4. teorema carga unitaria - estructuras isostáticas

8/17/2019 4. Teorema Carga Unitaria - Estructuras Isostáticas

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Estructuras II (CON-131)

4. Carga Unitaria – Estructuras Isostáticas


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En este capítulo solo se estudian estructuras isostáticas

El análisis de estructuras hiperestáticas se realiza en capítulo posterior

Se supone que estructuras en estudio se comportan de manera lineal yelástica

Adicionalmente, se asume que estructuras experimentan desplazamientos

pequeños

4.1 Objetivos


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Aplicación práctica del Teorema de Carga Unitaria

- Cálculo de desplazamiento (giro) en un punto específico: se definesistema virtual con carga unitaria (momento unitario) en dirección deldesplazamiento de interés.

Ejemplo: calcular desplazamiento en A y giro en B

4.1 Objetivos


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4.2. Energía de Def. Virtual Complementaria

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• Se denomina energía de deformación virtual complementaria (δU*) a l aenergía asociada a los esfuerzos virtuales sobre las deformaciones reales.


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• Evaluación de la energía de deformación virtual complementaria debido acarga axial

• Energía de Deformación:


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• Evaluación de la energía de deformación virtual complementaria debido amomento flector



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• Evaluación de la energía de deformación virtual complementaria debido acorte



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• Evaluación de la energía de deformación virtual complementaria debido amomento torsor



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• Energía de deformación virtual complementaria total:



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• Ejemplo:

- Viga en voladizo de largo

- Propiedades sección transversal:,

- Determinar deflexión en el extremo y giro en el extremo


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4.3. Superposición y Efectos de Segundo Orden

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• Para el estudio de estructuras lineales elásticas se aplica el principio desuperposición

- La fuerza o desplazamiento en un punto específico generado por unconjunto de cargas que actúan simultáneamente puede ser evaluado

como la suma de los efectos asociados a cada carga aplicada demanera individual

- Alternativamente, la respuesta de una estructura es la misma si todaslas cargas se aplican simultáneamente o si los efectos de las cargasindividuales se combinan


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• Ejemplo:

- La viga de la figura tiene propiedades módulo de Young y segundo momento

de área .

- Calcular momento en A y desplazamiento vertical en B.



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• Limitaciones- El principio de superposición es aplicable solo a estructuras lineales

elásticas que no experimentan cambios sustanciales en su geometríadeformada (respecto de la original).

• Ejemplo: columna que soporta carga horizontal y vertical


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• En el último ejemplo:

- Si es despreciable (≈0), =′ y principio de superposición esválido. En este caso, geometría inicial de la estructura (sin cargas)permite determinar reacciones.

- Si es considerable (>0), ≠′ y principio de superposición no esválido. En este caso, es necesario conocer geometría deformada paradeterminar reacciones

- La consideración de la posición deformada de la estructura y el efectoque tienen las cargas en tal posición se denomina análisis de segundoorden


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• Las expresiones determinadas previamente para calcular energía dedeformación virtual complementaria no incluyen efectos de segundoorden.

• Ejemplo

- Viga de propiedades e , estado de flexión pura- Calcular giro en B y desplazamiento horizontal en B utilizando cargaunitaria


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4.4. Esquemas de Deflexión

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• En general, los desplazamientos que experimenta una estructura sonmuy pequeños

- Ejemplo: una viga simplemente apoyada no experimenta deflexionesverticales máximas superiores al 1% de su longitud.

- Al momento de dibujar posición deformada, es necesario escalarconvenientemente

• Posición deformada debe ser consistente respecto de la condición deapoyo.


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• Curvatura debe ser consistente con el diagrama de momento


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• Un elemento que no experimenta carga axial mantiene su longitudoriginal

• La proyección horizontal de una viga que no experimenta carga axiales igual a la longitud original


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• Si en un modelo se incluyen los efectos de la carga axial, éstos sonmucho menores que el efecto de la flexión


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• Se asume que el ángulo relativo entre elementos que concurren a unnudo rígido no experimenta variación


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4.5. Asentamientos

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• Estructuras fundadas en suelos blandos pueden experimentarasentamientos debido a las cargas de uso

• Un asentamiento se entiende como un desplazamiento o rotación deun apoyo respecto de la configuración original

• Estructura isostática

- Estructura es capaz de ajustarse a nueva posición de apoyos sin que segeneren esfuerzos internos


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4.5. Asentamientos

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- Asentamiento ocasiona movimientos tipo cuerpo rígido de loselementos de la estructura

- Para calcular desplazamientos ocasionados por asentamiento esconveniente utilizar el Principio de FuerzasVirtuales (PFV)

• Aplicación del PFV

- Introducir una fuerza virtual en dirección del desplazamiento que sedesea determinar. Considerar geometría inicial (sin asentamiento) dela estructura


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4.5. Asentamientos

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• Aplicación del PFV

- Calcular reacciones virtuales de la estructura en dirección del (o los)asentamiento(s).

- Aplicar PFV considerando la estructura real con el efecto deasentamiento


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4.5. Asentamientos

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• Ejemplo

- Apoyo B sufre asentamiento vertical

- Calcular giro del elemento ABC, desplazamiento vertical de C y

desplazamiento horizontal de D


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4.6. Apoyos Elásticos

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• Las estructuras trasladan al terreno de fundación el efecto de lasdiversas solicitaciones

• Suelo es un medio deformable

- Resistencia a la compresión puede ser modelada mediante unarelación lineal-elástica (para un cierto rango de esfuerzos ydeformación)

- Resistencia a la tracción puede ser modelada como nula

• Modelo simplificado:

- Resorte lineal – elástico, soporta tracción y compresión- Se asume desplazamientos pequeños


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• Resorte lineal:

- Se incorpora al método de carga unitaria sumando la energía dedeformación virtual complementaria correspondiente


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• Ejemplo:

- Viga posee propiedades módulo de Elasticidad E y segundo momentode área . Rigidez de apoyo B se modela mediante resorte deconstante

- Calcular desplazamiento vertical de C


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• Resorte rotacional:

- Se incorpora en el método de carga unitaria sumando la energía dedeformación virtual complementaria correspondiente


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• Ejemplo:

- Viga posee propiedades módulo de Elasticidad E y segundo momentode área . Rigidez rotacional de apoyo A se modela mediante resortede constante

- Calcular desplazamiento vertical de B


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4.7. Cambios de Temperatura

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• Cambios de temperatura en estructuras- Producen deformaciones extensionales de los elementos (no genera

distorsión angular)- Deformación en elemento infinitesimal modelada a través de

coeficiente de expansión térmica


- No existen restricciones para que estructuras se deformen, no segeneran esfuerzos internos debido al cambio de temperatura


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• ElementoTipoViga


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• Evaluación de la energía de deformación virtualcomplementaria asociada a carga axial (virtual)


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• Evaluación de la energía de deformación virtualcomplementaria asociada a carga axial (virtual)


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• Evaluación de la energía de deformación virtualcomplementaria asociada a momento flector (virtual)


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• Inclusión del efecto de temperatura dentro del método decarga unitaria


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• Ejemplo

- Calcular desplazamiento vertical del nudo A- Barras 1, 4, 7: Δ=30°C

- Propiedades de las barras:=11.7×10−6 [1/°C]


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• Ejemplo

- Calcular desplazamiento del punto medio de la viga- Propiedades de la viga:,,- Temperatura aplicada a la viga:ΔTi=−5°C, ΔTs=15°C


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4.8. Defectos de Fabricación

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• Los elementos estructurales pueden presentar deformaciones

iniciales, por ejemplo:- Barra de un enrejado puede presentar un defecto de fabricación y ser

más largo o más corto

- Viga puede presentar radio de curvatura con el objeto de introducircontraflecha


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• El defecto de fabricación se interpreta como una deformación (real) y

se incorpora al cálculo de la energía de deformación virtualcomplementaria

Ejemplo:- Barras poseen módulo de Elasticidad y área de sección transversal - Barra AB tiene defecto de fabricación Δ (más larga que valor nominal)

- Determinar desplazamiento vertical de C


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• El radio de curvatura inicial se interpreta como una deformación

(real) y se incorpora al cálculo de la energía de deformación virtualcomplementaria

Ejemplo:- La viga de la figura posee módulo de elasticidad y segundo momento de

área

- La viga posee radio de curvatura inicial (‘negativo’)

- Determine desplazamiento vertical del punto medio


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4.9. Conexión con Teorema de Castigliano 2

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• El teorema de Castigliano (parte 2) indica que para una estructura lineal

elástica, el desplazamiento en un punto es igual a la derivada parcial de la

energía de deformación virtual complementaria respecto de la fuerza asociada

• Note que este teorema también puede ser aplicado para calculardesplazamiento en dirección de una carga ficticia


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Ejemplo-Viga simple apoyada, propiedad EI=constante

- Calcular desplazamiento (bajo carga F); ignorar efecto del corte


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Ejemplo

- Considere carga ficticia P

- Calcular desplazamiento ; ignorar efecto del corte

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