3ra unidad

Sistemas de EDOs Lineales Mg. Sc. Ing Juan Julca Novoa

6

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

1. NOCIONES PRELIMINARES: SISTEMA LINEALES

En este tema emplearemos mucho la notacin matricial y las propiedades de las matrices.

INTRODUCCION: Recordar cmo resolver sistemas de ecuaciones de n ecuaciones

diferenciales lineales con n incgnitas de la forma:

. . . .

. . . . (1)

. . . .

En donde las representaban polinomios de diversos grados en el operador diferencial D.

Aqu restringiremos el estudio a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden,

como el siguiente

. .

. . (2)

. .

Este sistema tal como (2) de n ecuaciones de primer orden se llama sistema de primer

orden.

SISTEMAS LINEALES Si cada una de las funciones , , , , en (2) es lineal en las

variables dependientes , , . . ., , se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones

lineales de primer orden

. .

. . (3)

. .


7

Un sistema con la forma de las ecuaciones (3) se denomina sistema lineal de orden n, o

simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, as como las funciones

soncontinuas en un intervalo comn, I. Cuando (t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal (3) es homogneo; en caso contrario, es no homogneo.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si X, A(t) y F(t) denotan las matrices

respectivas.

, A(t)= ,

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se puede escribir

como

=

O simplemente X'= AX + F. (4)

Si el sistema es homogneo, su forma matricial es entonces

X'= AX (5)

EJEMPLO 1 Sistemas expresados en notacin matricial

a) Si X = , entonces la forma matricial del sistema homogneo.

b) Si X = , entonces la forma matricial del sistema homogneo.

es X +


8

DEFINICIN 1.1 Vector solucin

Un vector solucin en un intervalo I es cualquier matriz columna

X =

Cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) en el intervalo

Un vector solucin de (4) es. Por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares

..., y se puede interpretar desde el punto de vista

geomtrico como un conjunto de ecuaciones paramtricas de una curva en el espacio. En

el caso importante n = 2, las ecuaciones representan una curva en

el plano . Es prctica comn llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar

plano fase al plano Regresaremos a estos conceptos y se ilustrarn en la siguiente

seccin.

EJEMPLO 2 Comprobacin de soluciones

Compruebe que en el intervalo ( , )

y

Son soluciones de (6)

SOLUCIN De = y = vemos que

Gran parte de la teora de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden es similar a

la de las ecuaciones diferenciales de n- simo orden.


9

PROBLEMA CON VALORES INICIALES Sea que denota un punto en un intervalo I

y = y = ,

Donde las , i= 1,2,, n son las constantes dadas.

Entonces el problema

Resolver: = A (t) X + F (t).

(7)

Sujeto a: X ( ) =

Es un problema con valores iniciales en el intervalo.

TEOREMA 1.1 Existencia de una solucin nica

Sean los elementos de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo comn I que

contiene al punto . Entonces existe una solucin nica del problema con valores iniciales (7)

en el intervalo.

SISTEMAS HOMOGNEOS.- En las prximas definiciones y teoremas solo nos

ocuparemos de los sistemas homogneos. Sin decirlo explcitamente, siempre supondremos

que las y las ; son funciones continuas de t en un intervalo comn I.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN El siguiente resultado es un principio de

superposicin para soluciones de sistemas lineales.

TEOREMA 1.2 Principio de superposicin

Sea , , . . . , , un conjunto de vectores solucin del sistema homogneo (5) en un

intervalo I. entonces la combinacin lineal

X = +

Donde las son constantes arbitrarias, es tambin una solucin en el intervalo.

Como consecuencia del teorema 2,un mltiplo constante de cualquier vector solucin de un

sistema homogneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es tambin una

solucin.

EJEMPLO 3 Usando el principio de superposicin Los estudiantes debemos practicar comprobando que los dos vectores


10

Son las soluciones de un sistema

X. (8)

Por el principio de superposicin la combinacin lineal

Es otra solucin del sistema.

DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Ante todo nos interesan las

soluciones linealmente independientes del sistema homogneo, ecuacin ( 5).

DEFINICIN 1.2 Dependencia/ independencia lineal

Sea , , . . . , un conjunto de vectores solucin del sistema homogneo (5) en un

intervalo I. se dice que el conjunto es linealmente independiente en el intervalo si existen

constantes , , . . . , , no todas cero, tales que

+

Para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el

intervalo, se dice que es linealmente independiente

Debe quedar claro el caso cuando k = 2; dos vectores solucin y son linealmente

dependientes si uno es un mltiplo constante del otro, y recprocamente. Cuando k > 2, un

conjunto de vectores solucin es linealmente dependiente si podemos expresar al menos un

vector solucin en forma de una combinacin lineal de los vectores restantes.

El WRONSKIANO Igual que cuando explicamos la teora de una sola ecuacin diferencial

ordinaria, podemos presentar el concepto del determinante Wronskiano como prueba de

independencia lineal. Lo enunciaremos sin demostrarlo.

WRONSKIANO. Sea (t) una matriz solucin (es decir cada columna es un vector solucin)

Observacin. Si es una matriz fundamental, entonces W(t)= det

(Escobar A, Jaime. Ecuaciones diferenciales, p225)


11

TEOREMA 1.3 Criterio para las soluciones linealmente independientes

Sean = , = , ., =

n vectores solucin del sistema homogneo (5) en un intervalo I. entonces el conjunto de

vectores es linealmente independiente en I si y slo si el Wronskiano

W + = (9)

Para toda t en el intervalo.

Se puede demostrar que si , , . . . , , son vectores solucin del sistema (5), entonces,

para todo t en I se cumple W( , , . . . , ) 0, o bien W( , , . . . , ) 0. As, si

podemos demostrar que W 0 para algn en I, entonces W 0 para todo t y, por

consiguiente, las soluciones son linealmente independientes en el intervalo.

Obsrvese que a diferencia de nuestra definicin de Wronskiano, aqu la definicin del

determinante (9) no implica derivacin.

EJEMPLO 4 Soluciones linealmente independientes

En el ejemplo 2 vimos que y son soluciones del sistema (6).

Es evidente que y son linealmente independientes en el intervalo ( , ) puesto que

ningn vector es un mltiplo constante del otro. Adems, se tiene

,

Para todos los valores reales de t.

DEFINICIN 1.3 Conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto , de n vectores solucin linealmente independientes del sistema homogneo (5) en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de

soluciones en el intervalo.

TEOREMA 1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogneo (5) en un intervalo

I.


12

Los dos teoremas siguientes son equivalentes a los teoremas (Soluci6n general, ecuaciones

homogneas) y (Solucin general, ecuaciones no homogneas) para sistemas lineales.

TEOREMA 1.5 Solucin general, sistemas homogneos

Sea , un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogneo (5) en un intervalo I. entonces la solucin general del sistema en el intervalo es

+ Donde las , i= 1,2,, n son constantes arbitrarias

EJEMPLO 5 Solucin general del sistema (6)

Del ejemplo 2 sabemos que son soluciones lineales

independientes de (6) en ( , ). Por tanto son un conjunto fundamental de

soluciones en el intervalo. La solucin general del sistema en el intervalo entonces es

X= (10)

EJEMPLO 6 Solucin general del sistema (8)

Los vectores

, ,

Son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3

Ahora.

W( ) = =

Para todos los valores reales t. se concluye que forman un conjunto fundamental

de soluciones en ( , ). Por lo que la solucin general del sistema en el intervalo es la

combinacin lineal X= ; es decir,

X= .


13

SISTEMAS NO HOMOGNEOS Para los sistemas no homogneos, una solucin

particular X, en un intervalo I es cualquier vector, sin parmetros arbitrarios, cuyos

elementos sean funciones que satisfagan al sistema (4).

TEOREMA 1.6 Solucin general: sistemas no homogneos

Sea una solucin dad del sistema no homogneo (4) en un intervalo I y sea

=

Que denota la solucin general en el mismo intervalo del sistema homogneo asociado (5).

Entonces la solucin general del sistema no homogneo en el intervalo es

X= .

La solucin general del sistema homogneo relacionado (5) se llama funcin

complementaria del sistema no homogneo (4)

EJEMPLO 7 Solucin general: sistema no homogneo

El vector = es una solucin particular del sistema no homogneo

= (11)

En el intervalo ( , ).

La funcin complementaria de (11) en el mismo intervalo o la solucin general = ,

como vimos en (10) del ejemplo 5 que . Por tanto, por el

teorema 6

X=

es la solucin general de (11) en ( , )

2. SISTEMAS LINEALES HOMOGNEOS

INTRODUCCIN Vimos en el ejemplo 5 de la seccin anterior que la solucin general del

sistema homogneo

= es

X=

Ya que los vectores y tienen la forma


14

= , i =1,2, donde , son constantes, nos inquieta preguntar si

siempre es posible hallar una solucin de la forma

X= =K (1)

Para la solucin del sistema lineal homogneo general del primer orden

X'= AX (2)

Donde A es una matriz n x n de constantes.

EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si (1) es un vector solucin del sistema

homogneo lineal (2),entonces ,por lo que el sistema se convierte en

.Despues de dividirlo entre y reacomodando, obtenemos o

.Ya que , la ultima ecuacin es igual a

La ecuacin matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultneas

Por lo que para encontrar soluciones de (2), necesitamos primeo encontrar una solucin no

trivial del sistema anterior; en otras palabras, debemos encontrar un vector no trivial que

satisfaga a (3).Pero para que (3) tengan soluciones que no sean la solucin obvia

, se debe tener

Esta ecuacin polinomial en se llama ecuacin caracterstica de la matriz . Sus soluciones

son los eigenvalores de .Una solucin de (3) correspondiente a un eigenvalor se

llama eigenvector de . Entonces una solucin del sistema homogneo (2) es .

En el siguiente anlisis se examina tres casos: eigenvalores reales y distintos (es decir, los

eigenvalores no son iguales), eigenvalores repetidos y, por ltimo, eigenvalores complejos.

2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS

Cuando la matriz tiene eigenvalores reales y distintos entonces

siempre se puede encontrar un conjunto de eigenvectores linealmente independientes

y


15

es un conjunto fundamental de (2) en intervalo

TEOREMA 2.1 Solucin general: Sistemas homogneos

Sean eigenvalores reales y distintos de la matriz de coeficientes del sistema

homogneo (2) y sean los eigenvectores correspondientes .Entonces la solucin

general de (2) en el intervalo est dada por

EJEMPLO 1. Eigenvalores distintos

Resuelva

SOLUCIN Primero determine los eigenvalores y eigenvectores de la matriz e coeficientes.

De la ecuacin caracterstica

vemos que los eigenvalores son y .

Ahora para (3) es equivalente a

Por lo que .Cuando , el eigenvector correspondiente es

Para tenemos

Por lo que ; por tanto con el eigenvector correspondiente es

Puesto que la matriz de coeficientes es una matriz de y como hemos encontrado dos

soluciones linealmente independientes de (4),

y ,

Se concluye que la solucin general del sistema es

DIAGRAMA DE FASE Debe considerarse que escribir una solucin de un sistema de

ecuaciones en trminos de matrices es simplemente una alternativa al mtodo que se emple

anteriormente, es decir, enumerar cada una de las funciones y la relacin entre las constantes.

Si sumamos los vectores en el lado derecho de (5) y despus igualamos las entradas con las

entradas correspondientes en el vector en el lado izquierdo, se obtiene la expresin familiar

Como se indic en la seccin anterior se puede interpretar estas ecuaciones como ecuaciones

paramtricas de curvas en el plano o plano fase. Cada curva, que corresponde a elecciones

especficas de y , se llama trayectoria.


16

EJEMPLO 2. Eigenvalores distintos Resuelva

SOLUCIN Usando los cofactores del tercer rengln, se encuentra

Y as los eigenvalores son

Para , con la eliminacin de Gauss-Jordan, se obtiene

Por tanto y .La eleccin da un eigenvector y el vector solucin

correspondiente

De igual manera, para

Implica que y Al elegir , se obtiene un segundo eigenvector y

el vector solucin

Por ltimo, cuando las matrices aumentadas

Producen

La solucin general de (6) es una combinacin lineal de los vectores solucin en (7), (8) y (9):


17

2.2 EIGENVALORES REPETIDOS

Por supuesto, no todos lo eigenvalores de una matriz de deben ser

distintos, es decir, algunos de los eigenvalores podran ser repetidos. Por ejemplo, la ecuacin

caracterstica de la matriz de coeficientes en el sistema

se demuestra fcilmente que es , y por tanto , es una raz de

multiplicidad dos. Para este valor se encuentra el nico eigenvector

es una solucin de (10). Pero como es obvio que tenemos inters en formar la solucin

general del sistema, se necesita continuar con la pregunta de encontrar una segunda solucin.

En general, si es un entero positivo y es un factor de la ecuacin caracterstica,

mientras que no es un factor, entonces se dice que es un eigenvalor de

multiplicidad .En los tres ejemplos que se dan a continuacin se ilustran los casos

siguientes:

1) Para algunas matrices de seria posible encontrar eigenvectores

linealmente independientes , correspondientes a un eigenvalor , de

multiplicidad . En esta caso la solucin general del sistema contiene la

combinacin lineal

2) Si slo hay un eigenvector propio que corresponde al eigenvalor de multiplicidad

, entonces siempre se pueden encontrar soluciones linealmente independientes de

la forma

.

.

.

,

donde las son vectores columna.

EIGENVALORES DE MULTIPLICIDAD DOS Se comienza por considerar eigenvalores

de multiplicidad dos. En el primer ejemplo se ilustra una matriz para la que podemos encontrar

dos eigenvectores distintos que corresponden a un doble eigenvalor.

EJEMPLO 3. Eigenvalores repetidos

Resuelva


18

SOLUCION Desarrollando el determinante en la ecuacin caracterstica

Se obtiene . Se ve que y

Para , con la eliminacin de Gauss-Jordan se obtiene de inmediato

El primer rengln de la ltima matriz indica que o . Las

elecciones y producen, a su vez, y ,

por lo que dos eigenvectores correspondientes son

Puesto que ningn eigenvector es mltiplo constante del otro, se han encontrado dos

soluciones linealmente independientes.

Que corresponden al mismo eigenvalor. Por ltimo, para la reduccin

Implica que y .Al seleccionar , se obtiene ; por

lo que el tercer eigenvector es

Concluimos que la solucin general del sistema es

La matriz de coeficientes del ejemplo 3 es un tipo especial de matriz conocida como matriz

simtrica. Se dice que una matriz de es simtrica si su transpuesta (donde se

intercambian renglones y columnas) es igual que , es decir, si . Se puede demostrar

que si la matriz del sistema es simetrica si tiene elementos reales, entonces

siempre es posible encontrar eigenvectores linealmente independientes , y la

solucin general de ese sistema es como se muestra en el teorema 1. Como se muestra en el

ejemplo 3, este resultado se cumple aun cuando estn repetidos algunos de los eigenvalores.


19

SEGUNDA SOLUCIN. Suponga que es un valor propio de multiplicidad dos y que solo

hay un eigenvectore asociado con este valor.- se puede encontrar una segunda solucin de la

forma

t + P (12)

Donde

K= y P=

EJEMPLO 4 Eigenvalores repetidos

Encuentre la solucin general del sistema dado en ( 10)

SOLUCIN de (11) se sabe qu y que una solucin es

Identificamos K= , encontramos de (14) que ahora debemos resolver

(A + 3I)P = K o

Puesto que resulta obvio que este sistema es equivalente a una ecuacin, se tiene un nmero

infinito de elecciones de .Por ejemplo, al elegir =1 se encuentra que = 1/6. Sin

embargo, por simplicidad =1/2 por lo que =0. Entonces

P = . As de (12) se encuentra que = .

La solucin general de (10) es X=

X= +

EIGEN DE MULTIPLICIDAD TRES Cuando la matriz de coeficientes A tiene slo un

eigenvector asociado con un eigenvalor de multiplicidad tres, podemos encontrar una

segunda solucin de la forma (12) y una tercera solucin de la forma

(15)

Donde


20

K = , P= , y =

Al sustituir ( 15)en el sistema = AX, se encuentra que los vectores columna K,P y Q debe

satisfacer

(A - I)K=0 (16)

(A - I)P=K (17)

(A - I)Q=P (18)

Por su puesto, las soluciones (16) y (17) se pueden usar para formar las soluciones .

EJEMPLO 5 Eigenvalores repetidos

Resuelva X.

SOLUCIN La ecuacin caracterstica = 0 demuestra que es un eigenvalor de

multiplicidad tres. Al resolver (A-2I)K= 0, se encuentra el nico eigenvector

K=

A continuacin se resuelve primero el sistema (A-2I)P = K y despus el sistema (A-2I)Q=P y

se encuentra que

P= y Q= .

Usando (12) y (15), vemos que la solucin general del sistema es

X= +

Cuando un eigenvalor (valor propio) tiene multiplicidad m, podr suceder que

determinemos m vectores propios linealmente independientes, o que la cantidad de vectores

propios correspondientes sea menor de m. En consecuencia, los dos casos de un eigenvalor

repetido no constituyen todas las posibilidades en que se puede presentar un eigenvalor


21

repetido; por ejemplo, es posible que una matriz de 5 x 5 tenga un valor propio de

multiplicidad cinco y que existan tres vectores propios linealmente independientes.

2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS

Si son eigenvalores complejos de la matriz de

coeficientes A, entonces se puede esperar de hecho que sus eigenvectores correspondientes

tambin tengan entradas complejas.

Por ejemplo, la ecuacin caracterstica del sistema

(19)

Es det(A- I)= = -10

De la forma cuadrtica se encuentra

Ahora para se debe resolver

(1 - 2i) - = 0

5 - (1 + 2i) = 0.

Puesto que - la eleccin - siguiente eigenvector y el vector

solucin correspondiente:

,

De manera similar, para =5-2i encontramos

,

Podemos comprobar por medio del Wronskiano que estos vectores solucin son linealmente

independientes y por lo tanto la solucin general de ( 19)es

X= + (20)

Observe que las entradas en correspondientes a son los conjugados de las entradas de

correspondientes a . El conjugado de es, por supuesto, Esto se escribe como y

.

TEOREMA 2.2. Soluciones correspondientes a un eigenvalor complejo


22

Sea A una matriz de coeficientes que tiene entradas reales del sistema homogneo ( 2)y sea

un eigenvector correpondiente al eigenvalor complejo Entonces

Son soluciones de (2). Es deseable y relativamente fcil rescribir una solucin tal como (20) en trminos de funciones reales. Con este fin primero usamos la frmula de Euler para escribir.

.

Entonces, multiplicando los nmeros complejos, agrupando trminos y reemplazando

Por y ( por se convierte en

X= + , (21)

Donde y

Ahora es importante reconocer que los dos vectores, y en (21) son, en s mismos,

soluciones reales linealmente independientes del sistema original. En consecuencia, podemos

pasar por alto la relacin entre , y para considerar que y son completamente

arbitrarios y reales; en otras palabras, la combinacin lineal, ecuaciones (21), es una solucin

general alternativa de (19).

Se puede generalizar el procedimiento anterior. Sea un eigenvector de la matriz de

coeficientes A (con elementos reales) que corresponde al eigenvalor complejo . Entonces los dos vectores solucin del teorema 2.1 se pueden expresar como sigue:

Por el principio de superposicin, teorema 2, los siguientes vectores tambin son soluciones:

.

Tanto = a como son nmeros reales para cualquier nmero

complejo z=a+ib. Por lo tanto, los elementos de los vectores columna

son nmeros reales. Si definimos

(22)

Conduce al siguiente teorema


23

TEOREMA 2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor complejo

Sea un eigenvalor complejo de la matriz de coeficientes A en el sistema

homogneo (2) y sean y los vectores columna definidos en (22) entonces:

(23)

Son soluciones linealmente independientes de (2) en (-, )

Las matrices y en (22) con frecuencia se denotan por

y (24)

Ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginarias del eigenvector

Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con

.

= y

EJEMPLO 6 Eigenvalores complejos

Resuelve el problema con valores iniciales

X, X(0)= (25)

Primero se obtienen los eigenvalores a partir de

det(A - I)=

Los eigenvalores son =2i y Para el sistema

(2-2i)

-

da eligiendo , se obtiene

Ahora de (24) formamos

.

Puesto que =0, se tiene a partir de (23) que la solucin general del sistema es


24

X=

= (26)

3. SISTEMAS LINEALES NO HOMOGNEOS

INTRODUCCIN

En la seccin 1.1 vimos que la solucin general de un sistema lineal no homogneo

en un intervalo es , donde

es la funcin complementaria o solucin general del sistema lineal homogneo asociado

y es cualquier solucin particular del sistema no homogneo. En la seccin 1.2

vimos como obtener cuando la matriz de coeficientes era una matriz de constantes

.En esta seccin consideraremos dos mtodos para obtener .

Los mtodos de coeficientes indeterminados y variacin de parmetros empleados para

determinar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no

homogneas, se pueden adaptar a la solucin de sistemas lineales no homogneos

. De los mtodos, variacin de parmetros es la tcnica ms poderosa. Sin

embargo, hay casos en que el mtodo de coeficientes indeterminados provee un medio rpido

para encontrar una solucin particular.

3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS

LAS SUPOSICIONES. Como en la seccin anterior, el mtodo de coeficientes

indeterminados consiste en hacer una suposicin bien informada acerca de la forma de un

vector solucin particular la suposicin es originada por los tipos de funciones que

constituyen los elementos de la matriz columna .No es de sorprender que la versin

matricial de los coeficientes indeterminados sea aplicable a slo cuando los

elementos de son constantes y los elementos de son constantes, polinomios, funciones

exponenciales, senos y cosenos o sumas y productos finitos de estas funciones.

EJEMPLO1. Coeficientes indeterminados

Resuelva el sistema en

SOLUCIN Primero resolvemos el sistema homogneo asociado

.

La ecuacin caracterstica de la matriz de coeficientes .

,


25

produce los eigenvalores complejos y . Con los procedimientos de la

seccin 1.2, se encuentra que

Ahora, puesto que es un vector constante, se supone un vector solucin particular

constante

.Sustituyendo esta ltima suposicin en el sistema original e igualando las entradas

se tiene que

.

Al resolver este sistema algebraico se obtiene y y as, una solucin particular

.La solucin general del sistema original de la ecuacin difencial en el intervalo

es entonces

EJEMPLO2. Coeficientes indeterminados

Resuelva el sistema

SOLUCIN. Se determina que los eigenvalores y los eigenvectores del sistema homogneo

asociado

son , , , .

Por lo tanto la funcin complementaria es

Ahora bien, debido a que se puede escrbir como se tratara de

encontrar una solucin particular del sistema que tenga la misma forma:

Sustituyendo esta ltima suposicin en el sistema dado se obtiene

De la ltima identidad se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incgnitas

Y

Resolviendo de forma simultanea las primeras dos ecuaciones se obtiene y .

Despus, se sustituyen estos valores en las dos ltimas ecuaciones y se despeja para y .


26

Los resultados son , .Por tanto, se tiene que un vector solucin particular es

La solucin general del sistema en es o

EJEMPLO 3. Forma de

Determine la forma de un vector solucin particular para el sistema.

Solucin. Ya que se puede escribir en trminos matriciales como

una suposicin natural para una solucin particular seria

COMENTARIOS

El mtodo de coeficientes indeterminados para sistema lineales no es tan directo como

pareceran indicar los ltimos tres ejemplos. En la seccin 4.4 la forma de una solucin

particular se predijocon base en el conocimiento previo de la funcin complementaria .Lo

mismo secumple para la formacin de .Pero hay otras dificultades: las reglas que gobiernan

la forma de en la seccin anterior no conducen a la formacin de .Por ejemplo,si es

un vector constante como en el ejemplo 1 y es un eigenvalor de multiplicidad

uno,entonces contiene un vector constante.Bajo la regla e multiplicacin de la pgina 146 se

tratara comnmente de una solucin particular de la forma = .Esta no es la suposicin

apropiada para sistema lineales,la cual debe ser = .De igual manera, en el

ejemplo 3, si se remplaza en por , entonces la forma

correcta del vector solucin particular es

=

En vez de ahondar en estas dificultades, se vuelva al mtodo de variacin de parmetros.

3.2VARIACION DE PARAMETROS.


27

Una matriz fundamental si es un conjunto fundamental de soluciones del sistema

homogneo en el intervalo ,entonces su solucin general en el intervalo es la

combinacin lineal o

La ltima matriz en se reconoce como el producto de una matriz con una matriz de

En otras palabras, la solucin general se puede escribir como el producto

Donde es un vector columna de constantes arbitrarias y la matriz ,

cuyas columnas consisten en los elementos de los vectores solucin del sistema

Se llama matriz fundamental del sistema en el inrvalo.

En el anlisis siguiente se requiere usar dos propiedades de una matriz fundamental

Una matriz fundamental es no singular.

Si es una matriz fundamental del sistema , entonces

Un nuevo examen de (9) del teorema 8.1.3 muestra que es igual al Wronskiano

.Por tanto, la independencia lineal de las columnas de en el intervalo

garantiza que para toda en el intervalo.Puesto que es no singular, el

inverso multiplicativo exista para todo en el intervalo.

El resultado dado en (3) se deduce de inmediato del hecho de que cada columna de es un

vector solucin de .

VARIACIN DE PARMETROS Anlogamente al procedimiento de la seccin 4.6 nos

preguntamos si es posible reemplazar la matriz de constantes en (2) por una matriz columna

de funciones


28

es una solucin particular de sistema no homogneo

Por la regla del producto la derivada de la ltima expresin en (4) es

Observe que el orden en los productos en (6) es muy importante. Puesto que es una

matriz columna, los productos y no estn definidos. Sustituyendo (4) y

(6) en (5), se obtiene

Ahora si usa (3) para reemplazar , (7) se convierte en

O

Multiplicando ambos lados de la ecuacin (8) por , se obtiene

por tanto

Puesto que , se concluye que una solucin particular de (5) es

Para calcular la integral indefinida de la matriz columna en (9), se integra cada

entrada.Asi, la solucin general del sistema (5)es o

Observe que no es necesario usar una constante de integracin en la evaluacin de

por las mismas razones expresadas en la explicacin de variacin de

parmetros en la seccin anterior.

EJEMPLO 4 Variacin de parmetros

Resuelva el sistema

Solucin Primero resolvemos el sistema homogneo asociado

La ecuacin caracterstica de la matriz de coeficientes es


29

Por lo que los eigenvalores son y .Con el mtodo usual se encuentra que los

eigenvectores correspondientes a y son, respectivamente, y .Entonces,

los vectores solucin del sistema son

Las entradas en a partir de la primera columna de y las entradas en a partir de la

segunda columna de .Por lo tanto

A partir de (9) anterior obtenemos

Por tanto a partir de (10) anterior la solucin del sistema en el intervalo es

Problema con valores iniciales la solucin general de (5) en el intervalo se puede escribir en

una forma alternativa

Donde y son puntos en el intervalo.Esta ultima forma es til para resolver (5) sujeta a una

condicin inicial , porque los lmites de integracin se eligen de tal forma que la


30

solucin particular sea cero en .Sutituyendo en (13) se obtiene a

partir de la que se obtiene Sustituyendo este ultimo resultado en (13) se

obtiene la siguiente solucin del problema con valores iniciales:

4. MATRIZ EXPONENCIAL

INTRODUCCION Las matrices se pueden usar de una manera completamente distinta para

resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recuerde que la

ecuacin diferencial lineal simple de primer orden , donde a es constante,tiene la

solucin general ,donde es constante.Parece natural preguntar si se puede definir

una funcin exponencial matricial ,donde es una matriz de cnstantes por lo que una

solucin del sistema es .

Sistemas homogneos Ahora veremos que es posible definir una matriz exponencial tal

que

Es una solucin del sistema homogneo .Aqui es una matriz de de constanres

y es una matriz de columna de constantes arbitrarias .Observe en (1) que la matriz

se multiplica por la derecha a porque queremos que sea una matriz de .Mientras

que el desarrollo completo del significado y teora de la matriz exponencial requerira un

conocimiento completo de algebra de matrices, una forma de definir se baa en la

representacin en serie de potencias dela funcin exponencial escalar :

La serie en converge para todo .Si se usa esta serie, con la identidad en ves de 1 y la

constante se reemplaza por una matriz de constantes, se obtiene una definicin para

la matriz ,

Definicin 4.1 Matriz exponencial

Para cualquier matriz ,

Se puede demostrar que la serie dada en converge a una matriz para todo valor de

.Tambien , , etctera.

Derivada de La derivada de la matriz exponencial es similar a la propiedad de derivacin

de la exponencial escalar . Para justificar

derivamos (3) termino por termino


31

Debido a (4), ahora se puede probar que (1) es una solucin de para odo vector

de constantes:

es una matriz fundamental Si se denota la matriz exponencial con el smbolo

,entonces (4) es equivalente a la ecuacin diferencial matricial (vase (3)

de la seccin 8.3).Ademas, se deduce de inmediato de la definicin 8.4.1 que

, y por tanto .Se tiene que estas propiedades son suficientes para

concluir que es una matriz fundamental del sistema .

SISTEMAS NO HOMOGENEOS

Se vio en (4) de la seccin 2.4 que la solucin general de la ecuacin diferencial lineal nica

de primer orden , donde es una constante, se puede expresar como

Para un sistema no homogneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se puede

demostrar que la solucin general de , donde es una matriz de

constantes, es

Puesto que la matriz exponencial es una matriz fundamental, siempre es no singular y

.En la practica, se puede obtener de al reemplazar por .

CALCULO DE La definicin de dada en (3) siempre se puede usar para calcular

.Sin embargo, la utilidad prctica de (3) est limitada por el hecho de que los elementos de

son series de potencias en .Con un deseo natural de trabajar con cosas simples y

familiares, se trata de reconocer si estas series definen una funcin de forma cerrada. Vanse

los problemas 1 a 4 de los ejercicios 1.4.Por fortuna, hay muchas formas alternativas de

calcular ; la siguiente explicacin muestra como se puede usar la transformada de Laplace.

USO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Vimos en (5) que es una solucin

de .

De hecho, puesto que , es una solucin de problema con valores iniciales

Si .entonces la transformada de Laplace de (6) es


32

o ,

Multiplicando la ltima ecuacin por se tiene que

.

En otras palabras, o

Ejemplo 1. Matriz exponencial

Use la transformada de Laplace para calcular para

SOLUCIN Primero calcula la matriz y detemine su inversa:

Entonces, descomponiendo las entradas de la ltima matriz en fracciones parciales:

Se deduce de (7) que la transformada de Laplace inversa de (8) proporciona el resultado

deseado


33

REFERENCIAS

A.Kiseliov, M.Krasnov,G.Makarenko., Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Edit. Mir. Per 1982.

Dennis G,Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado,Edit. Intemational Thomson.Mxico1997.

Espinoza R.,Eduardo. Ecuaciones diferenciales y aplicaciones, Edit. J .J. Servicios Grficos. Per 2004.

Escobar A, Jaime. Ecuaciones diferenciales, extrado desde http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/, el 5 de junio del 2010.

Sistemas de ecuaciones lineales, extrado desde http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al02.htm#1, el 6 de junio

del 2010.

3ra unidad

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