4 SI STEMES D’EQUACIONS

Observa com ha resolt en Pau el problema amb la tercera balança.

Si partim de les condicions expressades en lail·lustració i tenint en compte el resultat anterior,com equilibraries aquesta balança?

REFLEX IONA

Tinc les dues primeres balances equilibrades. Què he de fer a latercera perquè quedi equilibrada?

Ajunto el contingut de les dues primeres… Divideixo per dos tot el que

hi ha en cada platet…Trec el cub i el con dels dos platets…

COM REPRESENTAR UNA RECTA A PART IR DE L’EQUACIÓ

Per representar una recta sobre uns eixos de co-ordenades, només necessitem conèixer dos delspunts. Representem, per exemple, la recta de l’e-quació y = 5x – 2.

Representa aquestes rectes: a) y = 5x + 1 b) y = 3 – 3x c) y = x – 313

COM OPERAR I REDUIR IGUALTATS

1. Si dividim els dos membres d’una igualtat per un mateix nombre, la igualtat no varia.

Si k · A = k · B, A = B Per exemple: 7a + 14b = 28 → a + 2b = 4

2. Si sumem o restem dues igualtats, el resultat és una altra igualtat.

aleshores Per exemple:

Utilitza aquestes propietats per resoldre els problemes següents:

a) AL MERCAT ARMENI. Quants denaris val cada moneda?

b) CANVIS. Un ramader i un agricultor intercanvien els seus productes. Quantsquilos de blat costa un pollastre? I un xai?

c) A L’HAMBURGUESERIA. Quant costa una hamburguesa? I un refresc?

4a – 4b = 10–2a + 12b = 6

a + 4b = 83a – 8b = 2

A + C = B + DA – C = B – D

A = BC = D

ET CONVÉ RECORDAR

0 –2

1 3

→ (0, –2)

→ (1, 3)

x y (1, 3)

(0, –2)

= 12 denaris

6 € 8 €

= 9 denaris

= ?

= ?

60 kg 60 kg 60 kg

60 kg 60 kg

60 kg 60 kg

60 kg 60 kg

EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES1

En aquesta unitat tractarem les equacions lineals amb dues incògnites.

Per exemple, 2x – 5y = 7 és una equació lineal amb dues incògnites.

El parell de valors x = 6, y = 1 és una solució d’aquesta equació perquè 2 · 6 – 5 · 1 = 7.

També són solucions d’aquesta equació x = 1, y = –1; x = 3,5, y = 0.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA

Per obtenir solucions d’una equació amb dues incògnites, n’aïllem una idonem valors a l’altra:

2x – 5y = 7 → y = →

Si interpretem les solucions d’una equació lineal amb dues incògnites coma punts del pla, l’equació es representa mitjançant una recta i les solucionssón els punts d’aquesta recta. Aquest és el motiu pel qual una solució x = a, y = b es designa, també, així: (a, b).

2x – 75

Solució d’una equació amb dues incògnites és qualsevol parell de valorsque fan certa la igualtat.

Una equació amb dues incògnites té solucions infinites.

1 3,5 6 11 0–1 0 1 3 –1,4

xy

De primer grau: lineals 2x – 5y = 7 x = 6, y = 1

De segon grau: quadràtiques x2 – y – 3 = 0 x = 2, y = 1

De grau superior x2y – 3x + y2 = 0 x = 0, y = 0

√—x – 3y = 7x – 3 x = 1, y = –5

ALGUNS TIPUS D’EQUACIONS EXEMPLE UNA SOLUCIÓ

POLINÒMI-QUES

RADICALS

EXERCICI RESOLT

Representem les rectes d’equacions a) x + y = 5; b) 2x – y = 7.

x + y = 5 → y = 5 – x

2x – y = 7 → y = 2x – 7

Observa que les dues equacions tenen una solució comuna: x = 4, y = 1.És el punt on es tallen les dues rectes.

–1 0 1 2 3 4 56 5 4 3 2 1 0

xy

–1 0 1 2 3 4 5–9 –7 –5 –3 –1 1 3

xy

4.1 Representa les rectes que corresponen a aquestes equacions: a) 2x – y = 3 b) –x + y = 1Quina és la solució comuna a les dues equacions?

ACTIVITATS

Les incògnites, les solem deno-minar amb les lletres x, y. Noobstant això, podem utilitzarunes altres lletres. Per exemple,si una correspon al temps i l’al-tra a la velocitat, podem desig-nar-les mitjançant t i v.

INCÒGNITES

Hi ha més tipus d’equacionsamb dues incògnites.

Aquí només mostrem les mésusuals.

T INGUES EN COMPTE

2x – 5y = 7

(1, –1)(0; –1,4)

(3,5; 0)

(6, 1)

(8,5; 2)

(11, 3)

2x – y = 7

x + y = 5

(4, 1) 41

41

76

4

S ISTEMES D’EQUACIONS2

Si les dues equacions de l’exercici resolt de la pàgina anterior les prenemcom a sistema d’equacions, les posarem de la manera següent:

A vegades, en lloc de dir sistema d’equacions direm, simplement, sistema.

Si les dues equacions del sistema són lineals, el denominarem sistema li-neal.

Ocasionalment, ens trobarem amb sistemes formats per més de duesequacions.

La solució del sistema és x = 4, y = 1,perquè és solució d’ambdues equacions.

x + y = 52x – y = 7

4.2 Tenim 76 cèntims d’euro en vint monedes de dos i de cinc cèntims. Quantes monedes de cadaclasse tenim?

ACTIVITATS

Dues equacions formen un sistema quan el que pretenem és trobar-nela solució comuna.

Quan dues equacions formen un sistema, les posem d’aquesta forma:

Denominem solució d’un sistema d’equacions la solució comuna aambdues.

ax + by = ca'x + b'y = c'

La solució d’un sistema d’equa-cions lineals és el punt on es tallenles dues rectes.

2x – y = 7

x + y = 5

(4, 1) SOLUCIÓ

EXERCICI RESOLT

Tenim 53 cèntims d’euro repartits en 16 monedes de dos cèntims i decinc cèntims. Quantes monedes de cada classe tenim?

Elecció d’incògnites:x : nombre de monedes de dos cèntims.

y : nombre de monedes de cinc cèntims.

Relació entre les incògnites:

En total tinc 16 monedes → x + y = 16

El valor total és 53 cèntims d’euro.

→ 2x + 5y = 53

Les dues equacions formen un sistema d’equacions:

En les pàgines següents aprendrem a resoldre algebraicament sistemes li-neals. Ara podem fer-ho per tempteig. La solució x = 9, y = 7 significaque tenim 9 monedes de dos cèntims i 7 monedes de cinc cèntims.Comprova-ho.

x + y = 162x + 5y = 53

Valor de les monedes de dos cèntims: 2xValor de les monedes de cinc cèntims: 5y

77

S ISTEMES EQUIVALENTS3

Els sistemes d’equacions: a) b)

tenen la mateixa solució: x = 2, y = 5. Comprova-ho.

Per això diem que són equivalents.

Vegem-ne la interpretació gràfica:

Per resoldre un sistema, anem passant a uns altres d’equivalents al primer,i cada un més senzill que l’anterior. Arribem així a un de la forma:

Aquesta és la solució del sistema.x = ay = b

3x – y = 12x + y = 9

x – y = –33x + 2y = 16

78

Dos sistemes d’equacions són equivalents quan tenen la mateixa solu-ció.

3x + 2y = 16

x – y = –3

(2, 5)

3x – y = 1

2x + y = 9

(2, 5)

Les rectes que representen dossistemes d’equacions equiva-lents són diferents, però en elsdos casos es tallen en el mateixpunt (2, 5), que és la soluciódels dos sistemes.

T INGUES EN COMPTE

EXERCICI RESOLT

Interpretem gràficament els passos que fem per resoldre:

→ →

En apartats següents, aprendrem a resoldre sistemes per mètodes ràpids ieficaços.

x = 3y = 2

x + y = 52x = 6

x + y = 5x – y = 1

x + y = 5x – y = 1

4.3 Representa aquests tres sistemes equivalentsque s’obtenen per resoldre el primer:

→ →

4.4 Representa els parells de rectes que corresponena cada sistema i digues si són equivalents:

a) b) 3x – 5y = 02x + 4y = 0

3x – 5y = 172x + 4y = 4

x = 6y = 1

x + y = 72x = 12

x + y = 7x – y = 5

ACTIVITATS

x – y = 1

x + y = 5

(3, 2)

2x = 6x + y = 5

(3, 2)

x = 3

y = 2(3, 2)

79

4

NOMBRE DE SOLUCIONS D’UN S ISTEMA L INEAL4

En general, un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites téuna solució única. És el punt on es tallen les dues rectes, com ja hem vist.No obstant això, no sempre ocorre així. Vegem, a continuació, la resta decasos que poden donar-se:

SISTEMES SENSE SOLUCIÓ

Hi ha sistemes les equacions dels quals diuen coses contradictòries. Per exemple:

a) b)

En els dos casos és impossible aconseguir que les dues igualtats siguin cer-tes per als mateixos valors de x i de y :

En a), si 2x + 3y és igual a 15, no pot ser, alhora, igual a 9.

En b), com 4x + 6y és el doble de 2x + 3y, hauria de ser igual a 30 i no a 18.

Els sistemes que no tenen solució es denominen incompatibles.

SISTEMES AMB SOLUCIONS INF INITES

Hi ha sistemes les dues equacions dels quals diuen la mateixa cosa. És adir, són dues vegades la mateixa equació. Per exemple:

a) b)

Les solucions del sistema són les de qualsevol de les dues equacions. Comja sabem, una equació amb dues incògnites té solucions infinites.

Aquests sistemes es denominen indeterminats.

2x + 3y = 154x + 6y = 30

2x + 3y = 152x + 3y = 15

2x + 3y = 154x + 6y = 18

2x + 3y = 152x + 3y = 9

4.5 Fixa’t bé en les equacions que els formen i di-gues quin dels sistemes següents té una solució,quin és incompatible i quin indeterminat. Com-prova-ho representant-ne les rectes:

a) b)

c) d)

4.6 Completa els sistemes següents perquè el pri-mer tingui la solució x = 5, y = 3, el segon siguiincompatible, el tercer sigui indeterminat i elquart, també:

a) b)

c) d) 5x + 11y = …… + 33y = 9

2x + y = 44x … = …

2x – y = 44x + 2y = …

x – 4y = …2x … = 13

x + y = 5x – y = 1

x + y = 52x + 2y = 10

x + y = 5–2x + 5y = 10

x + y = 5x + y = 0

ACTIVITATS

Els sistemes que no tenen solució es denominen incompatibles. Gràfi-cament, són dues rectes paral·leles: no tenen cap punt en comú.

Els sistemes que tenen solucions infinites es denominen indeterminats.Gràficament, són dues rectes coincidents: tots els punts són comuns.

2x + 3y = 15

2x + 3y = 9

Sistema incompatible. Gràfica-ment, són dues rectes paral·leles.No tenen cap punt en comú.

2x + 3y = 15

4x + 6y = 30

Sistema indeterminat. Gràfica-ment, és dues vegades la mateixarecta. Tots els punts coincideixen.

EN QUÈ CONSISTE IX LA RESOLUCIÓ D’UN S ISTEMA5

Com ja hem dit, la resolució d’un sistema d’equacions consisteix a modifi-car pas a pas el sistema inicial, de manera que cada sistema nou sigui méssenzill que el precedent. En cada pas, el sistema nou ha de ser equivalent al’anterior.

Vegem, com a exemple, els passos que hem de fer per resoldre el problemadels denaris que vam proposar en la segona pàgina d’aquesta unitat.

80

Podem observar en els gràfics que tots els sistemes tenen la mateixa solu-ció.

L’últim dels sistemes diu amb claredat quina és aquesta solució:

x = 2, y = 5

En les pàgines següents estudiarem uns quants mètodes que ens perme-tran obtenir, eficaçment, la solució de qualsevol sistema lineal.

A la segona equació, hi sumemla primera.

Dividim per 3 els dos mem-bres de la segona equació.

A la primera equació, hi res-tem la segona.

A la segona equació, hi restemla primera.

y = 5x = 2

y = 5x + y = 7

x + 2y = 12x + y = 7

x + 2y = 123x + 3y = 21

x + 2y = 122x + y = 9

2x + y = 9

(2, 5)

x + 2y = 12

x + y = 7 o bé 3x + 3y = 21

(2, 5)

x + 2y = 12

x + y = 7(2, 5)

y = 5

x = 2

(2, 5)y = 5

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

= 12 denaris

= 9 denaris

B

B

B

B

4

MÈTODE DE SUBST ITUCIÓ6Aquest mètode de resolució d’un sistema d’equacions consisteix a aïllaruna incògnita en una de les equacions i substituir-la en l’altra.

En la pràctica, en aplicar aquest mètode només escrivim en cada pas l’equa-ció que transformem, en lloc d’escriure el sistema complet cada vegada.

Descrivim els passos que convé fer per aplicar aquest mètode:

81

¬ Aïllem una incògnita en una de les equacions.

­ Substituïm l’expressió d’aquesta incògnita en l’altra equació i obte-nim una equació amb només una incògnita.

® Resolem aquesta equació.

¯ Substituïm el valor obtingut en l’equació on apareixia la incògnitaaïllada.

° Hem obtingut, així, la solució.

EXERCICI RESOLT

Resolem pel mètode de substitució el sistema

¬Aïllem la x en la segona equació: x =

­Substituïm aquesta expressió de la x en la primera: 3( ) + 5y = 7

®Resolem l’equació que en resulta:

Suprimim el denominador: 3(1 – 6y) + 10y = 14

Simplifiquem: 3 – 18y + 10y = 14 → –18y + 10y = 14 – 3 → –8y = 11

Aïllem la incògnita: y = –11/8

¯Substituïm el valor de y en x = → x = =

Hem obtingut la solució: x = , y = –

°Comprovació: 3 · + 5 · (– ) = 7 CORRECTE

2 · + 6 · (– ) = 1 CORRECTE118

378

118

378

118

378

378

1 – 6(–11/8)2

1 – 6y2

1 – 6y2

1 – 6y2

3x + 5y = 72x + 6y = 1

RESOLUCIÓ DEL SISTEMA

PEL MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ

2x + 3y = 19x – 2y = –1

Aïllem la x en la segona equació:

x = 2y – 1

2(2y – 1) + 3y = 19

4y – 2 + 3y = 19 → y = 3

x = 2 · 3 – 1 = 5

Solució: x = 5, y = 3

4.7 Resol, pel mètode de substitució, els sistemes següents:

a) b) c) d) 5x – 3y = 504x + y = 23

3x + 10y = 6x + 2y = 1

5x + y = 83x – y = 11

x + 5y = 73x – 5y = 11

ACTIVITATS

La solucióés vàlida.

B¬

B­B®B̄B°

MÈTODE D’ IGUALACIÓ7Consisteix a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions i igualar lesexpressions que en resulten.

Descrivim a continuació els passos que convé fer per a aplicar aquestmètode.

82

¬ Aïllem la mateixa incògnita en les dues equacions.

­ Igualem les expressions, la qual cosa dóna lloc a una equació ambuna incògnita.

® Resolem aquesta equació.

¯ Substituïm el valor obtingut en qualsevol de les dues expressions onapareixia aïllada l’altra incògnita.

° Hem obtingut, així, la solució.

EXERCICI RESOLT

Resolem pel mètode d’igualació el sistema

¬Aïllem x en cadascuna de les equacions: x = , x =

­ Igualem ambdues expressions: =

®Resolem l’equació que en resulta:

Suprimim els denominadors: 2(7 – 5y) = 3(1 – 6y)

Simplifiquem:

14 – 10y = 3 – 18y → –10y + 18y = 3 – 14 → 8y = –11

Aïllem la incògnita: y = –

¯Substituïm el valor de y en qualsevol de les expressions del primer pas :

x = = = =

Hem obtingut la solució: x = , y = –

°La comprovació es faria com en la pàgina anterior.

118

378

378

11124

7 + (55/8)3

7 – 5 · (–11/8)3

118

1 – 6y2

7 – 5y3

1 – 6y2

7 – 5y3

3x + 5y = 72x + 6y = 1

RESOLUCIÓ DEL SISTEMA

PEL MÈTODE D’IGUALACIÓ

2x + 3y = 19x – 2y = –1

= –1 + 2y

19 – 3y = 2(–1 + 2y) → y = 3

x = –1 + 2 · 3 = 5

Solució: x = 5, y = 3

19 – 3y2

19 – 3yx = ———

2x = –1 + 2y

4.8 Resol, pel mètode d’igualació, els sistemes següents:

a) b) c) d) 5x – 3y = 504x + y = 23

3x + 10y = 6x + 2y = 1

5x + y = 83x – y = 11

x + 5y = 73x – 5y = 11

ACTIVITATS

B¬

B­

B®

B̄B°

4

MÈTODE DE REDUCCIÓ8Observa atentament com resolem el sistema següent:

multipliquem els dos membres per 43x + 2y = 7 → 12x + 8y = 28

multipliquem els dos membres per 34x – 3y = 15 → 12x – 9y = 45

Restem membre a membre les dues equacions → 17y = –17

La incògnita y, la tenim quasi aïllada → y = –1

Substituïm la y en una de les equacions inicials i resolem:

3x + 2 · (–1) = 7 → 3x = 7 + 2 → x = 3

Solució: x = 3, y = –1.

En essència, aquest mètode consisteix a preparar les dues equacions perquèuna de les incògnites tingui el mateix coeficient en les dues. Restant lesequacions que en resulten, membre a membre, obtenim una equació ambnomés una incògnita (hem reduït el nombre d’incògnites). En resum:

83

¬ Preparem les dues equacions (multiplicant-les pels nombres queconvinguin).

­ En restar-les desapareix una de les incògnites.

® Resolem l’equació que en resulta.

¯ Substituïm el valor obtingut en una de les inicials i resolem.

° Obtenim, així, la solució.

EXERCICI RESOLT

Resolem per reducció: a) b)

a) Si sumem les dues equacions desapareix la y :

7x = 49 → x = 7; 3 · 7 + 5y = 11 → y = –2

Solució: x = 7, y = –2.

b) Si multipliquem la segona per 2 igualem els coeficients de la y :

Restem : –7x = –21 → x = 3

Solució: x = 3, y = 0.

3x + 4y = 910x + 4y = 30

3x + 4y = 95x + 2y = 15

3x + 5y = 114x – 5y = 38

4.9 Resol, pel mètode de reducció, els sistemes següents:

a) b) c) d) 5x – 3y = 504x + y = 23

5x + 2y = 2511x – 5y = 102

3x – 5y = –264x + 10y = 32

x + 5y = 73x – 5y = 11

ACTIVITATS

Hem multiplicat:

• La primera equació pel coefi-cient de la x en la segona.

• La segona equació pel coefi-cient de la x en la primera.

D’aquesta manera, obtenimdues equacions amb el mateixcoeficient de la x. En restar-les,desapareix aquesta incògnita.

T INGUES EN COMPTE

Aquest mètode és especialmentcòmode quan:

• Una de les incògnites té coe-ficients iguals.

• Els coeficients d’una de lesincògnites són l’un múltiplede l’altre.

NO HO OBL ID IS

Substituïm:

3 · 3 + 4y = 9 → y = 0

REGLES PRÀCTIQUES PERRESOLDRE S ISTEMES L INEALS9

Si una o les dues equacions del sistema tenen una fisonomia(1) complica-da, comencem per «arreglar-les» fins a arribar a l’expressió ax + by = c.

Recordem alguns avantatges dels mètodes apresos:

• El mètode de substitució és especialment útil quan una de les incògnitesté coeficient 1 o –1 en alguna de les equacions.

• El mètode de reducció és molt còmode d’aplicar quan una incògnita téel mateix coeficient en les dues equacions o bé els coeficients són l’unmúltiple de l’altre.

• Podem evitar les operacions amb fraccions si apliquem dues vegades elmètode de reducció per aïllar, així, cada una de les incògnites. Això ésmolt útil quan els coeficients de les incògnites són nombres grans.

84

(1) Fisonomia: aspecte extern.

EXERCICIS RESOLTS

1. Resolem:

Solució:

2. Resolem per reducció per aïllar cada incògnita.

Per aïllar la x: Per aïllar la y:

Sumem: 73x = 257 Restem: –73y = –48

La solució, ara, és immediata: x = 257/73, y = 48/73

20x – 28y = 5220x + 45y = 100

(1.a) · 4(2.a) · 5

45x – 63y = 11728x + 63y = 140

(1.a) · 9(2.a) · 7

5x – 7y = 134x + 9y = 20

x = 9y = 12

11x – 3y = 63–3x + 2y = –3

RESOLEM PER QUALSEVOL MÈTODEAGRUPEM TERMES I SIMPLIFIQUEM

9x – 45 – 2y + 2x = y + 18–3x + 3y + 12 – 10 = y – 1

9(x – 5) – 2(y – x) = y + 6 · 3–3(x – y – 4) – 10 = y – 1

3(x – 5) y – x y———— – — = — + 32 3 6

–3(x – y – 4) – 10 = y – 1

4.10 Resol simplificant prèviament: 4.11 Resol aquest sistema aplicant dues vegades elmètode de reducció:

45x – 11y = 937x + 6y = 114

2(x – 1) + 3( y + 4) = 2(3x + y) – 9x y— – — = 32 3

ACTIVITATS

SUPRIMIM DENOMINADORS EN LA PRIMERA SUPRIMIM PARÈNTESIS

4

TRADUCCIÓ D’ENUNCIATS A S ISTEMES D’EQUACIONS10

Sol ser més senzill plantejar un problema algebraic complex mitjançant unsistema d’equacions que mitjançant una equació única amb una incògni-ta. Vegem els passos que convé fer:

85

4.12 Dues poblacions es troben a 50 km. En el ma-teix instant surten un vianant de A cap a B auna velocitat de 5 km/h i un ciclista de B cap aA a 20 km/h. Quant tarden a trobar-se? Quinadistància recorre el vianant?

4.13 La distància entre dues ciutats, A i B, és de300 km. Un autobús surt de A cap a B a 105km/h. Simultàniament, surt de B cap a A unamoto a 120 km/h. Calcula la distància que recor-re cadascun fins al moment de la trobada.

ACTIVITATS

¬ Identifiquem els elements que hi intervenen i donem nom a les incògnites.

­ Expressem mitjançant equacions les relacions que hi ha.

® Resolem el sistema d’equacions que en resulta.

¯ Interpretem la solució i l’ajustem a l’enunciat.

EXERCICI RESOLT

Dues poblacions A i B disten 25 km. Un vianant surt de A cap a Ba una velocitat de 4 km/h. Simultàniament, surt de B cap a A un al-tre vianant a 6 km/h. Calculem el temps que tarden a trobar-se i ladistància que ha recorregut cada vianant fins a aquest instant.

¬ Identifiquem els elements i determinem les incògnites.

­ Expressem, mitjançant equacions, les relacions que hi ha.

Com que ESPAI = VELOCITAT · TEMPS:

® Resolem el sistema d’equacions.

→

¯ Solució: Es troben 2 h 30 min després de sortir.

El 1.r vianant recorre 10 km i el 2.n, 25 – 10 = 15 km.

25 – 4t = 6t → 10t = 25 → t = 2,5 = 2 h 30 minx = 4t = 4 · 2,5 = 10 km

x = 4t25 – x = 6t

1.r vianant: x = 4t2.n vianant: 25 – x = 6t

Un bon esquema serveix perrelacionar les dades i les incòg-nites.

T INGUES EN COMPTE

x t 425 – x t 6

DISTÀNCIA TEMPS VELOCITAT

1.r VIANANT

2.n VIANANT

4 km/h

x 25 – x

ENCONTRE

6 km/h

RECORDEM EL QUE ÉS ESSENCIAL

S O L U C I O N S

Solució d’un sistema d’equacions és la soluciócomuna a totes les equacions.

Els sistemes d’equacions lineals poden:

• Tenir solució única. És el punt on es tallen lesrectes que representen les equacions.

Solució única: x = 3, y = –1

• No tenir solució. Les dues equacions diuen cosescontradictòries. Les rectes són paral·leles.

Sense solució.

• Tenir solucions infinites. Les dues equacions diuenla mateixa cosa. Les rectes coincideixen.

Amb solucions infinites.

2x – 5y = 104x – 10y = 20

2x – 5y = 102x – 5y = 4

2x – 3y = 9x + y = 2

T R A D U C C I Ó D ’ E N U N C I AT S

A S I S T E M E S D ’ E Q U A C I O N S

¬ Identifiquem els elements que hi intervenen i do-nem nom a les incògnites.

­ Expressem mitjançant equacions les relacionsque hi ha.

® Resolem el sistema d’equacions que en resulta.

¯ Interpretem la solució i l’ajustem a l’enunciat.

EQUACIONS L INEALS

E Q U A C I O N S L I N E A L S A M B D U E S I N C Ò G N I T E S

Una equació lineal amb dues incògnites és de la forma ax + by = c.

Té solucions infinites.

Es representa mitjançant una recta, els punts de la qual són lessolucions de l’equació.

Per exemple, l’equació 2x – 3y = –9 es representa mitjançant unarecta. Cada punt de la recta és solució de l’equació.

2x – 3y = –9

(–3, 1)

(0, 3)

(3, 5)

(6, 7)

2x – 3y = 9

x + y = 2

(3, –1)

2x – 5y = 4

2x – 5y = 10

4x – 10y = 20

2x – 5y = 10

M È T O D E S D E R E S O L U C I Ó

D E S I S T E M E S L I N E A L S

• Substitució. Consisteix a aïllar una incògnita d’unaequació i substituir-la en l’altra.

• Igualació. Consisteix a aïllar la mateixa incògnitaen les dues equacions i igualar les expressions que en resultin.

• Reducció. Consisteix a preparar les equacionsperquè una de les incògnites tingui el mateixcoeficient en ambdues. Restant les equacionsmembre a membre, obtenim una equació ambl’altra incògnita.

Si, d’entrada, una o les dues equacions tenen unafisonomia complicada (parèntesis, denominadors…),començarem per «arreglar-les».

86

87

4

PRACTICA

4.14 Completa els sistemes d’equacions se-güents perquè els dos tinguin la solució x = 2, y = –1:

a) b)

4.15 Comprova si x = –2, y = és soluciódels sistemes d’equacions següents:

a) b)

4.16 Resol per substitució:

a) b)

c) d)

4.17 Resol per igualació:

a) b)

c) d)

e) f )

4.18 Resol per reducció:

a) b)

c) d)

4.19 Resol pel mètode que consideris més ade-quat:

a) b)

c) d)

e) f )

4.20 Resol els sistemes:

a)

b)

c)

d)

PENSA I RESOL

4.21 Calcula dos nombres la suma dels qualssigui 191 i la diferència, 67.

4.22 Dos quilos de peres i tres de pomes costen7,80 €. Cinc quilos de peres i quatre de pomescosten 13,20 €. Quant costa el quilo de peres? I elde pomes?

4.23 Per pagar un article que costava 3 €, heutilitzat nou monedes, unes de 20 cèntims i unesaltres de 50 cèntims.

Quantes monedes de cada classe he utilitzat?

0,2x – 1,7y = 6,11,23x + 0,8y = 3,75

3 · (x + 2) – 5 · (y + 1) = 95 + 3y

4x + — = 52

x + 3— = 5

y2 · (x – 3y) + x = 9

3 · (x – 1) + 3 · (y + 4) = 2 · (3x + y) – 9x y— – — = 32 3

5x = 2y – 24x = 20 – 2y

2y x 1— – — = —5 3 15

15x – 15y = 2

1,2x + 0,7y = 7x – 0,5y = 1,5

5x + y = 63x – 2y = 14

6x – 3y = 53x + 6y = 5

3x = 64y

5x + — = 143

x – 3y = 212x + 5y = –35

10x – 3y = 110x + 3y = 3

3x – 5y = 96x – 2y = –6

x + y = 3x – y = 9

7x – 2y = 85x – 3y = 1

5 + 3y = 2xx + 2y = 9

4x2y = —

32

5y = 2x + —3

x + 2y = 5x – y = 2

y = 6x2y – 5

x = —7

2yx = —

5x = 4y – 9

2x + 16 = 2y2y – 3x = 16

5x – 4y = 176x – y = 9

y = 54x 2y— + — = 63 5

x = 2y + 53x – 2y = 19

x + 2y = –32x + 6y = 1

7x + 4y = –123x – 2y = –7

12

3— x + 7y = …2

5–2x – — y = …

2

2x + 3y = …3x – 4y = …

EXERCIC IS DE LA UNITAT

88

4.24 Un fabricant de bombetes obté un be-nefici de 0,3 € per cada peça que surt del tallerper a la venda, però té una pèrdua de 0,4 € percada peça defectuosa que ha de retirar. En unajornada ha fabricat 2 100 bombetes i ha obtin-gut uns beneficis de 484,4 €. Quantes bombe-tes vàlides i quantes de defectuoses ha fabricataquest dia?

4.25 En una empresa oliera han envasat 3 000litres d’oli en 1 200 ampolles de dos i de cinc li-tres. Quantes ampolles de cada classe han em-prat?

4.26 En un bar venen entrepans de pernil a 3,5 € i entrepans de truita a 2 €. En un matíhan venut 52 entrepans i la recaptació final haestat de 149 €. Quants n’han venut de cadaclasse?

4.27 En un test de 30 preguntes s’obtenen0,75 punts per cada resposta correcta i es resten 0,25 punts per cada error. Si la meva nota ha estat10,5, quants encerts i quants errors he tingut?

4.28 Una empresa de productes plàstics repl’encàrrec de fabricar un nombre de testos determi-nat per a un dia concret. En planificar la producció,el gerent s’adona que si fabriquen 250 testos diaris,en faltaran 150 en concloure el termini que els handonat. Si fabriquem 260 testos diaris, en sobraran80. Quants dies de termini tenen i quants testos elshan encarregat?

4.29 En una empresa es fabriquen dos tipus debicicletes, A i B. Per fabricar-ne una del model A,calen 1 kg d’acer i 3 kg d’alumini, i per fabricar-neuna del model B, 2 kg de cadascun d’aquests ma-terials. Si a l’empresa disposen de 80 kg d’acer i120 kg d’alumini, quantes bicicletes de cada tipuspoden fabricar?

4.30 La base major d’un trapezi és 2 cm mésllarga que la menor; l’altura del trapezi és 8 cm il’àrea, 48 cm2. Quant fan les bases?

4.31 En una parcel·la rectangular de 44 m deperímetre es fa un jardí rectangular envoltat per uncamí de 2 m d’ample.

Calcula les dimensions de la parcel·la si sabem quel’àrea del jardí és de 45 m2.

4.32 La Maria ha comprat un abric que es troba-va rebaixat un 15 %. La Marta ha comprat un altreabric 25 € més car, però ha aconseguit una rebaixadel 20 %, amb la qual cosa només ha pagat 8 € mésque la Maria. Quin era el preu de cada abric?

4.33 Un capital, col·locat al banc durant unany, ha produït un benefici de 800 €. El beneficihauria estat el mateix si el capital s’hagués augmen-tat en 2000 € i l’interès anual s’hagués disminuïtun punt (un 1 %). A quant ascendeix el capital i aquin tant per cent ha estat col·locat?

4.34 EXERCIC I RESOLT

Per uns pantalons i unes sabates he pagat 126 €. Siel preu dels pantalons augmentés un 14 %, seria el75 % del preu de les sabates. Quant he pagat per ca-dascun?

Resolució

Pantalons → Augmenta un 14 % →

Sabates → El 75 % de y →

Resol el sistema format per les dues equacions i dó-na la solució del problema.

x + y = 1261,14x = 0,75y

0,75yy

1,14xx

5 litres 2 l 2 l

EXERCIC IS DE LA UNITAT

89

4

4.35 He pagat 90,50 € per una camisa i un jerseique costaven, entre els dos, 110 €. En la camisa m’han rebaixat un 20% i en el jersei, un 15%. Quinera el preu original de cada article?

4.36 En un centre escolar hi ha matriculats795 estudiants entre els dos cursos de batxillerat.El 45% de primer i el 52% de segon són dones, laqual cosa comporta un total de 384 alumnes entreels dos cursos. Quants estudiants hi ha a cada curs?

4.37 Dos comerciants emprenen un negoci pera la realització del qual han hagut d’invertir 100 000 €. A l’hora de repartir els beneficis, el pri-mer ha cobrat 2 160 € i el segon 1 440 €. Quinaquantitat hi ha invertit cada comerciant?

4.38 Tres socis han obtingut un benefici de 12 900 €. Quina quantitat correspon a cada soci siper iniciar el negoci el primer va aportar-hi 2/3 dela quantitat que va aportar-hi el segon i aquest 5/6de la que va aportar-hi el tercer?

4.39 Un vinater ha barrejat dues bótes de vi, laprimera de millor qualitat, a 3 €/litre, i la segona,de qualitat inferior, a 2,2 €/litre. D’aquesta formaha obtingut 16 hl d’un vi de qualitat intermèdiaque costa 2,5 €/litre. Quin era el contingut de ca-da bóta?

4.40 L’oli d’oliva costa el doble que el de pi-nyolada i si els barregem en una proporció de 5 a 3(en litres), resulta un oli de qualitat intermèdia quecosta 2,6 €/litre. Quin és el preu de cada classed’oli?

4.41 Barrejant l’aigua d’una cassola que es tro-ba a 15 ºC amb la d’una altra cassola a 60 ºC hemomplert una olla de 9 litres que ha resultat a unatemperatura de 45 ºC. Quants litres hi havia en ca-da cassola?

4.42 Hem fos una cadena d’or del 80 % depuresa amb un anell del 64 % de puresa. Aixíhem obtingut 12 grams d’or d’una puresa del76 %. Quants grams pesava la cadena i quantsl’anell?

4.43 EXERCIC I RESOLT

Un tren de mercaderies surt d’una estació a 90 km/h.Mitja hora més tard, en surt un altre de més ràpid enla mateixa direcció a 110 km/h. Quant tardarà a tro-bar el primer tren?

Resolució

El primer tren ha recorregut 45 km en 1/2 hora.(e = v · t )

4.44 Un tren que avança a 70 km/h, porta unavantatge de 90 km a un altre que avança per unavia paral·lela a 110 km/h. Calcula el temps que tar-da el segon tren a trobar el primer i la distància re-correguda fins a aconseguir-ho.

4.45 Dos ciclistes avancen per la mateixacarretera en el mateix sentit i els separa unadistància de 7,5 km. Si les velocitats es trobenen relació de 3 a 4, i el segon tarda 45 minuts atrobar el primer, quina era la velocitat de cadaciclista?

Resol el sistema i dóna lasolució del problema.

x = 90tx + 45 = 110t

Þ 90 km/h

Þ 110 km/h

45 + x←→

←→←→h; 45 km

x12

x 90 tx + 45 110 t

ESPAI VELOCITAT TEMPS

1.r TREN

2.n TREN

90

4.46 Dues ciutats, A i B, disten 350 km. En unmoment determinat un cotxe inicia el viatge de Acap a B i, simultàniament, un camió inicia el viat-ge de B cap a A. Quina és la velocitat de cada un, sisabem que tarden 1 hora i 45 minuts a creuar-se, ique la velocitat del cotxe supera la del camió en 20km/h?

4.47 Un camió de transport fa, una vegada a lasetmana, la ruta entre les ciutats A i B. Si va a 80km/h tarda, només en l’anada, tres hores més quesi va a 100 km/h. Quina és la distància entre lesciutats?

4.48 EXERCICI RESOLT

La suma de les dues xifres d’un nombre és 10. Si les in-vertim, obtenim un altre nombre que és igual al triplede l’anterior menys 2. Quin és el nombre inicial?

Resolució

Xifra de les desenes: x

Xifra de les unitats: y

Valor del nombre: 10x + y

Valor del nombre invertit: 10y + x

Primera condició: x + y = 10

Segona condició: 10y + x = 3(10x + y) – 2

Resol el sistema format per les dues equacions i dó-na’n la solució.

4.49 La suma de les dues xifres d’un nombre és12. Si l’invertim, obtenim un altre nombre igual aldoble de l’anterior menys 12. Quin és el nombreinicial?

4.50 Un nombre de tres xifres és capicua. Laxifra de les centenes és tres unitats menor que la deles desenes. La suma de les tres xifres és dotze. Cal-cula aquest nombre.

REFLEXIONA SOBRE LA TEORIA

4.51 Escriu un sistema d’equacions amb duesincògnites l’única solució del qual sigui x = 1, y = 1.

4.52 EXERCIC I RESOLT

Per tempteig, busquem una solució entera d’aquest sis-

tema d’equacions:

Resolució

• Busquem parells de nombres la suma de quadratsdels quals sigui 25: (0, 5) (3, 4) (–3, 4) (–4, –3)…

• Com que la x ha de ser una unitat major que lay, les solucions són: (4, 3) i (–3, –4).

4.53 Resol, per tempteig, els sistemes d’equa-cions següents:

a) b)

c) d)

4.54 Identifica entre els sistemes següents elsque tenen solucions infinites, els que només en te-nen una i els que no en tenen cap:

a) b)

c) d)

e) f )

4.55 Quins dels sistemes de l’exercici anteriorsón indeterminats? Busca tres solucions per a cadaun.

4.56 Comprova si el parell (0, 3) és solució d’a-quest sistema:

x + y = 32x + 4y = 12x + 5y = 10

x – 3y = 112x – 6y = 21

5x + y = 410x + 2y = 4

2x + 5y = 112x + 5y = 3

5x – y = 45x + 1 = y + 5

x + 3y = 9x – 2y = 5

3x + 5y = 46x + 10y = 8

√—x + y = 2

x – y = 0

x2 + y2 = 25x + y = 5

x + y = 10x – y = 0

x + y = 10x – y = 2

x2 + y2 = 25x – y = 1

A

350 km←→

B

EXERCIC IS DE LA UNITAT

91

4

APROFUNDEIX

4.57 EXERCIC I RESOLT

Resolem, per substitució, aquest sistema:

Resolució

Aïllem la y en la primera equació i la substituïmen la segona:

y = 4 – 2x → x2 + 4 – 2x = 7 → x2 – 2x – 3 = 0

Resolem l’equació i, amb els valors de x, n’obte-nim els de y.

4.58 Resol, per substitució, els sistemes se-güents:

a) b)

c) d)

4.59 La diferència de dos nombres és 6 i la dels qua-drats corresponents és 144. Calcula aquests nombres.

4.60 Calcula dos nombres la suma dels quals és15 i la dels quadrats corresponents és 113.

4.61 La diagonal d’un rectangle fa 26 m i elperímetre, 68 m. Calcula’n els costats.

4.62 Calcula x i y sabent que la superfície deA és nou vegades la de B.

* A és un quadrat de costat y. B és un quadrat de cos-tat x.

4.63 L’edat d’en Pere, avui, és el quadrat de l’e-dat de la seva filla, però d’aquí a nou anys nomésen serà el triple. Quina edat té cadascú?

4.64 En un rombe, una diagonal és doble quel’altra i l’àrea és 4 dm2. Quant fa el costat?

4.65 Si la base d’un rectangle disminueix 80cm i l’altura augmenta 20 cm, es converteix en unquadrat.

Si la base disminueix 60 cm i l’altura augmenta 20cm, l’àrea disminueix 400 cm2.

Calcula les dimensions del rectangle.

4.66 Un cotxe tarda a fer el trajecte A-B dueshores més del que tarda un camió a fer el trajectecontrari, B-A. Si surten simultàniament, tardendues hores i 55 minuts a creuar-se. Quant tarda ca-da un a completar el trajecte?

4.67 Una aixeta tarda a omplir una piscina 3 ho-res menys que el desguàs a buidar-la. Si obrim els dosalhora, trobant-se buida, la piscina tarda 36 hores aomplir-se. Quant tarda cada un a complir la funcióque li correspon si l’altre roman tancat?

4.68 Resol aquest sistema:

* Calcula la solució de les dues primeres equacions i pro-va si verifica la tercera.

4.69 Resol els sistemes següents:

a) b)

c) d)

4.70 La suma de tres nombres és 16, la di-ferència entre els dos més grans, 4, i el productedels dos més petits és 10. Calcula aquests nom-bres.

x – y = z2x – z = 4x + y = 6 – z

x + 3y – z = 52y + z = 43z = 6

x + y = 7x + z = 8y + z = 9

2x = –2x + y = 52x – y + z = 0

x + 2y = 5x – y = 2x + y = 4

x + y = 5x2 – y2 = 5

x – y = 02x2 – y2 = 9

x2 + y = 24y = 2x + 16

x – 7 = 0x2 – y2 = 40

2x + y = 4x2 + y = 7

5 m

xy

A

B

x

y

Far inaUna ONG reparteix farina en un camp de refugiats.

Si el camp alberga 2 000 persones i s’han lliurat2 500 quilos de farina, quants adults i quants menorshi ha al camp?

Porc ió de t r iang leQuina fracció de lasuperfície del trianglehem ombrejat?

Coses de pesUn cavall i un mul, carregats amb sacs, caminavenjunts.

El cavall es queixava de la càrrega i el mul li va dir:

—De què et queixes? Si jo carregués un dels teussacs, la meva càrrega seria el doble que la teva.En canvi, si tu carreguessis un dels meus, la tevacàrrega seria igual que la meva.

Quants sacs porta cada un?

Incomple tEs tracta de completar aquest quadrat màgic delqual només en coneixem tres nombres.

Ja saps que en un quadrat màgic els tres nombres decada fila, columna o diagonal tenen la mateixa su-ma.

Quin embol i c !

Les vuit files de quatre nombres sumen el mateix.

Quin és el valor de a, b, c i d?

m

m

α

α

2 kg per cada adult.

1 kg per cadados menors.

Nombres ocu l t sHem agafat dues fitxes de cartó i hem escrit un nom-bre en cada una de les quatre cares:

Si les llancem a l’aire i en sumem els nombres que hiha a la vista, podem obtenir aquests resultats:

Descobreix, dels quatre nombres, els que encara noconeixes.

PROBLEMES D’ESTRATÈGIA

92

4

JOCS PER PENSAR

Coses de matemàt i cs

Tartaglia era el malnomd’un matemàtic que, de pe-tit, es va quedar tartamut.Va resoldre importantsequacions de tercer grau:

x 3 + ax 2 = bx 3 + ax = b

Cardano va ser un home genial i trampós.

Quan va assabentar-se queTartaglia havia resolt aquestesequacions, li va demanar queli digués com.

Aquest li ho va dir, fent-li pro-metre que en guardaria el se-cret. No obstant això, ho vapublicar com a cosa seva.

Un jocCada fitxa es pot moure a la casella contigua, sem-pre que aquesta es trobi buida.

Quin és el nombre mínim de moviments que cal ferperquè la fitxa negra arribi a la casella que hi ha arabuida?

EL QUE DIU L’ALTRECOSTAT D’AQUESTATARGETA ÉS VERITAT

EL QUE DIU L’ALTRECOSTAT D’AQUESTA

TARGETA ÉS MENTIDA

Una tau la i dues cadi res

Es tracta de descobrirl’alçària de la taula.

80 cm 70 cm

Incògni ta d i f í c i l d ’a ï l larSaps què és una paradoxa? Ara en pots observar una.Escriu a cada un dels costats d’una targeta els missatges següents:

I ara pregunta’t:Hi ha cap veritat o cap mentida en algun dels costats de la targeta?

93

F I DEL BLOC IIAUTOAVALUACIÓ

1 Redueix:

a) x3 – 4x2 + 5x2 – 3 + 4x – x3 + 2

b) x3 – (x2 + 3x) + (6 + 6x2) – (x3 + 6x – 1)

2 Calcula el valor numèric del polinomiA(x) per a x = 0 i per a x = –1.

A(x) = x4 – 4x3 – 5x2 + 6x + 7

3 Atesos els polinomis:

A(x) = x3 + 5x2 – 6x – 7 i B (x) = 2x2 – 3x + 9.

Calcula A(x) + B (x) i A(x) – B (x).

4 Multiplica: (2x2 – 3x + 4) · (x2 + 2x – 3)

5 Opera i redueix:

a) x (x + 3) – 3x + 1

b) (x + 2) · (x + 3) – (x + 2) · (x – 1)

6 Treu factor comú:

a) x2 + x b) 5x3 – 15x2

c) 2x3 – 6x2 – 2x d) 7x4 – 14x2

7 Descompon en factors aquestes expressions:

a) x2 – 8x + 16 b) x2 – 9

c) 4x2 + 4x + 1 d) 9x2 – 12x + 4

8 Resol les equacions següents:

a) 5x + 2 – 3x = 2x – 7 + x

b) 3 (x – 5) – 2x = 4x – (x + 6) – 1

c) – = x –

d) 9 + 2(x – 7) + 3 (2x + 1) = –2x + 4(x – 5)

e) + – = –

9 Resol aquestes equacions:

a) 3x2 – 5x = 0 b) x2 + 2x – 8 = 0

c) 5x2 = 20 d) 5x2 – 11x + 2 = 0

e) + =

f ) (x + 1)2 – = (x + 2)(x – 3) +

10 Resol els sistemes següents:

a) b)

11 Un agricultor planta 2/5 de l’horta de fe-sols i 3/10 de tomàquets. Si encara té 240 m2

sense plantar, quina és l’extensió de l’horta?

12 Un comerciant ven cafè de dues classes. Sien mesclem 3 kg de la primera amb 2 kg de la se-gona, obtenim un cafè de qualitat intermèdia quecosta 7,2 €/kg. Però si en mesclem 4 kg de la pri-mera classe amb 1 kg de la segona, costa 6,6 €/kg.Quin és el preu del quilo de cada classe de cafè?

13 Un ciclista avança a 36 km/h en persecu-ció d’un altre ciclista que li porta 15 km d’avan-tatge. Si el troba en tres quarts d’hora, quina erala velocitat del que anava davant?

14 Un usurer presta 80 € i al cap d’un mes re-clama a la víctima 82 € com a pagament del deu-te. A quin tant per cent anual va fer el préstec?

15 La superfície d’un rectangle és de 15 m2 iaugmentaria 9 m2 si cada costat cresqués 1 m.Quines són les dimensions del rectangle?

16 Una colla d’amics decideix fer un regal decasament per valor de 400 €. Però abans de lacompra es retiren de la societat cinc dels membres.Així, cadascun dels altres hi ha d’aportar 4 € més.Quants eren originalment els membres de la colla?

3x = 10 + 2yx – 3y = 15

3x – 2y = 72x – y = 6

13x4

254

x2 + x – 23

x2 +37

(3x +1)(2x – 3)21

x + 53

8 – x2

4x – 122

x – 42

x + 26

2x – 34

x – 33

x2