4 ecuaciones e inecuaciones - colegio san vicente de...

18 Unidad 4 | Ecuaciones e inecuaciones

4 Ecuaciones e inecuaciones

ACTIVIDADES INICIALES

4.I. Las palabras más habituales suelen escribirse de forma similar en los idiomas que tienen un origen común. Busca alguna que se escriba de forma similar en varios idiomas europeos.

Hay muchos ejemplos. Madre, en inglés, es mother, y en alemán, mutter. Noche es nacht en alemán, night en inglés, notte en italiano o nuit en francés. Sol es sole en italiano, soleil en francés, etc.

4.II. Uno de los principios de la glotocronología es que cada milenio se sustituye el 14 % de las palabras de un idioma. Suponiendo que una lengua tuviera 100 000 palabras, ¿cuántas se mantendrían tras 5000 años? ¿Qué porcentaje representarían?

≈50,86 0,47 . Se mantendrían el 47 %, unas 47 000 palabras.

4.III. ¿Cuántos idiomas distintos se hablan en tu clase? Si algunos de tus compañeros tienen otra lengua materna, comparadlas e intentad encontrar 10 palabras que sean similares.

Actividad en común.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

4.1. Actividad resuelta.


4.3. Decide si las siguientes expresiones son identidades o ecuaciones:

a) 3(2x – 5) = 2(3x – 5) c) (x2 – 2) = x4 – 4

b) (2x – 3)(2x + 3) = 2x2 – 9 d) 5 3x x x⋅ =

a) Quitando paréntesis a ambos lados: 6x – 15 = 6x – 10. Una ecuación sin soluciones.

b) 4x2 – 9 = 2x2 – 9 es una ecuación cuya solución es x = 0.

c) Es una ecuación sin solución.

d) Es una ecuación cuyas soluciones son todos los números no negativos.

4.4. Copia y completa para que las siguientes expresiones sean identidades.

a) 4(x2 + 2) = (2x + 3)2 – x – b) (2x – 1) · (x + ) = x2 + 5x –

a) Cambiando los espacios por letras:

4(x2 +2) = 4 x2 + 8

(2x + 3)2 – ax – b= 4 x2 + (12 – a) x + 9 – b . Igualando los polinomios, debe ser 12 – 0a = y 9 8b− = . Así pues, la solución es (2x+3)2 – 12x –1

b) (2x – 1) · (x + a) =2x2 + (2a – 1)x– a = bx2 + 5x – c

Obtenemos: 2 = b; 2a – 1 = 5 y –a = –c y la solución es: (2x – 1) · (x + 3) = 2x2 + 5x – 3.

Ecuaciones e inecuaciones | Unidad 4 19

4.5. Decide en cada caso si el valor dado es solución de la ecuación:

a) 3 25( 3) 2 ( 3) 8x x x+ + = − − ; x = –1

b) 12 0x x− + = ; x = 3

c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0; x = –2

Para ello sustituimos x por el valor dado y vemos si obtenemos una igualdad:

a) 5(–1 +3) +2(–1)3 ¿=? (–1 – 3)2 – 8; 10 – 2 ¿=? 16 – 8; 8 =8. Sí es solución.

b) 12 3 3¿ ?0− + = ; 3 + 3 ≠ 0 luego no es solución.

c) –2 (–2 + 1) (–2 + 2) (–2 + 3) = 0; Sí es solución.

4.6. Plantea una ecuación para este problema:

En el bolsillo tengo igual número de monedas de 20 y 50 céntimos. Si en total suman 6,30 euros, ¿cuántas monedas de cada tipo tengo?

Si tengo x monedas de cada tipo, en total tendré 0,20x + 0,50x euros.

La ecuación es: 0,20x + 0,50x = 6,30. Como la solución es x = 9, tengo 9 monedas de cada tipo.

4.7. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 4(x – 3) – 2(3x + 4) = 0 c) 3 2 4 2 132 5 20

x x x+ + −− = +

b) 5 2 ( 4)2 3x x x− = + d) ( )6 3 7 1

4 5 2x x x+

− = −

a) 4x – 12 – 6x – 8 = 0 ⇒ –20 = 2x ⇒ x = –10

b) Comenzamos quitando paréntesis y después multiplicamos por 6:

5 2 5 2 8 16( 4) 6 6 15 6 4 16 5 162 3 2 3 3 5x xx x x x x x x x x − = + ⇒ ⋅ − = ⋅ + ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =

c) Multiplicamos por 20: ( ) ( ) ( )10 3 4 2 4 60 2 1 10 30 8 16 60 2 1x x x x x x+ − + = + − ⇒ + − − = + − .

La ecuación no tiene solución.

d) ( )6 3 720 20· 1 30 4( 3) 70( 1) 30 4 12 70 70 04 5 2x x x x x x x x x+ ⋅ − = − ⇒ − + = − ⇒ − − − + =

2944 58 022

x x− − = ⇒ = −

4.8. Si al doble de un número le resto su mitad, obtengo el mismo resultado que si a 40 le resto dicho número. Halla el número.

Si llamamos x al número, obtenemos la ecuación 2 402xx x− = − cuya solución es x = 16.

El número buscado es 16.


4.9. Halla tres números consecutivos tales que su suma es igual al doble del menor más 10.

Si llamamos x, x + 1 y x + 2 a los números, la ecuación es x + (x + 1) + (x +2) = 2x +10. La solución es x = 7 y, por tanto, los números son 7, 8 y 9.

4.10. Matemago le dice a Andrés: “Piensa un número, réstale 8 y multiplica el resultado por 6.

Ahora súmale 12 y divide el resultado entre 3. ¿Qué número has obtenido?”. “Menos dos”, contesta Andrés.

¿Qué número había pensado Andrés?

Si llamamos x al número que ha pensado Andrés, obtenemos la ecuación: ( 8) 6 12 23

x − ⋅ += − cuya

solución es x = 5. Así que Andrés había pensado el 5.

4.11. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2x2 + 7x – 15 = 0 d) ( )21 1 2 5x x− − = −

b) 2x(x + 3) – (x – 1)2 + 1 = 0 e) 22 5 53

x x x+= +

c) 28( 2) ( 2) 8x x x+ − − = f) 1 ( 1) 17

x x x− = −

a) 2 37 7 4 2 ( 15) 7 49 120 7 13

22 2 4 4 5x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± = = = = ⋅ −

Las soluciones son 32

x = y x = –5.

b) Quitamos paréntesis y reducimos: 2x2 + 6x – x2 + 2x – 1 + 1 = 0 ⇒ x2 + 8x = 0 es una ecuación incompleta. x(x + 8) = 0 ⇒ x = 0 o x + 8 = 0.

Las soluciones son x = 0 y x = – 8.

c) 8x + 16 – x2 + 4x – 4 = 8x ⇒ x2 – 4x – 12 = 0

24 4 4 ( 12) 4 16 48 4 8 622 2 2

x ± − ⋅ − ± + ± = = = = −

d) x2 – 2x +1 – 1 = 2x – 5 ⇒ x2 – 4x +5 = 0 ⇒24 4 4 5 4 42 2

x ± − ⋅ ± −= =

La ecuación no tiene solución.

e) 2 22 5 3 15 2 2 15 0x x x x x+ = + ⇒ + − =

1 312 4 4 2 ( 15) 2 2 31 2

2 2 4 1 312

x

− +− ± − ⋅ ⋅ − − ± = = =

⋅ − −

f) 2 27 7 6 7 0x x x x x− = − ⇒ + − = 6 36 4 ( 7) 6 8 1

72 2x − ± − ⋅ − − ± = = = −


4.12. Si al cuadrado de un número le sumamos su doble, obtenemos el número aumentado en 12 unidades. ¿Cuál es dicho número?

Llamando x al número buscado obtenemos la ecuación x2 +2x = x + 12.

Resolviendo la ecuación x2 +x – 12 = 0 obtenemos x = 3 y x = –4. El número puede ser 3 o –4.

4.13. a) Halla las dimensiones de un rectángulo de área 21 m2 y cuya base mide 4 metros más que la altura.

b)* Halla las dimensiones de un triángulo rectángulo de área 1 m2 sabiendo que uno de sus catetos mide 3 m más que el doble del otro.

a) Llamando x a la altura, la base mide x + 4. Calculando su área obtenemos la ecuación ( 4) 21x x + = .

Resolviendo la ecuación x2 + 4x – 21 = 0 obtenemos las soluciones x = 3 y x = –7. Descartamos la solución negativa y tenemos que la altura mide 3 cm y la base 4 cm.

b) Llamando x al otro cateto, el otro mide 2x – 3. Calculando su área obtenemos la ecuación

2 21 x (2x – 3) 1 2 3 2 2 3 2 02

x x x x= ⇒ − = ⇒ − − =

Resolviendo la ecuación obtenemos las soluciones 1 y 22

x x= − = . Descartamos la solución

negativa y tenemos que un cateto vale 2 m y el otro 1 m.

4.14. (TIC) Resuelve estas ecuaciones.

a) (x– 3)(x + 4)(2x – 1) = 0 d) 2x2(x2 + 6) = 45 – x2

b) 2x6 + 5x5 + 15x3= 22x4 e) 2 21 ( 3) 24 2

x x x− +− =

c) x4 – x3 + 2x2 – 4x = 8

a) Las soluciones son x = 3, x = –4 y 12

x = .

b) Sacamos x3 factor común: x3 (2x3 +5x2– 22x + 15)= 0 y aplicamos Ruffini con 1:

x (x–1) (2x2 + 7x–15) =0. Resolvemos la ecuación de 2.º grado y obtenemos todas las soluciones

x = 0; x = 1; x = –5 y 32

x = .

c) Hacemos Ruffini con 2 y con –1 y obtenemos (x – 2) (x +1) (x2 + 4) = 0. Como la ecuación de segundo grado obtenida no tiene solución, las soluciones de la ecuación son x = 2 y x = –1.

d) Quitamos paréntesis, pasamos todo a un miembro y obtenemos la ecuación bicuadrada:

2x4 + 13x2 – 45 = 0. Llamando y = x2 resolvemos 2y2 + 13y – 45 = 0: y = –9 e 52

y = .

La primera solución no nos sirve, de la segunda obtenemos las soluciones 52

x = y 52

x = − .

e) Sacamos común denominador, 4, y multiplicamos por 4:

2 2 3 21 2 ( 3) 8; 2 6 9 0x x x x x x− − + = − + + = . Aplicamos Ruffini con –1: (x+ 1)(2x2 – 3x + 9) =0. Como la ecuación 2x2 – 3x + 9 =0 no tiene soluciones, la única solución es x = –1.


4.15. Escribe una ecuación de cuarto grado cuyas soluciones sean x = 0, x = 2, x = –2 y x = 5.

Todas las posibles ecuaciones son de la forma ax (x – 2) (x + 2) (x– 5) = 0.

Tomando a = 1 y quitando paréntesis queda x4 − 5x3 − 4x2 + 20x = 0.

4.16. ¿Cuántos números verifican que si les sumamos la cuarta parte de su cubo obtenemos su cuadrado?

Llamando x al número, obtenemos la ecuación 3

2

4xx x+ = .

Quitando denominadores y agrupando, obtenemos la ecuación x3 – 4x2 + 4x = 0 y, sacando x como factor común: x(x2 – 4x + 4) = 0.

Tenemos dos posibilidades: x = 0 o x2 – 4x + 4 = 0, cuya solución doble es x = 2.

Así pues, hay dos números que verifican el enunciado: x = 0 y x = 2.

4.17. Sabiendo que x = 5 es una solución de las siguientes ecuaciones, encuentra las demás.

a) x5 – 5x4 + 4x3 – 20x2 – 45x + 225 = 0

b) x4 + 20x = 3x3 + 14x2

a) Hacemos Ruffini con 5 y obtenemos (x – 5) (x4 + 4x2 – 45) = 0.

Resolvemos la ecuación bicuadrada x4 + 4x2 – 45 = 0 haciendo el cambio y = x2 y obtenemos

24 4 4 ( 45) 4 14 5

92 2y − ± − ⋅ − − ± = == = −

.

De y = –9 no obtenemos soluciones y de y = x2 = 5 obtenemos x = 5 y x = 5− .

Todas las soluciones de la ecuación son x = 5; x = 5 y x = 5− .

b) 4 3 2-3 -14 20 0x x x x+ = .

Sacando factor común x y aplicando Ruffini con 5 tenemos x (x – 5) (x2 +2x – 4) =0.

Las soluciones de x2 +2x – 4 =0 son 2 4 16 2 20 1 52 2 1 5

x− ± + − ± − += == =

− −.

Las soluciones de la ecuación son x = 0; x = 5; x = 1 5− + y x = 1 5− − .

4.18. Actividad interactiva.




a) 3 1 3

1x xx

−= +

− b) 2 0

1 1 3x x x

x x− + =

+ − c)

2

23 1 2 3

2 2 4x x

x x x−

+ =− + −

a) 3 1 31

x xx

−= +

−. Multiplicamos por x – 1: 3x – 1 = (x – 1) (x + 3). Resolvemos la ecuación de 2.º

grado x2 – x – 2 = 0 y obtenemos las soluciones x = 2 y x = –1. Como ninguna de ellas anula los denominadores, ambas son solución.

b) 2 01 1 3

x x xx x

− + =+ −

. Multiplicamos por 3(x + 1) (x – 1): 3x(x – 1) – 6x(x + 1) + x(x +1) (x – 1) = 0.

Resolvemos la ecuación x3 – 3x2 – 10x = 0. Sacamos como factor común x y resolvemos la ecuaciónx2 – 3x – 10 = 0, cuyas soluciones son x = 5 y x = –2. Como ninguna de las soluciones obtenidas anula los denominadores, la ecuación tiene tres soluciones: x = 0, x = 5 y x = –2.

c) 2

2

3 1 2 32 2 4

x xx x x

−+ =

− + − Como x2 – 4 = (x + 2) (x – 2), multiplicamos por x2 – 4:

(3x – 1)(x + 2) + 2(x – 2) = 3x2. Obtenemos una ecuación lineal: 7x – 6 = 0, cuya solución es 67

x = y, como no anula los denominadores de la ecuación inicial, es la solución buscada.

4.21. *Unos amigos fueron a cenar y entre todos pagaron 437 €. Otro día fueron siete amigos más y pagaron 598 €. Si todos pagaron lo mismo ambos días, ¿cuántos eran y cuánto costaba el menú?

Llamando x al número de amigos que asistieron el primer día, sabemos que cada cena cuesta 437x

euros.

Como el segundo día asistieron x + 7 amigos y cada uno pagó esa cantidad, tenemos la ecuación:

( )437 7 598xx

+ = . Quitando paréntesis, tenemos 3059437 598x

+ = . Multiplicando la ecuación por x

y reagrupando, obtenemos la ecuación 161x – 3059 = 0, cuya solución es x = 19. Así pues, el primer día asistieron 19 amigos y cada uno pagó 23 euros por la cena.

4.22. *La suma de los inversos de dos números consecutivos es 56

. ¿Qué números son?

Sean los números consecutivos x y x + 1:

1 1 51 6x x

+ =+

. Resolvemos la ecuación.

2 26( 1) 6 5 ( 1) 6 6 6 5 5 5 7 6 0x x x x x x x x x x+ + = + ⇒ + + = + ⇒ − − =

220 27 7 4 5 ( 6) 7 49 120 7 13 10

6 32 5 10 1010 5

x

=+ ± − ⋅ ⋅ − + ± + + ± = = = = ⋅ − = −

Pero para hablar de números consecutivos, éstos han de ser enteros, por lo que la solución son los números 2 y 3.



4.24. (TIC) Resuelve estas ecuaciones:

a) 7 3 1x x+ − = c) 2 2 1 11x x+ − =

b) 9 2 1x x+ − + = d) 2 3 2 5x x− = + −

Para resolver ecuaciones con radicales, aislamos la raíz y elevamos al cuadrado. Una:

a) ( ) ( )2 27 3 1x x− = − 2 27 3 1 2 6 0x x x x x⇒ − = − + ⇒ + − = ;

1 1 4 ( 6) 1 5 232 2

x − ± − ⋅ − − ± = = = −

Comprobamos las soluciones: si x = 2; 2 7 6 1+ − ≠ . Si x = -3; 3 7 9 1− + + = . La solución de la ecuación es x = –3.

b) ( ) ( )2 29 1 2x x+ = + + ( )229 1 2 2 2; 6 2 2; 3 2x x x x x⇒ + = + + + + = + = + ;

9 = x + 2; x = 7. Comprobamos: 7 9 7 2 1+ − + = . La solución de la ecuación es x = 7.

c) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 1 11 4 2 1 121 22 30 125 0x x x x x x x− = − ⇒ − = − + ⇒ − + =

30 900 4 125 30 20 2552 2

x ± − ⋅ ± = = =

Comprobamos: si x = 25, 25 2 2 25 1 11+ ⋅ − ≠ .

Si x = 5 5 2 2 5 1 11+ ⋅ − = . La única solución es x = 5.

d) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 3 2 5 ; 2 3 4 4 5 5; 2 4 5 ;x x x x x x x− = + − − = + − + − − = −

2 2 20 400 4 84 20 8 144 4 16( 5); 20 84 0;62 2

x x x x x x ± − ⋅ ± − + = − − + = = = =

Si x = 14; 2 14 3 2 14 5⋅ − = + − . Si x = 6; 2 6 3 2 6 5⋅ − = + − .

Las soluciones de la ecuación son x = 14 y x = 6.

4.25. Para ir de una esquina a la opuesta de un jardín rectangular que es 10 metros más ancho que largo, María va por la acera que lo rodea y su hermano va por el camino diagonal. Si María recorre 20 metros más que su hermano, ¿cuál es el área del jardín?

Si llamamos x al ancho del parque, María recorre x + (x + 10) = 2x + 10 metros y su hermano recorrerá 2x – 10 metros. Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación: 2 2 2( 10) (2 10)x x x+ + = − .

Quitamos paréntesis y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

2 2 220 100 4 40 100x x x x x+ + + = − + ; 22 60 0x x− = cuyas soluciones son x = 0 y x = 30. Así pues, las dimensiones del jardín, en metros, son 30 x 40 y su área 1200 m2.



4.27. *A partir de la desigualdad 6x – 12 < 18, copia y completa como en el ejemplo:

Resto 6 6x – 18 < 12

………. 12x – 24 36

.……… 4x – 22 8 – 2x

……… .–2x + 4 –6

Multiplico por 2 12x – 24 < 36

Sumo (–2x –10) 4x – 22 < 8 – 2x

Divido entre –3 –2x + 4 > –6

4.28. En cada caso, da, si es posible, dos valores de x que cumplan ambas condiciones.

a) x ≥ 5 y x < 10 c) x < 3 y x > 2

b) x > 3 y x > 2 d) x < 12 y x > 27

a) [5, 10) b) (3, +∞) c) (2, 3) d) No hay valores de x.

4.29. Plantea ecuaciones o inecuaciones.

a) Tres cafés cuestan más de 4 euros.

b) Cuatro vasos de agua son menos de 1 L.

c) Un bollo cuesta 1,20 € y por tres cafés y un bollo he pagado 5,70 euros.

d) El perímetro de un triángulo equilátero es de más de 10 cm.

a) 3x > 4 b) 4x < 1 c) 3x + 1,2 = 5,7 d) 3x > 10

4.30. Escribe como semirrectas o intervalos.

a) x ≥ –3 d) 8 >x

b) –5 ≤ x < 7 e) 7 < x y x ≥ 9

c) x < 7 y x > –8 f) x < –3 y x ≥ 1

a) [–3, +∞) d) (–∞, 8)

b) [–5, 7) e) [9, +∞)

c) (–8, 7) f) No hay.

4.31. Escribe como desigualdades estos intervalos.

a) (–∞, –7) b) [3, 8) c) (–4, –3]

a) x < –7 b) 3 ≤ x < 8 c) –4 < x ≤ –3


4.32. (TIC) Resuelve las inecuaciones.

a) 3(x – 5) + 2 ≥ 4(x – 2)

b) 3 1 2 3 52 3 6

x x x− + +− ≤

c) 1 2 42 6 2

x x x+ − −− <

d) 3x – 5 < 7 y 5x – 1 ≥ 14

e) 2x + 5 ≤x + 4 < 3 – 2x

Al resolver inecuaciones hay que recordar que multiplicar o dividir por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad.

a) 3(x – 5) + 2 ≥ 4(x – 2) ⇒ 3x – 15 + 2 ≥ 4x – 8 ⇒ – 5 ≥ x

b) 3(3x – 1) – 2(2x + 3) ≤ x + 5 ⇒ 9x – 3 – 4x – 6 ≤ x + 5 ⇒ 4x ≤ 14 ⇒72

x ≤

c) 1 2 4

2 6 2x x x+ − −

− < ⇒ 3(x + 1) – (x – 2) < 3(x – 4) ⇒ 3x + 3 – x + 2 < 3x – 12 ⇒ 17 <x

d) 3x – 5 < 7 y 5x – 1 ≥ 14 ⇒ 3x < 12 y 5x ≥ 15 ⇒ x < 4 y x ≥ 3 ⇒ 3 ≤ x < 4

e) 2x + 5 ≤ x + 4 < 3 – 2x ⇒ 2x + 5 ≤ x + 4 y x + 4 < 3 – 2x ⇒ x≤ –1 y 3x < –1 ⇒ x ≤ –1 y x < –1/3 ⇒x ≤ –1

4.33. ¿Qué condiciones debe cumplir un lado de un triángulo si los otros dos lados miden 2 y 5 cm?

La condición que tiene que cumplirse es que cada lado sea menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia. Así, llamando x al lado que falta debe cumplirse:

2 5 7 3 75 2 3

x xx

< + = ⇒ < <> − =

4.34. Un ascensor soporta una tonelada. Álvaro quiere subir cajas y sacos. Las cajas pesan 35 kilos más que los sacos. Cuando lleva metidos cinco de cada uno, al meter otra caja salta la alarma, así que la cambia por un saco y no hay problemas. ¿Entre qué valores se encuentra el peso de un saco?

Si un saco pesa x kilos, una caja pesará x + 35 kilos.

5x + 6 (x + 35) > 1000 y 6x + 5(x + 35 )< 1000

Así pues, 11x > 790 y 11x < 825. Tenemos 790 82571,8 7511 11

x≅ < < = .

Un saco pesa entre 72 y 75 kilos aproximadamente.




4.37. Quería repartir 400 euros entre cierto número de personas. El día del reparto faltaron 5 personas y así a cada una le correspondieron 4 euros más de lo que en un principio iba a ser. ¿Cuántas personas había al inicio?

Si al principio había x personas, a cada una le hubieran correspondido 400x

euros. Al faltar 5, cada

una recibió 400x

+ 4 euros.

Así pues, 400( 5) 4 400xx

− ⋅ + =

.2000 2000400 4 20 400; 4 20 0x x

x x+ − − = − − =

Multiplicando por x tenemos 24 20 2000 0x x− − = .

Resolvemos la ecuación equivalente 2 5 500 0x x− − = cuyas soluciones son x = 25 y x = –20. Así pues, al inicio había 25 personas.

4.38. Si aumentamos los lados de un cuadrado en 2 metros, su área aumenta 28 m2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Si el lado del cuadrado inicial es x, su área es x2.

Al aumentar 2 metros el lado tenemos que (x + 2)2 = x2 +28.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación lineal 4x + 4 = 28 y, por tanto x = 6.

4.39. Un estudiante obtuvo en cuatro exámenes estas notas: 7, 7, 6 y 5. Si después de hacer el quinto examen su nota media no llegó al 6, ¿aprobó el último examen?

Si en el último examen obtuvo x puntos, la nota media es 7 7 6 5 65

x+ + + +< .

Resolviendo la inecuación tenemos que 25 + x < 30; x < 5, así pues, el alumno no aprobó el último examen.

4.40. En una cena, cada dos comensales compartieron un plato de arroz; cada tres comensales, uno de ternera con bambú, y cada cuatro, uno de gambas. Si en total se comieron 65 platos, ¿cuántos invitados había en la fiesta?

Si x es el número de comensales, había 2x platos de arroz,

3x platos de ternera con bambú y

4x

platos de gambas. Así pues, 652 3 4x x x

+ + = .

Multiplicando por 12 tenemos 6x + 4x + 3x = 780. x = 60.

Había 60 invitados.


4.41. Si aumentamos en un centímetro el lado de un cajón cúbico, su volumen aumenta en 37 cm3. ¿Cuánto mide el lado del cubo pequeño?

Si x es el lado del cubo inicial, su volumen es x3. Al aumentar un centímetro el lado su volumen será (x + 1)3 y obtenemos la ecuación (x + 1)3 = x3 + 37.

Elevamos al cubo con cuidado y obtenemos x3 + 3x2 +3x + 1 = x3 + 37, que da lugar a la ecuación de segundo grado 3x2 +3x – 36 = 0, equivalente ax2 + x – 12 = 0, cuyas soluciones son 3x = y 4x = − .

El lado del cubo pequeño mide 3 cm.

4.42. Mi vecina, que es muy presumida, no quiere confesar su edad, pero dice lo siguiente: “Dentro de 13 años tendré el doble de la edad que tenía hace 20 años”. ¿Sabes cuántos años tiene?

Si actualmente tiene x años, dentro de 13 tendrá x + 13y hace 20 tenía x – 20, lo que nos da la ecuación x + 13= 2(x – 20), cuya solución es x = 53. Así pues, mi vecina tiene actualmente 53 años.

EJERCICIOS

Identidades y ecuaciones

4.43. Razona si las siguientes expresiones son identidades o ecuaciones.

a) 2(x–3) = 2x– 6

b) x3 = 3x

c) 2 9 3x x+ = +

d) (x – 2) + (3x + 2) + x = 5x

e) (4x – 2)2 = 4x2 – 16x + 4

f) 2 ( 2)( 2)

2 2x x x

x x+ −

− =

Para saber si son ecuaciones o identidades, quitamos paréntesis y reducimos en ambos miembros.

a) 2x – 6 = 2x – 6. Identidad

b) Ecuación

c) Elevando al cuadrado tenemos que x2 + 9 = x2 +6x + 9. Ecuación

d) 5x = 5x.Identidad

e) Identidad

f) Sacando común denominador 2 24 42 2

x xx x− −

= . Identidad


4.44. Expresa en forma de ecuación.

a) Un número más su doble más su mitad es igual a 14.

b) Tres múltiplos de 5 consecutivos suman 165.

c) Un padre dobla en edad a su hijo y entre los dos suman 75 años.

d) La mitad de una parcela menos 200 metros cuadrados es igual a la tercera parte de la parcela original.

a) 2 142xx x+ + =

b) 5x + (5x + 5) + (5x + 10) = 165 o (5x – 5) +x + (5x + 5) = 165

c) x + 2x = 75

d) 2002 3x x

− =

4.45. Decide si los valores dados son soluciones de las ecuaciones.

a) x2 + 3x – 4 = 0 x = – 4 y x = 3

b) (x – 1)4 – 2(x + 6 ) = 6 x = 12

y x = –1

c) 8 2x x= + − x = – 4 y x = 1

d) 4(3x2 + 2) = 2(5 – x) x = 12

− y x = 13

Para saber si son o no solución tenemos que sustituir el valor de la x por el número dado en cada miembro de la ecuación y ver si obtenemos una igualdad.

a) x = –4, sí, pues 0= 0

x = 3, no, pues 14 ≠ 0

b) x = 12

, no, pues 1 20713 616 16

− = − ≠

x = –1, sí, pues 6 =6

c) x = –4, no, pues –4 ≠ 0

x = 1, sí, pues 1 = 1

d) x = 12

− , sí, pues 11 = 11

x = 13

, sí, pues 28 283 3

=


4.46. Escribe estos enunciados en lenguaje algebraico utilizando una sola incógnita.

a) La suma de los cuadrados de tres números impares consecutivos es 42.

b) Un tercio del cuadrado de la edad que tenía hace tres años es 26.

a) Sean 2x + 1, 2x + 3 y 2x + 5 los números impares consecutivos. Entonces la ecuación sería:

(2x + 1)2 + (2x + 3)2 + (2x + 5)2 = 42.

b) Sea x la edad actual. La ecuación viene dada por:

2( 3) 26

3x −

= .

Ecuaciones polinómicas de primer grado

4.47. (TIC) Resuelve estas ecuaciones lineales.

a) 4 3 7 19x x− + = − e) 3 2 1 1 5 26 3 4 12 3

x x x+ − −+ + = −

b) 3 1 5 264 2x x−

+ = − + f) 5 1 2

2x

x+

= −

c) 5(2 1) 3 2 (6 4) 7x x x− − + − = − − + g) 6 2( 3) 8

7 4xx

− −= −

d) 4 3 95 1 16

xx

−=

+

a) 4 3 7 19 11 22 2x x x x− + = − ⇒ = ⇒ =

b) 3 1 5 26 3 2 20 104 17 102 64 2

x x x x x x−+ = − + ⇒ − + = − + ⇒ = ⇒ =

c) ( ) ( )5 2 1 3 2 6 4 7 10 5 3 2 6 4 7 8x x x x x x x− − + − = − − + ⇒ − + + − = − + + ⇒ = −

d) 16(4 3) 9(5 1) 64 48 45 9 19 57 3x x x x x x− = + ⇒ − = + ⇒ = ⇒ =

e) 3 2 1 1 5 2 2 6 8 4 3 5 8 26 3 4 12 3

x x x x x x x+ − −+ + = − ⇒ + + − + = − − ⇒ = −

f) 5 1 12 5 1 4 9 12 9x x x x x

x+

= − ⇒ + = − ⇒ = − ⇒ = −

g) 6 2( 3) 8 12 2 2 12 2 14 12 12 17 4 7

x x x x x xx x

− − −= − ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ = − ⇒ = −


4.48. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.

a) ( ) ( )4 24 5 63 2 25 10 2

xx xx− +− +

− − + − =

b) 3(2 5) 8 6 (5 3)2xx x x− + − = − +

c) 3( 3) 2(2 3 ) 8 1 2( 3)

2x x x x+

− − = − − +

d) 3( 2) 2 4 3 162( 3 1)5 5 15 3

x xx− − ++ − + − = +

Se multiplica en todos los casos por el m.c.m. de los denominadores para quitarlos.

a) m.c.m. = 10: 2( 4) 60 60 ( 4 2) 5(5 6)x x x x− + − − − + = + .

1002 8 60 60 4 2 25 30 41x 10041

x x x x x− + − + − = + ⇒ = ⇒ =

b) m.c.m. = 2: 3612 30 16 12 10 6 37 3637

x x x x x x− + − = − − ⇒ = ⇒ = .

c) m.c.m. = 2: 3 9 8 12 16 2 4 12 3 15 5x x x x x x+ − + = − − − ⇒ = − ⇒ = − .

d) m.c.m. = 15: 9 18 90 30 6 4 3 80 77 77 1x x x x x− − + − = − + + ⇒ = − ⇒ = − .

4.49. José ha ganado un premio. Si lo reparte entre sus nietos, cada uno recibirá 3000 euros, pero si lo distribuye entre sus hijos, que son dos menos, cada uno tocará a 1000 euros más.

¿Cuántos nietos tiene José?

¿Cuánto dinero ha ganado en el premio?

Sea x el número de nietos. Por tanto, x– 2 es el número de hijos.

Se iguala el premio cuando lo reparte entre hijos o nietos,

3000 4000( 2) 3000 4000 8000 8x x x x x= − ⇒ = − ⇒ = .

José tiene 8 nietos, y la cuantía del premio son 24 000 €.

4.50. Varios compañeros de trabajo aciertan una porra y cada uno gana 15 euros. Si hubieran tenido que compartir el premio con 4 personas más, habrían tocado a 3 euros menos cada uno.

¿Cuántos compañeros jugaban la porra?

Sea x el número de compañeros que jugaban la porra.

12( 4) 15 12 48 15 3 48 16x x x x x x+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ Jugaban la porra 16 compañeros.

4.51. Un padre tiene 50 años, y su hijo, 20. ¿Cuántos años hace que la edad del hijo fue la tercera parte de la del padre?

x = número de años que han pasado.

50 20 50 60 3 2 10 53

x x x x x x−= − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ hace 5 años.


4.52. ¿Cuál es el número natural cuya cuarta parte es igual a la mitad del número anterior?

Sea x el número buscado: 1 2 4 4 2 4 24 2x x x x x x−

= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ el número buscado es el 2.

Ecuaciones polinómicas de segundo grado

4.53. Clasifica en tu cuaderno las siguientes ecuaciones de segundo grado según el número de soluciones distintas que tengan.

a) 5x2 + 6x + 2 = 0

I. Sin solución

b) –3x2 + 4x + 5 = 0

II. Una solución

c) x2 – 6x + 1 = 0

III. Dos soluciones

d) x2 – 5 = 0

a) b2 – 4ac = 36 – 4 · 5 · 2 < 0 ⇒ I c) b2 – 4ac = 36 – 4 · 1 · 1 > 0 ⇒ III

b) b2 – 4ac = 16 – 4 · (–3) · 5 > 0 ⇒ III d) b2 – 4ac = 0 – 4 · (–5) · 1 > 0 ⇒ III

4.54. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 26 11 3 0x x− + = d) 22 2 24 0x x+ + =

b) 2 6 7 0x x− − = e) 23 5 0x x+ + =

c) 2 6 9 0x x− + = f) 24 4 1 0x x+ + =

a) 211 ( 11) 4 6 3 11 7 3 1y

2 6 12 2 3x x x± − − ⋅ ⋅ ±

= = ⇒ = =⋅

b) 26 ( 6) 4 1 ( 7) 6 8 7 y 12 1 2

x x x± − − ⋅ ⋅ − ±= = ⇒ = = −

⋅

c) 26 ( 6) 4 1 9 6 0 3

2 1 2x ± − − ⋅ ⋅ ±

= = =⋅

. Raíz doble

d) x2 + x + 12 = 0 ⇒21 1 4 1 12 1 1 48 .2 1 2

x ± − ⋅ ⋅ ± −= =

⋅ No tiene solución.

e) 21 1 4 3 5 1 592 3 6

x − ± − ⋅ ⋅ − ± −= =

⋅. No tiene solución.

f) 24 4 4 4 1 4 0 1

2 4 8 2x − ± − ⋅ ⋅ − ± −

= = =⋅

. Raíz doble


4.55. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula general.

a) 23 27 0x − = d) 2 57 02

x x− + =

b) 2 2 1 0x x+ + = e) 2( 2) 25 0x − − =

c) 24 1 4x x+ = f) 2 2( 4) (2 3) 0x x+ − − =

a) 3x2 = 27 ⇒x2 = 9 ⇒ 3x = ± .

b) x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)2 = 0 ⇒x + 1 = 0 ⇒x = –1. Raíz doble

c) ( )22 14 1 4 2 1 02

x x x x+ = ⇒ − = ⇒ = . Raíz doble

d) 57 02

x x − + =

⇒x = 0 y –7x + 52

= 0 ⇒x = 514

e) (x – 2)2 = 25⇒x – 2 = 5 ⇒x = 7yx – 2 = –5 ⇒x = –3

f) 2 21

( 4) (2 3) 0 ( 4 2 3) ( 4 2 3) 0 (3 1) (7 ) 0 37

xx x x x x x x xx

=+ − − = ⇒ + + − ⋅ + − + = ⇒ + ⋅ − = ⇒ =

4.56. Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de manos fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?

En la reunión hay x personas. Cada persona da la mano a x – 1 personas.

( ) 2 1 1 4·( 132)( 1) 1 23 1266 1 =132 132 0112 2 2

x x xx x x x xx

± − −− ± == ⇒ − ⇒ − − = ⇒ = = ⇒ = −

Concurrieron 12 personas.

4.57. Si se suman dos múltiplos consecutivos de 5 y al resultado se le resta 5, se obtiene un número 20 veces menor que si se multiplican ambos números. Averigua de qué números se trata.

Los múltiplos de 5 consecutivos son (5x) y (5x + 5).

[ ] 2 220 5 (5 5) 5 5 (5 5) 20 10 5 25 25 175 0 ( 7) 0x x x x x x x x x x x⋅ + + − = + ⇒ ⋅ = + ⇒ − = ⇒ − =

Los posibles valores de x son: 0x = y 7x = .

Por tanto los números buscados son o bien 35 y 40, o bien 0 y 5.


4.58. Comprueba que en las ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0x bx c+ + = , que tienen dos soluciones, b es la suma de las soluciones cambiada de signo y c es el producto de las soluciones. A continuación, resuelve mentalmente:

a) 2 7 12 0x x− + = b) 2 3 10 0x x+ − =

Las dos soluciones de la ecuación son x p= y x q= , la ecuación es equivalente a ( ) ( ) 0x p x q− ⋅ − =.

Quitando paréntesis tenemos x2 – (p + q) x + p·q = 0 y, por tanto b = - (p + q) y c = p·q.

a) Si las soluciones son enteras, busco dos números enteros que multiplicados den 12 y sumados den 7. Para que el producto sea 12 pueden ser: 1 y 12, –1 y –12, 2 y 6, –2 y –6, 3 y 4 o –3 y –4. La única pareja que suma 7 es 3 y 4 luego las soluciones son x = 3 y x = 4.

b) Para que el producto sea –10 tenemos: –1 y 10; 1 y –10; –2 y 5; 2 y –5. Como la suma debe ser –3, la única posibilidad es 2 y –5 luego las soluciones son x = 2 y x = –5.

Otras ecuaciones polinómicas

4.59. (TIC) Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) 3 25 6 0x x x− + = e) 4 3 22 5 5 3x x x x+ = − +

b) 3 5 2 0x x− − = f) 4 3 22 6 32 96x x x x− = −

c) 2 2( 4) 8x x x x− = + g) ( 5)(2 7)( 3) 0x x x− + + =

d) 2012 2011 0x x− = h) 5 33 4 0x x x− − = Para resolver ecuaciones polinómicas comenzamos factorizando el polinomio.

a) 3 25 6 0x x x− + = ⇒ x(x2 – 5x + 6) = 0 ⇒ x = 0 o x2 – 5x + 6 = 0

Las soluciones son x = 0; x = 3 y x = 2.

b) 3 5 2 0x x− − = ⇒ (x + 2)(x2 – 2 x – 1) = 0

Las soluciones son x = –2; 1 2 y 1 2x x= + = − .

c) ( )2 24 8x x x x− = + ⇒ x3 – x2 – 12x = 0 ⇒ x (x2 – x – 12) = 0 ⇒ x = 0 o x2 – x – 12 = 0

Las soluciones son x = 0; x =4 y x = –3.

d) 2012 2011 0x x− = ⇒ x2011 (x – 1) = 0 ⇒ x2011 = 0 o x – 1 = 0. Las soluciones son x = 0 y x = 1.

e) 4 3 22 5 5 3x x x x+ = − + ⇒ 2x4 + 5x3 – x2 + 5x – 3 = 0 ⇒ (x + 3) (2x3 – x2 + 2x – 1) = 0 ⇒

21( 3) (2 2) 02

x x x + − + =

Las soluciones son x = –3 y 12

x = .

f) ( )4 3 2 4 3 2 3 22 6 32 96 2 6 32 96 0 2 3 16 48 0x x x x x x x x x x x x− = − ⇒ − − + = ⇒ − − + =

( )( )( )3 20 o 3 16 48 3 4 4 0x x x x x x x= − − + = − + − =

Las soluciones son x = 3 y x = 4 y x = –4.

g) ( )( )( )5 2 7 3 0x x x− + + = . Las soluciones son x = –3, x = 72

− y x = 5.

h) 5 3 4 2 4 2 2 23 4 0 ( 3 4) 0 0 o 3 4 ( 4)( 1) 0x x x x x x x x x x x− − = ⇒ − − = ⇒ = − − = − + =

Las soluciones son x = 0, x = –2 y x = 2.



a) 4 25 4 0x x− + =

b) 4 210 9 0x x+ + =

c) 4 24 12 0x x− − =

d) 4 22 6 30 0x x− − = Todas las ecuaciones son bicuadradas o se resuelven haciendo un cambio conveniente:

a) 4 25 4 0x x− + = y = x2 ⇒ y2 – 5y + 4 = 0⇒5 25 4 4 5 3 4

12 2y ± − ⋅ ± = = =

Si x2 = 4; x = 2 o x = –2. Si x2 = 1; x = 1 o x = –1. Las soluciones son: x = 2; x = –2, x = 1 y

x = –1.

b) 4 210 9 0x x+ + = y= x2 ⇒ y2 + 10y + 9 = 0 ⇒ 10 100 4 9 10 8 192 2

y − ± − ⋅ − ± −= = = −

De x2 = –1 no obtenemos solución y de x2 = –9 tampoco. La ecuación no tiene solución.

c) 4 24 12 0x x− − = ; y= x2 ⇒ y2 – 4y – 12 = 0 ⇒4 16 4 ( 12) 4 8 6

22 2y ± − ⋅ − ± = = = −

Si x2 = 6; 6x = o 6x = − . De x2 = –2 no obtenemos soluciones.

Las soluciones son: 6x = y 6x = − .

d) 4 22 6 30 0x x− − = y= x2 ⇒ y2 – 3y – 15 = 0 ⇒

3 693 9 4 ( 15) 3 69 2

2 2 3 692

y

+± − ⋅ − ± = = =

−

De 2 3 692

x += obtenemos las soluciones 3 69

2x +

= y 3 692

x += − .

De 2 3 692

x −= no obtenemos solución. Las soluciones son: 3 69

2x +

= y 3 692

x += − .


4.61. (TIC) Utiliza las igualdades notables y la factorización para encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 3 28 12 6 1 0x x x+ + + = c) 225 9 0x − =

b) 5( 3)( 6)( 1) 0x x x+ − + = d) 5 316 0x x− =

a) 3 28 12 6 1 0x x x+ + + = Recordemos que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (2x + 1)3 =0; 12

x = − .

b) 5( 3)( 6)( 1) 0x x x+ − + = Las soluciones son x = –3, x = 6 y x = –1.

c) 225 9 0x − = ⇒ (5x + 3)(5x – 3) = 0 ⇒ 35

x = − y 35

x =

d) 5 316 0x x− = ⇒ x3 (x2 – 16) = x3 (x + 4) (x – 4) = 0 ⇒ x = 0, x = –4 y x = 4

4.62. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando un cambio de variable.

a) 4 213 36 0x x− + = d)

6 32 1 0x x− + =

b) 4 23 15 12 0x x− + = e)

8 417 16 0x x− + =

c) 6 37 8 0x x− − = f)

10 531 32 0x x− − =

a) 4 213 36 0x x− + = ⇒y= x2;y2 – 13y + 36 = 0; 13 169 4 36 13 5 942 2

y ± − ⋅ ± = = =

Si x2 = 9; x = 3 o x = –3. Si x2 = 4, x = 2 o x = –2.

Las soluciones son: x = 3; x = –3; x = 2 y x = –2.

b) 4 23 15 12 0x x− + = ⇒ y = x2; y2 – 5y + 4 = 0; 5 25 4 4 5 3 412 2

y ± − ⋅ ± = = =

.

Si x2 = 4; x = 2 o x = –2. Si x2 = 1; x = 1 o x = –1.

Las soluciones son: x = 2; x = –2, x = 1 y x = –1.

c) 6 37 8 0x x− − = ⇒ y = x3; y2 – 7y – 8 = 0; 7 49 4 ( 8) 7 9 8

12 2y ± − ⋅ − ± = = = −

.

Si x3 = 8; x = 2. Si x3 = –1 x = –1.

Las soluciones son: x = 2 y x = –1.

d) 6 32 1 0x x− + = ⇒ y = x3; y2 – 2y + 1 = 0; 2 4 4 1 2 0 12 2

y ± − ⋅ ±= = = .

Si x3 = 1; x = 1. La solución es: x = 1.

e) 8 417 16 0x x− + = ⇒ y = x4; y2 – 17y +16 = 0; 217 17 4 16 17 15 16

12 2y ± − ⋅ ± = = =

.

Si x4 = 16; x = 2 o x = –2. Si x4 = 1, x = 1 o x = –1.

Las soluciones son: x = 2; x = –2, x = 1 y x = –1.

f) 10 531 32 0x x− − = ⇒ y = x5; y2 – 31y – 32 = 0; 231 31 4 ( 32) 31 33 32

12 2y ± − ⋅ − ± = = = −

.

Si x5 = 32; x = 2. Si x5 = –1, x = –1.Las soluciones son: x = 2 y x = –1.


4.63. (TIC) Factoriza y luego resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3 22 4 18 36 0x x x− + + − = c) 4 3 23 3 12 12 0x x x x− + + − =

b) 3 24 24 48 32 0x x x− + − = d) 4 3 26 5 43 70 24 0x x x x− − + − = a) 3 22 4 18 36 0x x x− + + − = –2(x3 –2x2 – 9x + 18) = 0, –2(x – 2) (x + 3) (x – 3) = 0

Las soluciones son x = 2, x = –3 y x = 3.

b) 3 24 24 48 32 0x x x− + − = ; 4(x3 –6x2 +12x –8) = 0; 4(x – 2)3 = 0. La única solución es x = 2.

c) 4 3 23 3 12 12 0x x x x− + + − = ; – 3x(x3 –x2 – 4x + 4) = 0; – 3x(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0

Las soluciones son x = 0, x = 1, x = –2 y x = 2.

d) 4 3 26 5 43 70 24 0x x x x− − + − = (x – 2)(x + 3)(6x2 – 11x + 4) = 0

Las soluciones son x = 2; x = –3 , 12

x = y 43

x = .

4.64. Averigua cuánto tardarás en hacer este problema si empleas 118

en leerlo, 15

en plantearlo,

2290

en resolverlo y 1 minutos 30 segundos en comprobar la solución.

Si tardo x minutos, tenemos que 22 1,518 5 90x x xx = + + + .

Multiplicando por 90: 90x = 5x + 18x + 22x + 135 ⇒ 45x = 135 ⇒ x = 3. Tardaré tres minutos en resolverlo.


Ecuaciones racionales

4.65. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones comprobando que las soluciones obtenidas no anulan los denominadores.

a) 1

2 1 1x x

x x+ =

− − d)

1 22 1

x xx x

+ +=

+ +

b) 2 262 3 3

x xx x

+ =+ −

e) 21 0

1x

xx x− =

++

c) 1 1 2 12 2 1

x x xx x x

+ − ++ =

+ − + f)

1 132

xxx x−

− =

Para resolver las ecuaciones multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Siempre debemos comprobar que las soluciones no anulan los denominadores de la ecuación inicial.

a) 2( 1) 2 2 2 0x x x x x− + = ⇒ + − = ⇒ x = –2 y x = 1. Como x = 1 anula algún denominador, la única solución válida es x = –2.

b) 2 2 23 ( 3) 6 ( 2) 26( 2)( 3) 3 9 6 12 26 26 156x x x x x x x x x x x x− + + = + − ⇒ − + + = − −

Las soluciones son x = 4 y 3917

x = − .

c) 2( 1) ( 2) ( 1)( 1)( 2) (2 1)( 2)( 2)x x x x x x x x+ − + − + + = + + − ⇒

3 2 3 2 22 2 4 4 2 8 4 4 0x x x x x x x x+ − − = + − − ⇒ + = ⇒ x = 0 o x = –4

Las soluciones son x = 0 y x = –4.

d) 2 2 2 2 3( 1) ( 2) 2 1 4 4 3 22

x x x x x x x x+ = + ⇒ + + = + + ⇒ − = ⇒ = − . La solución es 32

x = − .

e) 21 0 1 0( 1) 1

x xx x x

− = ⇒ − =+ +

⇒x = 1 o x = –1

Como x = –1 anula el denominador, la única solución es x = 1.

f) 6x2 – (x – 1) = 2 ⇒ 6x2 – x – 1 = 0 ⇒1 1 4 6 ( 1) 1 5 1/ 2

1/ 32 6 12x ± − ⋅ ⋅ − ± = = = −⋅

Las soluciones son 12

x = y 13

x = − .

4.66. Halla un número que sumado con su inverso da 136

.

1 136

xx

+ = Multiplicando por 6x : 6x2 + 6 =13x. Resolvemos 6x2 – 13 x + 6 = 0.

313 169 4 6 6 13 5 2

22 6 123

x

± − ⋅ ⋅ ± = = =

⋅

. Los números buscados son 32

y 23

(uno el inverso del otro).


4.67. *Halla dos números consecutivos tales que la diferencia de sus inversos sea 142

.

1 1 11 42x x

− =−

⇒ 42x – 42(x – 1) = x(x – 1) ⇒ x2 – x– 42 = 0 ⇒ 1 1 4 ( 42) 1 13 762 2

x ± − ⋅ − ± = = = −

Por tanto los números buscados son 6 y 7 o – 6 y –7.

Ecuaciones con radicales 4.68. (TIC) Resuelve estas ecuaciones con radicales.

a) 3 1 8x x+ + = − c) 5 4 2 7 2x x− = + −

b) 24 3 9 1x x− + = d) 2 3 5 2x x− − − = Aislamos la raíz, elevamos al cuadrado y comprobamos las soluciones.

a) ( ) ( )22 2 2 19 19 4 78 19 7 133 9 19 78 0

62 2x x x x x ± − ⋅ ± + = − ⇒ − + = ⇒ = = =

Si x = 13: 13 3 1 13 8+ + = − . Si x = 6: 6 3 1 6 8+ + ≠ − .La única solución es x = 13.

b) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 24 1 3 9 16 8 1 9 9 7 8 80 0;x x x x x x x− = + ⇒ − + = + ⇒ − − =

48 64 4 7 ( 80) 8 48

202 7 14

7x

± − ⋅ ⋅ − ± = = = −⋅ . Si x = 4: 24 4 3 4 9 1⋅ − + =

Si 207

x = − : 220 204 3 9 1

7 7 ⋅ − − − + ≠

La única solución es x = 4.

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 25 4 2 7 2 5 4 2 7 4 2 7 4 4 2 7 6 6x x x x x x x− = + − ⇒ − = + − + + ⇒ + = + ⇒

( ) 2 2110 2816 2 7 36 72 36 9 10 19 0 19

189

x x x x x x− ± + = + + ⇒ + − = ⇒ = = −

Si x =1: 5 4 1 2 1 7 2− ⋅ = ⋅ + −

Si 199

x = − : ( ) ( )11 55 4 19 / 9 2 19 / 9 7 2 23 3

= − ⋅ − ≠ ⋅ − + − = −

La única solución es x = 1.

d) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 3 2 5 2 3 4 4 5 5 2 4 5x x x x x x x− = + − ⇒ − = + − + − ⇒ − = −

2 2 20 400 4 84 20 8 144 4 16 80 20 84 062 2

x x x x x x ± − ⋅ ± − + = − ⇒ − + = ⇒ = = =

Si x = 14: 2 14 3 14 5 2⋅ − − − = . Si x = 6: 2 6 3 6 5 2⋅ − − − =

Las soluciones son x = 14 y x = 6.


4.69. (TIC) Resuelve estas ecuaciones con radicales.

a) 6 0x x− − = e) 7 1 2 4x x+ = +

b) 8 2x x− = − f) 5 1 2 1x x+ − = +

c) 2 1xx

− = g) 32 1 51

xx

− − =−

d) 1 3 0x x+ − − = h)* 22 1 3 2x x x+ − + = Para resolver las ecuaciones con radicales aislamos las raíces y elevamos al cuadrado ambos miembros. No debemos olvidar comprobar las soluciones obtenidas.

a) ( ) ( )22 2 13 169 4 36 13 5 96 13 36 042 2

x x x x x ± − ⋅ ± − = ⇒ − + = ⇒ = = =

Si x = 9: 9 – 3 – 6 = 0 pero si x = 4: 4 – 2 – 6 ≠ 0. La única solución es x = 9.

b) 2 2 3 9 4 ( 4) 3 5 48 (2 ) 3 4 012 2

x x x x x ± − ⋅ − ± − = − ⇒ − − = ⇒ = = = −

Si x = 4: 2≠ 2 – 4. Si x = –1: 3 = 2 +1. La única solución es x = –1.

c) Primero multiplicamos por x y después elevamos al cuadrado: ( ) ( )222x x− = ;

2 5 25 16 5 3 45 4 012 2

x x x ± − ± − + = ⇒ = = =

.

Si x = 4: 2 – 1 = 1; si x = 1: 1 – 2 ≠ 1. La única solución es x = 4.

d) ( ) ( )223 1x x− = − − ⇒ 2 26 9 1 7 10 0x x x x x− + = − ⇒ − + = ⇒7 49 40 7 3 5

22 2x ± − ± = = =

.

Si x = 5: 5 5 1 3 0+ − − ≠ . Si x = 2: 2 2 1 3 0+ − − = . La solución es x = 2.

e) 7 1 4( 4)x x+ = + ⇒ 3x = 15; x = 5. Comprobamos: 35 1 2 5 4+ = + . Luego x = 5 es solución.

f) En este caso tendremos que elevar al cuadrado dos veces: 5 1 4 5 1 4 1x x x+ − + + = + ⇒

4 4 4 5 1x x+ = + ; dividimos entre 4 y elevamos al cuadrado por segunda vez: 2 22 1 5 1; 3 0x x x x x+ + = + − = ; x = 0 o x = 3. Comprobamos y la única solución válida es x = 3.

g) Primero multiplicamos por 1x − , aislamos la raíz y elevamos al cuadrado: 2 22( 1) 5 1 3; 2 5 5 1; 4 20 25 25 25; 4 45 50 0;x x x x x x x x x− − − = − = − − + = − − + =

2 1045 45 16 50 45 355

8 84

x± − ⋅ ± = = =

. Comprobamos que la única solución válida es x = 10.

h) Tendremos que elevar al cuadrado dos veces. 22 1 2 3x x x+ = + + ⇒

( ) ( )2 222 1 2 3x x x+ = + + ⇒ 2 22 1 4 4 3 3x x x x x+ = + + + + . Elevamos al cuadrado de nuevo

( ) ( )2222 2 4 3x x x x− − − = + ⇒ 4 3 2 3 24 4 9 4 4 16 48x x x x x x+ + + + = + ;

4 3 24 12 39 4 4 0x x x x− − + + = . Aplicando Ruffini a esta ecuación se obtiene que la única solución es x = –2.


4.70. (TIC) Calcula la solución de estas ecuaciones utilizando las estrategias estudiadas según el tipo de ecuación.

a) 4 25 36 0x x− − = c) 12 8x x− = +

b)* 3 24 4 14 6 0x x x− − − = d) 1 13

2xx

x x−

− =

a) Llamando y = x2 tenemos y2 – 5y – 36 = 0 ⇒ 5 25 4 ( 36) 5 169 5 13 942 2 2

y ± − ⋅ − ± ± = = = = −.

Deshaciendo el cambio, de y = x2 = –4 no obtenemos solución.

De y = x2 = 9 obtenemos x = 3 y x = –3.

b) Aplicando Ruffini con x = –1 tenemos 4x3 – 4x2 – 14x – 6 = (x +1) (4x2 – 8x – 6) = 0.

Resolvemos ahora la ecuación 4x2 – 8x – 6 =0: 8 64 4 4 ( 6) 8 1602 4 8

x ± − ⋅ ⋅ − ±= =

⋅.

Las soluciones de la ecuación son 8 160 10 8 160 101; 1 y 1 8 2 8 2

x x x+ −= − = = + = = − .

c) Elevamos al cuadrado ambos miembros: 212 16 64x x x− = + + y obtenemos la ecuación

2 17 52 0x x+ + = ⇒217 17 4 52 17 81 13

42 8x − ± − ⋅ − ± −= = = −

.

Al ser una ecuación con radicales debemos comprobar las soluciones:

Si x = –13; 12 13 13 8+ ≠ − + ; Si x = – 4; 12 4 4 8+ = − +

La única solución de la ecuación es x = –4.

d) Multiplicamos por 2x: 2 26 ( 1) 2; 6 1 0x x x x− − = − − = ⇒

11 1 4 6 ( 1) 1 5 2

112 123

x

± − ⋅ ⋅ − ± = = = −

.

Como ninguna de ellas anula los denominadores, las soluciones son 1 1 y 2 2

x x= = − .


Inecuaciones de primer grado 4.71. Transforma en desigualdades estas frases.

a) Elena necesita correr por debajo de 16 segundos para clasificarse en una prueba. b) En algunas atracciones del parque temático exigen una altura superior a 1,20 metros. c) He pasado el kilómetro 125 de la A-2, pero aún no he llegado al 145. a) x < 16

b) x > 1,20

c) 125 < x < 145

4.72. Di si son ciertas o falsas estas afirmaciones.

a) Una inecuación, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas. b) La solución de x + 5 ≤ 3 es una semirrecta. c) Una inecuación del tipo x + a > b, con a y b números reales, a veces no tiene solución. a) Verdadera. Ejemplo: x2 < 0; x2 + 4 ≤ –4; x2 > 0

b) Verdadera, es la semirrecta (–∞, –2]

c) Falsa, tiene las infinitas soluciones de la semirrecta (b – a, +∞)

4.73. Relaciona en tu cuaderno cada desigualdad con su equivalente y con la operación en los dos miembros que pasa de una a otra.

–4 < 7 Sumar –5 –9 < 2.

12 >– 6 Dividir entre –2 –6 < –3.

4 103 6

−< Multiplicar por 3 –4 < 5.

Desigualdad A Operación Desigualdad B

–4 < 7 Dividir entre –2 –4 < 5

12 > 6 Sumar –5 –6 <–3

4 103 6

−< Multiplicar por 3 –9 < 2


4.74. (TIC) Resuelve las inecuaciones siguientes.

a) 3( 5) 5 7( 1) (2 3)x x x− − > + − +

b) 2( 3) 1 2 4(1 5 ) ( 4)x x x x− + − > − − − +

c) 5 2 63( 1)2 10

x xx− +− − ≥ −

d) 1 1 (1 )2( 4)3 2 6

x x x xx+ − + + + ≥

e) 3 1 2 3 52 3 6

x x x− + +− ≤

f) ( ) ( )2 1 712 3 2

3 6xx x

− +− − < +

a) 3x – 15 – 5 > 7x + 7 – 2x – 3 ⇒ –24 > 2x ⇒ x < –12

b) x – 2x – 6 – 1 > 2 – 4 + 20x – x – 4 ⇒ –1 > 20x ⇒1

20x < −

c) 5(5x – 2) – 30(x –1) ≥ – (x + 6) ⇒ 25x – 10 – 30x + 30 ≥ – x – 6 ⇒ 26 ≥ 4x ⇒ 132

x ≤

d) 2 2

2 21 2 8 1 12 486 6

x x xx x x x x− ++ + ≥ ⇒ − + + ≥ + ⇒ 11x ≥ – 47⇒

4711

x ≥ −

e) 3(3x – 1) – 2(2x + 3) ≤ x + 5 ⇒ 9x – 3 – 4x – 6 ≤ x + 5 ⇒ 4x ≤ 14 ⇒ 72

x ≤

f) 4(x – 1) – 2(x – 1) – 7 < 18(x + 2) ⇒ 4x – 4 – 2x + 2 – 7 < 18x + 36⇒ –45 < 16x ⇒4516

x < −


4.75. (TIC) Resuelve las siguientes inecuaciones y representa sus soluciones.

a) 7x – 2(1 – 3x) ≤ 2x + 3 d) 5 >3 1

2x +

b) ( )2 5 1 54( 3)

3 2x

x+

≤ − − + e) 1 53 2 6x x x+

− ≥ −

c) ( )25 4 3 6 23

x x x− < − − f) 8 54 1

2xx −

− ≥

a) 7x – 2 (1 – 3x) ≤ 2x + 3 ⇒ 7x – 2 + 6x ≤ 2x + 3 ⇒ 11x ≤ 5 ⇒ x ≤ 511

⇒5,11

x ∈ −∞

b) ( )2 5 1 54( 3)

3 2x

x+

≤ − − + ⇒ 20x + 4 ≤ – 24x + 72 + 15 ⇒ 44x ≤ 83 ⇒ x ≤ 8344

⇒83,44

x ∈ −∞

c) ( )25 4 3 6 23

x x x− < − − ⇒ 15x – 2 < 36x – 72 – 6x ⇒ 70 < 15x ⇒ x > 143

⇒14 ,3

x ∈ +∞

d) 3 152

x +> ⇒ 10 > 3x +1 ⇒ 9 > 3x ⇒ x < 3 ⇒ ( ),3x ∈ −∞

e) 1 53 2 6x x x+

− ≥ − ⇒ 2x – 3x – 3 ≥ 5 – 6x ⇒ 5x ≥ 8 ⇒ x ≥ 85

⇒8 ,5

x ∈ +∞

f) 8 54 12

xx −− ≥ ⇒ 8x – 2 ≥ 8x – 5 ⇒ 0 ≥ –3, que es cierto para todo x.

4.76. (TIC) Relaciona cada inecuación con su intervalo solución.

5 1 2 8 5 2 8 1 3 9 3 ( ,3]x x x x x x x− ≤ + ⇒ − ≤ + ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ∈ −∞

5 1 2 8 5 2 8 1 7 7 1 [ 1, )x x x x x x x− + ≤ + ⇒ − − ≤ − ⇒ − ≤ ⇒ ≥ − ⇒ ∈ − ∞

5 1 2 8 5 2 8 1 7 7 1 ( , 1]x x x x x x x− ≤ − − ⇒ + ≤ − + ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − ⇒ ∈ −∞ −

5 1 2 8 5 2 8 1 3 9 3 [3, )x x x x x x x− + ≤ − − ⇒ − + ≤ − − ⇒ − ≤ − ⇒ ≥ ⇒ ∈ +∞

5 1 2 8x x− ≤ + [–1, +∞)

5 1 2 8x x− + ≤ + (–∞, 3]

5 1 2 8x x− ≤ − − [3, +∞)

5 1 2 8x x− + ≤ − − (–∞, –1]


4.77. *(TIC) Relaciona en tu cuaderno los elementos equivalentes de las tres columnas.

( ]5 – ,5x ≤ ⇒ ∞ ⇒

31 1,5 1,2

x − < ≤ ⇒ − ⇒

[ )7 7, x ≥ ⇒ + ∞ ⇒

PROBLEMAS

4.78. El aforo de un estadio de fútbol es tal, que cuando se llenan las 35

partes acuden 1000

espectadores menos que cuando venden 23

de las entradas. ¿Cuál es el aforo del estadio?

Se llama x al aforo del estadio.

3 21 000 9 15 000 10 15 0005 3x x x x x+ = ⇒ + = ⇒ =

El estadio de fútbol tiene 15 000 localidades.

4.79. Si el precio de un artículo aumenta en un 2 %, resulta 36 euros más caro que si su precio disminuye un 4 %. ¿Cuánto cuesta ese artículo?

Sea x el precio del artículo.

2 436 100 2 3600 100 4 6 3600 600100 100

x x x x x x x x x x+ − = − ⇒ + − = − ⇒ = ⇒ =

El artículo cuesta 600 €.

Desigualdad Intervalo Segmento o semirrecta

5x ≤ [7, +∞)

1 1,5x− < ≤ (–∞, 5]

7x ≥ 31,2

−


4.80. Marcos ha comprado un reproductor MP4 en las rebajas con un 15 % de descuento. Unas semanas más tarde ha visto que podría haberse ahorrado 4 euros, porque la misma tienda lo vende con un 20 % de descuento. ¿Cuánto costaba el MP4 antes de las rebajas?

Sea x el precio del MP4.

15 20 4 100 15 100 20 400 5 400 80100 100

x x x x x x x x x x− = − + ⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =

Antes de las rebajas, el MP4 costaba 80 €.

4.81. En la civilización egipcia, debido a las periódicas inundaciones del Nilo, se borraban los lindes de separación de la tierra y para la reconstrucción de las fincas tenían que construir ángulos rectos.

En un viejo papiro se puede leer lo siguiente:

“La altura del muro, la distancia al pie del mismo y la línea que une ambos extremos son tres números consecutivos”.

Halla dichos números.

Sean los tres números consecutivos: x, x + 1, x + 2.

( ) ( )2 22 2 2 2 21 2 2 1 4 4 2 3 0x x x x x x x x x x+ + = + ⇒ + + + = + + ⇒ − − =

2 4 12 312

xxx

± + =⇒ = ⇒ = −

Los números serán: 3, 4 y 5.

4.82. Un pez pesa 60 libras. La cabeza tiene tres quintos del peso del cuerpo y la cola es un tercio de la cabeza. ¿Cuánto pesará el cuerpo del pez?

(Piero de la Francesca, Tratado del ábaco, Italia, siglo XV).

Si el cuerpo pesa x, la cabeza pesa 35

de x y la cola 13

de ( 35

de x) = 15

de x.

3 60 3 5 300 9 300 33,35 5x xx x x x x x+ + = ⇒ + + = ⇒ = ⇒ ≅

.

El cuerpo pesa 33,3 libras aproximadamente.

4.83. Una compañía cena junta y cada uno de sus componentes debe pagar 175 libras. Pero dos de ellos no tienen dinero, y entonces, el resto de los comensales deben pagar cada uno 10 libras más. ¿Cuánta gente formaba la compañía?

(McLaurin, Tratado del álgebra, Inglaterra, 1748).

Llamando x al número de personas que forman la compañía tenemos que

175x = 185 (x – 2) ⇒ 10x = 370 ⇒ x = 37.

La compañía está compuesta por 37 personas.


4.84. Jaime quiere encargar a un cristalero un espejo circular, aunque no tiene claro qué tamaño le conviene. Lo que sabe es que el radio puede variar entre 20 y 25 centímetros.

¿Entre qué valores oscilaría el área del cristal?

¿Y su perímetro? 2 2 220 25 400 625A r A A= π ⇒ π ⋅ ≤ ≤ π ⋅ ⇒ π ≤ ≤ π

Los valores enteros entre los que oscilará el área serán: 1257 cm2 y 1963 cm2. 22 2 20 2 25 40 50L r L L= π ⇒ ⋅ π ⋅ ≤ ≤ ⋅ π ⋅ ⇒ π ≤ ≤ π

Los valores enteros entre los que oscilará la longitud serán: 126 cm y 157 cm.

4.85. La edición de una revista tiene unos costes de 30 000 euros, a los que hay que sumar 1,50 euros de gastos de distribución por cada ejemplar. Si cada uno se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12 000 euros por publicidad, ¿cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios?

Sea x el número de revistas vendidas.

Gastos: 30000 1,5G x= +

Beneficios: 12000 3,5B x= +

Para obtener beneficios se tiene que cumplir la inecuación

30000 1,5 12000 3,5 18000 2 9000x x x x+ < + ⇒ < ⇒ > .

A partir de 9000 ejemplares vendidos se empezarán a obtener beneficios.

4.86. Dos compañías telefónicas ofertan así:

a) ¿Cuántos minutos por mes debe el cliente llamar a móviles para que le resulte más

económica la compañía B? b) ¿Cuál es el coste de la factura en este caso? a) 40 0,3 60 0,2 0,1 20 200x x x x+ > + ⇒ > ⇒ > . A partir de 200 minutos resultará más económica

la compañía B.

b) Factura 60 0,2 200 Factura 100 €> + ⋅ ⇒ >


4.87. *En una fracción, el denominador excede en dos unidades al numerador. Si se le resta cuatro quinceavos, el resultado es una nueva fracción en la que tanto el numerador como el denominador son dos unidades menores que los de la fracción original. ¿De qué fracción se trata?

Si llamamos x al numerador de la fracción inicial obtenemos la ecuación: 4 22 15

x xx x

−− =

+.

Multiplicamos por 15x(x + 2): 15x2– 4x(x + 2) = 15(x + 2)(x – 2); – 4x2 – 8x + 60 = 0. Resolvemos la

ecuación equivalente x2 + 2x– 15 = 0. x = –5 y x = 3. La fracción buscada es 35

.

AMPLIACIÓN

4.88. Si 32 3a ba b

+−

= 5, entonces ab

es igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Nos dicen que a + 3b = 5 (2a− 3b), es decir 18b = 9a, por lo que ab

= 2.

Respuesta b).

4.89. La ecuación 21 1 1 0x xa b c

+ + = con a y c positivos y b≠ 0 tiene dos soluciones reales

solamente cuando:

a) 24ac b> c) 24ac b>

b) 2 4b ac> d) 2 4b ac= Las soluciones de dicha ecuación vienen dadas por la fórmula

21 1 1 14

2b b a cx

a

− ± − = , que tendrá dos soluciones reales distintas solo cuando

21 1 14b a c

− ⋅ ⋅

sea

positivo, es decir, 2

1b

> 4ac

, y al ser a · c positivo, esta inecuación es equivalente a ac > 4b2.

Respuesta a).

4.90. Si en la ecuación bicuadrada ax4 + bx2 +c = 0, con abc ≠ 0, se verifica que b2 = 4ac, entonces:

a) La ecuación solo tiene 2 raíces reales. b) La ecuación solo tiene una raíz real. c) La ecuación puede no tener raíces reales. d) La ecuación tiene 4 raíces reales.

Al ser 2

2 42

b b acxa

− ± −= y ser b2= 4ac, se sigue que 2

2bxa

−= , expresión que tiene sentido ya que

abc ≠ 0, o sea, a ≠ 0. Como puede ocurrir que 2

ba

− sea negativo, la respuesta es c): La ecuación dada

puede no tener raíces reales.


4.91. La inecuación x2 – 2x + 1 < 0 verifica:

a) Tiene infinitas soluciones. b) Solo tiene una solución. c) No tiene ninguna solución. d) Nada de lo anterior es correcto. x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 que nunca es negativo, respuesta c).

4.92. Si |x – 1| < |x – 5|, entonces:

a) x está en [1, 5]. b) x es menor que 3. c) x es mayor o igual que 3. d) x no puede ser mayor que 2. El enunciado dice que la distancia de x a 1 es menor que la distancia de x a 5, por lo que x es menor que 3 (punto medio del intervalo [1, 5]), respuesta b).


AUTOEVALUACIÓN

4.1. Halla la solución de esta ecuación.

3( 2 1) 3 1 15( 3)2 4 2x xx− + −

− − = +

– 12x + 6 – 20x + 60 = 3x – 1 + 2 ⇒ –35x = –65 ⇒ 137

x =

4.2. Resuelve esta ecuación de segundo grado.

(4 5)(2 3) 3x x+ + =

(4x+5)(2x+3) = 3 ⇒ 8x2 + 22x + 12 = 0 ⇒ 4x2 + 11x + 6 = 0 ⇒311 121 9648 2

xxx

−− ± − == ⇒ = −

4.3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 22 16 0x − = c) 29 12 4 0x x− + =

b) ( )24 49x − = d) 27 5 0x x+ =

a) 2 22 16 0 8 0 8 2 2x x x− = ⇒ − = ⇒ = ± = ±

b) ( )2 2 24 49 8 16 49 0 8 33 0x x x x x− = ⇒ − + − = ⇒ − − =

8 64 132 8 14 1132 2

x ± + ± = = = −

c) ( )22 29 12 4 0 3 2 03

x x x x− + = ⇒ − = ⇒ =

d) 2 57 5 0 (7 5) 0 0 ó 7

x x x x x x+ = ⇒ + = ⇒ = = −

4.4. Resuelve esta ecuación de cuarto grado. 4 3 23 25 75 0x x x x+ − − =

Sacamos x factor común y aplicamos Ruffini con x = –3: x (x + 3) (x2 – 25) = 0.

Las soluciones de la ecuación son x = 0; x = –3; x = 5 y x = –5.


4.5. Halla la solución de esta ecuación.

4 13 3 1x x+ + = −

( ) ( ) ( )( )2 2 2 24 13 2 4 13 4 4 9 0 3 3 0x x x x x x x x+ = − − ⇒ + = + + ⇒ − = ⇒ − + =

Comprobación: 3 4 3 13 2 7 1 3 2 no es solución.3 4 ( 3) 13 3 4 1 ( 3) 4 sí es solución.

xx

= ⇒ ⋅ + + = ≠ − = −

= − ⇒ ⋅ − + + = = − − =

4.6. Indica cuál de los siguientes intervalos es la solución de la inecuación 3 1 2x− + ≤ − .

a) [1, +∞) c) (–∞, 1] b) [–1, +∞) d) (–∞, –1]

3 1 2 3 3 1x x x− + ≤ − ⇒ − ≤ − ⇒ ≥

La respuesta correcta es la a). La solución de la ecuación es [1, +∞) .

4.7. Considera estas inecuaciones.

a) 7 5x − ≤ c) 2 10x− ≥ − b) 1 7x + ≤ d) 3 6 30x − ≤ −

Señala cuáles son equivalentes a 2 10x − ≤ y, en los casos afirmativos, indica la transformación que permite pasar de una a otra inecuación.

La inecuación 2 10x − ≤ tiene como solución 12x ≤ , por lo que las inecuaciones equivalentes serán las que tengan la misma solución.

a) Es equivalente: 7 5 12x x− ≤ ⇒ ≤ . Sumar 5.

b) No es equivalente.

c) Es equivalente: 2 10 2 10 12x x x− ≥ − ⇒ + ≥ ⇒ ≥ . Sumar 10.

d) No es equivalente.

4.8. Reparte 130 euros entre tres personas de modo que la primera reciba 5 euros más que la segunda y la tercera tenga tantos como las otras dos juntas.

Sea x la cantidad de euros que recibe la primera persona.

Así, la segunda recibe x – 5 y la tercera 2x – 5. La ecuación queda:

( 5) (2 5) 130 5 2 5 130 4 140 35x x x x x x x x+ − + − = ⇒ + − + − = ⇒ = ⇒ =

Así, la primera persona recibe 35 €, la segunda recibe 30 € y la tercera 65 €.


PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Razona y descubre > Glotocronología

La glotocronología es una disciplina a caballo entre la lingüística y las matemáticas que se ocupa de la relación entre las lenguas a lo largo del tiempo. Fue desarrollada por el lingüista Morris Swadesh partiendo de dos principios:

• Existe un vocabulario básico en cada lengua, y es relativamente estable.

• Las palabras básicas desaparecen de forma constante a una tasa del 14 % cada milenio.

Según la teoría de Swadesh, si una lengua originariamente tenía N0 palabras, el número N de palabras que se conservarán después de t milenios viene dado por la expresión N = N0 · (1 – 0,14)t.

Es decir, la tasa de palabras básicas que se conservan es 0

0,86tNcN

= = , que, como ves, no

depende del número original de palabras.

4.1. Dos lenguas emparentadas comparten hoy el 90 % de sus palabras básicas. De acuerdo con el

método de Swadesh, ¿hace cuánto tiempo fueron la misma?

Haciendo uso de la fórmula 0

0,89tNN

= tenemos que 0,9 = 0,89t y, por tanto, log0,9 0,9log0,89

t = ≅

milenios, es decir, 900 años.

4.2. La lengua indoeuropea, de la que entre otras muchas lenguas provienen el castellano, el hindi,

el noruego o el yiddish, tuvo su origen aproximadamente en el 3000 a. C. Aplicando la teoría de Swadesh, ¿qué porcentaje de palabras básicas de tu lengua tiene su origen en la indoeuropea?

Como del 3000 a. C. hasta ahora han pasado 5 milenios, tenemos que c = 0,895≅ 0,558, luego se conserva el 55,8 % de las palabras básicas.


4.3. En el año 900 en la Península Ibérica había una gran influencia del árabe, que no proviene de la familia indoeuropea, sino de la semítica. Entre los siglos VIII y XV se produjo la llamada Reconquista o conquista cristiana, a través de la cual los cristianos tomaron el control de la Península. ¿Crees que en este contexto son válidos los principios de Swadesh? ¿Por qué?

Respuesta abierta.

4.4. Aunque después se impuso el latín (tres de cada cuatro palabras del castellano provienen de él), casi todas las lenguas de la Península tienen una fuerte influencia del árabe.

Escribe cinco palabras que pienses que provienen del árabe, cinco del latín y cinco de otras lenguas. Después ponlas en común con tus compañeros y verificad con un diccionario si estabais en lo cierto.

Respuesta abierta.

4.5. Observa ahora los mapas en esta página.

a) Hay una lengua europea emparentada con la tuya que, sin embargo, no está próxima geográficamente a la Península Ibérica. ¿Cuál es? ¿A qué se debe? b) Como ves, el euskera es una lengua no indoeuropea. Su nacimiento sigue siendo un misterio. Investiga las teorías sobre su origen y resúmelas brevemente. c) Las lenguas de la familia indoeuropea se han extendido por todo el mundo. Mirando el mapa, ¿qué países te llaman la atención? Investiga cómo llegaron hasta ellos. a) El rumano es una lengua románica, lo que se debe a la conquista romana en el año 106 d. C.,

durante el reinado del emperador Trajano. Como consecuencia, la región se convirtió en la provincia romana de Dacia durante los siguientes 165 años, siendo el latín la lengua oficial.

b) El euskera es una lengua aislada y se considera la única preindoeuropea superviviente en Europa occidental. Muchos autores creen que los territorios en que se hablaba fueron disminuyendo debido a la presión de las lenguas indoeuropeas en las edades de Bronce y de Hierro; en época romana, el latín impidió su expansión, y, tras un período de recuperación debido a las repoblaciones de la Reconquista, volvió a retroceder ante el empuje del gascón, el navarro-aragonés, el castellano y el francés, hasta quedar restringido a la parte oriental de Vizcaya, al norte de Álava y Navarra, a Guipúzcoa y al País Vasco francés.

c) El imperialismo europeo llevó las lenguas indoeuropeas a América, África, Oceanía y Asia.

501409

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguas_preindoeuropeas�


Busca y calcula>Trending topic

Los avances tecnológicos han provocado la aparición de una gran cantidad de términos nuevos, sin sentido hace algunas décadas. Internet, por ejemplo, es un fenómeno relativamente reciente.

El inglés es la lengua utilizada para crear muchos de estos términos. La dificultad de traducir algunos de ellos o la rapidez con la que se popularizan han hecho que se tomen prestados en el resto de los idiomas.

Por ejemplo, el trending topic de Twitter, que representa los términos que más se utilizan durante un período de tiempo en esa popular red. La traducción al castellano podría ser “tendencias”, “tema de actualidad”, pero el término inglés se ha impuesto con rapidez.

4.1. Busca 10 ejemplos de términos que se usen en inglés con más frecuencia que su traducción en español.

Respuesta abierta. Pueden ser términos relacionados con internet (software, hardware), con el deporte (pole en fórmula uno, MVP en baloncesto), y otros (OK, reality show, hobby).

4.2. Twitter usa algoritmos matemáticos para elaborar la lista de términos más utilizados del período, basados en la frecuencia de aparición y su velocidad. Tres de los cinco términos más populares de 2011 eran nombres propios, siendo “Justin Bieber” el más frecuente. ¿Por qué crees que ocurre esto?

Los nombres propios se escriben igual en la mayor parte de los idiomas usados en Twitter, lo que ayuda a que se repitan con más frecuencia. Además suelen ir relacionados con personajes populares o acontecimientos impactantes en algún lugar, como ocurrió en el caso de Fukushima.

4.3. En un mensaje de esta red se pueden utilizar hasta 140 caracteres. Si Laura ha escrito un mensaje usando los 140 signos, contando vocales, consonantes y otros (espacios y signos de puntuación), en el que el número de vocales es el 40 % del número total de letras y el número de consonantes es cinco veces el de otros signos, ¿cuántas letras tiene el mensaje?

El mensaje tiene 50 vocales, 75 consonantes y 15 caracteres de otro tipo.


Investiga y deduce > ¡Quiero una fórmula!

Cualquier ecuación de segundo grado se puede resolver usando la fórmula que ya conoces. Resolver una ecuación polinómica por radicales consiste en determinar sus soluciones usando sus coeficientes en una cantidad finita de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o raíces.

¿Habrá alguna fórmula que permita resolver por radicales cualquier ecuación polinómica? No, no hay una fórmula general para polinomios de grado mayor o igual que 5, resultado que se conoce como teorema de Abel-Ruffini.

4.1. Investiga acerca de los matemáticos Abel y Ruffini, y haz un breve informe.

Niels Henrik Abel (1802-1829) fue un matemático noruego, cuyo primer trabajo importante fue el mencionado teorema, pero que hizo grandes aportaciones al estudio de las funciones. Murió joven, a causa de la tuberculosis. El premio que lleva su nombre es uno de los mayores galardones que puede conseguir un matemático. Paolo Ruffini (1765-1822), italiano, pasó a la historia por la regla que lleva su nombre, y realizó estudios de gran importancia sobre la resolución de ecuaciones.

4.2. ¿El teorema quiere decir que las ecuaciones de grado 5 no tienen solución? ¿Podrías escribir una ecuación de grado 5 que tenga 5 soluciones reales?

Lo que dice el teorema es que no hay una fórmula general, no que esas ecuaciones no puedan ser resueltas. Por ejemplo, x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 0 tiene 5 soluciones reales.

4.3. Algunas ecuaciones, como las bicuadradas, siempre se pueden resolver, de forma que a partir de sus coeficientes se puede conocer si tienen 4 soluciones reales, 2 o ninguna. ¿Sabrías escribir la fórmula?

A partir de la fórmula de la ecuación de segundo grado, se puede escribir la de la ecuación

bicuadrada. 2

4 2 402

b b acax bx c xa

− ± −+ + = → = ± .

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno; Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, Inmaculada Fernández, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico [email protected]. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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