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Estadística y Control de Calidad Unidad IV

4.1 GRAFICA DE CONTROL Y CONCEPTOS ESTADISTICOS

Un proceso de control es aquel cuyo comportamiento con respecto a variaciones es

estable en el tiempo.

Las graficas de control se utilizan en la industria como técnica de diagnósticos para

supervisar procesos de producción e identificar inestabilidad y circunstancias anormales.

Una gráfica de control es una comparación gráfica de los datos de desempeño de

proceso con los “límites de control estadístico” calculados, dibujados como rectas limitantes

sobre la gráfica. Los datos de desempeño de proceso por lo general consisten en grupos de

mediciones que vienen de la secuencia normal de producción y preservan el orden de los

datos.

Las graficas de control constituyen un mecanismo para detectar situaciones donde las

causas asignables pueden estar afectando de manera adversa la calidad de un producto.

Cuando una grafica indica una situación fuera de control, se puede iniciar una investigación

para identificar causas y tomar medidas correctivas.

Nos permiten determinar cuándo deben emprenderse acciones para ajustar un

proceso que ha sido afectado por una causa especial. Nos dicen cuando dejar que un

proceso trabaje por sí mismo, y no malinterpretar las variaciones debidas a causas comunes.

Las causas especiales se deben contrarrestar con acciones correctivas. Las causas

comunes son el centro de atención de las actividades permanentes para mejorar el proceso.

Las variaciones del proceso se pueden rastrear por dos tipos de cusas

1) Común o (aleatoria), que es inherente al proceso

2) Especial (o atribuible), que causa una variación excesiva.

El objetivo de una gráfica control no es lograr un estado de control estadístico como un

fin, sino reducir la variación.

Un elemento básico de las gráficas de control es que las muestras del proceso de interés

se han seleccionado a lo largo de una secuencia de puntos en el tiempo. Dependiendo de la

etapa del proceso bajo investigación, se seleccionara la estadística mas adecuada.

Además de los puntos trazados la grafica tiene una línea central y dos limites de control.


Si todos los puntos de la grafica se encuentran entre los dos limites de control se

considera que el proceso esta controlado. Una señal fuera de control aparece cuando un

punto trazado cae fuera de los límites, lo cual se atribuye a alguna causa asignable y

entonces comienza la búsqueda de tales causas.

Establecer una gráfica de control requiere los siguientes pasos:

1) Elegir la característica que debe graficarse.

2) Elegir el tipo de gráfica de control

3) Decidir la línea central que deben usarse y la base para calcular los límites. La línea

central puede ser el promedio de los datos históricos o puede ser el promedio deseado.

4) Seleccionar el subgrupo racional. Cada punto en una gráfica de control representa un

subgrupo que consiste en varias unidades de producto.

5) Proporcionar un sistema de recolección de datos si la gráfica de control ha de servir como

una herramienta cotidiana en la planta.

6) Calcular los límites de control y proporcionar instrucciones específicas sobre la

interpretación de los resultados y las acciones que debe tomar cada persona en producción.

7) Graficar los datos e interpretar los resultados.

Ejemplo de gráfica de control generalizada para promedios

Limite de control superior

Limite de control inferior

Número de subgrupos (muestra)

Valores observados de X

Línea central


Para finalizar este tema en el siguiente diagrama se muestra la clasificación de las

graficas de control para atributos y variables:


4.2 GRAFICOS DEL CONTROL PARA ATRIBUTOS

Muchas características de la calidad no pueden representarse convenientemente con

valores numéricos. En tales casos, cada artículo inspeccionado por lo general se clasifica

como conforme o disconforme respecto de las especificaciones para esas características de

la calidad. A las características de la calidad de este tipo se les llama atributos.

El término atributos se utiliza en literatura sobre control de calidad para describir dos

situaciones:

1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no).

2. Una sola pieza puede tener uno o mas defectos y el numero de estos es determinado.

En el primer caso, una grafica de control esta basada en la distribución binomial; en el

último, la distribución de Poisson es la base para la grafica.

Se presentan dos cartas de control de atributos:

1. Gráfica de control para la fracción disconforme o gráfica p

2. Gráfica de control de disconformidades o gráfica c

Grafica p.- Se clasifica la unidad de observación en una de dos categorías alternas, por

ejemplo pasa o no pasa, cumple con las especificaciones y no cumple con las

especificaciones; Se puede rastrear la producción de unidades defectuosas en la

muestra de observación.

Grafica C.- Cuando una observación consiste en la cantidad de defectos por unidad de

observación, se rastrean la cantidad de los defectos.

Grafica p para fracción de defectos.

Cuando un proceso esta en control, la probabilidad de que cualquier pieza sea

defectuosa es p (p es la proporción a largo plazo de piezas defectuosas para un proceso en

control) y que diferentes piezas son independientes entre si, con respecto a sus condiciones.


Considérese una muestra de n piezas obtenida en un tiempo en particular, y sea X el

numero de defectuosas y pˆ = X/n. como X tiene una distribución binomial, E(X) = np y V(X)

= np (1-p), por lo cual

E(pˆ) = p V(pˆ) = _p (1- p )_ n

Del mismo modo, si np ≥10 y n(1-p) ≥ 10, pˆ tiene aproximadamente una distribución

normal. En el caso de que p conocida (o una grafica basada en un valor fijo), los limites de

control son

_________ _________LCL = p - 3 √ _p (1- p ) UCL = p + 3 √ _p (1- p )_ n n

Si cada muestra esta formada por n piezas, el numero de piezas defectuosas de la i-

esima muestra es xi/n, entonces pˆ1, pˆ2, pˆ3, . . . se trazan en la grafica de control.

Por lo general, el valor de p puede estimarse de los datos. Supóngase que se dispone

de k muestras de lo que se piensa es un proceso de control, y sea

k

= ∑ pˆi i =1____

k

La estimación se utiliza en lugar de , en los limites de control antes citados.

La grafica p para la fracción de piezas defectuosas tiene su línea central en la altura

y limites de control

_________ _________LCL = - 3√ _p (1- ) UCL = + 3√ _p (1- )_ n n si LCL es negativo, es sustituido por 0.

Ejemplo:

Se selecciona una muestra de 100 tazas de una figura especial de loza, durante cada uno de 25 días sucesivos, y cada una se examina para ver si tiene defectos. Los números resultantes de tazas no aceptables y sus correspondientes proporciones muestrales son los siguientes:


día (i) XI p^I

1 7 0,072 4 0,043 3 0,034 6 0,065 4 0,046 9 0,097 6 0,068 7 0,079 5 0,0510 3 0,0311 7 0,0712 8 0,0813 4 0,0414 6 0,0615 2 0,0216 9 0,0917 7 0,0718 6 0,0619 7 0,0720 11 0,1121 6 0,0622 7 0,0723 4 0,0424 8 0,0825 6 0,06

Supóngase que el proceso estuvo en control durante este periodo, establezca límites de

control y construya una grafica p. se tiene que ∑ pˆi = 1.52, dando:

= 1.52/25=.068 y __________________LCL = 0.0608 - 3√ (0.0608) (0.9392)/100 = 0.0608 - 0.0717 = -0.0109 __________________ UCL = 0.0608 + 3√ (0.0608) (0.9392)/100 = 0.0608 + 0.0717 = 0.1325

Por lo tanto el LCL se iguala a 0. la grafica de control muestra que todos los puntos están

dentro de los limites de control. Esto es congruente con la suposición de un proceso en

control.


4.3 GRÁFICAS X y R

Las cartas de control X y R se usan ampliamente para monitorear la media y la variabilidad. El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la gráfica de control para medias, o gráfica X. La variabilidad de proceso puede monitorizar con una gráfica de control para el rango, llamada gráfica R. Generalmente, se llevan gráficas X y R separadas para cada característica de la calidad de interés.

Las gráficas X y R se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y control de procesos en línea más importantes y útiles.

Los pasos para crear las gráficas se irán detallando paso a paso con un ejemplo de contenido de plomo en agua.

Creando una gráfica R en Excel

Toma de muestras

Periódicamente se toma una pequeña muestra (por ejemplo, de cinco unidades) del proceso, y se calculará el promedio (X) y el rango (R) de cada una. Debe recolectarse un total de al menos 50 medias individuales (esto es, diez muestras de cinco cada una) antes de calcular los límites de control. Éstos se establecen a +3o para los promedios y rangos muestrales. Los valores de X y R se grafican por separado contra sus límites a +3o.Por ejemplo:Se ha obtenido una gráfica del contenido de plomo en partes por billón de 5 muestras de agua registradas diariamente por un periodo de 5 días, que se muestra a continuación:

Muestras de aguaDía 1 2 3 4 51 13 8 2 5 82 0 6 1 9 153 4 2 4 3 44 3 15 8 3 55 5 10 5 4 06 9 5 13 7 77 0 4 4 3 98 9 3 0 6 09 14 0 0 5 3

10 3 9 5 0 211 5 8 0 7 812 3 2 2 7 413 5 11 14 8 314 13 5 5 12 715 7 0 1 0 616 12 7 10 4 1317 9 4 4 8 918 6 1 1 3 1319 7 0 5 7 2


20 10 0 10 12 721 3 7 5 10 1222 3 0 10 5 423 3 3 0 6 924 0 2 3 6 725 2 3 5 4 1026 3 1 4 2 427 2 4 5 13 428 0 16 7 2 1129 3 5 9 8 630 9 7 10 13 0

Estos datos servirán para el desarrollo de las gráficas X y R. Éstos deberán ser introducidos en una hoja de Excel como se muestra en el cuadro.

Cálculo del rango R de las muestras

A continuación, deberán calcularse los rangos promedios de las muestras. El rango es la diferencia del valor mayor de la muestra menos el valor menor de la muestra, esto es, de manera muy abstracta, R = M – m, donde M es el mayor y m es el menor.

Aplicando este conocimiento a nuestro ejemplo, se calculan los valores de los rangos muestrales de la siguiente forma:

M=13 y m=2: entonces 13 – 2 =11M=15 y m=0: entonces 15 – 0 =15M= 4 y m=2: entonces 4 –2 = 2M=15 y m=3: entonces 15 – 3 =12M=10 y m=0: entonces 10 – 0 =10

Y así sucesivamente con todos los valores de la gráfica.

Cálculo de la R promedio (Línea Central)

Enseguida, se calculará el valor de R , que es el promedio de los rangos muestrales. Esto se obtiene sumando las Ri obtenidas en todas las muestras y dividiéndolo entre el número de observaciones realizadas.

En el ejemplo se tiene que n = 30 porque cada uno de los 30 días se hizo 1 muestra; la suma de los rangos deberá dividirse, entonces, entre 30. Esto puede calcularse con la función de Excel PROMEDIO seleccionando la columna de datos correspondiente a Ri. Se recomienda crear un apartado en el diseño de la hoja de Excel que se esté utilizando donde se guarden estos valores, ya que se necesitarán para cálculos posteriores.

Hasta ahora, la tabla debe estar como sigue:

Muestras de agua Día 1 2 3 4 5 Ri

1 13 8 2 5 8 112 0 6 1 9 15 153 4 2 4 3 4 24 3 15 8 3 5 125 5 10 5 4 0 10


El valor de R = 9.167, que es valor del Límite Central para la Gráfica R, y es la línea central de nuestras observaciones individuales.

* Añádase este valor al listado de valores importantes.

Cálculo de Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales

Como ya se ha explicado, los límites superior e inferior nos ayudan a deducir si nuestro gráfico se encuentra dentro o fuera de control. Por esto es necesario ubicar su lugar en el histograma ( que se hará posteriormente) con ayuda de las siguientes fórmulas abreviadas:

Limite de control superior = RD4

Limite de Control Inferior = RD3

Donde D3 y D4 son constantes aplicadas en nuestro ejemplo, y que se encuentran en la siguiente tabla:

Número de observaciones en una muestra A2 D3 D4

Factor para la estimación de R: d2=R/s

2 1.880 0 3.268 1.1283 1.023 0 2.574 1.6934 0.729 0 2.282 2.0595 0.577 0 2.114 2.3266 0.483 0 2.004 2.5347 0.419 0.076 1.924 2.7048 0.373 0.136 1.864 2.8479 0.337 0.184 1.816 2.9710 0.308 0.223 1.777 3.07811 0.285 0.256 1.744 3.17312 0.266 0.284 1.717 3.25813 0.249 0.308 1.692 3.33614 0.235 0.329 1.671 3.40715 0.223 0.348 1.652 3.472

Muestras de aguaDía 1 2 3 4 5 Ri1 13 8 2 5 8 112 0 6 1 9 15 153 4 2 4 3 4 24 3 15 8 3 5 125 5 10 5 4 0 106 9 5 13 7 7 87 0 4 4 3 9 98 9 3 0 6 0 99 14 0 0 5 3 14

10 3 9 5 0 2 911 5 8 0 7 8 812 3 2 2 7 4 513 5 11 14 8 3 1114 13 5 5 12 7 815 7 0 1 0 6 716 12 7 10 4 13 917 9 4 4 8 9 518 6 1 1 3 13 1219 7 0 5 7 2 720 10 0 10 12 7 1221 3 7 5 10 12 922 3 0 10 5 4 1023 3 3 0 6 9 924 0 2 3 6 7 725 2 3 5 4 10 826 3 1 4 2 4 327 2 4 5 13 4 1128 0 16 7 2 11 1629 3 5 9 8 6 630 9 7 10 13 0 13


La selección de las constantes D dependerán del número de observaciones en nuestra muestra; como nuestro ejemplo consta de 5 observaciones, D3=0 y D4=2.114.

Así, se sustituye el valor seleccionado en la fórmula y se obtiene que

Limite de control superior = RD4

Limite de control superior = (2.114) ( 9.167) = 19.38*

Limite de Control Inferior = RD3

Limite de control superior = (0)(9.167) = 0*

* Estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue una columna del mismo número de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido, es decir, 1 columna de 30 filas con el valor 19.38 (en cada una de las filas) y otra columna de 30 filas con el valor 0. Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creación del gráfico. Si lo desea, haga lo mismo con el valor del límite central de R.

Crear el Gráfico R

En Excel, con ningún valor seleccionado y las columnas ya creadas, siga los siguientes pasos:

1) Dé clic en el Asistente para Gráficos, elija el tipo de gráfico de líneas y Siguiente>.2) Dé clic en la pestaña “Serie” y elimine todas las gráficas hechas por Excel, si las hay,

dando clic en Quitar. 3) Dé clic en Agregar4) Como ‘Rótulos de los ejes de categorías (X)’, dé clic en el icono y proponga los

valores de los días del 1 al 30. Dé ENTER. Éstos son los valores x.5) Como ‘Valores’ proponga todos los valores de Ri de la tabla y dé ENTER. Éstos son

los valores y.6) Para los límites dé clic en Agregar, dé los mismos valores de X pero como Y proponga

a los valores obtenidos como Límite Superior, en este caso, la columna con el valor 19.38.

7) Repita la operación pero con el valor de Límite Inferior =0 y dé clic en Siguiente>.8) Cambie las opciones del gráfico como lo desee y dé clic en Finalizar.9) Se ha creado el gráfico R de las muestras. Si lo desea, cambie el formato del tipo de

Gráfico de los límites dando clic derecho sobre ellos y eligiendo la opción ‘Tipo de gráfico’.


Gráfico R

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

Creando una gráfica X en Excel

En base a la primera tabla de datos, se realizará ahora un gráfico X, que es muy parecida a la anterior; la diferencia radica en que en lugar de tomar R como valores de Y, se toma el valor del promedio de X.

Cálculo de los promedios Xde las muestras (Línea Central)

En la tabla de datos se agrega una columna y se realiza el cálculo de los promedios, que es la suma de los elementos de la primera muestra m entre el número de elementos, esto es, X= (m1 + m2 + ... + mn)/ n. En Excel puede utilizarse la fórmula (=PROMEDIO(m1:mn)), adecuado a cada ejercicio en particular.Aplicándolo al ejemplo, se tiene que el valor de n=5 porque son 5 muestras en total, obteniendo los valores de X :

= (13+8+2+5+8)/5 = 7.2= (0+6+1+9+15)/5 = 6.2= (4+2+4+3+4)/5 = 3.4= (3+15+8+3+5)/5 = 6.8= (5+10+5+4+0)/5 = 4.8 = (9+5+13+7+7)/5 = 8.2

Y así sucesivamente con todos los demás datos de la tabla.

Cálculo del promedio de promedios ( )

Como su nombre lo indica, el promedio de promedios se calcula sacando el promedio de los resultados obtenidos de X. El valor de será posteriormente utilizado en las fórmulas de cálculo de los límites superior e inferior de la gráfica, así que es importante conservar en la mente dicho valor.

Muestras de aguaDía 1 2 3 4 5 Xi1 13 8 2 5 8 7.22 0 6 1 9 15 6.23 4 2 4 3 4 3.44 3 15 8 3 5 6.85 5 10 5 4 0 4.86 9 5 13 7 7 8.2


Por esto se recomienda que una vez calculado, se enmarque o copie este valor en la misma hoja de Excel pero en un espacio especial para facilitar la resolución de dichas fórmulas.

Ya calculados todos los promedios X en la tabla, se calcula el valor de con la fórmula de Excel PROMEDIO, seleccionando la columna obtenida de valores X. Hasta ahora, se tiene la siguiente tabla:

El valor de es de 5.59, que es el valor del Límite Central para la Gráfica X. * Añádase este valor al listado de valores importantes.

Cálculo de Límites Superior e Inferior de X

Los límites se calculan con las siguientes fórmulas abreviadas:

Límite de control superior = RAX 2+

Muestras de aguaDía 1 2 3 4 5 Xi1 13 8 2 5 8 7.22 0 6 1 9 15 6.23 4 2 4 3 4 3.44 3 15 8 3 5 6.85 5 10 5 4 0 4.86 9 5 13 7 7 8.27 0 4 4 3 9 48 9 3 0 6 0 3.69 14 0 0 5 3 4.4

10 3 9 5 0 2 3.811 5 8 0 7 8 5.612 3 2 2 7 4 3.613 5 11 14 8 3 8.214 13 5 5 12 7 8.415 7 0 1 0 6 2.816 12 7 10 4 13 9.217 9 4 4 8 9 6.818 6 1 1 3 13 4.819 7 0 5 7 2 4.220 10 0 10 12 7 7.821 3 7 5 10 12 7.422 3 0 10 5 4 4.423 3 3 0 6 9 4.224 0 2 3 6 7 3.625 2 3 5 4 10 4.826 3 1 4 2 4 2.827 2 4 5 13 4 5.628 0 16 7 2 11 7.229 3 5 9 8 6 6.230 9 7 10 13 0 7.8


Límite de control inferior = RAX 2−Donde X = Gran promedio = promedio de los promedios muestrales

R = Promedio de los rangos muestralesA2 = Constante

El valor de la constante puede consultarse en la tabla previamente dada, en el punto “Cálculo de Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales”, que es igual a 0.577 para nuestro ejemplo de 5 observaciones. Como los valores de Xy R han sido calculados a lo largo de este ejemplo, sólo se sustituyen en las fórmulas de la siguiente forma:

Límite de Control superior = RAX 2+Límite de Control superior = (5.59) + (0.577)(9.17) = 10.88*

Límite de control inferior = RAX 2−Límite de control inferior = (5.59) - (0.577 (9.17) = 0.30*

* De la forma anterior, estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue una columna del mismo número de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido, es decir, 1 columna de 30 filas con el valor 10.88(en cada una de las filas) y otra columna de 30 filas con el valor 0.30. Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creación del gráfico. Si lo desea, haga lo mismo con el valor del límite central de X.

Crear el gráfico X

Como ya se ha dicho, la diferencia de los gráficos es en la selección de los valores de Y. Realice la gráfica como se indica en ‘Crear el gráfico R’, pero cambie los valores de Y por los valores de X promedio de las muestras. De igual forma agregue series que permitan apreciar los límites superior e inferior de la gráfica.

El resultado será el histograma siguiente.


Gráfico X

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 30

Interpretación de las Gráficas

Se colocan las gráficas para X y R una encima de la otra de manera que el promedio y el rango para cualquier subgrupo se encuentren en la misma línea vertical. Observe si alguna de ellas o ambas indican una falta de control para ese subgrupo.Las X fuera de los límites de control son seña de un cambio general que afecta a todas las piezas posteriores al primer subgrupo fuera de los límites. El registro que se guarda durante la recolección de datos, la operación del proceso y la experiencia del trabajador deben estudiarse para descubrir la variable que pudo haber causado que saliera de los límites de control. Las causas comunes son un cambio en el material, el personal, la preparación de la máquina, el desgaste de las herramientas, la temperatura o la vibración.

Las R fuera de los límites de control indican que la uniformidad de proceso ha cambiado. Las causas comunes son un cambio en el personal, un aumento en la variabilidad del material o desgaste excesivo en la maquinaria del proceso.

Una sola R fuera de control puede ser causada por un cambio en el proceso ocurrido mientras se tomaba la muestra del subgrupo.

Se buscan patrones poco usuales o no aleatorios. Nelson (1984, 1985) proporciona ocho pruebas para detectar esos patrones en las graficas de control usando límites de control a 3σ :Prueba 1. Un punto fuera de la zona A.Prueba 2. Nueve puntos seguidos en la zona C.Prueba 3. Seis puntos seguidos con aumento o disminución estables.Prueba 4.Catorce puntos seguidos alternando arriba y abajo.Prueba 5. Dos de cada tres puntos seguidos en la zona A o más allá.Prueba 6. Cuatro de cada cinco puntos seguidos en la zona B o más allá.Prueba 7. Quince puntos seguidos en la zona C (arriba y debajo de la recta central).Prueba 8. Ocho puntos seguidos a ambos lados de la recta central.


4.4 ANALISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO

La capacidad del proceso es la forma en que se compara la variabilidad inherente de un proceso con las especificaciones o requerimientos del producto.

Las técnicas estadísticas pueden ser útiles en el ciclo de un producto, incluyendo las actividades de desarrollo previas a la manufacturas, para cuantificar la variabilidad del proceso, para analizar esta variabilidad respecto de los requerimientos o especificaciones del producto y para ayudar al personal de desarrollo y manufactura a eliminar o reducir en gran medida esta variabilidad. A esta actividad general se le llama análisis de capacidad del proceso.

Evidentemente, la variabilidad del proceso es una medida de la uniformidad de la salida. Hay 2 formas de conceptualizar esta variabilidad:

1. La variabilidad natural o inherente en un tiempo especificado; es decir, la variabilidad “instantánea”.

2. La variabilidad con el tiempo

El análisis de capacidad del proceso se define como el estudio de ingeniería para estimar la capacidad del proceso. La estimación de la capacidad del proceso puede estar en la condición de una distribución de probabilidad que tenga una forma, centro (media) y dispersión (desviación estándar) especificados. De manera alternativa, la capacidad del proceso puede expresarse como un porcentaje fuera de las especificaciones. Sin embargo, las especificaciones son necesarias para realizar el análisis de capacidad del proceso.

El análisis de capacidad del proceso es una parte vital de un programa integral de mejoramiento de calidad. Entre los usos principales de los datos de un análisis de capacidad del proceso se encuentran los siguientes:

1. Predecir el grado de variabilidad que exhibirán los procesos. Esta información de capacidad proporcionará información importante para establecer límites de especificación realistas.

2. Seleccionar, entre procesos que compiten, el proceso más adecuado para que las tolerancias se cumplan.

3. Planear la interrelación entre procesos secuenciales. La cuantificación de las capacidades respectivas del proceso con frecuencia señala el camino para encontrar una solución.

4. Proporcionar una base cuantitativa para establecer un programa de verificación de control periódico del proceso y reajustes.

5. Asignar máquinas a los tipos de trabajos para los cuales son más adecuadas.6. Probar las teorías de las causas de defectos durante los programas de mejoramiento

de calidad.7. Servir como base para la especificación de los requerimientos de calidad para las

máquinas compradas.

Por tanto, el análisis de capacidad de proceso es una técnica que tiene aplicación en muchos segmentos del ciclo del producto, incluyendo el diseño de producto y procesos, la fuente de proveedores, la planeación de la producción o la manufactura, y la propia manufactura.


La fórmula para la capacidad del proceso que más se usa es:

Capacidad del proceso = +3 (un total de 6σ )

Donde σ = la desviación estándar del proceso cuando se encuentra en estado de control estadístico, es decir si la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos.

Si el proceso está centrado en la especificación nominal y sigue una distribución de probabilidad normal, 99.73% de la producción caerá a menos de 3 σ de la especificación nominal. Sólo el 0.27% de la salida del proceso quedará fuera de los límites de tolerancia natural. Es necesario recordar dos puntos:

1. El valor 0.27% fuera de las tolerancias naturales suena pequeño, pero corresponde a 2700 partes de millón disconformes.

2. Si la distribución de salida del proceso no es normal, entonces el porcentaje de la salida quedará fuera de +3σ puede diferir considerablemente de 0.27%.

Una razón importante para cuantificar la capacidad del proceso es poder calcular la capacidad del proceso de mantener las tolerancias del producto. Para procesos que se encuentran un estado de control estadístico, una comparación de la variación entre 6σ y los límites de tolerancia permite un cálculo rápido de porcentaje de unidades defectuosas, mediante la teoría estadística.

Quienes planean intentan seleccionar procesos que tengan 6σ de la habilidad del proceso dentro de la amplitud de tolerancia. Una medida de esta relación es la tasa de capacidad:

Cp = Tasa de capacidad = 6s

LEI - LES

proceso del Capacidad

ciónespecifica de Rango=

Donde LES= Límite de especificación superior LEI = Límite de especificación inferior

Un proceso que cumple bien con los límites de especificación (rango de especificación = +3σ ) tiene un Cp de 1.0. Lo crítico de muchas aplicaciones y la realidad de que el promedio del proceso no permanecerá en el punto medio del rango de especificación sugiere que Cp debe ser al menos 1.33.


Tabla de los Índices del estudio de la capacidad del proceso:

ICP Decisión

1.33<ICP<2.22Más que adecuado, incluso puede exigirse más en términos de su capacidad. Posee

capacidad de diseño.

1<ICP<1.33Adecuado para lo que fue diseñado. Requiere

control estrecho si se acerca al valor de 1.

0.67<ICP<1

No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.

Requiere monitoreo constante.

ICP<0.67No es adecuado para cumplir con el diseño

inicial.

El índice de capacidad cpk

La capacidad del proceso, según se mide con Cp, se refiere a la variación en un proceso alrededor del valor promedio.

Así, el índice Cp mide la capacidad potencial, suponiendo que el promedio del proceso es igual al punto medio de los límites de especificación y que el proceso está operando bajo control estadístico; como con frecuencia el promedio no se encuentra en el punto medio, es útil tener un índice de habilidad que refleje ambas variaciones y la localización del promedio del proceso. Tal índice es Cpk.

El índice Cpk refleja la proximidad de la media actual del proceso al límite de especificación superior (LES) o bien, al límite de especificación inferior (LEI). Cpk se estima mediante:

=

3sX - LES

3sLEI - X

minC , ˆpk

Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificación, entonces Cpk = Cp.Entre más alto sea el valor de Cpk, más baja será la cantidad de producto que esté fuera de los límites de especificación.

Los siguientes son dos tipos de estudios de capacidad del proceso:1. Estudio del potencial del proceso. En este estudio se obtiene una estimación de lo que

puede hacer un proceso bajo ciertas condiciones, es decir, la variabilidad en condiciones definidas a corto plazo para un proceso en estado de control estadístico. El índice Cp estima la capacidad del proceso.

2. Estudio del desempeño del proceso. En este estudio, una estimación de la habilidad del proceso proporciona un panorama de lo que el proceso está haciendo durante un periodo largo. También se supone un estado de control estadístico. El índice Cpk

estima la capacidad.


4.5 GRÁFICAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES

Un artículo disconforme es una unidad del producto que no satisface una o más de las especificaciones para ese producto. Cada punto específico en el que no se satisface una especificación resulta en un defecto o disconformidad. Sin embargo dependiendo de su naturaleza y gravedad, es muy posible que una unidad contenga varias disconformidades y no se clasifique como disconforme. Hay muchas situaciones prácticas en las que es preferible trabajar directamente con el número de defectos o disconformidades en ves de usar la fracción disconforme.

Es posible desarrollar cartas de control para el número total de disconformidades en una unidad o bien para el número promedio de disconformidades por unidad.

Para la revisión de los productos hay que describir dos situaciones:

1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no).

2. En sola pieza puede tener uno o mas defectos y el numero de estos es determinado.

Hay dos diagramas de control de atributos para las no conformidades:La primera (la gráfica p) se refiere a la fracción defectiva por no cumplir con las especificaciones.La segunda (la gráfica np) se refiere al control del número de artículos no conformes.

Gráficos np

Fundamentos teóricos

BASADOS: en el número de elementos en una muestra o subgrupo que son juzgados como disconformes en base a una definición operacional.

SE LLAMAN ASÍ PORQUE: El número de elementos disconformes en una muestra se suponen como la proporción de elementos disconformes, p, conforme al tamaño de la muestra, n, así que son llamados gráficos np.

Calculando los límites de control para gráficos np

Se deberá estimar la probabilidad, p, de que el proceso produzca un elemento disconforme. Para obtener una buena estimación, se necesita evaluar al menos de 20 a 25 muestras o subgrupos y contar el número de elementos disconformes en cada uno. La mejor estimación para p será p-, la media proporcional de elementos disconformes.

Las fórmulas para calcular los límites de control, la media proporcional y la línea central del gráfico son las siguientes:


* p- = Numero total de elementos disconformes en todos los grupos Número total de elementos en todos los grupos

* Línea central = np- , donde n = el tamaño del subgrupo común

_________

* UCL = np- + 3√ np- (1 – p-)

___________

* LCL = np- - 3√ np- (1 – p-)

A continuación, se verá un ejemplo para comprender con más detalle el funcionamiento de las fórmulas y el desarrollo de los histogramas np.

Creando un gráfico np

Para realizar un gráfico de este tipo, se siguen principalmente 4 pasos básicos:1) Captura de datos en Excel2) Cálculo de la proporción disconforme3) Sustitución en las fórmulas4) Creación del gráfico en Excel

Los datos se capturan primeramente en Excel, creando las columnas necesarias. Es importante aclarar que los gráficos np se utilizan cuando el tamaño de las muestras es el mismo cada vez que se toman; de ahí que el tamaño de la muestra, n, es constante. Para aplicar estos conocimientos se utilizará el siguiente ejemplo.

Una manufacturera de esponjas de gasa toma una muestra de 600 esponjas diariamente, las inspecciona y registra el número de esponjas defectuosas. En total hay 9 muestras de esponjas, representados en la siguiente tabla:

=21/600=22/600=20/600.....y así sucesivamente.

NUMERO DE ESPONJAS DE GASA DISCONFORMES EN 32 MUESTRAS DE TAMAÑO n =32

DíaElementos

disconformesn

Proporción disconforme

p- = (x/n)1 21 600 0.035 2 22 600 0.0373 20 600 0.0364 21 600 0.0355 23 600 0.0386 39 600 0.0657 18 600 0.0308 24 600 0.0409 20 600 0.033


La proporción disconforme es el resultado de la división de los elementos disconformes entre el tamaño de la muestra, en este caso, 600.

A continuación, se sustituyen los valores en las fórmulas para calcular los valores de los límites. Así, se tiene que

p- = Numero total de elementos disconformes en todos los grupos Número total de elementos en todos los grupos

p- = 208 (suma de la columna ‘Elementos disconformes’) 9(600) ( suma de los elementos muestreados)

p- = 0.0385

Línea central = np- , donde n = el tamaño del subgrupo común Línea central = (600)(0.0385) = 23.1*

_________

UCL = np- + 3√ np- (1 – p-)

UCL = 23.1 + 3√ 23.1 (1 – 0.0385) = 37.8* = ___________

LCL = np- - 3√ np- (1 – p-) LCL = 23.1 - 3√ 23.1 (1 – 0.0385) = 8.96 *

* Estos valores se usarán en la creación del gráfico np. Para realizar el histograma, siga los pasos del subtema “4.3 GRÁFICAS X Y R”, en la sección ‘Crear el gráfico R’. Los pasos son básicamente los mismos, sólo basta sustituir el valor de los elementos disconformes en lugar de los valores de R como eje x, y los valores de los límites nuevos.

La gráfica resultante es

Gráfico np para esponjas de gasas n=600

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9Número muestral

Cu

en

ta m

ue

str

al


Gráficos p

Fundamentos teóricos

BASADOS: En la distribución binomial y requiere que se cumplan las tres primeras suposiciones del gráfico np. Al contrario del np, los gráficos p pueden ser usados para tamaños de muestra iguales o diferentes. SE LLAMAN ASÍ PORQUE: Emplean la proporción de elementos disconformes en las muestras en lugar de el número de disconformidades.

Calculando los límites de control para gráficos p

Las finalidades principales de conocer los límites de control de la gráfica p, son:- Poner a la atención de la dirección cualesquiera cambios en el grado promedio de

calidad.- Descubrir los puntos altos fuera de control que requieren actuar - Descubrir los puntos bajos fuera de control que indiquen normas menos estrictas para

inspección o causas erráticas de mejoramiento de calidad

Las fórmulas que nos permiten encontrar los valores de los límites cuando el tamaño de la muestra es igual son:

_________ _________

*LCL = p - 3 √ _p (1- p ) *UCL = p + 3 √ _p (1- p )_ n n _________

*Sp = √ _p (1- p ) (conocido como Error estándar de la proporción) n

Cuando el tamaño de la muestra es diferente, la n se encuentra con la fórmula

n- = Número total de elementos en consideración Número total de subgrupos

A continuación se aplicarán estas fórmulas en el desarrollo del gráfico p.


Creando un gráfico p

En base al ejemplo anterior de las muestras de gasas, se creará un nuevo gráfico siguiendo los pasos para un gráfico p.Para este tipo de gráfico de disconformidad, la diferencia radica que en lugar de tomar el número de elementos disconformes como Y, se utiliza la proporción disconforme de la tabla en cada observación.Los límites se obtienen con las fórmulas correspondientes, obteniendoLCL = -0.015 Sp = 0.0078UCL = 0.062De este modo, la gráfica obtenida es

Hay algunos casos en los que el tamaño de las muestras es distinto cada vez. En esos casos se utiliza la fórmula de n- (mencionada anteriormente) para sacar un promedio del tamaño muestral, y posteriormente se hace la sustitución en las fórmulas.

Gráfico p para esponjas de gasas n=600

0

0.02

0.04

0.06

0.08

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Muestras

Pro

po

rció

n

4.1 grafica de control y conceptos · pdf filecuando un proceso esta en control, la...

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