5. Interpolacin. Funciones de forma435. Interpolacin. Funciones de forma5 . 1. I NTRODUCCI NInterpolaresaproximarelvalordeunafuncinentrepuntosconocidos,basndoseenelvalordedichafuncinentalespuntos.Enelementosfinitoslainterpolacineselaspectofundamentaldelmtodo.Lasfuncionesincgnitasesustituyenporunafuncinaproximada,construida a tramos dentro de cada elemento, y funcin del valor de la misma en los nodos.Engeneralseutilizanfuncionesdeinterpolacinpolinmicas.Talesfuncionespermitenformulardeformamssencillaelmtododeloselementosfinitos,facilitanlosclculosnumricos(especificamenteladerivacineintegracin),ypermitenaumentarlaprecisinincrementandoel orden del polinomio de interpolacin (en teora, un polinomio de orden infinito corresponde alasolucinexacta).Lasfuncionestrigonomtricastambinposeenalgunasdeestaspropiedades, aunque se utilizan mucho menos que las polinmicas en elementos finitos.Figura 1. Interpolacin polinmica unidimensionalEnelementosfinitos,lainterpolacindentrodecadaelementoseplanteamediantelasfuncionesdeforma.As,siqueremosinterpolarlafuncin enfuncindelvalordedichafuncinenlosnodosquedefinenelelemento( )i ,tendremosquebuscarlasfuncionesdeformaiNtales que5. Interpolacin. Funciones de forma44[ ]{ }ei iN N (Ec. 1)donde[N]eslamatrizdefuncionesdeformay{ }e eselvectorquecontieneelvalordelafuncinincgnita enlosnodosdelelemento.Lasfuncionesdeinterpolacin,yenconsecuencialasfuncionesdeforma,nopuedenelegirsearbitrariamente.Existenciertoscriteriosderivadosdeordenpolinmico,completitudydecontinuidadentreelementosquedebencumplirseparaasegurarlaconvergenciaalasolucinexactaamedidaqueeltamaodeloselementostiendeacero.Conrespectoacontinuidad,dependiendodeltipodeproblemaserequerirnicamentecontinuidad 0C (continuidadnicamenteenlafuncininterpolada,comoen el caso del problema elstico) u rdenes de continuidad mayores.5 . 2 . FORM ASB SI CASDEELEM ENTOSLa mayor parte de los elementos finitos son geomtricamente simples, de forma que sea posiblemodelarcualquierdominiodeformaarbitraria.Elnmerodenodosdelelementodependedeltipodevariablesnodales,deltipodefuncionesdeinterpolacinydelgradodecontinuidadrequerido.Paraproblemasunidimensionales,loselementossonlineales(verFigura2).Enprincipionopareceatrayentelaideadeutilizarelementosfinitosenproblemasunidimensionales,yaqueestngobernadosporecuacionesdiferencialesordinariasynoenderivadasparciales.Noobstante,enciertasocasionesserelenfoquemsinteresante,yaquepermitirunamayorgeneralidad y adems ser posible utilizarlos en anlisis geomtricamente ms complejos.Esteeselcasodeutilizarelementoslinealesparasimularrigidizadoresenunaestructuratridimensional.Figura 2. Familia de elementos unidimensionalesEnlaFigura3semuestranloselementosbidimensionalesmsusuales.Sepuedendividirbsicamenteendosfamilias,latriangularylacuadriltera.Loselementosmssencillosdecadafamiliasoneltriangulardetresnodosyelcuadrilterodecuatro.Amboselementossondeladosrectos.Enocasionesseformaelelementocuadrilteromediantedoselementostriangulares.Elementosdeordensuperiorsonloscuadrticos(triangulardeseisnodosyrectangulardeochonodos),cbicos,etc.Enestoselementossedefinenfuncionesdeinterpolacinpolinmicademayorordenypuedentenerlosladoscurvos(formulacinisoparamtrica)conloquesepuedenutilizarparaaproximarcontornoscurvosconunnmeroreducido de elementos.Enelcasotridimensionalexistenbsicamentelafamiliadeelementostetradricosyladehexadricos(verFigura4).Elnmerodenodosdeterminarelordenpolinmicodeinterpolacin de forma similar a los casos anteriores.5. Interpolacin. Funciones de forma45Figura 3. Familia de elementos bidimensionalesFigura 4. Familias de elementos tridimensionales.5 . 3 . I NTERPOLACI NPOLI NM I CA. FUNCI ONESDEFORM A5 . 3 . 1. De f i n i c i nEn un elemento unidimensional, si una variable( ) x se interpola polinmicamente tendremos( )nn22 1 0x x x x + + + + .. (Ec. 2)o en forma vectorial5. Interpolacin. Funciones de forma46( ) ( ) { }{ } Tn210n 2P x x x 1 x ;'.... (Ec. 3)donde el vector {P} contiene los trminos del desarrollo polinmico y el vectos { } contieneloscoeficientesdeinterpolacin.Consideremoselelementodefinidoporuntotaldeqnodos.Denominandopor j alvalordelafuncin enelnodoj,definidoenlacoordenada jx ,tendremos:{ } [ ]{ } Cx x x 1x x x 1x x x 1x x x 1en210nq2q qn323 3n222 2n121 1q321 ;'

,_

;'...... .. .. .. ..........(Ec. 4)Donde{ }e representaelvectorquecontieneelvalordelafuncin entodoslosnodosdelelementoy[C]esunamatriz(qxn+1)funcindelaposicindelospuntosnodales.Considerando que q = n+1 y que existe la inversa de la matriz [C]{ } [ ] { }e 1C (Ec. 5)y, sustituyendo este resultado en la ecuacin 3( ) {}[ ] { }e 1 TC P x (Ec. 6)Lamatriz{} [ ] { }e 1 TC P definelasdenominadasfuncionesdeforma,queenelcasounidimensionalconsideradopuedeescribirsecomo ( ) { }Tx N .Notarquelasfuncionesdeformasonfuncionesdelacoordenadaespacialxydelascoordenadasdelosnodosquedefinenelelemento. De esta forma, en general la interpolacin polinmica podr escribirse como( )( ) q1 ii x iN x (Ec. 7)Planteandolainterpolacinpolinmicamediantefuncionesdeformaesposiblesepararlasfuncionesdeinterpolacin iN delvalordelafuncininterpoladaenlosnodos, i .Siconsideramoselcasobidimensionalotridimensional,elplanteamientoesanlogo.Evidente-mente, una primera condicin para poder realizar la interpolacin es que el nmero de trminosdel desarrollo polinmico( ) 1 n + sea igual al nmero de nodos del elemento (q).Enelcasodequeexistamsdeungradodelibertadpornodo,sedeberrealizarunainterpolacinpolinmicaparacadagradodelibertad.Porejemplo,enelcasodeelasticidadbidimensional,cadanodotieneasociadodosvariablesincgnita(desplazamientosuyvdel5. Interpolacin. Funciones de forma47nodoenlasdireccionescoordenadasxey).Suponiendoelmismotipodeinterpolacinparaambos desplazamientos:( ) ( )( ) ( )iq1 iiiq1 iiv y x N y x vu y x N y x u, ,, ,(Ec. 8)o bien, en forma matricial( )( )( ) { } ( ) [ ]{ }e22112 12 1u y x N y x uvuvuN 0 N 00 N 0 Ny x vy x u, ,,, ;'1]1

;'...... .... ..(Ec. 9)Elclculodelasfuncionesdeformaapartirdelaexpresin{ }{ }[ ]1 T TC P Ndeberealizarsedeforma analtica ya que en elementos finitos ser necesario obtener las derivadas de las funcionesdeformaconrespectoalascoordenadas.Elclculoexplcitosegntalexpresinpuedesercomplejoparaelementosconungrannmerodenodos,conloqueengeneralsebuscarnlasfunciones de forma directamente.5 . 3 . 2 . Re q u i s i t o s d e i n t e r p o l a c i nParaqueelmtododeloselementosfinitospresenteconvergenciaesnecesarioquelainterpolacin cumpla determinadas condiciones.En el caso de la elasticidad es necesario que lainterpolacinpresentecontinuidad 0C enlasfronterasentreelementos,verFigura5,deformaqueesnecesarioqueexistanicamentecontinuidadenlasfuncionesainterpolarynoesnecesariaensusderivadas.Adems,serobligatoriolainclusindeciertostrminoseneldesarrollopolinmico,enconcretoeltrminoconstanteyloslineales(parapodersimularcorrectamente los movimientos de cuerpo rgido y los estados de deformacin constante).Porotraparte,enelementosbidimensionalesytridimensionales,esconvenientequeeltipodeinterpolacinseasimilarencualquierdireccin(isotropaoinvarianzageomtrica)paraquepueda representarse el mismo tipo de variacin de la funcin incgnita en cualquier direccin.Figura 5. Continuidad 0C entre elementos5. Interpolacin. Funciones de forma48Paraconseguirisotropageomtricaesnecesarioincluirdeformasimtricalostrminosdeltringulo de Pascal en dos dimensiones y del tetraedro de Pascal en tres dimensiones, Figura 6.Figura 6. Tringulo y tetraedro de PascalPorltimo,laaproximacinpolinmicapuedeconsiderarsecomoundesarrolloenseriedelafuncinincgnitadentrodecadaelemento.Porestemotivo,elerrorcometidoenlainterpolacindependerdelordendelpolinmiocompletoincluidoenlainterpolacinynodeltrminodemayorgrado.Deestaforma,esconvenienteintentarincluirtodoslostrminosdeun cierto grado antes de incluir trminos superiores aisladamente.Tabla 1. Nmero de trminos del polinomio completo en funcin de la interpolacinInterpolacin Grado No. De trminos 2D No. De trminos 3DLineal 1 3 4Cuadrtica 2 6 10Cbica 3 10 205 . 3 . 3 . Pr o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s d e f o r m aApartirdeladefinicindelasfuncionesdeformadelaecuacin7sepuedededucirdirectamentequecadafuncindeformatienevalorunidadensunododedefinicinyceroenlos restantes, es decir( )'j i 0j i 1y x Ni i jsisiz , ,i ,(Ec. 10)Figura 7.Funciones de forma5. Interpolacin. Funciones de forma49Adems,enelcasodelaelasticidad,paraqueexistacontinuidad 0C enlafronteraentreelementos,esnecesarioqueencadaunadelasfronterasdelelementolainterpolacindependaexclusivamentedelasfuncionesdeformadelosnodosquepertenecenatalfrontera.Enconsecuencia, la funcin de forma asociada a un nodo debe ser nula en los contornos en los quenoestpresentedichonodo.Adems,yparaconseguirconvergencia,esnecesarioretenerlostrminos constantes y lineales del polinomio de interpolacin.5 . 4 . I NTERPOLACI NPOLI NM I CAENCOORDENADASGLOB ALESSiguiendoeldesarrolloefectuadohastaelmomento,laformamsinmediatadeobtenerlasfuncionesdeformaconsisteendefinirelpolinomiodeinterpolacin,considerarlalinterpolacin en los nodos, calcular los coeficientes del polinomio de interpolacin e identificarlas funciones de forma.Amododeejemplo,consideremoselelementobidimensionalmssencillo,queeseltringulodetresnodos.Dichoelementoestdefinidoportresnodos,quedenominaremosi,jyk.Lascoordenadasdetalesnodosestndefinidaspor( )i iy x,,( )j jy x,y( )k ky x,.Buscamosunpolinomiodeinterpolacindecontinuidad 0C .Elelementotienetresnodosyporlotantoelpolinomiodeinterpolacindebedecontenertrestrminos,ycomodebemosretenerlostrminos constantes y lineales, el polinomio de interpolacin ser( ) y x y x2 1 0 + + , (Ec. 11)Figura 8. Interpolacin en el elemento triangular lineal.Denominando por k j i y ,al valor de la funcin a interpolar en los nodos, tendremosk 2 k 1 0 kj 2 j 1 0 ji 2 i 1 0 iy xy xy x + + + + + + (Ec. 12)y resolviendo el sistema de ecuaciones( )( )( ) 2 c c c2 b b b2 a a ak k j j i i 0k k j j i i 1k k j j i i 0///+ + + + + + (Ec. 13)5. Interpolacin. Funciones de forma50j k ik j ij k k j ik kj ji ix x cy y by x y x ay x 1y x 1y x 121 ijk tringulo del reacon (Ec. 14)Sustituyendoestoscoeficientesenelpolinomiodeinterpolacinyagrupandotrminosseobtiene( )( )( )( )kk k kjj j jii i i2y c x b a2y c x b a2y c x b ay x + +++ +++ + , (Ec. 15)con lo que, finalmente( ) ( ) ( ) ( )k k j j i iy x N y x N y x N y x , , , , + + (Ec. 16)( )( )( ) 2 y c x b a N2 y c x b a N2 y c x b a Nk k k kj j j ji i i i+ + + + + + : conNotarquelasfuncionesdeformasonfuncindelascoordenadasydependendelageometradelelemento.Engeneral,laobtencinanalticadirectadelasfuncionesdeformapuedesercomplejaylaboriosa.Adems,paraelclculodelamatrizderigidez,porejemplo,esnecesariorealizarintegracionesencadaelemento.Talesintegralespuedenserdifcilesderealizarconsiderandolageometrarealdelelemento.Porestosmotivos,engeneral,ladefinicindelasfuncionesdeformaserealizaenunascoordenadasnormalizadasdeelemento(elementodereferencia)quefacilitantantosuobtencin,comolosclculosasociadosaelementos finitos.5 . 5 . I NTERPOLACI NENCOORDENADASLOCALES.En este apartado consideraremos la obtencin de las funciones de forma de continuidad 0Cparaloselementosbidimensionalesytridimensionales,considerandolascoordenadasnormalizadasdelelemento.Posteriormentedescribiremosloscambiosdecoordenadasnecesariosparaconsiderarelelementorealylainfluenciaqueestecambiodecoordenadasimplicaenlosclculos de elementos finitos.5 . 5 . 1. El e m e n t o s c u a d r i l t e r o sElelementodereferenciaylascoordenadasnormalizadasqueseutilizanenloselementoscuadrilteros son los que se muestran en la Figura 9.UnprimergrupodeelementoscuadrilterossonlosdelafamiliadeLagrange.Esteelementotienedispuestoslosnodos(enelcontornoeinteriores)enformademallaregular,comosemuestra en la Figura 10.5. Interpolacin. Funciones de forma51Figura 9. Elemento Cuadriltero. Elemento y coordenadas de referenciaFigura 10. Elemento cuadriltero de Lagrange.Veamoscmosepuedeobtenerdirectamentelafuncindeformaasociadaalnodo( ) j i , deunelemento cualquiera de la familia de Lagrange.Lafuncindeformalapodemosobtenercomoelproductodedospolinomios,unodefinidoen yelotrodefinidoen (quetomanvalorunidadenelnodoconsideradoyceroenelresto).Elproductodeambospolinomiosdarlaunidadenelnodo( ) j i , ,ceroenlosrestantesysatisfar la continuidad 0Centre elementos. Adems, tendr incluidos los trminos constantes ylineales en la interpolacin.Lospolinomiosdeunavariablequecumplenlascondicionesantesmencionadassonlosdenominados de Lagrange, y tienen la forma general( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )n i 1 i i 1 i i 0 in 1 i 1 i 0 nil + + ....LL(Ec. 17)Y,multiplicandodospolinomiosdeLagrange,cadaunodeellosenunadireccindelascoordenadas normalizadas, tendremos( ) ( ) mjni ijl l N (Ec. 18)LasfuncionesdeformadeloselementosdelafamiliadeLagrangesonfcilesdeformular,sinembargo,enlaprcticanosesuelenutilizarfrecuentementeyaquecontienennodosinteriores5. Interpolacin. Funciones de forma52y,peseaqueenelpolinomioresultanteaparecentrminosdegradoelevado,prescindendetrminos de menor grado, con lo que el polinomio completo resultante no es muy eficaz.Por ejemplo, para aquellos elementos en los quen m ,aparecentrminosdegrado( )n n2n ysinembargoelpolinomiocompletoesdegradon.EnlaFigura11semuestraeneltringulode Pascal la distribucin de trminos polinmicos para este tipo de elementos.Figura 11. Distribucin de trminos polinmicos en elementos de la familia de Lagrange paran m .Por lo tanto los elementos de la familia de Lagrange introducen trminos parsitos (aquellos degradoelevadoquenoestnincluidosenelpolinomiocompleto).Elerrorcometidoenlainterpolacindisminuiramedidaqueelelementotengamsnodos,peroacostadeaumentarexcesivamente el nmero de gdl del problema.Paramejorarestasituacin,setiendeasituarlosnodosenelcontornodelelemento,eintroducirlosnodosinterioresnecesariosparaconseguirpolinomioscompletos.Bajoesteenfoquesurgeladenominadafamiliaserendpita.Acontinuacinserepresentanlostresprimeros elementos de esta familia, con sus correspondientes funciones de forma.( )( )( )( )( )( )( )( ) 4 1 1 N4 1 1 N4 1 1 N4 1 1 N4321 + + + + (Ec. 19)Figura 12. Familia serendpita. Elemento lineal5. Interpolacin. Funciones de forma53( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 2 1 1 N4 1 1 1 N2 1 1 N4 1 1 1 N2 1 1 N4 1 1 1 N2 1 1 N4 1 1 1 N287265243221 + + + + + + + + + + + (Ec. 20)Figura 13. Familia serendpita. Elemento cuadrtico( )( ) ( ) [ ]( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) [ ]M32 10 9 1 1 N32 3 1 1 1 9 N32 3 1 1 1 9 N32 10 9 1 1 N2 2423222 21 + + + + (Ec. 21)Figura 14. Familia serendpita. Elemento cbicoEnlaTabla2semuestralacomparacinentreloselementoscuadrilterosdelafamiliadeLagrange y los serendpitos.Tabla 2 Comparacin entre elementos cuadrilteros de Lagrange y Serendpitos.Elemento Familia No. de nodosGrado del poli-nmio completoTrminosparsitosLagrange 4 1 1LinealSerendpeta 4 1 1Lagrange 9 2 3CuadrticoSerendpeta 8 2 2Lagrange 16 3 6CbicoSerendpeta 12 3 2Esposibledesarrollarunmtodorelativamentesistemticoparaladefinicindelasfuncionesdeformadeloselementosserendpitos.Consideremoselcasodelelementoserendpitocuadrtico,(verFigura15).Lasfuncionesdeformacorrespondientesanodosdeloslados(novrtices)sepuedenconstruirfcilmentesiguiendounesquemasimilaraloselementoslagrangianos.Paranodosesquinas,seplanteainicialmenteunafuncindeformabilineal( )*1N .5. Interpolacin. Funciones de forma54Paraconseguirqueestafuncincorrespondaalelementocuadrtico,hacefaltaanularsuvalorpara los nodos 2 y 8. Esto se consigue restando las funciones de forma correspondientes a estosnodos multiplicadas por el correspondiente factor.5 . 5 . 2 . El e m e n t o s t r i a n g u l a r e sLos elementos triangulares tienen como primera ventaja sobre los cuadrilteros el que permitenaproximar de forma ms sencilla cualquier contorno. Adems, la disposicin de los nodos en elelementopuederealizarsedeformaevidentesiguiendoelesquemadeltringulodePascal,conlo que se podrn conseguir funciones de interpolacin sin trminos parsitos. Sin embargo, parauntamaodeelementodado(definidoporejemplocomolalongituddelladomayor),elreacubiertaporunelementotriangularsermenorquelacorrespondienteaunelementocuadriltero,yenconsecuenciasernecesarioutilizarunmayornmerodeelementostriangularesparamallarelmismoproblema.EnlaFigura16semuestraloselementoslineal,cuadrtico y cbico de la familia de elementos triangulares.( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )2b 8 a 8 82b 8a 81 121N N N10 1 0 11 1N1211 11N + + +,( )( )( ) ( )8 2 1 11 11N21N21N N210 1 N 1 0 N1 141N ** **, , con Figura 15. Construccin sistemtica de las funciones de forma de los elementos serendpitos.5. Interpolacin. Funciones de forma55Figura 16. Familia de elementos triangulares. Elementos lineal, cuadrtico y cbico.Untipodecoordenadasinteresanteenloselementostriangularessonlascoordenadasderea3 2 1L L L y , (verFigura17).Cadacoordenadasedefinecomolarelacinentreladistanciaperpendiculardeunladoalaalturacorrespondiente.Cadacoordenadavaraporlotantoentre0y1.Sedenominancoordenadasdereayaquerepresentanlarelacinentreelreadelasubregintriangularquedefinenyelreacompletadeltringulo.Lascoordenadasdereanoson independientes, cumplindose para cualquier punto del tringulo que1 L L L3 2 1 + +Figura 17. Familia de elementos triangulares. Coordenadas de Area.En el elemento triangular lineal, las funciones de forma deben ser tales que tengan valor unidaden su nodo de definicin y cero en los restantes. Las coordenadas de rea corresponden con estavariacin, y en consecuencia3 3 2 2 1 1L N L N L N ; ;Paraobtenerlasfuncionesdeformaparaotroselementosdelafamiliatriangularpuedeutilizarseunrazonamientosimilaraldescritoenloselementoscuadrilteroslagrangianos.Deestaforma,puededemostrarsefcilmentequelasfuncionesdeformacorrespondientesalelemento triangular cuadrtico son( ) ( )( ) en lado nodo etc. ,vrtice nodos etc. ,2 1 21 1 1L L 4 NL 1 L 2 N (Ec. 22)y para el elemento cbico5. Interpolacin. Funciones de forma56( )( ) ( )( ) ( )( ) interno nodoen lado nodos etc. , vrtice nodos etc. ,3 2 1 101 2 1 41 1 1 1L L L 27 N2 1 L 3 L L 9 N2 L 2 L 3 1 L 3 N (Ec. 23)Laventajadelautilizacindecoordenadasdereaenelementosfinitoseslaexistenciadeecuacionesdeintegracinquesimplificanlaevaluacindeintegralesderea,comolasnecesariasenelclculodelamatrizderigidezdelelemento.Unaexpresinexactaparalaevaluacin exacta de integrales de rea, dependiente de las coordenadas de rea es( )+ + + 22 c b ac b aLdxdy!! !(Ec. 24)Otra alternativa a las coordenadas de rea consiste en utilizar coordenadas normalizadas y ,deformaanlogaalcasodeelementoscuadrilteros.Siguiendorazonamientosanlogosalosempleados en los elementos cuadrilteros, a continuacin se muestran las funciones de forma delos elementos triangulares en coordenadas normalizadas.Figura 18. Familia de elementos triangulares. Coordenadas normalizadas.Para el elemento triangular lineal se obtienen las siguientes funciones de forma 321NN1 N(Ec. 25)y para el cuadrtico( )( )( )( )( )( ) 1 4 N4 N1 4 N2 1 N2 1 N2 2 1 1 N654321(Ec. 26)5 . 5 . 3 . El e m e n t o s t r i d i m e n s i o n a l e sLos elementos tridimensionales son similares en cuanto a su formulacin a los bidimensionales.Enestecaso,laconexinentreelementosseefectaporcaras,conloquelascondicionesdecontinuidad se deben de satisfacer entre caras de elementos.5. Interpolacin. Funciones de forma57Comoejemplodeelementoshexadricos,enlaFigura19semuestranloselementoslineal,cuadrticoycbicodelafamiliaserendpita,definindoselascoordenadasnormalizadasenelelementodereferencia.Acontinuacinsedefinenlasfuncionesdeformaasociadasataleselementos.Definiendoi 0 i 0 i 0 ; ; (Ec. 27)en el elemento lineal (8 nodos), se obtiene:( )( )( )) ) ) 0 0 0 i1 1 181N + + + (Ec. 28)para el elemento cuadrtico (20 nodos), resulta:( )( )( )( )( )( )( )0 02i i i0 0 0 0 0 01 1 11 1 08 1 1 1 + + t + t + + + + + iiN: en lados NodosN : vrtice Nodos(Ec. 29)y para el elemento cbico (32 nodos), se tiene:( )( )( ) ( ) [ ]( )( )( )( )0 0 02i i i0 0 0 0 0 01 1 9 1 1 91 1 3 119 9 1 1 1 + + + t + t t + + + + + iiN: en lados NodosN : vrtice Nodos(Ec. 30)Figura 19. Elementos hexadricos serendpitos.Deformaanlogaalcasobidimensional,tambinseutilizanloselementostetradricos.Suformulacinsepuedeplantearbienencoordenadasdevolumen(anlogasalasderea,paraelcaso tridimensional) o utilizando coordenadas locales en elementos de referencia.5. Interpolacin. Funciones de forma585 . 6 . TRANFORM ACI NDECOORDENADAS.ELEM ENTOSI SOPARAM TRI COS.Enlosapartadosanterioressehandescritolasfamiliasdeelementosmsusualesysehanobtenidolasfuncionesdeformadelosmismosparaelcasodecontinuidad 0C .Dichasfuncionesdeformasehanobtenidoconsiderandoelelementodefinidoensuscoordenadasdereferencia o coordenadas locales, Figura 20.Queda por lo tanto definir la forma de trasladar lainterpolacinalascoordenadasglobales(reales)enlasquesedefineelelementoyconsiderarlaposibilidaddequeloselementosdeordenelevadotengansusladoscurvos.Estoserealizamediante transformacin de coordenadas.;';' fzyx(Ec. 31)5 . 6 . 1. El e m e n t o s i s o p a r a m t r i c o s .Laformamsusualderealizarlatransformacindecoordenadasesutilizandofuncionesdeforma.As,conocidaslascoordenadasglobalesdelospuntosnodales,sepuedeninterpolarlascoordenadas de un punto del elemento como:Figura 20. Elemento de referencia y elemento real.( )( )( )i ii ii iz N zy N yx N x , ,, ,, ,'''(Ec. 32)Elelementoreal,porlotanto,sedefinemediantelascoordenadasdesusnodosylainterpolacinrealizada.Enconcreto,laformadefronteradelelementodependedelainterpolacinrealizadaatravsdelasfuncionesdeforma,pudiendodarlugaracontornoscurvos.Lasfuncionesdeforma 'iN sonfuncindelascoordenadaslocalesdelelemento,ydebensertalesquelainterpolacinresultanteseadecontinuidad 0C enlafronteradeloselementos. Si esto no se cumple, podran aparecer solapamientos o lagunas en la frontera comnadoselementos(verFigura21).Porotraparte,dependiendodelvalordelascoordenadas,el5. Interpolacin. Funciones de forma59elementopuedeestarexcesivamentedistorsionado,llegandoensituacionesextremasa"plegarse" sobre s mismo. Esta situacin se representa en la Figura 21figura 5.20 y debe de serdetectada en el anlisis ya que puede producir resultados errneos.Figura 21.Distorsiones inaceptables de los elementos debidas a la transformacin de coordenadas.Esposibleutilizarenlainterpolacindecoordenadasnodosdiferentesalosusadosenlainterpolacindelasfuncionesincgnitadelproblema.Noobstante,sesuelenutilizarlosmismosnodos(elementosisoparamtricos)ylasmismasfuncionesdeforma,satisfacindosepor lo tanto, en general, la continuidad 0Cen la frontera entre elementos.5 . 6 . 2 . 5 . 6 . 2 Ca l c u l o d e m a t r i c e s d e e l e m e n t o .Engeneral,enelclculodelasmatricesyvectoresasociadosalmtododeloselementosfinitos,esnecesariocalcularlasderivadasdelasfuncionesdeformaconrespectoalascoordenadasglobales.Lasfuncionesdeformadependenexplcitamentedelascoordenadaslocales, con lo que tales derivadas no son inmediatas.Laderivadadeunafuncindeformaconrespectoalascoordenadaslocales,sepuedeescribircomo:[];';'1111111]1

;'zNyNxNJzNyNxNzzzyyyxxxNNNiiiiiiiii (Ec. 33)Dondeelvectordederivadasdelasfuncionesdeformaconrespectoalascoordenadaslocalesesfcilmenteevaluableyaquesedisponedesuformulacinexplcitaendichascoordenadas.Paracalcularlamatriz[] J (matrizjacobianadelatransformacindecoordenadas)slodebemosrecordarquelascoordenadasglobalesseinterpolanmediantefuncionesdeformadelas coordenadas nodales.Por ejemplo, como( )i ix N x , , (Ec. 34)tendremos que5. Interpolacin. Funciones de forma60( )iixN x , ,(Ec. 35)El resto de elementos de la matriz jacobiana se obtiene de forma similar, en base a las derivadasde las funciones de forma y de las coordenadas de los puntos nodales.Si la inversa de la matriz jacobiana existe, partiendo de la ecuacin 33 se obtiene[];';' iii1iiiNNNJzNyNxN(Ec. 36)Eldeterminantedelamatrizjacobianarelacionaunelementodiferencialdefinidocomodxdydz conelelementodiferencial d d d .Deestaforma,siempreycuandonoexistandegeneracionesdelelementoexistirlainversadelamatrizjacobiana.Elclculodetalesderivadasserealizaengeneralnumricamenteyaquelaobtencindeunafrmulaexplcitaescompleja.5 . 6 . 3 . I n t e g r a c i n n u m r i c a .Las matrices de elemento estn definidas en elementos finitos mediante integrales. Exceptuandoelcasodeelementosmuysencillos,pararealizarlaintegracinseconsiderancoordenadaslocales.As, las integrales se transforman como( ) ( ) [] d d d J G dxdydz z y x GVl Vgdet , , , , (Ec. 37)Enestecaso,loslmitesdeintegracinsonsencillos(elementodereferencia),peronoaselintegrando,queslopuedeevaluarsenumricamente,exceptuandoelcasodeelementosmuysencillos.En general, por lo tanto, se utilizar integracin numrica.Veamosenprimerlugarelcasodeintegracinnumricaunidimensional,paraposteriormenteextrapolar a casos bi y tridimensionales. En este caso, consideraremos integrales de la forma( ) d f I11 (Ec. 38)Figura 22. Cuadratura de Newton-Cotes.5. Interpolacin. Funciones de forma61UnprimertipodeintegracinnumricaesladenominadaCuadraturadeNewton-Cotes.Enella,sedefinenaprioriunnmerodepuntosenelintervalodeintegracin(engeneraldistribuidosuniformemente),ajustandoelintegrandoaunpolinomioquepaseexactamenteportalespuntos,yobteniendoelresultadointegrandoexactamentetalpolinomio.Comonvaloresdelafuncindefinenunpolinomiodegradon-1,elerrorserdelordende( )nh O ,siendoheltamao del elemento en coordenadas globales.Este mtodo conduce a expresiones de la forma( ) ( ) n1 ii i11f H d f I (Ec. 39)para los casos de 2, 3 y 4 puntos de integracin se obtienen los siguientes resultados mostradosen laTabla 3.Sienvezdeespecificarapriorilospuntosdeintegracin,sebuscalaposicindeestosparaque se obtenga la mxima precisin, para un nmero de puntos de integracin dado, el resultadosermsexacto.Considerandolaexpresindelaintegracinnumricacomoladefinidaenlaecuacin39,tendremosquedeterminar2nincgnitas( ) n l i Hi i,.., , y conloqueenprincipio el polinomio ser de grado 2n-1 y el error en la interpolacin de( )n 2h O .Tabla 3.Cuadratura de Newton-Cotes.ni iH2 -1.0 1.01.0 1.03 -1.0 1/30.0 4/31.0 1/34 -1.0 1/4-1/3 3/41/3 3/41.0 1/4EsteprocedimientosedenominaCuadraturadeGauss,definiendoseenlaTabla5.4lospuntosdeintegracinypesosasociadoscorrespondientesalaintegracinunidimensionalenelintervalo [-1, 1].Tabla 4.Puntos de integracin y pesos de la Cuadratura de Gauss.ni tiH10.0 2.000 000 000 000 0002 t 0.577 3 50 269 189 626 1.000 000 000 000 0003 t0.774 596 669 241 483 0.555 555 555 555 556 0.000 000 000 000 000 0.888 888 888 888 8894 0.861 136 311 594 953 0.347 854 845 137 4540.339 981 043 584 856 0.625 145 154 862 5465. Interpolacin. Funciones de forma62Paraelcasodeintegracionesdereaydevolumen,enelcasodeelementoscuadrilterosyhexadricos, como los lmites de integracin en cada coordenada son estndares (en el elementodereferencia),podemosextrapolarlosresultadosdelaCuadraturadeGaussunidimensional.As, para integraciones de rea y de volumen, tendremos( ) ( ) n1 ij i jn1 ji1111f H H d d f I , , (Ec. 40)( ) ( ) n1 ik j i kn1 jjn1 ki111111f H H H d d d f I , , (Ec. 41)Enelementostriangularesytetradricos,loslmitesdeintegracinincluirnalaspropiasvariables,conloquenoesposibleplantearlaintegracinnumricaextrapolandodirectamenteelcasounidimensional.ParaestoscasossehanobtenidopuntosdeintegracindeGaussespecficos.Alsustituirlaintegracinexactaporlanumricasecometerunerroradicional.Comoalaumentarelnmerodepuntosdeintegracineltiempodeclculoaumenta,sedebedeconsiderarelordendeintegracinnecesarioparapreservarelordendeconvergencia.Engeneralseutilizaintegracinnumricareducida(noseintegraexactamenteelintegrando)yaque se ha comprobado que produce un efecto contrario al error introducido en la discretizacin,y en consecuencia tiende a mejorar los resultados.5 . 7. FUNCI ONESDEFORM AJERRQUI CAS.Loselementosquesehanconsideradohastaahora,yenconsecuencialascorrespondientesfuncionesdeforma,sonlosestndares.Sinembargo,estaformulacintieneciertosinconvenientescuandoseutilizaenprocesosadaptativosenlosquesemodificaelgradopolinmicodelainterpolacinenloselementos.Lasfuncionesdeformaasociadasaunelementosondiferentesdependiendodelgradodelainterpolacin,conloqueunavezanalizadounproblemaconungradopolinmicoconcreto,siaumentamoselgradodelainterpolacindeberemosrepetirtodoslosclculos.Considerar,comosemuestraenlaFigura23, un caso unidimensional en el que se pretende pasar de una interpolacin lineal a cuadrtica.Enestecasoseaadeunnuevonodoalelementofinitoysemodificanlasfuncionesdeforma.Comolasfuncionesdeformasondiferentes,lasmatricescorrespondientesacadaelementotambin lo sern y, por lo tanto, ser necesario realizar de nuevo todos los clculos.5. Interpolacin. Funciones de forma63Figura 23. Funciones de forma estndares para el caso unidimensional. Interpolacin lineal ycuadrtica.Losdenominadoselementosjerrquicossonunaalternativaalosestndaresypermitensolucionar,enparte,esteproblema.Laideaesqueparaaumentarelgradopolinmicodelainterpolacinseaadanfuncionesdeformaadicionalessinmodificarlasanteriores.Deestaforma, parte de los clculos previos son vlidos y no tienen porque volverse a realizar.Dado unelemento,sepodrnaadirfuncionesdeformajerarquizadasqueaumentarnelgradopolinmicodelainterpolacinsinmodificarlasfuncionesdeformapreviasysinaumentarennmero de nodos del elemento.Las funciones de forma jerarquizadas tendrn asociados gradosde libertad adicionales, aunque en este caso no representarn el valor de la funcin incgnita enningn nodo.Consideremosenprimerlugarelcasounidimensional,inicialmentedefinidomedianteinterpolacin lineal con las funciones de forma estndares:( )( ) ( ) ( )212 1111u N u N u + (Ec. 42)Para aumentar el grado de la interpolacin, podemos incluir una nueva funcin de forma, j2N , yel correspondiente grado de libertad asociado, 2a :( )( ) ( ) ( ) ( )2j2 212 1112a N u N u N u + + (Ec. 43)La funcin de forma adicional deber ser cuadrtica en este caso y cumplir la condicin de quesuvalorenlosnodosdelelementoseacero,yaquehemosmantenidolasfuncionesdeformaestndares del elemento lineal y el valor de la funcin incgnita en los nodos como gdl.De estaforma, la nueva funcin de forma debe ser:( )20j21 N (Ec. 44)Laconstante 0 enprincipiopuedeserarbitraria.Dependiendodesueleccinobtendremoscomogdl 2a unauotramagnitudescaladacorrespondientemente.Debemos,porlotantoimponerunacondicinadicionalparadefinircompletamentelanuevafuncindeforma,quepor ejemplo, puede ser que su valor en el punto0 sea la unidad.De esta forma, se obtiene:2 j21 N (Ec. 45)Considerandoestacondicinadicional,elgdlaadidotieneunsentidoclaro:separacindelafuncin en el punto0 de la linealidad (ver Figura 24).5. Interpolacin. Funciones de forma64Figura 24. Representacin de funciones de forma e interpolacin utilizando funciones de formajerrquicas.Sideseamosaadirung.d.l.adicional,debemosincorporarunanuevafuncindeformapolinmica cbica:( )3322 1 0j3N + + + (Ec. 46)Comoenelcasoanteriordebemosexigirqueseanulaenlosnodos,yademspodremosimponerdoscondicionesadicionales.Porejemplo,considerandoqueseanulaenelcentrodelelemento( ) 0 y tenga pendiente unitaria en dicho punto, se obtiene:( ) ( )2 j31 N (Ec. 47)Lasfuncionesdeformajerrquicasnosonnicas,yaquesedebenconsiderarcondicionesadicionalesparasudefinicin.Unconjuntodefuncionesdeformajerrquicasquesehaempleado usualmente es el definido por:( )( )( )' ppjpp11p1N!!(Ec. 48)En elasticidad, los coeficientes de la matriz de rigidez provienen de integrales de la forma: 11jiijjiijeijdddNddNch2dxdxdNdxdNc k (Ec. 49)siendo ijc unaconstantesielproblemaeslinealysehaconsideradoqueeldeterminantedelatransformacin de coordenadas es igual a 2/h;siendoheltamaodelelementoencoordenadasreales.Silasfuncionesdeformajerrquicassedefinendeformaquelasintegralesdefinidasporlaecuacin49seannulasparaj i ,lasecuacionescorrespondientesestarndesacopladas(la matriz de rigidez ser diagonal).En este caso, si aadimos gdl mediante funciones de formajerrquicas(conobjetodedisminuirelerrordediscretizacin),elreanlisisdelproblemaserms simple.LospolinomiosdeLegendre,( ) pP ) 1 1 (enylasfuncionesdeformajerrquicassepuedendefinirentrminosdeintegralesdedichospolinomios:( )( )( ) [ ]pp2 p1 ppd1 d211 p1P !(Ec. 50)( ) ( )( )( ) [ ]1 pp2 p1 ppj1 pd1 d211 p1d P N + !(Ec. 51)con lo que se obtiene:( ) L 3 j32 j22 N 1 N ; (Ec. 52)5. Interpolacin. Funciones de forma65Estedesacoplamientodelosgdlsloesposibleenproblemasunidimensionales.Enotroscasos,lasmatricesnoserndiagonales(conloquenosedesacoplancompletamentelosgdl)pero estarn mejor condicionadas para su resolucin numrica.Paraproblemasbidimensionales,ladefinicindelasfuncionesdeformajerrquicassigueunplanteamientoanlogoalrealizadoconloselementosestndareslagrangianos.Porejemplo,paraelcasodelelementocuadrilteromostradoenlaFigura25,tendramoslassiguientesfunciones de forma:( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 N N N1 121N N N1 141N N N2 2 j2j2j2 32 j2j2j2 2121111 ,,,) () (dondeelsubndiceindicaelnodooelladodedefinicindelafuncindeforma,yentreparntesis se detalla el grado del polinomio correspondiente.Figura 25. Funciones de forma estndares y jerrquicas para un elemento cuadriltero.5. Interpolacin. Funciones de forma66