Distribuciones ImportantesMg. Enver Tarazona VargasDistribuciones discretasSon las funciones de probabilidad asociadas a variablesaleatorias discretas, que se generan mediante procesosde conteo sobre las veces que se repite un suceso.Cuando se elige alazar un elemento,se averigua sicumple o no con cierta condicin, para luego contar elnmero de elementos que si cumplen con la condicin enanlisis.DISTRIBUCIONESDEPROBABILIDADUn experimento aleatorio es llamado una prueba o ensayo deBernoulli si cumple las siguientes condiciones:1. Para cada prueba o ensayo se define un espaciomuestral con solo dos resultados posibles: Exito (E) yFracaso (F), donde:P[E]=t y P[F]= 1 - P[E]= 1 - t2. La probabilidad de xito (t) se mantiene constante de pruebaa prueba.3. Las pruebas se consideran que son independientes.Distribuciones discretas.Pruebasde BernoulliExperimentos de BernoulliEjemplos: Lanzar una moneda y que el xito sea que salga cara. p=1/2 Elegir una persona de la poblacin y que el xito sea que est enfermo. p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad Aplicar un tratamiento a un enfermo y que el xito sea que ste se cure. p=0.95, probabilidad de que el individuo se cure Como se aprecia, en experimentos donde el resultado slo toma 2 valores, la variable queda perfectamente determinada conociendo el parmetro p.Una variable aleatoria discreta X tiene una distribucin Bernoulli obinomial puntual si su funcin de probabilidad es dada por:Donde: t = Probabilidad de xitoX = Nmero de xitos en una prueba de BernoulliAdems, la media y variancia de la variable aleatoria X son:Distribuciones discretasDistribucin Bernoulli o binomial puntualmodo otro de ,01 , 0 si, ) 1 ( ) (1== t t =x x fx x|| t = = X EX|| | | ) 1 ( X E X Var2X2Xt t = = = o -Una variable aleatoria discreta X tiene una distribucin Binomial si sufuncin de probabilidad es dada por:Donde:t = Probabilidad de xiton = Nmero de pruebas de Bernoulli otamao de una muestra con reemplazoX = Nmero de xitos en n pruebas de BernoulliAdems, la media y variancia de la variable aleatoria X son:Distribuciones discretasDistribucin Binomialmodo otro den x sixnx fx n x, 0, , 1 , 0 ,) 1 ( ) (== t t||.|

\|=| | t = = EXn X|| | | ) 1 ( E Var22Xt t = = = o n X XXDistribuciones discretasDistribucin Binomialmodo otro den x sixnx fx n x,0, , 1 , 0 , ) 1 ( ) (== t t||.|

\|=5 . 0 = tDistribuciones discretasDistribucin Binomialmodo otro den x sixnx fx n x,0, , 1 , 0 , ) 1 ( ) (== t t||.|

\|=5 . 0 < tDistribuciones discretasDistribucin Binomialmodo otro den x sixnx fx n x,0, , 1 , 0 , ) 1 ( ) (== t t||.|

\|=5 . 0 > t Se define una v.a. X igual al nmero de piezas defectuosas; luego,Rx = { 0, 1, 2, 3). Entonces X ~ B(3,p). Las piezas a la salida de una lnea de produccin se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N), de manera independiente Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a esteesquema. El espacio muestral para este experimento es:O= {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Esoimplica que la poblacin es muy grande o las observaciones sehacen con remplazo para asegurar la independencia. Interesa el nmero de piezas D y no el orden en que salen.Ejemplo:O= { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}0(1-p)300,10,20,30,40,523(1-p) p23p31X(NND)= 1X(NDN)= 1X(DNN)= 13(1-p)2p3 P(N) P(N) P(D)) (x PXFuncin de probabilidad:xEL 10% de los artculos producidos por una mquina son defectuosos. Sielige una muestra aleatoria con reemplazo de 6 artculos y se define lavariable X como el nmero de artculos defectuosos elegidos,a) Determinar la probabilidad que al menos un artculo sea defectusoDistribuciones discretasDistribucin Binomial. Ejemplomodo otro dex sixx fx x, 06 , , 1 , 0 ,) 1 . 0 1 ( ) 1 . 0 (6) (6== ||.|

\|=| | | | 1 . 0 P P = = = t Defectuso Exito| | | | | |468559 . 0 ) 1 . 0 1 ( ) 1 . 0 (061) o ( 1 0 P 1 1 P 1 1 P0 6 0= ||.|

\| = = = = < = >f X X Xb) Halle el valor del coeficiente de variabilidad de XDistribuciones discretasDistribucin Binomial. Ejemplo474487 . 122 ) 100 (6 . 054 . 0) 100 (54 . 0 ) 1 . 0 1 )( 1 . 0 )( 6 ( ) 1 (6 . 0 ) 1 . 0 )( 6 (XXX2XX=||.|

\|=||.|

\|o== = t t = o= = t = CVnnEJERCICIO La empresa constructora Alpha quiere comprar inmuebles en varios distritos de Lima para construir edificios. Alpha sabe, por experiencias anteriores, que solo el 5% de los inmuebles visitados cumplen con sus condiciones. Si la semana siguiente tiene planeado visitar diez inmuebles en Lima.a) Cul es la probabilidad que solo uno de los inmuebles cumpla las condiciones?b) Cul es la probabilidad que como mximo tres de los inmuebles cumplan con las condiciones?c) Cul es la probabilidad que por lo menos dos de los inmuebles cumplan con las condiciones?d) Si se visitaron dos inmuebles y se observ que cumplan con las condiciones Cul es la probabilidad de que menos de 8 de los inmuebles cumplan con las condiciones?e) Cul es el nmero esperado de inmuebles que cumplirn con las condiciones?Ejemplo: A una empresa le han encargado ciertos productosespecializados en un tiempo limitado. Por tanto, estos slo podrndesarrollarse unitaria y simultneamente en cada una de las 5mquinas especiales con que cuenta la empresa. El problema esque el proceso de produccin en cada mquina podra cortarse conuna probabilidad de 0.2. Para evitar esto es factible adquirir uninsumo especial que lo venden en cajas, de tal manera que alagregar una caja al proceso de produccin de cada mquina harque se evite el corte y se llegue a obtener el producto. De locontrario se detendr la produccin de la mquina y se perderesta generndose un costo de 100 dlares, que es el costo deproduccin. Si la empresa recibir 500 dlares por cada productoentregado y cada caja del insumo especial cuesta 200 dlares, cul sera el nmero ptimo de cajas de insumo que debera deadquirir la empresa para maximizar su utilidad esperada?Sea una poblacin de tamao N, donde hay A elementos que tienen unacaracterstica W definida como xito, y B elementos que no tienen lacaracterstica W, siendo N=A+B. Si de dicha poblacin se toma unamuestra aleatoria de tamao n y se define la variable aleatoria X como elnmero de xitos obtenidos; entonces, la variable X tendr como funcinde probabilidad:Donde: X = Nmero de xitos obtenidos en una muestra sin reemplazode tamao n.Distribuciones discretas. Distribucin Hipergeomtricamodo otro den x sinNx nBxAx f,0, , 2 , 1 , 0 ,) (==||.|

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\|= Adems, la media y variancia de la variable aleatoria X son:NotaSi el nmero de elementos de la poblacin (N) es grande y la fraccin demuestreo(f=n/N) es pequea; es decir, si f Bmodo otro de,0, , 2 , 1 , 0 , ) (==|.|

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\|= n x sinN x nBxAx f Suponga que en un proceso de control de calidad se inspecciona un lotede 10 artculos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se eligen 5 artculosal azar y sin reemplazo hallar, La probabilidad de elegir no ms de 2artculos defectuosos.X=Nmero de artculos defectuosos elegidosN=10, A=4,n=5, B=10-4=6Distribuciones discretas. Distribucin HipergeomtricaEjemplomodo otro de ,05 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 51056 4) (==|.|

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\|= x six xx fs defectuoso art.210) 4 )( 5 () ( = = = = NnAX EX666667 . 01 105 1010) 6 )( 4 )( 5 ( 1) (2 22=((

=((

= = oN n NNnABX VarXSuponga que en un proceso de control de calidad se inspecciona un lotede 10 artculos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se eligen 5 artculosal azar y sin reemplazo hallar, La probabilidad de elegir no ms de unartculo defectuoso.Distribuciones discretas. Distribucin HipergeomtricaEjemplomodo otro de ,05 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 51056 4) (==|.|

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\|= x six xx f| | 261905 . 051046145105604) 1 ( ) 0 ( 1 X P =|.|

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\|+|.|

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\|= + = s f fLa distribucin NormalUna v.a continua X se dice que tiene distribucin normal si su funcin de densidad viene dada por:Est distribucin est caracterizada por dos parmetros:lamedia y la varianza . De aqu que se utilice la notacin 22) (21221) (oto =xe x f2o) , ( ~2o N XInterpretacin geomtrica de los parmetros de una distribucin normal Se puede interpretar la media como un parmetro de traslacin. -10 -5 0 5 100.000.050.100.150.20xfDistribucin normal de media -2 y varianza 4Interpretacin geomtrica de los parmetros de una distribucin normal Se puede interpretar la media como un parmetro de traslacin. -10 -5 0 5 100.000.050.100.150.20xfDistribucin normal de media 0 y varianza 4Interpretacin geomtrica de los parmetros de una distribucin normal Se puede interpretar la media como un parmetro de traslacin. -10 -5 0 5 100.000.050.100.150.20xfDistribucin normal de media 2 y varianza 4Interpretacin geomtrica de los parmetros de una distribucin normal Se puede interpretar la varianza como un parmetro de escala o grado de dispersin. -4 -2 0 2 40.00.20.40.60.8xfDistribucin normal de media 0 y varianza 0.25Interpretacin geomtrica de los parmetros de una distribucin normal Se puede interpretar la varianza como un parmetro de escala o grado de dispersin. -4 -2 0 2 40.00.20.40.60.8xfDistribucin normal de media 0 y varianza 1Interpretacin geomtrica de los parmetros de una distribucin normal Se puede interpretar la varianza como un parmetro de escala o grado de dispersin. -4 -2 0 2 40.00.20.40.60.8xfDistribucin normal de media 0 y varianza 4Recordemos que el rea bajo la funcin de densidad de una v.a continua debe ser 1. La distribucin normal es simtrica y sucede que: Entre la media y una desviacin tpica tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 0.68 Entre la media y dos desviaciones tpicas aprox. 0.95La distribucin Normal estndarCalcular probabilidades con la distribucin normal no es fcil, pues estas dependen de sus parmetros en especial de la varianza. Afortunadamente existe una distribucin Normal cuya media es 0 y varianza es 1, llamada distribucin Normal estndar a la cual toda otra variable normal puede ser transformada mediantela siguiente propiedad:Si, entonces ) , ( ~2o N X ) 1 , 0 ( ~ NXZo =La utilidad de esta propiedad es que ahora necesitaremos slo calcular probabilidades con esta distribucin normal estndar, para lo cual se dispondr de una nica tabla donde se encontrarn tabuladas las probabilidades acumuladas P(Z c) para valores de c desde van desde -4.09 a 4.09 y hasta con dos decimales.-4.0-3.9-3.8-3.7-3.6-3.5c 0 1 23 456789 .0000.0000.0000.0000.0000.0000....0000.0000.0000 .0001.0001.0001 .... ...... .......0001 ..... ............ .......0002 ......... .....0002 ....La tabla consta de:*Margenizquierdo : Los enteros de c y su primer decimal.* Margen superior:segundo decimal* Cuerpo de la tabla: reas correspondientes, acumuladas desde -4.09hasta 4.09c 0 1 2 3 0.041.92.02.22.2Ejemplo: Cul es la probabilidad de queZ ~ N(0,1) sea menor o igual que 2.03?Se busca en la tabla el rea correspondiente a c = 2.030.97880.9788c 0 1 2 3 0.042.42.52.62.7Ejemplo: SiZ ~ N(0,1), halle P(-1.22 < Z < 2.5) P(-1.22 < Z < 2.5) = P(Z < 2.5) P(Z