3.3.5 gauss jordan particionado

Métodos Numéricos I

UNIDAD 3: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Gauss – Jordan particionado

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3.3.5 Gauss-Jordan particionado. 18

Introducción

Este método nos ayuda a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con un número muy grande de variables, utilizando el método de Gass-Jordan pero con matrices en vez de valores. De igual manera que el método anterior particionamos la matriz de la siguiente manera:

=

2

1

2

1

2221

1211

b

b

x

x

AA

AA

Hay que transformar la matriz de la siguiente manera:

=

2

1'

2

1

2221

12

'

b

b

x

x

AA

AI

11A es el pivote, si multiplicamos todos los elementos del primer renglón de la matriz (1)

por la inversa de 1

11

−A y nos queda lo siguiente:

12

1

1112'

AAA−

=

1

1

111'

bAb−

=

Lo siguiente es hacer ceros la matriz 21

A , para transformar la matriz en:

=

2'

1'

2

1

22

12

'0

'

b

b

x

x

A

AI

donde

12'

212222' AAAA −=

1'

2122'

bAbb −=

El siguiente paso es hacer unos la matriz IA =22' multiplicando los elementos del segundo

reglón por 122

')(

−A , la inversa del nuevo pivote para obtener el siguiente sistema:

=

2''

1'

2

112

0

A'

b

b

x

x

I

I

donde:

(Luthe, 1991)




Página 99

2'1

222''

)'( bAb−

=

Finalmente, hay que hacer [ ]012

=A , para obtener el siguiente sistema:

=

2''

1''

2

1

0

0

b

b

x

x

I

I

donde

2''

12'

1'

1''

bAbb −=

La solución del sistema es

=

2''

1''

b

bX

Modelo

bAX =

Nota: Este algoritmo se aplica cuando el número de variables n>4.

Supuestos de aplicación

• El sistema debe de tener solución única, esto es, que el determinante de la matriz

debe de ser diferente de cero 0=A .

• El sistema tiene n variable y n incógnitas.

• Deberá existir la inversa de la submatriz A11.

Valores Iniciales

• El número de variables.

• La matriz de coeficientes.

• El vector términos independientes.

• El valor p donde se realizará la partición.

Ecuación Recursiva

12

1

1112'

AAA−

=

1

1

111'

bAb−

=

12'

212222' AAAA −=




Página 100

1'

2122'

bAbb −=

2'1

222''

)( bAb−

=

2''

12'

1'

1''

bAbb −=

Convergencia

El método termina cuando se encuentra los valores de los vectores X1 y X2.

Algoritmo

PASO PROCEDIMIENTO OBSERVACIONES

1. Leer el número de variables n

2. Leer la matriz de coeficientes

=

nnnnnn

n

n

aaaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

4321

34333231

2232221

1131211

MMMMM

K

K

K

3. Se particiona la matriz en cuatro submatrices.

=

66564636261

55554535251

44544434241

33534333231

22524232221

11514131211

baaaaa

baaaaa

baaaaa

baaaaa

baaaaa

baaaaa

A

4. Obtener el determinante (A). Si determinante (A)=0

El sistema no tiene solución � FIN

del algoritmo.

5. Calcular la inversa 11a Si no existe elegir otra partición.

6. Aplicar la ecuaciones recursivas vistas con anterioridad para obtener:

nb

b

b

b

'

'

'

'

10000

0100

0010

0001

3

2

1

MMMMMM

K

K

K




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PASO PROCEDIMIENTO OBSERVACIONES

7. Se obtiene la solución. FIN

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Se realizar la partición del sistema de ecuaciones en cuatro submatrices.

A11 4 1 1 2 3 A12 1 b1

4 2 3 1 9 3

A21 5 3 3 -6 2 A22 5

5 4 -4 7 8 8 b2

1 5 2 3 4 8

Vamos a analizar si el sistema tiene solución, sacando el determinante de la matriz de coeficientes:

=6491

P

por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene solución.

Después de la primera iteración nos queda el siguiente sistema equivalente:

1a iteración

A11 -1

0.5 -0.25

-1 1

1 0 -0.25 0.75 -0.75 -0.25

0 1 2 -1 6 2

0 0 -1.75 -6.75 -12.25 0.25

0 0 -10.75 7.25 -12.25 1.25

0 0 -7.75 7.25 -25.25 -1.75

Operaciones Intermedias

-A21*A11' -A21*A12' -A21*b1'

-5 -3 -4.75 -0.75 -14.25 -4.75

-5 -4 -6.75 0.25 -20.25 -6.75

-1 -5 -9.75 4.25 -29.25 -9.75

A11 4 1 1 2 3 A12 1 b1

4 2 3 1 9 3

A21 5 3 3 -6 2 A22 5

5 4 -4 7 8 8 b2

1 5 2 3 4 8




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Después de la segunda iteración nos queda el siguiente sistema equivalente:

2a iteración

A22'-1

-0.0581 -0.1598 0.10568

-0.1088 -0.0313 0.06794

-0.0134 0.0401 -0.0525

1 0 0 0 0 -0.1069

0 1 0 0 0 1.7812

0 0 1 0 0 -0.3992

0 0 0 1 0 -0.1852

0 0 0 0 1 0.1387

Operaciones Intermedias

-A12'*A21'' -A12'*A22'' -A12'*b2''

0 0 0.25 -0.75 0.75 0.1431

0 0 -2 1 -6 -0.2188

La solución del sistema de ecuaciones es:

Solución: x1= -0.1069

x2= 1.7812

x3= -0.3992

x4= -0.1852

x5= 0.1387

Para comprobar si la solución del sistema es correcta se debe cumplir lo siguiente:

Prueba:

4 1 1 2 3 -0.1069 1

4 2 3 1 9 1.7812 3

5 3 3 -6 2 -0.3992 5

5 4 -4 7 8 -0.1852 8

1 5 2 3 4 0.1387 8

=X

3.3.5 gauss jordan particionado

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