4º eso opcion b 01 ecuaciones pitagoras

Colegio San Jos Hijas de Maria Auxiliadora Dpto de Matemticas Emilio Ferrari, 87 28017 -Madrid

4 ESO opcin B Ejercicios

Pgina 1

Ejercicios de ecuaciones

1) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 49, ejercicio 3a)):

x4 5x2 + 4 = 0

Resolucin:

Si nos fijamos se trata de una ecuacin bicuadrada pues tiene grados 4, 2 y trmino

independiente. En estos casos para resolver hacemos un cambio de variable:

z = x2

Si en la ecuacin sustituimos y donde pone x2 ponemos z nos quedara:

(x2)2 5x2 + 4 = 0 => z2 5z + 4 = 0

Ecuacin ya de segundo grado que si resolvemos aplicando la frmula general para ellas

tendra por soluciones:

z = 4 y z = 1

QUE NO SON LAS SOLUCIONES DE NUESTRA ECUACIN

Para obtener nuestras soluciones procederemos as:

Si z = x2 entonces, x

2 = 4 y x

2 = 1, de donde tenemos que

_ _

x = + 4 = + 2 y x = + 1 = + 1

Y estas SI sern las soluciones de nuestra ecuacin

2) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 49, ejercicio 3b)):

x4 + 10x

2 + 9 = 0

Resolucin:



z = x2


(x2)2 + 10x

2 + 9 = 0 => z

2 + 10z + 9 = 0



Pgina 2



z = 9 y z = 1




2 = 9 y x2 = 1, de donde tenemos que

NO HAY SOLUCIONES PUES NO PODEMOS CALCULAR RAICES

CUADRADAS DE NMERO NEGATIVOS

3) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 49, ejercicio 3c)):

x4 4x2 12 = 0

Resolucin:



z = x2


(x2)2 4x2 12 = 0 => z2 4z 12 = 0



z = 6 y z = 2




2 = 6 y x


_

x = + 6 exclusivamente pues no podemos calcular la raz cuadrada de 1




Pgina 3

4) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 49, ejercicio 3d)):

2x4 4x2 30= 0

Resolucin:



z = x2


2(x2)2 4x2 30 = 0 => 2z2 4z 30 = 0



z = 5 y z = 3




2 = 5 y x


_

x = + 5 exclusivamente pues no podemos calcular la raz cuadrada de 3


Resolucin:

En este caso se trata de una ecuacin con fracciones de polinomios. Para resolver, al igual

que si se tratara de una suma de fracciones pasaremos a comn denominador, para

posteriormente resolver. Para este caso los denominadores factorizaremos el denominador y

operaremos como si de fracciones de nmeros enteros se tratara:



Pgina 4

Como en cualquier ecuacin el denominador lo podemos pasar al otro lado de la ecuacin

multiplicando:

(x 3) + x(x + 2) = 3(x 2)(x + 2) => x 3 + x2 + 2x = 3x2 12 =>

2x2 + 3x 9 = 0 => de donde resolviendo esta ecuacin de segundo grado

Las soluciones sern:

x = 3 y x = 6/4

Ambas soluciones vlidas pues ninguna de ellas anula el denominador de la ecuacin.


x +

Resolucin:



posteriormente resolver. Para este caso los denominadores ya estn factorizados (son

polinomios irreducibles y adems en este caso son el mismo) con lo que el comn

denominador ser (x 4) :

x +

=>

As pues, podemos quitar los denominadores al estar divididos ambos miembros de la

ecuacin por lo mismo,

x(x 4) + 4x = 16 => x2 4x + 4x = 16 => x2 = 16

Ecuacin de segundo que tiene como soluciones,

x = 4 y x = 4

Con lo que tenemos que la nica solucin es x = 4, pues x= 4 anula los denominadores y no puede ser solucin.



Pgina 5


Resolucin:




polinomios irreducibles) con lo que el comn denominador ser el producto de ellos:

=>

As pues, podemos quitar los denominadores al estar divididos ambos miembros de la

ecuacin por lo mismo,

(x +1)(x + 2) = 5(x 3)(x + 2) + (x + 9)(x 3) =>

x2 +3x + 2 = 5x

2 5x 30 (x2 +6x 27) = >

x2 +3x + 2 = 5x

2 5x 30 x2 6x + 27 = > 3x2 14x 5 = 0


x = 5 y x = (1/3)

Ambas soluciones son vlidas pues no anulan los denominadores.


Resolucin:



posteriormente resolver. Primero factorizaremos para posteiormente pasar a comn

denominador:

=>

As pues, el comn denominador ser (x 2)(x + 2),



Pgina 6

Ahora podemos quitar los denominadores al estar divididos ambos miembros de la ecuacin

por lo mismo,

3x + 2 = (5x + 1)(x 2) (x + 2) => 3x + 2 = 5x2 10x + x 2 x 2 =>

5x2 13x 6 = 0


x = 3 y x = (2/5)

Ambas soluciones son vlidas pues no anulan los denominadores.

9) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 50, ejercicio 9a)): _____

x + 3 + 1 = x 8

Resolucin:

En este caso se trata de una ecuacin con races cuadradas. El procedimiento para este tipo

de ecuaciones es dejar la raz en un miembro de ecuacin y elevar al cuadro ambos

miembros de la ecuacin:

_____ ____ ____

x + 3 + 1 = x 8 = > x + 3 = x 9 => (x + 3 )2 = (x 9)2

Operando tenemos que:

x + 3 = x2 18x + 81 => x2 19x + 78 = 0

Resolviendo la ecuacin de segundo grado las soluciones seran:

x = 6 y x = 13

En el caso de radicales (especialmente con ndice par) hay que comprobar que esta solucin

no hace que el radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solucin no

sea vlida. En este caso si sustituimos por x = 6 nos quedara 4 = 2 , con lo que nos es raz y si sustituimos por x = 13 nos quedara 5 = 5.

As pues la nica solucin de la ecuacin sera:

x = 13



Pgina 7

10) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 50, ejercicio 9b)): _____

4x 3x2 + 9 = 1

Resolucin:




_____ _____

3x2 + 9 = 4x + 1 = > (3x2 + 9 )2= (4x + 1)2


9(x2 +9) = 16x

2 +1 8x => 7x2 8x 80 = 0


x = 4 y x = - (40/14)

En el caso de radicales con ndice par hay que comprobar que esta solucin no hace que el

radical sea negativo o cualquier otra coincidencia que haga que la solucin no sea vlida. En

este caso,

______

4(4) 3(4)2 + 9 = 16 15 = 1, as solucin VLIDA ___________ _________

4(-40/14) 3((-40/14)2 + 9 = -80/14 3 (3364/196) = -80/14 3(58/14) = (-80-174)/14 lo que nos da un nmero negativo siempre distinto de 1, con lo que la solucin NO ES

VALIDA

As pues la nica solucin de la ecuacin sera:

x = 4

11) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 50, ejercicio 9c)): _____ _____

5 4x = 2x + 7 2

Resolucin:



miembros de la ecuacin; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos

elevamos al cuadrado dos veces siguiendo el siguiente procedimiento:



Pgina 8

Elevamos por primera vez al cuadrado:

_____ _____ _____

(5 4x = 2x + 7 2 )2 = > (5 4x) = (2x + 7) + 4 (2*2*2x + 7)

Operamos y volvemos a elevar al cuadrado, esta vez s, dejando las races a un lado de la

ecuacin

_____ _____

42x + 7 = 6x + 6 = > (42x + 7)2 = (6x + 6)2 => 16(2x + 7) = 36x2 + 36 + 72x

32x + 112 = 36x2 + 36 + 72x => 36x

2 + 40x 76 = 0


x = -152/72 y x = 1



este caso:

_______ _______ _

(5 4(1) = 2(1) + 7 2 => 1 = 9 2 , asi pues la solucin ES VALIDA

___________ ____________

(5 4(-152/72) = 2(-152/72) + 7 2 , asi pues la solucin ES VALIDA

Con lo que AMBAS SOLUCIONES SON VLIDAS

12) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 50, ejercicio 9d)): ______ ____

2x 3 x 5 = 2

Resolucin:



miembros de la ecuacin; pero en este caso no podemos pues tenemos dos. En estos casos

elevamos al cuadrado dos veces siguiendo el siguiente procedimiento:

Elevamos por primera vez al cuadrado:

______ ____ _____ ____

(2x 3 x 5 )2 = (2)2 = > (2x 3) + (x 5) 2(2x 3)(x 5) = 4


ecuacin



Pgina 9

Operando y elevando al cuadrado tenemos que:

___________ ___________

(2((2x 3)(x 5) )2 = (4 3x + 8 )2 = > (2((2x 1)(x 5) )2 = ( 3x + 12)2

4(2x 3)(x 5) = 144 + 9x2 72x => 8x2 + 60 52x = 144 + 9x2 72x

x2 + 84 20 x = 0


x = 14 y x = 6



este caso:

______ ____ 2(6) 3 - 6 5 = 2 => 3 - 1 = 2 , solucin VLIDA ________ ______

2(14) 3 - 14 5 = 2 => 5 3 = 2 solucin VLIDA

As pues ambas soluciones son vlidas:

x = 14 y x = 6


log x + log(x + 1) = log 6

Resolucin:

Si nos fijamos no se trata de una ecuacin logartmica. En estos casos aplicaremos las

propiedades de los logaritmos para que nos quede una igualdad en la que en ambas partes de

la ecuacin slo queden logaritmos, es decir:

log x + log (x+1) = log 6 => log (x * (x+1)) = log 6

Una vez aqu, si el logaritmo de la parte de la izquierda es igual al logaritmo de la parte de la

derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente:

x(x + 1) = 6 => x2 + x 6 = 0

Ecuacin de segundo grado que si resolvemos nos queda,

x = 3 y x = 2



Pgina 10

Ahora habr que comprobar las soluciones,

log 3 + log (3 + 1) = log 6 => lo que es imposible pues no podemos calcular logaritmos de nmeros negativos

log 2 + log (2 + 1) = log 6 => que si ser solucin.

As pues la solucin de nuestra ecuacin ser:

x = 2


log x log (x + 3) = 1

Resolucin:




log x log (x + 3) = 1 => log (x / (x + 3)) = log 10-1



x / (x + 3) = 1 / 10 => de donde si pasamos lo que est dividiendo al otro lado

multiplicando tenemos que,

10x = x + 3 = > 9x = 3 = > x = 3 / 9 = > x = 1/3

La posible solucin ser x = 1/3, que comprobaremos en la ecuacin a ver si se cumple la

igualdad:

log 1/3 + log (1/3 + 3) = 1 => log ((1/3) / ( 10/3)) = 10 => log 1/10 = 1 = > log 10

-1 = 1 c.q.d (como queramos demostrar)


x = 1 / 3


log (x 2) + log 5 = 1 log (x 3)



Pgina 11

Resolucin:




log (x 2)5 = log 10 log (x 3) = > log (5x 10) = log (10/(x 3))



(5x 10) = 10 / (x 3) => (5x 10)(x 3) = 10 => 5x2 + 30 25x = 10 =>

5x2 25x + 20 = 0


x = 1 y x = 4

Comprobemos ambas soluciones,

log (1 2) + log 5 = 1 log (1 3) => log 1 + log 5 = 1 log 2 , as pues no puede ser solucin pues hace que tengamos que calcular logaritmos negativos.

log (4 2) + log 5 = 1 log (4 3) => log 2 + log 5 = 1 log 1 => log (2*5) = 1 0 => log 10 = 1 c.q.d (como queramos demostrar)


x = 4

16) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 51, ejercicio 14a)):

2log x = 3log2 + log (x + 6)

Resolucin:




2log x = 3log2 + log (x + 6) = > log x2 = log 2

3 + log(x + 6) => log x

2 = log (8(x + 6))



x2 = 8(x + 6) => x

2 8x 48 = 0



Pgina 12


x = 12 y x = 4


2log 12 = 3log 2 + log (12 + 6) = > log 122 = log 2

3 + log 18 =>

log 144 = log 8 + log 18 => log 144 = log 8 * 18 = > log 144 = log 144 c.q.d (como

queramos demostrar)

2log 4 = 3log 2 + log (4 + 6) , solucin que no es posible pues no podemos calcular logaritmos de nmeros negativos


x = 12

17) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 51, ejercicio 14b)):

log (x2 15x) = 2

Resolucin:




log (x2 15x) = 2 => log (x2 15x) = log 102



x2 15x = 100 => x2 15x 100 = 0


x = 20 y x = 5


log (202 15*20) = 2 = > log (400 300) = 2 => log 100 = 2 => log 102 = 2 c.q.d (como

queramos demostrar)

log ((5)2 15*(5)) = 2 => log(25 + 75) = 2 => log 100 = 2 => log 102 = 2 c.q.d (como queramos demostrar)



Pgina 13

As pues las soluciones de nuestra ecuacin sern:

x = 20 y x = 5

18) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 51, ejercicio 14c)):

log = 1 log

Resolucin:




log = 1 log = > log = 1og 10 log =>

log = log



=

Ecuacin con races cuadradas que resolveremos as,

= 10 => = 10, que elevando al cuadrado ambas miembros,

3x2 + 5x = 100 = > 3x

2 + 5x 100 = 0

Ecuacin de segundo grado que al resolver nos queda, 35

x = 5 y x = 40 / 6


La solucin negativa es imposible pues no podemos calcular races cuadradas de nmeros

negativos

log = 1 log = > log = 1 - log => log = log

=>

log = log

=> log = log c. q. d (como queramos demostrar)



Pgina 14


x = 5


23x-4

= 64

Resolucin:

Si nos fijamos no se trata de una ecuacin exponencial. En estos casos el objetivo es dejar

todos los sumandos con incgnita como potencia de alguna base y hacer un cambio de

variable, pero en este caso si nos fijamos podemos igual exponentes, es decir:

23x-4

= 26 => 3x 4 = 6 => 3x = 10 => x = 10/3


x = 10/3


32x-7

* 27 = 35x

Resolucin:




En este caso intentaremos dejar todo como potencia de tres

32x-7

* 33 = 3

5x , y ahora en el miembro de la izquierda para multiplicar potencias de la

misma base sumamos exponentes,

32x-7+3

= 35x

=> 2x 7 + 3 = 5x => 3x = 4 => x = -(4/3)


x = -(4/3)


2x+1

= 1024



Pgina 15

Resolucin:




En este caso intentaremos dejar todo como potencia de dos

2x+1

= 1024 => 2x+1

= 210

, de donde

x +1 = 10 => x = 9

As pues la solucin de nuestra ecuacin ser,

x = 9

22) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 52, ejercicio 18d)):

23 * 2

x-5 = 0,25

Resolucin:





23+x-5

= 1/4 => 2x-2

= 2-2

, de donde

x 2 = 2 => x = 0

As pues la solucin de nuestra ecuacin ser,

x = 0

23) Halla las soluciones de esta ecuacin (pag. 52, ejercicio 20a)):

100x 1001*10x + 1000 = 0

Resolucin:


todos los sumandos como potencia de alguna base y hacer un cambio de variable, es decir:

En este caso intentaremos dejar todo como potencia de diez



Pgina 16

(102)x

1001*10x + 1000 = 0 => (10x)2 1001*10x + 1000 = 0, (hemos dado la vuelta a los exponentes de la primera potencia aplicado propiedades de potencias,

Una vez aqu realizamos el cambio de variable, por ejemplo, 10x = t, as tendramos:

t2 1001t + 1000 = 0, ecuacin de segundo grado cuyas soluciones son,

t = 1000 y t = 1

La solucin para t es t = 1 y t = 1000; pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es

decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 10x = 1

(pues t = 10

x)


x = 0 (pues cualquier nmero elevado a cero da 1)

Si t = 1000 => 10x = 10

3 (pues t = 10

x)


x = 3


Resolucin:




=>


, que operando nos quedara,

= 5

=>

=

=> 16 = 10t t2 => t2 10t + 16 = 0



Pgina 17

Ecuacin de segundo grado que si resolvemos nos quedara,

t = 8 y t = 2

La solucin para t es t = 8 y t = 2; pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es


Si t = 8 => 2x = 2

3 (pues t = 2

x)


x = 3

Si t = 2 => 2x = 2

1 (pues t = 2

x)


x = 1


23+2x

3*2x+1 + 1 = 0

Resolucin:




23+2x

3*2x+1 + 1 = 0 => 23 * 22x 3*2x * 2+ 1 = 0 => 23 * (2x)2 3*2x * 2+ 1 = 0


8t2 6t + 1 = 0


t = 1/4 y t = 1/2

La solucin para t son las anteriores; pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es


Si t = 1/4 => 2x = 1/4

(pues t = 2

x) y nos queda x = -2


x = -2



Pgina 18

Si t = 1/2 => 2x = 1/2

(pues t = 2

x) y nos queda x = -1


x = -1


4x 8 = 2x+1

Resolucin:




4x 8 = 2x+1 => 22x 8 = 2x * 2 => (2x)2 8 = 2x * 2


t2 8 = 2t => t2 2t 8 = 0


t = 4 y t = -2



Si t = 4 => t= 22 => 2

x = 2

2 (pues t = 2

x)


x = 2

Si t = -2 => 2x = -2

(pues t = 2

x)

Solucin que es imposible pues no hay ningn exponente que haga que una potencia de dos

sea negativa

27) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 52, ejercicio 20e)):

4x+1

5*42x-1 + 4864 = 0



Pgina 19

Resolucin:



En este caso intentaremos dejar todo como potencia de cuatro

4x+1

5*42x-1 + 4864 = 0 => 4x * 41 5*42x * 4-1 + 4864 = 0 =>

4x * 4

1 5*(4x)2 * 4-1 + 4864 = 0


4t 5/4 * t2 + 4864 = 0


t = 64 y t = -(304/5)



Si t = -128 => t= 43 => 4

x = 4

3 (pues t = 4

x)


x = 3

Si t = -(304/5) => 4x = -(304/5)

(pues t = 4

x)

Solucin que es imposible pues no hay ningn exponente que haga que una potencia de

cuatro sea negativa


x4 13x2 + 36 = 0

Resolucin:



z = x2


(x2)2 13x2 + 36 = 0 => z2 13z + 36 = 0



Pgina 20



z = 9 y z = 4




2 = 9 y x


x = + 3 y x = + 2



3x4 15x2 + 12 = 0

Resolucin:



z = x2


3(x2)2 15x2 + 12 = 0 => 3z2 15z + 12 = 0



z = 1 y z = 4




2 = 1 y x


_ _

x = + 4 = + 2 y x = + 1 = + 1




Pgina 21


x6 7x3 8 = 0

Resolucin:



z = x3


(x3)2 7x3 8 = 0 => z2 7z 8 = 0



z = 8 y z = -1




3 = -1 y x


__ _

x = 3-1 = - 1 y x = 38 = 2



x6 2x3 +1 = 0

Resolucin:



z = x3


(x3)2 2x3 +1 = 0 => z2 2z +1 = 0





Pgina 22

z = 1 y z = 1




3 = 1 y x


_ _

x = 31 = 1 y x = 31 = 1


32) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 46e)):

x8 17x4 + 16 = 0

Resolucin:



z = x4


(x4)2 17x4 + 16 = 0 => z2 17z + 16 = 0



z = 1 y z = 16




4 = 1 y x


_ __

x = + 41 = + 1 y x = + 416 = + 2


33) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 46f)):

x10

31x5 32 = 0



Pgina 23

Resolucin:



z = x5


(x5)2 31x5 32 = 0 => z2 31z 32 = 0



z = -1 y z = 32




5 = -1 y x


_ __

x = 51 = -1 y x = 564 = 2



2x3 + 4x2 + 18x 36 = 0

Resolucin:

Si nos fijamos no se trata de una bicuadrada ni de una ecuacin en la que falte el trmino

independiente, as pues procederemos primero a verificar si los divisores del trmino

independiente (en este caso +1, +2, +3, +6, +8, +12, +18y +36) son races del polinomio:

P(2) = 2(2)3 + 4(2)2 + 18(2) 36 = 16 + 16 + 36 36 = 0 , as pues x = 2 es raz P(3) = 2(3)3 + 4(3)2 + 18(3) 36 = 54 + 36 + 54 36 = 0 , as pues x = 3 es raz P(3) = 2(3)3 + 4(3)2 + 18(3) 36 = +54 + 36 54 36 = 0 , as pues x = 3 es raz

Por el teorema fundamental del lgebra sabemos que no hay ms races as pues las

soluciones reales a la ecuacin seran:

x = 2 , x = 3 y x = 3



Pgina 24


4x3 24x2 + 48x 32 = 0

Resolucin:



independiente (en este caso +1, +2, +4, +8, +16y +32) son races del polinomio:

P(2) = 4(2)3 24(2)2 + 48(2) 32 = 32 96 + 96 32 = 0 , as pues x = 2 es raz

Una vez que hemos encontrado esta, y por tener los coeficientes grandes, aplicamos Ruffini

para agilizar:

4 24 48 32 2 8 32 32 4 16 16 0

As pues, si resolvemos la ecuacin de segundo grado 4x2 16x +16 = 0 tendremos las

races. Las soluciones de esa ecuacin son el 4 como raz doble con lo que las soluciones

reales a la ecuacin seran:

x = 2 , x = 4 y x = 4


3x4 + 3x3 + 12x3 12x = 0

Resolucin:

Si nos fijamos no se trata de una bicuadrada; pero si una ecuacin en la que falte el trmino

independiente, con lo que primero sacaremos factor comn de x:

x(3x3 + 3x2 + 12x 12) = 0

Ya sabemos que x=0 es raz, ahora procederemos a verificar si los divisores del trmino

independiente (en este caso +1, +2, +3, +4, y +12) son races del polinomio:

P(1) = 3(1)3 + 3(1)2 + 12(1) 12 = 3 + 3 + 12 12 = 0 , as pues x = 1 es raz P(2) = 3(2)3 + 3(2)2 + 12(2) 12 = 24 + 12 + 24 12 = 0 , as pues x = 2 es raz P(2) = 3(2)3 + 3(2)2 + 12(2) 12 = 24 + 12 24 12 = 0 , as pues x = 2 es raz

Por el teorema fundamental del lgebra sabemos que no hay ms races as pues las

soluciones reales a la ecuacin seran:

x = 0 , x = 1, x = 2 y x = 2



Pgina 25


6x4 5x3 43x2 + 70x 24 = 0

Resolucin:



independiente (en este caso +1, +2, +3, +4, +6, +8, +12y +24) son races del polinomio:

P(2) = 6(2)4 5(2)3 43(2)2 + 70(2) 24 = 96 40 172 + 140 32 = 0 ,

as pues x = 2 es raz

Una vez que hemos encontrado esta, y por tener los coeficientes grandes, aplicamos Ruffini

para agilizar:

6 5 43 70 24 2 12 14 58 24 6 7 29 12 0 3 18 33 12 6 11 4 0

As pues, si resolvemos la ecuacin de segundo grado 6x2 11x + 4 = 0 tendremos las races.

Las soluciones de esa ecuacin son el 4/3 y 1/2 con lo que las soluciones reales a la ecuacin

seran:

x = 2 , x = 3 x = 4/3 y x = 1/2


4 _ 6_ 1

x 2 x + 3 3

Resolucin:





4(x + 3) (x 2)6 1 (x 2)(x + 3) 3


multiplicando:

(4(x + 3) (x 2)6)3 = (x 2)(x + 3) => (4x + 12 6x +12)3 = x2 + x 6 =>

=

=



Pgina 26

12x + 36 18x + 36 = x2 + x 6 => 12x + 36 18x + 36 x2 x + 6 = 0 =>

x2 7x + 78 = 0, ecuacin de segundo grado que si resolvemos nos queda,

x = 13 y x = 6

As pues las soluciones de la ecuacin seran:

x = 13 y x = 6

La nica consideracin que hay que hacer en este tipo de ecuaciones es que la solucin no

anule ninguno de los denominadores, pero no es el caso, pues los nmeros que anulan los

denominadores seran x = 2 y x = 3; as pues las soluciones son vlidas. 39) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 48b)):

x + 1 2x + 1 3

3x 2 x + 5 2

Resolucin:





(x + 3)(x + 5) + (3x 2)(2x + 1)6 3 (3x 2)(x + 5) 2


multiplicando:

((x + 3)(x + 5) + (3x 2)(2x + 1))2 = ((3x 2)(x + 5))3 =>

(x2 + 8x + 15 + 6x

2 x 2)2 = (6x2 + 13x 10)3 =>

2x2 + 16x + 30 + 12x

2 2x 4 = 18x2 + 39x 30 =>

4x2 + 25x 56 = 0 , ecuacin de segundo grado que si resolvemos nos queda,

x = 14/8 y x = 8


x = 14/8 y x = 8


anule ninguno de los denominadores, pero no es el caso, pues los nmeros que anulan los

denominadores seran x = 2/3 y x = 5; as pues las soluciones son vlidas.

=

=

+



Pgina 27


4x + 2 3 x + 5

x2 + 2x + 1 2 x + 1

Resolucin:



posteriormente resolver. Para este caso los denominadores no estn factorizados con lo que

el primer paso es factorizar el primero de ellos:

4x + 2 3 x + 5

(x + 1)2 2 x + 1

As, el mcm ser (x + 1)2 * 2

2(4x + 2) + 3(x + 1)2 (x + 5)2(x + 1)

2 (x + 1)2 2 (x + 1)

2


multiplicando:

2(4x + 2) + 3(x +1)2 = (x +5)(x + 1)2 =>

8x + 4 +3x2 + 6x + 3 = 2x

2 + 12x + 10 =>

x2 + 2x 3= 0 , ecuacin de segundo grado que si resolvemos comprobaremos que

tiene como soluciones,

x = 3 y x = 1


3 _ 6 2 _ x + 1 x + 4 4x 8

Resolucin:





3(x + 4)(4x 8) 6(x + 1)(4x 8) 2(x + 1)(x + 4) (x + 1)(x + 4)(4x 8) (x + 1)(x + 4)(4x 8)

= +

= +

=

=

=



Pgina 28


multiplicando:

3(x + 4)(4x 8) 6(x + 1)(4x 8) = 2(x + 1)(x + 4) =>

12x2 + 24x 96 24x2 + 24x + 48 = 2x2 10x 8 =>

10x2 + 58x 40 = 0 , ecuacin de segundo grado que si resolvemos nos queda,42

x = 5 y x = 16/20 = 4/5


x = 5 y x = 4/5


anule ninguno de los denominadores, pero no es el caso.

42) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 49a)): __

x x 6 = 0

Resolucin:




_

x 6 = x _

(x 6)2 = (x) 2


x2 12x + 36 = x

x2 13x + 36 = 0

Resolviendo la ecuacin de segundo grado nos quedan las siguientes soluciones:

x = 9 y x = 4



este caso 9 3 6 = 0 y 4 2 6 0. As pues la nica solucin vlida ser:

x = 9



Pgina 29

43) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 49b)): ____

8 x = 2 x

Resolucin:


de ecuaciones es dejar la raz en un miembro de ecuacin (como es el caso) y elevar al

cuadro ambos miembros de la ecuacin:

____

(8 x) 2= (2 x)2


8 x = 4 + x2 4x

x2 3x 4 = 0


x = 1 y x = 4



este caso 3 = 3 y 2 = 2. As pues la nica solucin vlida ser:

x = 1


2

_

x

Resolucin:

En este caso se trata de una ecuacin con races cuadradas y denominadores. El

procedimiento para este tipo de ecuaciones es, primero, quitar los denominadores y despus

dejar la raz en un miembro de ecuacin y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuacin:

_

(x)2 2 _

x

_ _

(x)2 2 = x

= 1

_

x

= 1



Pgina 30


_

x 2 = x _

(x 2)2 = (x) 2

x2 4x + 4 = x => x2 5x + 4 = 0


x = 1 y x = 4



este caso 1 2 = 1 lo que es falso y 2 1 = 1. As pues la nica solucin vlida ser:

x = 4

45) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 49d)): ____

x + x 1 3 = 0

Resolucin:




____

(x 1) 2= (3 x)2


x 1 = 9 + x2 6x

x2 7x +10 = 0


x = 2 y x = 5



este caso 2 + 1 3 = 0 lo que es correcto y 5 + 2 3 0. As pues la nica solucin vlida ser:

x = 2



Pgina 31

46) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 49e)): ____ ____

7x + 1 = 2x + 4

Resolucin:



miembros de la ecuacin; pero en este caso tenemos dos races, eso s, una en cada lado de

la ecuacin y no tenemos nada ms, con lo que elevaremos al cuadrado en ambos miembros:

_____ ____

(7x + 1) 2= (2x + 4)2


7x + 1 = 4(x + 4)

7x + 1 = 4x + 16

3x = 15 => x = 5

As pues la posible solucin ser:

x = 5



este caso la raz cuadra de 36 que es 6 debe ser igual a dos por la raz cuadrada de 9 que es

tres. As pues la solucin es vlida.

47) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 49f)): _____ ____

5x + 1 2 = x + 1

Resolucin:



miembros de la ecuacin; pero en este caso tenemos dos races con una suma, por que

deberemos elevar al cuadrado dos veces de la siguiente manera:

Elevamos por primera vez al cuadrado, teniendo en cuenta que el miembro de la derecha es

el cuadrado de una diferencia:

____ ____ _____

(5x +1 2 = (x + 1 )2 = > (5x + 1) + 4 4(5x + 1 = x + 1


ecuacin



Pgina 32

_____

(45x +1 )2 = (4x 4)2 = > 16(5x +1) = 16x2 + 16 32x


80x + 16 = 16x2 + 16 32x => 16x2 112x = 0 , sacando factor comn x,

x(16x 112) = 0

As pues una solucin ser x = 0 y la otra x = 7:

x = 0 y x = 7



este caso:

______ ____

5(0) + 1 2 = 0 + 1 => 1 2 = 1, lo que es falso ______ ____ _

5(7) + 1 2 = 7 + 1 => 6 2 = 7, lo que es falso

As pues la ecuacin no tiene soluciones.

48) Resuelve la siguiente ecuacin (pag. 58, ejercicio 49g)):

3

____

x 1

Resolucin:

En este caso se trata de una ecuacin con races cuadradas y denominadores. El

procedimiento para este tipo de ecuaciones es, primero, quitar los denominadores y despus

dejar la raz en un miembro de ecuacin y elevar al cuadro ambos miembros de la ecuacin:

____ ____ ____

2x 1 x 1 5x 1 = 3 ____

2(x 1) 5x 1 = 3 ____

2x 5 = 5x 1 ____

(2x 5)2 = (5x 1)2


4x2 20x + 25 = 25(x 1) => 4x2 45x + 50 = 0


=

____

2x 1 5



Pgina 33

x = 10 y x = 10/8



este caso 2*3 5 = 3 / 3 lo que es cierto y 2 * (1/2) 5 = 3/(1/2) lo que es falso. As pues la nica solucin vlida ser:

x = 10


log9 (27)1/5

= 2x 1

Resolucin:



la ecuacin slo queden logaritmos, aunque si nos fijamos un poco ms veremos que en el

logaritmo NO HAY INCOGNITA, se trata DE UN NMERO (para ti seguramente muy

feo, pero es un nmero) con lo que podemos despejar sin ms:

2x = log9 (27)1/5

+ 1 = > x = (log9 (27)1/5

+ 1) / 2


x = (log9 (27)1/5

+ 1) / 2


logx (

) = 0,4

Resolucin:



la ecuacin slo queden logaritmos, adems en este caso la incgnita es la base del

logaritmo:

Pero primero introducimos el 2 dentro de la raz,

logx (

) = 0,4 => logx (

) = 0,4



Pgina 34

logx

= 0,4

(1/5)logx (1/ 22) = 0,4

Pasamos el 5 multiplicando al otro lado de la ecuacin,

logx 2-2

= 2

logx 2-2

= logx x-2

As pues la solucin ser:

x = 2


log (x 1) + log (x + 1) = 3log 2 + log (x 2)

Resolucin:




log [(x 1) (x + 1)] = log 23(x 2)



(x 1)(x + 1) = 8(x 2) => x2 1 = 8x 16 => x2 8x + 15 = 0

Si resolvemos la ecuacin de segundo grado nos quedan como soluciones x = 5 y x = 2, que

comprobaremos en la ecuacin a ver si se cumple la igualdad:

log 4 + log 6 = 3 log 2 + log 3 => log 24 = log 8 + log 3 => log 24 = log 24, as

pues x = 5 es solucin

log 1 + log 3 = 3 log 2 + log 0 => El logaritmo de 0 no existe as pues x= 2 no es

solucin


x = 5




Pgina 35

log (x 2) (1/2) log (3x 6) = log 2

Resolucin:




log [(x 2) / (3x 6)1/2] = log 2



(x 2) / (3x 6)1/2 = 2 , recuerda elevar a un medio es lo mismo que extraer la raz cuadrada, con lo que esta ecuacin en una ecuacin con radicales que para resolver

tendremos que elevar al cuadrado ambos miembros

(x 2)2 / (3x 6) = 4 => (x 2)2 = (3x 6)4 => x2 4x + 4 = 12x 24 = >

x2 16x + 28 = 0

Si resolvemos la ecuacin de segundo grado nos quedan como soluciones x = 14 y x = 2,

que comprobaremos en la ecuacin a ver si se cumple la igualdad:

log 12 (1/2) log 36 = log 2 => log 12 log 6 = log 2 => log 2 = log 2, as pues x = 14 es solucin

log 0 (1/2) log 0 = log 2 => El logaritmo de 0 no existe as pues x= 2 no es solucin


x = 14


log7 (x 2) log7 (x + 2) = 1 log7 (2x 7)

Resolucin:



la ecuacin slo queden logaritmos,

log7 [(x 2) / (x + 2)] = log7 [7 / (2x 7)]



Pgina 36



[(x 2) / (x + 2)] = [7 / (2x 7)] , que operando

(x 2) (2x 7) = 7(x + 2) => 2x2 11x + 14 = 7x + 14 = >

2x2 18x = 0

Si resolvemos la ecuacin de segundo grado nos quedan como soluciones x = 0 y x = 9,

x = 0 no puede ser solucin pues hara que uno de los logaritmos fuera negativo, para x = 9

log7 7 log7 9 = 1 log7 11, igualdad que tampoco se cumple

As pues NO HAY SOLUCIONES


log9 (x + 1) log9 (1 x) = log9 (2x +3)

Resolucin:




log9 [(x +1) / (1 x)] = log9 (2x + 3)


derecha, ambas partes han de ser iguales y por consiguiente,

(x + 1) / (1 x) = (2x + 3) , que operando

(x +1) = (2x + 3)(1 x) => x + 1 = 2x 2x2 + 3 3x = >

2x2 + 2x 2 = 0 => x2 + x 1 = 0

Si resolvemos la ecuacin de segundo grado nos quedan como soluciones,

x =

y x =

La segunda no puede ser porque es un nmero negativo y hara que, en el segundo sumando,

tendramos que calcular el logaritmo de un nmero negativo.



Pgina 37

As pues la nica solucin es,

x =

55) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 59, ejercicio 51e)):

log2 x 1 = log2 (x 16)

Resolucin:




log2 x log2 2 = log2 (x 16) => log2 (x/2) = log2 (x 16)



(x / 2) = x 16, que operando

x = 2x 32 => 3x = 32 = > x = 32/3

Pero esta solucin hace que el miembro de la derecha queda,

log2 (

16) = log2 (

) = log2 (

), lo QUE ES IMPOSIBLE

AS PUES, NO HAY SOLUCIN

56) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 59, ejercicio 51f)):

log x = () log (x + 2)

Resolucin:




log x = log





Pgina 38

x = , ecuacin con races que para soluciones elevaremos al cuadrado ambos miembros

x2 = ( )2 => x2 = x + 2 => x2 x 2 = 0

Ecuacin de segundo grado que tiene por soluciones,

x = 2 y x = 1

La solucin negativa no puede ser pues tendramos que calcular el log (1),

As pues la nica solucin es,

x = 2


4x 9 * 2x + 8 = 0

Resolucin:




(2x)2 9 * 2x + 8 = 0


t2 9t + 8 = 0

ecuacin de segundo grado que tiene por soluciones, t = 1 y t = 8; pero recuerda debes dar

la solucin para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 2x = 1

(pues t = 2

x)



Si t = 8 => 2x = 2

3 (pues t = 2

x)


x = 3



Pgina 39


2x-1

+ 2x+2

= 72

Resolucin:




2x * 2

-1 + 2

x * 2

2= 72


t/2 + 4t = 72 => 9t = 144 => t = 16

pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 16 => 2x = 2

4 (pues t = 2

x)


x = 4

Si t = 8 => 2x = 2

3 (pues t = 2

x)


x = 3


= 42x

Resolucin:




= 24x

=> 27/3

= 24x

Igualando exponentes,

7/3 = 4x => x = 7/12



Pgina 40


x = 7/12


= 31-3x

Resolucin:



En este caso intentaremos dejar todo como potencia de tres

= 31-3x

=> 34/5

= 31-3x

Igualando exponentes,

4/5 = 1 3x => 3x = 1 4/5 => 3x = 1/5 => x = 1/15


x = 1/15


63 x

= 216

Resolucin:



En este caso intentaremos dejar todo como potencia de seis

63 x

= 216 => 63

6 x

= 63

=> 63 (6

x)1

= 63


216 t1

= 216 => t1

= 1 => 1/t = 1 => t = 1

La solucin para t es t = 1; pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es decir, NO

HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 6x = 1

(pues t = 6

x)



Pgina 41




(3/7)3x 7

= (7/3) 7x 3

Resolucin:

Si nos fijamos no se trata de una ecuacin exponencial. La base no es la misma, pero es la

misma fraccin dada la vuelta, aqu debemos recordar que si cambiamos de signo al exponente cambiamos el orden de la fraccin. As pues si operamos as:

(3/7)3x 7

= (3/7) 3 7x

=> ((3/7)x) 3

): (3/7)

7 = (3/7)

3: ((

(3/7)

x)7

Una vez aqu realizamos el cambio de variable, por ejemplo, (3/7)x = t, as tendramos:

t3 : (3/7)

7 = (3/7)

3 : t

7 => t

10 = (3/7)

10 => t = +(3/7)

La solucin para t es t = +(3/7); pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es


Si t = +(3/7) => (3/7)x = +(3/7)

(pues t = (3/7)

x)


x = 1 (pues no hay ninguna x que haga que la potencia sea negativa e

igual a la base)


132x 6 * 13x + 5 = 0

Resolucin:



En este caso intentaremos dejar todo como potencia de trece

(13x)2 6 * 13x + 5 = 0


t2 6t + 5 = 0



Pgina 42

Ecuacin de segundo grado que si revolvemos nos da como soluciones para t son t = 1 y t =

5; pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1 => 13x = 1

(pues t = 13

x) => x = 0

Si t = 5 => 13x = 5

(pues t = 13

x) => x = log13 5


x = 0 y x = log13 5


4x 3 * 4x + 1 + 4x + 2 = 20

Resolucin:



En este caso intentaremos dejar todo como potencia de cuatro

4x 3 * 4x * 4 + 4x * 42= 20 => 4x 12 * 4x + 16 * 4x= 20


t 12t + 16t = 20 => 3t = 20 => t = 20/3

La solucin para t es t = 20/3; pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es decir,

NO HAS TERMINDADO.

Si t = 20/3 => 4x = 20/3

(pues t = 4

x)


x = log4 (20/3)

65) Resuelve la siguiente ecuacin(pag 59, ejercicio 53e)):

3x (1/3)

x 3 = (1/27)

x

Resolucin:

Si nos fijamos no se trata de una ecuacin exponencial. La base no es la misma, pero si nos

fijamos y factorizamos el 27 tendremos la misma base. As pues si operamos as:

3x (1/3)

x : (1/3)

3 = (1/3

3)x => 3

x (3)

x : (3)

3 = (1/3

x) 3

=> 1 : (3)-3

= (1/3x) 3



Pgina 43

Una vez aqu realizamos el cambio de variable, por ejemplo, (1/3)x = t, as tendramos:

1 : 3-3

= t3 => t = 3

La solucin para t es t = (3); pero recuerda debes dar la solucin para x no para t, es decir,

NO HAS TERMINDADO.

Si t = (3) => (1/3)x = (3)

(pues t = (1/3)

x)


x = -1

66) Resuelve la siguiente ecuacin (pag 59, ejercicio 53f)):

10x 5x 1 * 2 x 2 = 950

Resolucin:



En este caso intentaremos dejar todo como potencia de diez

10x 5x 1 * 2 x 1 * 2 1 = 950 => 10x (5 * 2) x 1 * 2 1 = 950

10x (10) x 1 * 2 1 = 950 => 10x 10 x 101 * 2 1 = 950


t t / 20 = 950

Si resolvemos la ecuacin de primer grado nos quedara como solucin para t = 1000; pero

recuerda debes dar la solucin para x no para t, es decir, NO HAS TERMINDADO.

Si t = 1000 => 10x = 1000

(pues t = 10

x) => x = 3


x = 3

4º eso opcion b 01 ecuaciones pitagoras

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