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NDICE

I. DINMICA DE FLUIDOS O HIDRODINMICA

II. FLUJOS INCOMPRESIBLES Y SIN ROZAMIENTO

III. ECUACIN DE BERNOULLI

IV. ECUACIN DE CONTINUIDAD

V. TEOREMA DE TORRICELLI

VI. NMERO DE REYNOLDS

VII. APLICACIONES A DISPOSITIVOS TECNOLGICOS DE INTERES Y AL

FUNCIONAMIENTO DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR

APLICACIONES TECNOLGICAS

VIII. FLUJOS VISCOSOS: MOVIMIENTO LAMINAR Y TURBULENTO

IX. LEY DE POISEUILLE

X. FLUJOS DE LA CAPA LMITE

XI. FLUJOS COMPRESIBLES

XII. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRODINMICA

XIII. ANEXOS

XIV. BIBLIOGRAFA


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INTRODUCCIN

El estudio de la hidrosttica e hidrodinmica tiene vital importancia para la humanidad

ya que sin ella ciencias como hidrulica no existiran, y es esta ciencia precisamente la

que se encarga del estudio y distribucin de agua potable.

Los principios fsicos ms tiles en las aplicaciones de la mecnica de fluidos son elbalance de materia, o ecuacin de continuidad, las ecuaciones del balance de cantidad

de movimiento y el balance de energa mecnica. Pueden escribirse de forma

diferencial, mostrando las condiciones en un punto del interior de un elemento de

volumen, o bien de forma integrada, aplicable a un volumen o masa finitos de fluido.

La hidrodinmica, no solo aplicable a agua, sirve para el desarrollo en ingeniera del

automvil al hacer este ms eficiente.

A grandes rasgos, estas ciencias se encargan del estudio de nuestro ms vital lquido y

es por esto que son imprescindibles.


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RESUMEN

La hidrodinmica es la parte de la fsica que estudia el movimiento de los fluidos. Este

movimiento est definido por un campo vectorial de velocidades correspondientes a

las partculas del fluido y de un campo escalar de presiones, correspondientes a los

distintos puntos del mismo. Existen diversos tipos de fluidos:

Flujo de fluidos a rgimen permanente o intermitente: aqu se tiene en cuenta la

velocidad de las partculas del fluido, ya sea esta cte. o no con respecto al tiempo

Flujo de fluidos compresible o incompresible: se tiene en cuenta a la densidad, de

forma que los gases son fcilmente compresibles, al contrario que los lquidos cuya

densidad es prcticamente cte. en el tiempo.

Flujo de fluidos viscoso o no viscoso: el viscoso es aquel que no fluye con facilidad

teniendo una gran viscosidad. En este caso se disipa energa.

Viscosidad cero significa que el fluido fluye con total facilidad sin que haya disipacin

de energa. Los fluidos no viscosos incompresibles se denominan fluidos ideales.

Flujo de fluidos rotaciones o irrotacional: es rotaciones cuando la partcula o parte del

fluido presenta movimientos de rotacin y traslacin. Irrotacional es cuando el fluido

no cumple las caractersticas anteriores.


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Otro concepto de importancia en el tema son las lneas de corriente que sirven para

representar la trayectoria de las partculas del fluido. Esta se define como una lnea

trazada en el fluido, de modo que una tangente a la lnea de corriente en cualquier

punto sea paralela a la velocidad del fluido en tal punto. Dentro de las lneas decorriente se puede determinar una regin tubular del fluido cuyas paredes son lneas

de corriente. A esta regin se le denomina tubo de flujo.


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HIDRODIN ICA

F s c

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DIN ICA DE FL IDOS O HIDRODIN ICA

s e ec c e s se c e s eyes e s s e

v e ; es s eyes s e e e e c ej s y e c

e e c c c y e s c s e s

s c ce s s c s

e e e e e ec ce e s eyes c s s s s e ee es se e e v e ese c s se s e e e es c es e

e e es ec s se e e es ec s e ec s e e y v sc s S

e c es c es s e e c s e s s e es e v e s

es s e c ss s e e se v c es c j s e s e

s e ec s e v sc s s e e s


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a) Flujos incompresibles y sin rozamiento

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energa

mecnica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a

lo largo de una lnea de corriente. Las lneas de corriente son lneas de flujo imaginarias

que siempre son paralelas a la direccin del flujo en cada punto, y en el caso de flujo

uniforme coinciden con la trayectoria de las partculas individuales de fluido. El

teorema de Bernoulli implica una relacin entre los efectos de la presin, la velocidad

y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presin disminuye. Este

principio es importante para predecir la fuerza de sustentacin de un ala en vuelo.

Etimolgicamente, la hidrodinmica es la dinmica del agua, puesto que el prefijo

griego "hidro-" significa "agua". Aun as, tambin incluye el estudio de la dinmica de

otros fluidos. Para ello se consideran entre otras cosas la velocidad, presin, flujo y

gasto del fluido. Para el estudio de la hidrodinmica normalmente se consideran tres

aproximaciones importantes:

y Que el fluido es un lquido incompresible, es decir, que su densidad no vara

con el cambio de presin, a diferencia de lo que ocurre con los gases.

y Se considera despreciable la prdida de energa por la viscosidad, ya que se

supone que un lquido es ptimo para fluir y esta prdida es mucho menor

comparndola con la inercia de su movimiento.

y Se supone que el flujo de los lquidos es en rgimen estable o estacionario, es

decir, que la velocidad del lquido en un punto es independiente del tiempo.

La hidrodinmica tiene numerosas aplicaciones industriales, como dise o de canales,

construccin de puertos y presas, fabricacin de barcos, turbinas, etc.

El gasto o caudal es una de las magnitudes principales en el estudio de la

hidrodinmica. Se define como el volumen de lquido V que fluye por unidad de

tiempo t. Sus unidades en el Sistema Internacional son los m3/s y su expresin

matemtica:


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F s c

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s s e e s e c e e s c c e

c e e v e e e e e e e e s c e c

e

T e e e c se e s s e e e c

e e e Be es c sec e c e c se v c e e e e s

s e v e s ece e e c es e y v sc s

s e es s c e e c c e v e y e e

e c v e v e es c s e e ec c s ec e c e s v e c e e s

e c c S e es e c es

ePes la pres hidros ica, la de sidad, g la aceleracin de la gravedad,h la

altura del punto yv la velocidad del fluido en ese punto. Los subndices 1 y 2 se

refieren a los dos puntos del circuito.


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La otra ecuacin que cumplen los fluidos no compresibles es la ecu cin decontinuid d, queestablece queel caudal esconstante a lo largo de todo el circuito

hidrulico:

G =A1v1 =A2v2

DondeA es el rea de la seccin del conducto por donde circula el fluido yv su

velocidad media.


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En el caso de fluidos compresibles, donde la ecuacin de Bernoulli no es vlida, es

necesario utilizar la formulacin ms completa de Navier y Stokes. Estas ecuaciones

son la e presin matemtica de la conservacin demasa y decantidad de movimiento.

Para fluidos compresibles pero no viscosos, tambin llamados fluidos coloidales, se

reducen a lasecuaciones de Euler.

Daniel Bernoulli fue un matemtico que realiz estudios de dinmica.

La hidrodinmica o fluidos en movimientos presentan varias caractersticas que

pueden ser descritas por ecuaciones matemticas muysencillas.

La Ecuacin de Bernoulli permite que a lo largo de un flujo los trestrminos

e perimenten modificaciones por intercambio de unosvaloresconotros, pero siempre

debe mantenerse la suma total.Por ejemplo, en la situacin A,los puntos 1 y2 poseen

la mismapresin (la atmosfrica), por loqueseestara produciendo unatransformacin

deenerga cintica en energa de posicin.En B, los dos puntos poseen lamisma cota,

pero v2


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ECUACIN DE BERNOULLI

Para el caso de un flujo irracional a rgimen permanente de un fluido incompresible no

viscoso, es posible caracterizar el fluido en cualquier punto de su movimiento si se

especifica su rapidez, presin y elevacin. Estas tres variables se relacionan con la

ecuacin de Bernoulli (1700 -1782). En este caso hay que tener en cuenta dos

consideraciones:

Siempre que un fluido se desplace en un tubo horizontal y se encuentre en

una regin donde se reduce la seccin transversal entonces hay una cada de presin

del fluido.

Si el fluido se somete a un aumento en su elevacin, entonces la presin en la

parte inferior es mayor que la presin en la parte superior. El fundamento de esta

afirmacin es el estudio de la esttica de fluidos. Esto es verdad siempre y cuando no

cambie la seccin transversal del tubo.

La ecuacin de Bernoulli se postula como: en dos puntos de la lnea de corriente en

un fluido en movimiento, bajo la accin de la gravedad, se verifica que la diferencia de

las presiones hidrodinmicos es igual al peso de una columna de fluido de base unidad

y altura la diferencia entre los dos puntos.

La ecuacin de Bernoulli tiene las siguientes propiedades:

Modificar la altura significa una compensacin en la variacin de la presin o

en la velocidad.


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La velocidad en un tubo deseccin cte. es tambin constante.

El principio deconservacin deenerga permite utilizar la ecuacin en tubos

rectosy deseccin transversal constante o en tubos deseccin variable.

Para aplicar esta ecuacin es esencial identificar las lneas de corriente y

seleccionar unasestaciones definidas agua arriba y abajo en el fluido. Lasestacionesse

eligen por conveniencia.

TEOREMA DE TORRICELLI

Es una aplicacin de Bernoulli y estudia el flujo de un lquido contenido en un

recipiente, a travs de un pequeo orificio, bajo la accin de la gravedad.

A partir del teorema deTorricelli se puedecalcular el caudal desalida de un lquido por

un orificio. la velocidad de un lquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que

tendra un cuerpo cualquiera, cayendo librementeen el vaco desdeel nivel del lquido

hasta el centro de gravedad del orificio:


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LEY DE TORRICELLI:Si en un recipiente que no est tapado seencuentra un fluido yse

le abre al recipiente un orificio la velocidad con quecaer ese fluido ser:

La otra ecuacin matemtica que describe a los fluidosen movimiento esel nmero de

Reynolds


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N MERO DE REYNOLDS

La distincin entre los dos tipos de flujos fue inicialmente demostrada por Reynold en

1883. Sumergi un tubo horizontal devidrio en un tanque devidrio lleno de agua;el

flujo de agua a travs del tubo se poda controlar mediante una vlvula. La entradadel

tubo controlaba la entrada de un fino haz de agua coloreada en la entrada decorriente

del flujo. Reynoldsencontr que para bajas velocidades de flujo, el chorro de agua

coloreada circulaba inalterado a lo largo de la corriente principal sin quese produjese

mezcla alguna. Entonces el flujo era laminar. Al aumentar la velocidad se alcanzaba

una velocidad crtica, difuminndose la vena coloreada. Esto quiere decir queel flujo

ya no circulaba de forma laminar sino que se haba alcanzado un movimiento

turbulento.

Reynolds estudi las condiciones por las que se produce el cambio de un tipo de

movimiento a otro y encontr que la velocidad crtica, para la que el flujo pasa de

laminar a turbulento, depende decuatro variables: el dimetro del tubo, ascomola

viscosidad, la densidad, y la velocidad lineal media del lquido.


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Esto dio lugar a la expresin siguiente:

NRe = (v d) /

Experimentalmente se comprueba que el rgimen es laminar para velocidades

peque as y de alta viscosidad, y turbulento todo lo contrario. Asimismo la viscosidad

influye en que el movimiento de un fluido pueda ser laminar o turbulento.

El valor del nmero de Reynolds, Re, es dimensional y su valor es independiente de las

unidades utilizadas con tal de que sean consistentes.

Para re < 2100 tenemos flujo laminar

Para re > 4000 tenemos flujo turbulento.

Para 2100 < re < 4000 existe una zona de transicin, donde el tipo de flujo puede ser

tanto laminar como turbulento.

Esta ecuacin solo debe utilizarse para fluidos de tipo newtoniano, es decir, la mayora

de lquidos y gases Sin embargo los hay no newtonianos, los cuales no tienen un nico

valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante.


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APLICACIONES A DISPOSITIVOS TECNOLGICOS DE INTERES Y AL FUNCIONAMIENTO

DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR

APLICACIONES TECNOLGICAS

EFECTO VENTURI

Es una consecuencia del teorema de Bernoulli, que consiste en que los

estrechamientos de una tubera, se produce un aumento de la velocidad del lquido y

como consecuencia una disminucin de presin.

VENTURMETRO

Dispositivo que se utiliza para medir el caudal del fluido. Para ello se practica un suave

estrechamiento y se coloca un manmetro diferencial entre esa zona y otra de la

tubera.

TROMPA DE AGUA

iene el funcionamiento de un efecto Venturi. En este caso se considera una corriente

de agua que pasa por un tubo que se estrecha en su extremo para aumentar la

velocidad del lquido. El gas exterior penetra por la parte abier ta y es arrastrado por la

corriente. Si este conjunto se pone en comunicacin con un recinto cerrado, se

produce en l un vaco.


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TUBO DE PITOT

Sirve para medir la velocidad de corriente de un lquido, introduciendo en el tubo un

peque o tubo de vidrio doblado y en el que se puede efectuar una medida de las

distancias entre los niveles superiores del lquido en sus dos ramas. Este dispositivo se

emplea en el estudio de velocidades de aviones etc. Un dispositivo muy parecido a el

es la Sonda de Prandtl.

MECHERO DE BUNSEN

El gas inflamable sale a gran velocidad por un estrecho orificio, verificndose una

succin de aire exterior. La admisin del aire puede ser controlada por un orificio.

FUERZA SUSTENTADORA DE UN AVIN O EFECTO MAGNUS

En su avance por el aire el avin produce unas lneas de corriente, que se aproximan

entre s por la parte superior del ala ms de lo que est en la parte inferior. Dicho de

otra forma, las lneas de corriente se distribuirn ahora de forma que la velocidad de

las capas superiores es superior a la de las capas inferiores y la presin, por tanto, en la

parte inferior ser superior. En el caso del avin, la fuerza debida a la presin en la

zona inferior (hacia arriba) es mayor que en la parte superior (hacia abajo)

originndose una fuerza sustentadora que compensa el peso.


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VISCOSMETRO

Son aparatos cuya finalidad es medir viscosidades relativas. l ms importante es el

viscosmetro de Ostwald que mide la viscosidad a partir del tiempo que tarda en fluir

una cierta cantidad de lquido a travs de los enrases de un aparato dise ado para este

fin. Su fundamento est en la ecuacin de Poiseuille. El valor de referencia en estos

aparatos es la densidad del agua.

SISTEMA CARDIOVASCULAR

Uno de sus parmetros es la viscosidad. El aparato normalmente utilizado es el

viscosmetro de Hess. Un aumento de la viscosidad implica un aumento de la

hipertensin arterial, originado por un aumento de CO2 en la sangre. Si hay una

disminucin de la viscosidad, esto va implicado con una disminucin de hematies. En

definitiva las medidas de viscosidad en sangre, revelan informacin sobre el

funcionamiento de nuestro organismo.

El principio de continuidad se cumple en el sistema cardiovascular, para as poder

garantizar la uniformidad de la tensin sangunea.


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b Flujos viscosos: movimientol min y tu bulento

Los primerose perimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos

de baja velocidad a travs de tuberas fueron realizados independientemente por

Poiseuilley por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir losefectos

de la viscosidad en las ecuaciones matemticas se debi a Navier e,

independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccion las ecuaciones

bsicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como

ecuaciones de Navier-Stokes, yson tan complejas queslo se pueden aplicar a flujos

sencillos. Uno deellosesel de un fluido real quecircula a travs de una tubera recta.

El teorema deBernoulli no se puede aplicar aqu,porque parte de la energa mecnica

total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una cada de

presin a lo largo de la tubera. Lasecuacionessugieren que, dados una tubera y un

fluido determinados, esta cada de presin debera ser proporcional a la velocidad de

flujo. Lose perimentos demostraron queesto slo era cierto para velocidades bajas;

para velocidades mayores, la cada de presin era ms bien proporcional al cuadradode la velocidad.

Este problema se resolvi cuando Reynolds demostr la e istencia de dos tipos de flujo

viscoso en tuberas. A velocidades bajas, las partculas del fluido siguen las lneas de


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corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las

predicciones analticas. A velocidades ms elevadas, surgen fluctuaciones en la

velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la

actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds tambin determin que la transicin del flujo laminar al turbulento era

funcin de un nico parmetro, que desde entonces se conoce como nmero de

Reynolds. Si el nmero de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la

velocidad, la densidad del fluido y el dimetro de la tubera di vidido entre la viscosidad

del fluido) es menor de 2.000, el flujo a travs de la tubera es siempre laminar cuando

los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de nmero de

Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecnica de fluidos.

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones

calculadas, y su anlisis depende de una combinacin de datos experimentales y

modelos matemticos gran parte de la investigacin moderna en mecnica de fluidos

est dedicada a una mejor formulacin de la turbulencia. Puede observarse latransicin del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando

el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un

movimiento laminar a lo largo de lneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia

se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

Ecuacin de Bernoulli para flujo real (con friccin)

P1/ + v1 /2 + g.h1= P2/ + v2 /2 + g.h2 + H0

H0 = perdida de energa por rozamiento desde 1 hasta 2.


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LEY DE POISEUILLE

Se define viscosidad a la resistencia opuesta por los fluidos al movimiento en alguna de

sus partes. Por el fenmeno de la viscosidad, la velocidad de los fluidos por los tubos

crece de las paredes al centro del tubo, ya que en los puntos pegados a la pared, el

fluido se adhiere a ella frenndose por su viscosidad. Por efecto de esta viscosidad, hay

una prdida de carga a lo largo del tubo.

Por esto a la formula de Bernoulli hay que sumarle un trmino referido a la perdida de

carga y que se denota por hfrepresentando la perdida de carga por frotamiento.

Hay diferentes ecuaciones que tiene en cuenta la variable viscosidad como son las

ecuaciones de Navier. Gracias a su expresin se puede obtener la llamada ley de

Poiseuille: el caudal de fluido por un tubo cilndrico en rgimen laminar, es

directamente proporcional a la cuarta potencia del radio, R, y a la diferencia de

presiones entre la parte superior del tubo e inferior p, e inversamente proporcional a

la longitud de este, l, y al coeficiente de viscosidad del lquido,

.

G = ( R4 p) /

(8 l)


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c) Flujos de la capa lmite

Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La regin prxima a la

superficie est formada por una delgada capa lmite donde se concentran los efectos

viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemtico. Fuera de esta

capa lmite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las

ecuaciones matemticas ms sencillas para flujos no viscosos.

La teora de la capa lmite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los

aviones modernos y del dise o de turbinas de gas y compresores.


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d) Flujos compresibles

El inters por los flujos compresibles comenz con el desarrollo de turbinas de vapor

por el britnico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubri por primera

vez el flujo rpido de vapor a travs de tubos, y la necesidad de un dise o eficiente de

turbinas llev a una mejora del anlisis de los flujos compresibles. El inters por los

flujos de alta velocidad sobre superficies surgi de forma temprana en los estudios de

balstica,donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles.

Uno de los principios bsicos del flujo compresible es que la densidad de un gascambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presin. Al

mismo tiempo, su temperatura tambin cambia, lo que lleva a problemas de anlisis

ms complejos. El comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la

velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido.

El sonido es la propagacin de una peque a perturbacin, u onda de presin, dentro

de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la ra z cuadrada de

su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 C (293 Kelvin en la

escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor

que la velocidad del sonido (flujo subsnico),las ondas de presin pu eden transmitirse

a travs de todo el fluido y as adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto,

el flujo subsnico que se dirige hacia el ala de un avin se ajustar con cierta distancia

de antelacin para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersnico, las

ondas de presin no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, elaire que se dirige hacia el ala de un avin en vuelo supersnico no est preparado para

la perturbacin que va a causar el ala y tiene que cambiar de direccin repentinamente

en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresin intensa u onda de choque. El

ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los observadores situados en

tierra constituye el estampido snico de los aviones supersnicos. Frecuentemente se


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identifican los flujos supersnicos por su nmero de Mach, que es el cociente entre la

velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersnicos tienen un

nmero de Mach superior a 1.

Viscosidad

Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza.

Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir los fluidos de baja

viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento

arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide

con un recipiente (viscosmetro) que tiene un orificio de tama o conocido en el fondo.La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida d e su viscosidad.

La viscosidad de un fluido disminuye con la reduccin de densidad que tiene lugar al

aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos molculas por unidad

de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento has ta la capa

estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se

transfiere con ms dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos

lquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reduccin d e la densidad.

Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando

cambia la temperatura, por lo que son muy tiles como lubricantes cuando una

mquina est sometida a grandes cambios de temperatura.


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PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRODINMICA

1.- Considrese una manguera de seccincircular de dimetro interior de 2,0 cm, porla

que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. Cul es la velocidad delagua en la manguera? El orificio de la boquilla de lamanguera es de 1 ,0 cm de

dimetro interior.Cul es la velocidad de salida del agua?

Solucin:

Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal

manera que segn la ecuacin G = A v

Por lo que:

Ahora, la ecuacin (18) permite calcular lavelocidad de salida del agua por la

boquilla,puesto que el flujo que pasa por la manguera esel mismo que pasa por la

boquilla.Es decir, se debe cumplir la relacin:

De donde se tiene:

Este ejemplo es interesante, puesto quemuestra el mecanismo mediante el cual

aldisminuir el dimetro de la boquilla, se logra queel agua salga con una velocidad que

permiteregar a distancias convenientes. Note que hadisminuido el dimetro a la mitad,sin embargola velocidad ha aumentado 4 veces, debido a larelacin cuadrtica de las

reas.


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2.- Por una tubera inclinada circula agua arazn de 9 m3 min, como se muestra en la

figura: En a el dimetro es30 cm y la presines de 1 Kf/cm2. Cul es la presin en elpuntob sabiendo queel dimetro es de 15cm y queelcentro de la tubera se halla 50

cm ms bajoqueen a?

Solucin:

Entre los puntos a y b se puede usar laecuacin decontinuidad, de manera tal que:

AAvA= ABvB= G

D

e dondese pueden calcular lasvelocidadesena yen b:

Tambin se puede ocupar la ecuacin deBernoulli para relacionar ambos puntos, de

laquese puedecalcular la presin en b:

PB = PA+ g [hA-hB]+ [vA2- vB

2]


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3.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3

es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstculo, el tubo se debe doblar hacia arriba,

hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene rea transversal constante. Si la

presin en la seccin inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presin P1 en la parte

superior.

Solucin:

Segn lo que predice la ecuacin de continuidad, al tener rea transversal constante,

no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: v0 = v1 = v En

consecuencia, aplicando la ecuacin de Bernoulli a puntos en la parte superior y la

parte inferior, se tiene:

En consecuencia, aplicando la ecuacin de Bernoulli a puntos en la parte superior y la

parte inferior, se tiene:

De donde:


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La presin baj desde 1,5 atm hasta 1,38 atm! Esta conclusin parececontradecir lo

encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente

proporcionales a lasvelocidades.

Sin embargo, ha de recordarse que aquel era cierto bajo la restriccin de lneas deflujo horizontales, en las que no hubiera diferencias significativas en la energa

potencial del fluido en movimiento.

4.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilndrico como el

que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 105 utm/m3. Su

velocidad en el e tremo deentrada esv0 = 1,5 m/s, y la presin alles de P0= 1,75

Kgf/cm2, yel radio de la seccin es r0=20 cm. El e tremo desalida est 4,5 m abajo del

e tremo deentrada yel radio de la seccin all, es r1 =7,5cm. Encontrar la presin P1

en esee tremo.

Solucin:

La presin se puede encontrar mediante la ecuacin deBernoulli; sin embargo,

previamente necesitaremoscalcular la velocidad v1 con la ecuacin decontinuidad:

De donde:


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Ahora, segn Bernoulli:

Note que si ponemos una vlvula y cortamos el flujo de agua, P1=2,21 Kgf/m2: sube!

5.- Un tanque cilndrico de 1,80 m de dimetro descansa sobre una plataforma de una

torre a 6 m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque est lleno

de agua, hasta la profundidad h0 = 3 m. De un orificio que est al lado del tanque y en

la parte baja del mismo, se quita un tapn que cierra el rea del orificio, de 6 cm2.

Con qu velocidad fluye inicialmente el agua del orificio? Cunto tiempo nece sita el

tanque para vaciarse por completo?


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Solucin:

Este problema es muy importante, puesto que por una parte revisaremos

numricamente algunosconceptosy por otra parte, an cuando no trata deconceptos

directamente considerado en la teora aque puesta, contiene otros elementos que

son relevantes para los alumnos. Al soltar el tapn, se tiene una situacin regulada por

la ec. de Bernoulli; de tal manera que se puede calcular la velocidad con que sale

inicialmenteel agua por el orificio, como hemos hecho hasta ahora:

Consideraremos la referencia en el piso; adems tanto en 1 como en 2 la presin es la

atmosfrica, yV1= 0, puesto que la relacin entre las reas del tanque y del orificio

permite despreciarlo a travs de la ecuacin decontinuidad.

(Note que:

la velocidad en 2ser 4239 veces mayor que la velocidad en 1! ).

De lo anterior:

P0+ g [H + H0]+ [0]2

= P0+ g H + V2


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Dedonde:

V22= g [H + H0 - g H

V22

=2 g H0

al como lo habamos previsto segn orricelli. Es interesante esta expresin, puestoque la velocidad no depende de la densidad del lquido, tal como la cada de un objeto

no depende de su masa en ausencia de aire. Por lo tanto:

Luego, aplicando nuevamente Bernoulli para los puntos 2 y 3, podemos calcular la

velocidad conque llega el agua al suelo:

P2 + g h2 + V22= P3 + g h3+ V3

2

Con P2 = P3 = P0:

P0 + g H + V22= P0 + g [0 + V3

2

Dedonde:

V32= V2

2+ 2 g H

V3= (58.8 m2/s2 + 2 [9,8 m/s2][6 m])

V3 =13,3 m/s

Hasta aqu, el problema es resuelto como ha predicho la teora expuesta. Sin embargo,

calcular el tiempo que demora el tanque en vaciarse requiere de consideraciones

distintas, puesto que la profundidad no ser constante, como en los casos anteriores.

Esto producir que la velocidad con que baja el fluido en el tanque, as como la

velocidad con que sale el lquido por el orificio, no sean constantes en el tiempo. Para

resolver esto, consideraremos que la altura h del lquido disminuye en dh durante un

intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el fluido en el

tanque V1, queda determinada por la expresin:

Negativa puesto que h disminuye en el tiempo.


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Adicionalmente, se tiene que

V1 A1= V2 A2

Como ya sabemos, expresin que es cierta para todo t, de donde:

Al igualar ambas expresiones, se tiene:

Adems, segn torricelli como hemos visto:

Por lo que:

Que se puede expresar como:

Integrando la expresin para el intervalo entre

t = 0, donde la profundidad es h0 y el tiempo

t = t, donde la profundidad es h, se tiene:

Integrando:

Despejandot:


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Cuando el tanquesevace, h = 0, por lo que:

Remplazandovalores:

t =3263,3segundos

Se recomienda revisar con especial cuidado la lgica seguida en la solucin de este

problema.

6.- Un tanquecilndrico de 1,2 m de dimetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con

agua. El espacio encima del agua est ocupado con aire, comprimido a la presin de

2,026 X 105 N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapn quecierra un rea de

2,5cm3. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a travs deeste orificio.

Encontrar la fuerza vertical hacia arriba quee perimenta el tanquecuando se quita el

tapn.


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Solucin:

Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al tercer principio de Newton, reacciona

con una fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual magnitud, pero de direccinopuesta a la fuerza con que es expulsado. Por otro lado, el segundo principio de

Newton establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente

al cambio en su cantidad de movimiento.

Justo al ser soltado la cantidad de movimiento del lquido es cero, pero dt segundos

ms tarde, habr sido expulsado un elemento de lquido de masa dm, que tendr una

velocidad v2 en direccin hacia abajo. En consecuencia:

dp = v2 dm = v2 [ dv]= v2 [A2 dy]

Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba ser la comunicada al tanque, la que

debe ser igual al impulso de la fuerza que acta sobre l, de modo que:

Dedonde:

F = v2

2 A2

La velocidad de salida puede calcularse con la ecuacin de Bernoulli:

Pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad y h 2 = 0, usndola como referencia: de

aqu:

Por lo que:


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Reemplazando:

Cuando la presin P1 es suficientemente grande, este es bsicamente el mecanismo de

propulsin de un cohete


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ANEXOS


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Anemmet osde p esinhid odin mica

Cuando el viento impacta sobre una superficie, en ella se produce una presin

adicional que depende deesa velocidad, si esta presin secapta adecuadamente, yse

conduce a un instrumento medidor, tendremos un anemmetro de presin.

Para capturar esta presin se utiliza el llamado tubo dePitot, que no es ms que un

tubo de suficiente dimetro en forma de U con uno de sus e tremos doblado y

colocado de frente al viento, yel otro abierto al e terior pero protegido de la accin de

este.


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En la parte en forma de U se graba una escala y dentro se coloca un lquido

coloreado. La diferencia de presin entre los extremos del tubo de Pitot har que la

columna lquida se desplace de un lado, la diferencia de altura ser proporcional a la

velocidad del viento incidente en la boca del tubo y servir como indicador de esta.

Este es el esquema de un anemmetro del tipo de presin hidrodinmica pero con

indicacin de aguja y esfera.

La cpsula baromtrica es un bulbo elstico, al recibir la diferencia de presin desde las

partes de alta y baja presin del tubo de Pitot se dilata o recoge en proporcin. Este

movimiento es conducido y amplificado apropiadamente


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BIBLIOGRAFA

y http://www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica_fluidos/ap 01_hidrodinamica.php

y es.wikipedia.org/wiki/Hidrodinmica

y http://www.uclm.es/area/ing_rural/ rans_hidr/ ema3.PDF

y www.uclm.es/area/ing_rural/ rans_hidr/ ema3.PDFy http://www.uia.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/ 13Hidrodinamica.pdf

y Ctedra de Ingeniera Rural.Escuela Universitaria de Ingeniera cnica Agrcola

de Ciudad Real

y www.sabelotodo.org/aparatos/anemometro.html

37005511-hidrodinamica-fisica2

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