7/25/2019 5.5 Integrales Triples en Cartesianas

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Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES

Tema 5.5 : Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas

(Estudiar la Sección 15.7 en el Stewart 5ª Edición,; Hacer la Tarea No. 22) 

Definición de Integral Triple en una caja rectangular:

( ) ( )

{( )∑∑∑

∫ ∫ ∫∫∫∫

= = =∞→

∆=

==

l

i

m

 j

n

k 

k  ji

nml

s

r 

d 

c

b

a

V  z y x f 

dxdydz z y x f dV  z y x f 

1 1 1,,

,,lim

,,,,

 

Integrales Triples en Regiones Generales:

En la Tabla de la página 91 se muestran las seis diferentes regiones generales

que tomaremos en consideración, para el cálculo de integrales triples. Cadauna de estas regiones corresponde a uno de los seis diferentes ordenesposibles en que pueden integrarse las variables x, y y z.

Ejemplo 1:

Evalúe la integral triple ∫∫∫ E 

dV  z  , en donde la región E es el tetraedro sólido

limitado por los cuatro planos 1,0,0,0   =++===   z y x z y x  utilizando elorden de integración : dxdydz  

Solución:

( )  ( )

( )1111

3

1

2

11

2

1

2

1411

3

1

0

1

0

31

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

21

0

1

0

1

0

=

  −−−=−−=

==

∫∫

∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫−

=

=

−=

=

=

=

−=

=

−−=

=

=

=

−=

=

−−=

=

x

dx y x

dxdy y x

dxdy z

dxdydz zdV  z

 x x

 x

 x y

 y

 x

 x

 x y

 y

 y x z

 z

 x

 x

 x y

 y

 y x z

 z

 E 

 

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Ejemplo 2 

Evalúe la integral triple

∫∫∫ E 

dV  z  , en donde la región E es el tetraedro sólido

limitado por los cuatro planos 1,0,0,0   =++===   z y x z y x  ; utilizando un orden

de integración diferente al ejemplo anterior

Solución:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

24

1

12

1

8

1

3

1

4

1

12

10

6

10

4

1

3

2

2

1

2

10

4

1

3

1

43

2

22

1

3

1

2

1

13

11

2

11

2

1

322

1

0

44323

1

0

322

1

0

1

0

3221

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

=+−+−

=

+−

−−

+

 

  

 +−−=

=

  −+

 

  

 +−−

−−=

=

−−−−−=

=

−−=−−=

===

∫

∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫−

=

=

−=

=

=

=

−=

=

−−=

=

−=

=

−−=

=

 x x x x x

dx x x x x

dx z z

 x z

dxdz z xz z

dxdz zydxdzdy zdV  z

 x x

 x

 x z

 z

 x

 x

 x z

 z

 z x x

 x

 x z

 z

 z x y

 y E 

 

Ejemplo 3: Cambiar el orden de integración a dzdxdy  para la integral:

( )∫ ∫ ∫− −−6

0

3

24

0

4

3

23

0

,,

 x y x

dxdydz z y x f   

Solución: Se nos da como dato que la variable z varía desde 0= z  hasta

4

3

23

  y x z   −−= . Esta última ecuación la podemos rescribir como la ecuación del

plano: 12432   =++   z y x  : La traza de este plano con el plano 0= z  tiene la

ecuación 1232   =+   y x . O sea3

24

  x y   −=  , que define el valor máximo de y. Por lo

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Ejemplo 4: Utilice una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por

los paraboloides

2222

18;   y x z y x z  −−=+=

 . Solución: La curva de intersección de los dos paraboloides obtenida igualando

21   z z   =  , es el círculo .   922

=+ y x . El volumen del sólido está dado por :

[ ]∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫  +

−

−+

−−

+

−

−+

−−

−−

+

−−===

3

3

9

9

223

3

9

9

18  2

2

2

2

22

22

92   dxdy y xdxdydzdV V  x

 x

 x

 x

 y x

 y x E 

 

y conviene simplificar esta integral doble integrando en coordenadas polares:

[ ]

( )   π  π  

θ  θ  θ  

π  π  π  

8124

812

4

81

2

812

42

9292

2

0

2

0

3

0

422

0

3

0

2

= 

  

 =

 

  

 −=

−=−= ∫∫∫ ∫

V 

d d r r 

d dr r r V 

 

Para la próxima clase estudiar las secciones15.7 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

Tarea para entregar la próxima claseTarea No. 22 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas

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Ejemplo: Cambiar el orden deintegración en la integral triple dada,sobre la región mostrada:

( )∫ ∫ ∫  −1

0

1 1

0

,, x

 y

dxdydz z y x f   

Con el orden: dydxdz  tenemos.

( )∫ ∫ ∫  −1

0 0

1

0

2

,, y y

dydxdz z y x f   

Con el orden: dzdydx  tenemos.

( )∫ ∫ ∫−1

0

1

0 0

2

,, z y

dzdydx z y x f   

Con el orden: dydzdx  tenemos.

( )∫ ∫ ∫−1

0

1

0 0

2

,, y y

dydzdx z y x f   

Con el orden: dxdzdy  tenemos.

( )∫ ∫ ∫− −1

0

1

0

1

,, x z

 x

dxdzdy z y x f   

Con el orden: dzdxdy  tenemos.

( )( )

∫ ∫ ∫− −1

0

1

0

12

,, z z

 x

dzdxdy z y x f   

2 y x  =

  y z   −= 1  

1= y  

2 y x  =

  y z   −= 1  

2 y x  =  y z   −= 1  

1= y  

2 y x  =  y z   −= 1  

1= y  

2 y x  =  y z   −= 1  

1= y  

2 y x  =

  y z   −= 1  

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Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA

Tarea No 22 : Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas

(Sección 15.7 del Stewart 5ª Edición)

En los problemas 1 al 4 evalúe la integral triple:

∫∫∫ E 

dV  xyP   6:1  en donde E  está bajo el plano  y x z   ++= 1 , y

arriba de la región del plano xy limitado por las curvas

1,0,   ===   x y x y  

28

65:1 R  

∫∫∫ E 

dV  xyP   :2  en donde E  es el tetraedro sólido con vértices

( ) ( ) ( ) ( )3,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0  10

1:2

 R 

∫∫∫ E 

dV  zP   :3  , en donde E  está limitado por los planos

1,1,0,0,0   =+=+===   z x z y z y x  12

1:3 R  

∫∫∫ E 

dV  xP   :4  , en donde E  está limitado por el paraboloide

2244   z y x   +=  y el plano 4= x  

3

16:4

  π   R  

En los problemas 5 y 6 utilice una integral triple para hallar el volumen del sólidodado:

P5 : El tetraedro limitado por los planos de coordenadas y el plano12632 =++ zyx

8:5 R  

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