43 teorema stokes

CALCULO VECTORIAL

ROSA ÑiQUE ALVAREZ 1

TEOREMA STOKES

GEORGE GABRIEL STOKES1819-1903

CAPÍTULO V

George Gabriel Stokes

Rosa Ñique Alvarez 2

(1818 - 1903) fue un físicomatemático irlandés. Stokesfue catedrático en laUniversidad de Cambridge.En 1854, planteó su teoremacomo un problema en elexamen de un concurso paraestudiantes de Cambridge.No se sabe si alguien resolvióel problema.


ORIENTACIÓN DE UNA CURVA CERRADA C







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CALCULO VECTORIAL


ORIENTACIÓN POSITIVA DE UNA CURVA CERRADA C


INTRODUCCIÓN


jiF ),(),(),( yxQyxPyx +=

k

kji

FF

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

==∇yP

xQ

QPzyx

rot

0

x

INTRODUCCIÓN


∫ ∫∫

∂∂

−∂∂

=+

C R

AdyP

xQdyQdxP

yP

xQ

yP

xQrot

∂∂

−∂∂

=⋅

∂∂

−∂∂

=⋅ kkkF

TEOREMA DE GREEN


∫ ∫∫

∂∂

−∂∂

=+

C R

AdyP

xQdyQdxP

∫ ∫∫ ⋅=+

C R

AdrotdyQdxP kF

jiF ),(),(),( yxQyxPyx +=

Rosa Ñique Alvarez11

R

C

k

∫ ∫∫ ⋅=+C R

dArotdyQdxP kF

TEOREMA DE GREEN TEOREMA STOKES


∫ ∫∫ ⋅=⋅

C S

dSrotd NFrF



CALCULO VECTORIAL



TEOREMA STOKESSea S una superficie suave a trozos yorientada, que está limitada por una curvafrontera C, cerrada, suave a trozos ypositivamente orientada. Sea F un campovectorial cuyas componentes tienen derivadasparciales continuas en una región abierta deR3 que contiene a S. Entonces

∫ ∫∫ ⋅=⋅C S

dSrotd NFrF


Notación

( )∫∫∫ ∫∫ ⋅∇=⋅=⋅

SC S

dSdSrotd NFNFrF x

( )∫ ∫∫∫∫ ⋅∇=⋅=⋅

C SS

SdSdrotds NFNFTF x


Notación

∫ ∫∫ ⋅=++

=

C S

dSrotRdzQdyPdx

RQPzyx

NF

F

)(

),,(),,(


EJEMPLO 1

Evalúe donde

y C es la curva de intersección del plano y + z = 2con el cilindro x2 + y2 = 1. (Oriente C de maneraque se recorra en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj, cuando se vea desde arriba)

∫ ⋅

C

d rF ( )22 ,, zxy−=F


Gráfica ( )22 ,, zxy−=F

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-2-1

01

2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

campo3NC4

Solución


( )kF

kji

FF

yrot

zxy-zyx

rot

21

22

+=

∂∂

∂∂

∂∂

==∇ x

( )22 ,, zxy−=F



CALCULO VECTORIAL



Gráfica ( )kF yrot 21+=

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

( )22 ,, zxy−=F


rot F atraviesa elplano pero no elcilindro.

( )kF yrot 21+=


∫ ∫∫ ⋅=⋅

C S

dSrotd NFrF

TEOREMA STOKES S: y + z = 2


Solución: usando el teorema Stokes

( )∫∫∫ ∫∫ ⋅+=⋅=⋅SC S

dSydSrotd NkNFrF 21

S: y + z = 2 )1,1,0()( =Sgrad

( )∫ ∫∫ ⋅+=⋅C R

dASgradyd )(21 krF



( )

( )

π

θθπ

=⋅

+=⋅

+=⋅

∫∫∫∫

∫∫∫

C

C

RC

d

drrdsenrd

dAydXY

rF

rF

rF

2

0

1

0

21

21


EJEMPLO 2Evalúe

donde C es la curva cerrada

que esta sobre la superficie S: z = 2xy

( ) ( ) dzxdyyzdxsenxy

C

32 cos ++++∫( ) π20;2,cos,)( ≤≤= ttsentsenttr



CALCULO VECTORIAL


-2

0

2

-2-1

01

2

-10

-5

0

5

10

Superficie: z =2xy( ) π20,2,cos,)( ≤≤= ttsentsentt:C r

CurSurf

SOLUCIÓN


Proyección de la porción de superficie S: z = 2xy sobre el plano XY es el disco:

1: 22 ≤+ yxR

Solución


)1,3,2(),,( 2 −−−= xzzyxrot F

F es un campo vectorial no conservativo

( ) ( ) kjiF 32 cos),,( xyzsenxyzyx ++++=


-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

CurSurfStokes

La curva C y su proyección en el Plano XY

( ) π20,2,cos,)( ≤≤= ttsentsentt:C r

Solución


S: z = 2xy , z - 2xy = 0

)1,3,2(),,( 2 −−−= xzzyxrot F

( )1,2,2)( xySgrad −−=

( ) ( ) kjiF 32 cos),,( xyzsenxyzyx ++++=

( )1,2,2)( −= xySgrad

S: z - 2xy = 0

S: 2xy - z = 0

Solución


S: z = 2xy , z - 2xy = 0

dASradgzyxrotdSzyxrot )(),,(),,( ⋅=⋅ FNF

)1,3,2(),,( 2 −−−= xzzyxrot F

( )1,2,2)( xySgrad −−=



CALCULO VECTORIAL


Solución


( )dAxzydSzyxrot 164),,( 3 −+=⋅ NF

( )dAxxydSzyxrot 168),,( 32 −+=⋅ NF

S: z = 2xy

dASradgzyxrotdSzyxrot )(),,(),,( ⋅=⋅ FNF

Solución: Teorema Stokes


( ) ( )

( )∫∫

∫∫

∫

−+=

⋅=

++++

R

S

C

dAxxy

dSNzyxrot

dzxdyyzdxsenxy

168

),,(

cos

32

32

F

Solución


( ) ( )

( )[ ]∫ ∫

∫

−+=

++++

π

θθθθ2

0

1

0

332

32

1cos6cos8

cos

rdrdrsen

dzxdyyzdxsenxyC

Solución


( ) ( ) π=++++∫ dzxdyyzdxsenxyC

32 cos


EJEMPLO 3

a lo largo de la curva cerrada C, recorrida ensentido antihorario vista desde arriba, que resultade la intersección de las superficies:

( ) ( )dzzydyzdxyC

22ln)arctan(1 +++−∫Evalúe

1:;2

: 2

222

1 +==+ yzSzyxS

SOLUCIÓN


( ) ( )kjiF 22ln)arctan(1),,( zyzyzyx +++−=

kjiF −+

+

−+

= 01

12),,( 222 zzyyzyxrot



CALCULO VECTORIAL


SOLUCIÓN


Intersección de las superficies

1:;2

: 2

222

1 +==+ yzSzyxS

( )222

2221 1:;22: +==+ yzSzyxS

1222 222 ++=+ yyyx

( ) 121 2

2 =−

+yx

Las superficies se intersecan cuando (x, y ) están sobre la elipse

SOLUCIÓN


S2: z = y+1

2:

222

1zyxS =+

( )1,1,0)( 2 −=Sgrad

S2: z = y+1 S2: z – y – 1 = 0

SOLUCIÓN


dA-dASradgrotdSrot 2 1)( 2 =⋅=⋅ FNF

kjiF −+

+

−+

= 01

12),,( 222 zzyyzyxrot

( )1,1,0)( 2 −=Sgrad


SOLUCIÓN: Teorema Stokes

( ) ( )

dASgradrotdSrot

dzzydyzdxy

XYRS

C

∫∫∫∫∫

=

=+++−

)(..

ln)arctan(1

22

22

2

FNF

( ) 121:

22 ≤

−+

yxRXY



( ) ( )

π21.

ln)arctan(1

2

2

22

−=−=

=+++−

∫∫∫∫∫

XYRS

C

dAdSrot

dzzydyzdxy

NF

( ) 121:

22 ≤

−+

yxRXY

EJEMPLO 4


Sean ( ) kjiF 22 42),,( xyxzzzyx −++−=

∫C

d r.F

y C una curva cerrada simple enel plano x + y+ z = 4 que limitauna región de área 16 (ver figura).Calcule

donde C esta orientada en elsentido antihorario cuando semira por encima del plano.

Y

Z

4

4

4

x + y + z = 4

C

X



CALCULO VECTORIAL


SOLUCIÓN: TEOREMA STOKES


rotF= (4-2x)i +2(x-z)j+2zk

( ) kjiF 22 42),,( xyxzzzyx −++−=

S: x + y + z = 4Porción de plano

)1,1,1(3

1;)1,1,1()( == NSgrad

SOLUCIÓN: TEOREMA STOKES


rotF= (4-2x)i +2(x-z)j+2zk

)1,1,1(3

1;)1,1,1()( == NSgrad

dSdSrot3

4=⋅ NF



∫∫∫ ⋅=S

dSrotdC

NFr.F

dSdSrot3

4=⋅ NF

364)16(

34

34

=== ∫∫∫S

dSdC

r.F


EJEMPLO 5Evalúe

Donde:

y C es triángulo con vértices en (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2).

( ) ( ) kjiF )4ln(2),,( 21 2+++++= − zxexsenyzyx y

∫C

drF .


Solución

El campo vectorial F no es conservativo.

( ) 0≠−−= 2,1,0)(Frot



Solución: sin usar el teorema Stokes

1

2

C1

C2C3

1



CALCULO VECTORIAL



Solución: Sin usar Teorema Stokes(usando Forma Básica)

∫∫∫

∫∫∫∫

′⋅+′⋅+′⋅=

++=

3

3

2

2

1

1

321

)()()()()()(

....

b

a

b

a

b

a

CCCC

tdttdttdt

dddd

rrFrrFrrF

rFrFrFrF

F es un campo vectorial no conservativo


EJEMPLO 6Evalúe

Donde:

y C es triángulo con vértices en (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2).


∫C

drF .


Solución

El campo vectorial F no es conservativo.

( ) ( )kjiF )4ln(2),,( 21 2

+++++= − zxexsenyzyx y

( ) 0≠−−= 2,1,0)(Frot


Solución: Usando el Teorema Stokes

)2,1,0(

Plano:;.

−−=

⋅= ∫∫∫F

NFrF

rot

SdSrotd

SC



1

2

C1

C2C3

1

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

CAMPO VECTORIAL

Y

Z

Campo VectorialRotacional

campo3NC9

( ) ( )kjiF )4ln(2),,( 21 2

+++++= − zxexsenyzyx y

( ) 0≠−−= 2,1,0)(Frot



CALCULO VECTORIAL






( )

( )341,2,2

31)2,1,0(rot

1,2,231:anormalvector

222:

-

S

zyxS

=⋅−−=⋅

=

=++

NF

N

Con los tres puntos se define la ecuación del plano S.



876

321

STrianguloArea

SdeArea

34

34.

.

∫∫∫∫∫

∫∫∫

−=

−=

⋅=

SSC

SC

dSdSd

dSrotd

rF

NFrF


876 STrianguloArea

34.

34.

∫∫∫

∫∫∫

−=

−=

SC

SC

dSd

dSd

rF

rF




22

23221

34.

34

34.

STrianguloArea

−=

−=

−=

−=

∫

∫∫∫∫∫

C

SSC

d

dSdSd

rF

rF876


Solución: Usando el teorema de Stokes y Proyectando en XY

11

2N

S

1

1

R

X

Y



CALCULO VECTORIAL



Solución: Proyectando S en el plano XY

( )1,2,2g;222: ==++ SradzyxS

)2,1,0(rot −−=F




∫∫∫

∫∫∫

⋅−−=

⋅=

XYR

dASgrad

C

SC

dAd

Sdrotd

48476 )(

)1,2,2()2,1,0(.

.

rF

NFrF



∫∫∫

∫∫∫∫∫

−=−=

⋅−−=⋅=

XY

XY

RC

RSC

XYAdd

dASdrotd

)entriánguloArea(44.

)1,2,2()2,1,0(.

rF

NFrF



876 RtriangulodelArea

RC XY

Add ∫∫∫ −= 4. rF

1

1

R

X

Y



2)2/1(4.

)entriánguloArea(44

)1,2,2()2,1,0(.

−=−=

−=−=

⋅−−=⋅=

∫

∫∫

∫∫∫∫∫

C

R

RSC

rdF

XYAd

dASdrotd

XY

XY

rr

NFrF

EJEMPLO 7Evalúe

donde C es la frontera de la porción del paraboloidez = 4 – x2 – y2 sobre el plano XY y F el siguiente campovectorial

rF dC∫ ⋅

66

( )322 ;1;),,( zyyexzyx x +−=F



CALCULO VECTORIAL


Solución: usando Teorema de Stokes

67

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅SS

NkNFrF dSdSrotdC

( )322 ;1;),,( zyyexzyx x +−=F

( ) kF == 1,0,0rot

S: paraboloide


68

dAdAyxdSrot ==⋅ )1,2,2.(kNF

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅SS

NkNFrF dSdSrotdC

;04: 22 =++− yxzS )1,2,2()( yxSgrad =

Solución:

R: Área del disco con centro en el origen y radio 2

69

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅SS

NkNFrF dSdSrotdC

}discodelArea

C

dAd ∫∫∫ =⋅R

rF

dAdAyxdSrot ==⋅ )1,2,2.(kNF Solución:R: Área del disco con centro en el origen y radio 2

70

∫∫∫ =⋅R

rF dAdC

π4=⋅∫ rF dC

EJEMPLO 8Evalúe donde C es la curva que resulta

y el siguiente campo vectorial

0;94

;194

2222

22

≥+==++ zyxzzyx

( )2

,,),,( zexyzyx −−=F

rF dC∫ ⋅

71

de la intersección de las superficies:ELIPSOIDE CONO


kF 2=rot

72

( )2

,,),,( zexyzyx −−=F

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅SSC

dSdSrotd NkNFrF 2

S es la superficie con borde C



CALCULO VECTORIAL



∫∫∫ ⋅=⋅SC

dSd NkrF 2

donde C es la curva cerrada que resulta de laintersección del Elipsoide y Cono.

S es la superficie con borde la curva C.

73


∫∫∫ ⋅=⋅SC

dSd NkrF 2

( ) ElipticaCurva;22;1

232

: 2

2

2

2

==

+ zyxC

La intersección del Elipsoide y Cono ocurre paraz = √2/2, este valor define la curva deintersección de las dos superficies

74


∫∫∫ ⋅=⋅S

NkrF dSdC

2

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅SC

dSdSrotd kkNFrFS

2

75

donde S es la porción de plano con borde C


( )SdSdSC

deArea22 ==⋅ ∫∫∫ rF

76

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅SC

dSdSrotd kkNFrFS

2


Área de superficie S

( ) 22;1

232

: 2

2

2

2

=≤

+ zyxS

)ElipseArea(22 ==⋅ ∫∫∫SC

dSd rF

77

Superficie elíptica


)ElipseArea(22 ==⋅ ∫∫∫SC

dSd rF

( ) ππ 62

322 =

=⋅∫ rF d

C

78

Superficie elíptica( ) 22;1

232

: 2

2

2

2

=≤

+ zyxS



CALCULO VECTORIAL


APLICACIONES


TEOREMA STOKES

qTRABAJO

qCIRCULACIÓN DE UN FLUIDO

TRABAJO


∫∫∫ ⋅==⋅=CCC

ddscompdsW rFFTF T

dSrotdWSC

NFrF ⋅=⋅= ∫∫∫

TEOREMA STOKES

EJEMPLO 9

81

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas

Al desplazar una partícula de:

( )1,0,0hasta0,2

1,2

1 =

= BA

a lo largo de la curva C1 luego por lossegmento rectos C2 y C3. Donde C1resulta de interceptar el plano y = xcon el cilindro 2x2 + z2 = 1.

( )zyxzyxzyxzyx 423;;2),,( 2 +−−+−−=F

82

( )zyxzyxzyxzyx 423;;2),,( 2 +−−+−−=F


( )2;2;22),,( −−= zzyxrot F

( )∫∫∫∫∫ ⋅−−=⋅=⋅=SS

NNFrF dSzdSrotdWC

2,2,22

83


S: y = x ; Plano

grad(S)= (1,-1,0)

( ) ( )dAzdSrot 0,1,12,2,22 −⋅−−=⋅ NF

zdAdSrot 2=⋅ NFy = x

A

O

S

B

S: x – y = 0

84

( )∫∫∫∫∫ ⋅−−=⋅=⋅=SS

NNFrF dSzdSrotdWC

2,2,22


AdzdWC

∫∫∫ =⋅=XZR

rF 2

zdAdSrot 2=⋅ NF

Proyectando S sobre el plano XZ



CALCULO VECTORIAL


85


AdzdWC

∫∫∫ =⋅=XZR

rF 2


∫ ∫∫−

=⋅=2

1

0

21

0

2

2x

C

dxzdzdW rF

86


∫ ∫∫∫∫−

==⋅=2

1

0

21

0

2

22x

C

dxzdzAdzdWXZR

rF


32

=⋅= ∫ rF dWC

CIRCULACIÓN


Una integral de línea de un campo vectorial F a lo largode una curva cerrada simple C se dice que será lacirculación de F alrededor de C; esto es

∫∫ ⋅=⋅=CC

dsdr TFFncirculació

∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=SCC

dSrotdsdr NFTFFncirculació

Usando el teorema de Stokes:


Un dispositivo de paletas,se inserta en un fluido quefluye, entonces elrotacional del campo develocidades F es la medidade la tendencia del fluido agirar el dispositivo entorno a su eje vertical. Sirot F = 0 , entonces elflujo del fluido se dice queserá irrotacional, lo cualsignifica que no tieneremolinos que podríancausar el giro de laspaletas


Si F es el campo develocidades de un fluido(liquido o gas), entonces lacirculación es una medida dela cantidad por la cual elfluido tiende a girar por lacurva C rotando, ocirculando, alrededor de ella.

∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=SCC



Gran circulación a lo largo de C

Pequeña circulación a lo largo de C

∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=SCC




CALCULO VECTORIAL



CIRCULACIÓN POSITIVA

0ncirculació >⋅=⋅=⋅= ∫∫∫∫SCC

dSrotdsdr NFTFF


CIRCULACIÓN NEGATIVA

0ncirculació <⋅=⋅=⋅= ∫∫∫∫SCC

dSrotdsdr NFTFF


Si F es perpendicular a T para todo punto sobre C, entonces

C

F

0ncirculació =⋅=⋅=⋅= ∫∫∫∫SCC

dSrotdsdr NFTFF


INTERPRETACION FISICA DEL ROTACIONAL


Circulación de F a lo largo de Cα

∫α

⋅

C

sdTF

Vρ=FFrot N


EJEMPLO 4

+= 0;

13

2yF

( )kF 22 1

6

+=

y

yrot



CALCULO VECTORIAL



Gráfica

+= 0;

13

2yF

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


EJEMPLO 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

C1

C2

∫ ⋅

C

dsTF


Solución

∫

∫<⋅

>⋅

2

1

0

0

C

C

ds

ds

TF

TF


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

EJEMPLO 6

C3

∫ ⋅

C

dsTF


Solución

03

=⋅∫C

dsTF



43 teorema stokes

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