5.00 prob. estatic. indeterminados

Resistencia de Materiales I Ing. Máximo Alejandro Crispín Gómez

SISTEMAS DE FUERZAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE FUERZAS DETERMINADOS:Se define así, cuando se puede determinar los valores de todas las fuerzas exteriores que actúansobre la estructura, solamente utilizando las ecuaciones de equilibrio estático; tales como son:

FX = 0 ( 1 ) FY = 0 ( 2 ) M = 0 ( 3 )

DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE FUERZAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS:Se define así, a las fuerzas que actúan sobre una estructura, no pueden determinarse solo con laaplicación de las ecuaciones de equilibrio estático; porque hay más fuerza desconocidas que lasecuaciones de equilibrio estático. En este caso, el sistema de fuerzas es estáticamenteindeterminada o denominado hiperestático.

Nº de Ecu. Est. = 3 Nº de Ecu. Est. = 3R1, R2, R3 y R4 = 4 Incógni. R1, R2, R3, R4 y M = 5 Incógnitas4 – 3 = 1 1er Grado 5 – 3 = 2 2do Grado

METODOS DE SOLUCION:El procedimiento que se considera para la solución de los problemas hiperestáticos, se llama elmétodo de la deformación, porque estudia las deformaciones en el sistema estructural. Enresumen para dar solución un problema de un sistema indeterminado, primero se escriben todaslas ecuaciones necesarias de equilibrio estático y luego las suplementarias, basadas en lasdeformaciones, para que el total de ecuaciones incluidas las de estática sean igual al número defuerzas desconocidas que intervienen. Recomendando efectuar previamente el diagrama decuerpo libre. (D. C. L.)


PROB. Nº 01: La barra representada en la Fig. Nº 01, es de sección cuadrada de 5 cm. de lado yestá sujeta rígidamente entre los muros (empotrado). Si se aplica una carga P = 25 000 Kg., a ladistancia L1 = 40 cm. del apoyo A, y L2 = 50 cm. Determinar las reacciones de los muros sobrela barra. Sabiendo que E = 2.1 x 106 Kg./ cm2.

FIG. Nº 01 FIG. Nº 02

En la Fig. Nº 02, se observa el diagrama de cuerpo libre, donde se aprecian la aplicación de lasfuerzas exteriores denominados reacciones y la fuerza interior.

Para lo cual aplicando la primera ecuación de equilibrio estático, se tiene que:

021 RPRFH (1.00) Se observa que tiene DOS incógnitas y se puede aplicar

UNA ecuación de equilibrio estático, entonces resulta seruna estructura de Primer Grado de Hiperestaticidad. Portanto es necesario plantear una ecuación adicional basadoen la deformación de barras:

AE

LP

(2.00) Es la ecuación de la deformación, donde:

DeformaciónP = FuerzaL = LongitudE = Módulo de ElasticidadA = Área de la sección transversal.

Efectuando el análisis en el D. C. L., que las deformaciones totales no serán más allá de ladistancia que existe entre muros, lo que significa que el acortamiento en la barra L1 será igual alalargamiento de la barra L2. Entonces se igualan las dos condiciones, aplicando la Ecu. 1.00.

AE

LR

AE

LR

2211 (3.00) Simplificando se tiene: 2211 LRLR (4.00)

Despejando R1 en (1.00): R1 = P – R2 (5.00)

Reemplazando (5.00) en (4.00)

(P – R2) L1 = R2 L2

P L1 – R2 L1 = R2 L2

P L1 = R2 L1 + R2 L2 = R2 (L1 + L2) (6.00)


5040

425000

1

12

O

LL

LPR 11 111.11 Kg. (7.00)

Reemplazando el valor de R2 y despejando (5.00), se tiene:

R1 = 25 000 – 11 111.11

Se tiene: R1 = 13 888.89 Kg.

PROB. Nº 02: La barra AB mostrada en la Fig. Nº 03, es absolutamente rígida, y está suspendida

por tres varillas. Las dos varillas extremas son de acero de sección de 3 cm2., la varilla del centro

es de cobre, su sección es de 9 cm2. El módulo de Elasticidad para el acero es de 2.1 x 106

Kg./cm2. y para el cobre es de 1.2 x 106 Kg./cm2. La longitud de las varillas es de 2.00 m., están

igualmente separados entre sí; estando aplicadas las cargas de 10 000 Kg. En el punto medio

entre las varillas. Despreciar el peso de la barra AB, determinar la fuerza en cada una de las

varillas, considerando que AB permanece horizontal después de la aplicación de las cargas.


Aplicando la ecuación de equilibrio estático, ∑ FV = 0 en el D. C. L.

2 PAc. + PCu. – 2 x 10 000 = 0 (1.00)

De acuerdo al planteamiento del problema es que antes y después de aplicación de la carga, la

barra AB permanece horizontal, lo que significa es que las deformaciones serán iguales.

Aplicando la Ec. De la deformación por carga axial:AE

LP

(2.00)

9102.1

.)200(

3101.2

.)200(6

.6

.

cmPcmP CuAc (3.00)

Desarrollando y despejando de la Ec. (1.00), se tiene: .. 220000 AcCu PP (4.00)


Reemplazando los valores de (4.00) en (3.00) y simplificando:

92.1

)220000(

31.2.

AcAc PP

92.1

20000

92.1

2

31.2.

AcAc PP

Continuando con la operación:92.1

20000

04.68

4.23

)92.1()31.2(

6.128.10 ...

AcAcAc PPP

4.238.10

2000004.68

AcP Donde: PAc. = 5 384.62 Kg.

Reemplazando el valor de PAc. en la ecuación (1.00):

2 (5 384.62) + PCu. = 20 000 Donde: PCu. = 9 230.76 Kg.

PROB. Nº 03: Determinar el diámetro requerido para varillas roscadas de acero para el canal de

la Fig. Nº 05. Considerar el esfuerzo admisible de 1 356 Lib./ pulg2. El peso específico del agua

es 62.4285 Lib./pie3.


Efectuando ∑M = 0 referente al vértice inferior de la Fig. Nº 06: Sentido de M.

∑M = W (⅓) (2 pies) – F (5 pies) = 0 (1.00)

Se sabe que el peso del agua será: W = piesW 8422

1

= 62.4285 (32)

Donde: W = 1 997.71 Lib. (2.00)

Reemplazando (2.00) en (1.00) y desarrollando se obtiene que: 5 F = 1 997.71 pies23

1

Desarrollando se tiene que: F = 266.36 Lib.


Para determinar el diámetro, utilizamos el concepto de esfuerzo: σ =A

P (3.00)

Reemplazando valores en (3.00): 1 356Area

Lib

pu

Lib .36.266

.lg

.2

Despejando el área y desarrollando se tiene: A = 0.1964 pulg2.

De acuerdo al planteamiento del problema, la sección de la varilla es de forma circular, por tanto

el área de una sección circular es:4

22 d

r

Despejando: 25.01964.0442

A

d

d = 0.50 = ½ “ Rta.

PTOB. Nº 04: Determinar el desplazamiento δ del punto de aplicación de la carga P y las

tensiones normales en las secciones transversales de las barras de comportamiento elástico.

Considerar como datos el módulo de elasticidad (E) y la sección (A), serán iguales para las dos

barras de la Fig. 06 (a).

SOLUCIÓN

Efectuando el D. C. L. de cada elemento

estructura (Fig. 6b y 6c)

FIG. Nº 06

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