Briseño Aguirre, L.A. y Verdugo Díaz, J. C. (2007).

Matemáticas 3(20ma reimpr.). México: Santillana. P.p. 54-71.

Matemáticas 3El libro MATEMÁTICAS 3 es unaobra colectiva creada y diseñada enel Departamento de InvestigacionesEducativas de EditorialSantillana, bajo la dirección de

Fernando García Cortés.

En la creación de esta obra

intervinieron:

AUTORES:

Luis Alberto Briseño AguirreJulieta del Carmen Verdugo Díaz

SECUNDARIASERIE 2000

El libro MATEMÁTICAS 3, para Educación Secundario , fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Coordinación editorial: Gabriel Moreno Pineda.Edición: César Jiménez Espinosa.Diseño de interiores y portado: Álvaro Fernández Ros.Coordinación gráfica: Francisco Rivera Rodríguez.Coordinación de autoedición: José R . Arriaga Macedo.Corrección de estilo: Javier Andrés Suárez Ruiz.Composición: Noemí T. Herrera Vargas.Fotografía: Archivo Fotográfico Santillana.Dibujo: Luis A. Sánchez Hernández.

D.R. © 1997 por EDITORIAL SANTILLANA, S.A. DE C.V.

Av. Universidad 76703100 México, D.F.

ISBN: 978 -970-642-211-8Primera edición: abril de 1997Primera reimpresión: agosto de 1997Segunda reimpresión: mayo de 1998

Tercera reimpresión: julio de 1998Cuarta reimpresión: agosto de 1998Quinta reimpresión: septiembre de 1998

Sexta reimpresión: marzo de 1999Séptima reimpresión: julio de 1999Octava reimpresión: agosto de 1999Novena reimpresión: agosto de 1999Décimo reimpresión: septiembre de 1-999Undécima reimpresión: octubre de 1999Duodécima reimpresión: marzo de 2000Décima tercera reimpresión: junio de 2001Décima cuarta reimpresión: febrero de 2002Décima quinta reimpresión: agosto de 2002Décima sexta reimpresión: marzo de 2003Décima séptima reimpresión: abril de 2003Décima octavo reimpresión: marzo de 2004Décima novena reimpresión: abril de 2004Vigésima reimpresión: marzo de 2005Vigésima primera reimpresión: julio de 2005Vigésima segunda reimpresión: mayo de 2006Vigésima tercera reimpresión: agosto de 2006Vigésima cuarta reimpresión: junio de 2007

Miembro de la Cámara Nacional de laIndustria Editorial Mexicana . Reg. Núm. 802

Impreso en México

Este libro se terminó de imprimir en el mes dejunio de 2007, en Gráficas La Prensa, S.A. de C.V.,Prolongación de Pino Núm. 577, Col. Arenal, 02980México, D.F.

Unidad 1

Tema 1 Cálculos aproximadosErrores de aproximaciónAcotación de errores

Tema 2 Raíz cuadradaConceptosAproximaciones de la raíz cuadradaMétodo babilonioMétodo usualEjercicios de unidadIdeas principalesRecreación matemática

Unidad 2

Tema 1 Plano cartesiano y funcionesNoción de funciónEjemplos de funcionesFunción mxFunción x2Funciones x2 + a y (x

Función 1x

a) 2

Familia de rectasDesigualdades lineales en el plano cartesiano

Tema 2 Expresiones algebraicasLeyes de los exponentesMonomios y polinomiosOperaciones con fraccionesFracciones algebraicasSustitución algebraicaEjercicios de unidadIdeas principalesRecreación matemática

Unidad 3

Ecuaciones lineales y cuadráticas

Tema 1 Ecuaciones linealesEcuaciones con paréntesisEcuaciones con coeficientes fraccionariosReducción de ecuaciones

6

Tema 2 Sistemas de ecuacionesMétodo gráfico y número de soluciones 60Método de sustitución 62

7 Método de igualación 64- Método de suma resta 66y

Sistemas de tres ecuaciones lineales 688

10 Tema 3 Productos notables y factorizaciónF tor mún 70ac coBinomios con un término común 72

12 Cuadrado de un binomio y binomios conjugados 7414 Factorización de ax2 + bx y ax2 - c2 7616 Factorización de ax2 + bx + c 7818 Aplicaciones en el cálculo numérico 8020 Fracciones algebraicas y factorización 822122 Tema 4 Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones incompletas 84Solución por factorización 86Solución completando cuadrados 88Solución por medio de la fórmula general 9023Discriminante y número de soluciones 92Ejercicios de unidad 94Ideas principales 95

24Recreación matemática 96

262830 Unidad 432

Triángulos cuadriláteros y círculo 97,34

Tema 1 Triángulos3638 Elementos de un triángulo 98

Congruencia 100Propiedades de los triángulos 102

40 Construcción de triángulos 104Bisectrices mediatrices del triángulo42 y 106

4446 T Cuadriláteros48 Clasificación 10850 Propiedades de los paralelogramos 1 105152 Círculo

Rectas notables 112Propiedades y construccionesde rectas en el círculo 114Ángulos en el círculo 116

53 Construcciones con regla y compás 1 18Ejercicios de unidad 120Ideas principales 121

54 Recreación matemática 1225658

Unidad 5

Semejanza y teorema de Pitágoras 123

Tema 1 SemejanzaTeorema de Tales de Mileto 124Semejanza de triángulos 126Cálculo de distancia 128División de un segmento en partes iguales 130División de un segmento en una razón dado 132Construcción del cuarto y medio proporcionales 134Homotecia 136Dibujo a escala 138Efectos de la escala en ángulos y perímetro 140Efectos de la escala en el área y el volumen 142

Tema 2 Teorema de PitágorasVisualización geométrica 144Demostraciones algebraicas 146Cálculo de longitudes 148Distancia entre dos puntos del plano cartesiano 150

Tema 3 SólidosRepresentación plana 152Desarrollo y armado de pirámides y conos 154Secciones de prismas y pirámides 156Volumen de pirámides y conos 158Volumen y superficie de la esfera 160Cálculo de longitudes en sólidos 162Ejercicios de unidad 164Ideas principales 165Recreación matemática 166

Unidad 6

Elementos de Trigonometría 167

Tema 1 TrigonometríaRazones trigonométricas 168Círculo unitario 170Identidades trigonométricas 172Razones trigonométricas delos ángulos de 30°, 45° y 60° 174

Tema 2 Aplicaciones de la TrigonometríaUso de tablas 176Uso de la calculadora 178Resolución de triángulos rectángulos 180Ejercicios de unidad 182Ideas principales 183Recreación matemática 184

Unidad 7

Estadística 185

Tema 1 TasasUsos y aplicaciones 186Crecimiento aritmético 188Crecimiento exponencial 190Moda, media y mediana 192Usos y limitaciones de la media, la moday la mediana 194Medidas de dispersión 196

Tema 2 Nociones de poblaciónEncuestas y censos 198Ejercicios de unidad 200Ideas principales 201Recreación matemática 202

Unidad 8

Probabilidad 203

Tema 1 Nociones de probabilidadExperimentos aleatorios 204Probabilidad frecuencia) 206Probabilidad clásica 208

Tema 2 Cálculos de probabilidadesDiagramas de árbol 210Principio de adición 212Principio del producto 214

Tema 3 SimulaciónSolución de problemas por simulación 216Pruebas de Bernoulli 218Ejercicios de unidad 220Ideas principales 221Recreación matemática 222Programa de tercer grado 223Bibliografía 224

5

Ecuaciones con paréntesis

Tema 1 ÑEcuacioneslineales

1 Ejemplos de ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo secumple para algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene sólo unavariable o incógnita con exponente 1, se llama ecuación lineal o de primergrado con una incógnita.

En una ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo igual sellama primer miembro y la del lado derecho, segundo miembro.

Resolver una ecuación lineal es encontrar el valor de la incógnita para elcual se cumple la igualdad.

Los siguientes problemas se resuelven con una ecuación lineal.

Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Actualmente, la edad de la mamáde Juan es el triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?

Si x es la edad de Juan, la de su mamá es 28 + x. Por otro lado, la mamá deJuan tiene el triple de años que su hijo; es decir, 3x. Si se igualan estas dos ex-presiones algebraicas, se obtiene la siguiente ecuación:

Ecuaciones de primergrado con una incógni 3x = 28 + x

Esta ecuación se resuelve despejando x de la siguiente manera:

+ 6 = 78 S t i iób b d l = 28 +3 - -y e res a x en am os m em ros n.e a ecuac x- x x xSe reducen términos semejantes - > 2x=28+0.

45x-98=0 2x=28

Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación.2x28

34z+6= 1 2 2Se realizan las operaciones. x=14

Miembros deuna ecuación

Por lo tanto, la edad de Juan es 14 años.

primermiembro

8+3x

segundomiembro

Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horasmás tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundotren iba a 75 km por hora, ¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?

Si x representa las horas que ha viajado el segundo tren, el primer tren ha via-jado (x + 3) horas, por el tiempo que lleva de ventaja. La distancia recorrida enel tiempo x por el segundo tren es 75x y la del primero es 50(x + 3). Cuando elsegundo tren alcance al primero, las distancias recorridas serán iguales; laecuación que describe esto es 75x = 50(x + 3). Para resolverla, se eliminan losparéntesis efectuando el producto 50 (x + 3):

75x = 50(x + 3) ^ 75x = 50x + (50)(3) o- 75x = 50x + 150

De la última ecuación se despeja x:

Se resta 50x en ambos miembros. --' 75x -50x = 50x + 150 - 50xSe reducen términos semejantes. - 25x = 150

Sa rlivirlen amhns miemhrns PntrP 2..ri 25x = 15025 25

x=6

El segundo tren alcanzará al primero en 6 horas.

54

lo se

'unamer

al se

ira el

bamá

^á des ex-

x

doras

tundo

via-a en

do el

s; la

los

F 150

50x

Resolver la ecuación 27x - (3x -9) = 3(x + 10).Se eliminan los paréntesis.Se reducen términos semejantes.Se resta -3x en ambos miembros.Se reducen términos semejantes.Se resta 9 en ambos miembros. - -- - - - -Se reducen términos semejantes.

Se dividen ambos miembros entre 21.

1. e

EL

-► 27x-3x+9=3x+30. >-24x+9=3x+30

-» 24x+9-3x=3x+30-21x+ 9=30

► 21x+ 9-9=30-9-- o- 21x=21

21x_21

21 21

x=1

EJERCICIOS ►

Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones li-neales.

o)2x-7=-8+x b)3x-9=x- 11c)5x-4=8x-20 d) 13-4x=-6x+ 17e)39-15x=-31 -5x f)x+1 = 18x- 10g) 120 + 36x = -12x h) -x+ 15 = 5x- 45

Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones ; elimina prime-ro los paréntesis.

a) 5x = 4(x + 17) b) 3x+ 3 = 2(7x- 15)

c) lOx=68-2(4-2x) d) -6x= 3(x- 21)

e) - 1 Ox = -6(4 + 3x) f)31x=-(135+4x)9) 3(x+ 12) = 2(x- 1) h) 10(x- 8) = 15(2x- 2)

i)-(4x- 17)=6(x-3) j)3(16x+4)=3(34+x)

k) 1 1(3 - x) = 10(3 - 2x)

3x

Resuelve los siguientes problemas.

a) José y su hermano ahorraron $ 152. Si José contri-buyó con $ 22 más que su hermano, ¿cuánto dine-ro aportó? (Sugerencia: si llamas x al dinero deJosé, el dinero de su hermano es x - 22.)

b) Raúl tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántosaños la edad de Raúl será la mitad que la de su pa-dre? [Sugerencia: si se llama x al número de añosen que la edad de Raúl será la mitad de la de su

padre, entonces 21 + x = 2 (52 + xj.]

c) Una granjera llevó al mercado del pueblo huevos quepensaba vender a $ 1.00 cada uno. Como en elcamino se le rompieron 6 huevos, decidió vender losque le quedaron en $ 1.50. Cuando regresó a sucasa, se dio cuenta de que ganó $ 9.00 más de loque esperaba. ¿Cuántos huevos llevaba inicialmente?[Sugerencia : si la granjera llevaba x huevos inicial-mente , pensaba obtener x pesos; como se rompieron6 y los vendió a 1.50, obtuvo 1.50 (x - 6).]

d) Un ciclista sale de una ciudad a 40 km por hora ydos horas más tarde sale tras él un automóvil a unavelocidad de 90 km por hora. ¿Cuánto tardará elautomóvil en alcanzar al ciclista?

e) El área del siguiente rectángulo es 60 cm2. ¿Cuántovaled?

(x- 2)

r) x- 23 - ( 15 - x) = 4(x- 8)s) 51(x+ 3 ) + 9x- 23 = 20(4x+ 8) 20 cm

t) 5(4x- 1) - 2 (5x- 5) = 20(x+ 1)L

1)2(4x-2)=3(x- 31

m) 63(5x + 4) = 650x - 3 1

n) -2(5 - x) = 5(x+ 7) 1

A) 6x - (8x + 15) = 3x

o) 8(9 + x) - 12 = 5(2x+ 6)

p) (x+ 10) - (3x + 12) = 7x+ 2(1 1 - 4x)

q) -(17x+ 18)+2(9+8xi =5(x+ 1)+7

55

n

Ecuaciones con coeficientes fraccionarios

La edad de Pedro es 4 partes de la edad de Jorge, pero dentro de 4 años será

5 partes de esa misma edad. ¿Cuántos años tiene Jorge?

Si x es la edad de Jorge, entonces la edad de Pedro es 4x . Dentro de 4 años la

edad de Jorge será (x + 4) y la de Pedro, 1+ 4l

pero también para entonces

la edad de Pedro será 5 la de Jorge , es decir, 6 (x + 4). Si se igualan las dos

últimas expresiones , se obtiene la siguiente ecuación:

(4x+4)= 6(x+4)

Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:

Se eliminan los paréntesis . 4x + 4 = 6x + \ 6 14

Se efectúa el producto 6 )4_ 4x+4=6x+ 620

La expresión 4x + 4 = 6x

+ 6

20 es una ecuación con coeficientes

fraccionarios porque las variables aparecen multiplicadas por fracciones. Es-ta ecuación se resuelve de la siguiente forma:

Se multiplican ambos miembros por 12,que es el mínimo común múltiplo de losdenominadores de la ecuación.

Se eliminan los paréntesis efectuando losproductos.

Las fracciones resultantes siempre pue-den convertirse en enteros. -

Por tanto, la edad de Jorge es 8 años.

12 (.-x+4)=12(x+ 6 /

66x+48= 60x+ 260

9x + 48 = lOx + 40

9x- lOx+48= 10x- lOx+40-x + 48 - 48 = 40 - 48

-x = -8x=8

Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando am-bos miembros de ésta por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Otra forma de resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios es operar di-rectamente con las fracciones algebraicas. Por ejemplo:

Resolver la ecuación 4 x + 3 x= 2.

56

1

Á

y

era

s la

dos

Se efectúa la suma 5 x + 7 X. (15x + 28x) 14 3 _ - -^ 12 2

43x 1

12 2

Se dividen ambos miembros de la ecuación entre 43.

43x=6

43x _ 6

43 43

6x

43

EJERCICIOS

tes

aResuelve las siguientes ecuaciones.

c)11x

+9x10

18 18 3

e)-x--x+-4 2 12 2=5 5 5 5

g) 8x+4=-2

i) 7 - 4 =5x

k)2 -'x -2x=7

40 m)-9x-1 =x

ñ) -19 - 2= 6

1 S X-1

-2 + 5+ 6 =) 2air

p (x x )

di-r) 4 (x)- 8(x-1)=1

t)x+4-3x-18 15

b) 4 + 3x=6

d) 9x+ 9 - 1 =0

F)2+3 276

h) 1 7=5

Sx+ 4x= -2

1 x+ 3 2= -Sx-6

n) 2x+ 4 = 15 x-4

o) 4 3 12

q) 56 ( 3x +11=5-8x

s)3(8 -4 4 -9

2x-10 3x-11u

12 15

Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a) La suma de las edades de Ana y Graciela es 65años. Dentro de 10 años la edad de Graciela será

12 de la de Ana. ¿Cuál es la edad de cada una?

(Sugerencia: Llama x a la edad de Ana y 65 - x ala de Graciela.)

b) Una persona invierte 4 partes de su dinero y le

sobra la tercera parte menos $ 1 000. ¿Con cuántodinero contaba? (Sugerencia: si x es el dinero conque contaba la persona, después de invertir tres

cuartas partes le queda x - 4 x.)

c) María y Lupe son coleccionistas de mariposas. Las

mariposas de María son 3 partes de las de Lupe.

Si entre las dos tienen 25 mariposas, ¿de cuántasmariposas dispone Lupe?

d) Después de cortar 4 de la longitud de una tabla,

quedan 30 cm. ¿Cuál era el largo de la tabla?

e) El perímetro de un rectángulo es 96 m; si el ancho

mide las 5 partes de largo, ¿cuáles son las-dimen-

siones?

57

58

Reducción de ecuaciones

Algunas ecuaciones aparentemente no son lineales porque la incógnita se en-cuentra elevada a un exponente mayor que 1 o aparece en el denominador deuna fracción; para resolverlas, es necesario realizar operaciones que no alterenla igualdad. Por ejemplo:

Resolver la ecuación 2x(x + 5) = -x(10 - 2x) + 100.

Primero se efectúan los productos para eliminar los paréntesis:

2x (x + 5) = -x(10 - 2x) + 100(2x)(x) + (2x)(5) = (-x)(10) - (-x)(2x) + 100

2x2+ lOx = -lOx+2x2+ 100

En algunos términos de la última ecuación, la incógnita aparece con exponente2. Sin embargo, éstas se pueden eliminar si se resta 2x2 en ambos miembros:

2x2 + lOx = -1()X + 2x2 + 1002x2 - 2x2 + 10x = - lOx + 2x2 + 100 - 2x2

l Ox = - lOx + 100lOx + lOx = -lOx + 100 + lOx

20x = 100x=5

Se puede comprobar que x = 5 es la solución de la ecuación si se sustituye elvalor de la incógnita en la ecuación original:

2(5)(5 + 5) _ - 5(10 - 2(5)) + 10010(10) _ -5(10 -10) + 100

100 = -5(0) + 100100=100

Como la igualdad se cumple, x = 5 es la solución.

Encontrar la solución de la ecuación 7 - 3x = 5.

En este caso, la incógnita aparece en el denominador de dos fracciones. Laecuación se puede resolver si ambos miembros se multiplican por 3x.

7165

x 3x

(3x)(7 -16

) _ (3x)(5)

21x _ 48x = 15xx 3x

21 - 16 = 15x

En la última ecuación no hay denominadores.

5 = 15x15x = 5

15x 515 15

1x= 3

a

Re

i

1D

e

a

E

c

en-ir deeren

ente

e:

r

1

La

Resolver la ecuación 4 = 5 Esta ecuación se puede resolver si sex 4x-22^

multiplican ambos miembros por el producto de los denominadores, es decir,por (x)(4x - 22):

W (4x - 22) (x)C4x-22J

(4x - 22)4 = 5(x)16x-88=5x

16x-88 - 5x=5x-5xllx-88=0

llx-88+88=0+88llx = 88

x=8

EJERCICIOS

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)x2-2x+ 15=x+x2 -3

b) -2x2 - 3x= x(-2x- 6) - 930

c)x3-8x+4=x(x2-2)-20

d) 135 + 9x - 4x2 = 4x - 4x2 + 160

e) 3x(6x - 5) = 18x2 + x- 32

f)x2+7x+ 10=x(9+x)

g) (x-2)(x-1)-x2=-1

h) (3x- 1)(2x- 2) = 6x2 - 18

i)(x- 1)(x+ 1)=x2-2x+3

Determina qué valor de x es la solución de cadaecuación.

Resuelve las ecuaciones con fracciones algebraicas.

16 5 1a)8 b)x 3x 6

9 7 5 2 1c)-+-=-4 d)-+-=

x x 2x x 2

1 1f)

3 1 2-_=e)-+-2x 5x 10 X

19 )6+ 8 =3 + 5 h)

1 + 1 + 2 =2x 3x 4x 3

i) 19 +3+ 1 = 15 +3 j) -4 = 6 -2x x x-3 x-3

k 5 = -1 1) 4 = 22x+9 2x+ 3 5x+ 4 x+ 2

)14- 13 = -14m

a) 2x2 - 2(8x- 6) = x (2x - 10) - 4x+ 2x=4 x= -2 x=5 x= 8

b) x 4 +5 x64 +3

x= 4 x= 2 x= -9 x=9

c)4x2+2x- 1 =4x2

1 1 1x= 1 x= x=4 2 3 2

n)

3 3

x

x x + 1 x(x+1) x-1

38 + 12 88n) x+ 4 +S (x+ 4)(x+ 5)

o) x+5 = x+ 1x+4 x-4

25 + 15 10P) x+ 1 X- 1 (x + 1)(x- 1)

5x+ 9 5xq) x-4 x-6

59

Método gráfico y número de soluciones

Tema 2Sistemas deecuaciones

Una ecuación lineal con dos incógnitas es la ecuación de una recta en elplano cartesiano. Las siguientes son ecuaciones lineales con dos incógnitas:

4x+y=8 3x-10y=39 2x+9.3y=6.7

Cualquier ecuación lineal con dos incógnitas (x y y) se puede escribir de la for-

ma y = mx + b si se despeja y. Por ejemplo, el resultado de despejar y en

4x + y = 8, es la ecuación y = -4x + S.

Un sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones. En lapresente sección se estudiarán los sistemas de dos ecuaciones lineales condos incógnitas.

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar

los valores de x y y que son solución para ambas ecuaciones simultáneamente.

Por ejemplo, obsérvese el siguiente sistema de ecuaciones:

3x+y=6 (1) 3x-4y= -9 (2)

3x+

Figura 1

coordenadas (1, 3) es común a ambas, entonces las coordenadas de este punto

satisfacen las dos ecuaciones: 3 = 6 - 3(1) = 6 - 3 = 3 y 3 = 4 (1) + 4 = 4 = 3

El método gráfico para la resolución de un sistema de dos ecuaciones linealescon dos incógnitas se compone de los siguientes pasos:

Se grafican las rectas correspondientes a las ecuaciones del sistema.

© Se obtienen las coordenadas del punto de intersección de las rectas grafi-cadas. Los valores de estas coordenadas son la solución del sistema.

Resolver por el método gráfico el siguiente sistema de ecuaciones:

5x - 2y = -2 (1)

, -4)

2x-y=0 (2)

La elaboración de las gráficas se simplifica si y es despejada en cada ecuación:

y= 2x+1 y=2x

Para cada ecuación, se encuentran dos parejas de valores que las satisfagan.

y= 2 x+ 1 y= 2x

x y x y

0 1 0 0

2 6 2 4

Como se observa en la figura 2, las

coordenadas del punto de intersección

de las dos rectas son (-2, -4). La

solución del sistema de ecuaciones es

Figura 2 x = -2 y y = -4.

Las ecuaciones del sistema pueden expresarse de la forma y = mx + b si sedespeja y:

y=6-3x

(1, 3) Las gráficas de estas ecuaciones son las rectas de la figura 1. Como el punto de

60

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico:

x+y=1 (1) 3x+3y=3 (2)

or-

en

laon

ar

te.

se

deto

es

ion

Figura 3

Figura 4

Si las ecuaciones se expresan de la forma y = mx + b, se obtiene y = -x + 1,

y = 3 x + 3 . Nótese que la segunda ecuación es equivalente a y = -x + 1, es

decir, las dos ecuaciones del sistema determinan la misma recta; su gráfica semuestra en la figura 3.

Como no hay un punto de intersección único , el sistema de ecuaciones tie-ne muchas soluciones, determinadas por los valores de las coordenadas decualquier punto de la recta.

Resolver por el método gráfico el sistema de ecuaciones:

5x+4y=9 (1) 5x+4y=12 (2)

Estas ecuaciones se expresan de la forma y = mx + b así:

y=-4x+ 9 y=-4x+ 12

Obsérvese, en la figura 4, que las rectas de estas ecuaciones son paralelas a la

recta con ecuación y = - 4 x; entonces, no poseen un punto en común, pues tam-

bién son paralelas entre sí. Como no hay puntos comunes, el sistema no tie-ne solución.

EJERCICIOS

Resuelve con el método gráfico los siguientes sistemasde ecuaciones.

a) x+y=23x- 2y= 1

b) 4x+ 3y= 05x+ 4y= 1

d) 4x+ 5y= 106x- 7y= -14

Expresa las ecuaciones de la forma y = mx + b y com-prueba que estos sistemas de ecuaciones lineales se re-presentan con rectas paralelas en el plano cartesiano.

a) 3x - 3y = 12

lox- l0y= 8

b)x+y=-16

3x+ 3 y= -10

El.e) -x+ 3y= -13 f) 3x-y=5

-2x+ l0y= -46 8x- 4y= 4 Determina si cada sistema de ecuaciones lineales tienesolución única , muchas soluciones o carece de solución.

c) 2x+ y= 16x-y=-1

Expresa las ecuaciones en la forma y 5 mx 1 b y com-prueba que cada sistema se representa con una recto.

a) x- y= 42x- 2y= 8

b) 15x - 5y= 1024x - 8y = 16

a) x+ y= 1x-y= 1

c)x+y= 1x+ y= 2

e) 3x+ 2y= 1x+ y= 2

b) x+ y= 12x+ 2y= 2

d) x+ y= 1-x- y= - 1

f) x+ 2y= 1-2x-y=-1

61

Método de sustitución

1 Método de sustitución

Además del método gráfico existen otros para resolver sistemas de ecuacioneslineales. A continuación, se explicará el método de sustitución . Considéreseeste sistema de ecuaciones:

3x-2y=1 (1)x+y=2 (2)

Los pasos para encontrar la solución de este sistema son los siguientes:2x+y=6x+ 4y = 17 U Se despeja y en una ecuación ; por ejemplo , en la (2):

y = 2 - x

De esta forma, se obtiene y expresada en función de x.

© x+ 4(6 - 2x) = 17 El En la ecuación (1), se sustituye y por su expresión en términos de x y' x+ 24 - 8x = 17 despeja x:

24-17=8x-x7=7xx= 1

© y=6-2(1)y=6-2y= 4

Solución

3x - 2(2 - x) = 13x-4+2x= 1

5x-4=15x=1+45x=5x=1

se

© Se sustituye el valor de x, determinado mediante el paso anterior, en laecuación obtenida al despejar y en el paso 1:

y=2-(1)y=1

De modo que x = 1 y y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones.x= 1y=4 Este método para resolver un sistema de ecuaciones lineales se llama método

de sustitución y consta de estos pasos:

O Se despeja y en alguna de las dos ecuaciones para expresarla en función de x.

© Se reemplaza y en la otra ecuación por su expresión en términos de x. Elresultado es una ecuación con una incógnita; la solución de esta ecuación esel valor de x que satisface el sistema.

© Se sustituye el valor de x encontrado mediante el paso anterior en la expre-sión obtenida en el paso 1. De esta manera se encuentra el valor de y.

El procedimiento también es válido si en el primer paso se despeja x en lugar dey. Tómese como ejemplo la resolución del siguiente problema:

Dos números cumplen estas condiciones : el doble del primero más el triple delsegundo es igual que 8 y el triple del primero menos el doble del segundo esigual que -14. ¿Cuáles son los números?

Si x es el primer número y y el segundo , por la primera condición del problema,2x + 3y = 8, y por la segunda, 3x - 2y = - 14. Entonces , la solución se hallamediante este sistema de ecuaciones:

2x+3y=8 (1) 3x-2y=-14 (2)

h2

O Se despeja x en la ecuación (1):

© Se reemplaza x en la ecuación (2):De esta ecuación se despeja x:

3( 2 2y 14-► 24 2 9y

\\-2y = -14

3(' 2 ')-2y=-14

X24-9y-4y=-28

© Se sustituye y en la ecuación obtenida en el paso 1: x =

La solución del sistema de ecuaciones es x = -2 y y = 4.

EJERCICIOS

aResuelve en tu cuaderno, con el método de sustitución,estos sistemas de ecuaciones lineales.

a) 2x+ y= 15x-y=-15

c) 4x- 2y= 20x+ y= -1

b) 5x+ 4y= 817x+ y= 2

d)6x-y=15x-y=0

e) x- y= 07x+ 6y= -13

9) 2x-y=63x+2y=44

i) y- x= 25x- 4y= 3

k) 4x- y= -25x- y= 16

m)8x- 3y= 152x+ 2y= 12

ñ) x+ y= -15x+ y= -9

p) ]5x-8y= 012x+ 36y= 0

r) 3x+ 2y= 1x+ 5y= -4

f) -2x+ 3y= 4x- 2y= -12

h) -4x+ 6y= -2x- 2y= 4

j) 6x-7y=-52x- 5y= -15

1 )9x-3y=-93x+y=9

n) 20x= 3y+ 78y= 12x + 2

o) 5x+ 4y= 145x- 4y= 6

q) 16x+ l6y= 32x+8=2

s)x+2y=25x+ y=-8

-13y = -52y=4

(8 - 3(4)) _ -22

Soluciona los siguientes problemas en tu cuaderno;plantea un sistema de ecuaciones para cada uno.

a) La suma de dos números es 45 y la diferencia es25. ¿Cuáles son los números?

b) La suma de dos números es 220 y la diferencia es20. ¿Cuáles son los números?

c) Tres veces la edad de Juan más dos veces la edadde José es 55, y la suma de las edades de amboses 21. Calcula las edades de Juan y José.

d) Cuatro cajas de galletas y tres de dulces cuestan$ 99, tres cajas de galletas y una de dulces valen$ 58. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

e) El perímetro de un rectángulo es 20 cm. Si el tripledel ancho es el doble del largo, ¿ cuáles son lasdimensiones de la figura?

f) Una persona va de su casa al trabajo por uncamino y regresa por otro. De ida, recorre 35 kmmenos que el doble de la distancia que camina deregreso. Si en total recorre 55 kilómetros, ¿qué dis-tancia se desplaza la persona de ida y de regreso?

g) Una barca recorre 13.5 km en 3 horas cuando vaa favor de la corriente de un río. La misma barcarecorre el mismo trayecto en 9 horas cuando nave-ga en sentido contrario a la corriente. ¿Cuál es lavelocidad de la barca y de la corriente del río?

63

1 Método de igualación

2x+ y= 6x+ 4y= 17

__ (17-x)y 4

© 6-2x= 17-x4

4(6 - 2x) = 17 -x24-8x= 17-x

7 = 7xx= 1

© y= 6 - 2(1)y=6-2y= 4

Solución

x= 1y= 4

64

Método de igualación

El siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resolverácon el método de igualación.

5x+y=-11 (1)-2x-6y=38 (2)

o Se despejay en ambas ecuaciones: (1): y = -11 - 5x

(2): -6y = 38 + 2x

(38 + 2x) _ (19 + x)

-6 -3

© Se igualan los valores de y encontrados en el inciso anterior para obteneruna ecuación lineal con una incógnita ; de ésta, se despeja x.

-11-5x= (19+x)-3

-3(-11 - 5x) = 19 + x33+15x=19+x15x-x= 19-33

14x = -14x= -1

© Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones encontradas en el pri-mer paso; por ejemplo, en la ecuación y = 11 - 5x:

y= -11-5(-1)=-11+5=-6

Por tanto, la solución del sistema es x = -1 y y = - 6.

En resumen, el método de igualación consiste en los siguientes pasos:

O Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones.

© Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para ob-tener una ecuación lineal con una incógnita. Cuando esta ecuación es resuel-ta, se encuentra el valor de una incógnita.

© Se sustituye el valor de la incógnita determinado mediante el paso anterioren alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; así se obtiene el va-lor de la otra incógnita.

El siguiente problema se resolverá mediante un sistema de ecuaciones cuya so-lución se obtendrá con el método de igualación.

El perímetro del marco de una pintura mide 16 centímetros. Si el largo es el tri-ple del ancho, ¿cuáles son las dimensiones del marco?

Se llamará x al largo del marco y y al ancho. Del enunciado del problema se deri-van las siguientes ecuaciones:

El perímetro es 16 cm: 2x + 2y = 16.El largo es el triple del ancho: x = 3y.

Se despeja x en la primera ecuación: 1

2x + 2y = 162x=16-2y

x = (16 - 2y)2

er

or

va-

so-

Como en la segunda ecuación x ya está despejada, se igualan (2) y (3):

3y = (16 2 2y) . La solución de esta ecuación es y = 2.

Si se sustituye el valor de y en la ecuación (2), resulta el valor de x:

x=3y w x=3(2)=6

Entonces, el marco mide 6 cm de largo y 2 de ancho.

EJERCICIOS

Q

Resuelve los sistemas con el método de igualación.

a) x+ y= -9x-y=7

b) x- y= -14x- 5y= 0

c) 10x+ 3y= -27x+ y= -9

e) x+ 5y= 32x+ 7y= 0

g) 15x + 4y = 35100x- 2y= 90

i) óx+9y=39-2x+ 2y= -18

k) 9x- l0y= 22x+ y= 23

m)7x- 2y= 39x+ 4y= 17

ñ) 7x- 3y= 12x+ y= -9

p) 9x+8y=65x+ óy= -6

r) áx+ 5y= -73x- y= 14

t) 3x- 2y= 1x+ 2y= 2

d) 3x+y=-14x- y= 1

f) 6x-y= 109x- 4y= -5

h) 4x+ 9y= -8-x- 3y= 5

j)3x+2y=606x- 7y= 21

1) 5x-4y=02x- y= 3

n) 8x- 3y= -54x-y=1

o) 3x+ 2y= 606x- 7y= -45

q) -4x+ 5y= 117x- 8y= -11

s) -x+ 2y= 52x- 3y= -1

u) x+ y= 15x- 3y= 4

Plantea un sistema de ecuaciones para cada problemay resuélvelo con el método de igualación.

a) ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo quetiene 72 cm de perímetro si la base es 3 cm mayorque la mitad de la altura?

b) Juan y Pedro poseen una colección de 40 discos. SiPedro le diera 4 a Juan, ambos quedarían con elmismo número de discos; ¿cuántos tiene cada uno?

c) El precio de 4 metros de lino y 5 de pana es $ 1 275,y el de 5 metros de lino y 4 de pana es $ 1 290.¿Cuánto cuesta el metro de lino y de pana?

d) El doble de un número menos el triple de otro es 5 y ladiferencia de ambos es - 1 . ¿Cuáles son los números?

e) Una maestra desea repartir cierto número de librosentre sus alumnos con mejor promedio. Si regalara5 libros a cada uno, le sobrarían 3; si les diera 6, lequedaría 1. ¿A cuántos alumnos obsequiará librosla maestra? ¿Cuántos libros repartirá ? (Sugerencia:llama x al número de libros y y a¡ de alumnos. Si lamaestra obsequia 5 libros a cada alumno , reparte5y libros y le sobran x- 5y.)

f) A la fiesta de cumpleaños de Claudia asistieron 50

de sus amigos; 3 de los hombres más 5 de las mu-

jeres sumaban 36 personas. Si en un momento todaslas mujeres estaban bailando, ¿cuántos hombres nobailaban?

65

Método de suma y resta

Método de sumay resta

2x+3y=13+ -2x+2y=-18

0+5y=-5

2x+ y= 6

El método de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuacio-nes de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de encontrar unaecuación lineal con una incógnita. Por ejemplo:

Resolver el sistema2x+3y= 13 (1)

-2x + 2y = -18 (2)

El coeficiente de x, es decir, el número que lo multiplica, en las dos ecuaciones,es igual pero de signo contrario. Como las ecuaciones son igualdades, se pue-den sumar miembro a miembro como sigue:

El resultado es una ecuación lineal con una sola incógnita , que se resuelve así:

5y=-5--- --- -- Y-y=-1

Si se sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, se en-x + 4y = 17 cuentra el valor de x. Por ejemplo , en la ecuación (1):

2x + 3(-1) = 13 ---' 2x - 3 = 13 e 2x = 16 ► x = 8

2x + y = 6 La solución del sistema de ecuaciones es la pareja x = 8 y y = -1.-2x- 8 = -34

Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones de un siste-ma, éstas se restan para eliminar la incógnita. Por ejemplo:

2x+ y= 6+ -2x- 8y = -34 4x + 9y = -8 (1)

-7y= -28 3x + 9y = - 15 (2)

-28y= 7 =4 Como la incógnita y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones , éstas se

restan miembro a miembro:

2x+4=6

(6-4)2 = 1

Solución

x=1

y=4

4x+9y=-8 (1)- 3x+9y=-15 (2)

x+ 0 =7

Entonces x = 7. Si se sustituye este valor en la ecuación (1), se obtiene el valorde y:

4(7)+9y=-8 --o- 28+9y=-8 -o 9y=-8-28-..-y= (-89 28) _ -936 =-4

La solución del sistema es la pareja x = 7 y y = -4.

Si en un sistema de ecuaciones ninguna de las dos incógnitas tiene el mismo coefi-ciente, las ecuaciones se transforman por medio de multiplicaciones. Por ejemplo:

Resolver el sistema15x + 4y = 6 (1)

-7x+3y=41 (2)

Si la primera ecuación se multiplica por 3 y la segunda por -4, el sistema setransforma como sigue:

Re

mi

a)

c)

e)

9)

k)

m)

ñ)

p)

r)

66

3(15x + 4y) = 3(6) 45x + 12y = 18 (1')-4(-7x + 3y) = -4(41) ► 28x - 12y = -164 (2')

Se suman las ecuaciones Y se sustituye el valor encontradodel nuevo sistema: en una de las ecuaciones iniciales:

45x + 12y = 18 45(-2) + 12y = 18+28x-12y=-164 -90+12y=18

73x +0 = - 146 12y=18+90

73x= -146-►x= -2

La solución al sistema es la pareja x = - 2 y y = 9.

EJERCICIOS

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales con elmétodo de suma y resta.

a) x- 5y= 3-x+ 6y= 1

b)x+y=-5x- y= -11

c) x- y= 6 d) 3x- y= 12x+ y= 4 4x+y=-22

e) -5x+ y= 5 f) x+y=24x-y=-1 -x+ 2y= 31

g) 3x+ 2y= 4 h) 4x+ y = -1x+ y= 2 5x+ 3y= 4

i) 9x+ y= 90 j) 3x- y= 115x- 2y= -15 8x+ 3y= 48

k) 9x- 5y= -3 I) 4x+y=82x- y= 1 15x- 4y= -1

m)-7x+ 5y= 154x- y= -29

n) 7x+ 8y= -19x- 2y= 11

ñ) 5x-2y=41Ox-7y= -16

o) 3x+ 2y= 018x+ 9y= 9

p) 4x- 3y= -9 q) 5x+ 4y= 05x- 2y= 1 6x+ 5y= 1

r) 3x+ 5y= 2 s) 2x+ 7y= 35x+ 3y= 14 3x- 4y= 19

t)6x-2y=0 u) 6x+ 8y = -47x- 3y= -4 12x- 16y= 16

y 108=912

Soluciona los siguientes problemas ; plantea un sistemade ecuaciones para cada uno y resuélvelo con el méto-do de suma y resta.

a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo isóscelesABC? (Sugerencia: recuerda que los ángulos interio-res de cualquier triángulo suman 180°.)

Bb) El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si

el largo fuera 3 centímetros menor y el ancho 9centímetros mayor, la figura sería un cuadrado.¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

c) En una granja hay pollos y conejos. Si el númerode patas es 244 y el de animales 107, ¿cuántospollos y conejos se encuentran en la granja?

d) El número de hermanos de María es el mismo queel de hermanas, pero cualquier hermano de Maríatiene el doble de. hermanas que de hermanos.Calcula el número de hermanos y hermanas quetiene María. (Observación: si llamas xal número dehermanos y y al de hermanas de María, un her-mano de María tiene y+ 1 hermanas, pues son yhermanas de María más María, y x- 1 hermanosporque son x hermanos de María menos él mismo.)

67

Sistemas de tres ecuaciones lineales

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se resuelveencontrando los valores de las tres variables que satisfagan simultáneamentelas tres ecuaciones.

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se transforma en uno de dosecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. Como ejemplo, seresolverá el siguiente sistema:

x+y-z=-5 (1)x - y + 2z = 11 (2)

2x+y-z=-4 (3)

O Se despeja x en la ecuación ( 1): x = - 5 - y + z

© Se sustituye x en las ecuaciones (2) y (3):

(- 5 - y + z) - y + 2z = 11 2(- 5-y+z)+y-z=-4

Cuando se reducen términos semejantes , el resultado es un sistema de dosecuaciones lineales con dos incógnitas:

-2y+3z =16 (1') -y +z =6 (2')

© Este sistema se resuelve con alguno de los métodos expuestos en leccionesanteriores . Por ejemplo , con el método de suma y resta:

Se multiplica la segunda ecuación por 2 y el resultado se resta a (1'):

-2y+3x=162(-y+z) =2(6) ' - -2y+2z=12

0 + z=4

Se reemplaza el valor de z en la ecuación (2'): -y + (4) = 6, entonces y = - 2.

Se sustituyen los valores de y y z en la ecuación que se obtuvo en el paso 1:

x=-5-(-2)+(4)=-5+2+4=1

La solución del sistema es x = 1, y = -2 y z = 4.

En general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelve así:

O Se despeja una incógnita en alguna ecuación.

© La incógnita despejada en el primer paso se sustituye en las otras dos ecua-ciones; el resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

© Se resuelve el sistema obtenido en el paso anterior y con la solución de és-te, se encuentra el valor de la incógnita despejada en el primer paso.

El perímetro de un triángulo es 18 centímetros. El lado mayor es dos unidadesmayor que el mediano y el mediano es dos unidades mayor que el pequeño.¿Cuánto miden los lados de la figura?

Si x es el lado mayor, y el mediano y z el pequeño, el planteamiento del proble-ma es el que sigue:

68

elve

ante

dos

, se

La solución del sistema está dada por los valores x = 8, y = 6 y z = 4.

© Se sustituye z en la primera ecuación:

x+y+(y-2)=18 x+2y-2=18»» x+2y=20

Las ecuaciones x + 2y = 20 y (2) tienen las mismas incógnitas. Entonces, sepuede resolver el sistema formado por ellas.

x+2y=20 (1') x-y=2 (2)

dos

n

z=y-2- ► z=6-2=4

nes

El perímetro es 18 cm: x + y + z = 18 (1)El lado mayor es dos unidades mayor que el mediano: - x - y = 2 (2)El lado mediano es dos unidades mayor que el pequeño: --s y - z = 2 (3)

Se despeja z en la tercera ecuación: z = y - 2.

La solución de este sistema es x = 8 y y = 6. Si se reemplaza el valor de y en laecuación encontrada en el paso 1, se obtiene el valor de z:

EJERCICIOS

l El-

Resuelve los sistemas de tres ecuaciones con tres incóg-nitas.

a)x+y-z=3x- y+ z= - 1x+ y+ z= 1

:

c) x+ 2y+ z= 23x+ y- z= 0x-2y-z=-4

e) 3x+ y- z= 2

:ua-

s-

2x- y- z= - 7x+ y+ z= 4

g) 3x+ 8y-z= 7x+ y-z= 4

x+ 2y+z= -5

i) x- y+ z= 153x- 2y+ z= 20

des x+ 4y- 3z=10año.

k) 2x- y+ z= 6-x+ 3y- z= -10

ble- 4x+ 7y+ 2z= 3

b) 2x- y+ z=4x+ y+ z= 7

2x+ 2y- z= 2

d) x+ y+ z= 5X- y- z= 1x- y+ z= 9

f) 2x- y+ z= 83x- 2y- z= 4x+ y+ z= 14

h) x+ y+ z= =12x- 10y+z=65x- 3y+ 5z= -5

j) 4x-4y+z=3x+ y-2z= -3

3x+ y-2z= 7

1) 5x+ 4y+ 2z= 35x- y+ 8z= -32

6x+ 5y- z= 54

Soluciona los siguientes problemas mediante sistemasde ecuaciones lineales con tres incógnitas.

a) María y José fueron a la tienda. María pagó $ 17.00por 5 dulces, 1 chocolate y 3 galletas. José pagó$ 16.00 por 2 dulces, 2 chocolates y 1 galleta. Siel precio de cada chocolate es el triple que el deuna galleta, ¿cuánto cuestan los dulces, los chocola-tes y las galletas?

b) Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo.La edad del padre es el triple que la del hijo, las eda-des del padre y del abuelo suman 102, y cinco vecesla edad del hijo excede en 10 años la del abuelo.

c) Una caja contiene clavos, tornillos y tuercas. El nú-mero de clavos es el triple que el de tornillos y lacantidad de tornillos es tres veces el de tuercas.¿Cuántos clavos, tornillos y tuercas hay en la caja sien total suman 1 872 objetos?

d) Un ciclista avanza a 25 kilómetros por hora en te-rreno plano, a 15 kilómetros por hora en subida ya 30 kilómetros por hora en bajada. Para recorreruna carretera de 100 kilómetros empleó 4 horas deida y 5.5 horas de regreso. ¿Cuántos kilómetros desubida, bajada y terreno plano tiene la carretera?

69

Factor común

Productosnotables yfactorización

Factorizaciónde un monomio

56)X3 17)Íg)x3

56x3

56xx2^ [2)(2)(2)(7)

Máximo factor común

24x3yz4 56y5z3

M.C.D.de 24 y 56

Factores comunes conel mínimo exponente

155

5

51

En ocasiones, es necesario expresar un monomio de manera que sus factores seindiquen explícitamente. A esto se llama factorizar un monomio . Por ejem-plo, las siguientes son factorizaciones de 6x2:

(3)(2)(x2) (6x)(x) (6x2)(1) (-3)(2)(-x)(x) (3)(2)(x)(x)

Cada producto es igual que W. La factorización de un monomio no es única.

Factorizar el monomio 8x5 de manera que un factor sea 2x2 . El proble-ma consiste en encontrar un monomio que multiplicado por 2x2 resulte 8x5.

Como (2)(4) = 8 y (x2)(x3) = x5, el monomio buscado es 4x3 pues (4x")(2x2) = 8x5.

Encontrar los factores comunes de los monomios x3 y x4.

Los factores de x3 son 1, x, x2 y x3, ya que (1)(x3) = x3 y (x)(x2) = x3.

Los factores de x4 son 1, x, x2, x3 y x4, pues (1)(x4) = x4, (x)(x3) = x4 y (x2)(x2) = x4.

Entonces, los factores comunes de los dos monomios son 1, x, x2 y x3.

x2y es factor común de 2x2y3 y 9x3y porque 2x2y3 = (x2y)(2y2) y 9x3y = (x2y)(9x).

El factor común de dos monomios es otro monomio que es factor de ambos.

El mayor factor común de dos o más monomios se llama máximo factor común.

Véase cómo se calcula el máximo factor común de 12x2zy3, -8x3y2w y 6x3y:

12x2zy3 -8x3y2w 6x3y

Q Se halla el máximo comúndivisor de las partes literales. ---> 12 8 6

© Se toman las variables comunesde cada monomio. x2y8

M.C.D. = 2

-x3y2 x3y

Se escogen las que tienen menor

2exponente. x y

27 T Se multiplica el M.C.D. de las partes 19 3 literales por las variables comunes elevadas3 3 l >- 2a menor exponente. 2x y1 5

M.C.D. (15, 27) = 3

70

Calcular el máximo factor común de 15x4y5z9 y 27x3y7zw. El M.C.D. (má-ximo común divisor) de 15 y 27 es 3 (se calcula a la izquierda) y las variablescomunes elevadas al menor exponente son x3, y5 y z. Entonces, el máximo fac-tor común es 3x3y5z.

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de un monomio por unpolinomio o de un polinomio por otro polinomio. Si un polinomio está formadopor monomios con factor común distinto de 1, se puede factorizar como el pro-ducto de un monomio y un polinomio. Por ejemplo:

ae

1

ac

1

E

ad

1

E

ad

T

s se

em-

Factorizar el polinomio 3x2y + 12x3y2 + 15xy.

Q Se obtiene el máximo factor común de los monomios que forman el polino-mio. El máximo factor común de 3x2y, 12x3y2 y 15xy es 3xy.

© Se factorizan los monomios como sigue: 3x2y = (3xy)(x), 12x3y2 = (3xy)(4x2 y)y 15xy = (3xy)(5).

ble-

8x5

© Se expresa el polinomio como producto del máximo factor común y la sumade los otros factores obtenidos en el paso 2:

3x2y + 12x3y2 + 15xy = (3xy)(x + 4x2y + 5)

Se puede comprobar si la factorización es correcta realizando el producto:

(3xy)(x + 4x2y + 5) = (3xy)(x) + (3xy)( 4x2y) + (3xy)(5) = 3x2y + 12x3y2 + 15xy

Factorizar el polinomio 4x3 - 12x2 + 18x.

O 2x es un máximo factor común de los monomios del polinomio.

© 4x3 = (2x)(2x2), - 12x2 = (2x)(-6x), 18x = (2x)(9)

© (4x3-12x2+18x)=(2x)(2x2-6x+9)

EJERCICIOS

1-1

Factoriza los siguientes monomios.

a) 4x2y b) 21 ab3 c) 48abx5y2 d) 60x3yz2e) 8Z2W2V f ) 15x5yz3 g) 23r4st2 h) 20x3y4z

Encuentra el factor que falta en cada caso.

a) 4x2y2 = (-4xy)( ) b) 4x2y2 = (2y)(c) 4x2y2 = (4x)( - - ) d) 4x2y2 = (2xy)( )

91

Escribe tres factorizaciones de cada monomio.

á- a) -16x2y3 b) -18 U4 c) 125 U' 3 V2lesac-

d) -25y3z3 e) -60x8 f) 240a14be

unadokro-

Encuentra el máximo factor común de cada pareja.

a) 8X3 y 6x8 b) 24a2 y 14a6 c) x100 y x99d) 4a2by22a3b5e) 35u7v15y56uv16f) 4x6y 2x3

.. l

Expresa cada binomio como producto de factores, talque uno de ellos sea el máximo factor común.

a) 5 + 15x b) 26 - 39yc) 42x+ 48y d) 56x+ 57ye) 3xy2-9x2y f) 1 Oxa + 7 xag) x+ x2 h ) 4x- 8x2i) 8x + 14x2 j) X- x2k) X2 + X3 1 5X3- 15X4

m)a2b3 + 9ab4 n) óab - 27ab2ñ) 64u6v5 + 28u5v6 0) 6x2y- óxy2p) 2x2y2+ 4xy q) a2b2c2 + 2abc

Expresa los polinomios como producto de factores, talque uno de ellos sea el máximo factor común.

a) 2x + 6x2 -8x3 b) 10X2 + 16x3 -28x4c) ]2x+ 26x2 -18x5 d ) 7x5 -14x8 -21 x'0e) 2x6 + 4x4 + 8x2 f) xy2 - x2y- x2y2g) 25X3y3+ 50X3y4- 75X2y3h) 11y4 -33y5 -121y8i ) óxy 5 + 3 yx4 +9x2j )-Zy2 - Z3y+ Zx4y2

71