3esopropuestasparalaevaluacion3esosantillana-120918164024-phpapp01

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419MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

Números racionales

CONTENIDOS

NÚMEROS RACIONALES

• Concepto de fracción. Interpretación de una fracción. Fracciones equivalentes.

Fracción irreducible.

• Ordenación y comparación de fracciones.• Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.

• Concepto y tipos de números decimales.

• Fracciones y números decimales. Reglas de conversión.

• Números racionales y fracciones.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIALLa prueba inicial es un resumen de los contenidos de

«Divisibilidad» y «Fracciones», de 2.º ESO, haciendo hin-

capié en aquellos procedimientos más básicos: calcu-

lar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números, averiguar la

fracción que representa una parte de un gráfico, repre-

sentar gráficamente una fracción y alguna de las ope-

raciones básicas: suma y multiplicación de fracciones

y simplificación de fracciones.

PRUEBA DE LA UNIDADLa prueba que se ha diseñado contiene todos los conte-

nidos procedimentales de la unidad. Las actividades se

pueden resolver fácilmente, ya que es una unidad de

revisión de conceptos y procedimientos estudiados en

cursos anteriores. Las últimas actividades: problemas

y clasificación de números, son las que pueden resultar

más complicadas a los alumnos.

1INTRODUCCIÓN

Esta unidad tiene un carácter procedimental

y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todo

en el uso de fracciones y números decimales.Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidad

son conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzar

el método de trabajo de manipulación de fracciones,

así como también se deben ampliar algunos conceptos

de transformaciones de fracciones y decimales,

e introducir la clasificación de números

y la representación gráfica de números racionales.

A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar

a los alumnos sobre la presencia de las fracciones

en distintos contextos: situaciones de compra

o consumo, figuras geométricas, informacionesen medios de comunicación…

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Se recomienda comenzar la unidad comprobando

y repasando, si es necesario, los conceptos más

importantes sobre divisibilidad y las distintasinterpretaciones de una fracción: como cociente

de dos números, como resultado de una medida

y como operador, dejando clara la interpretación

de fracciones positivas y negativas; la diferencia entre

las fracciones propias e impropias; la representación

de fracciones mediante figuras geométricas

y las operaciones con fracciones. Los conocimientos

previos que han de tener los alumnos son:

• Criterios de divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m.

de dos o más números.

• Interpretación de un número fraccionario.• Representación de fracciones.

P R O P U E S T A S D E

E V A L U A C I Ó N



420 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

EVALUACIÓN INICIAL

Completa la tabla con Sí o No.

Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable.Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado.

a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone

su área respecto del área total del tangram .

b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos?

c) Si el área total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una

de las piezas?

Representa gráficamente las siguientes fracciones.

a) b) c)

Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado.

5

18

5

6

8

5+ ⋅ =

5

920

310

38

4

3

2

1

NÚMEROS RACIONALES1

Número 2

¿Es divisible por?

3 5 7 11 13

12

434

825

30

468

11

132 154



MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES



Completa la tabla con Sí o No.

Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable.Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado.

a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que suponesu área respecto del área total del tangram .

b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos?

c) Si el área total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una

de las piezas?

Representa gráficamente las siguientes fracciones.

a) b) c)

Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado.

5

18

8

6

5 8 3

18

29

18 + =

+=

⋅ 5

18

5

6

8

5+ ⋅ =

5

9

20

3

10

3

8

4

A A A A A A A1 2 2

3 6 2

4 5 7 2 8 2 4 = = = = = = =cm cm cm , ,

A A AT = − + = − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= − =1 11

8

1

8 1

1

4

3

4 4 5 ( )

A A A A A A A1 2 3 6 4 5 7

1

4

1

16

1

8 = = = = = = =, ,

3

2

1

421

Número 2

¿Es divisible por?

3 5 7 11 13

12 Sí Sí No No No No

Sí No No Sí No No

No Sí Sí No Sí No

Sí Sí Sí No No No

Sí Sí No No No Sí

No No No No Sí No

434

825

30

468

11

132

66

33

11

1

2

2

3

11

154

77

11

1

2

7

11m.c.d. (132, 154) = 2 ⋅ 11 = 22

m.c.m. (132, 154) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 924 F

a) b) c)

1

6 7

5

3 42




EVALUACIÓN DE LA UNIDADcontenidos

Escribe una fracción equivalente a y cuyo denominador sea 80.

De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a .

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones: y .

Ordena las siguientes fracciones: , , , .

Completa la suma: .

Opera y simplifica.

a)

b)7

5

5

32

6

27

42

24⋅ − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

5

9

3

4

5

7

15

2⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:

6

=7

5

2

3+5

33

14

23

11

14

5

7

44

14454

1281 024.

3

5

152

15

481

6

21

7

21

11

30

15

45

18

55

20

60

23

65

Obtención de fracciones

equivalentes mediante

amplificación y simplificación.

Determinación

de si dos fracciones

son o no equivalentes.

Búsqueda de fracciones

equivalentes a una dada.

Comparación y ordenación

de fracciones.

Operaciones con fracciones.

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 8

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. .................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 2, 4, 9

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 3, 5, 6, 10, 11

CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS

NÚMEROS RACIONALES1




Sin realizar ninguna división, clasifica estos números en enteros,decimales exactos o decimales periódicos.

Completa la siguiente tabla.

Obtén la fracción generatriz de los números decimales.

a) 12,05 b) 12,05 c) 12,05

En la fabricación de sulfato sódico, por cada 142 g del producto final,32 g son de azufre, 64 g de oxígeno y 46 g de sodio. Expresa medianteuna fracción los gramos de azufre, oxígeno y sodio que son necesariospara fabricar 100 g de sulfato.

De la clase de 3.º ESO, las partes son chicos. ¿Qué fracción representa

el número de chicas? ¿Cuántas chicas hay si son 28 alumnos en total?

4

711

10

9

8

7

40

40

7

128

8

35

15

13

128

15

34, , , , ,

7Reconocimiento

y clasificación de números.

Obtención

de la fracción generatriz

de un número decimal

exacto o periódico.

Resolución de problemas

con fracciones.

• Clasificar y discriminar según criterios ..................... ............................................. ......................................... ........ 5, 7, 11

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .......................................... ............................................ ........................... 5

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ...........................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................... ......................................... .......................




423

N Z Q I

−

13

7

23

−7,8

8

2




NÚMEROS RACIONALES1EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Fracción equivalente.

Fracción equivalente.

Fracciones irreducibles.

Ordenación de fracciones.

Común denominador:

Operación inversa.

Cálculo.

a)

b)

Clasificación.

Por 100 g de sulfato sódico.

Azufre: Oxígeno:

Sodio:

En el aula. son chicas; 3

7 28

3

7 28

3 28

7 de 12 chicas = ⋅ =

⋅=1

4

7

7 4

7

3

7 − =

−=11

46

142 100

2 300

71= =

zz→

.

64

142 100

3 200

71= =

yy→

.32

142 100

1 600

71= =

xx→

.

10

8

7

40

40

7

128

8

35

15D Exacto D Periódico Entero D Pe. . . rriódico D Exacto D Periódico

13

128

15

34. .

7

= ⋅ −⋅ − ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ⋅ +7

5

5

32

6 8 42 9

216

7

5

5

32

330

216 6

7

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ⋅ =1.455

864

679

288

7

5

5

32

6

27

42

24⋅ − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ⋅−

=⋅5

9

3

4

10

105

5

9

315 40

420

5 275

3..

.

.780

1 375

3 780

275

756 = =

5

9

3

4

5

7

15

2⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:

6

→ x = − =⋅ − ⋅

=7

5

2

3

7 3 2 5

15

11

15 =

7

5x2

3+5

7

4

14

5

23

11

3→ → →

2.695 4.312

1.540

3.220

1 540 1 540 . .

33

14→

3.630

1.540

7

4

23

11

33

14

14

5 < < <4

144

54=

⋅

⋅=

2 3

2 3

8

3

4 2

3

128

1.024= = =

2

2

1

2

1

8

7

10 3 3

2

15

48 80

15 80

48 25

15

48

25

80 = = = =

xx→ →

⋅1

N Z Q I

−13

7

23

−7,8

8

2

6

21

7

21

11

30

15

45

18

55

20

60

23

65

a) 12,05 =

b) 12,05 =

c) 12,05 =1 205 12

99

. −=

1.193

99

1 205 120

90

. −= =

1.085

90

217

18

1 205

100

241

20

.=9




Números reales

CONTENIDOS

NÚMEROS REALES

1. Números racionales.

• Potenciación de números racionales. Potencias de exponente positivo.

Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias.

• Operaciones con potencias.

• Potencias de base 10. Notación científica.

• Operaciones con números expresados en forma científica.

2. Concepto de número real.

• Número con una expresión decimal finita o infinita. Números racionales e irracionales.

• Posición de un punto en una recta numérica.

• Aproximación de números reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento.

Reglas de uso.

• Error cometido en las aproximaciones y operaciones con números reales.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de

«Potencias y raíz cuadrada», de 2.º ESO, en el que se

hace hincapié en los conceptos básicos de las potencias:

cálculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2)

e inversas (actividad 3), así como el cálculo con núme-

ros en notación científica (actividad 5).

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera par-

te (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso de

las potencias y de manipulación de números mediante

notación científica, que se pueden trabajar con la calcu-

ladora y que sirven para conocer los diferentes tipos de

calculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es

de trabajo con los números reales: aproximaciones y re-

presentación gráfica, siendo las dos últimas actividades

problemas para realizar con la calculadora.

2INTRODUCCIÓN

En esta unidad se trabajan los números decimales,

su relación con las fracciones y el uso de potencias.

Los contenidos siguen siendo básicamenteprocedimentales. Al acabar la unidad los alumnos

han de saber manipular perfectamente las potencias

y la notación científica, que son esenciales en otras

áreas de las Matemáticas. Uno de los aspectos

más importantes de la unidad es el concepto de

número irracional y la estimación y aproximación

de números.


Esta unidad está relacionada con los contenidos de

«Números decimales» y «Potencias y raíz cuadrada».

Los conocimientos previos son los relativos a:

• Potencias con base entera.

• Trabajo con números decimales y en notación

científica.






EVALUACIÓN INICIAL

Escribe la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 810 c) 4.455

b) 31.752 d) 33.275

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora.

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

26 = 27 = 28 =

Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236?

Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio,

una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes,¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población?

5

4

3

2

1

NÚMEROS REALES2

Base Exponente Resultado

23

(−3)2

1

5

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

7

2

Arista 3 5

Volumen 27 729 4.913

Área de una cara 9 64 4.225







Escribe la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 810 = 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 c) 4.455 = 3 4

⋅ 5 ⋅ 11

b) 31.752 = 2 3 ⋅ 3 4

⋅ 7 2 d) 33.275 = 5 2 ⋅ 113

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

Completa la tabla con la calculadora.

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

26 = 27 = 28 =

Observa la cifra de las unidades en los resultados.¿Cuál será la última cifra de la potencia 236?

Se repite la última cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …}; por tanto,

la potencia 2 36

tendrá la misma última cifra que 2 4

, es decir, un 6.

Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio,una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes,¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población?

Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante:

días. Luego dividimos esta cantidad entre el número de habitantes

que tiene la población: 1 25 10

13 350 94

6 ,

.

⋅

≈ días.

250 10

200 1 25 10

6 6 ⋅

= ⋅,

5

256 128 64

4

3

2

1

427

Arista 3 9 8 5 65 17

Volumen 27 729 512 125 274.625 4.913

Área de una cara 9 81 64 25 4.225 289

Base Exponente Resultado

23 2 3 8

(−3)2−3 2 9

1

5

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

5 4

1

625

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

7

2

−3

7 2

9

49





Calcula las siguientes potencias.

a) b) ((−3)2)−2

Expresa como una sola potencia.

Calcula y simplifica la siguiente potencia.

(8 ⋅ 4−2)3

Escribe en notación científica estos números o expresiones numéricas.

a) 1.700.000.000

b) 0,0000000017

c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002

Opera mediante la notación científica.

(6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3

Calcula el término que falta.

a) 3,2 ⋅ 105 + = 5,7 ⋅ 106

b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ = 2,7 ⋅ 104

Trunca y redondea los siguientes números o expresiones numéricasa las milésimas.

a)

b)

c) − 0,3 3

5

19

6

5

7

6

5

4

3

3 91

3272 3

4

2⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅

−

−

2

15

2

⎛⎝⎜⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

1Cálculo de potencias

con exponentes negativos.

Aplicación de las

propiedades de las potencias.

Expresión de un número

en notación científica.

Trabajo con números

y potencias en notación

científica.

Determinación de

aproximaciones decimales

de números racionales

e irracionales hasta las

décimas, centésimas…

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 4

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. 2, 3

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .................................................................. ......... 7


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 1, 2, 3, 5, 6, 10


NÚMEROS REALES2




Representa el número en la recta real de forma exacta.

Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos

y . Luego comprueba si los números y

pertenecen o no a los intervalos.

Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro con un diámetro de unas 7 millonésimasde metro y unas 2 millonésimas de altura. ¿Cuál es su volumen?

En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 ¬ ± 3 %. ¿Entre qué dos valoresestará comprendida la cantidad de aceite que contiene?

11

10

−14

55B =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

2

17

4,A = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎤

⎦⎥⎥

37

3,

9

58Representación de números

e intervalos en la recta real.


con diferentes tipos

de números

y aproximaciones.

• Clasificar y discriminar según criterios ............................. ............................................. ......................................... 8, 9

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................... .................................. 7, 11






429




NÚMEROS REALES2EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) = ((5) −1) −2 = 5 2 = 25 b) ((−3)2)−2

Cálculo.

Cálculo y simplificación. (8 ⋅ 4−2)3 = (2 3 ⋅ (2 2 ) −2 ) 3 = (2 3 −4 ) 3 = (2 −1) 3 = 2 −3

Notación científica.

a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 10 9 b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10 −9

c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 = 2,5 ⋅ 10 −3 + 3,2 ⋅ 10 −6 − 2 ⋅ 10 −5 == (2.500 + 3,2 − 20) ⋅ 10 −6 = 2,4832 ⋅ 10 −3

(6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3 = ((6,5 − 23) ⋅ 10 7 ) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 =

= −16,5 ⋅ 10 7

⋅ 5,1 ⋅ 10 −3

= −84,15 ⋅ 10 4

= 8,415 ⋅ 10 5

a) 3,2 ⋅ 105 + = 5,7 ⋅ 106→ A = 5,7 ⋅ 10 6 − 3,2 ⋅ 10 5 = (5,7 − 0,32) ⋅ 10 6 = 5,38 ⋅ 10 6

b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ = 2,7 ⋅ 104→

Truncamiento y redondeo.

Mediante el teorema de Pitágoras. → Triángulo de catetos 2 y 1

Representación de intervalos.

Glóbulo rojo.

Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225 → 0,75 ± 0,0225 → Intervalo: (0,7275; 0,7725) 11

V = ⋅ ⋅⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅ ⋅ =⋅ ⋅

⋅− − −ππ7

2

10 2 10 49 2

4

10 6

2

6 12 2 6 17 3 7 7 10 + − −≈ ⋅( ) , m 10

− < < ∈ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3 5 7

3 5 3

5

2 → ,− < − ≤ − ∈ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎤

⎦⎥⎥

3 14

5

7

3

14

5 3

5

2 → ,

9

5 2 1 5 2 12 2 2 2 = + = +→8

7

B =⋅

⋅= ⋅

−

2 7 10

1 5 10 1 8 10

4

3

7 ,

,,B

A6

5

4

3

= ⋅ ⋅ ⋅ = =− − − + + −3 3 3 3 3 3 2 2 3 1 4 3 2 2 6 4 6 6 ( ) ( ) ( ) 3 9 13

272 3

4

2⋅ ⋅ ⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

⋅

−

−2

= = = =− −( ) 3 3 1

3

1

81

2 2 4

4

1

5

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

1

Redondeoa las milésimas

Truncamientoa las milésimas

5 2 23606 = , … 2,236 2,236

19

6

3 1666 = , … 3,167 3,166

0,267 0,266 0,3 = − = =3

5

1

3

4

15 0 2666 , …

3

5 −

0 1 2 3 4

1

5

0−3 −2 −1 1 2 3 4 57

3

17

4

5−

14

5

5

2




Polinomios

CONTENIDOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• Monomios. Operaciones.

• Polinomios. Valor numérico de un polinomio.

• Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones.

• División de polinomios.

• Regla para sacar factor común en un polinomio.

• Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia.

• Fracciones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de

«Expresiones algebraicas», de 2.º ESO, y se hace hin-

capié en la transformación de expresiones algebraicas,operaciones con monomios y valor numérico de un po-

linomio, ya que el resto de conceptos del curso anterior

se vuelven a revisar en este curso y, por tanto, apare-

cen en las actividades de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene actividades re-

lativas a los contenidos que se trabajan en la unidad,

sobre todo el cálculo con polinomios: sacar factor co-mún, reducir, operaciones con polinomios… Conviene

trabajar la parte final (actividades 8 a 11): división de

polinomios y binomios notables, tanto en su aplicación

directa como inversa.

3INTRODUCCIÓN

Esta unidad continúa el estudio algebraico comenzado

en cursos anteriores. La utilización del lenguaje

algebraico es fundamental en el procesode abstracción matemático y será básico al trabajar

con ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Los dos aspectos más importantes de la unidad son:

la división de polinomios, que es necesaria para hallar

raíces de polinomios, y los productos notables.

Será interesante hacer ver a los alumnos que

las expresiones algebraicas se utilizan en numerosos

aspectos de la economía, física, química, etc.,

y en diferentes operaciones o ecuaciones.


En el curso anterior se comenzó el estudio

de las expresiones algebraicas, que es fundamental

tanto en este tema como en los relativosa ecuaciones y sistemas. Conviene revisar

estos aspectos.

• Operaciones con números desconocidos mediante

el lenguaje algebraico.

• Cálculo de sumas y restas de monomios

semejantes.

• Trabajo con igualdades notables.






EVALUACIÓN INICIAL

Expresa mediante el lenguaje algebraico.

a) Un múltiplo de 9.

b) El cubo de un número.

c) Un número impar.

d) Un múltiplo común de 3 y 4.

Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresiónalgebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v 1 a la velocidadde un caballo, v 2 a la velocidad de una moto y v 3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamentelos siguientes enunciados.

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo.

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto.

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades

del coche y la moto.

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche.

e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo.

Opera con los monomios. P (x ) = −3x 2

R (x ) = 5x 2

T (x ) = −6x

Q (x ) = 4x S (x ) = 7

P (x ) + R (x ) =

Q (x ) − T (x ) =

P (x ) + S (x ) =

P (x ) ⋅ T (x ) =

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x .

P (x ) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯→ P (3) =

P (x ) = −3x + 3x 2, si x = 2 → P (2) =

P (x ) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → P (−2) =

4

3

2

1

POLINOMIOS3







Expresa mediante el lenguaje algebraico.

a) Un múltiplo de 9 → 9 n

b) El cubo de un número → n3

c) Un número impar → 2 n + 1

d) Un múltiplo común de 3 y 4 → 12 n

Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresiónalgebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v 1 a la velocidadde un caballo, v 2 a la velocidad de una moto y v 3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamentelos siguientes enunciados.

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo → v3 = 5 v1

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto →

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte

de la suma de las velocidades del coche y la moto →

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche → 2 v2 = v3

e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo →

Opera con los monomios. P (x ) = −3x 2 R (x ) = 5x 2 T (x ) = −6x

Q (x ) = 4x S (x ) = 7

P (x ) + R (x ) = 2 x2

Q (x ) − T (x ) = 10 x

P (x ) + S (x ) =−3 x2 + 7

P (x ) ⋅ T (x ) = 18 x3

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x .

P (x ) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯→ P (3) = 12 + 3 = 15

P (x ) = −3x + 3x 2, si x = 2 → P (2) =−6 + 12 = 6

P (x ) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → P (−2) = (( −2) 2 −4) 2

= 0 2 = 0

4

3

vv3

1

6 =

2 9

1

2 3 vv v

=+

v v1

2

4 =

2

1

433





Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado.

Saca factor común.

Reduce y ordena el siguiente polinomio.

Determina el grado y el término independiente del polinomio anterior.Calcula su valor numérico para x = −3.

Halla el resultado de esta operación entre polinomios.

(7x 2 + 3x − 2) ⋅ (2x 2 − 5x + 8)

Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior.6

5

4

P x x x x x x x ( ) = − + − + − − +4 3 5 3 7 2 3 42 3 2 3

3

72

3

4

5

3 2 3 2 2x yz xyz x y z + −

2

1Distinción entre coeficiente,

parte literal y grado

de un monomio.

Obtención de factor común

en expresiones algebraicas.

Reducción y ordenación

de polinomios.

Determinación del valor

numérico de una expresión.

Cálculo de sumas, restas

y productos de diferentes

polinomios.




• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .................... ............................................. ......................................... . 8, 10



POLINOMIOS3

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

12x 3

−7ab 2

7 52 3x y

2

3

2 3 2m n p




Dados los polinomios:

realiza las siguientes operaciones.

a)

b)

c)

Haz la división y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto.

Efectúa los siguientes productos notables.

a) (x 2 − 4)(x 2 + 4)

b) (2x + 3)2

Expresa en forma de producto estos polinomios.

a) x 2 + 6x + 9

b) 9 y 2 + 30 y + 25

Opera y simplifica las siguientes fracciones.

a)

b)

c)x x

x

2

2

3

9

−

−

x x

x

3 26

3

−

8

4

2 3

4 2

x y z

xy z

11

10

9

( ) : ( )x x x x x 5 4 34 3 5 2 1+ − + − +

8

P x M x ( ) : ( )

Q x M x ( ) ( )⋅

P x Q x ( ) ( )−

M x x ( )= +

4Q x x x ( )= − −

2 3 1

3 2

P x x x ( )= − +

4

2 3

7

División de polinomios.

Trabajo con los

productos notables.

Determinación

de cuadrados perfectos.

Simplificación de fracciones

algebraicas.

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... .............................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................


• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ................................................................................ .......................... 10




435




POLINOMIOS3EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Tabla.

Factor común.

P( x)

Grado: 3. Término independiente: 9.

Valor numérico:

(7x 2 + 3x − 2) ⋅ (2x 2 − 5x + 8) = 14 x4 − 35 x3 + 56 x2 + 6 x3 − 15 x2 + 24 x − 4 x2 + 10 x − 16 == 14 x4 − 29 x3 + 37 x2 + 34 x − 16

Polinomio opuesto.

a) P (x ) − Q (x )

b) Q (x ) ⋅ M (x )

c) P (x ) : M (x )

Productos notables. a) (x 2 − 4)(x 2 + 4) = x4 − 16 b) (2x + 3)2 = 4 x2 + 12 x + 9

Productos notables. a) x 2 + 6x + 9 = ( x + 3) 2 b) 9 y 2 + 30 y + 25 = (3 y + 5) 2

Simplificación de fracciones algebraicas.

a) c)

b) =−

=−x x

x

x x2 6

3

6

3

( ) ( ) x x

x

3 26

3

−

=−

− +=

+

x x

x x

x

x

( )

( )( )

3

3 3 3

x x

x

2

2

3

9

−

−

=2 x

yz

8

4

2 3

4 2

x y z

xy z

11

10

9

−x 5 + 4x 4 − 3x 3 + 5x − 2

−x5 − 4 x4 − 3 x3 + 5 x − 2

−x5 + 3 x4 − 3 x3

−x5 − 3 x4 − 3 x3 + 5 x − 2

+ 5 x

− 5 x − 5

− 7

x + 1

x4 + 3 x3 + 5

8

= − + −x x xcociente

3 2 4 16 66

++

267

4

resto

x

= + − − −2 5 12 4 4 3 2

x x x x

= − + − +x x x x4 3 2 2 3 2 4 7

− = − + − − +P x x x x x( ) 14 29 37 34 16 4 3 2 6

5

P( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ − − ⋅ − + − + = −3 4 3 5 3 3 9 147 3 2

4

= − + − − + − + + = −( ) ( ) ( ) ( ) 7 3 3 2 4 3 5 4 4 5

3 3 2 2 3 2

x x x x x x x x ++ +x 9 3

= + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xyz x z z xy7 2

3

4

5

2 2 7

2

3

4

5

3 2 3 2 2x yz xyz x y z + −2

1Monomio Coeficiente Parte literal Grado

12x 3

12 x3

3

−7ab 2 −7 ab2 3

7 52 3

x y 7 5 x2 y3 5

2

3

2 3 2m n p

2

3 m2 n3 p2 7




Ecuaciones de 1.er y 2.o grado

CONTENIDOS

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

• Concepto de ecuación.

• Elementos del lenguaje: miembros de una ecuación, términos, coeficientes, grado,

incógnitas y solución.

• Tipos de ecuaciones según el grado, el número de incógnitas y el número de soluciones.

• Equivalencia de ecuaciones.

• Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolución.

• Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolución.

• Resolución de problemas con ecuaciones.


PRUEBA INICIAL

Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas

a comprobar que los alumnos tienen asimilados los

conceptos básicos sobre ecuaciones y su resolución:

mental, por el método de ensayo-error o por métodos

más generales. Se ofrecen también un par de activida-

des para trabajar con números y con expresiones alge-

braicas.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene actividades de procedimientos de la

unidad: ecuaciones de primer grado con y sin parénte-

sis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundo

grado incompletas y completas. También hay una serie

de problemas para resolver con ecuaciones. Es funda-

mental plantear correctamente los problemas, ya que

se repasan conceptos conocidos por los alumnos tanto

de cuestiones numéricas como geométricas.

4INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son fundamentales

en las Matemáticas. Las ecuaciones de primer grado

y de segundo grado ya se han trabajado en el primerciclo y no deberían presentar dificultades a los

alumnos.

La dificultad del tema se presentará al trabajar

con expresiones algebraicas y en la resolución

de problemas con ecuaciones. Por ello, será

conveniente plantear problemas de la vida cotidiana

y próximos a los alumnos.


Se consideran tres aspectos básicos en el estudio

de esta unidad:

• Conocimientos previos de la aritmética de

los números reales (Unidades 1 y 2 de 3.º ESO).

• Conceptos y procedimientos sobre ecuaciones

estudiados en el curso anterior.

• Conceptos y procedimientos de cálculo

con expresiones algebraicas trabajados

en el curso anterior, así como también

la Unidad 3 de 3.º ESO.

Además, será básico tener capacidad para plantear

problemas mediante ecuaciones y contrastar

los resultados con la situación planteada.






EVALUACIÓN INICIAL

Calcula y simplifica.

Opera y simplifica las expresiones algebraicas.

a) x (x + 3) − (2x + 1)

b) x (3 − x ) + 3x 2 − 5(x + 3)

c)

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.

Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error.

Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x 2 − 75 = 0

b) x 2 + 4 = 0

6

5

4

3

x x x

2

1

3

2 4

5+

−−

+( )

2

4

5

3

2

1

6

3

4

2

7⋅ −⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

− −⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

ECUACIONES DE 1.er

Y 2.º GRADO4


−5xz 2 −5 xz 2 3

8x 3 y 2

17x 6

−10,7a 3b 4

Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución

x + 4 = 7y

52=

y − 3 = 5 8 − z = 6

2x = 8 3z − 2 = 10







Calcula y simplifica.

Opera y simplifica las expresiones algebraicas.

a) x (x + 3) − (2x + 1) = x2 + 3 x − 2 x − 1 = x2 + x − 1

b) x (3 − x ) + 3x 2 − 5(x + 3) = 3 x − x2 + 3 x2 − 5 x − 15 = 2 x2 − 2 x − 15

c)

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.

Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error.

Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126.

Llamamos x y x + 2 a dichos números.

Por tanto: x + ( x + 2) = 126 → 2 x + 2 = 126 →

→

Los números son 62 y 64.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x 2 − 75 = 0 →

b) x 2 + 4 = 0 → x x2 4 4 = − = ± −→ → No tiene solución real.

x x xx

2 1

2

75

3 25 25

5

5 = = = ±

=

= −

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪→ →

6

2 124 124

2 62 x x= = =→

5

4

3

=−13 58

30

x

=+ − − +

=+ − − −

=15x x x 15x x x 10 1 12 4

30

10 10 12 48

30

( ) ( ) x x x

2

1

3

2 4

5+

−−

+( )

2

= ⋅ − = − =−

=4

5

8

6

13

28

32

30

13

28

195

420

253

420

448 4

5

3

2

1

6

3

4

2

7⋅ −⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

− −⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

439


−5xz 2 −5 xz 2 3

8x 3 y 2 8 x3 y2 5

17x 6 17 x6 6

−10,7a 3b 4 −10,7 a3 b4 7

Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución

x + 4 = 7 x 3 y

52= y 10

y − 3 = 5 y 8 8 − z = 6 z 2

2x = 8 x 4 3z − 2 = 10 z 4





Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades.

a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x ) + 4x − 5

b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: 6x − 7 = 2x + 5.

Resuelve la ecuación de primer grado: .

Resuelve la ecuación de primer grado: 3(2x − 5) + 4(7 − 2x ) = 2x − 3(2x − 8).

Resuelve la ecuación de segundo grado: 2x 2

= 18.

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2

+ 5x = 0.

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2

− 5x + 4 = 0.

Resuelve la ecuación de segundo grado: x (x + 4) = 3(x − 8).8

7

6

5

4

3 5

7

2 8

5

x x

x −= −

+3

2

1Distinción de si una igualdad

es ecuación o identidad.

Resolución de ecuaciones

de primer grado mediante

diferentes métodos.

Resolución de ecuaciones

de segundo grado

completas e incompletas.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 9

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................... .............................................. .................................. 9

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 2-13


4 ECUACIONES DE 1.er

Y 2.º GRADO




Halla el valor de b en la ecuación x 2+ bx −20 = 0, sabiendo que una

de sus soluciones es x 1 = 4. Calcula el valor del discriminante

y la otra solución.

La suma de tres números impares consecutivos es 135.Determina dichos números.

¿Por qué número hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triplede dicho número?

Halla los tres números consecutivos que cumplen que la suma de los cuadradosdel menor y el mayor es igual al cuadrado del número intermedio más 18.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menory 2 cm más que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres ladosdel triángulo.

13

12

11

10

9Determinación

del discriminante

de una ecuación de segundo grado.


de diferentes tipos,

mediante el planteamiento

y la resolución

de ecuaciones de primer

y segundo grado.








441




ECUACIONES DE 1.er

Y 2.º GRADO4EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x ) + 4x − 5 → 4 x − 6 = 2 x + 1. Es una ecuación.

b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2 ⎯→ 3 x − 6 = 3 x − 6. Es una identidad.

6x − 7 = 2x + 5 → 6 x − 2 x = 5 + 7 → 4 x = 12 →

Ecuación de primer grado.

Eliminamos denominadores: 15 x − 25 = 35 x − (14 x + 56)

Quitamos paréntesis: 15 x − 35 x + 14 x = 25 − 56 → −6 x = −31

Despejamos la x:

Quitamos paréntesis: 6 x − 15 + 28 − 8 x = 2 x − 6 x + 24

Transponemos términos: 2 x = 11 y despejamos la x:

2x 2= 18 → → . Dos soluciones: y

x 2+ 5x = 0 → x ( x + 5) = 0. Dos soluciones: y

x 2− 5x + 4 = 0 →

x (x + 4) = 3(x − 8) → x2 + x + 24 = 0

→ No tiene solución.

Discriminante y soluciones. Si una solución es 4 → 4 2 + b ⋅ 4 − 20 = 0 → 4 b = 4 → b = 1

El discriminante es: ∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −20) = 1 + 80 = 81

La otra solución es:

Números impares. Llamamos x al número menor: x + ( x + 2) + ( x + 4) = 135 → 3 x = 135 − 6 = 129

Despejamos: x = 43 →

Números. Llamamos x a dicho número:

Tres números.

Triángulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos serán x − 2 y x − 4.

x2 = ( x − 2) 2 + ( x − 4) 2 → x2 = x2 − 4 x + 4 + x2 − 8 x + 16 →

→ x2 − 12 x + 20 = 0 → x1 = 10, x2 = 2 (no válida)

Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm.

13

→ →→

→

x x x yx y

2 1

2

2 15 0 3 3 4 5

5 5 4 3 + − =

=

= − − − −

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

,

x x x x x x x x2 2 2 2 2 2 2 1 18 4 4 2 1 18 + + = + + + + + = + + +( ) ( ) → →12

108 3 108 3

108

3 36 6 2 2

xx x x x= = = = = ±→ → →11

43, 45 y 47

10

x1 = 4

x2 = −5 x =

− ±1 81

2

9

x =− ± − ⋅ ⋅

⋅=

− ± −1 1 4 1 24

2 1

1 95

2

2

8

x1 = 4

x2 = 1x =

± − ⋅ ⋅

⋅=

±5 5 4 1 4

2 1

5 3

2

2

7

x2 = −5 x1 = 0 6

x2 = −3 x1 = 3 x = ± 9 x2 18

2 9 = =5

x = 5,5 4

x =31

6

3 5

7

2 8

5

xx

x−= −

+3

x = =12

4 3 2

1




Sistemas de ecuaciones

CONTENIDOS

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Ecuaciones lineales. Representación gráfica de rectas en el plano.

2. Sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolución de sistemas. Número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones.

• Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: igualación, sustitución y reducción.

• Reglas prácticas para resolver sistemas.

• Resolución de problemas mediante sistemas.


PRUEBA INICIAL

Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas

a comprobar que los alumnos tienen asimilados los

conceptos básicos sobre la representación de puntos

en el plano y la resolución de ecuaciones y sistemas

por los métodos habituales de resolución, incluso por el

método de ensayo-error.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene actividades re-

lativas a la resolución de sistemas de ecuaciones por

diferentes métodos y problemas para resolver con sis-

temas. No es conveniente presentar sistemas incom-

patibles, siendo los problemas planteados sencillos de

resolver.

5INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son continuación

de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental

que los alumnos sepan resolver las ecuacionesde primer grado. También es importante

la representación gráfica de puntos en el plano,

ya que servirá para representar las rectas

en el plano y resolver de forma gráfica los sistemas.

La resolución de problemas es uno de

los fundamentos de las Matemáticas pues, al resolver

numerosos problemas reales, es necesario resolver

sistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnos

pueden planteárseles distintos problemas reales,

cuya solución no sea fácil de intuir, y que necesiten

del planteamiento y resolución de un sistema.Mediante un trabajo por ensayo-error, primero,

y su resolución mediante sistemas, después,

los alumnos apreciarán la sencillez y utilidad

de los sistemas para resolver problemas.


Se pueden considerar básicos los conceptos

estudiados en 2.º ESO, «Ecuaciones y sistemas»,

así como también la Unidad 4 de 3.º ESO,«Ecuaciones de 1.er y 2.º grado», y todos aquellos

aspectos trabajados en cursos anteriores sobre

la resolución de problemas:

• Distinción entre lo que se conoce (dato)

y lo que se desconoce (incógnita).

• Realización de diagramas, figuras, esquemas…

• Cálculo con expresiones algebraicas.

• Representación de puntos en el plano.

• Resolución de ecuaciones de primer grado.






EVALUACIÓN INICIAL

Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono.

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.A (−1, 3) B (2, −2) C (3, 4) D (0, 2)

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas.Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representanlos miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambosmiembros son iguales. Observa las figuras y contesta.

a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación.

Haz lo mismo con la balanza B.

b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B.

Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56.4

3

2

1

SISTEMAS DE ECUACIONES5

Balanza A Balanza B

Y

5A

B

C

D

E

3

1

−1

−3

−4 2−2 4 X

Y

5

3

1

−1

−3

x y 7 x y 2 y

−4 1−2 3 5 X







Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono.

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.A (−1, 3)

B (2, −2)

C (3, 4)

D (0, 2)

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas.Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representanlos miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambosmiembros son iguales. Observa las figuras y contesta.

a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación.

Haz lo mismo con la balanza B.

Balanza A → x + y = 7 Valores: (0, 7), ( −1, 8), (1, 6), (2, 5)…

Balanza B → x + y = 2 y Valores: (0, 0), ( −1, −1), (1, 1), (2, 2)…

b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B.

Valores coincidentes: x = 3,5; y = 3,5

Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56.

y

y1

2

7

8

=

=

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

→ Soluciones: 7 y 8 x y

y yy y

= −

− ⋅ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪− + =

15

15 56 15 56 0 2

( ) → →

Sustitución ⎯⎯⎯⎯→

x y

x y

+ =

⋅ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

15

56

4

3

2

1

445

Puntos:

A(2, 4) D( −2, 0)

B(4, 0) E( −2, 2)

C(1, −1)

Balanza A Balanza B

Y

5A

A

B

B

C

C

D

E

D

3

1

−1

−3

−4 2−2 4 X

Y

5

3

1

−1

−3

x y 7 x y 2 y

−4 1−2 3 5 X





Expresa la ecuación2(x −3) = 3( y − 2) + 6

en la forma lineal ax + by = c ,y represéntala en el plano.

En el sistema de ecuaciones lineales: comprueba

si son solución los puntos A (0, 5), B (2, 3) y C (3, 2).

Comprueba si los sistemas son equivalentes.

Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución.

x y

x y

− =

+ = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2 6

3 6 6

4

2 4 12

5 2 6

x y

x y

− =

+ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x y

x y

− =

+ = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2 6

3 6 6

3

2 3 1253

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪2

1Expresión lineal

y representación gráfica

de una ecuación lineal.

Comprobación de si un par

de valores es o no solución

de un sistema de

ecuaciones.

Comprobación de sistemas

equivalentes.

Búsqueda de la solución

de un sistema

de dos ecuaciones

con dos incógnitas

por los métodos

de sustitución, igualación

y reducción.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones. ..................................................... ..................... 1, 2, 3




SISTEMAS DE ECUACIONES5

Y 3

1

−2

−4

−3 1−1 3 5 X




Resuelve el sistema por el método de igualación.

Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción.

Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado.

La edad de Luis es tres veces la edad de Ana. Dentro de 5 años, la edad de Luisserá solamente el doble de la edad de Ana. Halla las edades de ambos.

Calcula el valor de las bases de los rectángulos, sabiendo que la sumade sus áreas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igualal cuádruple de la menor más 4.

9

8

3 1

6 9 32

9x y

x y

+ =

− = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

7

2 4 3

3 84

x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

6

x y

x y + = −− =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3 82 53

5

Resolución de sistemas de

ecuaciones por los métodos

más adecuados.


reales, planteando

y resolviendo sistemas

de ecuaciones lineales.



• Combinar, componer datos y resumir, etc. .............................................................................................................





447

3 cm

a b

2 cm




SISTEMAS DE ECUACIONES5EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

2(x − 3) = 3( y − 2) + 6 → 2 x − 6 = 3 y − 6 + 6 → 2 x − 3 y = 6

Comprobación. A (0, 5) → No, porque 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5 12.

B (2, 3) → No, porque 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 12.

C (3, 2) → Sí, porque 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 12 y 2 + 3 = 5.

Equivalencia de sistemas. La solución de los sistemas es la misma: x = 2 e y = −2.

Los sistemas son equivalentes.

⎯→

→

Problema. Llamamos x e y a las edades actuales de Luis y Ana.

Planteamiento del problema:

Dimensiones de la figura. Llamamos a y b a las bases de los dos rectángulos.

Planteamiento del problema: →

→

b a= = =

30

6 5 8 →

− 3 a + 2 b = 34

− 3 a − 4 b = 3 4

− 3 a − 6 b = 30

3 2 34

3 4 4

a b

a b

+ =

= +

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

9

x y

x y y y y x

=

+ = +

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪ + = + = =

3

5 2 5 3 5 2 10 5 15 ( ) → → →

8

x y=−

=23

33

34

11→

27 9 9

6 9 32

33 23

3

2

9

x y

x y

x y

+ =

+ − = −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪⎪

−

−

Reducción ⎯⎯⎯⎯⎯→

1.ª ⋅ 9

3 1

6 9 32

9x y

x y

+ =

− = −

⎫⎬⎪⎪

⎭

⎪

⎪

7

x y= = = −35

14

5

2

1

2 →

2 4 3

12 4 32

14 35

3

4

x y

x y

x y

+ =

+ − =

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

−

Reducción ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2.ª ⋅ 4

2 4 3

3 84

x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

6

→

→

→ →

x y

xy y

y= − −

=

+

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

− − =+

− −

8 3

5

2

3 5

2

16 6 8 yy y

y x

= +

= − =

5

3 1

→

→ →

x y

x y

+ = −

− =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

3 8

2 53

5

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

→

→x y

y y

= +

+ + = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

= −6 2

3 6 2 6 6 24

( ) 12y →→ →y x= − =2 2

x y

x y

− =

+ = −

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2 6

3 6 6

4

3

2

1

Y

3

1

−2

−4

−3 1−1 3 5 X




Proporcionalidad

CONTENIDOS

PROPORCIONALIDAD

• Proporcionalidad directa e inversa.

• Regla de tres simple directa e inversa.

• Repartos directa e inversamente proporcionales.

• Proporcionalidad compuesta.

• Problemas con porcentajes. Cálculos con porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales.

Porcentajes encadenados.

• Interés simple.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial contiene cinco actividades sobre pro-porcionalidad ya estudiadas en cursos anteriores: averi-

guar si dos razones forman o no proporción; calcular el

medio y el cuarto proporcional y resolver ejercicios so-

bre porcentajes, así como problemas de la vida cotidia-

na sobre el cálculo de porcentajes y proporciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba de la unidad consta de actividades de losconceptos que se tratan en la unidad: tablas de propor-

cionalidad directa e inversa, problemas de reglas de

tres simples y problemas de repartos proporcionales

y reglas de tres compuestas. La última actividad es de

cálculo de intereses bancarios, que son aplicaciones

de la proporcionalidad directa. Los ejercicios de repar-

tos proporcionales y de proporcionalidad inversa y com-

puesta (actividades 8 y 9) resultarán complicados para

los alumnos, por lo que habrá que tener cuidado en su

desarrollo.

6INTRODUCCIÓN

El tema de la proporcionalidad numérica

es fundamental en las Matemáticas. Los conceptos

de proporcionalidad directa e inversa suelenser intuitivos, pero a veces los alumnos no diferencian

entre incrementos lineales y proporcionalidad.

Numerosas relaciones de la vida cotidiana como,

por ejemplo, repartos proporcionales, recetas

de cocina, etc., mantienen relaciones de

proporcionalidad y podemos encontrar ejemplos

de ello en diarios, revistas…

A lo largo de la unidad se plantearán algoritmos

de cálculo aritmético sencillo, por lo que se tendrá

que apoyar a los alumnos que tengan más dificultades

en hacerlo.


Los contenidos de esta unidad han sido trabajados

en 1.º y 2.º ESO, por lo que conviene hacer un repaso

de aspectos básicos, como son:

• Razón y proporción. Comprobación de si

dos razones forman o no proporción.

• Cálculo del cuarto y medio proporcional

de una proporción.

• Elaboración de tablas de proporcionalidad directa.

• Cálculo con porcentajes.






EVALUACIÓN INICIAL

Averigua si las razones forman o no una proporción: y .

Calcula los números que faltan para completar estas proporciones.

a)

b)

c)

Completa las frases.

a) El % de 50 es 15.

b) El 25% de es 225.

c) El 37% de 65 es .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes

en cada caso.a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13.

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4.

c) De 11 tiros libres ha encestado 9.

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18.

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.

Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas.

5

4

3

3

12=

6

8 4=

8

16

2=

2

23

90

3

71

6 personas 10 personas 15 personas

Limones (unidades) 12

Agua (cl) 200

Azúcar (g) 250

PROPORCIONALIDAD6

Limonada (para 6 personas):12 limones

2 litros de agua

1/4 kg de azúcar







Averigua si las razones forman o no una proporción: y .

y no forman proporción, ya que 3 ⋅

90 7 ⋅

23.

Calcula los números que faltan para completar estas proporciones.

a) = c) =

b) =

Completa las frases.

a) Se divide la cantidad entre el total: 30. El % de 50 es 15.

b) Se divide la cantidad entre el porcentaje: 900. El 25 % de es 225.

c) Se multiplica el porcentaje por la cantidad: 37 ⋅ 65 24,05. El 37 % de 65 es .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes

en cada caso.

a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13 →

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4 →

c) De 11 tiros libres ha encestado 9 →

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 →

Para hacer limonada para 6 personas,se utilizan estos ingredientes.

Calcula las cantidades que se necesitaránpara hacer limonada para 10 y 15 personas.

5

18

20 100 90 ⋅ = %

9

11100 81 8 ⋅ = , %

4

8 100 50 ⋅ = %

13

20 100 65 ⋅ = %

4

24,05 ⋅ 100

⎯⎯⎯⎯→

900 ⋅ 100

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

225

25

30 ⋅ 100

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→15

50

3

3

4

6

8

6

12

3

6

2

4

8

16

2

23

90

3

7

23

90

3

71

451

Limonada (para 6 personas):

12 limones

2 litros de agua

1/4 kg de azúcar

6 personas 10 personas 15 personas

Limones (unidades) 12 20 30

Agua (cl) 200 333,33 500

Azúcar (g) 250 416,67 625





Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales.

a) El perímetro de un cuadrado y su área.b) El lado de un cuadrado y su perímetro.

c) El número de fotocopias y su precio.

d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto.

Completa las tablas para que sean de proporcionalidad directa.

a) b)

Comprueba si las tablas son de proporcionalidad inversa.

a) b)

Calcula las constantes de proporcionalidad de los dos ejercicios anteriores.

Si un grupo de amigos pagan 81 € por 6 menús, ¿cuánto vale cada menú?¿Cuánto hubiesen pagado por 4 menús?

En un refugio de montaña hay comida para alimentar a seis personas duranteun mes. Si vienen tres personas más, ¿para cuántos días tendrán comida?

6

5

4

3

2

1Distinción de si dos

magnitudes son o no

proporcionales y de qué tipo.

Elaboración de tablas

de proporcionalidad

directa e inversa.

Cálculo de la constante

de proporcionalidad.

Aplicación de las reglas

de tres para resolver

problemas de la vida

cotidiana.







PROPORCIONALIDAD6

M 2 3 4

N 5 10

M 2 3 4

N 6 4 3

M 0,5 1,75 3

N 7 42

M 0,5 2 3

N 10 2,25 1,75




Tres socios deciden ampliar el capital de la empresa en 84.000 €,de forma directamente proporcional al número de acciones de cada uno:

100, 200 y 400. ¿Cuánto ha de aportar cada socio?

Al cabo de un año, una empresa ha tenido unas pérdidas de 14.000 €,y sus tres socios deciden reponer el dinero de forma inversamente proporcionalal número de hijos de cada uno: 1, 2 y 4. ¿Cuánto ha de aportar cada socio?

En la construcción de un edificio trabajaron 100 personas en turnosde 8 horas durante 60 días. ¿Cuánto habrían tardado si los turnosfuesen de 10 horas?

Un artículo cuesta 261 €, incluido el 16 % de IVA. Si se hace un 20 %de rebaja sobre el precio sin IVA, ¿cuál será el precio final?

Calcula el interés producido por un capital de 250 en 3 añosal 2,5% de interés.

11

10

9

8

7Aplicación de los repartos

proporcionales para resolver

problemas de la vida cotidiana.

Aplicación de las reglas

de tres compuestas

para resolver problemas

reales.


mediante porcentajes.

Utilización de la fórmula

del interés simple

para calcular intereses,

tiempos o capitales

en situaciones reales.








453




PROPORCIONALIDAD6EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) El perímetro de un cuadrado y su área → No son proporcionales.

b) El lado de un cuadrado y su perímetro → Son directamente proporcionales.

c) El número de fotocopias y su precio ⎯⎯→ Son directamente proporcionales.d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto → Son inversamente proporcionales.

a) b)

La opción a) sí es de proporcionalidad inversa, pero la b) no lo es, ya que 0,5 ⋅ 10 2 ⋅ 2,25 3 ⋅ 1,75.

Constantes. Ejercicio 2:

Ejercicio 3: k = 2 ⋅ 6 = 12

54 €

Comida–Días. Son magnitudes inversamente proporcionales:

6 personas → 30 días

9 personas → días

Empresa (1). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:

→

→ A = 100 ⋅ 120 = 12.000 € ; B = 200 ⋅ 120 = 24.000 € ; C = 400 ⋅ 120 = 48.000 €

Empresa (2). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:

Además, la suma ha de ser 14.000 € :

→ k = 8.000 → A = 8.000 € ; B = 4.000 € ; C = 2.000 €

En ambos casos, las magnitudes personas–días y horas–días

son inversamente proporcionales.

Porcentajes. Cálculo del precio sin IVA: 225 € . Por tanto, el precio con la rebaja es:

225 ⋅ 0,80 = 180 € .

Añadiendo el 16% de IVA: 180 ⋅ 1,16 = 208,80 € es el precio final.

Interés. € IC r t

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=100

250 2 5 3

100

,18,75 11

261

1 16 ,=10

200

100

10

8

60 60 100 8

200 10 24 ⋅ = =

⋅ ⋅

⋅=

xx→ días

9

kk k k

+ + = =2 4

7

4 14 000 .

A B C k Ak

Bk

Ck

⋅ = ⋅ = ⋅ = = = =1 2 4 1 2 4

→ ; ;

8

A B C100 200 400

84 000 100 200 400

84 000 700

= = =+ +

=. .→ kk = 120

7

x

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪⋅ = ⋅ = =→ →6 30 9

180

9 x x 20 días

6

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪= =

⋅=→ →

6

4

81 81 4

6 xx

6 menús → 81 €

4 menús → x €

5

k ka b= = = =2

5 0 4

0 5

7 ,

,0,0714285 4

3

2

1

M 2 3 4

N 5 7,5 10

M 0,5 1,75 3

N 7 24,5 42

Personas Días Horas

100 60 8

200 x 10

I I

inversa inversa




Progresiones

CONTENIDOS

PROGRESIONES

• Leyes de formación de sucesiones. Término general. Sucesiones recurrentes.

1. Progresiones aritméticas.

• Cálculo del término general.

• Suma de n términos de una progresión aritmética.

2. Progresiones geométricas.

• Cálculo del término general de una progresión geométrica.

• Suma de n términos de una progresión geométrica.

• Suma de todos los términos de una progresión geométrica con ⏐r ⏐ < 1.

• Producto de n términos de una progresión geométrica.

3. Interés compuesto.


PRUEBA INICIAL

En esta prueba se ofrecen tres actividades de cálculo

con fracciones, decimales y potencias para comprobar

si los alumnos recuerdan estos conceptos, que han sido

estudiados en unidades anteriores y que se usan en la

aplicación de las diferentes fórmulas de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Esta es una prueba esencialmente procedimental. Se

comienza con actividades de sucesiones en general,

para resolver después aspectos concretos de proble-

mas de progresiones: cálculo de leyes de formación,

términos generales, sumas de progresiones… Y se

finaliza la prueba con unos problemas de aplicaciónnumérica, geométrica y de comparación de intereses

simple y compuesto.

7INTRODUCCIÓN

En esta unidad se estudian las sucesiones y,

en particular, las progresiones, que cumplen

unas reglas determinadas. Las sucesiones aparecenen diversos campos: medicina, genética (distribución

de los caracteres sexuales), informática (utilización de

algoritmos recursivos), economía (cálculo del interés

simple y compuesto), etc.

Uno de los problemas con los que se encuentran

los alumnos es el cálculo del término general de una

sucesión; por ello se han de explicar detenidamente

las formas de razonamiento, aunque en las

progresiones aritméticas y geométricas la forma de

obtención es más sencilla que en sucesiones de otros

tipos. También se ha de tener cuidado con el cálculode las fórmulas que aparecen en la unidad: cálculo de

los términos generales, sumas de progresiones

y producto de n términos, así como la suma

de infinitos términos, para asegurarse de que

los alumnos no las aplican de manera automática.


Esta unidad se relaciona con las distintas operaciones

aritméticas: fracciones, decimales y potencias, que

son básicas en el desarrollo de la unidad. Además,las cuestiones referidas a las regularidades

en aspectos numéricos o geométricos serán esenciales

para entender las leyes de formación de una

progresión.

Se podrán proponer en la pizarra secuencias

de figuras o numéricas que sigan alguna regularidad,

y pedir a los alumnos que traten de deducir cuáles

serán los siguientes términos. Es interesante también

que sean ellos los que creen la secuencia

y que sus compañeros adivinen la regla de formación.

Conviene repasar estos aspectos.

• Operaciones con fracciones y decimales.

• Potenciación y radicación de números naturales

y enteros.

• Estudio de regularidades geométricas y numéricas.






EVALUACIÓN INICIAL

Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.

0,02 − =

Completa las siguientes igualdades.

a) 220 ⋅ 103= 2,2 ⋅ 10 b) 7 ⋅ 10−2

= 0,7 ⋅ 10 c) 6,4 ⋅ 105= ⋅ 107

Calcula y expresa en notación científica.

a)

b) 2,3 ⋅ 104

+ 1.000.000 =

c)

d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10−2) =

Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior?

b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguientefigura sin necesidad de dibujarla?

c) Escribe el área de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura?¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?

d) Completa la tabla siguiente.

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudiauna población de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horasse duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una poblaciónde 100.000 paramecios.

5

4

0 0000045

15 103

,

⋅

=

3 200 000 000

0 0008

. . .

,=

3

2

5

7

2 10 2+ ⋅

−4

6

+

1

PROGRESIONES7

Figura 1 2 3 4 5 … 10

N.° de cuadrados 1 2 3

Perímetro 4 6

Área 1 2

Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 … 24 …N.° de paramecios 5.000 100.000







Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.

0,02 − =

Completa las siguientes igualdades.

a) 220 ⋅ 103= 2,2 ⋅ 10 b) 7 ⋅ 10−2

= 0,7 ⋅ 10 c) 6,4 ⋅ 105= ⋅ 107

Calcula y expresa en notación científica.

a)

b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 = 23.000 + 1.000.000 = 1.023.000 = 1,023 ⋅ 10 6

c)

d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10−2) = 2,5 ⋅ 10 4 ⋅ 2 ⋅ 10 −3

= 5 ⋅ 10 1

Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior?Cada figura tiene un cuadrado más que la figura anterior.

b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidadde dibujarla? Perímetros = {4, 6, 8, 10, 12}. La siguiente figura tendrá un perímetro de 14 cm.

c) Escribe el área de cada una de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura?¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?

Áreas = {1, 2, 3, 4, 5}. La siguiente figura tendrá 6 cm 2 de área y la 10.ª figura 10 cm 2 .

d) Completa la tabla siguiente.

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudiauna población de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horasse duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una poblaciónde 100.000 paramecios.

5

4

4 5 10

1 5 10 3 10

6

4

10 ,

,

⋅

⋅

= ⋅

−

−0 0000045

15 103

,

⋅

=

3 2 10

8 10 0 4 10 4 10

9

4

13 12 ,,

⋅

⋅

= ⋅ = ⋅−

3 200 000 000

0 0008

. . .

,=

3

0,064 −15

2

=−

=−

= −68

12 600

17

3 150 0 00539682

. .,

4

6

2

90

5

7

2

100

8 400 280 9 000 252

12 600

+ − + =+ − +

=. .

.

5

7

2 10 2+ ⋅

−4

6

+

1

457

Figura 1 2 3 4 5 … 10

N.° de cuadrados 1 2 3 4 5 … 10

Perímetro 4 6 8 10 12 … 22

Área 1 2 3 4 5 … 10

Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 … 24 …13

(apróx.)

N.° de paramecios 5.000 6.300 (apróx.)

7.940 (apróx.)

10.000 20.000 40.000 … 1.280.000 … 100.000





Determina el término siguiente de cada una de las sucesiones.

a) 2, 5, 8, 11, … c) 1, 3, 9, 27, …

b) d) 4, 9, 16, 25, 36, …

Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términosgenerales son:

a) 2n +1 b) n 2 − 2 c)

De una progresión aritmética se conocen a 15 = 45 y a 32 = 79.

Calcula la diferencia de la progresión y la suma de los 32 primeros términos.

Halla el término general de las progresiones geométricas.

a) 5, 15, 45, 135, …

b)

c) 1, −2, 4, −8, …

En una progresión geométrica, a 5 = 4 y a 9 = 16. Calcula la razóny el término 20 de esta progresión.

5

21

2

1

8

1

32, , , , …

4

3

n

n

+

+

2

2 3

2

1

3

1

7

1

11

1

15, , , , …

1Aplicación de métodos

deductivos para calcular

un término de una sucesión.

Aplicación de una fórmula

para calcular los términos de

una sucesión a partir de una

ley de formación.

Cálculo del término general

de una progresión aritmética y la suma de una cantidad

de términos.

Cálculo del término general

de una progresión

geométrica.




• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ 1, 8, 9, 10



PROGRESIONES7




Calcula la suma de los 20 términos de la anterior progresión geométrica.

Halla el producto de los 10 primeros términos de una progresión geométricasabiendo que a 1 = 2 y r = 3.

Encuentra 5 múltiplos de 7 que sean consecutivos y cuya suma sea 245.

Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos los puntos medios de sus lados,obteniendo un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma

operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas obtenidas.

Dos amigos invierten 1.000 € en dos bancos diferentes. Al primero le danun 3,5 % de interés simple y al segundo un 3,32 % de interés compuesto.Después de 5 años, ¿quién obtendrá más ganancias?

10

9

8

7

6Cálculo de la suma

de términos de una

progresión geométrica.


reales donde aparezcan

progresiones aritméticas

y geométricas y que

impliquen el uso

de estos conceptos.

• Clasificar y discriminar según criterios ..................... ............................................. ......................................... ........ 8, 9, 10


• Combinar, componer datos, resumir, etc. ........ ............................................. .......................................... ............... 1, 3, 4





459




PROGRESIONES7EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) 2, 5, 8, 11, … 14 c) 1, 3, 9, 27, … 81

b) d) 4, 9, 16, 25, 36, … 49

a) 2n +1 → 3, 5, 7, 9, 11, … c) →

b) n 2− 2 → −1, 2, 7, 14, 23, …

Cálculo de la diferencia y la suma de términos de una progresión aritmética.

Calculamos el primer término:

La suma es:

a) 5, 15, 45, 135, … → an = 5 ⋅ 3 n−1 c) 1, −2, 4, −8, … → an = ( −2) n−1

b) → an = 2 −2 n+3

Cálculo de la razón y un término de una progresión geométrica.

am = an ⋅ rm−n→

El término 20 es:

Suma de los términos de una progresión geométrica.

Calculamos el primer término:

La suma es:

Múltiplos de 7.

Forman una progresión aritmética, cuyos términos serán: 7 n, 7( n + 1), 7( n + 2), 7( n + 3) y 7( n + 4)

Áreas de cuadrados.

Es una progresión geométrica: , cuya suma es: 1,3 .

Inversiones. Interés simple: 1.175 €

Interés compuesto: € C Cr

f

t

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ⋅ =0 5 1

100 1 000 1 033 . , 1.176,2 26

C CC r t

f = +⋅ ⋅

= +⋅ ⋅

=0

100 1 000

1 000 3 5 5

100 .

. ,10

S =

−

=1

11

4

11

4

1

16

1

64 , , , , ...

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

9

245 7 7 28

2 5 7 14 5 35 70 =

+ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⋅ = + ⋅ = +n n

n n( ) →→ →n = =245

35 7 49 56 63 70 77 { , , , , }

8

P a a a a r10 1 10 10

1 19 10 9 10 2 2 3 = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) 7

Sa r

r20

120 20 10 1

1

1 2 1

2 1

2 1

2 1

1 023 =

−

−=

−

−=

−

−=

( ) ( ) .

2 2 1−

a a aa

5 14

15

2 4

4

4 1= ⋅ = = =→

6

a a a20 1 20 19 9 2 2 2 2 2 2 1 024 2 = ⋅ = = ⋅ =( .) 19

→

2 ra

a

a

am

n

m n= = = = =− −9

5

9 5 4 4 16

4 4

5

21

2

1

8

1

32, , , , …

4

S

a a32

1 32

2 32

17 79

2 =

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟⎟ ⋅ =

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟⎟ ⋅⋅ = ⋅ =32 48 32 1 536 .

a a d a1 15 115 1 45 14 2 17 = − − ⋅ = − ⋅ =( ) →

2 → da a

m nm n=

−

−=

−

−= =

79 45

32 15

34

17 a a m n dm n= + − ⋅( )

3

3

5

4

7

5

9

6

11

7

13 , , , , , ...

n

n

+

+

2

2 32

( ) 2

⎯⎯⎯→

1

19 ⎯⎯⎯→

1

4 +1

3

1

7

1

11

1

15, , , , …

⋅ 3 ⎯⎯⎯→

+ 3 ⎯⎯⎯→1




Figuras planas

CONTENIDOS

LUGARES GEOMÉTRICOS

• Rectas y puntos notables de un triángulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

• Cálculo de la altura de un triángulo.

• Cálculo de la diagonal de un paralelogramo.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

• Triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

• Figuras circulares: círculos, sectores, segmentos y coronas circulares.


PRUEBA INICIAL

La prueba consta de actividades referidas a aspectos

que han de ser conocidos por los alumnos: operacio-

nes con ángulos, propiedades de los triángulos, cons-

trucciones y áreas de figuras planas, principalmente

como aplicación del teorema de Pitágoras.

PRUEBA DE LA UNIDAD

De las tres partes en las que hemos dividido la unidad,

se proponen actividades referidas a construcciones:

actividades 1, 2 y 3; al teorema de Pitágoras y sus apli-

caciones: actividades 4, 5 y 6, siendo las últimas activi-

dades referidas al cálculo de áreas geométricas.

8INTRODUCCIÓN

En esta unidad se repasan y se amplían algunas

cuestiones ya estudiadas en el primer ciclo de ESO.

Básicamente la unidad está dividida en tres partes:construcciones con regla y compás, el teorema

de Pitágoras y sus aplicaciones en el cálculo de

longitudes de figuras, que será fundamental

en el cálculo de áreas.

Para facilitar la comprensión de las construcciones

es conveniente utilizar programas como, por ejemplo,

Cabri-Géomètre. Para el estudio de las dos partes

finales de la unidad, se puede señalar a los alumnos

la presencia de las figuras planas en multitud

de objetos, construcciones, etc., así como recalcar

la importancia de conocer sus propiedades y áreas.


La mayoría de los contenidos de esta unidad

se han trabajado de forma total o parcial en cursos

anteriores. Será conveniente hacer un repasode conceptos como los siguientes.

• Construcciones de triángulos.

• Operaciones con ángulos.

• Propiedades de los triángulos.






EVALUACIÓN INICIAL

En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices.

Calcula la longitud de los ángulos x $, y $, z $.

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°,basándote en las propiedades de los triángulos.

Calcula el área de las siguientes figuras.

a)

b)

4

3

2

1

FIGURAS PLANAS8

C

A B

C

A B

80° 47° 16°

x $

y $

z $

D

C

O

3 cm

1,75 cm

1,75 cm

A

B

D







En el triángulo de la figura, traza mediante reglay compás las tres mediatrices.

Calcula la longitud de los ángulos x $, y $, z $.

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°,basándote en las propiedades de los triángulos.

Calcula el área de las siguientes figuras.

a)

b)

4

3

2

1

463

Se trazan las mediatrices de los tres lados mediante un compás, y el punto

de intersección nos da el circuncentro

del triángulo.

En el triángulo ABC: x$ = 180° − (80° + 47°) =

= 180° − 127° = 53°

El ángulo z$ es el complementario de B$:

z$ = 90° − 47° = 53°

En el triángulo rectángulo BDE:

y$ = 90° − 16° = 74°

Los ángulos A$ y C

$abarcan un diámetro, por lo que

son ángulos rectos, o sea: A$ + C$ = 180°.

Por otra parte, en los triángulos BAD y DCB se cumple

que: B$2 + D$2 = 90° y B$1 + D$1 = 90°,

siendo la suma de los dos ángulos:

B$ + D$ = B$1 + B$2 + D$1 + D$2 = 180°.

A = 3 ⋅ 1,75 = 5,25 cm 2

A = + ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=1 75 1

2

1 75

2 4 27 2

2

2 ,,

,π cm

C

A B

C

A B

80° 47° 16°

x $

y $

z $

D

3 cm

1,75 cm

1,75 cm

C

O

A

B $2

B $1

D $2

D $1

B

D





Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistande los dos extremos del segmento de 5 cm de la figura.

Explica cómo lo haces y di cómo se denomina este punto.

Dibuja las medianas del triángulo ABC . ¿Cómo se llama su puntode intersección?

Dibuja un triángulo equilátero de 3 cm de lado y determina la circunferenciainscrita en dicho triángulo.

Completa la tabla siguiente.4

3

2

1Construcción con regla

y compás de diferentes

lugares geométricos.

Trazado de las mediatrices,

bisectrices, alturas

y medianas de un triángulo.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. 4

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 2, 3




FIGURAS PLANAS8

Hipotenusa Cateto Cateto

3 4

13 5

10 8

5 8

C

A

B

A B




En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 4 cm y el lado diferente 7,3 cm.Calcula cuánto mide la altura sobre el lado diferente.

Halla el valor de la diagonal del cuadrado de lado 6 cm.

Determina el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el áreadel cuadrado exterior es 14,67 cm2.

Obtén el área sombreada de la figura, si el diámetro de la circunferencia mayormide 8 cm.

Calcula cuánta pintura de color rojo se necesita para pintar la señal de tráfico,si el diámetro de la circunferencia mide 40 cm, las dimensiones del rectánguloson 25 ×8 cm y sabemos que con 1 kg de pintura se pueden pintar 4 m2

de superficie.

9

8

7

6

5Aplicación del teorema

de Pitágoras para el cálculo

de elementos en triángulos y polígonos.

Cálculo del área

de polígonos regulares

o de figuras planas como aplicación del teorema

de Pitágoras.


de la vida cotidiana

como aplicación del teorema

de Pitágoras y de las áreas

de figuras planas.

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. 4







465

2,94 cm

A1

A2

A3




FIGURAS PLANAS8EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Lugar geométrico.

Se dibujan dos arcos de igual radio,

y con centro los extremos del segmento.Uniendo los puntos de corte

obtenemos la mediatriz.

Medianas de un triángulo.

Mediante un proceso como el anterior buscamos

los puntos medios de los lados del triángulo:

M, N y P. Después, unimos los vértices

con los puntos medios de los lados opuestos.

Puntos notables de un triángulo.

Dibujamos el triángulo equilátero y, después,

las bisectrices de dos de los vértices.

El punto de corte de las dos bisectrices

será el centro de la circunferencia inscrita.

Tabla.4

3

2

1 Aplicación del teorema de Pitágoras.

Aplicación del teorema de Pitágoras.

Llamamos x al valor de la diagonal:

Área. Calculamos el lado del cuadrado mayor:

L

x = 3,83 − 2,94 = 0,89 cm

l2 = 2,94 2 + 0,89 2

A = l2 = 2,94 2 + 0,89 2 = 9,4357 cm 2

Área de la figura.

El área total será:

A = A1 + A2 + A3 = 4 π

Pintura.

A = π ⋅ 20 2 − (25 ⋅ 8) = 1.056 cm 2

Planteamos una regla de tres:

4 ⋅ 10 4 cm 2 ⎯→ 1.000 g

1.056,6 cm 2 → g

Por tanto, se necesitan x = 26,415 g de pintura.

x

⎫

⎬⎪⎪⎭⎪⎪

9

2 3

2

1

2 π π π+ + =

A3 2 1

2 1

1

2 = ⋅ =π π

A2 2 2 1

2 2

1

2 1

3

2 = ⋅ − ⋅ =π π π

A12 2 1

4 4

1

2 2 2 = ⋅ − ⋅ =π π π

8

= =14 67 3 83 , , cm

7

x = + = ≈6 6 72 8 49

2 2

, cm

6

h AD= = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =4

7 3

2 1 64 2

2

,

, cm

5

Hipotenusa Cateto Cateto

5 3 4

13 5 12

10 8 6

89 5 8

C

A

A

B

B

N M

P

D C

h 4 c

m 4 c m

7,3 cm

A

B

A1

A2

A3

2,94 cm

Baricentro G

x

L

l




Cuerpos geométricos

CONTENIDOS

CUERPOS GEOMÉTRICOS

1. Poliedros.

• Tipos de poliedros. Poliedros regulares.• Prismas. Área de un prisma.

• Pirámides. Área de una pirámide.

2. Cuerpos redondos.

• Cilindro.

• Cono.

• Esfera.

3. Volúmenes de cuerpos geométricos.

• Principio de Cavalieri.• Volumen del prisma y el cilindro.

• Volumen de la pirámide y el cono.

• Volumen de la esfera.

4. La esfera terrestre.


PRUEBA INICIAL

La prueba contiene una serie de actividades de repasode aspectos básicos de la Geometría tridimensional: pla-nos, rectas y puntos; es decir, caras, aristas y vértices enpoliedros (actividades 1 y 2), clasificación de un prisma,fórmula de Euler (actividad 3), dibujo de un cono y teo-rema de Pitágoras (actividad 4) y operaciones con ángu-los (actividad 5).

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las tres primeras actividades son de identificación ydesarrollo de cuerpos geométricos. El resto son ejerci-cios o problemas relacionados con el cálculo de áreasy volúmenes, así como con el teorema de Pitágoras.

9INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son, en parte,conceptuales, de conocimiento de los poliedros

y sus tipos, o el concepto de volumen de un cuerpogeométrico, pero mayoritariamente se trata decontenidos procedimentales: cálculo de áreasy volúmenes de los cuerpos geométricos.

La primera parte de la unidad son cuestiones yaconocidas por los alumnos relativas a la identificación,caracterización y desarrollo de cuerpos geométricos.Conviene señalar también que el desarrolloy construcción de los cuerpos geométricosles proporcionará una importante visión espacial.

La segunda parte de la unidad contiene fórmulas que

los alumnos deben conocer y aplicar perfectamente,utilizando más la reflexión y la deducciónque la memorización.


Salvo el estudio de la esfera terrestre, todoslos contenidos de la unidad han estado tratados

en 2.º ESO. Será conveniente repasar algunode los conceptos estudiados, aunque se vuelvana revisar a lo largo de la unidad. Estos contenidosse pueden resumir en:

• Reconocimiento de las diferentes posicionesde puntos, rectas y planos en el espacio.

• Diferenciación de los elementos principales,tipos y partes de un poliedro.

• Operaciones con ángulos y tiempos.

• Teorema de Pitágoras.






EVALUACIÓN INICIAL

Observa el prisma de la figura y contesta.

a) ¿Qué tipo de polígono es la base?

b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales?

c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A' ?

d) ¿Cuál es la arista opuesta a BC ?

e) ¿Y la cara opuesta a BB ' C ' C ?

Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son?

b) ¿Cuántas clases de ángulos hay?Señala un ejemplo de cada uno de ellos.

c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D $?

Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve.

a) ¿Cuál será su base?

b) ¿Cuántos vértices tendrá?

c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas.

d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados.

Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. Si la base tiene un radio de 3 cmy la generatriz mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura?

Dado el ángulo: 37° 35' 12", halla su complementario, su ángulo doble y mitad.5

4

3

2

1

CUERPOS GEOMÉTRICOS9

C '

A B

C D

A' B '

D '

E '

AB

C

D

E

A'

B '

C '

D '







Observa el prisma de la figura y contesta.

a) ¿Qué tipo de polígono es la base? Es un rectángulo.

b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? Son romboides.c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A' ? C

d) ¿Cuál es la arista opuesta a BC ? A'D'

e) ¿Y la cara opuesta a BB ' C ' C ? AA'D'D

Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son?

Hay 7 caras, 2 son pentágonos y 5 rectángulos.

b) ¿Cuántas clases de ángulos hay?

Señala un ejemplo de cada uno de ellos.Hay ángulos rectos ( A'E'E) y de 108° ( CBA).

c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D $?

Coinciden 3 caras: 2 rectángulos ( DD'E'E y DCC'E)

y 1 pentágono ( DEABC).

Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve.

a) ¿Cuál será su base?

Como es un prisma, tiene dos bases y el resto son caras laterales,

8 −2 = 6. El prisma es hexagonal, es decir, la base es un hexágono.

b) ¿Cuántos vértices tendrá?Tendrá 6 vértices en la cara superior y otros 6 vértices en la inferior;

es decir, 12 vértices.

c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas.

C + V = A + 2 → A = C + V −2 = 8 + 12 −2 = 18

d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados.

Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura.Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm,¿cuánto mide la altura?

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Dado el ángulo: 37° 35' 12", halla su complementario, su ángulo doble y mitad.

37 35 12

90 37 35 12

°

Complementario: ° °

' "

' "

→

− ==

⋅ =

52 24 48

2 37 35 12 75 10 24

°

Doble: ° °

' "

' " ' "

M Mitad: ° ° 1

2 37 35 12 18 47 36 ⋅ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

' " ' " ⎪⎪⎪⎪

5

g h r h g r2 2 2 2 2 2 2 5 3 = + = − = − =→ 4 cm

4

3

2

1

469

C '

A B

C D

A' B '

D '

E '

AB

C

D

E

A'

B '

C '

D '

V

vértice

g

generatrizh

altura

r





¿Qué poliedros regulares puedes formar usando cuadrados como caras?¿Cuántas caras coinciden en cada vértice? ¿Y si usas pentágonos?

Cuenta el número de caras, aristas y vértices de los dos poliedros de la figura.Clasifica los poliedros y comprueba que se cumple la relación de Euler.

Dibuja una pirámide hexagonal y un prisma pentagonal. Averigua cuántas caras,vértices y aristas tiene cada uno de ellos. Dibuja sus desarrollos planos.

Calcula el área del prisma de la figura.

La pirámide de Keops es de base cuadrada y mide 233 m de ladoy 148 m de altura. Calcula el área lateral y total de esta pirámide.

5

4

3

2

1Reconocimiento y distinción

de los poliedros, sus tipos

y comprobación de sus propiedades

y si cumplen o no la fórmula

de Euler.

Diferenciación de

los prismas y pirámides,

sus elementos y tipos.

Cálculo del área de pirámides, prismas

y cuerpos redondos.

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 2, 3


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................... ............................................... .




CUERPOS GEOMÉTRICOS9

a) b)

a = 5 cm

b = 4 cm

c = 3 cm




Calcula el área de las dos figuras.

Halla el volumen comprendido entre el cubo y la esfera de la figura.

Calcula el volumen de una taza que tiene forma de semiesferade 10 cm de diámetro.

Un local tiene las siguientes dimensiones: 4 m de ancho, 3,5 m de largoy 3 m de altura. ¿Se podrá introducir en él un poste de 6,5 m de largo?

Las coordenadas de Barcelona son: 41° 24' N 2° 9' E. Calcula las coordenadasde sus antípodas.

10

9

8

7

6

Cálculo de volúmenes

de prismas, pirámides,

y cuerpos redondos,

y manejo de los mismos

para plantear y resolver

problemas del entorno.

Localización de un punto

en la Tierra mediante

sus coordenadas

geográficas.


• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .......................................... ............................................ ........................... 2






471

a) b)

r = 5 cm

3 cm

6 c m

1,5 cm

1 3 c m

GG




CUERPOS GEOMÉTRICOS9EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Poliedros.

Con cuadrados ⎯→ El cubo. Coinciden 3 caras en cada vértice.

Con pentágonos → El dodecaedro. Coinciden 3 caras en cada vértice.

Fórmula de Euler.

Tronco de pirámide ⎯⎯→ C = 6, V = 8 y A = 12. Se cumple la fórmula de Euler.

Antiprisma rectangular → C = 10, V = 8 y A = 16. Se cumple la fórmula de Euler.

Desarrollos planos.

Área del prisma. A = 2( ab + ac + bc) = 2 ⋅ (5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3) = 2 ⋅ 47 = 94 cm 2

Pirámide de Keops. Primero calculamos la apotema:

. Área total: AT = AB + AL = 233 2 + 87.771,7 = 142.060,7 m 2 .

Área.

a) Calculamos la altura:

AT = 2 ⋅ AB + AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 2 + 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 8,3 = 157,08 + 260,75 = 417,83 cm 2

b) A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 28,274 cm 2

Volumen.

Volumen.

Problema del local. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el espacio. La longitud de la diagonal del ortoedro

será: . Por tanto, no se podrá introducir el poste.

Coordenadas en la esfera. Las coordenadas de las antípodas de Barcelona son 41° 24 ' S 2° 9 ' O.10

L = + + = =4 3 5 3 37 25 2 2 2 , , 6,11 m

9

V V rsemiesfera esfera= = ⋅ ⋅ = ⋅ =1

2

1

2

4

3

2

3 5 3 3

π π 261,8 8 cm 3 8

V V VC E= − = − ⋅ = − =6 4

3 3 216 113 09 3 3

π , 102,91 cm 3 7

h = − = ≈13 10 69 2 2 8,3 cm

6

A mL = ⋅⋅

=4 233 188 35

2 87 771 7 2 ,

. ,

a = + = =148 116 5 35 476 25 2 2 , . , 188,35 m

5

4

3

2

1

Caras Vértices Aristas

Pirámide 7 7 12

Prisma 7 10 15




Movimientos y semejanzas

CONTENIDOS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

1. Vectores.

• Coordenadas y módulo de un vector.

2. Movimientos en el plano.

• Traslaciones.

• Giros.

• Simetrías.

– Simetrías respecto de un punto.

– Simetrías respecto de una recta.

• Homotecias y semejanzas. Polígonos semejantes.

3. Teorema de Tales.

4. Escalas.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de actividades que se

consideran importantes para el desarrollo de la unidad:

el teorema de Pitágoras y el sistema de coordenadas en

el plano y cálculo de coordenadas de puntos (para el

cálculo vectorial); y un repaso de los movimientos del

plano y su visualización y propiedades (tipos de movi-

mientos, ejes de simetrías).

PRUEBA DE LA UNIDAD

De las actividades que se proponen en la unidad desta-

can las que están referidas al cálculo con vectores (ac-

tividades 1 y 2); cuestiones de movimientos desde un

punto de vista algebraico y gráfico (actividades 3, 4 y 5)

y actividades sobre semejanzas: construcción de figuras

y cálculo con figuras semejantes. Habrá que explicar a

los alumnos que las constantes de proporcionalidadgeométricas entre áreas no son iguales que las lineales,

así como el trabajo con escalas.

10INTRODUCCIÓN

Esta unidad continúa y amplía el estudio de las figuras

y movimientos estudiados en 2.º ESO. En el curso

anterior se hacía hincapié en los temas deconstrucción, y en este curso se comienza el cálculo

con vectores que se continuará en el curso siguiente,

si bien las construcciones son esenciales para

contrastar los resultados algebraicos con los gráficos.

Convendrá realizar con los alumnos actividades de tipo

gráfico para comprobar si han asimilado bien

los conceptos.

Se ha de poner énfasis en la diferencia entre

movimientos y semejanzas: los primeros conservan

la longitud y los segundos no. Este punto dará lugar

al estudio de la proporcionalidad geométrica, aspectoscomo las semejanzas, teorema de Tales, escalas, etc.


De los contenidos de la unidad, el estudio de vectores

es nuevo para los alumnos y se seguirá estudiando

en 4.º ESO. Los demás contenidos ya se han visto encursos anteriores, pero desde un punto de vista

no vectorial. Por eso será importante repasar alguno

de estos conceptos de la Unidad 8 de 2.º ESO,

así como el teorema de Pitágoras y el sistema

de coordenadas:

• Teorema de Pitágoras.

• Sistema de coordenadas. Coordenadas de un punto.

• Traslaciones, giros y simetrías. Propiedades.









Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo.

Obtén las coordenadas de los puntos P , Q , R y S de la figura.

Observa la figura y completa la tabla.

Dibuja los ejes de simetría de las figuras.4

3

2

1

475

Figura

inicial

Figura

transformada

Tipo de

movimiento

A B Traslación

B E Traslación

C D Simetría

D E Giro

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

b = − = − = ≈20 17 400 1112 2 289 10,54 cm

Las coordenadas de los puntos son:

P(3, 2) Q( −2, 1) R( −1, −3) S(3, −2)

a) b) c)

20 cm

17 cm

C

b

A B

P

Q

R S

Y

X 1

1

A B

E

D C





Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo.

Completa la siguiente tabla.

Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A(−3, 0), B (−1, 4) y C (2, 5).Halla el triángulo transformado F ' mediante el vector v ជ(2, −3).

Halla el triángulo F " , transformado del triángulo F , mediante un girode 90º respecto del origen de coordenadas.

4

3

2

1Distinción de los elementos

de un vector y cálculo

de los componentes y el módulo de un vector

a partir de dos puntos,

y viceversa.

Obtención de la figura

transformada de una dada

mediante la aplicación

de traslaciones, giros

o simetrías.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 3, 6




MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS10

Punto Vector traslación Punto trasladado

A(2, 3) v ជ(2, −3) A' ( , )

B ( , ) v ជ(5, −1) B ' (−1, 0)

C (−2, 4) v ជ( , ) C ' (−3, −2)

B

A

Y

X 1

1




Obtén la figura simétricadel pentágono respecto del

eje de ordenadas y respectodel origen. Escribelas coordenadas de cadavértice de la figuray de sus transformados.

Determina la figura homotética de la figura ABCDE respecto del punto O

y con k = 0,6.

En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado AB que cortaa los otros lados en los puntos D y E . Halla la longitud del segmento CB .

La longitud de un objeto en la realidad es 4,5 m. ¿Cuál será su longituden una maqueta a escala 1:500?

8

7

6

5

Determinación de la figura

homotética de una dada,conocidos el centro

y la razón de la homotecia.


de semejanza de figuras

o triángulos como aplicación

del teorema de Tales.

Trabajo con escalas

numéricas o gráficas

en planos, mapas o maquetas.








477

B

C

D E

A

Y

X

C D

E

B

O

A

A

D

C 5 cm 2, 4 cm

2, 1

c m

B

E




MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS10EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Coordenadas y módulo de un vector.

A( −2, 1), B(3, 2) → ABជ(5, 1) ⏐ABជ⏐

Tabla. B ( , ) v ជ( , ) A' ( , )

Traslación. Los vértices del triángulo

transformado F' son:

A( −3, 0) A'( −1, −3)

B( −1, 4) B'(1, 1)

C(2, 5) C'(4, 2)

Figuras semejantes.

Vértices de la figura F:

A(2, 0); B(4, 1); C(5, 2);

D(4, 3); E(1, 3)

Vértices de la figura F':

A'( −2, 0); B'( −4, 1); C'( −5, 2);

D'( −4, 3); E'( −1, 3)

Vértices de la figura F":

A"( −2, 0); B"( −4, −1); C"( −5, −2);

D"( −4, −3); E"( −1, −3)

Figuras homotéticas. Con la regla

se trazan las rectas AO, BO…

Después, en cada una de ellas

se miden los segmentos OA, OB…

y se calcula el 60 % ( k = 0,6),

que nos da los puntos: A', B', C'…

Aplicación del teorema de Tales.

Escalas. L = = =4 5

500

,0,009 m 9 mm 8

CE

CA

CD

CB

CD

CDCD CB= =

+

= =→ → →2,4

2,11,94 cm 4,04

5 c cm

7

6

5

v ជ(2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯→

v ជ(2, −3) ⎯⎯⎯⎯→

v ជ(2, −3) ⎯⎯⎯⎯→

3

0 4 −6 −11−6 2

= + = ≈5 1 26 2 2 5,1

1

B

C

D E

A

Y

X

C

D

E

B

O

A

C ' D '

E '

B '

A'

F

B '

C '

D ' E '

A'

F '

B "

C "

D " E "

A"

F "

B

C

A

X

F

B ' C '

A'

F '

Y

v ជB

C

A

X

F

B '

C '

A'

F '

Y

Vértices. Los vértices del triángulo

transformado F" son:

A( −3, 0) A'(0, −3)

B( −1, 4) B'( −4, −1)

C(2, 5) C'( −5, 2) giro 90°

⎯⎯⎯⎯→

giro 90° ⎯⎯⎯⎯→

giro 90° ⎯⎯⎯⎯→

4




Funciones

CONTENIDOS

FUNCIONES

1. Formas de expresar una función.

• Enunciados.

• Expresiones algebraicas.

• Tablas de valores.• Gráficas.

2. Características de una función.

• Continuidad y discontinuidad.

• Dominio y recorrido.

• Puntos de corte con los ejes.

• Crecimiento y decrecimiento.

• Máximos y mínimos.

• Simetrías.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene actividades que repasan aspectos

importantes de la unidad: representación gráfica de pun-

tos en el plano, estudio de relaciones de forma algebrai-

ca y gráfica, interpretación y lectura de gráficas y estudio

de una tabla de proporcionalidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

En la prueba se ha realizado una selección de los con-

ceptos más importantes de la unidad: trabajo con fun-

ciones expresadas de diferentes formas y, en el caso

de funciones expresadas mediante expresiones alge-

braicas: dominio y recorrido, extremos, continuidad, si-

metrías y crecimiento y decrecimiento.

11INTRODUCCIÓN

Esta unidad continúa el estudio de funciones iniciado

en 2.º ESO e introduce la representación gráfica

de funciones. En algunos casos se trata de haceruna aproximación intuitiva a partir de las gráficas

como, por ejemplo, el crecimiento y decrecimiento,

máximos y mínimos, continuidad, pero en otros casos

se aplican conocimientos como el cálculo de puntos

de corte, simetrías, etc.

En este nivel interesa también que queden claras

las diferentes formas de expresar una función

y cómo pasar de unas a otras. Los aspectos

más importantes de las funciones de proporcionalidad

y las funciones lineales se estudiarán con más

detenimiento en la Unidad 12.


Conviene repasar algunos conceptos estudiados

en cursos anteriores y que resultan importantes en

el desarrollo de la unidad: las coordenadas del planoy las magnitudes directa e inversamente

proporcionales, así como una revisión de las

expresiones algebraicas trabajadas en la Unidad 3

de este curso.

• Representación de puntos en un sistema

de referencia. Lectura de funciones.

• Determinación de magnitudes directa

e inversamente proporcionales.

• Trabajo con expresiones algebraicas.






EVALUACIÓN INICIAL

Observa los puntos de la gráfica siguiente.

a) Escribe sus coordenadas.

b) Calcula y dibuja el punto simétrico de A

respecto del eje de ordenadas.

c) Halla el simétrico del punto B respecto

del eje de abscisas.

d) Calcula y dibuja el punto simétrico de C

respecto del origen.

Dados los conjuntos M = {12, 14, 15, 16, 18} y N = {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elementode A está relacionado con otro de B , si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad:

a) Escribe los pares de valores que forman esta relación.

b) Represéntalos mediante

un sistema de coordenadas.

En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largodel mes de febrero.

a) ¿Cuántos días se han registrado

temperaturas por debajo de 0 °C?

b) ¿Qué día se registró la temperatura

máxima? ¿Y la mínima?

c) Escribe un tramo en el que

la temperatura sea creciente.

En la tabla están relacionadosel peso (en kg) de manzanasy su precio (en €). Determinalos valores que faltan.

Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere.

4

3

2

1

FUNCIONES11

Manzanas (kg) 1 2 4 …

Precio (€) 1,30 6 9

D

A

E

C B

4

2

−2

−3 −1 1 3

12 14 16 18 20

9

8

7

6

5

10

8

6

4

2

0

−2

−4

−6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

X

X

Y

Y

T e m p e r

a t u r a ( ° C )

Días del mes





Determina si son o no funciones estas relaciones.

a) El perímetro de un cuadrado y su área.b) El número de obreros y el tiempo que tardan en terminar un trabajo.

c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en dos horas.

d) La edad de una persona y su altura.

Se vacía una piscina de dimensiones 8 × 3,5 × 1,5 m, mediante un grifoque expulsa 50 litros de agua por minuto.

a) Realiza una tabla donde se exprese la cantidad de agua que queda

(en metros cúbicos) y el tiempo de expulsión de agua entre t = 0 y t = 120

(en minutos) de 20 en 20.

b) Determina la fórmula o expresión algebraica que relaciona ambas

magnitudes en ese intervalo de tiempo.

c) Representa gráficamente la función.

En la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso:

a) Halla su fórmula o expresión algebraica.

b) Calcula f (4) y f (−4).

c) Determina el dominio de la función.

d) ¿Es una función continua o discontinua?

3

2

1Distinción de una relación

funcional, y reconocimiento

de las variables independiente y dependiente.

Representación gráfica

de relaciones funcionales

extraídas de la vida cotidiana.

Expresión de una función

mediante tablas, gráficas

y enunciados,

y transformación

de unas a otras.





• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 2, 3, 4, 6


FUNCIONES11




Considera la relación que asocia a cada número real el doble de su cuadrado.¿Es una función esta relación? ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido?

Obtén su expresión algebraica.

Calcula el dominio y el recorrido de la función cuya gráfica es la siguiente.

Dada la función y = x 2 − x −6, halla los puntos de corte con los ejesde coordenadas.

Observa la gráfica e indica

sus intervalos de crecimientoy los máximos y mínimos.

Escribe las principales características de estas funciones.

a) y = x 2 + 2 b) y x

x =

+ 2

8

7

6

5

4Determinación del dominio

y recorrido de una función,

dada la gráfica de la función.

Cálculo de los puntos

de corte de una función

con los ejes.

Reconocimiento de

los intervalos de crecimiento

de una función

y sus máximos y mínimos

a partir de su gráfica.

• Clasificar y discriminar según criterios .............. ............................................. ......................................... ............... 1, 3, 6, 8



• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ........... .............................................. ........................................ ........ 3




483

6

4

2

−1 2 4 6 8−2

Y

X

X

4

2

−2

−4

2 4 6−2 −4 −6

Y




FUNCIONES11EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Funciones. Son funciones a), b) y c).

a) c) Espacio = velocidad ⋅ 2

b) Es una función, pero no se puede escribir. d) No es una función.

a) Tabla.

Litros de agua en la piscina → 8 ⋅ 3,5 ⋅ 1,5 = 42 m 3

b) Expresión algebraica. c)

Volumen = 42 − 0,5 ⋅ tiempo → .

a) Expresión algebraica.

b) Imágenes.

c) Dominio: Todos los números reales menos el cero.

d) Continuidad: No es continua en x = 0.

Relación. Es una función cuyo dominio son todos los números reales, y el recorrido, los números

reales positivos. Su expresión algebraica es y = 2 x2 .

Dominio y recorrido de una función.

Dom ( f) = ( − , −1] ∪ [0, 3) ∪ [3, + ) Im ( f) = [ −1, + )

• Con el eje OX: .

• Con el eje OY: f(0) = 0 2 − 0 − 6 = −6 → Hay un punto: R(0, −6).

Función. Es creciente en ( − , −2) ∪ ( −2, 0) ∪ (4, + ) y decreciente en (0, 2) ∪ (2, 4).

Tiene un máximo en el punto y un mínimo en Q(4, −1).

a) Dominio: ». Es continua. Corta al eje OY en P(0, 2) y no corta al eje de abscisas. Es decreciente

en el intervalo ( − , 0) y creciente en el intervalo (0, + ). En el punto P(0, 2) tiene un mínimo.

Es simétrica respecto del eje OY.

b) Dominio: » − { −2}. Es discontinua en el punto x = −2. Corta al eje OY en y no corta al eje

de abscisas. Es decreciente en el intervalo ( − , −2) y creciente en el intervalo ( −2, + ).

No tiene máximos ni mínimos y no presenta simetrías.

P' 0 1

2

,⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

8

P 0 1

2 ,

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7

x xx

x

2 6 0 2

3 − − =

= −

=

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ → Hay dos punto os: y P Q( , ) ( , ) −2 0 3 0 6

5

4

f( ) − = − − =−

4 8 3

4

35

4

f( ) 4 8 3

4

35

4

= + =

y f x xx

= = +( ) 2 3

3

y x= −42 12

2

A =⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

perímetro

4

2

1

Tiempo (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Volumen (m 3 ) 42 41,5 41 40,5 40 39,5 39 38,5 38 37,5 37 36,5 36

41

39

37

35

10 30 50 70 90 110

Y

X

V o l u m e n r e s t a n t e

Tiempo (min)




Funciones lineales y afines

CONTENIDOS

FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN AFÍN

• Ecuaciones y gráficas asociadas a las funciones lineales y afines.

• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.• Rectas secantes y paralelas.

• Rectas paralelas al eje de abscisas.

• Aplicaciones.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene tres actividades sobre relaciones

de proporcionalidad, la forma de expresarlas, la repre-

sentación gráfica de esas relaciones, tablas de propor-

cionalidad, etc.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las tres primeras actividades son de repaso de las rela-

ciones de proporcionalidad, las tablas y sus expresio-

nes algebraicas, así como las representaciones gráficas

de las funciones de proporcionalidad y afines. Las si-

guientes actividades hacen referencia a un inicio de la

Geometría afín: ecuaciones de la recta, obtención de

una recta que pasa por dos puntos, cálculo de la pen-

diente de una recta y su relación con el crecimiento y la

representación de diferentes rectas en unos ejes de

coordenadas, y la obtención de sus puntos de corte.

Las dos últimas actividades son de aplicación de los

contenidos estudiados en problemas geométricos o deotros tipos.

12INTRODUCCIÓN

Esta unidad es una continuación de la anterior,

en la que se trabajaban las funciones

y sus características, y también de la unidad deproporcionalidad. Es importante hacer hincapié

en la relación entre la expresión algebraica

y la representación gráfica, tanto de las funciones

de proporcionalidad como de las funciones

lineales, y en el paso de la expresión algebraica

a la gráfica, y viceversa.

También será conveniente trabajar con las ecuaciones

de las rectas, sus propiedades y representación, así

como destacar el papel de la pendiente y su relación

con el crecimiento y las rectas paralelas a los ejes,

sobre todo cuando no es una función. Convendrádedicar alguna actividad a cuestiones de aplicación

de este tipo de funciones.


Esta unidad es una continuidad de la unidad anterior,

en la que se estudian los conceptos y

las características globales de las funciones,y de la unidad de proporcionalidad, por lo que

será conveniente repasar:

• Expresión de relaciones geométricas o aritméticas

utilizando el lenguaje algebraico.

• Estudio analítico y gráfico de la proporcionalidad

directa.






EVALUACIÓN INICIAL

Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 € /m. Completa la tablaque representa analítica y gráficamente la relación.

Expresa algebraicamente las relaciones.

a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado.

b) La longitud de una circunferencia y su diámetro.

c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura.

Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimospor cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10.

Expresa gráficamente la función.

Responde a las siguientes cuestiones.a) ¿Qué variables están representadas?

b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

c) ¿Es una función?

d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué?

e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente?

f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado.

3

2

1

FUNCIONES LINEALES Y AFINES12

Longitud (m) 1 4 10

Precio (€) 12 30 60 200

Espacio (km) 0 10 20 30 40

Precio (€)

150

130

110

90

70

50

30

10

10 30 50 70 90 110 130 150

Y

X







Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 € /m. Completa la tablaque representa analítica y gráficamente la relación.

Expresión algebraica: y = 12 ⋅ x.

Expresa algebraicamente las relaciones.

a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado → Perímetro = 4 ⋅ lado → y = 4 xb) La longitud de una circunferencia y su diámetro ⎯⎯→ Longitud = π ⋅ diámetro → y = π ⋅ x

c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura.

Perímetro = 2 ⋅ altura + 2 ⋅ (2 ⋅ altura) → y = 6x

Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimospor cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10.

Expresa gráficamente la función.

Responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Qué variables están representadas? → Eje X: espacio (km) y eje Y: precio ( € ).

b) ¿Cuál es la variable independiente? ⎯→ El espacio. ¿Y la dependiente? → El precio.

c) ¿Es una función? → Sí, es una función.

d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? → Sí, porque la variable independiente es continua

y puede tomar cualquier valor.

e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente? ⎯→ Es creciente.

f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado → y = 75 + 0,5 ⋅ x

3

2

1

487

Longitud (m) 1 2,5 4 5 10 16,67

Precio (€) 12 30 48 60 120 200

Espacio (km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Precio (€) 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

90

70

50

30

10

1 3 5 7

Y

X

150

130

110

90

70

50

30

10

10 30 50 70 90 110 130 150

Y

X





El precio de 1 kg de melocotones es 2,50 €.

a) Completa la tabla.

b) Escribe la función que relaciona el peso de la fruta y el precio.

Clasifica las siguientes funciones en crecientes y decrecientes

sin representarlas. Explica cómo lo haces.

a) y = −2x − 3 c) y = 2x − 3

b) y = −2x + 3 d) y = 2x + 3

Representa las funciones anteriores en unos mismos ejes de coordenadas.

Determina la expresión algebraica de la función que pasa por los puntos A (3, 2)y B (5, −2). ¿Pasa la recta por el punto C (2, 5)?

4

3

2

1Reconocimiento de

las funciones afines

y lineales, determinando su expresión algebraica.

Representación de

funciones lineales y afines,

determinando la relación

entre el signo de

la pendiente y el crecimiento

de una recta.

Obtención de la ecuación

de la recta que pasa

por dos puntos.





• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 1, 3


FUNCIONES LINEALES Y AFINES12

Peso (kg) 1 3,7 5,2

Precio (€) 4,80 11 20

1 2 3 4−2 X

3

1

−2

Y




Determina gráfica y analíticamente la posición relativa de la recta r : y = −2x −3, y la recta s : y = 3x + 4.

Obtén las expresiones algebraicas de estas rectas.

Dibuja el triángulo de vértices los puntos A (2, 0), B (−1, 2) y C (1, −2),y halla las ecuaciones de las tres rectas que forman los lados y sus pendientes.

Dos amigos hacen una carrera. Juan le deja 100 m de ventaja a su amigo Luis.Además, Juan corre a una velocidad de 9 m/s y Luis lo hace a 7 m/s.Escribe la expresión algebraica de los espacios recorridos por los dos amigos.¿Cuánto tiempo tardará Juan en alcanzar a Luis? ¿Qué espacio habrán recorridoambos en ese instante? Representa gráficamente las funciones.

8

7

6

5Determinación de

si dos rectas son paralelas

o secantes.

Reconocimiento y estudio

de funciones en situaciones

geométricas o de la vida

cotidiana.



• Combinar, componer datos, resumir, etc. . ............................................. ......................................... ....................... 3, 4, 5, 7





489

1 2−2 X

3

1

1

Y

1

r

s

−2 X

2

−2

Y



Peso (kg) 1 1,92 3,7 4,4 5,2 8

Precio (€) 2,50 4,80 9,25 11 13 20


FUNCIONES LINEALES Y AFINES12EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Tabla: a) b) Función: y = 2,5 ⋅ x

a) y = −2x − 3 → m = −2 → Función decreciente c) y = 2x − 3 → m = 2 → Función creciente

b) y = −2x + 3 → m = −2 → Función decreciente d) y = 2x + 3 → m = 2 → Función creciente

Representación gráfica.

Calculamos la pendiente: . Como pasa por el punto A(3, 2):

r: y = −2 x + n 2 = ( −2) ⋅ 3 + n → n = 8. Por tanto, r: = −2 x + 8.

El punto C(2, 5) no pertenece a la recta porque 5 2 ⋅ 2 + 8.

Las rectas son secantes. Hallamos algebraicamente el punto de corte:

Expresiones algebraicas de dos rectas.

r → La variable y siempre vale 3 → y = 3 s → Pasa por ( −3, 0) y (0, 2) →

Triángulo. Las rectas son rAB:

rAC: y = 2 x −4 rBC: y = −2 x

Las pendientes son mAB: , mAC: 2 y mBC = −2.−2

3

y x= − +2

3

4

3 7

y x= +2

3 2

6

y x

y xx x x

x= − −

= +

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪− − = + − =

= −

−

2 3

3 4 2 3 3 4 5 7

7

→ → →5 5

3 7

5 4

1

5 y = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

+ = −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

→ P7

5

1

5 ,

5

A(3, 2) ∈ r ⎯⎯⎯⎯⎯→

m =− −

−=

−= −

2 2

5 3

4

2 2 4

3

2

1

2 4−2 X

3

1

−1

Y

1 A

B

C

−2 X

2

−2

Y

10 30 50 70

D i s t a n c i a ( m )

X

500

300

100

Tiempo (s)

Y

a) c)

d) b)

La carrera.

Juan → y = 9 x Luis → y = 7 x + 100

Juan tarda en alcanzarlo 50 segundos.

Han recorrido 450 metros en ese instante.

8




Estadística

CONTENIDOS

ESTADÍSTICA

• Conceptos básicos. Población y muestra. Variables estadísticas. Tipos.

• Frecuencias. Tablas de frecuencias. Tipos.

• Gráficos estadísticos. Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores.

• Parámetros estadísticos.

– Medidas de centralización. Media aritmética, mediana y moda.

– Medidas de dispersión. Rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente

de variación.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓNPRUEBA INICIAL

La prueba consta de tres actividades referidas a la dis-

tinción de una variable cualitativa y cuantitativa; elabo-

ración de una tabla a partir de una serie de datos, inter-

pretación de una gráfica estadística y cálculo de la

media aritmética. Estas actividades tendrían que resul-

tar fáciles para los alumnos, ya que son una revisión de

conceptos estudiados en cursos anteriores.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La primera actividad se refiere a la distinción entre va-

riables discretas y continuas, población y muestra y

cómo realizar una muestra proporcional a una determi-

nada población. En las actividades 2 y 3 se trabaja con

las tablas de frecuencias y las representaciones gráfi-

cas de un conjunto de datos agrupados en intervalos.

Las dos últimas actividades trabajan el cálculo de los

diferentes parámetros de centralización y dispersión,

y en la actividad 5 se manejan también intervalos parael cálculo del intervalo mediano.

13INTRODUCCIÓN

En esta unidad se completa el estudio comenzado

en cursos anteriores sobre Estadística. Además

de los conceptos trabajados: gráficos, medidas decentralización y de dispersión, se estudian

las frecuencias acumuladas, las variables continuas,

los histogramas y polígonos de frecuencias,

así como los parámetros de dispersión.

Los aspectos donde los alumnos suelen tener

mayores dificultades son la distinción entre población

y muestra, y cómo seleccionar una muestra,

el cálculo de frecuencias y la determinación de

la representación gráfica más adecuada; por ello

será conveniente insistir en aquellos aspectos

en los que se aprecien mayores problemas.El cálculo de los parámetros es relativamente fácil,

pero los alumnos tienden a equivocarse cuando

se trabaja con datos agrupados en intervalos.


Los aspectos que se tendrían que trabajar de forma

previa al estudio de la unidad son los relativos

a la Estadística de 2.º ESO, sobre todo los que hacenreferencia a conceptos básicos:

• Distinción entre variables cualitativas y cuantitativas.

• Elaboración de un recuento de datos y realización

de una tabla de frecuencias.

• Cálculo de la media aritmética de una población

o muestra.

• Lectura e interpretación de un gráfico estadístico.






EVALUACIÓN INICIAL

Consideramos la población de los alumnos de 3.o ESO de una ciudad. Determina qué variablesson cualitativas y cuantitativas.

a) La talla de camisa.b) El lugar de nacimiento.

c) La fecha de nacimiento.

d) El número de hermanos.

e) El color del pelo.

f) La profesión de la madre.

g) La nacionalidad.

h) El deporte que practican.

i) La capacidad pulmonar.

Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían compradoen la última semana, se obtuvieron estos resultados.

3 5 0 4 2 1 1 4 2 0 3 0 3 1 7 2 2 0 6 1 7 2 0 3 0 3 6 5 2 3

A partir de estos datos, completa la tabla y calcula la media de periódicos adquiridos.

La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales

del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones.

a) ¿Podemos considerar a España como un gran

productor de energía nuclear de Europa?

b) ¿En España ha habido más potencia

hidráulica o térmica?

c) ¿En qué año se superó el nivel de

una potencia total de 30 GW?

d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo

a finales de 2007 respecto de la total?

3

2

1

ESTADÍSTICA13

N.o de

periódicosRecuento

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

0 ////// 6

1

2

3

4

5

6

7

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007

Total

Térmica

Hidráulica

Nuclear

G W

X

45

35

25

15

5

Años

Y





P R O P U E S T A S D E E V A L U A C I Ó N

Consideramos la población de los alumnos de 3.o ESO de una ciudad. Determina qué variablesson cualitativas y cuantitativas.

a) La talla de camisa⎯⎯⎯→

Variable cuantitativa.b) El lugar de nacimiento ⎯⎯→ Variable cualitativa.

c) La fecha de nacimiento ⎯→ Variable cuantitativa.

d) El número de hermanos ⎯→ Variable cuantitativa.

e) El color del pelo ⎯⎯⎯⎯→ Variable cualitativa.

f) La profesión de la madre → Variable cualitativa.

g) La nacionalidad ⎯⎯⎯⎯→ Variable cualitativa.

h) El deporte que practican ⎯→ Variable cualitativa.

i) La capacidad pulmonar ⎯→ Variable cuantitativa.

Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado

en la última semana, se obtuvieron estos resultados.3 5 0 4 2 1 1 4 2 0 3 0 3 1 7 2 2 0 6 1 7 2 0 3 0 3 6 5 2 3

A partir de estos datos,completa la tabla y calculala media de periódicosadquiridos.

La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finalesdel siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones.

a) ¿Podemos considerar a España como un granproductor de energía nuclear de Europa?

No, ya que no tenemos datos del resto

de países.

b) ¿En España ha habido más potencia hidráulica

o térmica?

A partir de 2002 la potencia térmica es mayor.

c) ¿En qué año se superó el nivel de una potencia

total de 30 GW? En 2003.

d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo a finales de 2007 respecto de la total?

La energía nuclear es aproximadamente partes del total, por lo que es el .8

45 100 ⋅ = 17,78%

8

45

3

Media: x =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 0 4 1 6 2 6 3 2 4 2 5 ) ) ( ) ( ) + ⋅ + ⋅

= =2 6 2 7

30

78

30 2,6

2

1

493

N.o de

periódicosRecuento

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

0 ////// 6 6/30 = 0,2

1 //// 4 4/30 = 0,133

2 ////// 6 6/30 = 0,2

3 ////// 6 6/30 = 0,2

4 // 2 2/30 = 0,067 5 // 2 2/30 = 0,067

6 // 2 2/30 = 0,067

7 // 2 2/30 = 0,067

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007

Total

Térmica

Hidráulica

Nuclear

G W

X

45

35

25

15

5

Años

Y





Clasifica las variables estadísticas referidas a un municipio en discretasy continuas.

a) Número de hijos de las familias.

b) Peso de los alumnos de ESO.

c) Velocidad media de los coches que pasan por una calle.

d) Número de ordenadores que hay en cada vivienda.

Consideramos la siguiente tabla relativa a las alturas de los alumnos de ESOde un centro escolar.

a) Completa la tabla y calcula las marcas de clase de cada intervalo.

b) Dibuja el histograma de frecuencias acumuladas y su polígono de frecuencias.

2

1Clasificación de las variables

de una población o muestra

en cualitativas o cuantitativas, y estas últimas en discretas

o continuas.

Cálculo de las frecuencias

absolutas, relativas

y acumuladas de un conjunto

de datos estadísticos.

Representación gráfica

de un conjunto de datos

estadísticos.

• Enumerar e identificar elementos .............................................. ............................................... ........................... 2

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................ ..................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ..................................................... ...................... 2, 3

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................... ............................................. .....................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. .......................................... ............................................. ..................... 2, 3, 4, 5


ESTADÍSTICA13

Estatura

(en cm)

Marca

de clase

Número

de alumnosf i F i

[140, 150) 12

[150, 160) 36

[160, 170) 47

[170, 180) 65

[180, 190) 25

[190, 200) 4




Anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo de una calle.Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos.

Calcula la media, el intervalo mediano y la moda de los datos de la actividad 2.

Dados estos datos, calcula las medidas de centralización y dispersión.5

4

3

Cálculo de la media,

mediana y moda de

un conjunto de datos.

Cálculo de las medidas

de centralización

y dispersión de un conjunto

de datos.

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. 1







495

Marcas N.o de coches

Seat 11

Renault 10

Peugeot 14

Audi 7

Opel 5

Ford 9

Mercedes 4

x i f i f i ⋅ x i ⏐x i − x - ⏐ f i ⏐x i − x - ⏐ x i 2 f i ⋅ x i

2

1 4

2 3

3 6

4 3

5 8

6 4

7 7

Total



a) Variable discreta. b) Variable continua. c) Variable continua. d) Variable discreta.

Como hay 60 coches, a cada coche le corresponderá:

Por tanto:

Seat ⎯⎯→ 11 ⋅ 6 = 66° Opel ⎯⎯⎯→ 5 ⋅ 6 = 30°

Renault ⎯→ 10 ⋅ 6 = 60° Ford ⎯⎯⎯→ 9 ⋅ 6 = 54°

Peugeot → 14 ⋅ 6 = 84° Mercedes → 4 ⋅ 6 = 24°

Audi ⎯⎯→ 7 ⋅ 6 = 42°

Media aritmética:

Moda: Mo = 175

Intervalo mediano: Como son 189 datos, la posición central será: ,

dato que está en el intervalo (160, 170].

5

( ) 189 1

2 95

+=

x = =31 885

189

.168,7 4

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪=→ x 6°

60 → 360°

1 → x

3

2

1

Estatura(en cm)

Marcade clase

Númerode alumnos

f i F i

(140, 150] 145 12 12/189 12

(150, 160] 155 36 36/189 48

(160, 170] 165 47 47/189 95

(170, 180] 175 65 65/189 160

(180, 190] 185 25 25/189 185

(190, 200] 195 4 4/189 189

x i f i f i ⋅ x i ⏐x i − x - ⏐ f i ⏐x i − x - ⏐ x i 2

f i ⋅ x i 2

1 4 4 3,37 13,48 1 4

2 3 6 2,37 7,11 4 12

3 6 18 1,37 8,22 9 54 4 3 12 0,37 1,11 16 48

5 8 40 0,63 5,04 25 200

6 4 24 1,63 6,52 36 144

7 7 49 2,63 18,41 49 343

Total 35 153 59,89 805


ESTADÍSTICA13EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Medidas de centralización:

x = = = 4,37

Me = 4 Mo = 7

Rango = 7 − 1 = 6

DM = = = 1,71

V = = = 23

σ = =V 4,8

805

23

∑ fix i2

∑ fi

59 89

35

,∑fi⏐xi − x⏐

∑fi

153

35

∑ fixi

∑ fi

140 150 160 170 180 190 200

X

200180

160

140

120

100

80

60

40

20

Y

MercedesSeat

Renault

Peugeot

Audi

Opel

Ford




Probabilidad

CONTENIDOS

PROBABILIDAD

• Experimentos deterministas y aleatorios. Sucesos.

– Espacio muestral.

– Tipos de sucesos.

• Operaciones con sucesos. Propiedades.

• Concepto de probabilidad.

• Regla de Laplace.

• Frecuencia y probabilidad.

• Propiedades de la probabilidad.


PRUEBA INICIAL

Las dos primeras actividades sirven para determinar si

los alumnos tienen claro el concepto de experimento

aleatorio, y si saben aplicar los conceptos intuitivos sobre

el azar: seguro, más o menos probable o imposible… Latercera actividad trabaja la aplicación de técnicas

como, por ejemplo, los diagramas de árbol, y la última

actividad sirve para comprobar si los alumnos recuer-

dan la regla de Laplace. Todas las actividades son sen-

cillas y no deberían ofrecer dificultades a los alumnos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las tres cuestiones iniciales de la prueba trabajan el

cálculo de los sucesos posibles de un experimento

aleatorio y, por tanto, la determinación del espacio

muestral asociado a un experimento, utilizando los dia-gramas de árbol. Las siguientes actividades son de apli-

cación directa de la regla de Laplace y de la ley de los

grandes números, y las últimas actividades servirán

para comprobar si los alumnos saben aplicar las reglas

de la probabilidad en ejercicios y problemas.

14INTRODUCCIÓN

La probabilidad se utiliza actualmente en numerosas

disciplinas, unida a veces a la Estadística en aspectos

de predicción de fenómenos. Por ello es convenientetrabajar los conceptos de la unidad mediante sucesos

de la vida cotidiana o realizar los ejercicios de forma

práctica: extracción de bolas de una bolsa, de cartas

de una baraja, lanzamiento de dados o monedas, etc.

Las dificultades de la unidad son conceptuales,

pues los cálculos en los procedimientos son sencillos.


Los conceptos previos que se han de revisar

antes de comenzar el estudio de la unidad

son los correspondientes a cursos anteriores.

• Distinción entre experimentos aleatorios

y deterministas.

• Concepto intuitivo de probabilidad.

• Aplicación de la regla de Laplace.









Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas.

a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes,

y anotamos el color→ Experimento aleatorio.

b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número

que sale → Experimento aleatorio.

c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda

en llegar al suelo → Experimento determinista.

d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos

el resultado → Experimento determinista.

En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamosal aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3 → Falso, ya que puede salir un 5 tanto si el dado es blanco como si es rojo.

b) Es seguro que el dado tendrá color blanco → Falso, pues puede salir también rojo.

c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco → Verdadero, ya que hay más dados

de color rojo que blanco.

d) Es menos probable que salga un 3 que un 5 → Falso, pues hay la misma cantidad

de números 3 que de números 5.

En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas.

a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol.

b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener

2 bolas del mismo color? Tendríamos que sacar 4 bolas,

ya que 3 podrían ser de diferente color y la siguiente

sería de uno de los colores anteriores.

c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras?

Tendríamos que sacar 7 bolas, pues podrían salir 2 bolas blancas,

seguidas de 3 verdes y, después, las dos siguientes serían negras.

d) ¿Y para que sean 2 verdes? Sacaríamos 8, ya que podrían ser

2 bolas blancas, seguidas de 4 negras y las dos siguientes

serían verdes.

Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura,calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.

a) A = {Sacar un número par}

b) B = {Sacar un número primo}

c) C = {Sacar un número par y menor que 4}

C P C= ={ } ( ) 2 1

5 →

B P B= ={ , } ( ) 3 5 2

5 →

A P A= ={ , } ( ) 2 4 2

5 →

4

3

2

1

499

B V

N

B

V

N

B

V

N

B

V

N

4

5

1

2

3





Lanza al aire una moneda y un dado. Luego haz un diagrama de árbolcon los posibles resultados, y escribe el espacio muestral asociado a dicho

experimento.

Elabora un diagrama de árbol que incluya todos los números de tres cifrasque se pueden formar con 2 y 4.

En el lanzamiento de un dado dodecaédrico, con las caras numeradasdel 1 al 12, consideramos los sucesos: A = {Sacar un número par};B = {Sacar un número primo mayor que 3} y C = {Sacar un número cuadrado}.Calcula.

a) A ∩ B

b) A ∪

(B ∩

C )c) Ae∪eC

d) C e∪eA

Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe,en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos,aplicando la regla de Laplace.

a) Sacar el as de espadas.

b) Sacar una figura o un número menor que 8.

c) Sacar oros.

d) Sacar copas o bastos.

e) Sacar una carta que no sea figura.

f) Sacar una carta que sea múltiplo de 16.

4

3

2

1Obtención del espacio

muestral de un experimento

aleatorio.

Realización de uniones

e intersecciones

de sucesos.

Cálculo de la probabilidad

de distintos sucesos

aplicando la regla

de Laplace.

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 2, 3






PROBABILIDAD14




En una bolsa tenemos 1.000 bolas de color blanco, verde y negro.Repetimos 200 veces el experimento de extraer una bola, anotar el color

y devolverla a la bolsa. Los resultados son:

a) Calcula las frecuencias de cada color.

b) ¿Qué cantidad de bolas hay de cada color?

Se saca una ficha de dominó y se anotan los resultados. Dados los siguientes

sucesos: A=

{La suma de los puntos de la ficha sea 6} y B =

{Ficha doble},calcula la probabilidad de los sucesos.

a) A ∪ B

b) A,∩,B

c) B

De una clase de 30 alumnos de 3.o ESO, 21 de ellos han aprobadoCiencias Naturales, 15 han aprobado Ciencias Sociales y 12 han aprobadolas dos asignaturas. Si escogemos un alumno al azar:

a) ¿Qué probabilidad existe de que haya aprobado Ciencias Sociales,pero no Ciencias Naturales?

b) ¿Y de que haya aprobado Ciencias Naturales, pero no Ciencias Sociales?

Se hace una encuesta en una ciudad y se comprueba que el 25 %de los habitantes lee el periódico A, un 43% lee el periódico B

y un 8 % lee ambos periódicos. Si escogemos una persona al azar,¿qué probabilidad hay de que no lea ninguno de los periódicos?

8

7

6

5Aplicación de

las propiedades

de las frecuencias relativas en experimentos aleatorios.

Determinación de la

probabilidad de la unión de

dos sucesos compatibles

o incompatibles.

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. 1, 2



• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................... ........................................ .......................




501

Bolas Blancas Verdes Negras

f i 115 69 16




PROBABILIDAD14EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Diagrama de árbol y espacio muestral. Diagrama de árbol.

E = {( c, 1), ( c, 2), ( c, 3), ( c, 4), ( c, 5), ( c, 6), E = {222, 224, 242, 244, 422, 424, 442, 444} ( +, 1), ( +, 2), ( +, 3), ( +, 4), ( +, 5), ( +, 6)}

Lanzamiento de un dado. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {5, 7, 11}, C = {1, 4, 9}

a) A ∩ B =

b) A ∪ (B ∩ C ) = {1, 3, 5, 7, 9, 11} ∪ = A

c) Ae∪eC = {3, 5, 7, 11}

d) C e∪eA = {2,,3,,5,,6,,7,,8,,10,,11,,12} ,∪,{2,,4,,6,,8,,10,,12} = {1, 9}

Extracción de una carta de una baraja.

a) b) P( B) = 1 c) d) e) f) P( F) = 0

Bolas de colores.

a)

b) La cantidad aproximada de bolas será:

Blancas: 0,575 ⋅ 1.000 = 575 Verdes: 0,345 ⋅ 1.000 = 345 Negras: 0,08 ⋅ 1.000 = 80

Fichas de dominó. Son 28 fichas. E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), …, (0, 6), (1, 1), (1, 2), …, (6, 6)}

A = {(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} B = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

a) P (A ∪ B ) = b) P (A,∩,B ) = c) P (B ) =

Alumnos.

a)

b)

Lectura de periódicos. P( A) = 0,25, P( B) = 0,43 y P( C) = 0,08

P( A,∪,B) = 1 −P( A ∪B) = 1 − [ P( A) + P( B) −P( A ∩B] = 1 − (0,25 + 0,43 −0,08) = 1 −0,6 = 0,4

8

P NAT SOC P NAT P NAT SOC( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = − =21

30

12

30 0 3

P SOC NAT P SOC P SOC NAT( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = − =15

30

12

30 0 1

7

21

28

3

4 =1 1

1

28

27

28 − ∩ = − =P A B( )

10

28

5

14 =

6

f B f V f N( ) , ( ) , ( ) = = = = =115

200 0 575

69

200 0 345

16

200 == 0 08 ,

5

P E( ) =28

40 P D( ) =

20

40 P C( ) =

10

40 P A( ) =

1

40

4

3

21

1

2 3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

2

4 2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

c

+



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