4 lineal programación · pdf fileejercicios resueltos 4. programación lineal57....

El estudio de la programación lineal y sus aplicaciones serán el hilo conductor de la unidad. Los alumnos aprende-rán a optimizar funciones lineales sujetas a una serie de restricciones también lineales en contextos bidimensionales (inecuaciones con dos incógnitas). Por otra parte se estudian algunos de los modelos básicos de la programación lineal,

trabajando en la medida de lo posible la modelización de problemas reales.

La unidad comienza exponiendo las inecuaciones lineales con dos incógnitas con las que se trabajará a lo largo de la unidad. Si bien no incluye conceptos verdaderamente nuevos, es fundamental saber interpretar, representar y operar con inecuacio-nes lineales en dos variables.

Posteriormente se da el paso a los sistemas de inecuaciones lineales y su resolución gráfica u obtención de la región factible, concepto clave en esta unidad.

Tras esto se entra de lleno en la programación lineal, con la definición de la misma y de la función objetivo y enunciando el teorema fundamental de la programación lineal, lo que permite justificar tanto el método gráfico como el método analítico. A través de ejemplos y ejercicios resueltos se muestran algunos modelos como el del problema del transporte y el del pro-blema de la dieta. También se muestran ejemplos de programación entera, aunque no se desarrollan métodos específicos.

Se trata de una unidad que con una carga de teoría bastante ligera logra mostrar métodos de optimización aplicables a muchos problemas reales (dentro de las restricciones de linealidad, por otro lado bastante comunes en los problemas coti-dianos) cuya utilidad es fácilmente apreciable.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.

Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del estudio de las derivadas y sus propiedades, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones, así como un mayor conocimiento de la naturaleza de las funciones. Por otra parte se estimula la relación entre el razonamiento lógico y deductivo y la resolución de problemas reales y cotidianos.

La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.

A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en

comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.

La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema.

Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en esta unidad a través de la toma de conciencia de cómo pueden apli-carse los conocimientos matemáticos para resolver problemas de optimización de recursos. Un manejo eficiente de estos es fundamental para el crecimiento y desarrollo de las sociedades así como de las ciudades, sus infraestructuras y otras organizaciones.

Temporalización

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

PROGRAMACIÓN LINEAL4

554. Programación lineal

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave

Inecuaciones lineales con dos

incógnitas

1. Representar inecuaciones con dos incógnitas

en el plano

1.1. Interpreta inecuaciones con dos variables como una

región del plano.

1.2. Representa inecuaciones con dos incógnitas en el plano.

CMCT

CL

CAA

CSC

Sistemas de inecuaciones

lineales con dos incógnitas

2. Definir y representar la región factible plana

generada por un sistema de restricciones lineales

de dos incógnitas.

2.1. Define con precisión el conjunto solución de un sistema

de inecuaciones lineales con dos incógnitas y lo representa.

CMCT

CL

CAA

Programación lineal

Método gráfico

Método analítico

Aplicaciones prácticas de la

programación lineal

3. Determinar e interpretar las soluciones

óptimas en problemas de programación lineal.

4. Formular algebraicamente las restricciones

indicadas en una situación de la vida cotidiana,

resolver el sistema de inecuaciones planteado, en

los casos que sea posible, y aplicarlo para resolver

problemas en contextos reales.

3.1. Encuentra y justifica las soluciones óptimas en problemas

de programación lineal.

3.2. Reconoce y diferencia los casos con una única solución

óptima, sin solución y con infinitas soluciones en un

segmento.

4.1. Modeliza problemas cotidianos con restricciones lineales

y los resuelve e interpreta contextualizándolos.

CMCT

CD

CL

CAA

CSC

Objetivos

Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚ Saber representar inecuaciones lineales así como su intersección, o región factible.

❚ Modelizar y resolver problemas de programación lineal a través del método gráfico o el analítico.

❚ Plantear problemas de optimización relacionados las ciencias experimentales, sociales y financieras, resolverlos e interpre-tar el resultado obtenido dentro del contexto.

Atención a la diversidad

Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

56 Álgebra y Programación lineal

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO

Actividades de refuerzoActividades de ampliación

Prueba de evaluación

Presentación de la unidad Repasa lo que sabes

1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas

2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

EVALUACIÓNActividades interactivas. Test de autoevaluación

3. Programación lineal• Método gráfico• Método analítico• Aplicaciones prácticas de la programación

lineal

Vídeo. ResoluciónVídeo. Problema de máximoVídeo. Problema de mínimo

GeoGebra. Sistema de inecuaciones

EJERCICIOS RESUELTOS



Repasa lo que sabes (página 89)

1. Dibuja estas rectas del plano.

a) 3x � 2y � 5 � 0

b) x � 4y � 6 � 0

Para representar cada recta determinamos dos puntos por los que pasa cada una:

a) (�1, 1) y (1, 4)

b) (�2, 2) y (2, 1)

2. Indica qué representa en el plano la solución del sistema del siguiente ecuaciones:

�La representación gráfica de cada ecuación es una recta y el sistema de ecuaciones determina el conjunto de puntos que verificanambas rectas.

En este caso (x, y) � (1, �1) es la solución del sistema y por tanto, el punto de corte de ambas rectas.

3. Resuelve estas inecuaciones.

a) 3x � 1 � 17

b) x3 � 5x2 � 6x � 0

c) �x

x

2 �

�

2

6

5� � 0

a) 3x � 16 ⇒ x � 16/3 ⇒ (�∞, 16/3)

b) x(x2 � 5x � 6) � 0 ⇒ x(x � 2)(x � 3) � 0

Si el producto de 3 monomios es mayor que 0 o los tres son positivos (x � 3), o dos son negativos y uno positivo (0 � x � 2).

Esto es: x � (0, 2) � (3, �∞)

c) Por un lado x2 � 25 � 0 ⇒ �x� � 5, y por otro, x � 6 � 0 ⇒ x � 6.

Ahora bien, el cociente será positivo siempre que numerador y denominador tengan el mismo signo.

En este caso son ambos positivos si x � 6 ⇒ (6, �∞) y serán ambos negativos siempre que x � (�5, 5).

Luego la desigualdad se cumple si: x � (�5, 5) � (6, �∞)

3x � 3y � 1

x � y � 2

•

•

•

•

O 1

1

X

Y


SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO

Sugerencias didácticas. Recursos TIC

Sistema de inecuaciones (página 92)

En el recurso de GeoGebra pueden verse las regiones del planocorrespondientes a cada inecuación del primer ejercicio resueltode esta página. Moviendo los deslizadores con los coeficientesde las ecuaciones pueden obtenerse otros ejemplos para mos-trarlos en la pizarra digital o para practicar este tipo de ejerciciosmás tarde.

Resolución (página 102)

En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio resuelto paso apaso, hallando los puntos de intersección entre las rectas y deter-minando la región factible. También se resuelve gráficamente pa-ra comprobar que la solución no depende del método utilizado.

Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplocompleto de este tipo de ejercicios o para repasar el procedi-miento de resolución.

Problema de mínimo (página 105)

En el vídeo puede verse el planteamiento y la resolución del ejer-cicio resuelto de esta página.

Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplocompleto de este tipo de problemas o para repasar el procedi-miento para resolver problemas de programación lineal.

Problema de máximo (página 106)

En el vídeo se muestra el planteamiento y la resolución paso apaso del ejercicio resuelto de esta página. Puede utilizarse paramostrar en la pizarra digital un ejemplo completo de este tipo deproblemas o para repasar el procedimiento para resolver proble-mas de programación lineal.

Actividades (páginas 90/108)

Representa gráficamente los semiplanos solución de

las siguientes inecuaciones.

a) x � 3y 7 b) 2x � y � 3

Indica de qué inecuación es solución el semiplano

de la figura 4.2.

O 1

1

X

Y

O 1111

11

YY

2

O 1

1

X

Y

1

3x � 2y 6 pues la recta representada es 3x � 2y � 6 y al es-tar trazada en discontinua nos indica que se trata de una de-sigualdad estricta. Para identificar hacia qué lado es la desi-gualdad sustituimos el (0, 0) en (x, y), que pertenece a laregión, obteniendo 0 6.

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de

inecuaciones.

a) � b) � c) �a)

b)

c)

Maximiza la función objetivo dada por f(x, y) � 2x � ysujeta a las siguientes restricciones:

�Calculamos:

f(0, 0) � 0, f(3/2, 9/2) � 15/2 y f(4, 2) � 10

El valor máximo de la función f(x, y) es 10 y se alcanza en el vér-tice (4, 2).

x � y � 2

x � y � 6

�x � y � 3

x � 0

y � 0

4

O 1–1 X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

x yx � 3y � 12

x � y 2

3x � y � 15

x � 0

y � 0

3x � 2y 7

5x � y � 5

3

•

•

• •

•

O 1

1

X

Y


Minimiza la función f(x, y) � 4x � 12y, sujeta a estas

restricciones:

�

La recta nula es paralela a uno de los segmentos del perímetrode la región factible, así pues todos los infinitos puntos de di-cho segmento serán solución óptima. El segmento es el que vadesde el vértice (�4, 2) hasta el vértice (57/33, 1/11), y en to-dos sus puntos la función objetivo alcanza el mismo valor.

f(�4, 2) � f(�1, 1) � f(57/33, 1/11) � 8

Maximiza la función f(x, y) � 3x � 5y cuyas restric-

ciones son las siguientes:

�f(0, 0) � 0

f(0, 5) � 25

f(3, 0) � 9

f(9/4, 5/4) � 13

El máximo de la función f(x, y) es13 y se alcanza en el punto (9/4, 5/4).

Una fábrica de adornos produce broches sencillos y

broches para fiestas. Se obtiene un beneficio de 2,70 € por

cada broche sencillo y de 3,60 € por cada broche para fies-

tas. En una jornada de trabajo no se pueden fabricar más

de 400 broches sencillos ni más de 300 para fiestas; tampo-

co es posible producirse más de 500 broches en total. Su-

poniendo que se logra vender toda la producción del día,

¿cuál es el número de broches de cada clase que conviene

fabricar para obtener un beneficio máximo?

La función objetivo será el beneficio que se pretende maxi-mizar, para definirla asignamos las variables:

� x � Broches sencillos

� y � Broches para fiestas

f(x, y) � 2,70x � 3,60y

sujeto a las siguientes restricciones: �Las dos primeras parejas de restricciones definen un rectán-gulo, que es cortado en una esquina por la recta x � y � 500.Por tanto, la región factible está delimitada por los vértices:

(0, 0), (400, 0), (400, 100), (200, 300) y (0, 300)

Evaluamos la función objetivo solamente en dos vértices:(200, 300) y (400, 100), pues (0, 300) o (400, 0), no van a pro-ducir mayores beneficios como se puede observar.

f(200, 300) � 1 620 f(400, 100) � 1 440

0 � x � 4000 � y � 300x � y � 500

7

x � 3y � 6

5x � 3y � 15

x � 0

y � 0

6

• •

•O 1

1

X

Y

y � 2

3x � 2y � 5

y � x � 5

3y � x � 2

5 Así pues, conviene fabricar 200 broches simples y 300 bro-ches de fiesta por los que se obtendrá un beneficio máximode 1 620 €.

Un concesionario de coches comercializa dos mode-

los de automóviles: uno deportivo, con el que gana 600 €

por unidad vendida, y el familiar, cuyos beneficios por uni-

dad son de 300 €. El número de coches deportivos vendi-

dos anualmente, x, debe verificar que 50 � x � 75. Por su

parte, el número de modelos familiares vendidos anual-

mente, y, ha de ser mayor o igual que el de deportivos ven-

didos. Sabiendo que el concesionario puede vender hasta

un máximo de 400 automóviles al año, determina cuántos

coches de cada modelo debe vender anualmente para que

su beneficio sea máximo.

Siguiendo las indicaciones del enunciado, x representa el nú-mero de coches deportivos vendidos, e y el número de co-ches familiares vendidos. De esta manera la función objetivoes: f(x, y) � 600x � 300y, sujeto a:

�La región factible estará acotada entre las intersecciones delas rectas que delimitan las inecuaciones, esto es, (50, 50),(75, 75) y (50, 350), (75, 325).

Teniendo en cuenta que nuestra función objetivo es positivaen ambas variables, esto es, que vender más coches (deporti-vos o familiares) reporta un mayor beneficio, no tenemos queevaluar la función en los cuatro vértices.

Por ejemplo entre el punto (50, 50) y el (350, 50) no es nece-sario evaluar la función objetivo, pues se obtendrá más bene-ficio vendiendo 300 coches más. Por este motivo basta com-parar los resultados de los dos vértices superiores:

f(50, 350) � 30 000 � 105 000 � 135 000 €

f(75, 325) � 45 000 � 97 500 � 142 500 €

Así, concluimos que el beneficio óptimo se encuentra ven-diendo el máximo de coches deportivos (75 en este caso) y elresto hasta 400 coches familiares.

Ejercicios y problemas (páginas 111/112)

Dibuja el conjunto de puntos del plano que satisface

las siguientes desigualdades:

�•

•••

•

O 4

4

X

Y

6 � y � 30

5x � 2y � 100

6x � y � 30

x � 2y � 20

1

50 � x � 75x � yx � y � 400

8

•

• •

•

O 1

1

X

Y


Optimiza la función f(x, y) � 3x � 2y, sujeta a las si-

guientes restricciones:

�Procedemos de manera analítica en este caso. Intersecamoslas rectas dos a dos y obtenemos el siguiente conjunto depuntos candidatos a vértices: (1, 2), (1, 22/3), (9, 2), (1, 10),(5, 2) y (3, 6), pero no todos ellos cumplen las restricciones,por ejemplo el punto (9, 2) no cumple la última desigualdad,al igual que (1, 10) tampoco cumple la tercera, por lo tanto losvértices a considerar son: A(1, 2); B(1, 22/3); C(5, 2) y D(3, 6).

Evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y obtene-mos: f(A) � �1, f(B) � �35/3, f(C) � 11, f(D) � �3 Por lo tan-to el máximo se alcanza en el punto C(5, 2) con el valor 11, yel mínimo en el punto B(1, 22/3) con el valor �35/3.

Escribe inecuaciones que definan una región plana

cerrada, de modo que:

� Los puntos (1, 0) y (0, 1) pertenezcan a dicha región.

� Los puntos (0, 0) y (2, 2) no pertenezcan a ella.

Representa después gráficamente la región que has elegido.

Respuesta abierta, por ejemplo: �Hay que asegurarse de que se representa la región asociada ala solución que variará en cada caso.

Determina el valor máximo de la función:

f(x, y) � y � x

en el recinto limitado por las inecuaciones: �Estudiamos analíticamente los vértices de la región factible,comenzando con las intersecciones de las rectas:

O(0, 0), A(0, 4), B(2, 0), C(1, 2), D(0, 2) de donde descartamosA(0, 4) que no cumple todas las restricciones. Evaluamos lafunción objetivo en los vértices:

f(0, 0) � 0 f(2, 0) � 2 f(1, 2) � 3 f(0, 2) � 2

Así el valor máximo de 3 se alcanza en el punto (1, 2).

Maximiza la función f(x, y) � 2x � y, sujeta a las si-

guientes restricciones:

�Obtenemos los vértices de la región factible intersecando lasrectas que marcan las restricciones y en ellas evaluamos lafunción objetivo.

f(0, 0) � 0 f(2, 0) � 4

f(0, 3) � 3 f(3/2, 9/2) � 15/2

f(4, 2) � 10

Luego el máximo se halla en el punto (4, 2) y toma el valor 10.

Maximiza la función f(x, y) � 0,75x � y que se halla

sujeta a estas restricciones:

�x � 3y � 15

5x � y � 20

3x � 4y � 24

x � 0

y � 0

6

x � y � 2

x � y � 6

�x � y � 3

x � 0

y � 0

5

x � 0

0 � y � 2

2x � y � 4

4

x � 0y � 01/2 x � y 2

3

x � 1

y � 2

3y � 24 � 2xy � 2x � 12

2 Intersecando las rectas frontera de las restricciones se obtie-nen los vértices de la región factible:

A(4, 0), B(0, 5), C(12/5, 21/5) y D(56/17, 60/17)

Al evaluar la función objetivo en los cuatro vértices vemosque se alcanza el mismo valor en C y en D, f(C) � f(D) � 6,siendo además el valor máximo, por lo tanto los infinitospuntos del segmento que va de C a D serán solución óptimadel problema.

Es interesante observar que la función objetivo es paralela a latercera restricción, que es la que define el segmento solución.

Minimiza y maximiza la función f(x, y) � 5x � 4y en

el siguiente recinto:

�

En la representación se observa que la segunda restricciónno juega ningún papel. Evaluamos f(x, y):

f(0, 0) � 0 f(0, 10) � 40

f(10, 0) � 50 f(140/19, 120/19) � 62,11

El máximo se encuentra en (140/19, 120/19).

Maximiza la función f(x, y) � 3x � 2y sujeta a las res-

tricciones siguientes:

�f(0, 0) � 0

f(0, 2) � 4

f(2, 0) � 6

f(20/11, 50/11) � 160/11

f(5, 20/3) � 85/3

Luego el máximo se alcanza enel vértice (5, 20/3).

Representa el conjunto de puntos que satisfacen si-

multáneamente estas inecuaciones:

�• •

O 1

1

X

Y

x � 2

x � �2

y � 1

9

�7x � 5y � 10

�7x � 3y � �15

2x � 3y � �10

x � 0

y � 0

8

•

• •

•

O 2

2

X

Y

12x � 5y � 120

6x � 8y � 180

5x � 10y � 100

x � 0

y � 0

7

•

• •

•

•

O 1

1

X

Y


Maximiza f(x, y) � 6x � 2y en el primer cuadrante,

teniendo en cuenta las siguientes restricciones, y analiza la

posibilidad de resolución del problema:

�

Los vértices de la región factible son:

(0, 1/4), (0, 1/2), (1/5, 3/5) y (3/8, 1/4)

Evaluando la función objetivo en estos puntos se obtiene co-mo valor máximo: f(3/8, 1/4) � 11/4

Observa este recinto del plano en el que están inclui-

dos los tres lados y los tres vértices:

a) Halla las inecuaciones que definen el recinto.

b) Maximiza f(x, y) � �3x � 6y en dicho recinto.

a) �b) El recinto está contenido en el primer cuadrante (las coor-

denadas de todos sus puntos son ambas positivas), y lafunción objetivo es negativa en ambas variables, por lotanto obtendrá siempre valores negativos salvo en el (0, 0)donde se alcanza el máximo con el valor 0.

Maximiza la función f(x, y) � 2x � 3y, sujeta a las si-

guientes restricciones, y representa después el conjunto de

las soluciones factibles.

�

•••

•• •

O 2

(17, 0)2

X

Y

x � 4

y � 6

y � xx � y � 14

y � 0

12

y � 3y � 3xx � y

O 1 X

Y

1

11

•

••

•

O 0,1

0,1

X

Y

y � 2x � 1

2y � 1 � xy � 1/4

10 Procedemos de manera gráfica. Las rectas de nivel de la fun-ción objetivo son de la forma f(x, y) � k, y consideramos soloaquellas que pasan por algún vértice de la región factible. En-tre ellas, la que corta a los ejes en un valor más alto nos indicaen qué vértice de la región se alcanza el máximo, y con cual-quiera de los puntos de corte con los ejes podemos obtenerel valor máximo que alcanza la función objetivo:

f(17, 0) � 2 17 � 3 0 � 34, que coincide con el valor que sealcanza en el vértice f(8, 6) � 2 8 � 3 6 � 34, ya que se tratade una recta de nivel.

Dibuja el conjunto de puntos del plano que satisfa-

cen las siguientes desigualdades:

�

Representa la región del plano delimitada por este

sistema de inecuaciones:

�Razona si es posible optimizar f(x, y) � 2x � 5y � 4 en di-

cha región. Indica en qué puntos se alcanza el máximo y el

mínimo y cuáles son sus valores.

Al tratarse de una región factible acotada debe existir tantomáximo como mínimo. Procedemos a evaluar la función ob-jetivo en los cuatro vértices de la región factible:

f(0, 12) � �54 f(12, 0) � 28

f(0, 5) � �21 f(5, 0) � 14

Y observamos el mínimo (0, 12) y el máximo (12, 0).

••

•

•

O 2

2

X

Y

x � y � 5

x � y � 12

x � 0

y � 0

14

•

•

• •

O 4

4

X

Y

6 � xy � 30

5x � 2y � 100

6x � y � 30

x � 2y � 20

13


Considera el recinto convexo definido por el siguien-

te sistema de inecuaciones:

�a) Razona si es posible maximizar en él f(x, y) � x � 2y.

b) En caso afirmativo, calcula el valor óptimo correspon-

diente y los puntos donde se alcanza.

Los vértices son: (0, 0), (0, 1), (4, 0) y (4/3, 4/3)

a) Deben existir máximo y mínimo por tratarse de una re-gión acotada.

b) El mínimo valor es 0 y se alcanza en el origen, el valor má-ximo es 4 y se alcanza en todos los puntos del segmentoque une los vértices (4, 0) y (4/3, 4/3), pues la las rectas denivel de la función objetivo son paralelas a dicho segmen-to.

Considera el siguiente de desigualdades lineales:

�a) Resuélvelo gráficamente.

b) Maximiza f(x, y) � 3x � 5y, sujeta a esas restricciones.

c) Discute razonadamente el resultado del apartado b) se-

ría el mismo al sustituir la primera condición por x � 5.

a)

b) El máximo se alcanza en el punto (8, 30) y toma el valor174.

c) No puede coincidir la solución si sustituimos 6 � x por x � 5,ya que ambas inecuaciones definen semiplanos disjuntos,y por lo tanto no habrá ningún punto común entre las re-giones factibles que generan cada una de las restriccio-nes. En este caso el punto del plano (8, 30) no cumple larestricción x � 5.

Dibuja el recinto definido halla sus vértices:

�x � 0

0 � y � 15

x � y � 10

x � y � 10

17

•

•

•

•

O 5

5

X

Y

6 � xy � 30

5x � 2y � 100

6x � y � 30

x � 2y � 20

16

• •

••

O 1

1

X

Y

x � 4y � �4

x � 2y � 4 � 0

x � 0

y � 0

15

Los vértices son: (10, 0), (0, 10), (0, 15) y (25, 15)

Minimiza f(x, y) � �3x � y � 2, sujeta a estas restric-

ciones:

�Intersecando las rectas dos a dos y eligiendo de entre las res-tricciones aquellas que cumplen todas las restricciones halla-mos los vértices:

(1/2, 11/4), (1/2, 4) (2, 2) y (4, 4)

El mínimo se alcanza en (4, 4) donde la función objetivo tomael valor �6.

Determina los valores máximo y mínimo de la fun-

ción f(x, y) � 3x � 4y sujeta a estas restricciones:

�La primera inecuación se puede reordenar de la siguientemanera: 3 � 2x � x � y, lo que nos permite considerarla juntocon la segunda restricción:

3 � 2x � x � y � 5 ⇒ �2 � 2x, esto es �1 � x lo que es total-mente incompatible con la tercera x � �2 y por tanto, la re-gión factible es vacía. Ningún punto del plano cumple las tresprimeras restricciones.

Para abonar una huerta, se necesitan por lo menos

8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un produc-

to, M, cuyo precio es de 0,18 €/kg y que contiene un

10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe en el mercado

otro producto, N, que contiene un 20% de nitrógeno y un 20%

de fosforo, y cuyo precio es de 0,24 €/kg. ¿Con que cantidades

de M y N se abona la parcela con el menor gasto posible?

Definimos las variables y la función objetivo:

� x � kilos del producto M

� y � kilos del producto N

f(x, y) � 0,18x � 0,24y a minimizar, pues representa el gasto.

Las restricciones vienen en función de nitrógeno y fósforo ylas habituales restricciones de no negatividad (no podemoscomprar cantidades negativas):

�La región factible es no acotada (en el sentido de crecimientopositivo de las variables) y tiene tres vértices que son:

(0, 60), (20, 30) y (80, 0)

El mínimo se alcanza comprando 20 kg de producto M y 30 kg de producto N con un coste total de 10,80 €.

0,1x � 0,2y � 80,3x � 0,2y � 12x � 0y � 0

20

3x � y � 3

x � y � 5

x � �2

y � 10

y � 0

19

x � 2y � 6

x � y1 � 2xy � 4

18

• ••

•O 5

5

X

Y


Escribe las inecuaciones que definen una región pla-

na cerrada tal que:

� (2, 2) y (2, 4) pertenezcan a dicha región.

� (2, 0) y (0, 2) no pertenezcan a ella.

Haz una representación gráfica de la región elegida.

�En este caso las restricciones deno negatividad serían prescindi-bles.

En la producción de dos tipos de carpetas (de garras

y de anillas) se utilizan dos máquinas, L y M. Para elaborar

una carpeta de garras, la máquina necesita 2 min, y la M,

4 min, y para producir una de anillas, la máquina L necesita

8 min, y la M, 4 min. El beneficio neto que se obtiene por

una carpeta de garras es de 0,17 €, y por una de anillas de

0,27 €. ¿Cuántas carpetas de cada tipo debe producir en

1 h cada máquina para maximizar beneficios?

Definimos variables y función objetivo:

� x � n.º de carpetas de garras

� y � n.º de carpetas de anillas

La función beneficio a maximizar es:

f(x, y) � 0,17x � 0,27y

Cada máquina genera una restricción, junto a las de no nega-tividad nos produce el siguiente sistema de inecuaciones:

�Se obtiene una región factible delimitada por los segmentosque unen los siguientes vértices:

(0, 0) (0; 7,5), (10, 5) y (0, 15)

Evaluando la función objetivo en los cuatro vértices se tieneque el máximo se alcanza al producir 10 carpetas de garras y5 de anillas obteniendo un beneficio de 3,05 € por cada horaque trabajan ambas máquinas.

Un laboratorio utiliza las sustancias A y B para pre-

parar dos vacunas. La primera se prepara con 2 unidades

de A y 1 de B, y dará lugar a 18 dosis, la segunda se elabora

con 2 unidades de A y 3 de B, y produce 24 dosis. Si el labo-

ratorio tiene 400 unidades de A y 300 de B, ¿cuántas vacu-

nas de cada tipo deberán preparar para obtener el máximo

número de dosis?

� x � n.º vacunas del primer tipo

� y � n.º de vacunas del segundo tipo

La función beneficio a maximizar es: f(x, y) � 18x � 24y

Las restricciones vienen dadas por las limitaciones de las sus-tancias A y B y por las restricciones de no negatividad.

�La región factible está definida por los siguientes cuatro vér-tices: (0, 0), (0, 100), (150, 50), (200, 0)

Evaluando en ellos la función objetivo se concluye que el má-ximo número de dosis se logra al producir 150 vacunas delprimer tipo y 50 del segundo.

2x � 2y � 400x � 3y � 300x � 0y � 0

23

2x � 8y � 604x � 4y � 60x � 0y � 0

22

x � y � 30 � x � 30 � y � 5

21 Un industrial fabrica dos productos A y B. Cada kilo

de A requiere 4 h de trabajo y 60 € en gastos de material y

arroja unos beneficios de 45 €. Cada kilo de B, por su parte,

supone 7 h de trabajo y material por un valor de 48 €; las

ganancias obtenidas por dicha cantidad de productos son

de 30 €. Cada semana, el industrial cuenta con 200 h de

trabajo. Por otro lado, está obligado por contrato a produ-

cir un mínimo de 15 kg de A y 10 kg de B, y no gastar más

de 1 923 € en material. El industrial quiere saber cuántos

kilos de cada producto debe fabricar por semana para ob-

tener el mayor beneficio posible.

a) Formula este problema de optimización en términos de

programación lineal.

b) Representa gráficamente el conjunto de soluciones po-

sibles y halla la solución óptima.

a) x � kilos del producto A y � kilos del producto B

La función de beneficios a maximizar es:

f(x, y) � 45x � 30y

En este caso las restricciones las generan:

� El límite de horas (200 h).

� El límite de presupuesto (1 923 €).

� Los mínimos de producción por contrato (15kg de A y10 kg de B).

�b) Evaluamos la función objeti-

vo en los cuatro vértices:

� f(A) � 1 328,88 €

� f(B) � 1 275 €

� f(C) � 1 382,25 €

� f(D) � 975 €

Una compañía petrolera necesita 9 t, 12 t y 24 t de

crudo de calidad alta, media y baja, respectivamente. La

compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce dia-

riamente 1 t, 3 t y 4 t de petróleo de calidades alta, media y

baja, respectivamente. La refinería B produce 2 t de cada

una de las tres calidades. El gasto diario de cada una de las

refinerías es de 12 000 €. ¿Cuántos días debe trabajar cada

refinería para que el gasto sea mínimo?

� x � n.º de días que trabaja la refinería A

� y � n.º de días que trabaja la refinería B

La función coste a minimizar es: f(x, y) � 12 000x � 12 000y

Como restricciones tenemos las habituales de no negatividady las tres que generan las necesidades de las tres calidades decrudo:

�Se trata de una región factible no acotada, contenida en elprimer cuadrante (variables no negativas) y acotada inferior-mente por los segmentos que unen los puntos:

(0, 12), (5, 2) y (9, 0)

Dado que ambas refinerías tienen el mismo coste diario yque 5 � 2 9 12, el coste mínimo está abrir 5 días la refine-ría A y 2 días la refinería B, con un coste de:

(2 � 5) 12 000 � 84 000 €

x � 2y � 93x � 2y � 124x � 2y � 24x � 0y � 0

25

4x � 7y � 20060x � 48y � 1 923x � 15y � 10

24

•

•• •

•

••

•O 1

1

X

Y

••

••

O 5

5

X

Y

AB

CD


Montaje Pintura

500 cc 8 h 6 h

250 cc 8 h 3 h

Una empresa dedicada a la fabricación de motocicle-

tas de 500 cc y 250 cc dispone de una sección de montaje y

otra de pintura. Las horas de mano de obra necesarias para

la producción de cada motocicleta son:

La sección de montaje tiene 25 trabajadores y la de pintura

18, todos los cuales trabajan un máximo de 8 h al día. Cal-

cula la producción que maximice las ganancias si el benefi-

cio obtenido es de 200 €, y 140 € por cada motocicleta de

500 cc y de 250 cc, respectivamente.

� x � n.º de motocicletas de 500 cc

� y � n.º de motocicletas de 250 cc

f(x, y) � 200x � 140y

�Las restricciones se corresponden a que las variables no pue-den ser negativas, y la limitación de horas máximas que sepueden trabajar en cada sección: (25 8 � 200 y 18 8 � 144),definiendo una región convexa delimitada por los segmentosque conectan los vértices: (0, 0), (0, 25), (23, 2) y (24, 0)

f(0, 0) � 0 € f(23, 2) � 4 880 €

f(0, 25) � 3 500 € f(24, 0) � 4 800 €

Luego el máximo beneficio se obtiene al producir 23 motoci-cletas de 500 cc y 2 de 250 cc, obteniendo 4 880 € .

8x � 8y � 2006x � 3y � 144x � 0y � 0

26 Un mayorista vende productos congelados que pre-

senta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La

capacidad de sus congeladores no le permite almacenar

más de 1 000 envases en total. En función de la demanda

sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases

pequeños y 200 grandes. La demanda de envases grandes

es igual o superior a la de los pequeños. El coste por alma-

cenaje es de 10 CENT para cada envase pequeño y 20 CENT

para cada envase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de

envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Halla

dicho mínimo.

� x � n.º de envases pequeños

� y � n.º de envases grandes

La función coste de almacenaje, en €, a minimizar es:

f(x, y) � 0,10x � 0,20y

Las restricciones vienen dadas por el límite de los congelado-res, el stock mínimo necesario (que sustituyen a las condicio-nes de no negatividad) y la demanda siempre mayor de en-vases grandes, esto es:

�Estas restricciones definen una región convexa acotada defi-nida por los vértices:

(100, 200), (200, 200), (500, 500) y (100, 900)

En este caso puede no ser necesario evaluar la función objeti-vo en cada vértice, pues el mínimo se halla en el almacenajede stock mínimo (100 envases pequeños y 200 grandes) conun coste de 50 €.

x � y � 1 000x � yx � 100y � 200

27

Evaluación (página 113)

1. Representa el conjunto convexo definido por las siguientes desigualdades: ��x � y � 2

�x � y � 4

�x � 2y � �1Calcula los vértices del conjunto convexo definido.

Los vértices corresponden a las tres intersecciones de cada par de rectas. En este caso las dos primeras se cortan en el punto (1, 3), laprimera y la tercera en (�5, �3) y las dos últimas en (3, 1).

2. Calcula los valores máximo y mínimo que alcanza la función f(x, y) � 3x � 2y en el conjunto convexo anterior.

f(�5, �3) � �21, se trata del mínimo f(1, 3) � 9 y f(3, 1) � 11 que es el valor máximo

3. Considera la función g(x, y) � ax � by, donde a y b son números reales. Determina razonadamente el valor de a y b de manera

que existan infinitos puntos de la región convexa anterior en los que g(x, y) alcance el valor máximo.

Para que haya infinitos puntos en los que se alcance el máximo, las rectas de nivel deben ser paralelas a alguno de los segmentosfrontera de la región factible y por tanto a alguna de las restricciones. Esto es, los coeficientes (a, b) deberían ser proporcionales a al-guna de estas tres parejas: (�1, 1), (1, 1) y (�1, 2)

4. Una pastelería produce pasteles de chocolate y de vainilla. Un pastel de chocolate necesita 20 min de cocción y 2 huevos, mien-

tras que uno de vainilla se hace con un huevo y precisa 40 min de cocción. Un pastel de chocolate se vende a 1,20 €, y uno de

vainilla, a 0,90 €. La pastelería dispone únicamente de 30 huevos, y el horno, con capacidad para un solo pastel, puede funcio-

nar un máximo de 8 h. ¿Cuántos pasteles de chocolate y de vainilla deberá producir el establecimiento para maximizar sus in-

gresos?

•

•••

•

O 4

4

X

Y


� x � n.º de pasteles de chocolate

� y � n.º de pasteles de vainilla

�5. Un país dispone de dos minas de carbón, A y B, y tres centros de consumo, las

ciudades C1, C2 y C3. Las minas producen 26 t y 30 t de carbón, respectivamente.

Las necesidades de los tres centros son de 20 t, 22 t y 14 t de carbón, también

respectivamente. Indica cómo ha de efectuarse el transporte para que el gasto

sea mínimo si los costes del transporte por tonelada desde las minas a las ciu-

dades son, en euros, los que se indican en la siguiente tabla:

Asignamos variables y creamos la tabla de restricciones, de tal manera que se respeten las necesidades y la producción:

�

f(x, y) � 10x � 30y � 10(26 � x � y) � 20(20 � x) � 10(22 � y) � 10(x � y � 12) � �10x � 20y � 760

La región factible es el hexágono irregular que se forma al representar la situación. Evaluamos la función objetivo en los vértices:

Encontramos el mínimo en el punto (20, 0), y obtenemos la siguiente tabla solución:

Luego el coste mínimo de 560 € se dará al satisfacer toda la de-manda de la ciudad 1 desde la mina A, la demanda de la ciudad 2íntegramente desde la mina B, completando la demanda de la ter-cera ciudad con los sobrantes de producción de ambas minas.

6. Una compañía naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un determinado crucero. El barco A debe tener tantos viajes o

más que el barco B, pero no puede sobrepasar los 12 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no más de

20. La naviera obtiene un beneficio de 18 000 € por cada viaje del barco A y 12 000 € por cada viaje del B. Se desea que las ga-

nancias sean máximas.

a) Expresa la función objetivo.

b) Describe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto obtenido.

c) Halla el número de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máximo beneficio. Calcula dicho beneficio máximo.

a) f(x, y) � 18 000x � 12 000y es la función objetivo a maximizar, siendo:

x � viajes que realiza el barco A y � viajes que realiza el barco B

b) � c)

Luego el beneficio máximo se alcanza al realizar 12 viajescon la naviera A y 8 con la naviera B. Este beneficio es de 312 000 €.

0 � y � x � 126 � x � y � 20

•

•

• •

•

•

O 4

4

X

Y

0 � x � 200 � y � 2212 � x � y � 26

20x � 40y � 4802x � y � 30x � 0y � 0

x y f(x, y)

12 0 640

0

20

0

4

20

12

0

22

22

6

1 000

560

1 200

1 160

680

C1 C2 C3 Producción

A 20 0 6 26

B

Necesidades

0

20

22

22

8

14

30

f(x, y) x y

90 000 3 3

108 000

216 000

300 000

312 000

6

12

10

12

0

0

10

8

Chocolate Vainilla

Cocción 20 40 8 60 � 480

Huevos

Precio

2

1,20 €

1

0,90 €

30

C1 C2 C3

A 10 30 10

B 20 10 10

C1 C2 C3 Producción

A x y 26 � x � y 26

B

Necesidades

20 � x

20

22 � y

22

x � y � 12

14

30

La región factible está delimitada por lossegmentos que unen los siguientes cua-tro vértices: (0, 0), (0, 12), (12, 6) y (15, 0)

Evaluando la función objetivo en los vérti-ces, se encuentra su máximo al producir12 pasteles de chocolate y 6 de vainillaobteniendo 19,80 € de beneficio.

••

••

•

O 2

2

X

Y

4 lineal programación · pdf fileejercicios resueltos 4. programación lineal57....

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