3.- teórica - números racionales

8/16/2019 3.- Teórica - Números Racionales

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Números Racionales 2 16

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Números RacionalesLos números racionales son todos aquellos números de la forma a/b, con a y b números enteros y bdistinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra ℚ.

ℚ = { ⋰ , ∈ ℤ ≠ 0}

Los números racionales surgen para dar solución a la división entre números enteros no divisibles entre

sí, este conjunto nos permitirá además acceder – como se verá en las clases futuras – a las nociones deprobabilidad.

Este conjunto numérico se puede trabajar de dos formas, la primera como fracciones de la forma a/b,o como el número resultado de la división entre a y b, el cual estará formado por una parte entera yuna parte decimal, por lo cual, este conjunto también recibe la denominación del conjunto de los“números decimales”.

DEFINICIÓN: Si tenemos una fracción a/b, con a y b números enteros, se tienen dos tipos de fracciones:

Si a < b la fracción se denomina “propia”. Si a > b la fracción se denomina “impropia”.

EJERCICIOS 1

1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresionesrepresenta(n) un número racional?

I. 3 ÷ ( – 4)II. 0/1III. 8/0

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo I y IId)

Solo I y IIIe) Todas ellas

2. Si a y b son números enteros, ¿Para qué valorde b la expresión [a/(b – 5)] no representaun número racional?

a) b = 0

b) b ≠ 5 c) b = 6d) b = 5e) b = 4

3.

¿Cuál de las siguientes fracciones esimpropia?

a) 5/6b) 6/7c) 7/8d) 8/9e) 11/10

4. Con respecto a la igualdad: p/q = 1/3, essiempre verdadero que:

a) p + q = 4b) pq = 3c) 3q = pd) 3p = qe) p = 2 y q = 6

5.

En una fracción con numerador múltiplo de4, y denominador múltiplo de 2, ¿Cuál(es)de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. El racional es siempre un enteroII. Su reciproco tiene denominador 2III. El racional es una fracción impropia

a) Solo I

b) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y IIIe) Ninguna

6.

Si se tiene un número entero “a” y unnúmero natural “b”, la fracción “b/a” es unnúmero racional si:(1) a > b(2) b < 6

a) (1) por si solab) (2) por si solac) Ambas Juntas, (1) y (2)

d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)e) Se requiere información adicional


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Transformaciones en ℚ TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMALPara esta transformación, simplemente se efectúa la división entre el numerador y el denominador dela fracción en cuestión. TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓNEsta transformación se realiza de diferentes maneras dependiendo del tipo de decimal que estemostrabajando, distinguiéndose tres formas:

DECIMAL FINITO: Se deja en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal, y enel denominador una potencia de 10 con exponente igual al número de decimales que tengael número.

DECIMAL INFINITO PERIÓDICO: Se deja en el numerador la diferencia entre el número decimalcompleto (sin considerar la coma) y la parte entera de este, y en el denominador tantos nuevescomo cifras tenga el período.

DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO: Se deja en el numerador la diferencia entre el número

completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden alperíodo, y en el denominador tantos nueve como cifras tenga el período, seguido de tantosceros como cifras tenga el ante período.

TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA El número mixto se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

A bc =A c b

c c ≠ 0

EJERCICIOS 2

1. El desarrollo decimal de la fracción 5/80 es:

a)

6,25b) 2,6c) 0,625

d) 0,0625e) 0,06

2. El desarrollo decimal de la fracción 75/90 es:a) 0,80333… b) 0,83300… c) 0,83838… d) 0,83333… e) 0,83000…

3.

La fracción equivalente al número 0,225 es:a) 1/4b) 9/40

c) 11/50d) 19/80e) 3/13

4. Las fracciones equivalentes a los números

1, 4̅ y 0,25̅ son, respectivamente:a)

y

b) y

c) y

d) y

e)

y

Comentario PSU

Conocer las transformaciones en los números racionales es algo

fundamental a la hora de resolver la PSU, ya que muchas otras

preguntas relacionadas con los otros ejes ocupan los números

racionales como parte principal de su forma de resolución.


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Orden en ℚ Como en todos los conjuntos, los números racionales deben tener un orden, ahora bien, nosenfocaremos en diferenciar, cuando un número racional es mayor, menor o igual, a otro númeroracional, y para ello, se tienen diferentes formas de proceder.

COMPARAR DECIMALESSe transforman todas las fracciones en decimal y se discrimina según la primera cifra que difiera.

COMPARAR FRACCIONESPara comparar fracciones se tiene el siguiente método

∈ ℚ ∈ ℤ

+ ⇒ ≥ ⇔ × ≥ ×

Para facilitar el proceso, siempre que sea posible se puede: Igualar los denominadores para así comparar numeradores (numerador mayor = fracción

mayor) Igualar los numeradores para así comparar los denominadores (denominador mayor = fracción

menor)

EJERCICIOS 3

1. El orden creciente de los números A=12/5,

B=12/9, C=12/7 es:a) a, b, cb) b, c, ac) c, b, ad) a, c, be) c, a, b

2. El orden decreciente de los númerosW=12/3, X=5/3, Z=7/3 es:

a) w, x, zb) x, z, wc) w, z, xd) x, w, z

e) z, w, x

3. El orden creciente de los números A=7/8,B=11/12, C=9/10 es:

a) a, b, c

b)

b, a, cc) c, a, bd) a, c, be) b, c, a

4. Si x es un número natural mayor que 1, ¿Cuál

es la relación de orden correcta entre lasfracciones: A = 5/x, B = 5/(x – 1), C = 5/(x + 1)?

a) a < b < cb) c < b < ac) c < a < bd) a < c < be)

b < a < c

5. Sean las fracciones: X = 3/5, Y = 7/4, Z = 2/3.

Entonces se cumple que:a) x > y > zb) y > x > zc) z > y > x

d) x > z > ye) y > z > x

6. El orden de los números, A = 5 , B = 5,

C = 7/8, de menor a mayor es:a) a, b, cb) a, c, bc) b, a, cd) c, a, be) c, b, a


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Operatoria con Decimales ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades con el mismo exponente en líneahacia abajo, en otras palabras, la parte entera bajo la parte entera y la parte decimal bajo la parte

decimal, a continuación, se realiza la operatoria respectiva hacia abajo.

5,87634,975410,8517

MULTIPLICACIÓNPara multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, luego,se ubica la coma, en el resultado final, tantos decimales de derecha a izquierda, como decimalestengan ambos números en conjunto.

DIVISIÓN

Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enterosamplificando por una potencia en base 10.

EJERCICIOS 4

1. 0,75 ∙ 5 + 0,25 ∙ 2 = a) 4,25b) 4,15c) 4,05d) 3,95e) 3,80

2. 0,06 ∙ 0,5 ∙ 0,1 =

a)

0,003b) 0,0003

c) 0,00003d) 0,0000003e) 0,00012

3. El valor de 3 ∙ 0,3 ÷ 0,03 es: a) 0,003b) 0,03c) 0,3d) 3e) 30

4. De un saco que contiene 12,3 Kg. de arrozse consumen 7.540 g. ¿Cuántos kilogramos

quedan en el saco?a) 5,86 kilogramosb) 5,76 kilogramos

c) 4,86 kilogramosd) 4,76 kilogramose) 4,49 kilogramos

5. Si al triple de 3,6 se le resta el cuádruplo de5,4 resulta:

a) – 18,0b) – 10,8c) 5,4d) 10,8

e) 32,4

6. ,∶ − ,, · − , =a) 10/3b) 25/48c) 5/12d) – 5/12e) – 12/5

7. 0, 6̅ 0,45̅ = a) 0,151515… b) 0,155555… c) 0,166666…

d)

0,211111… e) 0,212121…


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AproximacionesUna aproximación es una representación inexacta (muy cercana) de un número, mediante laeliminación de cifras decimales. Se distinguen tres tipos de aproximación las cuales definiremos acontinuación:

APROXIMACIÓN POR EXCESOAl aproximar por exceso a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición decimal“(n + 1)”, y el decimal en la posición “n” se aumenta en una unidad.

Ejemplo: Al aproximar por exceso a la centésima el número 10,3328 resulta 10,34.

APROXIMACIÓN POR DEFECTO (TRUNCAMIENTO)Al aproximar por defecto (truncar) a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la

posición decimal “(n + 1)”, y quedando el decimal en la posición “n” inalterado.Ejemplo: Al trincar a las centésimas el número 5,7398 resulta 5,73.

REDONDEO

Al aproximar por redondeo a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posicióndecimal “(n + 1)”, y si se cumple que el decimal (+1) ≥ 5, se suma una unidad al decimal “n”.

Ejemplo 1: Al redondear a la centésima el decimal 4,736 resulta 4,74Ejemplo 2: Al redondear a la centésima el decimal 3,652 resulta 3,65

DEFINICIÓNLa estimación consiste en realizar un cálculo a partir de cantidades aproximadas a las originales,manteniendo la cantidad de cifras significativas que se indique.

EJERICIOS 5

1. Al redondear a la décima el número 2,7453,

resulta:a)

3b) 2,8c) 2,7d) 2,75e) 2,745

2. Al redondear a la milésima el número 4,5387,resulta:

a) 4,5

b) 4,54c) 4,538d) 4,539

e)

5

3. Al truncar a la milésima el número 21,4648,resulta:

a) 21,464b) 21,465c) 21,466d) 21,46e) 21,4

4. Respecto del número 62/7, ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I. Redondeado a la unidad es 8II. Truncado a la décima es 8,8III. Redondeado a la centésima es 8,86

a) Solo IIb) Solo IIIc) Solo I y IId) Solo II y IIIe) I, II y III

5. ¿Cuánto dinero se estima que necesita unadueña de casa para comprar 4,8 kg de pan,

si el kg cuesta $ 620?a) $ 3.000b) $ 2.976c) $ 2.970d) $ 2.900e) $ 2.000

Comentario PSU

Las aproximaciones las utilizaremos tanto en decimales racionales como

irracionales, así que apréndanlas porque las seguiremos ocupando en clase.


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Operaciones con FraccionesADICIÓN Y SUSTRACCIÓNSi tenemos dos fracciones que pertenecen a losracionales, estas se pueden sumar y/o restar

siguiendo la siguiente formula:ab ±

=

±

MULTIPLICACIÓNSi tenemos dos fracciones que pertenecen a losracionales, estas se pueden multiplicarsiguiendo la siguiente formula:

× =

DIVISIÓNSi tenemos dos fracciones que pertenecen a losracionales, estas se pueden dividir siguiendo lasiguiente formula:

÷

=

×

=

AMPLIFICACIÓNAmplificar una fracción significa multiplicar porun mismo número tanto el numerador como el

denominador de la fracción. ×

=

SIMPLIFICACIÓNSimplificar una fracción significa dividir por unmismo número tanto el numerador como eldenominador de la fracción.

÷ ÷ =

//

EJERCICIOS 6

1. 2 + 5/6 + 3 =a) 35/6b) 10/6c) 30/6

d)

7/6e) 25/6

2. 8/4 + 7/9 =a) 25/13b) 28/36c) 15/36

d) 90/36e) 25/9

3. El inverso aditivo de (2/3 – 5/4) es:a) – 12/7

b)

– 7/12c) 3/12d) 7/12e) 12/7

4. 16/9 ∙ 3/4 =a) 4/3b) 3/4

c) 64/27d) 27/64e) 91/36

5. ( – 3)/5 ∶ 9/25 =a) – 5/3b) – 3/5c) 27/125

d)

5/3e) 3/5

6. (2 ) ∙ (2) – 1/2 =

a) 1/2b) 10/8c) 41/8d) 43/4

e) 53/4

7. [1/2 – 5/3] : [1/4 · 4/3 – 1/2] =a) – 7b) – 4/5c) – 1/36d) 4/5e) 7


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Problemas en los RacionalesPROBLEMAS DE PLANTEAMIENTOPara resolver problemas de planteamiento se sugiere seguir la siguiente “receta”:

Leer atentamente el enunciado y lo que nos están preguntando

Anotar los datos relevantes que ayuden a solucionar el problema Expresar datos usando lenguaje matemático y/o deducir datos faltantes

Expresar la pregunta en términos matemáticos Responder

REGULARIDADES NUMÉRICASPara resolver este tipo de ejercicios se recomienda descomponer todos los factores de la regularidaddejándolos en pos de un término común para así encontrar el valor de la regularidad y poder efectuar

cálculos rápidos.

CUADRADOS MÁGICOSSon cuadrículas de 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 o en general de n × n, que se distribuyen de tal forma que cada

fila, columna y diagonal suman lo mismo, si solo las filas y las columnas suman lo mismo y no lasdiagonales se denomina “cuadrado latino”

EJERCICIOS 7

1. Marcelo y Claudia ahorran monedascomenzando ambos el mismo día. Marceloahorra cada día una cantidad de monedasconstante, mientras que Claudia ahorra una

moneda el primer día, dos monedas elsegundo día, tres monedas el tercer día, yasí sucesivamente. Si al noveno día amboshan ahorrado la misma cantidad de

monedas, ¿Cuántas monedas más queMarcelo tiene Claudia al doceavo día?

a) 5b) 18c) 33d) 60e) 78

2. Miguel y Gabriel realizan un viaje desde Ahasta B. Miguel le indica a Gabriel que la

distancia estimada es de 3,2 km,aproximando por exceso a la décima la

distancia real. Al llegar a B, Gabriel le señalaa Miguel que la diferencia entre la distanciaestimada y la real, truncada a la centésima,es de 0,02 km. ¿Cuál podría ser la distanciareal entre A y B?

a) 3,175 kmb) 3,185 kmc) 3,195 kmd) 3,215 kme) 3,225 km

3. Dada la secuencia 6/5, 9/7, 4/3, 15/11,18/13, x, …; el valor de x es:

a) 21/17b) 7/5

c) 13/9d) 23/15e) 7/3

4.

En el siguiente cuadrado mágico, ¿Cuál esel valor de x?

a) 17b) 13c) 7d) – 7e) – 17

5. En la secuencia 3, x, y, z, …; cada término se obtiene sumando una cierta cantidad

constante al término anterior. Se puededeterminar el valor de z si:

(1)

x = 7(2) y = 11

a) (1) por sí sola.b) (2) por sí sola.c) Ambas juntas, (1) y (2).d) Cada una por sí sola, (1) ó (2).e) Se requiere información adicional.


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Preguntas PSU ResueltasPregunta Modelo PSU Proceso Admisión 2015

14. El resultado de (

), truncada a la décima es:a)

0,1

b) 0,2c) 0,3d) 0,8e) 0,7

Solución:Las materias que están implicadas en la pregunta son: operatoria en los racionales, transformación defracción a decimal, y aproximaciones, en primer lugar debemos realizar la operatoria. Así en primeramplificamos por dos la primera fracción y luego la sumamos con la siguiente:

1

3

1

6 =

1 ∙ 2

3 ∙ 2

1

6 =

2

6

1

6 =

3

6 =

1

2

Como ya tenemos esa operatoria, debemos sumar al resultado, la tercera fracción, quedando losiguiente:

12

27 =

1 ∙ 7 2 ∙ 214 =

7 414 =

1114

Ahora como ya tenemos el resultado de la operatoria, debemos transformarla a fracción, para ello,realizamos la división, resultando:

11 ÷ 14 = 0,7857142857

Dicho número truncado a la décima es igual a 0,7Por ello la respuesta es E) 0,7

Pregunta Modelo PSU Proceso Admisión 2016

4. En un viaje Pedro se traslada 800 km. La cuarta parte del viaje lo realiza en bus. Las tres quintas partesdel resto lo hace en avión y lo que queda en tren. ¿Cuántos kilómetros anduvo Pedro en tren?

a) 120

b) 240c) 320d) 360e) 480

Solución:En esta pregunta está orientada sobre todo al planteamiento de problemas en los racionales, es por

ello que es relevante leer muy bien el problema, ya que primero nos dice que realiza 1/4 del viaje de800 km en bus, o sea realiza:

800× 14 =200 Así nos quedan 600 km, de los cuales 3/5 los hizo en avión, por lo cual, lo que viajo en avión fueron:

600× 35 =360 Por lo tanto nos quedan por recorrer:

8 0 0 2 0 0 3 6 0 =2 4 0

Por lo cual nos quedan 240 por recorrer, los que según el enunciado, son los que recorreremos en tren.Por ello la respuesta es B) 240


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CUADRO RESPUESTAS

EJERCICIOS 1N° Respuesta Alternativa

Correcta

Habilidad

1 ASE2 Comprensión3 Aplicación4 Aplicación5 ASE6 ASE

Ejercicios 2N° Respuesta Alternativa

CorrectaHabilidad

1 Aplicación2 Aplicación3 Aplicación4 Aplicación


CorrectaHabilidad

1 ASE2 ASE3 ASE4 ASE5 ASE

6 ASE


CorrectaHabilidad

1 Aplicación2 Aplicación3 Aplicación4 ASE5 Comprensión

6 Aplicación7 Aplicación


Correcta

Habilidad

1 Comprensión2 Comprensión3 Comprensión4 ASE5 ASE


CorrectaHabilidad

1 Aplicación

2 Aplicación3 Aplicación4 Aplicación5 Aplicación6 Aplicación7 Aplicación


CorrectaHabilidad

1 Aplicación2 ASE3 ASE

4 Aplicación5 ASE

3.- teórica - números racionales

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