45491369 definicion de un vector en r2 r3 interpretacion geometrica y su generalizacion en rn
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7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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Defnicioacuten de un Vector en R2 R3
(interpretacioacuten geomeacutetrica) y suGeneralizacioacuten en Rn
Material de apoyo
UNIDAD NOMBRE TEMAS
I Vectores11 Definicioacuten de un Vector en R2 R3 (interpretacioacuten geomeacutetrica) ysu Generaliacioacuten en Rn
Representacioacuten de las operaciones en R2 y R3 Direccioacuten de losvectores
1- La direccioacuten de un vector es el aacutengulo medido en
radianes ue orma el vector con el ee ositivo de las
El aacutengulo se uede medir $aciendo ero es imortante
localiar el vector uesto ue da valores entre amp
mientras ue el aacutengulo uscado estaraacute entre amp
Ejemplo 1 Encontrar la direccioacuten del vector
( sin emargo el vector estaacute en el segundocuadrante( or lo
tanto el aacutengulo seraacute de
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REPRESEN$N EampMR DE( PRampD)amp PampRES(R
La multilicacioacuten de un vector or un escalar
)er la animacioacuten )er la animacioacuten )er la animacioacuten
Si el vector conserva su direccioacuten( si el vector otenidotiene la direccioacuten contraria
REPRESEN$N EampMR DE ( S)M ( RESDE +EampRES
+ara vectores osicioacuten la suma es el vector reresentado or ladiagonal rincial del aralelogramo cuampos lados estaacuten
conormados or los vectores amp La resta o es el vector
reresentado or la otra diagonal al $acer el unto inal del
vector es amp el inicial - or eso la lec$a- si uera el unto inal
sera el de amp el vector tendra la direccioacuten ouesta
)er la animacioacuten )er la animacioacuten
2- Sean los aacutengulos ue orma el vector con los ees
ositivos resectivamente Estos son los aacutengulos directores del
vector
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0omo
( son los cosenosdirectores
Ejemplo 2 Encontrar el vector de magnitud 1 cuampos aacutengulosdirectores son
con lo ue
el vector es unvector unitario con la direccioacuten descrita 0omo se uiere ue
el vector tenga magnitud el vector seraacute
Ejemplo 3 Encontrar el vector cuampos aacutengulos directores sean
0omo cosno e2iste ning3n vector ue tenga esa direccioacuten
Resecto a la suma amp resta de vectores en los vectores
resultantes son igual ue ara la diagonal
+rincial del aralelogramo ara la suma amp la otra diagonal con lasmismas oservaciones ara la resta
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Definicioacuten de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el esacio 0adavector osee unas caractersticas ue son4
OrigenO tami5n denominado Punto de aplicacioacuten Es el unto e2actosore el ue act3a el vector
Moacutedulo Es la longitud o tama6o del vector +ara $allarla es reciso conocerel origen amp el e2tremo del vector- ues ara saer cuaacutel es el moacutedulo del vector- deemos medir desde su origen $asta su e2tremo
Direccioacuten)iene dada or la orientacioacuten en el esacio de la recta ue locontiene
SentidoSe indica mediante una unta de lec$a situada en el e2tremo delvector- indicando $acia u5 lado de la lnea de accioacuten se dirige elvector7aamp ue tener muamp en cuenta el sistema de reerencia de losvectores- ue estaraacute ormado or un origen amp tres ees
erendiculares Este sistema de reerencia ermite iar la osicioacutende un unto cualuiera con e2actitud
Clasificacioacuten+odemos encontrar una serie de dierentes tios de vectores
Vectores Libres)ienen determinados or sus tres comonentes cartesianas-ue son sus roampecciones sore los tres ees de coordenadas
de un sistema ortogonal ue se eligioacute como reerencia Estetio de vectores tiene la roiedad de ue se uede trasladarsu origen a cualuier unto del esacio- manteniendo sumoacutedulo amp su sentido constantes- amp su direccioacuten aralela
Vectores DeslizantesEstos vectores ueden trasladar su origen a lo largo de sulnea de accioacuten amp vienen determinados or sus trescomonentes cartesianas amp or su recta soorte o lnea deaccioacuten
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Vectores Fijos+ara determinarlos- es reciso conocer sus cuatro elementoscaractersticos mencionados antes4 moacutedulo- direccioacuten- sentidoamp unto de alicacioacuten
Vectores EquipolentesSon vectores lires ue tienen igual moacutedulo- misma direccioacutenamp sentido Sus rectas soortes son aralelas o coincidentes+or lo tanto- estos vectores tendraacuten las mismas comonentescartesianas
Vectores OpuestosSon auellos vectores ue tienen la misma direccioacuten ampmoacutedulo- ero sentidos ouestos
Dos vectores A amp B son ouestos si tienen igual tama6o- igual
direccioacuten ero sentido contrario Es decir
A
B A - B
Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue ara estardeterminadas recisan de un valor num5rico- una direccioacuten- unsentido amp un unto de alicacioacuten
Vector
Un vector es la e2resioacuten ue roorciona la medida de cualuier
magnitud vectorial +odemos considerarlo como un segmentoorientado- en el ue cae distinguir4
bull Un origen o unto de alicacioacuten4 Abull Un e2tremo4 Bbull Una direccioacuten4 la de la recta ue lo contienebull Un sentido4 indicado or la unta de lec$a en Bbull Un moacutedulo- indicativo de la longitud del segmento
AB
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1 [km]
A
30deg
N
S
EO
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo moacutedulo amp lamisma direccioacuten
+ectores i0ales Dos vectores A amp B son iguales si tienen igualtama6o- direccioacuten amp sentido Es decir4 A
B A B
Vector libre
Un vector lire ueda caracteriado or su moacutedulo- direccioacuten ampsentido El vector lire es indeendiente del lugar en el ue seencuentra
Representacioacuten rica de 0n vector
Un vector se reresenta or una lnea orientada- la cual indica ladireccioacuten- amp or una lec$a- la cual indica su sentido La longitud dela lnea es roorcional a la magnitud del vector Si deseamos
reresentar un vector A de magnitud 8 9m Norte 1ltdeg Este4
ES(
amao4 norma4 moacuted0lo o manit0d de 0n vector Si A
reresenta un vector- su tama6o- norma- moacutedulo o magnitud sedesigna como4
= A = gt A
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DESCOMPOSC E SS$EM DE EampES C$ESOS
a5gta2iaamp j a62iamp j 6gta22i aamp amp ja 6
Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
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Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
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=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
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REPRESEN$N EampMR DE( PRampD)amp PampRES(R
La multilicacioacuten de un vector or un escalar
)er la animacioacuten )er la animacioacuten )er la animacioacuten
Si el vector conserva su direccioacuten( si el vector otenidotiene la direccioacuten contraria
REPRESEN$N EampMR DE ( S)M ( RESDE +EampRES
+ara vectores osicioacuten la suma es el vector reresentado or ladiagonal rincial del aralelogramo cuampos lados estaacuten
conormados or los vectores amp La resta o es el vector
reresentado or la otra diagonal al $acer el unto inal del
vector es amp el inicial - or eso la lec$a- si uera el unto inal
sera el de amp el vector tendra la direccioacuten ouesta
)er la animacioacuten )er la animacioacuten
2- Sean los aacutengulos ue orma el vector con los ees
ositivos resectivamente Estos son los aacutengulos directores del
vector
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0omo
( son los cosenosdirectores
Ejemplo 2 Encontrar el vector de magnitud 1 cuampos aacutengulosdirectores son
con lo ue
el vector es unvector unitario con la direccioacuten descrita 0omo se uiere ue
el vector tenga magnitud el vector seraacute
Ejemplo 3 Encontrar el vector cuampos aacutengulos directores sean
0omo cosno e2iste ning3n vector ue tenga esa direccioacuten
Resecto a la suma amp resta de vectores en los vectores
resultantes son igual ue ara la diagonal
+rincial del aralelogramo ara la suma amp la otra diagonal con lasmismas oservaciones ara la resta
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Definicioacuten de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el esacio 0adavector osee unas caractersticas ue son4
OrigenO tami5n denominado Punto de aplicacioacuten Es el unto e2actosore el ue act3a el vector
Moacutedulo Es la longitud o tama6o del vector +ara $allarla es reciso conocerel origen amp el e2tremo del vector- ues ara saer cuaacutel es el moacutedulo del vector- deemos medir desde su origen $asta su e2tremo
Direccioacuten)iene dada or la orientacioacuten en el esacio de la recta ue locontiene
SentidoSe indica mediante una unta de lec$a situada en el e2tremo delvector- indicando $acia u5 lado de la lnea de accioacuten se dirige elvector7aamp ue tener muamp en cuenta el sistema de reerencia de losvectores- ue estaraacute ormado or un origen amp tres ees
erendiculares Este sistema de reerencia ermite iar la osicioacutende un unto cualuiera con e2actitud
Clasificacioacuten+odemos encontrar una serie de dierentes tios de vectores
Vectores Libres)ienen determinados or sus tres comonentes cartesianas-ue son sus roampecciones sore los tres ees de coordenadas
de un sistema ortogonal ue se eligioacute como reerencia Estetio de vectores tiene la roiedad de ue se uede trasladarsu origen a cualuier unto del esacio- manteniendo sumoacutedulo amp su sentido constantes- amp su direccioacuten aralela
Vectores DeslizantesEstos vectores ueden trasladar su origen a lo largo de sulnea de accioacuten amp vienen determinados or sus trescomonentes cartesianas amp or su recta soorte o lnea deaccioacuten
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Vectores Fijos+ara determinarlos- es reciso conocer sus cuatro elementoscaractersticos mencionados antes4 moacutedulo- direccioacuten- sentidoamp unto de alicacioacuten
Vectores EquipolentesSon vectores lires ue tienen igual moacutedulo- misma direccioacutenamp sentido Sus rectas soortes son aralelas o coincidentes+or lo tanto- estos vectores tendraacuten las mismas comonentescartesianas
Vectores OpuestosSon auellos vectores ue tienen la misma direccioacuten ampmoacutedulo- ero sentidos ouestos
Dos vectores A amp B son ouestos si tienen igual tama6o- igual
direccioacuten ero sentido contrario Es decir
A
B A - B
Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue ara estardeterminadas recisan de un valor num5rico- una direccioacuten- unsentido amp un unto de alicacioacuten
Vector
Un vector es la e2resioacuten ue roorciona la medida de cualuier
magnitud vectorial +odemos considerarlo como un segmentoorientado- en el ue cae distinguir4
bull Un origen o unto de alicacioacuten4 Abull Un e2tremo4 Bbull Una direccioacuten4 la de la recta ue lo contienebull Un sentido4 indicado or la unta de lec$a en Bbull Un moacutedulo- indicativo de la longitud del segmento
AB
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1 [km]
A
30deg
N
S
EO
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo moacutedulo amp lamisma direccioacuten
+ectores i0ales Dos vectores A amp B son iguales si tienen igualtama6o- direccioacuten amp sentido Es decir4 A
B A B
Vector libre
Un vector lire ueda caracteriado or su moacutedulo- direccioacuten ampsentido El vector lire es indeendiente del lugar en el ue seencuentra
Representacioacuten rica de 0n vector
Un vector se reresenta or una lnea orientada- la cual indica ladireccioacuten- amp or una lec$a- la cual indica su sentido La longitud dela lnea es roorcional a la magnitud del vector Si deseamos
reresentar un vector A de magnitud 8 9m Norte 1ltdeg Este4
ES(
amao4 norma4 moacuted0lo o manit0d de 0n vector Si A
reresenta un vector- su tama6o- norma- moacutedulo o magnitud sedesigna como4
= A = gt A
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DESCOMPOSC E SS$EM DE EampES C$ESOS
a5gta2iaamp j a62iamp j 6gta22i aamp amp ja 6
Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
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Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
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httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 910
=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 1010
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 310
0omo
( son los cosenosdirectores
Ejemplo 2 Encontrar el vector de magnitud 1 cuampos aacutengulosdirectores son
con lo ue
el vector es unvector unitario con la direccioacuten descrita 0omo se uiere ue
el vector tenga magnitud el vector seraacute
Ejemplo 3 Encontrar el vector cuampos aacutengulos directores sean
0omo cosno e2iste ning3n vector ue tenga esa direccioacuten
Resecto a la suma amp resta de vectores en los vectores
resultantes son igual ue ara la diagonal
+rincial del aralelogramo ara la suma amp la otra diagonal con lasmismas oservaciones ara la resta
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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Definicioacuten de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el esacio 0adavector osee unas caractersticas ue son4
OrigenO tami5n denominado Punto de aplicacioacuten Es el unto e2actosore el ue act3a el vector
Moacutedulo Es la longitud o tama6o del vector +ara $allarla es reciso conocerel origen amp el e2tremo del vector- ues ara saer cuaacutel es el moacutedulo del vector- deemos medir desde su origen $asta su e2tremo
Direccioacuten)iene dada or la orientacioacuten en el esacio de la recta ue locontiene
SentidoSe indica mediante una unta de lec$a situada en el e2tremo delvector- indicando $acia u5 lado de la lnea de accioacuten se dirige elvector7aamp ue tener muamp en cuenta el sistema de reerencia de losvectores- ue estaraacute ormado or un origen amp tres ees
erendiculares Este sistema de reerencia ermite iar la osicioacutende un unto cualuiera con e2actitud
Clasificacioacuten+odemos encontrar una serie de dierentes tios de vectores
Vectores Libres)ienen determinados or sus tres comonentes cartesianas-ue son sus roampecciones sore los tres ees de coordenadas
de un sistema ortogonal ue se eligioacute como reerencia Estetio de vectores tiene la roiedad de ue se uede trasladarsu origen a cualuier unto del esacio- manteniendo sumoacutedulo amp su sentido constantes- amp su direccioacuten aralela
Vectores DeslizantesEstos vectores ueden trasladar su origen a lo largo de sulnea de accioacuten amp vienen determinados or sus trescomonentes cartesianas amp or su recta soorte o lnea deaccioacuten
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 510
Vectores Fijos+ara determinarlos- es reciso conocer sus cuatro elementoscaractersticos mencionados antes4 moacutedulo- direccioacuten- sentidoamp unto de alicacioacuten
Vectores EquipolentesSon vectores lires ue tienen igual moacutedulo- misma direccioacutenamp sentido Sus rectas soortes son aralelas o coincidentes+or lo tanto- estos vectores tendraacuten las mismas comonentescartesianas
Vectores OpuestosSon auellos vectores ue tienen la misma direccioacuten ampmoacutedulo- ero sentidos ouestos
Dos vectores A amp B son ouestos si tienen igual tama6o- igual
direccioacuten ero sentido contrario Es decir
A
B A - B
Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue ara estardeterminadas recisan de un valor num5rico- una direccioacuten- unsentido amp un unto de alicacioacuten
Vector
Un vector es la e2resioacuten ue roorciona la medida de cualuier
magnitud vectorial +odemos considerarlo como un segmentoorientado- en el ue cae distinguir4
bull Un origen o unto de alicacioacuten4 Abull Un e2tremo4 Bbull Una direccioacuten4 la de la recta ue lo contienebull Un sentido4 indicado or la unta de lec$a en Bbull Un moacutedulo- indicativo de la longitud del segmento
AB
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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1 [km]
A
30deg
N
S
EO
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo moacutedulo amp lamisma direccioacuten
+ectores i0ales Dos vectores A amp B son iguales si tienen igualtama6o- direccioacuten amp sentido Es decir4 A
B A B
Vector libre
Un vector lire ueda caracteriado or su moacutedulo- direccioacuten ampsentido El vector lire es indeendiente del lugar en el ue seencuentra
Representacioacuten rica de 0n vector
Un vector se reresenta or una lnea orientada- la cual indica ladireccioacuten- amp or una lec$a- la cual indica su sentido La longitud dela lnea es roorcional a la magnitud del vector Si deseamos
reresentar un vector A de magnitud 8 9m Norte 1ltdeg Este4
ES(
amao4 norma4 moacuted0lo o manit0d de 0n vector Si A
reresenta un vector- su tama6o- norma- moacutedulo o magnitud sedesigna como4
= A = gt A
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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DESCOMPOSC E SS$EM DE EampES C$ESOS
a5gta2iaamp j a62iamp j 6gta22i aamp amp ja 6
Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
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=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
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Definicioacuten de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el esacio 0adavector osee unas caractersticas ue son4
OrigenO tami5n denominado Punto de aplicacioacuten Es el unto e2actosore el ue act3a el vector
Moacutedulo Es la longitud o tama6o del vector +ara $allarla es reciso conocerel origen amp el e2tremo del vector- ues ara saer cuaacutel es el moacutedulo del vector- deemos medir desde su origen $asta su e2tremo
Direccioacuten)iene dada or la orientacioacuten en el esacio de la recta ue locontiene
SentidoSe indica mediante una unta de lec$a situada en el e2tremo delvector- indicando $acia u5 lado de la lnea de accioacuten se dirige elvector7aamp ue tener muamp en cuenta el sistema de reerencia de losvectores- ue estaraacute ormado or un origen amp tres ees
erendiculares Este sistema de reerencia ermite iar la osicioacutende un unto cualuiera con e2actitud
Clasificacioacuten+odemos encontrar una serie de dierentes tios de vectores
Vectores Libres)ienen determinados or sus tres comonentes cartesianas-ue son sus roampecciones sore los tres ees de coordenadas
de un sistema ortogonal ue se eligioacute como reerencia Estetio de vectores tiene la roiedad de ue se uede trasladarsu origen a cualuier unto del esacio- manteniendo sumoacutedulo amp su sentido constantes- amp su direccioacuten aralela
Vectores DeslizantesEstos vectores ueden trasladar su origen a lo largo de sulnea de accioacuten amp vienen determinados or sus trescomonentes cartesianas amp or su recta soorte o lnea deaccioacuten
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Vectores Fijos+ara determinarlos- es reciso conocer sus cuatro elementoscaractersticos mencionados antes4 moacutedulo- direccioacuten- sentidoamp unto de alicacioacuten
Vectores EquipolentesSon vectores lires ue tienen igual moacutedulo- misma direccioacutenamp sentido Sus rectas soortes son aralelas o coincidentes+or lo tanto- estos vectores tendraacuten las mismas comonentescartesianas
Vectores OpuestosSon auellos vectores ue tienen la misma direccioacuten ampmoacutedulo- ero sentidos ouestos
Dos vectores A amp B son ouestos si tienen igual tama6o- igual
direccioacuten ero sentido contrario Es decir
A
B A - B
Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue ara estardeterminadas recisan de un valor num5rico- una direccioacuten- unsentido amp un unto de alicacioacuten
Vector
Un vector es la e2resioacuten ue roorciona la medida de cualuier
magnitud vectorial +odemos considerarlo como un segmentoorientado- en el ue cae distinguir4
bull Un origen o unto de alicacioacuten4 Abull Un e2tremo4 Bbull Una direccioacuten4 la de la recta ue lo contienebull Un sentido4 indicado or la unta de lec$a en Bbull Un moacutedulo- indicativo de la longitud del segmento
AB
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1 [km]
A
30deg
N
S
EO
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo moacutedulo amp lamisma direccioacuten
+ectores i0ales Dos vectores A amp B son iguales si tienen igualtama6o- direccioacuten amp sentido Es decir4 A
B A B
Vector libre
Un vector lire ueda caracteriado or su moacutedulo- direccioacuten ampsentido El vector lire es indeendiente del lugar en el ue seencuentra
Representacioacuten rica de 0n vector
Un vector se reresenta or una lnea orientada- la cual indica ladireccioacuten- amp or una lec$a- la cual indica su sentido La longitud dela lnea es roorcional a la magnitud del vector Si deseamos
reresentar un vector A de magnitud 8 9m Norte 1ltdeg Este4
ES(
amao4 norma4 moacuted0lo o manit0d de 0n vector Si A
reresenta un vector- su tama6o- norma- moacutedulo o magnitud sedesigna como4
= A = gt A
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DESCOMPOSC E SS$EM DE EampES C$ESOS
a5gta2iaamp j a62iamp j 6gta22i aamp amp ja 6
Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
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Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
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=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
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Vectores Fijos+ara determinarlos- es reciso conocer sus cuatro elementoscaractersticos mencionados antes4 moacutedulo- direccioacuten- sentidoamp unto de alicacioacuten
Vectores EquipolentesSon vectores lires ue tienen igual moacutedulo- misma direccioacutenamp sentido Sus rectas soortes son aralelas o coincidentes+or lo tanto- estos vectores tendraacuten las mismas comonentescartesianas
Vectores OpuestosSon auellos vectores ue tienen la misma direccioacuten ampmoacutedulo- ero sentidos ouestos
Dos vectores A amp B son ouestos si tienen igual tama6o- igual
direccioacuten ero sentido contrario Es decir
A
B A - B
Magnitudes Vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes ue ara estardeterminadas recisan de un valor num5rico- una direccioacuten- unsentido amp un unto de alicacioacuten
Vector
Un vector es la e2resioacuten ue roorciona la medida de cualuier
magnitud vectorial +odemos considerarlo como un segmentoorientado- en el ue cae distinguir4
bull Un origen o unto de alicacioacuten4 Abull Un e2tremo4 Bbull Una direccioacuten4 la de la recta ue lo contienebull Un sentido4 indicado or la unta de lec$a en Bbull Un moacutedulo- indicativo de la longitud del segmento
AB
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1 [km]
A
30deg
N
S
EO
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo moacutedulo amp lamisma direccioacuten
+ectores i0ales Dos vectores A amp B son iguales si tienen igualtama6o- direccioacuten amp sentido Es decir4 A
B A B
Vector libre
Un vector lire ueda caracteriado or su moacutedulo- direccioacuten ampsentido El vector lire es indeendiente del lugar en el ue seencuentra
Representacioacuten rica de 0n vector
Un vector se reresenta or una lnea orientada- la cual indica ladireccioacuten- amp or una lec$a- la cual indica su sentido La longitud dela lnea es roorcional a la magnitud del vector Si deseamos
reresentar un vector A de magnitud 8 9m Norte 1ltdeg Este4
ES(
amao4 norma4 moacuted0lo o manit0d de 0n vector Si A
reresenta un vector- su tama6o- norma- moacutedulo o magnitud sedesigna como4
= A = gt A
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DESCOMPOSC E SS$EM DE EampES C$ESOS
a5gta2iaamp j a62iamp j 6gta22i aamp amp ja 6
Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
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Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
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=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
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7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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1 [km]
A
30deg
N
S
EO
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo moacutedulo amp lamisma direccioacuten
+ectores i0ales Dos vectores A amp B son iguales si tienen igualtama6o- direccioacuten amp sentido Es decir4 A
B A B
Vector libre
Un vector lire ueda caracteriado or su moacutedulo- direccioacuten ampsentido El vector lire es indeendiente del lugar en el ue seencuentra
Representacioacuten rica de 0n vector
Un vector se reresenta or una lnea orientada- la cual indica ladireccioacuten- amp or una lec$a- la cual indica su sentido La longitud dela lnea es roorcional a la magnitud del vector Si deseamos
reresentar un vector A de magnitud 8 9m Norte 1ltdeg Este4
ES(
amao4 norma4 moacuted0lo o manit0d de 0n vector Si A
reresenta un vector- su tama6o- norma- moacutedulo o magnitud sedesigna como4
= A = gt A
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Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 810
Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 910
=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 1010
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httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 710
DESCOMPOSC E SS$EM DE EampES C$ESOS
a5gta2iaamp j a62iamp j 6gta22i aamp amp ja 6
Vectores unitarios y componentes de un vector
0ualuier vector uede ser considerado como resultado de la sumade tres vectores- cada uno de ellos en la direccioacuten de uno de los
ees coordenadosr gt r 2 r amp r
Si consideramos a$ora sore cada ee un vector- alicado en elorigen- cuampo sentido es ositivo amp cuampo moacutedulo consideramos comounidad de longitudes- odemos sustituir cada uno de los sumandosde la e2resioacuten anterior or el roducto de un escalar or elcorresondiente vector unidad
De ese modo-
Los escalares - amp se denominan comonentes del vector amp sereresentan or4
Los vectores son los vectores unitarios amp suelenreresentarse resectivamente or i4 j amp 6
Tami5n uede reresentarse de la siguiente orma4
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 810
Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 910
=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
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Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
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Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
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httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 1010
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
httpslidepdfcomreaderfull45491369-definicion-de-un-vector-en-r2-r3-interpretacion-geometrica-y-su-generalizacion 810
Moacutedulo de un Vector
Un vector no solo nos da una direccioacuten amp un sentido- sino tami5nuna magnitud- a esa magnitud se le denomina (oacutedulo)rfica(ente4 es la distancia ue e2iste entre su origen amp sue2tremo- amp se reresenta or4
Coordenadas cartesianas4 En muc$as ocasiones es convenientetomar las comonentes sore tres direcciones mutuamenteerendiculares O- O amp O ue orman un sistema cartesiano
tridimensionalSi tomamos tres vectores unitarios- i sore O- j sore O amp 6sore O- entonces odemos encontrar untos a2- aamp- a sore O-O- O- resectivamente- tales ue4
amp alicando el teorema de +itaacutegoras nos encontramos con ue elmoacutedulo de a es4
plicacioacuten+ coordenadas intrnsecas - cosenos directores
7172019 45491369 Definicion de Un Vector en R2 R3 Interpretacion Geometrica y Su Generalizacion en Rn
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=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
9i5lioraa
(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
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=a= gt modulo del vector0a gt vector unitario de aLas roampecciones de a sore los ees 2- amp- - resectivamente-
euivalen a4
Si alicamos la ormula Basada en el teorema de +itaacutegoras4
Entonces4
de donde se deduce ue4
Se dee $acer notar ue la roampeccioacuten de a en una direccioacutencualuiera or eemlo4 a7 es un escalar- mientras ue sucomonente en la misma direccioacuten or eemlo4 a7 8 i es un vector
+ara un vector gen5rico a- los cosenos de los aacutengulos - amp - ueorma con los semiees 2- amp- - resectivamente- se denominancosenos directores de a
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(i5ro lc0lo omo 0tor Roland E ostetler Ro5ert PEditorial r0po Editorial 5eroamericano
(i5ro lc0lo con eometra naltica
0tor Slto6olts6i Earl =Editorial r0po Editorial 5eroamericano
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