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Preparación Mecánica de Minerales – Jaime Tapia Quezada

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE - CHILE

INGENIERIA DE EJECUCION EN METALURGIA EXTRACTIVA

CAPITULO 3

CARACTERIZACION DE PARTICULAS Y SUSPENCIONES


3.1 CARATERIZACION DE PARTICULAS Y CONJUNTOS DE PARTICULAS

La caracterización de partículas y conjuntos de partículas es muy importante en el Procesamiento de Minerales, ya que el tamaño se usa como una medida de control para la conminución que tiene como finalidad la liberación de las especies de interés.

La conminución tiene un alto costo, por lo que se debe evitar una sobreliberación o subliberación de la especie de interés la subliberación ocurre cuando el grado de reducción de la partícula no es suficiente para liberar completamente a la especie de interés.

En cambio, la sobreliberación ocurre cuando el grado de reducción de la partícula

es mayor que el necesario para liberar completamente la partícula. La figura 3.1 muestra un esquema de cada caso:

Fig. 3.1 Representación de los grados de reducción de una partícula.

Para medir el grado de liberación se usa el tamaño de la partícula debido a su

relativa facilidad de medición.

El tamaño de una partícula es igual a una dimensión representativa de su volumen en formas geométricas regulares. Ejemplo: Esfera = el tamaño puede describirse por su diámetro. Las partículas molidas o chancadas son irregulares, por lo que se recurre a un diámetro nominal el que se puede definir de distintas formas. 3.1.1).- Diámetro basado en 1 dimensión lineal:

a).- Diámetro de Feret (df): Valor de la distancia entre 2 paralelas tangentes a la silueta proyectada de la partícula y que son perpendiculares a una dirección fija.


Fig. 3.2 Representación del Diámetro de Feret.

b).- Diámetro de Martin (dM): Largo de la línea paralela a una dirección fija que

divide la silueta proyectada en 2 partes iguales.

Fig. 3.3 Representación del Diámetro de Martin.

c).- Diámetro Máximo y Mínimo Lineal: Corresponden a la máxima y mínima

dimensión lineal de una partícula.

Fig. 3.4 Representación de los diámetros máximo y mínimo lineal.


2).- Diámetro Basado en el Volumen (dV): Corresponde al diámetro de una esfera que tiene el mismo volumen V que la partícula.

(3.1) 3).- Diámetro Basado en el Area Superficial (dA): Corresponde al diámetro de una esfera

que tiene la misma área superficial A que la partícula.

(3.2) 4).- Diámetro de Sedimentación (dS): Es el diámetro de una esfera que tiene la misma

densidad y velocidad de sedimentación que la partícula en un fluido de la misma densidad y viscosidad.

5).- Diámetro de Stokes (dst): Es el diámetro de sedimentación en un fluido laminar.

(3.3)


6).- Diámetro Basado en el Area Proyectada de la Partícula (dAP): Diámetro de un círculo que tiene la misma área que la proyección de la partícula.

(3.4) 7).- Diámetro Basado en el Perímetro (dPer): Diámetro del círculo que tiene el mismo

perímetro que la proyección de la partícula.

(3.5) 8).- Diámetro de Tamizaje (dt): Ancho de la mínima abertura cuadrada a través de la cual

pasará la partícula.

3.2 FORMA DE LAS PARTICULAS

Para caracterizar totalmente las partículas se debe indicar la forma que tienen. En efecto, la forma de las partículas puede afectar fuertemente la clasificación por tamaños. Una partícula angular puede ser clasificada en diferentes formatos según la manera en la que enfrente a la abertura de un harnero o tamiz.

Esto se aprecia en la siguiente figura:

Fig. 3.5 Efecto de la forma en la clasificación de partículas. .


a).- Partícula retenida. b).- Partícula pasa una abertura mucho menor que la anterior.

Ejemplo: Volumen de una partícula = 1[m3]. Determine sus dimensiones para:

a).- Un cubo. b).- Una placa cuyos lados están en las razones a:b:c = 1:10:1000

Resultado: Dos figuras, un cubo y un paralelepípedo aplanado que a pesar de su forma tan

distinta, ocupan el mismo volumen en el espacio.

Para definir la forma de una partícula, generalmente se recurre al concepto de esfericidad Ψ, que se define:

(3.6)

Como la esfera es la forma geométrica que tiene la menor razón superficie/volumen, se tiene que el rango de Ψ será de 0 a 1.

Tabla 3.1 Valores de Esfericidad

Tipo de Partícula Ψ Partículas redondeadas (arenas, polvos, etc.) Partículas angulares (caliza, piedra, carbón, sales arena)Partículas laminares (yeso, talco, etc.) Láminas (mica, grafito, etc.)

0.8 – 0.9 0.6 – 0.7 0.5 – 0.55 0.2 – 0.3


3.3 DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE PARTICULAS

En una corriente de mineral vienen partículas de distintos tamaños, es decir, una distribución de tamaños. Las partículas típicas en el Procesamiento de Minerales son irregulares, entonces para describirlas se requiere de ciertas funciones, como la función de densidad e integrales. Ambas tienen un comportamiento análogo a la función de probabilidad.

Para interpretar un conjunto de partículas se define la función densidad de tamaño de partícula f(d). Un esquema representativo se muestra en la figura siguiente:

Fig. 3.6 Función densidad de tamaño de partículas Físicamente f(d)d(d) es igual la fracción de partículas de una población con

tamaño diferencial variando entre d y (d + d(d)). Por ejemplo: 0,2 significa que el 20% del total de la población está entre d y (d + d(d)).

F(d') representa la fracción de partículas en una población con tamaño que varía entre 0 ó d(mínimo) y d'. Por ejemplo: F(d') = 0,7 significa que un 70% del total de la población están entre 0 o dmin. y d'.


Propiedades de F(d'): Esta función cumple las siguientes propiedades: a).- F(dmax.) = 1,0 porque todas las partículas están entre 0 o dmin. y dmax. b).- c).- F(db) - F(da) = Fracción de partículas entre tamaño da y db (con db > da).

3.4 Aproximación Discreta a la Función Densidad y de Distribución

En la práctica es innecesario o imposible determinar la función completa de densidad de tamaño o la función distribución de tamaño. Para efectos prácticos puede determinarse la aproximación determinando las fracciones de partículas en una serie de intervalos discretos de tamaño. Esto se puede apreciar en la figura siguiente:

Fig. 3.7 Representación de una serie de intervalos discretos

De esta forma, se obtiene fi que es igual a la fracción de partículas en el i-ésimo intervalo. Así se obtiene una aproximación discreta a las funciones densidad y distribución a través de la siguiente expresión:

(3.7)


L a función distribución discreta se escribe como:

(3.8)

A cada intervalo se le define un tamaño promedio d*i para que se cumpla que:

(3.9)

Este tamaño d*i puede ser:

1).- Promedio Aritmético: (3.10) 2).- Promedio Geométrico: (3.11) 3).- Promedio Armónico: (3.12)


La aproximación discreta a la función continua, tiene la forma siguiente:

Fig. 3.8 Aproximación discreta a la función densidad continua

La aproximación mejora cuando aumenta el número de intervalos considerados. El promedio de la función continua se calcula desde la siguiente ecuación:

(3.13)

Mientras que la varianza se calcula desde la expresión:

(3.14)

La razón es igual al Coeficiente de Variación (CV) de la distribución y nos indica una medida de la dispersión normalizada de la distribución.


Tarea: Dibuje el efecto de la desviación standard (varianza) sobre la forma de la función densidad en términos del CV.

3.5 INTERVALOS DE TAMAÑOS

La definición de los intervalos de tamaños es muy importante si se desea obtener una buena aproximación a la distribución con un mínimo de intervalos. Para rangos amplios de tamaño una progresión geométrica es mucho más realista que una serie geométrica. Consideremos el caso de una muestra de partículas subdividida en intervalos de tamaño dados por las siguientes series:

Intervalo Serie Aritmética

Serie Geométrica

1 2 3 4 5 6

0 -10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60

5 15 25 35 45 55

1 - 2 2 - 4 4 - 8

8 - 16 16 - 32 32 - 64

1,5 3 6

12 24 48

La serie aritmética tiene una razón entre sus valores promedios que tiende a 1.

Esto se acentúa aún más para rangos amplios de tamaño (como las distribuciones encontradas en procesamiento de minerales), donde el rango de interés puede incluir un factor de 1.000 veces o incluso mayor.

La serie geométrica en cambio tiene una razón constante de 2:1 entre los valores promedio de cada intervalo.

Esta permita apreciar de igual forma al material que se encuentra en el intervalo 2 - 4 como el que se encuentra en el intervalo 32 – 64. Esto es muy importante ya que permite apreciar las fracciones de tamaños tanto en rangos amplios (tamaños gruesos), como en rangos estrechos (tamaños finos), que es donde se encuentran las partículas de interés.

3.6 CANTIDAD POBLACIONAL

La función densidad fi o la acumulada Fi puede representar cualquier propiedad. Las de uso más común son:

• Masa (Volumen) • Area Superficial • Longitud • Número de Partículas


Debido a la facilidad de medida, la Masa es la más práctica o fácil para partículas pequeñas mientras que el Número puede ser adecuado para partículas grandes.

La función densidad discreta se va a representar por:

fq(d)d(d) (3.15) donde q representa la cantidad poblacional y corresponde a:

q = 0 -- Número de Partícula q = 1 -- Longitud q = 2 -- Area Superficial q = 3 -- Masa (Volumen)

Las funciones descritas equivalentes son entonces:

f0i = f0(di) f1i = f1(di) f2i = f2(di) f3i = f3(di)

Definición: fqi: Corresponde a la fracción de partículas basados en la propiedad q que se encuentra en

el intervalo de tamaño di a di+1.

Las funciones fqi para diferentes propiedades se relacionan entre si a través de la siguiente ecuación:

(3.16)

La propiedad más utilizada es la masa de material retenida por intervalo de tamaños, debido a que es fácil de medir.

Así las funciones más usadas son f3i, F3i y R3i que se definen como sigue:

f3i (fracción retenida parcial) = Fracción en peso del total de la muestra que queda

retenida en un tamiz i. F3i (función acumulado pasante) = Representa a todas las partículas inferiores al tamaño

de la abertura del tamiz i.


R3i (función retenido acumulado) = Representa partículas mayores que el tamiz i.

f32 = 0,25 (Significa que le 25% del peso total de una muestra se encuentra en el segundo intervalo)

3.6 FRACCION RETENIDA PARCIAL (f3i)

La fracción retenida parcial se denota por f3i, y se calcula de la siguiente manera:

(3.17)

También se puede expresar en %

Tabla 3.2 Ejemplo de tarea

Determinar f3i considerando que han quedado retenido los siguientes pesos en los tamices y fondo:

Tamiz Cant. Ret. F3iTamiz 1 50 [grs.] Tamiz 2 75 [grs.] Tamiz 3 50 [grs.] Fondo 25 [grs.]

Gramos totales Tamizados 200 [grs.]

3.7 FRACCION RETENIDA ACUMULADA (R3i)

Matemáticamente R3i se define como la sumatoria de fracciones parciales desde el primer tamiz hasta el tamiz i:

(3.18) Nota: También los resultados de R3i pueden ser expresados en %. Siempre para el fondo,

el valor de R3i debe ser 1,0 ó 100%.


Hacer ejemplo considerando los mismos datos anteriores.

3.8 FRACCION PASANTE ACUMULADA (F3i)

Corresponde justamente a lo contrario de R3i, es decir, representa la totalidad del material pasante a través de cierta malla o tamiz. Matemáticamente:

(3.19)

Hacer ejemplo para tamiz 3, donde R3i es 0.875

Respuesta: F3i = 1 - 0,875 = 0,125 = 12,5% lo que significa que el material pasante a

través de ésta malla es sólo el 12,5%.

3.9 CONSTRUCCION TABLA DE ANALISIS GRANULOMETRICO O TAMIZAJE .

En la tabla de Análisis Granulométrico se debe incluir información como el número

de malla y la serie, su abertura, la cantidad de material retenido en cada tamiz, para después calcular los tamaños promedio de partículas y las fracciones retenidas parcial, acumulada y pasante acumulada.

En los gráficos se debe considerar las fracciones (retenida o pasante) en el eje vertical (ordenadas) mientras que los tamaños o aberturas en el eje horizontal (abcisas).


Tabla 3.3 Tabla de análisis granulométrico tipo (Masa: 400[grs.])

Malla #

Abertura (µm)

Intervalo Rango de Tamaño

Intervalo Diámetro Abertura

di* (µm)

Retenido(grs.)

Retenidof3i

Acumulado Pasante

F3i

Retenido Acumulado

R3i 8 2360 +8 +2360 2571 12,3 3,1% 96,9% 3,1% 10 1700 -8+10 -2360+1700 2003 67,6 16,9% 80,0% 20,0% 14 1180 -10+14 -1700+1180 1416 68,8 17,2% 62,8% 37,2% 20 850 -14+20 -1180+850 1001 55,6 13,9% 48,9% 51,1% 28 600 -20+28 -850+600 714 40,8 10,2% 38,7% 61,3% 35 425 -28+35 -600+425 505 32,8 8,2% 30,5% 69,5% 48 300 -35+48 -425+300 357 25,6 6,4% 24,1% 75,9% 65 212 -48+65 -300+212 252 18,0 4,5% 19,6% 80,4% 100 150 -65+100 -212+150 178 15,2 3,8% 15,8% 84,2% 150 106 -100+150 -150+106 126 12,4 3,1% 12,7% 87,3% 200 75 -150+200 -106+75 89 7,6 1,9% 10,8% 89,2%

38 -200 -75 53 43,3 10,8% 0,0% 100,0%

3.10 REPRESENTACIONES GRAFICAS a).- Gráfico de Fracción Retenida f3i v/s diámetro promedio del intervalo.


b).- Gráfico de Acumulado Pasante F3i v/s diámetro superior del intervalo.

Siempre pendiente positiva, puede ser cualquiera de las 3 curvas. c).- Gráfico del Retenido Acumulado R3i v/s diámetro superior del intervalo.

Siempre pendiente negativa, puede ser cualquiera de las 3 curvas.

3.11 FUNCIONES DE REPRESENTACIONES GRAFICAS

Entre las formas más comunes de representaciones gráficas usadas en procesamiento de minerales, tenemos la función de Gates-Gaudin-Schuhmann, la función de Rosin-Rammler, la función Logaritmo Normal y la función Gamma. a).- Función de Gates-Gaudin-Schuhmann

La función de Schuhmann es la distribución más usada en América para representar distribuciones de tamaño obtenidas por tamizaje (distribución en peso o masa).


Esta función se define como:

(3.20)

Donde: dmax : Módulo del tamaño (Tamaño máximo de la distribución). d : Módulo de la distribución (pendiente)

La transformación logarítmica de esta ecuación es:

(3.21)

Una distribución de tamaño que cumple con esta función va a tener la forma

siguiente:

La pendiente varía entre 0,7 - 1,2

Fig. 3.9 Representación de la función de Schuhmann


Ejemplo: Si dmax = 5230[µm] y m = 0,9 F3(d) = (d/5230)0,9 F3(4000) = (4000/5230)0,9 = 0,7856 = 78,56, es decir, el 78,56% del

material tiene un tamaño menor a 4000[µm].

b).- Función de Rosin-Rammler

La función de Rosin-Rammler es muy usada en Europa para representar la distribución en peso (o masa) de sistemas particulados.

Esta función tiene la forma:

(3.22)

Donde: l = tamaño característico (L) m = Coeficiente de la distribución.

Esta ecuación se puede transformar de modo que un gráfico de:

(3.23)


Resultará en una línea recta si los datos experimentales son bien representados por la función de R-R.

Fig. 3.10 Representación de la función de R-R Donde: m es la pendiente y F3(d) = 0,63212 cuando d = l, lo que permite determinar l

de la figura anterior.

Otras alternativas son la Función Gamma y la Función Logaritmo-Normal.

3.12 ELEMENTOS DE TAMIZAJE DE MINERALES

ANTECEDENTES

• El tamizaje es la técnica más usada para determinar distribuciones de tamaño (por que es la más eficiente).

• El tamaño de la partícula está determinado por el tamaño de las aberturas del tamiz. • Puede realizarse en seco, en húmedo o en una combinación de ambos. • Consiste en agitar mecánicamente un conjunto de tamices con una muestra de

mineral representativa. • Para cada mineral se debe determinar en forma experimental la cantidad de muestra,

número de tamices y tiempo de tamizaje.


3.12.1 TAMAÑOS DE PARTICULAS

• BASADO EN UNA DIMENSION LINEAL: Feret, Martin, Máximo Lineal, Mínimo Lineal.

• BASADO EN EL VOLUMEN: Tamaño volumétrico. • BASADO EN EL AREA: Tamaño superficial. • DE STOKES • DE TAMIZAJE: Ancho de la Mínima Abertura Cuadrada a Través de la cual Pasará la

Partícula. • CONCLUSION: El diámetro o tamaño de tamizaje es una de los distintos tipos de

tamaño que existen. 3.12.2 FORMA DE PARTICULAS

• Se representa a través de la esfericidad. • Mientras más redondeada, más cercano a 1.0 es el valor de le esfericidad. • Para partículas aplanadas, este valor se aproxima a 0.

3.12.3 TAMICES

• Recipientes metálicos de 8” a 12” de diámetro, equipados con una malla con aberturas cuadradas.

• Número de malla: Número de aberturas cuadradas en el tamiz por pulgada lineal. • Malla 100: Hay 100 aberturas en la malla en una pulgada lineal. • Entonces, abertura: 2.54/100 = 0.0254 [cm.] - diámetro del alambre = 0.15[mm.] • Entonces, para separar partículas más finas deben usarse mallas de número mayor. • Realizan la misma función que los harneros, es decir, separan las partículas de una

cierta muestra o corriente de partículas según sus respectivos tamaños. Marcas de Tamices: Tyler, Dual, Reicotex, ATM, Retsch, etc. 3.12.4 CINETICA DE TAMIZAJE

• El proceso de tamizaje varía en el tiempo debido a los efectos que tiene el proceso en las características del material. Para que se realice un adecuado proceso de tamizaje deben cumplirse las siguientes condiciones:

a) La partícula debe tener la oportunidad de enfrentar la abertura. b) Si las partículas son menores que la abertura, están bien orientadas y no está

tapada la abertura, entonces pasarán al tamiz más fino.


¿Cuánto es el tiempo óptimo de tamizaje? 3.12.5 PROBLEMAS DE TAMIZAJE

El proceso de tamizaje tiene los siguientes problemas:

a) Cegado de Tamiz: Las aberturas del tamiz pueden taparse con partículas atrapadas en la malla de alambre.

b) Abrasión del Material: El material blando se va desgastando por efectos de la abrasión por lo que nunca se alcanza el equilibrio.

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