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Contents
Lecture 1 数列の極限，関数の極限 1
1.1 数列の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 無限大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 収束・発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.4 重要な数列の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 無限大は「数」ではない . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 関数の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 片側極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 x → ∞，x → −∞における極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 無限級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 いくつかの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 収束，発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 無限級数が収束するとき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 無限等比級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 無限等比級数の収束，発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Lecture 2 はさみうちの原理と種々の極限 23
2.1 はさみうちの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 数列の極限に関して . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Floor Function of x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 関数の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 関数の極限に関して . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 3角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 自然対数の底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 指数・対数関数に関する極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Lecture 3 微分 (1) 導関数の計算 41
3.1 関数の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 極限が存在するということ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 微分係数と導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 平均変化率（Newton 商） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 微分係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.4 微分可能性と連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 導関数の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 基本的な計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 合成関数の微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 逆関数の微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.4 陰関数の微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.5 パラメータ表示された関数の微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.6 対数微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.7 高階導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Lecture 4 微分 (2) 平均値の定理と関数の増減 67
4.1 接線，法線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 接線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 法線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 補題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Rolleの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 増減，極値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 増加・減少の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 微分と増減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3 極値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Lecture 5 微分 (3) 凹凸と漸近線，種々の応用 83
5.1 曲線の凹凸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 凹凸の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 2階導関数と凹凸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.3 変曲点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1 y 軸に平行な漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2 y 軸に平行でない漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.3 より正確なグラフを描くこと . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 方程式，不等式への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Lecture 6 積分 (1) 不定積分，定積分 99
6.1 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1 原始関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.2 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.3 線型性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.4 xα の不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.5 3角関数，指数関数の不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 合成関数の微分法の逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 その 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 その 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.1 性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Lecture 7 積分 (2) 部分積分，置換積分 113
7.1 部分積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.1 不定積分の部分積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.2 定積分の部分積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 置換積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.1 不定積分の置換積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.2 定積分の置換積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 偶関数，奇関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3.2 定積分における性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4 有理関数の積分まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Lecture 8 積分 (3) 区分求積法，面積，体積 131
8.1 区分求積法，定積分，面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.1 区分求積法 その 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.2 区分求積法 その 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.1.3 Riemann 和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1.4 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2 定積分と不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.3 積分の平均値定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.4 微積分学の基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.5 体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5.1 非回転体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5.2 回転体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.6 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Lecture 9 積分 (4) 弧長，いろいろな曲線 151
9.1 曲線の長さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.1 その 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.2 その 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2 パラメータ表示された曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.2.1 曲線の概形を描くこと . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.2.2 面積の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 演習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Appendix A いろいろな関数 163
A.1 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.1.1 いろいろな定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.1.2 逆写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.1.3 合成写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.2 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.2.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.2.2 逆関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.2.3 合成関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.3 分数関数，無理関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.3.1 分数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.3.2 無理関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Appendix B 曲線のパラメータ表示 171
B.1 座標を定める変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.1.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.1.2 自分自身と交わる曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.2 曲線を描くこと . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.2.1 パラメータ消去 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.2.2 パラメータ表示された関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Appendix C 補足的事項 175
C.1 転換法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.2 拡大実数系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C.3 数列の極限について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C.3.1 ε−N 論法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C.3.2 正整数が上に有界でないこと . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C.3.3 数列の収束の図形的イメージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.3.4 いくつかの証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.3.5 はさみうちの原理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C.4 数列の収束について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C.4.1 上界，下界，上限，下限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C.4.2 有界で単調な数列が収束すること . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.5 合成関数の微分法のちゃんとした証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.6 ベクトルの微分とパラメータ表示された関数の微分法 . . . . . . . . . . . . 185
C.7 Taylor の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
C.8 Cauchy の平均値の定理，l’Hopital の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
C.9 凹凸について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.9.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.9.2 凹凸と導関数の増減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.9.3 2階導関数と極値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Introduction
この講座では，数学 IIIの微分積分を扱います．東大をはじめとする難関大を目指す生徒が，4
月から本格的な受験勉強を始められるように，基本的な*1計算力をつけることと，一つひとつの式の意味を正しく理解することを目標にしています．
予習• 予習は不要です．その代わり復習をしっかりやってください．• 不安であれば要点，例題部分を読んできてもよいと思います．• 演習問題は授業で扱いますので，特に指示がなければ予習はしないでください．
授業• 演習用と，板書用の 2種類のノートを用意するとよいと思います（強制はしません）．• 授業はかなり速いスピードで進むので，遅刻欠席はしないでください．
復習• 授業で何を学んだか，それをどのような問題にどう使うか，それはなぜか，などを確認し，定着させるのが復習です．
• 授業で学んだことの復習は，その週のうちに終わらせましょう．*2
• 毎週の添削課題を提出してください．*3
• 授業を聴いただけで数学が身につくことは，100%絶対にあり得ません．自分の手で計算をして，何度も間違えたり悩んだりしてください．わりと楽しいはずです．がんばってください．
*1 「簡単」という意味ではありません．基本とは，応用のための基礎，土台です．*2 そうでないと，やらないといけないことがどんどんたまっていきます．*3 学習のペースメーカーとして，また次回の授業までに身につけなければならないことの復習として実施するものなので，提出遅れは基本的には認めません．
表記法について• 実数の区間.
† 開区間 a < x < b を (a, b)と表す．† 閉区間 a ≦ x ≦ b を [a, b]と表す．† 半開区間 a ≦ x < b，a < c ≦ bをそれぞれ [a, b)，(a, b]と表す．
• 集合の記号.
† 実数全体の集合を Rと表す．† 整数全体の集合を Zと表す．† 正整数全体の集合を Z+ と表す．
• このテキストでの約束.
例題 その講の内容を理解するための，具体的な問題．多少難しいものも含まれます．
演習問題 その講で絶対に身につけなければいけない，基本的な計算方法．
補充問題 いずれ必要になる，やや応用的な問題．本科 0期では，さしあたり後回しにしても差し支えありません．
添削課題 その講の内容を定着させるための宿題．少々難しいものもいくつか含まれていますが，少し時間をかけて考えてみるのもよいでしょう．
1 M3JCR Term 0
Lecture 1 数列の極限，関数の極限1.1 数列の極限1.1.1 数列
正の（または非負の）整数を定義域とする関数を数列という．nと an には対応関係がある．通常，数列を表すときは
{an} : a1, a2, · · · , an, · · ·
のように，カンマで区切って表すことが多い．
例 1. 1
nと an の対応を表にまとめることもできる．たとえば，正整数 nに対して an = 2n− 1
と表される数列の対応は，次の表のようになる．
n 1 2 3 · · · n · · ·an 1 3 5 · · · 2n− 1 · · ·
項の数が有限個である数列を有限数列，どこまでも続く数列を無限数列という．
1.1.2 無限大
n → ∞ とは，n を限りなく大きくするという操作
を表す．*1
n → ∞ のとき，無限数列 {an}がどのようになるかを考える．
1.1.3 収束・発散
n → ∞ のとき，数列 {an}が有限確定値 αに限りなく近づくことを，
limn→∞
an = α
と表す．αを数列 {an}の極限値といい，このとき数列 {an}は αに収束するという．また，n → ∞ のとき，数列 {an}が限りなく大きくなることを，
limn→∞
an = +∞,
*1 大きい数を 1 つ想像してください．n を，その数より大きくすることができます（自然数にはいくらでも大きい数が存在します．そのように n をどんどん大きくするということを，n → ∞ と表します．
M3JCR Term 0 2
さらに数列 {an}が負の値をとり，かつその絶対値が限りなく大きくなることを，
limn→∞
an = −∞
と表す．数列が収束しないとき，発散するという．
例 1. 2
(1) limn→∞
n2 = +∞． (2) limn→∞
1n
= 0．
これらの数列のグラフは次のようになる．
O
(1)
(2)
n
数列という関数の定義域は整数であるから，そのグラフは点々と並ぶ，不連続なグラフとなる．
1.1.4 重要な数列の極限
公式
limn→∞
nk =
∞ (k > 0 のとき)
1 (k = 0 のとき)
0 (k < 0 のとき)
limn→∞
rn =
∞ (r > 1 のとき)
1 (r = 1 のとき)
0 (−1 < r < 1 のとき)
発散（振動） (r ≦ −1 のとき)
例 1. 3
an = nk，an = rn のグラフは下図のようになる．
k < 0
0 < k < 1
k > 1an
nO
an = nk のグラフ
O n
an
an = rn のグラフ
r > 1
r = 1
0 < r < 1
3 M3JCR Term 0
また，r < 0のときの an = rn のグラフは次のようになる．
−1 < r < 0
an
O n
r < −1
an
O n
左は 0に収束，右は振動しながら絶対値が限りなく大きくなる．
例題 1− 1
次の極限を求めよ．(1) lim
n→∞
√n. (2) lim
n→∞13√n.
(3) limn→∞
2n. (4) limn→∞
(π√10
)n
.
解答・解説
それぞれの数列のグラフを考えて，次の結果を納得せよ．
(1)√n = n
12 より，
limn→∞
√n = ∞. (答)
(2) 13√n
= n− 13 より，
limn→∞
13√n
= 0. (答)
(3) 2 > 1より，limn→∞
2n = ∞. (答)
(4) π2 < 3.152 < 10より π <√10．よって 0 < π√
10< 1であるから，
limn→∞
(π√10
)n
= 0. (答)
M3JCR Term 0 4
数列の極限に関する性質
数列 {an}，{bn}が収束し，それぞれの極限値が α，β である，すなわち
limn→∞
an = α, limn→∞
bn = β
のとき，次が成り立つ (k, l は実数の定数)．
1⃝ limn→∞
(kan + lbn) = kα+lβ, 2⃝ limn→∞
(anbn) = αβ, 3⃝ limn→∞
(anbn
)= α
β. (β \= 0)
逆は成り立たない．たとえば，{an − bn}が収束しても，{an}，{bn} が収束するとは限らない．
注意 1. 4
たとえば，an = n, bn = n (n = 1, 2, 3, · · · )
という 2つの数列を考える．limn→∞
(an − bn) = 0
であるが，{an}，{bn}はともに +∞ に発散する．2つの数列が有限確定値に収束する場合に限り，数列の四則演算および定数倍は，極限の四則演算および定数倍であるとしてよい．
例題 1− 2
2つの数列 {an}，{bn}に対して，
an − bn =(12
)n(n = 1, 2, 3, · · · )
という関係が成り立っている．次の問いに答えよ．
(1) {an}，{bn}の収束・発散について，理由とともに述べよ．(2) {an}が有限確定値 αに収束するとき，{bn}の収束・発散について理由とともに述べよ．
解答・解説
(1) たとえば，数列 {an}が有限確定値 αに収束するとき，bn = an −(12
)nで，
{an}，{(
12
)n}はともに有限確定値に収束するから，
limn→∞
bn = limn→∞
{an − (an − bn)} = limn→∞
{an −
(12
)n}= α− 0 = α
5 M3JCR Term 0
となり，{bn}も {an}と同じ有限確定値 αに収束する．ところが，たとえば
an = n, bn = n−(12
)n(n = 1, 2, 3, · · · )
などという場合は，{an − bn}は 0に収束するが，{an}，{bn}はともに発散する．以上より，この 2つの数列の収束・発散については，なにも分からない． (答)
(2) (1)の議論から，{an}が有限確定値 αに収束するとき {bn}も有限確定値 αに収束する．(答)
1.1.5 無限大は「数」ではない
∞を「数」のように扱ってはならない．たとえば次のような書き方はしない．
間違った例 1. 5
(1) limn→∞
2n = 2∞ = ∞． (2) limn→∞
1n
= 1∞ = 0．
正しくは，
(1) limn→∞
2n = ∞． (2) limn→∞
1n
= 0．
となる．繰り返し書くが，∞とは，「nを限りなく大きくする」という操作のことである．数学の答案の中で∞が現れるのは，limの下と，極限として得られた結果の部分だけである．*2
例題 1− 3
次の数列の極限を求めよ．
(1) limn→∞
3n− 106n+ 5
． (2) limn→∞
2n3 − 1n2 + 5n+ 1
．
(3) limn→∞
3n+1 + 2n+2
3n − 2n． (4) lim
n→∞4n + 3n
22n+3 ．
(5) limn→∞
(√n2 − 2n− n
)．
*2 limn→∞
an = ∞↑ここと
．（←ここ）
M3JCR Term 0 6
解答・解説与えられた nに関する分数式が，n → ∞ のとき，分母も分子も限りなく大きくなることがある．このとき極限値がどうなるかは，与えられた式によって変わる．このような形式を，「∞
∞ の
不定形」*3という．このタイプの不定形を解消するには，分母の主要項（n → ∞で最も発散の速い項）で分母・分子を割るとよい．また，{an − bn}の形の数列で，n → ∞のとき {an}も {bn} も限りなく大きくなるようなものがある．「∞−∞の不定形」という．このようなタイプの不定形を解消するために，「分子を有理化」するという方法がある．
(1) n → ∞における分母の主要項は nであるから，分母と分子を nで割って，
limn→∞
3n− 106n+ 5
= limn→∞
3− 10n
6 + 5n
= 3− 06 + 0
= 12. (答)
(2) n → ∞における分母の主要項は n2 であるから，分母と分子を n2 で割って，
limn→∞
2n3 − 1n2 + 5n+ 1
= limn→∞
2n− 1n2
1 + 5n + 1
n2
= +∞. (答)
注意 1. 6
正の無限大∞を +∞と表すこともある．符号を強調するときなどに用いる．
(3) n → ∞における分母の主要項は 3n であるから，分母と分子を 3n で割って，
limn→∞
3n+1 + 2n+2
3n − 2n= lim
n→∞
3 + 22 ·(23
)n1−
(23
)n= 3 + 0
1− 0= 3. (答)
(4) n → ∞における分母の主要項は 22n = 4n であるから，分母と分子を 4n で割って，
limn→∞
4n + 3n
22n+3 = limn→∞
1 +(34
)n23
= 1 + 023
= 18. (答)
*3 1.1.5 で書いたように，∞ は数ではありませんので，このような書き方は本当は正しくありません．
7 M3JCR Term 0
(5) まず，与式の分母と分子に√n2 − 2n+ nをかけると
√n2 − 2n− n =
(√n2 − 2n
)2 − n2
√n2 − 2n+ n
= −2n√n2 − 2n+ n
このとき n → ∞における分母の主要項は nであるから，分母・分子を nで割って，
(与式) = limn→∞
−2n√n2 − 2n+ n
= limn→∞
−2√1− 2
n + 1
= −2√1− 0 + 1
= −1. (答)
1.2 関数の極限1.2.1 定義
関数の極限
「xを，aとは異なる値として，どのように aに近づけても，f(x)が有限確定値 αに近づく」ことを次のように書く．
limx→a
f(x) = α
また，
y = f(x)
O x
y
a
α
x
x
x → a のとき f(x) → α あるいは f(x) −−−→x→a
α
とも書く．この値 αを，x → a のときの f(x) の極限値
という．このとき f(x)は αに収束するという．
例 1. 7
(1) 関数 y = 2x において，x → 3 のとき 2x → 6 であるから，
limx→3
2x = 6.
(2) 数学 IIで学んだように，多項式 f(x) = x2 + 2xにおいて
limx→1
f(x) = 12 + 2 · 1 = 3
である．この値は f(1)と等しい．
M3JCR Term 0 8
x = aにおける f(x)の値が定義されていなくても，極限は存在する場合がある．
例 1. 8
たとえば，関数 f(x) = x2 − 1x− 1
は，
O x
y
y = f(x)
x
x
1
2f(x) =
{x+ 1 (x \= 1)
なし (x = 1)
であり，x = 1で f(x)は定義されないが，x → 1 における極限値は存在して，
limx→1
f(x) = limx→1
(x+ 1) = 2.
数列の極限の計算と同様に，収束する関数の四則演算および定数倍の極限は，極限の四則演算および定数倍に等しい．次が成り立つ．
極限の性質
x = aを含む区間で定義された関数 f(x)，g(x)に対し，x → aのとき f(x)，g(x)が有限確定値に収束する，すなわち
limx→a
f(x) = α, limx→a
g(x) = β
であるとき，次が成り立つ．
1⃝ limx→a
{kf(x) + lg(x)} = kα+ lβ,
2⃝ limx→a
{f(x)g(x)} = αβ,
3⃝ limx→a
f(x)
g(x)= α
β. (β \= 0)
1.2.2 発散
関数 f(x)において，xが aと異なる値をとりながら限りなく aに近づくとき，f(x)の値が限りなく大きくなるとする．このとき f(x)は正の無限大に発散するといい，
limx→a
f(x) = ∞
またはx → a のとき f(x) → ∞ あるいは f(x) −−−→
x→a∞
などと書く．（∞を +∞とも書く）
9 M3JCR Term 0
また，関数 f(x)において，xが aと異なる値をとりながら限りなく aに近づくとき，f(x)の値が負で，絶対値が限りなく大きくなるとする．このとき f(x)は負の無限大に発散するといい，
limx→a
f(x) = −∞
またはx → a のとき f(x) → −∞ あるいは f(x) −−−→
x→a−∞
などと書く．
例 1. 9
たとえば， limx→1
1(x− 1)2
= ∞ である．下図を参考にせよ．
1O x
yy = 1
(x− 1)2
1.2.3 片側極限
xが x > aをみたしながら限りなく aに近づくとき，f(x)が αに限りなく近づくとする．このとき，αを xが aに近づくときの f(x)の右側極限といい，
limx→a+0
f(x) = α
と表す．同様に左側極限も定義され，
limx→a−0
f(x) = α
と表される．右極限と左極限が存在しても一致しないとき，x → aにおける極限は存在しないという．
例 1. 10
関数 y = tanxに対して，xが π2に近づくときの左極
π2
O
y
x
y = tanx限はlim
x→π2 −0
tanx = +∞
また右極限はlim
x→π2 +0
tanx = −∞
M3JCR Term 0 10
すなわち，tanxの x → π2における極限はない．
グラフを参考にせよ．
a = 0のとき，xが左から 0に近づくこと，右から 0に近づくことをそれぞれ
x → −0, x → +0
と表す．
1.2.4 x → ∞，x → −∞における極限
xが限りなく大きくなるとき，f(x)が有限確定値 αに限りなく近づくとき，
limx→∞
f(x) = α とか x → ∞ のとき f(x) → α
などと表す．x → −∞における極限も，同様に定義される．*4
例 1. 11
関数 y = 1xについて，
limx→−∞
1x
= limx→+∞
1x
= 0.
また関数 y = 2x について，
limx→−∞
2x = 0, limx→+∞
2x = +∞
である．
y = 2x1
O x
y
y = 1x
y
xO
*4 x → ∞ における極限や， f(x) → ∞ となる場合の極限を調べることによって，y = f(x) のグラフの大局的な性質を調べることができる．
11 M3JCR Term 0
例題 1− 4
次の極限を計算せよ．
(1) limx→2
x3 − 8x− 2
． (2) limx→∞
2x3 + x2 + 35x3 + 6x− 2
． (3) limx→2
√x+ 7− 3x− 2
．
(4) limx→−∞
(√x2 + x+ x
)． (5) lim
x→−5+0
x+ 2x2 + 2x− 15
． (6) limx→0
x
x．
解答・解説
(1) 「 00の不定形」*5 と呼ばれる形である．
limx→2
x3 − 8x− 2
= limx→2
(x− 2)(x2 + 2x+ 4
)x− 2
= limx→2
(x2 + 2x+ 4)
= 22 + 2 · 2 + 4
= 12. (答)
(2) これも「∞∞ の不定形」 と呼ばれる．数列の場合と異なるのは，xは実数の値をとりながら
限りなく大きくなるということである．とはいえ，扱い方はあまり変わらない．x → ∞における分母の主要項は 5x3 であるから，分母と分子を x3 で割ると
limx→∞
2x3 + x2 + 35x3 + 6x− 2
= limx→∞
2 + 1x + 3
x3
5 + 6x2 − 2
x3
= 2 + 0 + 05 + 0 + 0
= 25. (答)
(3) これも「 00の不定形」である．分子を有理化すると，不定形が解消される．
limx→2
√x+ 7− 3x− 2
= limx→2
(√x+ 7)2 − 32
(x− 2)(√x+ 7 + 3)
= limx→2
x− 2(x− 2)(
√x+ 7 + 3)
= limx→2
1√x+ 7 + 3
= 16. (答)
*5 このような書き方はもちろん正しくありません．
M3JCR Term 0 12
(4) x < 0であるから考えづらい．t = −xとおくと
x → −∞ のとき t → ∞
で，与式は
limx→−∞
(√x2 + x+ x
)= lim
t→∞
(√t2 − t− t
)= lim
t→∞
(√t2 − t
)2 − t2√t2 − t+ t
= limt→∞
−t√t2 − t+ t
.
分母の主要項は tであるから，分母と分子を tで割って，
limt→∞
−t√t2 − t+ t
= limt→∞
−1√1− 1
t + 1
= − 12. (答)
間違った解答 1. 12
次の解答の，どこが間違っているのか指摘せよ．
limx→−∞
(√x2 + x+ x
)= lim
x→−∞
(√x2 + x
)2 − x2
√x2 + x− x
= limx→−∞
x√x2 + x− x
= limx→−∞
1√1 + 1
x − 1= −∞. （間違い）
(5) 分母はx2 + 2x− 15 = (x− 3)(x+ 5)
となり，x → −5 + 0 のとき，x + 5 は正の値をとりながら 0 に近づく．また x − 3 → −8
であるから結局，分母は負の値をとりながら 0に近づく．さらに分子は x+ 2 → −3であるから，
limx→−5+0
x+ 2x2 + 2x− 15
= limx→−5+0
x+ 2(x− 3)(x+ 5)
= +∞. (答)
13 M3JCR Term 0
注意 1. 13
片側極限には気をつけること．分母のグラフは次のようになる．
−5 3x−⃝
+⃝
x → −5 + 0
y = (x− 3)(x+ 5)
たとえば，次のような雑なことをしないように．
間違った解答 1. 14
xが 5に近づくとき，分母は 0に，分子は −3に近づくから，
limx→−5+0
x+ 2x2 + 2x− 15
= −∞. （間違い）. (答)
(6) xの符号で場合を分ける．x \= 0 のとき
x =
{x (x > 0)
−x (x < 0)
であるから，右側極限は
limx→+0
x
x= lim
x→+0
xx
= 1.
また左側極限は
limx→−0
x
x= lim
x→−0
−xx
= −1.
右側極限と左側極限が一致しないので，極限はない． (答)
1.3 無限級数1.3.1 いくつかの定義
無限数列a1, a2, · · · , an, · · ·
M3JCR Term 0 14
において，各項を順に記号 +で結んで得られる式*6
a1 + a2 + · · ·+ an + · · · =∞∑
n=1
an · · · (∗)
を無限級数といい，a1 を初項，an を第 n項という．無限級数 (∗)において，初項から第 n項までの和*7
Sn =
n∑k=1
ak
をこの無限級数の第 n 部分和という．第 n 部分和 Sn は正整数を定義域とする関数であるから，すなわち数列である．
1.3.2 収束，発散
無限級数の収束
第 n部分和の作る数列 {Sn}が，有限確定値 S に収束する．すなわち
limn→∞
Sn = S
が成り立つとき，無限級数∞∑
n=1
an は値 S に収束するという．
S をこの無限級数の和といい，∞∑
n=1
an = S
とも書く．無限級数が収束しないとき発散するという．無限級数の和に関する性質
無限級数∞∑
n=1
an，∞∑
n=1
bn が収束して，∞∑
n=1
an = S，∞∑
n=1
bn = T のとき，k，lを定数として
∞∑n=1
(kan + lbn) = kS + lT
*6 なぜ「和」という言葉を使わないのでしょうか？*7 ここでは「和」という言葉を使っています．上との違いはなんでしょうか？
15 M3JCR Term 0
注意 1. 15
有限個の和の場合と同様に，当然，積および商に対しては成立しない．すなわち
∞∑n=1
anbn \= ST,∞∑
n=1
anbn
\= ST
である．
1.3.3 無限級数が収束するとき
無限級数∞∑
n=1
an に対して，第 n部分和を Sn とすると (n → ∞ より n ≧ 2 としてよい)，
Sn =n∑
k=1
ak =n−1∑k=1
ak + an = Sn−1 + an
すなわちan = Sn − Sn−1 · · · (♮)
ここで∞∑
n=1
an が値 S に収束するとき
limn→∞
Sn = limn→∞
Sn−1 = S
であるから，(♮)において n → ∞として
limn→∞
an = limn→∞
(Sn − Sn−1) = limn→∞
Sn − limn→∞
Sn−1 = S − S = 0
ゆえに次が成り立つ．無限級数が収束するための必要条件
無限級数∞∑
n=1
an に対し，次が成り立つ．
(1)
∞∑n=1
an が収束する =⇒ limn→∞
an = 0
対偶をとって
(2) limn→∞
an \= 0 =⇒∞∑
n=1
an は発散する
ところで (1)の逆は成立しない．すなわち
limn→∞
an = 0 であっても∞∑
n=1
an は発散することもある．
M3JCR Term 0 16
重要な反例
limn→∞
1n
= 0であるが，無限級数∞∑
n=1
1nは +∞に発散する．
証明 1. 16
Sn =n∑
k=1
1kとおく．とくに n = 2m の場合を考える．Sn の各項を，2l−1 個ずつにまと
める．
Sn = 1 + 12
+(13
+ 14
)+(15
+ 16
+ 17
+ 18
)+(19
+ · · ·)+ · · ·
ここで，
(1つめの括弧) ≧ 2 · 14
= 12
(2つめの括弧) ≧ 4 · 18
= 12
(3つめの括弧) ≧ 8 · 116
= 12
...
(m− 1個めの括弧) ≧ 2m−1 · 12m
= 12
であるから，
Sn ≧ 1 + 12
+ 12
+ 12
+ · · ·+ 12
= 1 + (m− 1) · 12
−−−−−−−−−→m→∞ (n→∞)
∞
よってlimn→∞
Sn = ∞. 〔証明終〕
1.3.4 無限等比級数
初項 a，公比 r の等比数列{arn−1
}から作られる無限級数
∞∑n=1
an = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · · (#)
を無限等比級数という．
17 M3JCR Term 0
1.3.5 無限等比級数の収束，発散
(I) a = 0のとき．nによらず arn−1 = 0であるから，(#) = 0．
(II) a \= 0のとき．(i) r = 1のとき．
nによらず arn−1 = aであるから，第 n部分和はn∑
k=1
a = na となり発散する．
(ii) r \= 1のとき．第 n部分和は
n∑k=1
ak =a (1− rn)
1− r
であるから，Sn の収束・発散は rn によって決まる．・ r < 1のとき，rn −−−−→
n→∞0 より，
a (1− rn)
1− r= a
1− r
・ r ≦ −1 または 1 < r のとき．
数列 {rn}は発散するから，第 n部分和n∑
k=1
ak =a (1− rn)
1− rも発散．
以上をまとめると次のようになる．無限等比級数の収束，発散
無限等比級数∞∑
n=1
arn−1 について，
∞∑n=1
arn−1 が収束する ⇐⇒ (a = 0 または r < 1)
であり，その和は {a = 0 のとき 0,
r < 1 のとき a1− r
.
である．それ以外のとき発散する．
M3JCR Term 0 18
例題 1− 5
1 次の問いに答えよ．
(1) 次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するものは和を求めよ．
(i)
∞∑k=1
1√k + 1 +
√k
. (ii) 111
+ 221
+ 331
+ · · · .
(2) 次の無限級数が発散することを示せ．
∞∑n=1
log(1 + 1
n
).
(3) 次の無限級数が収束することを示し，その和を求めよ．
∞∑n=2
log
(1 + 1
n2 − 1
).
2 次の無限等比級数の収束，発散を調べ，収束するものは和を求めよ．
(1) 1π
+ 1√2 +
√3
+ π
5 + 2√6
+ · · ·
(2) cos2 x+ cos2 x sinx+ cos2 x sin2 x+ · · ·
解答・解説
1 無限級数の収束・発散を調べるには，まず第 n部分和が求められるかどうかを考える．
(1) (i) 第 n部分和は
n∑k=1
1√k + 1 +
√k
=n∑
k=1
(√k + 1−
√k)=
√n+ 1− 1
より，発散する． (答)
(ii) 第 n項はn
10n+ 1= 1
10 + 1n
−−−−→n→∞
110
\= 0
であるから，発散する． (答)
19 M3JCR Term 0
(2) 第 n部分和は
n∑k=1
log(1 + 1
k
)=
n∑k=1
log(k + 1k
)=
n∑k=1
{log(k + 1)− log k}
= log(n+ 1)− log 1 −−−−→n→∞
+∞.
ゆえに発散する． 〔証明終〕
(3) 第 n部分和は
n∑k=2
log
(1 + 1
k2 − 1
)=
n∑k=2
log
(k2
k2 − 1
)
=n∑
k=2
log k2
(k − 1)(k + 1)
= log
{22
1 · 3 · 32
2 · 4 · 42
3 · 5 · · · · n2
(n− 1)(n+ 1)
}= log 2 · n
1 · (n+ 1)
= log 21 + 1
n
−−−−→n→∞
log 2.
ゆえに，与えられた無限級数は収束して，その和は log 2． (答)
2 無限等比級数の収束・発散を調べるには，初項と公比の値を調べればよい．
(1) 公比π√
2 +√3
< 3.1421.414 + 1.732
= 0.9987 · · · < 1
であるから収束し，その和は1π
1− π√2+
√3
=
√2 +
√3
π(√
2 +√3− π
) . (答)
(2) まず初項が 0かどうかで場合を分ける．(i) 初項 cosx = 0のとき，収束して，和は 0．
(ii) cosx \= 0のとき，公比 sinx \= ±1であるから，収束して和は cos2 x1− sinx
.
以上より，問題の無限等比級数は
収束し，和は cos2 x1− sinx
. (答)
M3JCR Term 0 20
1.4 演習問題演習問題 1− 1
次の極限を計算せよ．ただし nは自然数，xは実数とする．
(1) limn→∞
2− n3
2 + n3 . (2) limn→∞
n4
13 + 23 + · · ·+ n3 .
(3) limn→∞
(1 + 2 + · · ·+ n)2
n(12 + 22 + · · ·+ n2
) . (4) limn→∞
3n − 2n
2n + 3n+2 .
(5) limn→∞
22n+1 + 3n
4n + 2n+1 ． (6) limn→∞
(n4
− n2
4n+ 1
).
(7) limn→∞
(√n(n+ 3)− n
). (8) lim
n→∞
√n(√
n+ 3−√n).
演習問題 1− 2
次の極限を計算せよ．
(1) limx→∞
5x4 + x2 + 3x4 + 3x− 2
.
(2) limx→∞
{log3(27x+ 5) + log3(9x+ 2)− log3(x2 + 5x+ 6)}.
(3) limx→−∞
(√x2 + 3x+ x
).
(4) limx→−∞
x(√
x2 + 6x+ 10 + x+ 3).
演習問題 1− 3
次の極限を計算せよ．
(1) limx→0
32x − 18x − 1
. (2) limx→1
√4 + x−
√5
x− 1.
(3) limx→0
x√4 + x− 2
. (4) limx→2−0
xx3 − 8
.
(5) limx→1−0
x2 + 2x− 3√(x− 1)2
.
21 M3JCR Term 0
演習問題 1− 4
次の問いに答えよ．(1) 無限級数
∞∑n=1
1
4n2 − 1
の和を求めよ．(2) 無限級数
1
1 · 2 · 3 · 4+
1
2 · 3 · 4 · 5+ · · ·+ 1
n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)+ · · ·
の和を求めよ．(3) 等比数列 {an}は，
a1 =2
3, a1 + a2 + a3 =
37
24
をみたし，無限級数∞∑n=1
anは収束するとする．このとき，無限級数∞∑n=1
anの和を求
めよ．(4) xを実数とする．無限等比級数
x+ x(1− x) + x(1− x)2 + · · ·+ x(1− x)n−1 + · · ·
が収束するような xの値を求めよ．またそのときの和を求めよ．
(5) 初項が 12である無限等比級数の和と，その各項を 2乗した無限等比級数の和が等し
いとき，もとの無限等比級数の公比を求めよ．
補充問題 1− 1
図のように，円O1，O2，· · · は互いに接し，かつ点 Cl1
l2C
A1
A2 O1
O2
で交わる半直線 l1，l2に内接している．(1) 円 O1 の半径が 5，CA1 の長さが 12であるとき，円
O2の半径を求めよ．
(2) n番目の円Onの半径 rnとその面積 Snを求めよ．
(3) (2)で求めた Snに対して，∞∑n=1
Sn の値を求めよ．
M3JCR Term 0 22
Lecture 1 添削課題
1 次の数列の極限を計算せよ．
(1) limn→∞
(n+ 1)(2n− 1)
3n2 + 2n+ 1. (2) lim
n→∞
(√n2 + 1− n
).
(3) limn→∞
3n + 2n
4n + 3n.
2 次の関数の極限を計算せよ．
(1) limx→∞
{log4 x+ log2
(√x+ 4−
√x− 4
)}.
(2) limx→1−0
x+ 1x2 − 3x+ 2
.
3 次の無限級数の収束，発散を調べ，収束する場合には和を求めよ．ただし 0 ≦ x < 2π
である．
(1)
∞∑n=1
1(n+ 1)(n+ 2)
. (2)
∞∑n=1
cosx(2 sinx− 1)n−1.
(3) −3 + 3− 3 + 3− 3 + 3− 3 + · · · .
4 次の数列の極限を求めよ．ただし a，bは 0 < a < bなる定数とする．
limn→∞
1
nlog2 (a
n + bn) .
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