ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

BLOQUE A: PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.

Extraemos aleatoriamente una muestra de 26 pedagogos universitarios, los cuales responden a una prueba de inteligencia espacial, en la que alcanzan una media de 80 con una desviación típica de 10.

a) ¿Entre qué límites se hallará la media de inteligencia espacial de los pedagogos universitarios, a un nivel de confianza de 0.99? b) ¿Y con un nivel de riesgo de 0.05?

Solución

a) Si el nivel de confianza es 1-α=0.99, entonces el nivel de riesgo será α=0.01. Bastará sustituir los valores que conocemos en la expresión del intervalo de confianza para el parámetro media. En este caso, la varianza de la población es desconocida, por lo que los límites confidenciales serán:

]1-n

S t +X ,1-n

S t -X[ n1-n ,/2

n1-n ,/2 αα

Calcularemos en primer lugar el valor de t que deja a la derecha un área igual a α/2, para n-1 grados de libertad. Buscando en la tabla de valores para la distribución t de Student, tα/2, n-1=t0.005,25=2.787

Bastará sustituir en la expresión anterior para obtener los límites del intervalo confidencial:

85.574 =1-26

10 2.787+80 =1-n

S t+X

74.426 =1-26

10 2.787-80 =1-n

S t-X

n1-n ,

2

n1-n ,

2

α

α

Por tanto, con una confianza del 99% puedo afirmar que la media de la población se encuentra

comprendida en el intervalo [74.426, 85.574].

b) Con un nivel de riesgo α=0.05, el proceso que debemos seguir es el mismo, con la salvedad de que ahora el valor tα/2,n-1 será otro distinto. Empezaremos por calcular este valor buscando en la tabla de valores de la distribución t de Student. tα/2,n-1=t0.025,25=2.06

El resto del ejercicio se resolvería como en el caso anterior

84.12 =1-26

10 2.06+80 =1-n

S t+X

75.88 =1-26

10 2.06-80 =1-n

S t-X

n1-n ,

2

n1-n ,

2

α

α

Por tanto, con una confianza del 95% puedo afirmar que la media de la población se encuentra

comprendida en el intervalo [75.88, 84.12]. En este caso hemos ganado en precisión (el intervalo es más pequeño), pero hemos perdido en confianza (la confianza es menor).

PROBLEMA 2.

En una población estudiantil en la que la variable adaptación, medida por el Cuestionario de Adaptación para Adolescentes de Bell, posee una varianza de 1.44, hemos extraído una muestra de 164 alumnos y ha sido calculada la media de la variable adaptación, obteniendo el valor 5. ¿Cuál será el intervalo confidencial para la media con un nivel de riesgo 0.05? Solución

Como en el caso anterior, habrá que sustituir los valores correspondientes en la expresión de los límites confidenciales para la media. Al ser la varianza de la población conocida, los límites del intervalo confidencial para la media con una confianza 1-α vienen dados por:

]n

z +X ,n

z -X[ /2/2σσ

αα

Calcularemos en primer lugar el valor de z que deja a la derecha un área igual a α/2. Puesto que el nivel

de riesgo es α=0.05, nos interesa el valor z que deja a su derecha un área de 0.025, o lo que es igual, que delimita a su izquierda bajo la curva un área de 0.975. Trasladando este área a una tabla de valores para la distribución normal, tendremos que ese valor es zα/2=z0.025=1.96.

.

Por otra parte, podemos calcular la desviación típica poblacional puesto que conocemos el valor de la

varianza. Así, σ=√σ2=√1.44=1.2. Bastará sustituir en la expresión anterior para obtener los límites del intervalo confidencial:

5.18 = 164181.96+5 =

n z+X

4.82 = 1641.21.96-5 =

n z-X

2

2

·

·

σ

σ

α

α

Por tanto, la media poblacional para la variable adaptación en los alumnos estará comprendida entre los

valores 4.82 y 5.18, con un nivel de riesgo de 0.05. PROBLEMA 3.

Sabemos que en los últimos años, el peso de los niños nacidos en los hospitales de nuestra ciudad ha variado con una desviación típica 0.23. Sin embargo, no tenemos datos acerca de las niñas. Extraemos una muestra aleatoria de 31 niñas y las pesamos, encontrando una desviación típica de 0.179. ¿Entre qué límites se encontrará la varianza poblacional para las niñas, con una confianza del 95%?

Solución

Bastará encontrar los límites del intervalo confidencial para la varianza. Sabemos que éstos son:

]S n ,S n[2

1-n ,2

-1

2

21-n ,

2

2

χχ αα

Puesto que trabajamos con una confianza del 95%, el valor de α/2 es 0.025 y el de 1-α/2 es 0.975. Comenzaremos por determinar los valores χ2 para (31-1) grados de libertad, que dejan a su derecha áreas de 0.025 y 0.975 respectivamente. Para ello, bastará consultar una tabla correspondiente a la distribución chi-cuadrado, de donde obtenemos:

χ20.025,30 = 46.979

χ20.975,30 = 16.791

Sustituyendo estos valores en la expresión de los límites confidenciales, quedará:

0.021 = 46.979

)(0.179 (31) = Sn 2

20.025,30

2 ··χ

0.059 = 16.791

)(0.179 (31) = Sn 2

20.975,30

2 ··χ

La varianza poblacional del peso de las recién nacidas se encuentra comprendida entre los valores 0.021 y

0.059, con una confianza del 95%. PROBLEMA 4

En un estudio sobre las características técnicas de un test de rendimiento, se ha calculado la varianza de

los respectivos items, pues la varianza alta favorece el poder de discriminación de cada elemento. Si el test fue administrado en una aplicación piloto a 126 sujetos y obtuvimos una varianza de 0.244, ¿entre qué límites se encuentra la varianza del item en la población a la que pertenecen los sujetos? Trabajaremos con una confianza del 99%. Solución

Para una confianza del 99%, tendremos α=0.01 y α/2=0.005. Puesto que generalmente los valores de χ2 para 125 grados de libertad no suelen aparecen en las tablas, nos aproximaremos a los mismos mediante los valores de la distribución normal, usando la expresión:

)2n+z(21= 22

n, ααχ

donde n es el número de grados de libertad. Conociendo z0.995=-2.58 y z0.005=2.58, podremos determinar los valores de χ2:

87.53 = ) 125 2+z(21= 2

0.995 2

0.995,125 ·χ

169.12 = )125 2+z(21= 2

0.0052

0.005,125 ·χ

Con estos valores y la varianza obtenida para el item podremos calcular los límites confidenciales para la

varianza, de acuerdo con la expresión anterior:

0.182 = 169.12

(0.244) (126) = Sn2

0.005,125

2 ··χ

0.351 = 87.53

(0.244) (126) = Sn2

0.995,125

2 ··χ

Con una confianza del 99%, la varianza poblacional para el item estudiado se encontrará en el intervalo

[0.182, 0.351].

BLOQUE B: PROBLEMAS PROPUESTOS 5. Con la idea de conocer el nivel de aceptación con que cuentan las actividades extraescolares de un centro se ha elaborado una escala de opinión, que arroja puntuaciones comprendidas entre 10 (mínima aceptación) y 50 (máxima aceptación). Los resultados de aplicar esta escala en los últimos años permiten establecer la varianza para las puntuaciones en 61.3. Si aplicamos esta escala a un grupo de 28 alumnos elegidos al azar y obtenemos una media de 38.6, ¿entre qué límites se encuentra la media de la escala en la población de alumnos, con una confianza del 95%? 6. A un grupo de 96 alumnos fue administrado un Inventario de Hábitos de Estudio. Si el manual de la prueba afirma que la varianza para este test es de 27.38 y en el grupo examinado hemos encontrado una media de 22.48. ¿cuáles serán los límites confidenciales para el parámetro media, con una confianza del 99%? 7. El examen de Estadística realizado por un grupo de 243 alumnos de Pedagogía arroja una puntuación media de 6.7 y una desviación típica de 2.35. Con un nivel de riesgo del 5%, ¿cuáles serán los límites entre los que se encuentra la media en la población de alumnos de Pedagogía? 8. Estamos interesados en conocer la dispersión que presenta la variable edad en los alumnos que solicitan la admisión en un centro de la Universidad de Sevilla. Con este fin, tomamos una muestra aleatoria de 76 sujetos para los que recogemos el dato edad. Si la desviación típica asciende en este grupo a 3.6 años, ¿entre qué límites se encuentra la desviación típica poblacional, con un nivel de riesgo de 0.01? 9. Los límites confidenciales para la media poblacional de la variable rendimiento, inferidos a partir de una muestra de 39 sujetos, son 8.09 y 8.91, con una confianza del 95%. Si la varianza poblacional es 1.69, ¿cuál será la media alcanzada por la variable en la muestra de 39 sujetos? 10. ¿Con qué confianza podemos afirmar que el intervalo en el que se encuentra la varianza de la variable rendimiento en una población de alumnos es [0.922, 3.284], sabiendo que en una muestra de 21 alumnos extraída de esa población hemos obtenido una varianza de 1.5? 11. En un Instituto de Bachillerato seleccionamos una muestra aleatoria de 21 alumnos. A estos alumnos se les pide que realicen una prueba de Química, obteniendo como puntuación media 26 y como desviación típica 4. ¿Cuál es el intervalo de confianza al 98% para la media de la prueba en los alumnos de todo el Instituto?

SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 5. [35.7 , 41.5]. 6. [21.10 , 23.86]. 7. [6.4 , 7]. 8. [2.99 , 4.59]. 9. 8.5. 10. Confianza del 96%. 11. [3.74, 28.76].