3.vigas doblem reforzadas

VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS EMEL MULETT RODRIGUEZ 1

2.4. DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

2.4.1. FUNDAMENTOS

Las normas de diseño de vigas reforzadas especifican o recomiendan que sólo se necesite refuerzo a

tensión y rija el diseño por fluencia del acero para lo cual se establece una cuantía máxima b 75.0

Si la sección escogida no satisface los requisitos entonces se procede a escoger una sección de mayor

tamaño.

Ocurre, sin embargo, que debido a limitaciones arquitectónicas no es posible incrementar la sección; también puede deberse a conveniencias estructurales como cuando una sección satisface para ciertos

valores de momentos, pero para otros no, sobre todo cuando la viga es continua.

Es preciso tener en cuenta que la presencia de refuerzo a compresión disminuye el efecto del flujo

plástico y por tanto las deflexiones a largo plazo; de igual manera mejora la ductilidad, no obstante el diseño de vigas con refuerzo a compresión no es económico.

Aunque la viga tenga refuerzo a compresión, si la cuantía a tensión es menor que la balanceada, la

resistencia de la viga puede calcularse sin tener en cuenta el refuerzo a compresión ya que el acero a

compresión está muy poco esforzado y su presencia no altera mucho el brazo de momento.

Si el refuerzo a tensión es mayor que la cuantía balanceada es necesario conseguir el equilibrio en la zona

del concreto a compresión agregando refuerzo.

Como puede deducirse de la figura arriba, el momento resistido por la viga doblemente reforzada se

puede descomponer en dos: Momento debido a la flexión simple usando un área de refuerzo máxima

permitida Asmax = As-As´ y el par causado por el resto del refuerzo a As1 = A´s.

Suponiendo que el refuerzo a tensión alcanza la fluencia, se tiene:

Momento por flexión simple

Mn1= (As –A´s) fy (d-a/2) (1)

Con b0.85f´

A´s)fy-(Asa

c

d0.85f´

)fy´-(

c

(2)

Siendo bd

As (3)

bd

sA´

´

(4)

Momento por el refuerzo a compresión y el

exceso de refuerzo a tensión

Mn2=A´sfs (d-d´) (5)

Por tanto el momento total será la suma

Mn= (As-A´s) fy (d-a/2) + A´sfs (d-d´) (6)

No se sabe si el esfuerzo fs en el acero a

compresión fluye; debe determinarse por la

compatibilidad de deformaciones. Del diagrama

de deformaciones se puede obtener por relación

de triángulos:

´s= c

d´)-c(003.0, o (7)

s´= )c

d´1(003.0 (8)

c-d’

e’c d’

ecu


Como c se desconoce, usando la relación

c=a/ 1 y remplazando en la ecuación (2) se

obtiene

c=a/ 1 d 0.85f´

)fy´-(

1c

que al remplazar

en (8) s´= )df)-(

d´ 0.85f'1(003.0

y

'

1c

(9)

Para que el acero a compresión fluya debe darse

que s´≥ y= fy /Es, es decir,

s´= )df)-(

d´ 0.85f'1(003.0

y

'

1c

≥ fy /Es,

de donde se deduce que para que el acero a

compresión fluya se debe cumplir que

min

yy

1c

Nf6000

6000*

df

d'f'85.0'

(10)

Si s' y =fy /E fs = Es s' =

6000d)f'-(

d'f'85.01(

y

c1

fy (11)

Este valor de f’s se puede tomar como una

primera aproximación, ya que se basó en la

cuantía balanceada para el acero a tensión.

La cuantía balanceada para la viga doblemente

reforzada puede calcularse como

y

sbb

f

f''

(12)

b

corresponde a la cuantía balanceada para

viga solamente reforzada a tensión con un área

de acero As1=As-A’s que generalmente es igual a

Asmax correspondiente a la cuantía máxima

0.75 b . Por tanto la cuantía máxima permitida

para una viga doblemente reforzada viene dada por:

y

sb

f

f''75.0

MAX (13)

Si el refuerzo a compresión no fluye debe

reajustarse el valor de a o altura equivalente del

bloque a compresión como sigue:

b0.85f´

sA´sf'-Asfsa

c

(14)

El momento final resistente viene dado por

Mu ≤ Mn

Mu ≤ [(As-A’s) fs (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)] 15)

Si la cuantía del acero a tensión es menor que N y es menor que min

, se tiene

entonces que el acero a tensión fluye pero no el acero a compresión. El esfuerzo en el

acero a compresión puede calcularse con base en el diagrama de deformaciones, de la

siguiente manera:

f’s=Es´s= c

d´)-c(003.0Es (16)

Del equilibrio de fuerzas C=T se puede escribir:

Asfy = 0.85f’c( 1 c)b+A’sf’s o

Asfy = 0.85f’c( 1 c)b+A’s c

d´)-c(6000

(17).

Esta es una ecuación cuadrática en c. Calculado

c de dicha ecuación se obtiene f’s de (16) y con

a= 1 c se calcula finalmente el momento

resistente de la viga para esta condición del

refuerzo:

Mu ≤ [0.85f’c ab (d-a/2) + A’sf ’s (d-d’)] (18)


2.4.2. REVISION DE VIGAS DOBLEMENTE EFORZADAS

Dada la sección de una viga, materiales y refuerzo se desea conocer el momento

resistente.

DATOS: b, h, d f’c, fy As, A’s

INCOGNITA: Mn

Debe revisarse cuáles aceros alcanzan la

fluencia 1. Cálculo de cuantías

.

bd

As

bd

sA´

´

' N

y

c

4f

f' m

yf

4.1

b = fy6000

6000

fy

f' 0.85 c1,

Max = 0.75b.

2. Acero a Tensión.

Si ' N < b fs =fy. Sin embargo,

si M < N < b la sección no es aceptable por no poderse garantizar la falla por fluencia. Ideal

es que N < M

Si ' N > b La sección está

sobrerreforzada y fs < fy

Del diagrama de deformaciones:

s = cu (d-c)/c fs = Es cu (d-c)/c =6000 (d-c)/c Pero no se conoce c.

C=T,

Asfs = 0.85f’c( 1 c)b+A’sf’s o

6000 As (d-c)/c =

0.85f’c( 1 c)b+A’s

c

d´)-c(6000 (19)

y se resuelve la ecuación cuadrática resultante.

Si se ha comprobado previamente que f’s = fy

se remplaza directamente para simplificar la

ecuación anterior.

3. Acero a compresión

min

=

yy

1c

f6000

6000*

df

d'f'85.0

Cuantía

mínima para que el refuerzo fluya.

Si N min

f’s = fy

Si N min

f’s < fy, en este caso debe

determinarse f’s

Asfy = 0.85f’c( 1 c)b+A’s c

d´)-c(6000

(17).

La ecuación (19) es la ecuación general para el

caso en que tanto el acero a tensión como a compresión no fluyen (fs < fy y f’s < fy ).

Otra manera de calcular f’s cuando fs=fy es

usando un valor inicial aproximado para f’s

dado por la ecuación (11):

f’s= 6000d)f'-(

d'f'85.01(

y

c1

fy .

Con este valor aproximado se calcula

b0.85f´

A´sf-fAa

c

sss c=a/ 1

´s= c

d´)-c(003.0 f’s=Es´s fy

Si f’s fy Calcule un nuevo a, c, ´s y f’s.

4. Momento resistente

Mu ≤ [(As-A’s) fs (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)]


2.4.3. DISEÑO DE VIGAS CON REFUERZO A COMPRESION

DATOS: Mu, b,h,d, f’c, fy

INCOGNITAS As, A’ s.

1. Calcule las cuantías máximas y

mínimas para refuerzo a tensión

solamente.

y

c

4f

f' m

yf

4.1

b = fy6000

6000

fy

f' 0.85 c1 ,

Max = 0.75b

2. Calcule el Momento máximo que la viga puede resistir a tensión:

Mmax = Ru bd2

Ru = ФMAXfy(1-0.59MAX fy / f’c )

Si Mu < Mmax No se requiere refuerzo a

compresión y se diseña la viga como viga con

refuerzo solamente a tensión.

Si Mu > Mmax se requiere refuerzo a

Compresión. En este caso se calcula el

momento adicional Mn2 que debe resistir la

viga:

Mn2 = Mu – MMAX.

3. Acero A tensión. Mu ≤ [(AsMAX fy

(d-a/2) + A’sf’s (d-d’)]

As = ASMAX + A’s o = MAX + ’

ASMAX = MAX bd

A’ s = )'(

2

ddfy

M n

’=

bd

As

4. Revisión de cuantías

MAX + ’

Si

min

yy

1c

Nf6000

6000*

df

d'f'85.0'

el acero a compresión fluye, sino debe revisase

el esfuerzo f’ s.

CUESTIONARIO Y EJERCICIO

a) Conteste V o F

1. Si una viga tiene refuerzo longitudinal tanto

en la parte superior como inferior se puede

considerar que su comportamiento es el de una

viga doblemente reforzada. ( )

2. Una viga doblemente reforzada se presenta

cuando debe resistir simultáneamente M+ o M-.

3. Una viga puede tener al mismo tiempo

secciones reforzadas solamente a tensión y secciones doblemente reforzadas.

4. Una viga con refuerzo As+ = As- no puede

comportarse como doblemente reforzada.

b) Calcular el momento resistente de una viga

de sección 40x60 reforzada 6#8 en su parte

inferior colocadas en dos capas con los

espaciamientos y separaciones de acuerdo a las

NSR’98, tiene además 4#7 en una sola capa en

la parte superior. f’c = 35 fy=420 MPa.

c ) Una viga de 20x30 cmsxcms debe resistir un

momento de flexión Mu= 110 kN-m usando

fy=42 MPa y f’c=21MPa. Calcule el refuerzo

necesario para resistir el momento dado. Las

dimensiones no pueden cambiarse.

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