3_movimiento_ondulatorio16159

2 Mg. John Cubas Snchez

Los fenmenos ondulatorios estn presentes en mltiples situaciones cotidianas:

ONDAS ONDAS

ELECTROMAGNTICASELECTROMAGNTICAS

ONDAS ONDAS

MECNICASMECNICAS

Casi todo lo que ocurre a nuestro alrededor se puede relacionar con el comportamiento de tipo ondulatorio.

Lo que se lee en estos momentos se debe a las ondas luminosas; lo que escuchamos a las ondas sonoras.

Las cosas tienen su propia temperatura debido a que sus componentes, los tomos estn vibrando permanentemente.

La vibracin es la causa de las ondas.


MOVIMIENTO ONDULATORIO

-Las partculas se desplazan relativamente poco de su posicin de equilibrio.

-No hay transporte de materia de un punto a otro -Se transmite una perturbacin, energa y cantidad de

movimiento.


(Un Compor tamiento de la Naturaleza)(Un Compor tamiento de la Naturaleza)

Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, se provoca una vibracin; la cuerda se mueve en forma ondulatoria y el aire que esta dentro de la caja de resonancia se comporta tal que el sonido es amplificado.


La mayora de los objetos, especialmente los denominados elsticos; vibran si durante un espacio de tiempo se le aplica una fuerza. Mientras la fuerza se le aplica, se deforman; pero luego recuperan su forma y su posicin original; posicin de equilibrio. Por ejemplo; al accionar una cuerda de guitarra; un elstico o un resorte.

Una gota de lluvia no representa en s un fenmeno ondulatorio. Sin embargo cuando llega al suelo y cae, en un charco de agua; produce una serie de anillos concntricos que se mueven alejndose del punto donde cay la gota. El golpe genera una onda en todas direcciones.


La vibracin de un medio cualquiera, producto de una perturbacin externa produce ondas. Una onda, por lo tanto, es una perturbacin que viaja por el medio.

Una vibracin simple, como pulsar una cuerda de guitarra, produce lo que se denomina un pulso : una nica perturbacin que viaja por el medio de propagacin

Un pulso es una nica deformacin que

Viaja en un medio determinado.


Una onda es una sucesin de pulsos ondulatorios


ELEMENTOS DE LAS ONDAS


CARACTERSTICAS DE LAS ONDAS

Se propagan, no son estticas, se mueven, viajando de un punto a otro.

El movimiento ondulatorio es distinto al movimiento oscilatorio.

Cresta

Valle

Amplitud de onda

Longitud

de onda

Nodo Elongacin

PerfilPerfil oo patrnpatrn dede ondaonda

Mg. John Cubas Snchez 10

a. Por el medio de

propagacin

Mecnicas

Electromagnticas

b. Por la direccin

de propagacin

Transversal

Longitudinal

c. Por su dimensin

Unidimensional

Bidimensional

Tridimensional

Las ondas mecnicas slo existen cuando existe un medio material para propagarse (slido, lquido o gas)


Las ondas electromagnticas, en cambio, pueden presentarse en un medio material o en ausencia de l. Ejemplo de este tipo de ondas son la luz y la radiacin solar.


La onda se propaga perpendicularmente a la direccin de oscilacin de las partculas.

La onda se propaga paralelamente a la direccin de oscilacin de las partculas.


Se propaga en una sola direccin

Se propaga en una superficie

Se propaga en el espacio

La perturbacin viaja por el medio con rapidez de propagacin determinada por las condiciones del medio.

El medio no viaja, lo que viaja es el patrn.

Debe aportarse energa para iniciar el movimiento ondulatorio.

LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGIA, NO MATERIA !

Definicin: Definicin: Perturbacin que viaja por un material.


ONDAS MECANICAS

ONDAS TRANSVERSALESONDAS TRANSVERSALES

Una onda transversal en una cuerda se produce si el extremo de

sta se mueve perpendicularmente a su longitud. La onda viaja a lo largo de la cuerda, en tanto que sta misma vibra

perpendicularmente respecto de esa direccin


ONDAS MECANICAS

ONDAS LONGITUDINALES:


Una onda longitudinal en un resorte se produce si uno de sus

extremos se mueve en la misma direccin de su longitud.

Son una combinacin de los

casos anteriores; en parte son

transversales y en parte

longitudinales. Un ejemplo de

una superficial es el

movimiento de una ola de mar.

NotaNota :: Los sismos son movimientos

ondulatorios. En un sismo se

producen ondas de dos tipo: ondas S,

que son transversales y onda P, que

son longitudinales


ONDAS SUPERFICIALES:

ONDAS LONGITUDINALES + TRANSVERSALES:

DESCRIPCIN MATEMTICA DE UNA ONDA

(ONDA ARMNICA)

(FUNCIN DE ONDA)

X

y = f (x; t)


FUNCIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL

Movimientos cclicos de diferentes puntos del medio estn desfasados en diversas fracciones de un ciclo: DIFERENCIA DE FASE.

Un punto: desplazamiento mximo positivo.

Otro punto: desplazamiento mximo negativo.

PUNTOS DESFASADOS

MEDIO CICLO.


ONDAS ARMNICAS

LONGITUD DE ONDA: (Longitud de un patrn de onda completo)

PERIODO: (Lapso en que onda avanza un patrn

de onda completo)


l

T

(Frecuencia que indica el nmero de

veces que vibra una onda en una

unidad de distancia, en proporcin al

cambio de ngulo)

NMERO DE ONDA

l

2k

k

w FRECUENCIA

ANGULAR:

FRECUENCIA: (Nmero de oscilaciones en cada

unidad de tiempo. f

(Frecuencia que indica el nmero de

veces que vibra una onda en una

unidad de tiempo , en proporcin al

cambio de ngulo)

T

w

2

fw 2

Tf

1

RAPIDEZ DE

PROPAGACIN: (Rapidez constante con que avanza la

onda) v

Adems de:

lfv


w

2

2

kv

EN MUCHAS SITUACIONES IMPORTANTES LA VELOCIDAD DE PROPAGACIN

DE LA ONDA DEPENDE UNICAMENTE DE LAS PROPIEDADES MECANICAS

DEL MEDIO.

Tv

l

La rapidez de onda, la longitud de onda

y el periodo se relacionan por medio de:

l

2k

T

w

2

k

l

2

w

2T

O tambin:

Reemplazando: k

vw

Luego:


Ondas viajeras unidimensionalesOndas viajeras unidimensionales Una onda viajera es una perturbacin que se propaga a lo largo de un

medio a una velocidad definida.

Una onda viajera se puede representar como una funcin y = f(x). Al

desplazamiento mximo del pulso se le llama amplitud. Si la forma del

pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el

desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos ulteriores como:

y = f(x vt)

Donde v es la velocidad de desplazamiento del pulso. A la funcin y se le

llama a veces funcin de onda.

Una onda senoidal es aquella cuyo desplazamiento y en funcin de la posicin est

dado por:

xAy

l

2sen

La funcin para todo t es:

vtxAy

l

2sen


Esta sera una instantnea de la onda senoidal en t = 0.

0


tfAtAtxy w 2coscos;0

t

v

xt

v

xtcosAt;xy w)(

x


v

xtAtxy wcos);(

Adems: coscos

t

v

xAtxy wcos);(

Onda senoidal que avanza

en la direccin + x:

t

v

x

TcosAt;xy

2)(

T

txcosAt;xy

l2)(

Donde: l

2k

T

w

2

Nmero de onda

Frecuencia angular

txkcosAt;xy w)(

kTv

wl Velocidad de la onda



l

x

AxkAtxy 2coscos0;

T

tcosAtcosAtcosAt;xy ww 20



tfcosAtcosAt;xy w 20

x

t

v

xt

t

v

xcosAt;xy w)(

0



t

v

x

TcosAt;xy

2)(

T

txcosAt;xy

l2)(

txkcosAt;xy w)(

t

v

xAtxy wcos);(

Onda senoidal que avanza

en la direccin x:

En general:

txkcosAt;xy w)(

Donde: txk w Fase

Mientras seguimos una onda:

tetanconstxk w

Derivando respecto

al tiempo: 0w

dt

dxk

kdt

dx w

Tkv

lw (Velocidad(Velocidad dede fase)fase)

ONDAS PERIDICAS = COMBINACIN DE ONDAS SENOIDALES (Armnicas)

(Ondas Armnicas)


Reflexin

Refraccin

Dispersin

Transmisin

Difraccin

Interferencia


Podemos diferenciar los medios materiales de acuerdo con su densidad, esto es, su masa por unidad de volumen .

El aire es menos denso que el agua. El acero es ms denso que el concreto. El vaco, a diferencia de aquellos, no tiene densidad, pues no tiene materia.

Cuando una onda se propaga en un medio con cierta densidad y en su camino de propagacin se encuentra con otro medio mucho ms denso (para el tipo de onda), puede ocurrir que la onda "rebote". En ese caso, decimos que la onda se refleja.


Cuando la onda avanza en el medio, se dice que es una onda incidente. Cuando se es desviada por otro medio (de mayor densidad) al medio inicial, decimos que es una onda reflejada.


Entonces podemos reconocer dos ondas:

Pulso incidente

Reflexin de un pulso de onda viajera

en el extremo fijo de una cuerda

alargada.

El pulso reflejado se invierte, pero su

forma permanece igual.


Pulso

reflejado

Pulso

reflejado

Reflexin de un pulso de onda viajera

en el extremo libre de una cuerda

alargada.

El pulso reflejado no se invierte.


Pulso incidente

Cuando una onda se propaga y en su recorrido debe cambiar medio, puede ocurrir que parte de ella se refleje y otra parte contine recorrido en el otro medio.

Si una onda pasa de un medio menos denso a otro ms denso, gran parte de ella se refleja y slo una pequea se transmite al otro medio.


Pulso incidente

Pulso reflejado Pulso transmitido

Un pulso viaja hacia la derecha en

una cuerda ligera unida a una

cuerda pesada. Parte del pulso se

refleja y parte del pulso se transmite

a la cuerda ms pesada.

Pulso incidente

Pulso reflejado Pulso transmitido

Un pulso viaja hacia la derecha en

una cuerda pesada unida a una

cuerda ligera. Parte del pulso se

refleja y parte del pulso se transmite

a la cuerda ms ligera.


Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA > vB (es decir,

cuando B es ms denso que A), el pulso se invierte en la reflexin.

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA < vB (es decir,

cuando A es ms denso que B), el pulso no se invierte en la reflexin.


La refraccin de onda es una propiedad que est estrechamente relacionada con la transmisin.

Cuando una onda pasa de un medio a otro, en la mayora de los casos cambia la direccin de propagacin.

Si el ngulo de incidencia es 0, la onda incidente tiene la direccin de la normal y al pasar al otro medio lo hace en la misma direccin.



2211 sennsenn

Donde:

n1 = ndice de refraccin del medio 1

n2 = ndice de refraccin del medio 2

LeyLey dede SnellSnell:: nn11

nn22

nn1 1 < < nn22


La difraccin es un fenmeno

caracterstico de las ondas

consistente en el curvado y esparcido

de las ondas cuando encuentran un

obstculo o una abertura o rendija. La

difraccin permite que se desven a

travs de ella y pasen de un sector de

un medio a otro sector. La abertura se

comporta como un nuevo origen de la

onda. La difraccin ocurre en todo

tipo de ondas, desde ondas sonoras,

ondas en la superficie de un fluido y

ondas electromagnticas como la luz

y las ondas de radio.

La dispersin ocurre cuando

un frente de onda se refleja

en un obstculo en todas

direcciones.

Cuando una onda sonora

emitida por una fuente llega

a un obstculo, el sonido se

reflejar en l en mltiples

direcciones, permitiendo que

arribe a la mayora de los

sectores del lugar en donde

se produce.


Cuando una onda incidente o reflejada se mezcla con otra onda, incidente o reflejada, se produce el fenmeno denominado interferencia.


TIPOS

INTERFERENCIA

CONSTRUCTIVA

INTERFERENCIA

DESTRUCTIVA


La interferencia constructiva se produce cuando dos ondas

se interceptan al coincidir en el mismo lugar, en el mismo

instante de tiempo. Se dice que estas ondas estn en fase.

Onda 1

Onda 2

Resultante

La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas se interceptan, pero estn desplazadas una respecto de la otra. Se dice que estas ondas estn desfasadas (en el ejemplo estn totalmente desfasadas).


Onda 1

Onda 2

Resultante

La funcin de onda est dada por: tkxcosAt,xy w

La velocidad de las partculas: tkxAsent

t,xyt,xvy ww

La aceleracin de las

partculas: tkxcosA

t

t,xyt,xay ww

2

2

2

t,xyt,xay2w


VELOCIDAD Y ACELERACIN DE

PARTCULAS DE UNA ONDA SENOIDAL

La funcin de onda est dada por: tkxcosAt,xy w

tkxkAsenx

t,xyw

tkxcosAkx

t,xyw

22

2

t,xykx

t,xy 22

2


ECUACIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL

t,xyt

t,xy 22

2

w

t,xykx

t,xy 22

2

22

2

2

2

2

k

x

t,xy

t

t,xy

w

2

2

2

2

2

v

x

t,xy

t

t,xy

2

22

2

2

x

t,xyv

t

t,xy

Ecuacin de ondaEcuacin de onda




La aceleracin ay en cada punto es proporcional al desplazamiento y en ese punto.

La aceleracin es hacia arriba donde la curvatura es hacia arriba y hacia abajo donde

la curvatura es hacia abajo.


La velocidad de propagacin depende de las propiedades del medio, en relacin

con la rapidez con la que cada partcula del medio es capaz de transmitir la

perturbacin a su compaera.

En los medios ms rgidos las velocidades son mayores que en los medios ms

flexibles.

En los medios ms densos las velocidades son mayores que en los menos

densos.

2

22

2

2

x

yv

t

y

Ecuacin de ondaEcuacin de onda



x

t,xyFt,xFy

La fuerza que produce

la oscilacin es:

La Potencia producida en el movimiento ondulatorio es: t,xvt,xFt,xP yy

t

t,xy

x

t,xyFt,xP

Para una onda senoidal:

txkcosAt,xy w

txkAsenkx

t,xyw

txkAsent

t,xyww

txksenAkFt,xP ww 22

=F

POTENCIA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Un mtodo para para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una

cuerda continua.


RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL



(EN UNA CUERDA: Caso especial)


Impulso en el eje y: yy mvtF

Impulso en el eje x: vmtF

v

v

F

F yy

Fv

vF

y

y

Impulso transversal en el eje y:

tFv

vtF

y

y

La variacin del momento lineal

transversal en el eje y:

yy vtvmv


(EN UNA CUERDA: Caso especial)


Impulso transversal en el eje y es igual a La variacin del momento lineal

transversal en el eje y:

y

yvtvtF

v

v

2vF

Fv

RapidezRapidez dede unauna ondaonda transversaltransversal enen

unauna cuerdacuerda::


A

B

ABy FF tantan

La fuerza resultante en la direccin y es:

Para ngulos pequeos se cumple:

tansen

ABy sensenFF

RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA

yyFFFy 12

ABy tanFtanFF

AB

yx

y

x

yFF

2

2

t

yxmaF yy

2

2

2

2

x

yF

t

y

2

22

2

2

x

yv

t

y

Es decir:

La 2a. Ley de Newton:

x

xyxy

t

y

F

AB

2

2

De aqu obtenemos:

Comparando con la ecuacin de onda:


Fv

2

2

t

yx

x

y

x

yF

AB

0xSi


(PARA UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA)


Adems de: k

vw

vk

w

Donde:

Fv

Reemplazando en la Potencia:

txksenAkFt,xP ww 22

txksenAv

Ft,xP www

22

txksenAF

Ft,xP ww

2221

txksenAFt,xP ww 222

Siendo la Potencia mxima:

22 AFPmx w


(PARA ONDA SENOIDAL)


La Potencia media ser:

22

2

1AFPmed w

La energa asociada a un cuerpo

que oscila con movimiento

armnico es: 22

21 A

dt

dx

dt

dEP w


22212

2

1AmAkE w

Si aplicamos a cada elemento m

de la cuerda obtenemos:

2221 AmE w

En trminos de la densidad lineal:

2221 AxE w

Luego, la potencia ser:

vAP 2221 w

medPAFP 22

2

1w

w

FAP 22

21


r = densidad Y = mdulo de Young

z

x

y

x

dx dx + dy

o

A Y TT TT

r

A = rea de seccin recta

El mdulo de

Young se define

como:

x

yA

T

Y

Donde:

A

T

x

y

Reemplazando:


Despejando la tensin:

x

yYAT

Derivando respecto a x:

x

y

xYA

x

T

Luego:

2

2

x

yYA

x

T

Dado que existe una deformacin

longitudinal, la fuerza neta ser:

T'TTd

O tambin: xdx

TTd

De la segunda Ley de Newton:

2

2

t

ydmTd

Reemplazando: 2

2

t

ydmxd

x

T

Donde: xdAdVdm rr


2

2

t

ydmxd

x

T

Se obtiene la rapidez de la onda en

la barra: 2

2

2

2

t

yxAdxd

x

yAY

r

2

2

2

2

t

y

x

yY

r

2

2

2

2

x

yY

t

y

r

Comparando con la ecuacin de

onda:

2

22

2

2

x

yv

t

y

Reemplazando en:

r

Yv 2

r

Yv


z

x

y

x

dx dx + dy

o A

B

r

PAPA PAPA

ro

ro = densidad inicial B = mdulo de compresibilidad

r = densidad final

odm

odV

Consideremos

un gas ideal

en un proceso

adiabtico

g = constante adiabtica

La masa permanece constante:

dmdmo

g

dVdVoo rr

dV

dm

dydxAAdxo rr


dydx

dxo

r

r

dx

dydxo

rr

dx

dyo

1

rr

1

1

dx

dyorr

Como: 1dx

dy

dx

dyo 1rr

Usando el Binomio

de Newton:

dx

dyoo rrr

dx

dyoo rrr

La presin alrededor de

la posicin xo se puede

escribir como una serie

de Taylor:

En primera aproximacin:

rrr

rr

d

dPPP ooo

Donde: oPP o r

Y de:

V

mr

1 mVr


Reemplazando en

el Mdulo de

compresibilidad:

dV

dPVB o

1 mVddrdVmVd 2r

2

mV

ddV

r

m

dVdV

r2

oo

m

dVdV

r2

oo

o

m

dV

dPVB

r2

rd

dP

V

mB

o

o

rr

d

dPB o

Despejando:

o

B

d

dP

rr

oo

o

BPP rr

rr

Reemplazando en el

Polinomio de Taylor:

oo

o

BPP rr

r


De donde:

dx

dyBPP o

oo r

r

dx

dyBPP o

Para pequeos cambios

de presin:

dx

dyBdP

La fuerza que produce

el movimiento es:

AP'PF

AdPF

dx

dyABF

APP'F Para pequeos cambios

de presin:

dx

dyABddF

dxdx

dy

dx

dABdF

dxdx

ydABdF

2

2

De la 2 Ley de

Newton:

dmadF

Donde la masa es:

dVdm r

Adxdm r

Y la aceleracin:

2

2

dt

yda


2

2

2

2

dt

ydAdxdx

dx

ydAB r

Reemplazando en la 2 Ley

de Newton:

2

2

2

2

dx

ydB

dt

yd

r

Comparando con la

ecuacin de onda:

2

22

2

2

x

yv

t

y

r

Bv 2

r

Bv

Otras relaciones:

a)

Proceso adiabtico:

ctePV g

gV

kP

g kVP

1 ggVkdV

dP

Reemplazando en

el Mdulo de

compresibilidad:

dV

dPVB

1 ggVkVB

gg kVB

PB g


Reemplazando en la

rapidez de la onda:

r

g Pv

b)

De la ecuacin de

estado:

nRTPV

RTM

mPV

RTV

mPM

RTPM r

M

RTP

r

Reemplazando en la

rapidez de la onda:

r

rg

M

RT

v

M

RTv

g

c)

Considerando el aire

un gas diatmico; a

0C = 273,15K:

310928

15273314841

,

,,,vo

s

m,vo 7331

Para el aire:


Para otras temperaturas del

aire podemos obtener:

M

RTv

g

M

,Rvo

15273g

15273,

T

v

v

o

152737331

,

T,v

Cuando una cuerda est atada a un punto fijo y la movemos de tal forma que se produzcan pulsos sucesivos, obtenemos el fenmeno de reflexin y de interferencia.

La onda reflejada interferir con la onda incidente. Habr interferencias constructivas e interferencias destructivas.

Los puntos donde se produce interferencia destructiva se denominan nodos. Y las zonas donde se produce interferencia constructiva se denominan antinodos.


Los puntos N, se denominan

nodos. Los puntos A se

denominan antinodos

y1 = A sen (kx + w t) y2 = A sen (kx w t)

y = 2A sen (k x) cos (w t )

tkxsentkxsenAyy ww 21

2cos

2221

tkxtkxtkxtkxAsenyy

wwww


2cos

22

BABAsenBsenAsenDonde:


1xksen

2

12

nxk

2

122

l

nx

4

12l

nx Posicin de los antinodos

0xksen

nxk

l

nx

2

2

lnx

Posicin de

los nodos


txkAtxy w cos);(

l

2k

T

w

2

Velocidad de la onda

(de propagacin):

Frecuencia angular:

Nmero de onda:

fw 2

Tf

1Frecuencia normal o frecuencia:

Tv

l

fv l

kv

w


tkxAsent

txytxvy ww

,,

tkxAt

txytxay ww

cos

,, 2

2

2

t,xyt,xay2w

Velocidad de las partculas

que oscilan (de oscilacin):

Aceleracin de las partculas

que oscilan (de oscilacin):

2

22

2

2

x

t,xyv

t

t,xy

txksenAkFt,xP ww 22Potencia instantnea de las ondas: 22 AFPmx w

22

2

1AFPmedia w


Medio material Velocidad de la

onda

Onda transversal en una cuerda tensa

Onda longitudinal en una barra rgida slida

Onda longitudinal en una columna de fluido (lquido o

gas)

Onda longitudinal en una columna de gas

Onda longitudinal en una columna de gas ideal

Onda longitudinal en una columna de aire

Fv

r

Yv

r

Bv

r

g Pv

M

TRv

g

15,2737,331

Tv

F = fuerza tensora

= densidad lineal de masa

Y = mdulo de Young

B = mdulo de compresibilidad

g = constante adiabtica

P = presin

R = constante universal de los

gases ideales

T = temperatura, en kelvin

M = masa molar, en kg/mol

VELOCIDADESVELOCIDADES DEDE PROPAGACINPROPAGACIN DEDE LALA ONDAONDA

1.- Un movimiento ondulatorio se propaga segn la ecuacin: y(x, t) = 0,5 sen (0,785 x 0,628 t ) m. Determine:

a)La longitud de onda

b)La frecuencia

c) La amplitud de la propagacin.

d) La rapidez de propagacin de la onda Solucin:Solucin:

y(x, t) = A sen (k x w t)

y(x, t) = 0,5 sen (0,785 x 0,628 t )

A = 0,5 m

w = 0,628 rad/s

k = 0,785 m 1

a) k

l

2

785,0

2l

l = 8,00 m

b) w = 2 f

w

2f

2

628,0f

f = 0,09994 Hz

c) A = 0,5 m


d)

kv

w

785,0

628,0v

smv /8,0

2.- Por una cuerda se propaga una onda cuya ecuacin es: y(x, t)=2 sen (x + 6 t ), donde x e y vienen en

metros y t en segundos Determine:

a) La velocidad con que se propaga

b) La velocidad transversal en un punto situado a x = 4 m en el instante t = 5 s

c) Representa grficamente los valores de la elongacin y de la velocidad en funcin del tiempo.

Solucin:Solucin:

y(x, t) = A sen (k x + w t)

y(x, t) = 2 sen ( x + 6 t)

A = 2 m

w = 6 rad/s

k = 1 m 1

a) k

vw

1

6v

smv /6

b) t

yv

txkAv ww cos

t = 5 s

x = 4 m

564162 cos)(v

34cos12v

18034cos12

xv

smv /18,10


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