercicio 22. Los procesos de ventas de una constructora pueden ser contratados

directamente con una inmobiliaria, la cual se encarga de realizar la gestión de ventas

de los inmuebles desarrollando sus propias estrategias y manejando su propio

personal, bajo esta forma no adquiere vinculación con la empresa propietaria de la

edificación. Bajo esta opción, el propietario deberá pagar el 3% en comisión por las

ventas de los apartamentos. En total se registran 2698 m2, materializados en 56

apartamentos, construidos a lo largo de 9 pisos. El valor del metro cuadrado es

$850,000.

La programación de ventas se presenta en la siguiente tabla

Mes Apartamentos M2 Costo/m2 Ventas Comisiones

3 6 289 850000 245,650,000 7369500

5 8 385.4 850000 327,590,000 9827700

7 5 240.8 850000 204,680,000 6140400

8 10 481.7 850000 409,445,000 12283350

9 8 385.4 850000 327,590,000 9827700

11 5 240.8 850000 204,680,000 6140400

14 7 337.2 850000 286,620,000 8598600

16 7 337.2 850000 286,620,000 8598600

56 2,292,875,000 68,786,250

El propietario del proyecto maneja otra opción según la cual, le es posible vincular

mediante prestación de servicios a la empresa dos asesores de ventas durante el


71

período de ventas que va desde el inicio de la construcción hasta 4 meses luego de

terminar. La asignación salarial es de $1,500,000 por asesor. Adicionalmente el

propietario deberá adicionar el 0,5% de comisión por las ventas realizadas. Los flujos

de ventas pueden ser distintos, debido a que se presentan estrategias propias del

grupo de asesores y distintas a la de la inmobiliaria.

Si el propietario utiliza una TMAR de 1% mensual , determine la alternativa más

aconsejable.

Mes Apartamentos M2 Costo/m2 Ventas Comisiones

2 6 289 850000 245,650,000 1228250

6 8 385.4 850000 327,590,000 1637950

7 8 240.8 850000 204,680,000 1023400

8 9 481.7 850000 409,445,000 2047225

11 9 385.4 850000 327,590,000 1637950

13 4 240.8 850000 204,680,000 1023400

15 4 337.2 850000 286,620,000 1433100

16 8 337.2 850000 286,620,000 1433100

56 2,292,875,000 11,464,375

La opción que implica a la inmobiliaria presenta el siguiente

esquema.

3 4 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1

7369500

2

9827700 6140400

1228335

98277006140400

8598600 8598600


72

16141198753 011

8598600

011

8598600

011

6140440

011

9827700

011

12283350

011

6140400

011

9827700

011

7369500

........+−−−−−−−=VPN(1%)

VPN(1%)= -$ 62’877,389.1

La segunda opción se diagrama como sigue

16

16

161513118762

011010

10113000000

011

1433100

011

1433100

011

1023400

011

1637950

011

2047225

011

1023400

011

1637950

011

1228250

).(.

).(

........

−−

−−−−−−−−=VPN(1%)

VPN(1%) =-$ 54’569,749.3

En este caso en particular la vinculación de la inmobiliaria genera un mayor valor

presente neto que el generado por la vinculación de los asesores, por lo que para el

lado del propietario la opción de los asesores revierte menor costo, siendo la más

aconsejable.

5.1 3 Ejercicios planteados

Los incendios forestales causan daños irreparables al ecosistema. Analize la siguiente

situación que se presenta en una ciudad colombiana. Se ha presentado incendio en 15O

hectáreas, el año interior. Esa situación trae las siguientes características

3 4 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 16 1

1228250 0

2

1637950 0 1023400

00 2047225 00

1637950

1023400 1433100

1433100

3000000 00


73

Cada hectárea de bosque tiene una capacidad de conversión de CO2 de 1O toneladas.

Cada tonelada convertida tiene un costo de $25OOO. La reposición de bosques tiene un

costo de $5OOOOOO por hectárea. En el año 1 se reforestó el 15% del área. En el año 2

se reforestó el 15%. En el año 3 se reforestó el 7O% restante. Los cultivos deben recibir

mantenimiento al año de estar sembrados, a razón de $1OOOOOO por hectárea. Sólo

se requiere se realice hasta el año 5. Los cultivos que se han reforestado, alcanzan su

capacidad de conversión de CO2 de la siguiente forma: En el año 3, el 3O%, en el año4

el 4O%, del año 6 hasta el 9, el 7O% y en el año 1O tiene el 1OO% de la capacidad de

conversión

De no presentarse incendios, la madera puede talarse y venderse a razón de

$3OOOOOO por hectárea

Analice esta situación y determine el impacto económico. Ello es, la valoración

económica del desastre

6.0 TASA INTERNA DE RETORNO

La simple equivalencia sobre la ganancia si se tomara la decisión de invertir hoy no

basta para establecer todos los criterios que hagan tomar una decisión.

Para el caso de individuos que invierten en proyectos habitacionales de construcción,

resulta imprescindible determinar la relación que existe entre el aporte dado y los

dividendos recibidos posteriormente.

Una medida de la movilidad del aporte a lo largo del tiempo de construcción nos

permite establecer comparaciones con otras opciones de inversión.


74

La tasa interna de retorno TIR, nos determina la rentabilidad de una inversión hecha

en un tiempo t que espera dividendos posteriormente en un t+At. La TIR es la tasa de

interés que hace equivalente la inversión y las ganancias recibidas por este concepto.

La TIR es decisiva para la toma de decisiones, pues aunque el VPN resulte positivo, la

opción con mayor TIR es la más apetecida. Cabe recordar que es un indicador

financiero de rentabilidad, de manera que a la hora de realizar evaluación económica

sobre proyectos de construcción, este indicador es una herramienta decisiva para

tomar decisiones de inversión.

Ejercicio 23. Existe un proyecto para construcción de 3 apartamentos de 120 m2 cada

uno. El lote tiene un área de 132 metros cuadrados. Los apartamentos son iguales y

cada uno ocupa un piso de los 3 que se proyectan en el edificio.

El costo total de la construcción se prevé en $90,000,000. Y se postulan dos

alternativas de comercialización.

La primera es la venta de los inmuebles, la cual se causa hacia el mes 12 de iniciada la

construcción con dividendos del 23% sobre el capital invertido

La segunda opción plantea el arriendo vencido por valor total de $1,500,000 por

período de 14 meses a partir del mes 10 y una venta posterior ocurrida 1 mes más

tarde, con dividendos del 17% sobre el capital invertido

Con la premisa que la construcción demora 10 meses y que todo el capital se invierte

al inicio del primer período, ¿Cuál alternativa mejor tasa interna de retorno?

La primera instancia muestra el siguiente flujo


75

Luego el modelo plantea la siguiente equivalencia en el período n=0:

mensuali

i

i

i

i

%74,1

00749,0)1log(

23,1log)1log(12

23.1000,000,90

000,700,110)1(

)1(

000,700,110000,000,90

12

12

=

=+

=+

==+

+=

Mientras que en la segunda alternativa el flujo es

110,700,000

2 1 4 5 3 7 6 9 10 8 11 12

90,000,000


76

En esta alternativa se presenta la siguiente equivalencia para n=0

La anualidad cubierta desde el período 11 hasta el 25, debe programarse como un

valor presente en el período 10. Este valor ahora futuro se traslada como valor

presente al período 0

[ ]251015

15

2510 1

000300105

1

111000500100000090

11 )(

,,

)()(

)(,,,,,

)()

)(

)/(

iix

iii

i

i

P

i

APP nn

++

++−+=

++

+=

Para este caso es necesario iterar el valor de i o acudir a la ayuda de programas

especiales que evalúan la TIR dado una serie de valores en el tiempo. La serie

converge para un valor de i aproximado de = 2,52%

La alternativa 2 es la de mayor atracción, rendimiento sobre el capital inicial

invertido, Sin embargo el rendimiento del capital expresado en la TIR=2.52%, puede

compararse con otras alternativas de inversión que ofrezcan otros valores.

La TIR está íntimamente relacionada a la función de valor presente neto VPN. La tasa

de retorno calculada por TIR es la tasa de interés correspondiente a un valor presente

neto de cero (0). Esto se entiende si se recuerda que se realiza una operación

algebraica en un período n donde los ingresos deberán ser equivalente a los egresos. La

diferencia entre ambos es cero.

19 18 20 21 22

1,5000,00

24 23 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

90,000,000

105,300,000


77

La evaluación de la TIR en los proyectos de construcción sugiere un modelo en el cual

se presenten los flujos que se presentan en los períodos de ejecución (para los

proyectos comerciales debe anexarse el período de venta) de manera que se conozcan

todos los ingresos y egresos del proyecto adicionado a la fecha en que se causan. La

evaluación de la TIR supone un manejo complejo de variables y de parámetros que

intervienen otros que tienen influencia sobre el proyecto de construcción.

Ejercicio 24. En un proyecto de concesión para la construcción de 50 Km de carretera

entre las localidades A y B se presenta las siguientes características.

Tipo de infraestructura: Pavimento en concreto asfáltico

Costo de la prefactibilidad. U$ 10,000

Costo de ejecución U$ 200,000 pagados cada año durante dos años

Costo anual de operación U$ 30,000 por año

Período de la concesión 20 años

El estudio de tráfico muestra los siguientes regímenes con relación al tránsito de

vehículos de la zona y atraídos.

Tipo Promedio Tarifa

Vehículos por día 400 4600

Buses por día 60 6800

Camiones de dos ejes por día 700 8900

Camiones de tres ejes por día 350 11400

Camiones de 4 ejes por día 90 14000

Camiones de más de 4 ejes por día 40 17800

El inversionista requiere saber cuál es el ingreso periódico mínimo que necesita tener

para obtener una tasa interna de retorno del 17% anual sobre el capital invertido, si

para ello es requerido instalar un peaje tipo C en la abscisa K25 + 340 del tramo en

estudio


78

Esta situación plantea una pregunta interesante. Dado que las tarifas de peaje son

reguladas por el Instituto Nacional de Vías, es necesario y de estricto cumplimiento

someter el cobro tarifario a estas restricciones, aún cuando sean adelantadas por

particulares, como se registra en el mayor de los casos. Si los ingresos por cobro

tarifario son menores al ingreso mínimo requerido para la tasa mencionada, entonces

el proyecto estará devolviendo una TIR menos a la proyectada. Caso contrario sucede

si los ingresos mínimos superan los ingresos tarifarios

Para este ejercicio en particular se hace necesario proyectar un ingreso tarifario

mínimo A y determinar su valor para determinar una TIR de igual valor a la TMAR, es

decir hallar su valor en un VPN=0

El evaluar la TIR tiene como premisa fundamental que el VPN evaluado a esta tasa es

cero. De manera que haciendo la sumatoria algebraica en n=0, tenemos

OOOUA

xx

A

xx

911

171171170

1171

171171170

117130000

171

200000

171

200000100000

218

18

218

18

21

,$

...

).(

...

).(

..

=

−+

−−−−−==VPN(17%)

Luego los ingresos tarifarios evaluados en la tabla siguiente devolverán una

rentabilidad menor a la esperada. Veamos ahora, la relación de ingresos con las

tarifas permitidas. Utilizaremos una premisa en especial y es que las tarifas no

sufrirán variación a lo largo del tiempo

13 12 14 15 16

Ingreso mínimo anual=A

18 17 6 5 7 8 9 11 10

10,000

1 2 3 4 19 20

30,000

200,000 200,000


79

Tipo Promedio Tarifa Mensual Anual

Vehículos por día 400 4600 1840000 22080000.0

Buses por día 60 6800 408000 4896000.0

camiones de dos ejes por día 700 8900 6230000 74760000.0

camiones de tres ejes por día 350 11400 3990000 47880000.0

camiones de 4 ejes por día 90 14000 1260000 15120000.0

camiones de más de 4 ejes por día 40 17800 712000 8544000.0

$ 173280000.0 169920000.0

U$ 72806.7 71,395.0

Vemos entonces que los ingresos que se proyectan obtener resultan inferiores a los

requeridos para asegurar la inversión del capital en el proyecto de concesión.

Para un ingreso anual de U$ 71,395 empezando al final del tercer año, se genera una

TIR de 7.16%. De esta forma se concluye que el proyecto no es viable, pues retorna

menos de la mitad de la tasa esperada.

6.1 Observaciones.

La TIR corresponde a un VPN con valor cero. Por lo tanto es necesario plantear las

siguientes conclusiones.

Cuando la TIR es menor a la TMAR, el VPN es menor de cero

Cuando la TIR es mayor a la TMAR, el VPN es mayor a cero


80

En algunos proyectos de infraestructura civil, al igual que en otros de diversa índole,

tiene especial importancia los gastos relacionados con la operación del sistema de

manera que se garantice su funcionamiento permanente.

Imaginemos el caso de un alcantarillado que posee un sistema de impulsión de las

aguas residuales, como el relacionado en el Ejercicio 20. Inicialmente se invierte un

valor P en las obras civiles requeridas, o fracciones de P discriminadas por períodos.

Posterior a la construcción se requiere consumo permanente de energía eléctrica y

mantenimientos al equipo a lo largo de toda la vida útil del sistema. Luego el sistema

de impulsión que genere menos costos periódicos por este concepto se constituye en el

equipo seleccionado.

Para el caso de un acueducto, el sistema de tratamiento que ofrezca menor costo de

operación anual. Es decir por período, es el sistema requerido.

Obsérvese que para ambos casos se requiere determinar el costo anual de operación y

la inversión de la construcción.

Los proyectos de inversión pública no buscan la rentabilidad del capital invertido, pero

se espera que los ingresos generados por el sistema le garanticen la operabilidad a lo

largo de la vida útil. Luego no se pueden utilizar indicadores de rentabilidad para

evaluar económicamente estos proyectos.

CAPITULO

INDICADORES FINANCIEROS PARA OPERACIÓN Y MANTENIMIENTO VV


81

El tamaño y complejidad del proyecto guardan una relación estrecha con los gastos de

operación. Proyectos con gastos de operación mayor a los ingresos generados por el

sistema, estás condenados a fracasar.

7.0 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE

El CAUE es un indicador financiero que nos mide los valores anuales de operación y

mantenimiento en un sistema, el cual luego de construido debe ser operado el resto de

su vida útil.

Para poder determinar el CAUE del anterior modelo es necesario convertir en

anualidades todos los valores concurrentes a lo largo de la vida del proyecto. Los

ingresos por funcionamiento IF y los gastos de operación CO, están expresados en

anualidades. El valor correspondiente a la construcción P está expresado en valor

presente, por lo cual deberá convertirse en anualidad en los 20 períodos, esto es

(A/P,i,n). Esto es.

13 12 14 15 16

Ingresos IF

18 17 6 5 7 8 9 11 10

P

1 2 3 4 19 20

Operación CO

1 20

Ingresos IF

13 12 14 15 16 18 17 6 5 7 8 9 11 10 2 3 4 19

Operación CO

+

A/P,i,n


82

Una aplicación interesante de la serie uniforme es determinar el valor de costo de

equipos entregados en alquiler.

Imaginemos la compra de una retroexcavadora 320 de orugas. Este equipo tiene las

siguientes especificaciones:

Tamaño del cucharón (yd3): 1,05

Tipo de suelo: Arcilla compactada

Ciclo total: 0,23 minutos

Vida útil en zona moderada: 12,000 horas

Vida útil en zona media: 10,000 horas

Vida útil en zona severa: 8,000 hora

Uso diario: 8 horas

Precio de entrega: $130,000,000

Tiempo de posesión: 10,000 horas

Valor de salvamento: $40,000,000

Consumo de combustible: 3,75 galones/hora

Consumo de lubricantes: 0,065 galones/hora

Costo de operador: $21,000/hora

Reserva de reparaciones $7,000/hora

n=125 n=250 n=375 n=500 n=645 n=0 n=750 n=875 n=1000 n=1125 n=1250

+

130,000,000

40,000,000


83

Evaluemos con una TMAR de 1,5 mensual. La vida útil de la máquina en un período de

10,000 horas es equivalente a 42 meses. Sin embargo contablemente la maquinaria y

vehículos deben depreciarse a 5 años. Nominalmente la TMAR diaria es del 0,05%. El

costo diario por operación y mantenimiento es: 8(3,75x$3600 + 21,000 + 7,000 +

0,065x12,000)=$279,640

Es necesario que se determine la serie uniforme correspondiente a P=$130,000,000 y

Pn =$40,000,000

Así 042,231)0005,01(

0005,000,000,40,

1)1( 1250 =−+−+

= x

i

iPA

nn

[ ] [ ] 888,1391)0005,01(

)0005,01(0005,0000,000,130

1)1(

)1(1250

1250

=−+

+−+

+=

x

i

iPiA

n

n

El diagrama equivalente resulta ser:

CAUE=279,640 + 139,888 - 23,042=$396,486

Este valor es de periodicidad diaria. Nominalmente el valor de la hora resulta del

cociente entre este valor y el número de horas de trabajo por día, para el caso de 8

horas, el CAUE horario es=$49,560.

n=125 n=250 n=375 n=500 n=645 n=0 n=750 n=875 n=1000 n=1125 n=1250

23,042

139,888

279,640


84

Recuerde que la TMAR mantiene equivalente el dinero a lo largo de n períodos. De

manera que la tarifa para alquiler deberá ser igual o superior al CAUE horario. Valores

superiores generan ganancia y caso contrario ocasionan pérdida sobre la inversión

7.1 ESTIMACION DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE EN LOS PROYECTOS

Es posible encontrar dentro de la fase de evaluación de proyectos de infraestructura

civil, alternativas de solución que mantengan en común la misma duración de la vida

útil. Lo contrario, es decir, encontrar que la duración de las vidas útiles es distinta en

cada alternativa, es también frecuente.

Para ambos casos se procede de manera distinta. Es necesario determinar en cada caso

la longitud de tiempo o base sobre la cual se realiza las equivalencias para cada caso

en particular.

6.1.1 Estimación del CAUE en proyectos con alternativas de igual duración de vida

útil.

Para este caso en el cual las vidas útiles son iguales, la base o longitud de tiempo

sobre la cual se trabaja, es la correspondiente a la duración de la vida útil. Luego

todos los valores intervinientes se convierten a serie uniforme o anualidades en un

modelo equivalente que se desarrolla a lo largo de esta duración

Ejercicio 26. Determinar el CAUE del proyecto mostrado en el Ejercicio 20, con la

variante de examinarlo a lo largo de una vida útil de 20 años y operar con

mantenimiento anual. Los valores de salvamento se disminuyen a la mitad para cada

alternativa.


85

La duración de la vida útil para cada alternativa es la misma y corresponde a 20 años.

En este caso, en el que se estudia el funcionamiento del sistema a lo largo de toda la

vida útil, la solución no logra estimarse a partir del análisis de VPN. Es necesario

evaluar los gastos anuales para determinar el menor de las opciones. En estos casos se

utiliza el CAUE

La primera alternativa presenta el siguiente flujo.

En este flujo los ingresos por salvamento y el valor de compra deben convertirse en

anualidades, esto es.

Para P=22,000,000, la anualidad se calcula como

[ ]

336,765,11)05,01(

)05,01(05,0000,000,22

1)1(

)1(

20

20

=−+

+

=−+

+=

xx

i

iPiA

n

n

Para Pn=4,000,000, la anualidad correspondiente es:

970,3201)05,01(

)05,01(05,0000,000,420

20

=−++xx

3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19

+ 270,000

22,000,000

2 10 6 15 14 16 20

700,000


86

Ahora con los valores de mantenimiento se requiere tomar cada uno, convertirlo en

valor presente en n=0 y regresarlos a anualidad en 20 años

CAUE= 1,765,336 + 270,000 + 700,000 - 320,970= 2,414,336

La segunda alternativa se presenta diagramada de la siguiente forma.

3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19

+ 720,000

18,000,000

2 10 6 15 14 16 20

400,000

3,000,000

3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 20

+ 1765336

24 32 30 36 27

26 31 2 14

320970

+

70000

+ 270,000

1


87

Igualmente en este flujo los ingresos por salvamento, el valor de compra y los gastos

por mantenimiento deben convertirse en anualidades, esto es:


[ ]3664441

10501

050105000000018

11

1

20

20

,,),(

),(x,x,,

)i(

)i(PiA

n

n

=−++

=−+

+=

Para Pn=6,000,000, la anualidad correspondiente es:

45548110501

0501050000000620

20

,),(

),(x,x,, =−++

Con lo que el sistema equivalente es:

CAUE=1,444,366 + 720,000 + 400,000 – 481,455=2,082,911

3 6 10 7 8 12 13 15 19 18 1 20

+ 1444366

24 32 30 36 27

26 31 2 14

481455

+

720000

+

400000


88

Entre las dos alternativas, la opción de operar el alcantarillado mediante estaciones

de bombeo es la de menor CAUE, por lo cual es la opción que debe escogerse.

Ejercicio 27. Se desea construir un proyecto de interconexión vial entre dos

municipios. La longitud de la vía es de 42 km, debe tener dos carriles con ancho

individual de 4 m.

Los consultores proyectan dos alternativas de solución.

La primera es una pavimentación en concreto asfáltico. Esta alternativa requiere un

espesor total de 25 cm, colocando 7.5 cm cada 3 años. Las obras preliminares, de

movimiento de tierras y construcción del afirmado junto con la primera capa tienen

un costo de U$ 1,000,000. Cada capa de concreto asfáltico requerida posteriormente

para completar el peralte tiene costo de U$480,000 con incremento aritmético anual

de materiales del 3%. Bajo esta opción luego de completar todo el espesor a los 12

años de iniciado el proyecto se requiere mantenimiento de las superficies por valor de

U$200,000 cada 2 años.

La segunda alternativa es utilizar concreto hidráulico. Con estos diseños se requiere

un espesor de 20 cm, los cuales no pueden ser construidos por capas por proceso

funcional propio a este tipo de concreto. Las obras preliminares, de movimiento de

tierras y construcción del afirmado junto con el las losas de concreto hidraúlico tienen

un costo de U$ 8,064,000, ejecutados en el primer año. Sólo se requiere

mantenimiento de los sellos de la juntas por valor anual de U$ 10,000 por año

Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable.

La vida útil para ambas alternativas es de 20 años

Costo de la segunda capa= U$480,000x1,033= U$524,508

Costo de la tercera capa= U$480,000x1,036= U$573,145

Costo de la cuarta capa = U$480,000x1,039=U$ 626,291

La primera alternativa tiene el siguiente diagrama de flujo


89

En esta alternativa los costos correspondientes al valor inicial de inversión, las capas

posteriores y los mantenimientos a partir del mes 14, deben convertirse en

anualidades de la siguiente manera.


871841)06,01(

)06,01(06,0000,000,120

20

=−++xx

Para P3=524,508

264231)06,01(

)06,01(06,0387,440387,440

)06,01(

508,52420

20

3 =−++

==+

=xx

AyP

Para

P6=573,145 256371)06,01(

)06,01(06,0044,404044,404

)06,01(

145,57320

20

3 =−++

==+

=xx

AyP

Para P9=629,291

223481)06,01(

)06,01(06,0289,427289,427

)06,01(

291,62920

20

3 =−++

==+

=xx

AyP

3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19

1,000,000

2 10 6 15 16 20

662266,,229911

12 13

552244,,550088 557733,,114455

200,000

14


90

La anualidad correspondientes al mantenimiento, se vuelven valores presentes en

n=10 de la siguiente forma.

[ ]

[ ] 472842106010601060

000200

111

5510 ,),(),(,

,P

)i()i(i

AP n

n

=−++

=

−++

=

Ahora, este valor se convierte a valor presente en n=0

P0= 4324700601

47284210

,),(

,=

+, y puede disponerse como una anualidad de la forma

4101710601

060106047247020

20

=−++=

),(

),(x,x,A

3 4 7 5 6 9 11 13 12 1 14

+ 87184

15 20 18 17

16 19 2 10

+

26423

+

22348

8

41017


91

CAUE= 87184 + 26423 + 22348 + 41017=U$ 176,972

Para la segunda opción se presenta el siguiente análisis


056,7031)06,01(

)06,01(06,0000,064,820

20

=−++xx

CAUE=703,056 + 10,000= U$ 713,056

El CAUE de pavimentar con concreto asfáltico es menor al CAUE de pavimentación con

concreto rígido. Luego la primera opción es la mejor alternativa.

3 4 7 5 6 9 11 13 12 1 14

+ 703,056

15 20 18 17 16 19 2 10

8

10,000

3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19

88,,006644,,000000

2 10 6 15 16 20 12 13

10,000

14


92

7.1.2 Estimación del CAUE en proyectos con alternativas de distinta duración de

vida útil.

Comoquiera que el CAUE reprenda un valor obtenido de una frecuencia específica, en

la que la longitud de los subperíodos es igual para varias alternativas, aunque la

longitud total o vida útil sean distintas, se expresa el CAUE en una unidad equivalente

para cada caso. Esto quiere decir, que dado que el CAUE se expresa por subperíodos,

esta unidad resulta ser la unidad de comparación para cualquier alternativa.

No tiene sentido hallar una longitud equivalente para dos vidas útiles con duración

distinta, pues de hecho se están definiendo las equivalencias de ingresos y egresos

expresados en subperíodos, que resultan ser la mínima división de trabajo. Así, para

diferentes longitudes, se procede a calcular cada CAUE sobre la base de cada

alternativa y se comparan entonces los CAUE obtenidos en cada opción

Ejercicio 28. Se desea construir un puente de interconexión vial a nivel urbano de

una ciudad. Este puente tiene un gálibo sobre el nivel máximo de aguas que atraviesa

de 30 metros y una longitud de 400 metros

De varias propuesta de solución se han extraído las dos más congruentes. La primera

corresponde a la ejecución de un puente metálico en sistema colgante. De tomarse

esta solución es necesario invertir U$ 20,000 en los estudios y diseños respectivos. El

costo de ejecución asciende a U$ 200,000 anuales que se desembolsan a lo largo de la

duración de la construcción, 3 años. El mantenimiento luego de finalizada la

construcción incluye labores de reposición de revestimientos y accesorios metálicos

por un costo de U$ 10,000 por año. Sin embargo este puente tiene vida útil de 25 años

en la cual será necesario intervenir estructuralmente el sistema.

La alternativa restante conceptúa el diseño de un puente en concreto postensado en

sistema de cajón voladizo. Los estudios tienen costo de U$ 15,000. La ejecución

asciende a U$ 250,000 anuales, pagados durante cada año en los 3 años de ejecución.


93

Los gastos anuales de operación y mantenimiento se establecen en U$ 5,000 por año a

partir de la terminación. La vida útil es de 35 años.

Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable.

Primera opción: El diagrama correspondiente es el indicado inmediatamente abajo.

La serie uniforme equivalente 200,000 debe llevarse a n=0 como valor presente, para

luego discretizarla a lo largo de n=25:

534602061060

10612000003

3

=−=).(,

).(xP

Ahora este valor se lleva a una serie A a lo largo de 25 períodos

418201061

06106053460225

25

=−

=).(

).(x.xA

La serie uniforme del mantenimiento genera un valor futuro desde n=4 hasta n=25,

del que puede obtenerse la serie uniforme a lo largo de 25 períodos.

10 12 13 1 2 3

8 14 15 22 23 24 25 21

10,000

1 2

20,000

3

200,000

4 5 6 7 9


94

[ ] [ ]

[ ] [ ] 908,71)06,01(

39992706,0

1)1(

922,43306,0

1)06,01(000,10,

1)1(

25

22

=−+

=−+

=

=−+−+=

x

i

iPA

i

iAP

nn

n

n

Ahora, valor de los estudios genera una serie uniforme a lo largo de los 25 períodos,

con valor

56411061

0610600002025

25

,).(

).(x.x,A =

−=

El modelo equivalente es:

CAUE= 41,820 + 7289 +1564 = 51,292

Segunda opción: El diagrama correspondiente es el indicado inmediatamente abajo.

10 12 13 1 2 3

9 14 15 22 23 24 25 21

41820

2 3 4 5 6 7 8 11

7908

1564


95

La serie uniforme equivalente a P= 15,000 es:

10341)06,01(

)06,01(06,01500025

35

=−+

+=

xxA

Igualmente que en el caso anterior, la serie uniforme del mantenimiento desde n=4

hasta n=25, genera un valor futuro en n=25, del que puede obtenerse la serie

uniforme a lo largo de 25 períodos.

[ ]

[ ] [ ] 40781)06,01(

448,45406,0

1)1(

448,45406,0

1)06,01(000,5,

32

31

=+

=−+

=

=−+=

x

i

iPA

P

nn

n

La serie uniforme equivalente 250,000 debe llevarse a n=0 como valor presente, para

luego discretizarla a lo largo de n=25:

252,668)06.1(06,0

)106.1(000,2503

3

=−

=x

P

Ahora este valor se lleva a una serie A a lo largo de 35 períodos

10 12 13 1 2 3

9 14 15 32 33 34 35 31

50000

2 3 4 5 6 7 8 11

250000 15000


96

091,46)106.1(

)06.1(06.066825235

35

=−

=xx

A

El modelo equivalente es:

CAUE= 46,091 + 4,078 + 1,034 =51,203

Luego, la alternativa a seleccionar es la construcción con puente en concreto

postensado por cuanto representa un CAUE menor.

Nótese que para determinar CAUE, los valores hacia abajo del diagrama se toman

como positivos en caso contrario, negativos.

Ejercicio 29. Se desea elegir la mejor propuesta de suministro de una mezcladora

para concreto de 15 ft3 (0,4 m3). Existen dos referencias de equipos especializados en

estos suministros.

Un fabricante propone el suministro de una mezcladora a gasolina por valor de $

8,000,000. El consumo de combustible es de 2 galones por día. Cada año deben ser

10 12 13 1 2 3

9 14 15 32 33 34 35 31

46091

2 3 4 5 6 7 8 11

4078

1034


97

reemplazados accesorios y componentes por valor de $250,000. Tiene vida útil de 3

años

El otro fabricante pone a dispocisión una mezcladora por valor de $14,000,000. El

consumo de ACPM es de 0,75 galones por día. Cada año debe tener un mantenimiento

con costo de $370,000, valor que incluye la repocisión de piezas. Tiene vida útil de 4

años

Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable

para realizar la compra.

Opción 1. El galón de gasolina tiene un costo de $6,500. Con costo promedio de 22 días

de trabajo( Sábados hasta medio día, no se trabaja domingos y festivos)1 no se

trabaja, el costo anual de operación es $3,432,000

La serie uniforme equivalente a P=8,000,000 es:

878,992,21)06,01(

)06,01(06,0000,000,83

3

=−+

+=

xxA

CAUE= 2,992,878 + 3,432,000 = 6,424,878

1 El lector puede realizar modificaciones a la asignación de trabajos

n=1 n=2 n=3

8,000,000

3,432,000


98

Opción 2. El galón de ACPM tiene un costo de $4,200. Con costo promedio de 22 días

de trabajo, el costo anual de operación es $1,108,800

La serie uniforme equivalente a P=14,000,000 es:

280,040,41)06,01(

)06,01(06,0000,000,144

4

=−+

+=

xxA

CAUE= 1,108,800 + 4,040,280 = 5,149,080

Luego la mezcladora a gasolina es la mejor opción.

Este probelema es posible que sea evaluado por VPN, sin embargo las consideraciones

que se modelan para cada situación son las premisas fundamentales para elegirel

método de evaluación en específico.

Ejercicio 30. Considérese el caso relacionacionado con el suministro de agua potable

a una población de 340,000 habitantes. La población de usuarios es 68,000

suscriptores de los servicios de acueducto. Existen dos fuentes potenciales para el

suminsitro de agua. La primera es a través de diversas perforaciones desplantadas

sobre un acuífero situado a 11 km y situados del área en estudio. La segunda

alternativa de suministro es la captación de un cuerpo superficial de agua, en este

n=1 n=2 n=3

14,000,000

n=4

1,108,800


99

caso un rio ubicado a 70 km de la zona urbana, lo que implica una serie de estaciones

de bombeo sucesivas.

Cualquiera que sea el sistema de suministro de agua potable la tarifa por m3 a cobrar

a los usuarios está dado por la suma de 4 componentes diversos a saber.

Costo total por m3= CA + CO + CI + CTA, donde

CA= Valor del m3 relacionado con los gastos de adminsitración del sistema

CO= Valor del m3 relacionado con los gastos de operación por fuerza motriz, reactivos

e insumos del sistema

CI= Valor del m3 relacionado con los gastos por la inversión en infraestructura física,

terreno y equipos del sistema

CTA= Valor del m3 relacionado con los gastos pago de tasas ambientales respecto del

agua captada

Situación Captación de acuífero Captación de un cuerpo de

agua

Costo de prefactibilidad e

inversión inicial 1,700,000,000 1,900,000,000

CA 650 630

CO 15 18

CI 21 17

CTA 7 9

Vida útil 20 40

Costo de funcionamiento 240,000,000 280,000,000

Contribuciones especiales 190,000,000 230,000,000

Costos administrativos 170,000,000 115,000,000


100

De acuerdo a lo definido por la prefactibilidad, se prevé una cesación de pago del 20%

en los usuarios. Bajo las premisas que ambos sistemas funcionarían en igualdad de

condiciones. El consumo básico se proyecta en 23 m3 por mes para los estratos 1,2 y 3

con una aproximación de 0,7, esta población corresponde al 60% de los usuarios y un

consumo complementario de 34 m3 para la población restante con una aproximación

de 0.65. El consumo complementario tiene un recargo del 23% sobre el básico.

Determine cual es la alternativa en que debe invertir la administración estatal.

Utilice una tasa de interés del 6%

Primera opción. La tarifa del m3 corresponde a: 650 + 15 + 21 + 7=693. Los ingresos

por suministro son:

Consumo básico: 68,000x0,6x23x693x0,77x0,7 =350,517,736 por mes

Consumo complementario: 68,000x0,4x34x693x1.23x0,77x0,65= 320,763,643 por

mes.

Total ingresos por mes: 671,281,379

Total ingresos anuales: 8,055,376,550

Total gastos por mes: 240,000,000 + 190,000,000 + 170,000,000 = 600,000,000

Total gastos por año: 7,200,000,000

La situación descrita se diagrama inmediatamente


101

Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a la inversión

inicial, esto es:

74621314810601

060106000000070014

4

,,),(

),(x,x,,,A =

−++=

El diagrama equivalente es:

CAUE=-8,055,376,550 + 7,200,000,000 + 148,213,746 = -707,162,803

3 4 7 5 8 9 11 18 17 1 19 2 10 6 15 16 20 12 13

8,055,376,550

14

7,200,000,000

148,213,746

3 4 7 5 8 11 18 17 1 19

11,,770000,,000000,,000000

2 10 6 15 16 20 12 13

8,055,376,550

14

7,200,000,000

9


102

Segunda opción. La tarifa del m3 corresponde a: 630 + 18 + 17 + 9 = 674. Los ingresos

por suministro son:

Consumo básico: 68,000x0,6x23x674x0,77x0,7 = 340,907,582 por mes

Consumo complementario: 68,000x0,4x34x674x1.23x0,77x0,65 =211,038,027 por

mes.

Total ingresos por mes: 551,945,609

Total ingresos anuales: 6,623,347,310

Total gastos por mes: 280,000,000 + 73,000,000 + 115,000,000 = 468,000,000

Total gastos por año: 5,616,000,000

Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a

La situación descrita se diagrama inmediatamente

La serie uniforme de la inversión corresponde a:

918,276,1261)06,01(

)06,01(06,0000,000,900,140

40

=−+

+=

xxA

CAUE= -6,623,347,310 + 5,616,000,000 + 126,276,918= 887,070,392

6 8 10 16 14 20 34 32 2 36

11,,990000,,000000,,000000

4 18 12 28 30 38 22 24

6,623,347,310

26

5,616,000,000

40


103

Advertimos con estas respuestas que la alternativa de suministro mediante a partir de

un cuerpo estacionario de agua resulta menos atractiva que suministrar agua a partir

del acuífero. Por lo tanto, la solución de suministro partir del acuífero es menos

costosa anualmente en aproximadamente el 25% de su costo anual

Sin embargo vemos para este caso en particular, que ambos sistemas garantizan la

operación y funcionamiento y adicionalmente recuperan el capital invertido, aunque

de diferentes formas.

Ejercicio 31. En una zona urbana existe una condición crítica. El caso consiste en un

puente vehicular construido sobre una zona altamente poblada y de las más costosas de

la ciudad. Actualmente el puente lleva 3 años de construido y ha presentado fallas que

han originado costos de operación anuales bastante altos. Estudios preliminares han

demostrado que el puente necesitará costos de operación anuales más altos a los

iniciales y a los 7 años necesitará una intervención estructural costosa.

La administración municipal está considerando en destruir el puente y construir la

estructura requerida. Veamos las características de ambas situaciones

Descripción Puente existente Puente nuevo

Costo prefactibilidad U$ 10,000 US 15,000

Costo de construcción US 400,000 US 700,000 ejecutados en un

solo año

Costos de operación anual US 25,000 US 5,000

Costo demolición US 45,000

Intervención estructural US 300,000, en n= 7

Vida útil 15 25

Determine cuál alternativa es la más aconsejable para la administración municipal.

Alternativa mediante la cual se mantiene el puente existente


104

Es necesario determinar el CAUE de cada alternativa y comparar si aún así, el puente

nuevo genera menor CAUE que el puente existente.

La serie uniforme para P=U$ 10,000 es.

314,1)11.1(

1.11.01000015

15

1 =−

=xx

A

La serie que genera P= U$ 400,000 en n=2, es

462,431.1)11.1(

1.11.0400000215

15

1 =−

=x

xxA


240,201.1)11.1(

1.11.0300000715

15

1 =−

=x

xxA

CAUE = 1,314 + 43,462 + 20,240 + 25,000 = U$ 90,016

Examinemos ahora la opción de construir el nuevo puente

3 4 7 5 8 9 11 1 2 10 6 15 12 13 14

25,000

400,000

10,000

300,000


105


1652111

11101500025

25

1 =−

=).(

.. xxA

La serie que genera P= U$7945,000 en n=1, es

6127411111

111074500025

25

1 ,.).(

..=

−=

x

xxA

CAUE = 1,652 + 74,6123 + 5,000 = U$ 81,264

De esta forma se demuestra que demoler el puente y construir otro nuevo, es la

solución económicamente más acertada, aún a costa de las inversiones que deben

realizarse para la nueva construcción.

3 4 7 5 8 9 11 1 19 2 10 6 15 20 12 13 14

5,000

21 22 23 25 24

15,000

700,000+45,000


106

8.1. CONSIDERACIONES GENERALES

En el sector de la producción industrial, los activos como maquinarias y equipos, se

ven afectados durante su vida útil por diferentes factores, frente a lo cual la

productividad, eficiencia, vida útil se van reduciendo en medida que transcurre el

tiempo.

La depreciación es una rutina natural de todos los activos. La depreciación afecta el

valor de los equipos a lo largo del tiempo

Debido al estado de las máquinas en un momento específico, donde se ve reducida la

vida útil y la productividad se hace necesaria el reemplazo y reposición de estos

activos. Esta situación sucede en virtud a situaciones como:

Disminución de la productividad. Debido al desgaste de piezas, deterioro físico,

variación de las tolerancias admisibles en accesorios mecánicas para elementos de

fuerza, método de uso, excedencias de carga por encima de las capacidades nominales

y en algunos casos, observado en la variabilidad de la precisión de medida o

funcionamiento. Estas situaciones motivan acciones tendientes a mantener el

equilibrio de la producción

Atraso tecnológico. La obsolescencia puede llevar a generar caos en la producción.

Para afrentar situaciones específicas se requieren equipos específicos y en la medida

CAPITULO

TECNICAS Y ANALISIS DE REEMPLAZO PARA MAQUINARIA Y EQUIPOS VVII


107

que avanza la tecnología las máquinas, al igual que otras realidades, van siendo

optimizadas en su funcionamiento y en su rendimiento. La tendencia es producir

máquinas y accesorios cada vez más eficientes que van desplazando a las generaciones

anteriores.

Nuevas realidades. Es posible que una empresa de construcción se vea frente a nuevas

realidades de construcción imposibles, de hacer con equipo tradicional, para lo cual

habrá que abrir un abanico de opciones. La Ingeniería Civil y la construcción en

general, cada vez se ven enfrentadas a situaciones cada vez más complejas

Las técnicas de reemplazo son un análisis para determinar la conveniencia económica

de adquirir nuevos activos de transformación o dejar los existentes en virtud a las

características financieras que posean cada uno.

El activo o equipo existente, el cual es objeto de estudio para ser remplazado, se

denomina defensor. Y el activo que está en las condiciones de ser suministrado a

reemplazar el existente, se denomina retador.

De hecho la decisión de tomar otro activo o dejar el existente, es resultado de

comparar alternativas. Estamos frente a un defensor al que se está considerando su

reemplazo por dos o más retadores.

El análisis de la situación en la cual un activo, defensor, ha perdido vida útil por

efecto de la depreciación y otras instancias, posee ahora un valor contable que será el

utilizado para establecer la evaluación económica en relación al valor del retador. No

es posible tomar el valor de adquisición del defensor, pues desde este evento a la

fecha, el equipo ha perdido vida útil. Es posible que el retador, mirado a lo largo de un

horizonte de evaluación, posea valor de salvamento.

En el uso de maquinaria interviene, el valor de adquisición, valor contable actual,

valor de salvamento y costo anual de operación. Comoquiera que los activos van a ser

definidos para uso continuo, el indicador que nos permite evaluar la interacción de los

anteriores factores, es el costo anual uniforme equivalente CAUE. Lo que interesa en


108

este análisis es cual equipo nos representa un menor costo periódico a lo largo de los

años posteriores a la toma de la decisión

8.2. DEPRECIACIÓN O MODELOS DE AGOTAMIENTO.

Representa la pérdida anual del valor del activo en estudio en virtud al desgaste

propio, disminución del rendimiento, pérdida de eficiencia y aumento del costo de

operación y mantenimiento anual. El valor del activo es expresado en función del

precio de adquisición I.

Un activo, como maquinaria o equipos, se adquieren en un período n, con lo cual a la

fecha del examen ha transcurrido una secuencia de períodos ∆n. Luego el valor

presente del equipo será una fracción del precio de adquisición I, disminuido en

función del tiempo transcurrido desde el evento de la compra y del modelo de

agotamiento empleado para evaluar.

8.2.1 Depreciación lineal. Es un método demasiado popular y usado en la mayor parte

de las aplicaciones donde se incluye modelos de agotamiento.

De acuerdo a este modelo el valor del activo varía desde el valor de adquisición I, a lo

largo de su vida útil n, hasta llegar a un valor residual definido, el cual de existir

tomará el nombre de valor de salvamento Vs, en caso contrario, tomará valor cero. El

valor de salvamento no función deducida de la producción, es una variable que va a

depender del mercado del equipo usado. La existencia de valor de salvamento se

expresa en el hecho que de manera contable, el activo tiene una vida útil n a lo largo

de la cual debe agotarse el valor de adquisición. Pero en la práctica, tal como lo ha

mostrado la historia y el ejercicio práctico, estos equipos siguen prestando servicio.

Por ello son susceptibles de tener valor comercial.


109

La tasa de depreciación por período anual se expresa como n

VsITl

−= . La secuencia

periódica puede tener cualquier amplitud. Con ello se establece que la variación de la

depreciación es constante

8.2.2 Agotamiento por saldo decreciente (SD) y saldo doblemente decreciente

(SDD).

Es conocido como el método del porcentaje fijo uniforme. Para el método del saldo

doblemente decreciente, el porcentaje fijo de depreciación que se permite es 200%, el

doble de la tasa en línea recta.

La tasa de depreciación máxima se expresa como t= n

2 y la tasa de depreciación para

el año n cualesquiera, se calcula como, 1nn )t1(Itt −−=

8.2.3 Depreciación por suma de dígitos de los años (SDA).

De acuerdo a esta técnica gran parte del activo se amortiza en el primer tercio de la

vida útil. Es de cambio menos sensible a los anteriores métodos en cuanto a la tasa de

depreciación.

La tasa de depreciación a lo largo de n años, corresponde a. ∑ =

+−=n

1n

1tnt

Donde ∑ =

n

1nes la suma de los dígitos de los años

8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS

La gráfica siguiente ilustra la variación de comportamiento entre los modelos


110

0

30000000

60000000

90000000

120000000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

lineal

sdd

sda

Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento

Fuente: Desarrollada por el autor

El modelo de saldo creciente da lugar a un valor de salvamento, pues es obvio que el

activo en estudio, siguen teniendo fuerza productiva y capacidad de servicio. Este

modelo es la simulación perfecta del comportamiento y resultado de uso en un equipo.

El método lineal, es drástico en esencia y castiga fuertemente al activo. Es una

aproximación tosca y antigua sobre la evolución y disminución de la vida útil de los

equipos.

El método de suma de dígitos es una regular aproximación al comportamiento de los

equipos, pues los deja sin probabilidad de uso al final de su vida útil. La diferencia

entre la integral de la función lineal y la función de correlación para la suma de dígitos

nos significa la pérdida de valor adicional que experimenta una máquina en términos

contables. Valor que debe ser asignado a los costos anuales para realizar los balances

de los flujos de valores.


111

Ejercicio 32. Una retroexcavadora comprada hace 4 años, se adquirió por valor de

$180,000,000. La capacidad del cucharón es de 3.1 m3, está montada sobre orugas. De

acuerdo a lo especificado por el fabricante la vida útil es de 36500 horas, con uso

diario de 10 horas. La depreciación se establece en línea recta para este activo. Al

final de esta vida útil, el valor de salvamento es $30,000,000 y se opera con inversión

de $40,000,000 en costo anual de operación

Existe la opción de reemplazar la retroexcavadora, por un equipo combinado de

retroexcavadora y gancho. Este equipo con vida útil de 40150 horas, con frecuencia de

10 horas de uso, tiene un valor de $230,000,000 y tienen un valor de salvamento de

$45,000,000. Para trabajar con esta máquina se requiere un costo anual de operación

de $52,000,000.

Si la empresa utiliza una tasa del 8% anual, determine cual es la alternativa más

aconsejable para el manejo de equipos.

PARAMETROS DEFENSOR RETADOR

Valor presente 108,000,000 230,000,000

Valor de salvamento 30,000,000 45,000,000

Costo anual de operación 40,000,000 52,000,000

Vida útil (años) 10 11

Valor presente para el defensor: Depreciación por año 10

1del valor de adquisición.

Luego, después de 4 años, el saldo es10

6de dicho valor, es decir 108,000,000.

Diagramemos la situación del retador.


112

La serie equivalente para P=108,000,000 es:

061,362,231)08,01(

)08,01(x08,0x000,000,108A

6

6

=−+

+=

La serie para el valor de salvamento es

46189410801

080000000306

,,),(

,,,O

xAs =

−+=

CAUE=40,000,000 + 23,362,061 –4,O89,461 = 59,272,6OO

Para el retador

612,820,371)08,01(

)06,01(08,0000,000,27011

11

=−+

+=

xxA

1 2 3

270,000,000

4

52,000,000

5 6 7 8 9 10

45,000,000

11

5 6 7

108,000,000

8

40,000,000

9 10

30,000,000

4


113

La serie para el valor de salvamento es

43537210801

0800000004511

,,),(

,,,O

xAs =

−+=

CAUE= 52,000,000 + 612,820,37 - 2,7O3,435= 87,117,177

Se logra observar que el defensor tiene menor CAUE, lo que equivale a recomendar

que sea mejor quedarse con el equipo existente

Ejercicio 33. Una compañía de estudios geotécnicos desea analizar la situación de su

actual equipo de perforación. Este equipo se compró hace 5 años en $23,000,000.

Tiene una vida útil de 10 años. Los costos de operación anula del equipo oscilan

alrededor de $4,000,000. Con este quipo que perfora hasta una profundidad de 15

metros mediante penetración estándar. Al final de su vida útil no logra obtenerse

valor de salvamento.

La empresa está pensando en remplazar este equipo por la presentación de dos

opciones a saber. La primera opción es un equipo de perforación por rotación por

valor de $53,000,000. Tiene costos anuales de operación de $3,000,000. Tiene una vida

útil de 10 años

La segunda opción es un sistema de penetración estándar, con capacidad de 30

metros. Posee costo de $21,000,000. Vida útil de 12 años. Tiene costos anuales de

operación de $3,000,000

Si la compañía utiliza una tasa del 7% anual y bajo la premisa que los equipos se

deprecian linealmente, determine que decisión deberá tomarse.


114

El valor residual a la fecha del equipo usado es $11,500,00. El diagrama para la

situación actual es:

La serie para el valor actual es: A= 742,804,21)07.01(

)07.01(7.115000005

5

=−+

+XOXO

CAUE= 2,804,742 + 4,000,000 = $6,804,742

El análisis del primer retador muestra el siguiente diagrama.

La serie para P=53,000,000 es 007,546,71)07.01(

)07.01(7.000,000,5312

10

=−+

+XOXO

1 2 3 4

153000000

5 6 7 8 9 10

3000000

1 2 3 4

11500000

5 6 7 8 9 10

4000000


115

CAUE= 7,546,007 + 3,000,000 = 10,546,007

Analizando el segundo retador se presenta la siguiente situación

La serie para P=21,000,000 es 941643210701

070170000002112

12

,,).(

).(.,,=

−++XOXO

CAUE= 2,643,941 + 3,000,000 = $5,64,941

Este valor es menor al que produce el equipo actual, por ello la empresa debe

reemplazar el equipo existente por el sistema de penetración estándar de la segunda

opción de reemplazo

Ejercicio 34. Se necesita precisar información económica sobre un equipo hincado de

pilotes a una profundidad de 20 metros en las acciones preliminares de una

cimentación de un proyecto.

La empresa necesita evaluar si utiliza su equipo o arrienda un equipo neumático.

El equipo actual posee un sistema de presión accionado mediante bombas hidráulicas.

Con este equipo es posible hincar 20 pilotes por día hasta una profundidad de 10

metros, comoquiera que la profundidad de desplante es de 20 metros, se disminuye el

rendimiento a 12 pilotes por día. El equipo se compró hace 5 años por valor de

1 2 3 4

21000000

5 6 7 8 9 10

3000000

11 12


116

$200,000,000 y tiene una vida útil de 12 años al final de los cuales tienen valor de

salvamento por $50,000,000. Los costos anuales de operación se aproximan a

$18,000,000,000

El retador, un equipo de accionamiento neumático, tiene capacidad de hincado de 20

toneladas por pilote. Puede hincar 18 pilotes por día a una profundidad de 20 metros.

El alquilar de esta máquina está ardedor de los $30,000,000 por semana y $9,000,000

en costos de operación anual

Evalúe la solución a esta situación si la empresa utiliza una TMAR del 10% anual y el

proyecto pretende desarrollarse a los largo de un año

Examinemos la situación actual:

El valor residual de la máquina ahora es 666,666,116000,000,20012

7 =x

La serie correspondiente a P=116,666,666 corresponde a

974,963,231)1.01(

)1.01(1.666,666,1167

7

=−+

+XXO

CAUE= 18,000,000 + 23,963,974 = 41,963,974

Para el retador se presenta la siguiente situación.

12 7 11 8 9 6 5 4 3 1 2

116,666,666

10

18,000,000


117

CAUE = 30,000,000 + 9,000,000 = 39,000,000.

Asi, de esta manera que el retador presenta más ventaja que el defensor. La

compañía debe vender el equipo existente y arrendar el equipo neumático para hincar

los pilotes.

Ejercicio 35. Una empresa constructora está contemplando la posibilidad de

reemplazar sus unidades de carga, pero no tiene la precisión de los costos asociados a

las alternativas que se presentan.

Esta empresa tiene 2 volteos, ambos tienen capacidad de 7 m3. El primero de ellos se

compró hace 2 años, y el segundo volteo se adquirió hace 3 años.

A continuación se relacionan las características de estos activos

Datos Vehículo inicial Vehículo final

Costo de adquicisión CA $90,000,000 $75,000,000

Vida útil 12 años 10 años

Valor de salvamento VS $25,000,000 $20,000,000

Costo anual de operación $700,000 $800,000

Es posible alquilar dos camiones con capacidad de 10 m3 por valor de $200,000,000

anuales. El costo de operación por es $800,000 anuales

La alternativa final es la compra de 2 volteos de 11 m3 con las siguientes

características

Costo de adquisición CA $100,000,000

Vida útil 10 años

Valor de salvamento VS $30,000,000

Costo anual de operación $900,000


118

¿Qué camino debe tomar la empresa?

Examinemos lo que acontece con la situación actual del primer defensor:


904,205,121)1.01(

)1.01(X1.0x7500000010

10

=−+

+

La serie correspondiente a P=25,000,000 como valor de salvamento, corresponde a

63456811101

12500000010

.,).(

.=

−+xO

CAUE=12,205,904 + 700,000 – 6345681 ., =11,337,27O

Con el segundo defensor:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

700,000

11 12

25,000,000

75,000,000


119


788,783,1017)1.01(

)1.01(1.52500000 7

=−+

+XxO


981121101

1200000007

OOxO

,).(

.=

−+

CAUE= 10,783,788 + 800,000 – 2,1O8,1O9 = 9,475,679

El CAUE definitivo de estos equipos es 2O,812,949

Veamos ahora que acontece con las características del retador No 1

CAUE = 2O,OOO,OOO+8OO,OOO=2O,8OO,OOO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

800,000

20,000,000

52,500,000


120


078,549,321)1.01(

)1.01(1.000,000,20010

10

=−+

+XxO


72376431101

1600000007

,,).(

.=

−+xO

CAUE = 32,549,078 +900,000 - 9,764,723 =29,684,355

El CAUE menor se presenta el arriendo de los equipos, de manera que la empresa

deberá venderlos.

8.3 PREMISAS GENERALES DEL MODELO DE REMPLAZO.

Existe un equipo en uso con x años en uso. Adquirido en un valor I y con una vida útil

n, y existe una TMAR denotada como i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

900,000

60,000,000

200,000,000


121

A los x años se genera la incertidumbre sobre la sustitución de los equipos. Así el

equipo existe ha agotado una fracción de I y se precisa determinar en qué momento

desde x en adelante debe ser introducido el siguiente equipo.

En la medida que la vida útil disminuye, los costos anuales de operación y

mantenimiento van en aumento en forma de gradiente uniforme. Esto es lógico si se

abstrae que el rendimiento y eficiencia disminuyen en función al agotamiento y

deterioro, de manera que para mantenerlo dentro de los límites de tolerancia, cada

vez debe emplearse mayores asignaciones de capital.

Revisemos cuando debe ser remplazada la retroexcavadora en estudio.

Definamos la depreciación restante como función de la vida útil n del retador.

Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo.

Fuente Desarrollada por el autor

Luego la depreciación restante puede expresarse por la función n

xnVat i1 −= , donde

xi, es cualquier valor que pueda ser tomado en el intervalo [ ]1n,x . Ahora, sea b el


122

cociente entre la vida útil restante del defensor y la vida futura del retador, n2, de

manera que 2

1

n

xnb

−= , donde.

Ahora bien, el gradiente para el costo anual de mantenimiento y reparación se expresa

en el siguiente diagrama:

Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación

Fuente: Desarrollada por el autor

La tasa con la que se incrementa el costo de mantenimiento y reparación es i0.

El CAUE del defensor, tomado desde el año x, hasta la n1 expresado en función de n2 se

desarrolla individualmente como:

La serie correspondiente al valor presente del equipo debe expresarse en función de

[ ]1)i1(

)i1(ibn

)abn(Vcomouniformeserielardesarrolla,esesto,

xna)xn(

V2

2

bn

bn

2

2a

1

1a −+

+−−

−−


123

Debe plantearse que al tomar los valores de costo de reparación y mantenimiento en

forma de gradiente, el costo anual no es equivalente. Sin embargo es el costo efectivo

que de desarrolla tras cada período. El valor inicial de este costo de mantenimiento

para n=x, resulta ser P, con ello el gradiente tendrá notación

22

2

bno

2bn

oo

bno

o

)i1(

bn

)i1(i

1)i1(

1Pi

+−

+−+

, que es igual a o

bno

bnoo

oni1)i1(

)i1(iPi

2

2

−−++

, con ello el CAUE, en

definitiva puede denotarse como o2

bno

bnoo

obn

bn

2

2a

ibn1)i1(

)i1(iPi

1)i1(

)i1(i

bn

)abn(CAUE

2

2

2

2

−−++

+−+

+−=

Para el retador, el CAUE es,22

n2

n22

22n

n

in1)i1(

)i1(iiP

1)i1(

)i1(iI

2

2

2

2

−−++

+−+

+, donde I es el valor de

adquisición del equipo, i2 es la tasa en que se incrementa el costo de mantenimiento y

operación a lo largo de los n2 períodos existentes, partiendo de un valor inicial P2.

En los anteriores planteamientos i, io, b, n1, n2, P y P2 son parámetros conocidos.

Para determinar la fracción de n2 donde debe entrar la sustitución, se requiere

introducir formas canónicas restringidas. No es posible precisar usar las formas

matemáticas estándar para evaluar un único período. Al igual los CAUE de cada

alternativa

o2bn

o

bnoo

obn

bn

2

2

ibn1)i1(

)i1(iPi

1)i1(

)i1(ibn

)abn(2

2

2

2

−−+++

−++− =

22n

2

n22

22n

n

in1)i1(

)i1(iiP

1)i1(

)i1(iI

2

2

2

2

−−+++

−++

, luego

el período n resultante es el lugar donde debe ser sustituido los equipos. Es necesario,

para efectuar la sustitución que el defensor, tenga mayor CAUE que el retador.

La modelación, puede ser llegar a ser tan específica como se logre acercar al detalle

con niveles de acercamiento y precisión definidos.


124

BIBLIOGRAFIA

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BACA CURREA, Guillermo. Ingeniería Económica. Bogotá. Fondo Interamericano del

Libro. 2005

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Libro. 2004

LELAND T, Blank y TARQUIN, Anthony. Ingeniería Económica. Méjico. 2004. Editorial Mc

Graw Hill

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Universidad Católica Popular de Risaralda. Sf

MELO MOLINA, Jorge Eduardo. Manual de Ingeniería Económica. Cali. Escuela Militar de

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