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NUMERACIONY CALCULO

BsRNento Góvtnz Arroñso

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TffiI t¡. Simetría dinámicai!I Rafael Pérez Gómez, Claudi Alsin¡r ('¡rt¡rl¡i. ('cferino Ruiz GarridoColección:

MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZAJE

l. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas

Enrique Vidal Costa

2. Números y operaciones

Luis Rico Romero, Encarnación Castro Martínez, Enrique Castro Martinez

3. Numeración y cálculo

Bernardo Gómez Alfonso

4. Fracciones. La relación parte-todo

Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria Sánchez García

5. Números decimalesJulia Centeno Pérez

6. Números enteros

José L. González Mari, M." Dolores Iriarte Bustos, Alfonso ortiz comas. InmaculadaVargas-Machuca, Manuela Jimeno Pérez, Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez

7. DivisibilidadModesto Sierra vázquez, Andrés sánchez García, M." T. González Astudillo, MarioGonzález Acosta

8. Problemas aritméticos escolaresLuis Puig Espinosa, Fernando Cerdán pérez

9. Estimación en cálculo y medida

Isidoro Segovia AIex, Encarnación Castro Maftinez, Enrique Castro Martínez, Luis RicoRomero

10. Aritmética y calculadoraFrederic Udina i Abelló

ll. Materiales para construir la geometría

Carme Burgués Flamerich, Claudi Alsina Catalá, Josep M." Fortuny Aymemi

12. Invitación a la didáctica de la geometría

Claudi Alsina Catalá, Josep M a Fortuny Aymemi, Carme Burgués Flamerich

14. Semejanza

Ricardo Luengo González

f 5. PoliedrosGregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez

16. Metodologla activa y lúdica de la geometría

Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya, Francisco Javier Aguila Ruiz

17. El problema de la medida

Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

18. Circunferencia y cfrculo

Francisco Padilla Díaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela Yelázquez Manuel, Manuel

Fernández Reyes

19. Superficie. Volumen

M." Angeles del olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francisco Gil cuadra

20. ProporcionalidadM." Luisa Fiol Mora, Josep M.' Fortuny Aymemi

21. Nudos y nexos: grafos en la escuelaMoisés Coriat Benarroch, Juana Sancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar

Gonzalvo Martínez

22. Por los caminos de la lógica

Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

23. Iniciación al álgebra

Manuel Martín socas Robayna, Matias camacho Machín, M.' Mercedes Palarea

Medina, Josefa Hernández Dominguez

24. Ordenar y clasificar

Gaspar Mayor Forteza, Teresa Riera Madurell

25. Códigos, símbolos, representación y coordenadas

Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado

-r1{

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

Funciones

Jordi Deulofeu Piquct, (larmen Azcárale Giménez

lvat y probabilidad

Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M., Jesús Cañizares Castellano

Encuestas y precios

Andrés Nortes Checa

HeurísticaFernando Cerdin Pére1 Luis Puig Espinosa

Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso

José A. Cajaraville Pegito

Prensa y matemáticasAntonio Fernández Cano, Luis Rico Romero

Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental

Josefa Fernández Sucasas, M." Inés Rodriguez Vela

Pensamiento algorftmico

Candelaria Espinel Febles, Casiano Rodríguez León

Recursos en el aula de matemáticas

Francisco Hernán Siguero, Elisa Carrillo Quintela

NUMERACIONY CALCUTO

BnnNanpo Góunz AlroNso

Profesor titular de Didáctica de las Matemirticasde la Universidad de Valcncr¿r

EDITORIAL

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SINTESIS

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tqqi4tro. roiüo oe berras J3torma de adquisiciÓn: 1u'¡- {núu etnQ

tompra Canie - Do¡ación

techa de adqursrciónAño- Mes -Fecha de ProcesamientoAño- Mes -Proveedor

Día

Primera reimpresión: octubre 1989Segunda reimpresión: noviembre 1993Tercera reimpresión: noviembre 1998

Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajolas sanciones penales y el resarcimiento civil previstosen las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publi-cación, íntegra o parcialmente por cualquier sistemade recuperación y por cualquier medio, sea mecánico,electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia opor cualquier otro, sin la autorización previa por escri-to de Editorial Síntesis. S. A.

@ Bernardo Gómez Alfonso

O EDITORIAL SÍNTESIS, S. A.Vallehermoso, 34 - 28015 MadridTeléf.: 91 5932098http//:www.sintesis.com

Depósito Legal: M. 32.385-1998ISBN: 84-7738-014-7

Impreso en España - Printed in Spain

Procesado Por

Indice

Al lector

1. Introducción1.1. ¿Qué es el número?1.2. Caracterización

1.2.1. Usos1.2.2. Invariantes

l820

1.2.3. Nacimiento y evolución. El sistema cardinal

La unicidadLa coordinabilidadEl registroLaset iquetas. . . .

r El sistema ordinalEl ordenEl sistema de numeración . . .ContarLosadjet ivos. . . . .

. ,La histor ia real . .¡ Contar con las partes del cuerpo

2. La numeración: evolución y comparación de sistemas2.1. Ejercicios preliminares o de partida2.2. Sistemas de numeración

2.2.1. Representación simple2.2.2. Agrupamiento simple2.2.3. Agrupamiento múltiple

l l

t7l718

2l2l2l2l222323232425262729

313l3l3232JJ

34o Sistema egipcio

2.2.4. Sis lc l r r r rs mult ip l icat ivos. . . .r Sistclua át ico .. Sistorna chino- japonés . . . .¡ Nucstro sistema oral .. Sistema babilónico

2.2.5. Sistcma multiplicativo ordenado2.2.6. Sistemas posicionales

o Sistema maya.. El cero. Las cifras

2.2.7. Numeración y cálculo en los viejos sistemaso Egipto. Babilonia. Grecia. El sistema jónico. La numeración romana

2.2.8. La herencia hindú.2.2.9. Europa: un camino plagado de dihcultades . ... . ...

. La oscuridad . . .

.ElalboreaÍ. . . . .

. Innovación contra conservadurismo .2.2.10. El sistema decimal

. Modo de leer un número de muchas cifras . ... . .

. Caracteristicas . .

. Desarrollo curricular

. Uso de material estructuradoo La integración del contexto

2.2.11. Aritmética y sistemas de numeración .. .2.2.12. Aritmética y enseñanza obligatoria

Cálculo mental. Cálculo pensado

3.1. Cálculo mental, cálculo pensado3.2. Cálculo mental: las tablas

3.2.1. La tabla de sumar. Las tablillas de Lucas

3.2.2. La tabla de multiplicar . . .3.3. La multiplicación con los dedos3.4. Cálculo pensado

3.4.1. Cálculo pensado aditivo3.4.2. Cálculo pensado rnultiplicativo . . . .

3.5. Explorando en ar i tmética. . . . .3.6. Las tablas de doble entrada

353536) t

37383939404l42424343444647505153545556565757585959

65

6568707576828585879l94

4. Losalgor i tmos.. . . . . 1034.1. Losalgor i tmos.. . . 1034.2. Los algoritmos dc lipiz y ¡lr¡rcl 105

rCaracteríst icas. . 1064.3. Los algoritmos en cl ctrfríctll() 106

4.3.1. Algoritmos para ll strrn¿l . 1154.3.2. Algoritmos para la rcsta . ll94.3.3. Algoritmos para la multiplicación .. . . 125

. Las regletas o rodillos de Neper 135

. La multiplicación egipcia 136

. La multiplicación rusa o campesina 1374.3.4. Algoritmos para la división 139

3.

ANEXO 1. La taiz cuadrada1.1. El algoritmo de la raiz cuadrada

1.1.1. Un tratamiento manipulativo. (Laboratorio, bloques).. Problema preliminar o de partida. La situación de partida. Trazando un plan

1.1.2. Un tratamiento aritmético. (Lápiz y papel). Problema preliminar o de Partida. La situación de partidao Trazando un plan

1.1.3. Un tratamiento algebraico' (Lápiz y papel)

ANEXO 2. Los materiales manipulativos. .2.1. Los ábacos

2.1.1. Abacos decimales2.2. Los bloques multibase

2.2.1. Diferencias entre los bloques y los ábacos2.2.2. Actividades

2.3. Los números en color2.3.1. Estructura2.3.2. Operaciones

r53153155155155156159r59159159161

163164166r67169169170l7l172

Bibliogralla 173

¿

-'1

Grabado de Ia portadade una edición de unode los Rechenbücherde Adam Riese, el famo-so Rechenmeister. de1529. En él se represen-ta una competición en-tre un algorista y unabacista.

Al lector

Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice.Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que se figuraque estó uno pensando. Supongan ustedes que una dama le dice a otra, en unacasa de campo: <¿Hay alguien contigo?)) La ofta no contesta: <Sí, el mayordo-mo, los tres criados, la doncellas, etc.D, aun cuando la camarera esté en el otrocuarto y el mayordomo detrás de la silla de la señóra, sino que contesta' (No;no hay nadie conmigo>, con lo cual quiere decir: <No hay nadie de la clasesocial a la que tú te refieres.> Pero si es el doctor el que hace la pregunta, en uncaso de epidemia: <¿Quién más hay aquí?l, entonces la señora recordará, sinduda, al mayordomo, a la camarera, etc. Y así se habla siempre. Nunca sonliterales las respuestas, sin que dejan por eso de ser uerídicas.

(El candor del padre Brown. <El hombre invisible>.CHssr¡Rror.¡.)

He escrito este libro con la intención de contestar en la medida de misposibilidades y a la vista de la bibliografia actual, como yo pienso que el

lector espera que se le conteste a algunas preguntas sobre la Numeración y elCálculo, que yo creo que pueden haber pasado por su cabeza en relación consu actividad profesional o su formación como maestro.

¿Quiere ello decir que aquí va a encontrar alguna solución a sus proble-mas?

Puede que sí, puede que no. No me es posible saberlo, ni tampoco me esposible, honradamente, dar un recetario o un manual de instrucciones, comosi el aula fuera un electrodoméstico. La libertad, el gusto y el estilo personaldel profesor ni pueden ni deben ser soslayados. Debe ser él quien decidasobre las situaciones de aprendizaje que le permitan desarrollar las capacida-des de sus alumnos, asumiendo la responsabilidad de su clase con todas susconsecuencias, consciente de que cualquier texto, por muy bien presentado,elaborado, escrito, programado, estructurado o divertido que sea, no puedereulizar ninguna labor didáctica por sí mismo. Es imprescindible la criba yposterior actuación del profcsor, y ésta no es programable de antemano demodo rígido: su ingenio y cl de sus alumnos condicionarán el desarrollo de la

*

f

1l

¡

Tomado del grabadoanterior. Reelaboradopor el autor.

10

clase de modo irn¡rrcvisiblc, AfortunJdamente, porque ello signilicará que seestá educando crr nrrrtcrrriiticas y que no se pierde de vista quién es elverdadero protagorristir dc la clase.

Dicho esto, ¿,quó cs cstc libro?A veces es más fácil decir lo que no son las cosas. Este no es un libro de

matemáticas en el scntido usual del término. No es para unos pocos. No esintimidatorio. No es para el fracaso. No es para la frustración. No es paralaansiedad.

Por el contrario, éste es un libro de recursos para la educación enmatemáticas; un libro parala participación, parala integración y no para laselección. Para despertar sentimientos positivos, para desmitifrcar, para serentendido.

Es criterio de este libro vencer el obstáculo emocional responsable delaburrimiento con que muchos maestros se plantean la aritmética; es conven-cerles de que debajo de la rutina de un algoritmo o de la perfección de laexpresión numérica hay cientos y cientos de años de creación, de dificultadesy bloqueos, de logros y avances, de retrocesos e incompresiones, de fatiga,sudor, esfuerzo e ilusión. conocer algo de lo que ha ocurrido puede suponerun cambio en el tratamiento escolar de la aritmética, puede hacerla intere-sante como si de una novela de suspense se tratara y tan humanístico comopueda serlo cualquier otro campo de conocimiento. Esto es algo que muchosde nosotros no descubrimos en nuestra juventud, porque nadie fue capaz deexplicárnoslo, aunque en cierto modo comenzábamos a sospecharlo.

Es un libro donde hallar puntos de partida para la reflexión, soportespara los deseos de cambio o fuentes para la inspiración pedagógica. Estápensado para los futuros maestros y maestros en ejercicio y aborda eseaspecto de la enseñanza d,e las matemáticas tan poco tratado en nuestro país(manuales escolares aparte): ideas para la clase, métodos y formas de presen-tación, secuencialización, fundamentación, materiales manipulativos, carac-terísticas y sugerencias para su utilización.

. Objetivos

El libro se articula en torno a los siguientes objetivos:

. Lograr un conocimiento más profundo de la numeración y de lasrazones que han conducido a su expresión y forma actual.

. Incidir sobre el material manipulativo, describirlo , analizarlo y mostrarsugerencias para su uso.

. Apoyar el uso de estrategias de cálculo mental y pensado. Describirlas,clasificarlas y presentar ejemplos que muestren cómo se utilizan.

o Presentar estrategias para la construcción, esquematización y abrevia-ción progresiva de los algoritmos usuales de cálculo como recurso

t2

didáctico. Sacar a l¿r lt¡z hrs p¡rsrts ocultos, mostrar los contextos en quese mueven, descubrir virn¡rtt lcs y tl iscutir sobre sus ventajas e lnconve-nientes. Se trata dc tlru sc¡tlttkr it las conexiones entre los pasos,

establecer etapas c()n sus litscs corrcspondientes y perhlar una adecua-da secuencialización didiict icl

. Destacar el papel dc lir calcul¿rdora como herramienta para el trabajorápido, para el cálcukl scguro y para el razonamiento inteligente.

l. La numeración

Huelga extenderse sobre la importancia de una buena comprensión de laestructura multiplicativa del número y lo inútil que resulta hablar de algorit-mos de cálculo si falla ésta.

Conocer la evolución histórica de los sistemas de numeración y saber lasrazones que provocaron los cambios y el abandono de unos sistemas porotros, contribuye a dar sentido a los conocimientos previos o ya adquiridospor el lector. Además, gracias a la motivación cultural que supone eliminarla sensación de <ya visto> el camino se anda sin difrcultad y, por añadidura,los conocimientos quedan reforzados al ir emparejados con alguna narra-ción, anécdota o curiosidad histórica.

2. Los materiales

Los conocimientos anteriores contribuyen, por añadidura, a facilitar clacceso a la estructura de los materiales manipulativos; ayudan a compren-derlos y sugieren las líneas para su utilización en el aula.

En el Anexo 2 se da una breve descripción del material más destacado yconocido en cada caso y además de sus características didácticas se muestranalgunas vías de actuación acompañadas de ejemplos en situaciones concre-tas. Un desarrollo más detallado del material podrá encontrarse en la bibtio-grafia que se acompaña.

3. El cálculo mental. El cálculo pensado

El cálculo mental, cálculo pensado, es el cálculo sin lápiz ni papel, es elcálculo callejero, cotidiano. El conocimiento de sus métodos y estrategias,sus condiciones más adecuadas de uso, etc., conforman un bagaje poco

tratado en la Escuela. En este libro se aborda la descripción de los máscorrientes, se organizan en función de sus características y, cómo no, setrabajan las formas de acercarse a las tablas, ya que son el soporte impres-cindible para alcanzltr un adecuado nivel de destreza.

13

Se hace hincapió cn la observación de lts números en relación con otrosnúmeros sobre las tablas pitagóricas o de doble entrada de sumas, produc-tos, dobles y cuadrados. Se busca habituar al niño a descubrir patrones,reglas y leyes, recurrencias, efectos sorprendentes, aspectos insólitos o cho-cantes, etc. Además esta forma de actuar tiene la ventaja que permite estimu-lar el trabajo y el ingenio personal al tiempo que contribuye a un mejorconocimiento de los números v sus interrelaciones.

4, Los algoritmos de las operaciones elementales

Se hace un recorrido sobre las distintas formas de presentar los algorit-mos y sobre sus justificaciones. Se suceden los planteamientos instrumenta-les, relacionales y constructivos. Se hace ver el trasfondo sacando a relucirsus pasos ocultos y los conocimientos previos que se necesitan para com-prender lo que ocurre. Se trabajan los algoritmos históricos y la búsqueda devariantes. Se da entrada a la secuencializaciín didáctica, a la discusión sobreventajas e inconvenientes, se rompe la tradicional rigidez, habitual en laspresentaciones escolares de los algoritmos y se da lugar a formas personales,divertidas o ultrarrápidas de cálculo.

Una incursión a la búsqueda de conjeturas, explicaciones, analogias,extensiones y generalizaciones, hará ver que la Aritmética no sólo es cálculo,también es matemáticas. Por añadidura, al utilizar la calculadora comoutilisima herramienta en esta incursión, se hace ver el inteligentisimo papelque tiene este instrumento en el lanzamiento y contrastación de conjeturas.

5. La ruíz cuadrada

En el Anexo I sc abordan los div€rsos tratamientos d€l algodtmo de laraiz cuadraala. No porque oe considore importente por si mismo, sino por lariqueza d€ posibilidades que encierra y, sobre todo, como muestra de lo quese ha hecho coD los elgoritmos y lo qu€ s€ ha podido hacer y no se ha hocho.

. Agt¡decimiertos

Cúmplcme revelar la colaboración qu€ m. ha pltstado Luis Rico, direc-tor del Dop¿rtamento de Didáctica de la matemática de la Universidad deGranada y mieñbro del consejo editor d€ la seri€ de la que este lib¡o formapart€, cuya valiosa ayuda s9 ha plasmado en aportaciones concretas y acer-tadisimas co¡recciones que han contribuido a redondcarlo su¡tancialm€nte.

Mi agradecimiento t¿mbién al resto de mis compañeros de departamento

tn"

por su paciencia, y en part it ' tr l¡tr ¡r l,tt is l)uig, por haberme embarcado en

esta aventura; a Francisco Solr¡. pot st¡s cfluvios narrativos, y a Fernando

Cerdán, por las ideas quc tttt: l t i t i t¡rrt l l i tdo.

Quiero concluir signil icrtttt lo t¡rrc si algo tiene de bueno este l ibro es

debido a una multitud dc pcrsotuts, krs quc han escrito las fuentes en donde

he bebido y los que me ha¡t ityttt l i tdo it organizarlas. Pero, sin embargo, todo

lo mucho que tiene de malo sillo cs achacable, naturalmente, a una persona;

al autor.

Introducción

Las ideas referentes a la numeración y al número suelen confundirse y nofueron objetos diferenciados de estudio de los currículos escolares hastaentrados los años setenta. La numeración tiene que ver con las reglas sintác-ticas y fonéticas para expresar el número y el número...

1.1. ¿QUE ES EL NUMERO?

Esta es una de esas preguntas cuya respuesta suele soslayarse. ¡Todo elmundo sabe qué cosa es el número! Ahora bien, si se reitera la pregunta,unos guardarán silencio, otros se justihcarán diciendo que lo que les pasa esque no tienen palabras para explicarse, y los más, bueno, los más...

Aun no sabiendo lo que es el número, muchos aceptarán que el 6 lo es yque también lo es VI, y también IIIIII; y que todas esas cosas son el mismonúmero. Pero esto no puede ser, ya que son objetos distintos, y objetosdistintos no pueden ser la misma cosa. Decir que 6 no es un número, es comodecir que Pepe no es un hombre. ¡Es cierto, 6 es sólo el nombre de unnúmero, como Pepe es sólo el nombre de un hombre!

Aclarado esto, volvamos adonde estábamos: ¿Qué es el número? Pode-mos convenir que el significado de las palabras no hay que buscarlo de modoaislado, sino en el contexto de todo un enunciado, por lo que cabe establecerla pregunta en estos otros términos: ¿qué es, por ejemplo, el número uno?

<A la pregunta de qué cosa es el número uno, o de qué denota el signo I, sepuede responder: pues una cosa. Y si se hace notar entonces que el enunciado-el número uno es una cosa- no es una definición, porque a un lado se hallael artículo determinado y al otro el indeterminado, y que tal enunciado sóloexpresa que el número uno pertenece a las cosas, pero no qué cosa es...>

(FnncE, 1972, pá9. 13.)

- i . : ' - UI ' -e ' .ut¡)

5i5i i: ' '¿tA üE BlBLiOTÉCAS

t7

Puede que llegado ir cslc punto).rsted se sienta oonfundido y comience apensar en que quizh rro si¡bc lo que es el número. Pero estoy seguro de que sísabe lo que no es: cl núnrcr() no es una hortaliza, ni un animal, ni... Conven-dremos en que el númcro cs algo que no se puede ver ni tocar. ¡El número noexiste! ¡Son imaginacioncs!

A pesar de ello, hablamos de él y lo utilizamos gracias a sus nombres-signo. Los nombres-signo dc los números se llaman numerales. Por ejemplo:

4, IIII, IY, cuatro, fbur..., son cuatro numerales distintos de un mismonúmero, el cuatro.

Fijado un sistema biunívoco de numerales para nombrar a los números,cada numeral sólo representará a un número y czda número sólo estarárepresentado por un numeral. De esa manera, podemos evitar el preocupar-nos de distinguir cada vez que aparezca el número del numeral; y asíhablaremos de los numerales como si fueran números y viceversa.

Regresemos a la definición de número. No está claro que uno tenga quepreocuparse por ella, de la misma manera que nadie se preocupa por ladelinición de mesa o de silla, uno simplemente las usa. Aunque por precisarlas cosas seguiremos un poco más con el tema.

Las palabras de Rusell (Srcnrn, 1969, pág. 129): <El número es lo caracte-ristico de los números, como el hombre es lo característico de los hombres>,no es un juego de palabras, es una sentencia que hace pensar que losnúmeros son ejemplos o casos particulares de algo más general que llama-mos número, y sugieren que buscando las características propias de esosejemplos llegaremos a saber lo que es el número.

1.2. CARACTERIZACION

Cuando uno se siente en la necesidad de caracterizar algo, y no sabecómo hacerlo, puede seguir varios caminos, cada uno de ellos conlleva unalínea distinta de presentación en la escuela. Veamos a continuación algunosde ellos y reflexione el lector sobre sus posibilidades escolares.

1.2.1. Usos

Un camino a seguir viene dado al intentar describir la función: ¿Cómo ycuándo se usa?

a) Para contar

Contar es una función cotidiana del número, puede ser enfocada paracontar a secas, para contar cosas, en busca de la propiedad numérica de los

18

conjuntos (cardinal) quc tl:r rcrl)ucslir rr lrr ¡rrcgunta: ¿cuántos?; o en busca dela propiedad numérica tlc krs olrlt los (orrl irral) que da respuesta a la pregun-ta: ¿cuál?

. Para contar a sccits: r¡rro, t los, lfr is...

. Para responder a ln ¡rrcgrltt lr: ¿,cuiitttos?

. Para responder a la prcguntl: ¿.cuál'?

b) Pqra numerar

Numerar o asignar números a los objetos es una función utilitaria delnúmero. Se puede enfocar a diversos propósitos:

. Para identihcar (por ejemplo, el número de su DNI).

. Para diferenciar, localizar, seleccionar resortes (por ejemplo, las teclasdel teléfono, del ascensor, televisión o radio).

. Para ordenar (por ejemplo, los dorsales en los deportistas).

. Para delimitar o señalar (por ejemplo, partes de un texto: <capítulo 1,página 2, párrafo 3>>).

. Para los pasatiempos (por ejemplo, dibujos de hguras uniendo lospuntos numerados).

. Para cifrar, codihcar (por ejemplo, descifrando el número lll287 sabráen qué fecha fue escrito esto. Si gana el equipo de casa pones l, sipierde, 2).

. Para ubicar (por ejemplo, en la 5." estantería, entrando por la puerta 5,del quinto piso, del número 5 de la quinta avenida).

c Para nombrar (Octavio, Segundo son nombres de personas que, comoseptiembre, octubre, noviembre y diciembre, proceden de nombre nu-

méricos latinos.)

c) Para medir

Como en la regleta graduada. Como en el termómetro. Como en uncronómetro. Como en una balanza.

. Con el fin de describir medidas: el pH, la fuerza del viento, la tem-peratura...

. Con el fin de clasiftcar: los kilates del oro. el calibre de la fruta...

. Con el hn de evaluar, valorar: las notas escolares, precios, porcentajes...

. Para puntuar: juegos electrónicos, flipper...

d) Para operar.' suma, resta...

. Como operador: duplicar las ventas; subida de salarios lineal, 5.000pesetas.

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-T-)

Algunos de estos us()s son habituales para el niño. Incluso antes de sabercontar, el niño urbano oyc a sus padres que hay quc apretar <el cinco> en elascensor para subir ¿r c¿rs¿r de fulano, o que es un (uno)) en la quiniela. En laradio oye que <Aspar>> ganó en 80 cc, o que el grado de humedad es del 45por 100. Que su hermano compró un carrete de 200 ASA. En música, uncompás del 3 x 4. En Astronomia, la estrella alfa es de magnitud 2.

¿Qué pensará un niño de estas expresiones? ¿Cuáles de todas ellas setrabajan en la escuela?

1.2.2. InYariantes

Otra manera de caracterizar algo es intentar describir sus propiedadesinvariantes. Siguiendo ese camino imaginemos la siguiente conversación:

Tú, querido lector, serás uno de los interlocutores, y el otro, será unmarciano. El marciano, que es inteligente, no sabe lo que son los números yquiere aprender. Tú le pones delante varios conjuntos de tres elementos, y ledices:

T.-He aquí varios ejemplos del tres.M.-¿Dónde?T.-Aqui, mira, ¿qué tienen en común todos estos conjuntos?M.-Pues, no sé. Como no sea que son conjuntos, o mejor conjuntos de

cosas.T.-Sí, claro. Todos son conjuntos, pero tienen la misma cantidad de

cosas.M.-¿Cantidad?T.-Cantidad es... (Consultando el diccionario.) <<Lo que es susceptible de

aumentar o disminuir>... Bueno... Déjalo. Te lo explicaré de otra manera.Fíjate en los conjuntos. Por cada uno de los elementos de éste, hay un

elemento en este otro, y también en este otro.M.-Sin sombra de duda.T.-(Auenturando.) Pues bien, cuando esto ocurre decimos que tienen la

misma cantidad. Todos estos conjuntos tienen la misma cantidad, que estres.

M.-Así que, cuando tienen la misma cantidad, son tres.T.-(Neruioso./ No. Hay de uno, de dos, de tres, etc.M.-No entiendo.T.-(Leuantando la uoz.) Todos los que tienen la misma cantidad, tienen

el mismo número, pero hay distintas cantidades.M.-¿Y cómo se sabe qué número tienen?T.-Tres, es sólo para el que tiene uno y uno y uno.M.-Siento molestarte, pero es que no sé lo que es uno.

20

1.2.3. Nacimiento y cvoluclón

Un camino que scgrrircnr()s con ttt i is detenimiento es el que pretendeseguir la vía del descubrirrricnlo, cr'rrrro sc obtuvo. Es la reinvención, ponerseen el sit io del inventor y crr l irs colt<licioncs que provocaron su nacimiento ysu evolución. Es entendcr l irs nrzoncs quc le l levaron a é1.

A lo largo de siete pasos rcclaboraremos la idea de número desde que elhombre toma conciencia dc la unicidad hasta que diseña un sistema deadjetivos ordinales. Más adelante aclararemos qué hay de verdad en todo loque sigue.

. El sistema cardinal

a) El primer paso: la unicidad

En un principio, la noción primitiva de número pudo haber estadorelacionada con contrastes y coincidencias tales como el contraste entre unoy muchos o la coincidencia de conjuntos de personas y objetos.

La distinción entre uno y muchos supone la toma de consciencia de la

unicidad, el individualizar un objeto o fenómeno del resto del universoprescindiendo de todas sus cualidades. La unidad como idea de uno sólo quc

conduce al número como idea de la sucesión de unidades.

<Número es un sistema de unidades.tt (Thales de Mileto.)

(Cit., Lóprz G¡n<'f¡, 1955.)

Percatarse de la coincidencia supone la comparación de conjuntos pres-cindiendo de las características de sus elementos. v lleva al número comoidea de clase de equivalencia.

b) EI segundo paso: la coordinabilidad

<Cuando el hombre primitiuo regresaba a su morada, sentiria, seguramenle,el deseo de contar a sufamilia sus auenturas y describir los animales que habíaencontrado. Haría uso de términos como "muchos", "pocos"; un grupo muynumeroso, por ejemplo, sería descrito como "muchos, muchos". A partir deéstas y otras experiencias se suscitaría la necesidad de cuantiJicar con exac-titud.

Mas tarde descubriría el artificio de comparar objetos de un grupo con losde olro. Por ejemplo, si un grupo de hombres tenía que usar hachas de pedernal,pronto se uería si tenían las suficientes o demasiadas, o un número insuficiente.Esla correspondencia "uno a uno" tuuo una gran importancia para la posteriorelaboración del concepto de número y conduciría también, sin duda, a términoscomo "más", "menos", "tantos como".¡¡

(Lovnrr, 1977, pá9. 40.)

2l

I

Aparece en €sccnl un procedimiento para asegurirrse de que dos conjun-tos tienen el mismo númcro de elementos. lloordinar conjuntos, establecercorrespondencias uno a uno entre los elementos dc los conjuntos implicadosen la comparación.

G)

cxa,ft

o,n

Comparación:

Resultado: Menos Más Igual

La coordinabilidad, relación de equivalencia, genera una clasihcación.Las clases se forman con todos los conjuntos coordinables entre sí y paraindicar que dos conjuntos pertenecen a la misma clase decimos que tienen lamisma cantidad o el mismo número de elementos. El número en este caso vcon esta función es denominado: número cardinal.

c) El tercer paso: el registro

El problema es que estas clases sólo existen en nuestra mente. ¿Cómodescribirlas?, ¿cómo saber a qué clase pertenece un conjunto dado?

La coordinabilidad no sólo permite hablar de cuál de entre dos conjuntostiene más elementos, o menos, también permite llevar un registro permanen-te o portátil de la cantidad, un retrato o <conjunto que coincide con>.

Un ejemplo de esta idea se utilizó, según Sreur (1980, págs. 54-55), entiempos anteriores a la alfabetizaciín y numeración general. Supongamosque un ganadero deseara asegurar que el rebaño de ovejas que llegaba a sucasa desde el mercado era el mismo en número que cuando partió. Secortaron muescas en un palo denominado marcador, correspondiendo cadamuesca a una oveja. Se cortó el palo por su eje de modo que cada mitadfuera la imagen de la otra. El ganadero quedó con una, el pastor con la otra,de modo que cada uno tomaba la marca del número de ovejas.

Los dedos de la mano, las muescas sobre un garrote, los montoncitos depiedras apiladas, etc., constituyen buenos retratos o referencias. El hombreha recurrido a utilizarlos como modelos, como representantes de clase, y losha diseñado a su conveniencia y según su eficacia.

d) El cuarto paso: las (!tt lu. 'ttt,\

Se avanza un pas() ¿tl cti( luct¡tr ' los modelos, al ponerles nombre. Laelección no debió ser cs¡'rorrt: irrc¡r ¡ri l i ici l. DnNrzrc (1971, págs. 5-6) y Srnur(1980, págs. 155-156) harr bost¡rrcjirt lo krs pasos y en lo que sigue uti l izaremossus opiniones.

El hombre primitivo busc¿r sus conjuntos de referencia entre las cosas quele rodean, así, la mano cxtcndida le sirve para representar la clase quenosotros llamamos cinco, los ojos, las orejas o las alas de un pájaro,paralaclase dos. Pronto descubre que el nombre del objeto es tan útil como laimagen del mismo.

De esta manera es como ciertos nombres llegan a ser utilizados comoetiquetas para describir a las clases de equivalencia o números cardinales.Por ejemplo , nariz, trébol, mano, ojos, perro..., sirven perfectamente para estefin. Hay pruebas de que esto pudo ser asi: perro es el nombre en Maorí del 4(GnoNrn, 1984, pág. 10).

Posteriormente, la necesidad de distinguir cuándo el nombre se refiere ala clase a la que pertenece el conjunto u objeto y cuándo se refiere al objetomismo, debió conducir a utilizar expresiones orales o simbólicas distintas delas originales. Así, hasta que el paso del tiempo borró la huella, es decir, laconexión entre la expresión final y su origen. LJno, dos, tres, en vez de nariz,perro, mano...

r r | | | l | | lNariz Perro Mano Ojos Trébol

Uno Cuatro Cinco Dos Tres

. El sistema ordinal

e) El quinto paso: el orden

Con este sistema, para hallar la clase de un nuevo conjunto, tendría quecompararlo con el modelo o estándar que se considerara más adecuado. Si seequivoca tendría que intentar con otro, y con otro, y con otro, etc., hasta queencontrara el correspondiente.

Para conjuntos grandes llevaría mucho tiempo dilucidar cuál es su clase.La dificultad aumenta con el tamaño hasta hacerse insalvable. ¿Qué hacer?¿No hay ninguna forma organizada para evitar estos ensayos?

El camino natural es ordenar los modelos, y, en consecuencia, sus nom-bres; para ello, tiene que establecer un criterio. Un buen criterio tiene quepermitir organizar todos los modelos elegidos sin solapamiento. Por ejem-plo: <el que tiene más va después>:

?9' i t

^^^At t l99?^^^

RRft t laaaa

^^^^

aaa

^^^t t lQAa

^^^

Il lI lI t l(" ' )

22 23

trene

uno

más

que

éste

tlene

uno

más

que

éste

Con este criterio, la diferencia entre dos consecutivos es constante, uno.Esto permite reconstruir cualquier modelo, ¡por grande que sea!, sin más queir aumentando de uno en uno; y si deja volar su imaginación, si tuviera unmodelo para todos los granos de arena del mundo o para todas las estrellasdel firmamento, aún podría ir más lejos: <Uno más.> Con esta idea, elinfinito comienza a desvelar su misterio.

I El sexto paso: el sistema de numeración

Ahora tiene un problema con los nombres de los modelos, no tienebastantes, tiene que pensar en algún sistema de vocablos y de símbolos paratodos, pero que se pueda usar. Esto supone que ha de ser un sistemareducido, finito, y, sin embargo, un sistema que ha de ser adecuado para unconjunto extenso, infinito.

una buena solución es crear un sistema que, sobre la base de un alfabetofrnito, permita, dado un nombre-número, describir el siguiente y el anterior.Por ejemplo:

Nariz, ojos, trébol, perro, mano,mano-nariz, mano-ojos, mano-trébol, mano-perro, mano-mano,

mano-mano-nariz, mano-mano-oios. mano-mano-trébol...

Los tamanacos, una tribu de indios sudamericanos, usaban para 5 la mismapalabra que usaban para decir (una mano enterar. Ei término que designaba al6 signiJicaba (uno en la otra mano); el 7 eran <do.s en la otra manor, yanálogamente para I y 9. El l0 era <ambas manosD. para erpresar de I I a j4,los tamanacos extendían ambas manos y contaban <uno dcl pie , dos del pie...t,y así sucesiuamente hasta 15, que era (un pie complctor. ('omo podemospresumír, el sistema continuaba expresando el l6 como <uno tlal otro pie>, y así

hasta 19. La palulrrrt tlu( t'\l,tt'\tilttt ptittlt 'era la mísma empleada para decir

<un indio>. El 2l tt,t rnttr' t',t ltt il¡tuil, th'olro indio>. <Dos indios> significaba

40. <tres índios>t. (¡0

(CeoNnn, M., 1984, págs. 109-110.)

De esta manera, para conocer el cardinal o clase de un conjunto como:

{. ! r . .}, se empezaría por ver si es de <<nariz>>, nombre de la clasedel conjunto { | }. Si no lo es se probaría con (ojos)), clase de { | | }, y asisucesivamente y en este orden.

g) El séptimo paso: contar

Podemos suponer que este procedimiento haría emerger la genial técnicaque llamamos contar.

I

I

rJ

{nariz} |

{nariz, ojos}

{nariz, ojos,

{nariz, ojos,

{nariz, ojos,

trébol)

trébol, perro]

trébol, perro, mano)

Pronto se veria la comodidad de utilizar directamente la secuencia orde-nada de palabras-número, secuencia contadora, y gue señalando o mirandopor turno los elementos del conjunto que se quiere contar, al tiempo que seasigna mentalmente un término detrás de otro de l¿ secuencia hasta que el

conjunto se agote, se llega a un resultado sorprendente: el último nombrerecitado, (mano)), es precisamente el nombre de la clase a la que pertenece elconjunto dado.

De este modo, contar un conjunto dado se perhla como la comparacióncon un conjunto de referencia, en particular el conjunto de los nombres

{r

I

I

E-l: ¿En qué se difcrcncirr <rrr int l io y uno del otro pie> y <un pie completo yuno en la mano dc otro indio>'?

E-2l. ¿Es asociativa la suma tamanaca? Ayúdese para contestar con lo si-guiente: <un pie completo y un indio, y uno en la mano de otro indio> eso no igual a <un pie completo y, un indio y uno en la mano de otroindio>.

' tA

25

Tnúmero <4,2.3,4. ...u. y la rccitación y emparejarnicnto de sus elementos conlos del conjunto dudo h¿rsla que éste se agote. '

El nombre-númcro <rr>, dcsempeña en este proccso un triple papel: nú-mero asignado al últ imt¡ clcmento del conjunto quc sc cuenta, elemento delacto contador, y elcmcnto que cuenta el conjunto.

Nótese que para poder efectuar el proceso de contar se necesita de unainhnidad de simbolos, con sus nombres organizados en sucesión ordenadaindefinida, lo que quiere decir que hay siempre un siguiente y un anterior,salvo en el primero. Con estas características, el sistema que resulta esdenominado un sistema ordinal.

Un sistema ordinal adquiere existencia cuando Ia memoria ha regístrado losnombres de los primeros números en el orden en que se suceden, y cuando haimaginado un sistemafonético para pasar de un número cualquiera al siguiente.

(De,Nrzrc, 1981, pá9. 241.

h) El octauo paso: los adjetiuos

La caracteristica secuencial, uno detrás de otro, en que se organizan lossimbolos y palabras-número en los sistemas ordinales, permite recordar elorden en que se suceden las cosas y saber en qué etapa se encuentra undeterminado fenómeno.

Si necesitamos más información de la que nos dan expresiones como:mucho, antes, después, o..., ¿qué es lo que hacemos? Lo que hacemos escontar, y si hay dos delante, decimos que éste es el tercero. Tercero es en €stecaso un adjetivo, se rehere al objeto en el sentido de que al contar está entreel objeto que corresponde al dos y el que corresponde al cuatro.

Adjetiuos ordinales

Primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo,noveno o nono, décimo, undécimo, duodécimo, décimotercero o déci-motercio, ..., vigésimo, trigésimo, cuadragésimo, quincuagésimo, sexagé-simo, septuagésimo, octogésimo, nonagésimo, centésimo, ducentésimo,tricentésimo, cuadrigentésimo, quingentésimo, sexcentésimo, septingen-tésimo, octingentésimo, noningentésimo, milésimo, millonésimo, ...

Escribir el adjetivo ordinal del 487.

Un viejo acertüo: ¿Podrías tú colocar once monedas en l0 platillos, demodo que en cada platillo, no haya más que una moncda'l

Yo te ayudaré. En el primer platillo, dos monedas, la primera ytemporalmente la undécima.

La tercera rn()rr( ' ( l ¡r ¡ tott l t t ctt cl scgundo plat i l lo. La cuarta, en el

tercero; la quint l , r ' l t t ' l t ' t t ¡ t t lo. y ¡tsi sucesivamente.

Cuando l legur:s :r l ¡ t t l i ' t ' t l t t¡ t t l tol tct l i t , la pondrás en el noveno plat i l lo

y el décimo te qttct l i t t ; t l t l r tc, ¡r; t t l t l i l t rndécima que tenías puesta en el

pnmero.

Adjetiuos cardinales

De la misma manera quc cl hombre ha diseñado palabras adjetivo, para

indicar que se refiere al número en su papel ordinal, tambien ha construido

palabras adjetivo para el papel cardinal del número:

o La historia real

No quisiera dar la impresión de que el camino que hemos seguido para

presentar el número escrito, primero comparación y luego orden, es algo más

que una conjetura. La forma como se ha llegado a establecer la ordinalidad

de las palabras-número a partir de la organizaci,bn en fila de cardinales es

sólo una estratagema didáctica, un intento de explicación, no tenemos prue-

bas de que la historia haya sido exactamente así:

<Todauía hay una gran cantidad de cuestiones sin respuesta relatiuas al

origen de la matemótica; usualmente se supone que esla ciencia apareció para

responder a necesidades prácticas del hombre. Pero hay estudios antropológi-

cos que sugwen ta posibilidad de un origen alternatiuo. Se ha sugerido (uéase

A. SrINo¡Ns¡xc, "The Ritual Origin of Counting", Archive for History of

Esact Sciences,2 [1962],pógs. I-40) que el arte de contar pudo aparecer en

conexión con ciertos rituales religiosos primítiuos y que el aspecto ordinal

precedió al concepto cuantitatiDo. En los ritos ceremoniales que escenifican los

mitos de la creación era necesario llamar a los participantes a escena en un

orden preciso y delerminado, y quizú la numeración se inuentó para resoluer

este pioblemu. Si .sr¡n correclas las teorías del origen ritual de la numeración.

entonces el rottc<,Dlt¡ tle número ordinal puede haber precedido al de númera

cardinal >

(Bovnn, 1968, pág.23;.

E-3:

I

r i r ; , r , : i . i . ; - ; ; ; J l - i i : i ' i ' l ' ' , ' - r

5i5i i i ,1A iJI Ei l iL i ' ) i i ] (AS

26

E-4l.

27

otros testinlorri.s quc abogan por el número ordinal antes que el cardi-nal se apoyan cn cl cirr¿ictcr iterativo de los escritos numéricos más antiguosque han llegado h¿rst¿r nosotros y que veremos en cl capitulo siguiente. Laexplicación que sc da como más plausiblepara estc carácter iterativo es quefue utilizada como mcdio para registrar acontecimicntos sucesivos:

<<La utilizatil¡n ordinal de los números enteros como rórulos para registrarel paso del tiempo es primitiuamente más necesaria que su utilización cardinalcomo rórulos para señalar el beneficio a distribuir entre la tribu, del capitalobtenido de la caza. sea como sea, todo lo que podemos decir con seguridad eslo que podemos conjeturar sobre el único modo que inicialmente era posiblepara alcanzar el Jin preuisto con los medíos enlonces a disposición del hombre.EI primer paso es realizar diariamente unas muescas en un poste o tronco deárbol para comprobar el paso del tiempo.>

(HocrnN, 1966, pág. 31.)

Después de poner muescas en un tronco, ¿cuál será el siguiente paso?...La solución en el próximo capítulo.

E-5: Ugh y Pufh, hombres primitivos, han encontrado huesos dulces en unajornada de caza:

Ucn.-¿Qué hacemos?Punn.-Los repartimos.U.-Sí, ¿pero cómo? No quiero que tú te lleves más que yo.P.-Ya sé. Uno para ti, uno para mí, otro para ti, otro para mí, etc.

(Pffi acaba de inuentar la coordinabilidad de conjuntos.)

Ugh y Pufh iban tan cargados conlacaza que se vieron obligados aesconder los huesos en una cueva. En el camino de regreso a su guaridamantuvieron la siguiente conversación:

U.-Me gustaría saber si tendré bastantes huesos para todos mishijos, no quisiera que el más pequeño se quedara sin probarlos. Imagi-natelo toda la noche llorando sin dejamos dormir.

P.-¿Por qué no coges una piedrecita por cada uno de los huesosque has conseguido? Cuando llegues a casa podrás saber si tienes bas-tante para todos. (Pufh había inuentado el registro de la cantidad.)

Ugh hizo caso a Pufh, pero en el camino fue asaltado por uncomesetepiedras y tuvo que saciarlo poniéndole una piedra en cada unade sus bocas. Cuando preocupado llegó a su morada, le explicó el caso asu mujer preferida, la cual le tranquilizó dándole la siguiente solución:<Si el comesetepiedras comió por todas sus bocas, es fácil entender quese comió sete piedras.>

¿Qué había inventado la mujer preferida de Ugh?

Eó: Inventa una histor irr . ¡ror 'rrru r) l rr ( l i lc sc lc ocurra que dé lugar a expl icarla aparición del ort l t ' rr r ' rr lur r ' tr t¡rrclrrs y del procedimiento que l lama-mos contar.

. Contar con las parfes dcl cucrp.¡

Los indígcnus ccltltrtttittt lu ((r.'ntonia del Gran Totem cuando su jefellegue a <su qjo i:quitttht>, ttus ltul¡cr rachado sucesiuamente, durante los doceprimeros días de lo t¡t'tttpu Lutt¿t, t'o¿la uno de los doce pequeños lrazos quehabía trazado anterionn(ttt( x¡brc su cuerpo desde el dedo meñique derechohasta su boca.

(IrnncH, 1985, rÁc. 40.)

En esta forma de contabilizar no se considera sólo emparejamiento,también hay tradición, la fuerza de la costumbre que lleva a utilizar en unorden preestablecido cierto número de partes del cuerpo, siempre las mismas.

No hay número abstracto en este proceso; la simple designación de unade dichas partes no basta para caracterizar una cantidad, hay que acompa-ñarla de gestos o referencias al punto de partida --{e tal a tal o desde aquíhasta aquí.

En cierto modo y a su manera ya saben contar, han adquirido la ideaclave, la de sucesión; aunque en vez de decir uno, dos, tres, necesitan tocar otachar marcas en su cuerpo. La recitación vendrá después, como una letania,hasta que poco a poco se irá tomando conciencia de ciertas propiedades:cualquiera que sea el elemento que inicie el recuento siempre se llega almismo resultado, el último nombre recitado determina sin ambigüedad todala sucesión, diversos conjuntos terminan en el mismo nombre, hay unainclusión jerárquica (si se añade un elemento a un grupo la sucesión que locuenta termina en el nombre siguiente a aquél con que termina la sucesiónque cuenta el grupo...).

t

28 29

La numeración,evolución y comparación

de sistemas

2.I. EJERCICIOS PRELIMINARES

2.2. SISPlvtlS DE NUMERACION

< La finalidad inicial de un sistema de numeracíón es asignar a cada númeronatural indiuiduql (con un límite que depende de las necesidades prácticas) unnombre y una'répresentación escrita,formada por combínaciones de un reducüdo número de signos, efectuadas siguiendo leyes más o menos regulares.>

(Bounnnru.)

Así, la cuestión estriba ahora en si un sistema de numeración es mejorque otro y, si esto es asi, qué es 1o que hace que lo sea.

Claro que antes hay que precisar, ¿mejol para qué? En lo que sigueabordaremos la cuestión desde el punto de vista de la representación de

E-9:

(Para reflexionar.) La distribución de botellines de bebidas y otros pro-ductos está organizada por agrupamiento. Las botellas de leche en cajasde 24 unidades, los huevos por docenas y medias docenas, etc. ¿Por qué?

¿Cuántas decenas hay en una decena de millar?

(Para la calculadora.) Después de un banquete se quiere evaluar lasexistencias de cerveza. Se dispone de botellines de envase no retornable:sueltos, en pack de seis, en paquetes de seis packs, en bloques de seispaquetes y en paliers de seis bloques. Curiosamente quedan 2 unidadesde cada t ipo; esto es,2,2,2,2, y 2. ¿Cuántas cervezas quedan?

31

números. Un sistcnlir scrá mejor si es más brcvc, más fácil de leer, etc.Después, en el (- '¡ritrrlo 3, enfocaremos el tema dcsdc el punto de vista delcálculo. un sistcnla scrir tanto más bueno cuanto más lejos permita desarro-llar el cálculo.

2.2.1. Representación simple

El hombre primitivo comprendió que apilando piedras o haciendo mues-cas sobre un palo podía describir la cantidad: tantos objetos como muescas otantas piedras como ovejas. Había diseñado su primer sistema de numera-ción.

La muesca sustituye en la mente del hombre al objeto. Una por cadaobjeto y tantas como objetos.

Un sistema como éste, que llamaremos de representación simple, secaracteriza por la repetición uniforme de un sólo símbolo y es un registroconcreto del aspecto cuantitativo (cardinal) del número. (Todavía hoy nosapoyamos en un sistema análogo cuando recontamos votos.)

Inconvenientes:

¿Cómo representar grandes números?, ¿cómo leerlos?

2.2.2. Agrupamiento simple

Para reducir esta dificultad se puede recurrir al agrupamiento: -,Por ejemplo, cada vez que tengamos tantos signos como dedos en la

mano, hacemos un paquete, tachamos un grupo...Por ejemplo:

IIIII IIIII IIII IIIII IIIII IIIII IIIII II

o

fiII+ fifl+ IfiI+ fiII+ fiTI+ fiI{+ H{I+ II

<Cuando el hombre primitivo empleaba este sistema de representación, a .menudo amontonaba las piedras por grupos de cinco, debido a que antes sehabía familiarizado con los quíntuplos de objetos por observación de supropia mano o pie> (Bovnn, 1968, pág. 2l). (La vieja idea de que el hombre es \la medida de todas las cosas.) { '

Hay pruebas de que esto es así, comol por ejemplo, cl dcscubrimiento

32

arqueológico de un hueso prot'crlcnlc tlc rrl cachorro de lobo de hace treinta

mil años encontrado en (' l tct 'rrskrv¡t(lttt¡t. <cn el que aparecen 55 jncisiones

bastante profundas distribuitl irs cn tkrs scrics, la primera con25 y la segunda

con 30, y en cada seric l¡rs i l lcis¡ot¡cs c:sti i lr distribuidas en grupos de cinco>(Boven. 1968. páe.221.

Tachar, aunque facil i t lr l lr lccl ttr¿t dcl número cuando es grande, no

abrevia la escritura. Es rncjor suslituir cada paquete o grupo de signos

tachados por un nuevo símbolo. ¿,I)t lr quó no un doble palo en cruz, en equis

o en uve?En lo sucesivo, utilizaremos la notación que emplean Miller y Heeren

(19'79), en lugar de <IIIII>, escribiremos <V>. Así el número del ejemplo se

reduce a esta expresión:

VVVVVVII

Fácil de leer, fácil de escribir. Este tipo de sistema de numeración, aditivo

como el anterior, es llamado de agrupamiento simple. Se caracteriza por la

elección de una base para el agrupamiento (5 en el ejemplo), y por la

presencia de dos clases de símbolos: los símbolos para las unidades y los

símbolos para los grupos de unidades. Pero, ¿qué pasa con números mucho

más grandes?

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVWVVVVVVVV VV I I

Como se ve, se presentan los mismos problemas que en los sistcmas dc

representación simple. ¿Qué hacer?

2.2i.3. Agrupamiento múltiple

Si se presentan los mismos problemas, lo lógico es aplicar los mismosremedios. En consecuencia, procede extender el agrupamiento:

En lugar de <WVVV), escribirmos <N>.En lugar de <NNNNN>, escribimos (WD.En lugar de <WWWW'W)),...y asi sucesivamente.

Con este convenio de escritura, cada nuevo símbolo representa a lapotencia de la base inmediatamente superior:

V=II I I I=5N:VVVVV:52W:NNNNN=.. .

It

33

E-10: ¿Quó nirrncro rcpresenta W N W I I V

un sistema aditivo caracterizado por la prescncia de un símbolo distintooayg.Tda una dc las potencias de la base, es denominado de agrupamientomúltiple. No hay un límite parara cantidad de símbolos npiesirios, pero sípara el número de repeticiones de los símbolos, como máxirno los queindicala base elegida para el agrupamiento.

(

. Sistema egipcio

un ejemplo de sistema de agrupamiento múltiple lo encontramos en elviejo sistema jeroglífico egipcio:

El 1 se representaba mediante un palo vertical n | ,

El 10 se representaba mediante un arco . . .

El 102 se representaba mediante la espiral

El 103 se representaba mediante la flor de loto

2.2.4. Sistemas multiplicrrtlvor (S.M.)

Con su sistema, los cgi¡rcios. cl 'cctu¡rbun sus cálculos y registraban susefemérides; no podemos rrscgur¡u crtlilcs fueron sus problemas, quizá decálculo. De cualquier morkl, sc tlro un paso hacia nuestro sistema de numera-ción cuando se decidiir cst¿rblcccr urr criterio que suprimiese la reducidarepetición de los símbokrs quc proscntaban los sistemas de agrupamientomúltiple.

No sabemos en quó lecha ocurrió esto, pero conocemos algunos ejem-plos:

. Sistema ático

El viejo sistema de numeración ático griego guardaba los criterios de lossistemas de numeración de agrupamiento múltiple:

Para representar las unidades utilizaban los palos verticales y para laspotencias de la base, diez, las letras iniciales de las palabras que en su idiomalas denominaban, A para Deka (diez), H para Hekaton (cien), X para Xilioi(mil) y M para Myrioi (diez mil). Aparte de ser un sistema cuyos símboloseran fáciles de aprender, a diferencia de lo que ocurría en el sistema jeroglífi-co egipcio, presentaba alguna novedad:

a) Para el cinco se adoptó un símbolo nuevo, que era la primera letra,f, de la palabra usada para denominarlo, pente.

b) Para evitar la repetición de símbolos adoptaron un criterio multipli-cativo que consistía en una combinación de simbolos, palos y letras,de manera que 50 venía representado por Io o 5 por 10, 500 por l" o5 por 100, etc. Así pues, el número 45.678, por ejemplo, se escribiríaen notación ática de la forma:

MMMM t*I, H taAAfIII

. Un sistema de numeración por agrupamiento que utiliza dos clases desímbolos, unos para las potencias de la base y otros en función multiplicado-ra de aquellos, es denominado sistema multiplicativo.

E-13: Escriba el lector su año de nacimiento en sistema ático.

n f\,

,,?,nf,

El 104 se representaba mediante el dedo señalando <[f >

El 10s se representaba mediante el renacuajo (a())

El 106 se representaba mediante el hombre asombrado . . . . . n$o

-._\$Ur i i j l i \ ; : ; iL

¡E DE (/TLDAS 35

BIBTIOTECAS

t

E-11: Identificar el número (O( fI o( | n n F p ? f ,

E-12: ¿Qué problemas presenta un sistema de agrupamiento múltiple?

34

o Sistema chino-japonós

Otro ejemplo dc sistema multiplicatfvo, lo tcncmos en un tradicionalsistema de numeración chino-japonés. Utilizaban los siguientes simbolos:

¿@.Á

-)-, , \J-

tr/uAI

a+,

:3

-A

:5

:6

-1

:8

:9

:10

: 100 (10r)

: 1.000 (103)

La elección de múltiplicadores puede parecer intrascendente en este mo-mento, sin embargo, no todos serán igual de elicaces.

Volvamos a nuestro ejemplo. En vez de escribir unA,,dos, tres o cuatroveces los símbolos V, V, M, W, ..., podemos escribir.uno, dos, tres 'o cuatropalos verticales delante o arriba o ...:

/ \l l l l l lNVwNNw --+ l l l l l l lv l lw l l lN

Naturalmente, caben otrrrs ¡rori ihil lr lrtt lcs, por ejemplo, seguir los criteriosdel sistema ático y uti l izar ct'¡ten(rri ¡rl l irbólicos. En lugar de un palo verticalse puede poner una <u)), p()r ser l¡r i l l iciul de uno; en lugar de dos palosverticales, la <d>, como inicinl rlcl thrs; cn lugar de tres palos, la <<t>; en lugarde cuatro palos, la <c>... l)c cst¡t nlitncr¿t, el número anterior tendría esteaspecto:

dw tN (seis l, una V, dos W y tres N)

La decisión de recurrir al alfabeto tuvo importantes consecuencias en lahistoria de la humanidad, después volveremos sobre ello.

Llegados a este punto, uno puede tener la sensación de que se encuentraante un buen sistema, ya que no es fácil descubrir qué problemas presenta.Mucho menos si se tiene en cuenta que nuestro sistema oral de numeraciónes de este tipo: multiplicativo.

. Nuestro sistema oral

Cuando decimos: dos mil, tres cientos, diez y seis, es como si dijéramos:dos W, tres N, una V y seis l, o I lW, I I lN, V y | | | I | | (en el supuesto que W,N y V correspondieran a potencias de diez y no de cinco, como hcmosvenido usando hasta ahora). En ambos casos, dos, tres, uno-y seis actuáncomo multiplicadores de los símbolos que representan las potencias de labase.

Sorprende que vayamos por la vida con dos sistemas de numeración. Eloral, multiplicativo or{enado (con una componente tradicional, nombresespecíficos para 11, 12, 13,14 y 15), y el escrito, posicional.

¿Qué razón hay para elló? ¿Es un atavismo? ¿Por qué no decir simple-mente, dos, tres, uno y seis, tal y como lo escribimos en lugar de algo tanlargo como dos mil trescientos dieciséis? Nadie lee el número de su teléfonode esta última forma. todo el mundo lo hace recitando un número detrás deotro o por parejas y no pasa nada. ¿No es esto posicional?

. Sistema babilónico

Sin embargo, todavía es posible ayanzar un paso más: <Quizá fuese lapoca flexibilidad quc ofrccian los materiales de escritura mesopotámicos, obien un relámpago dc intuición imaginativa, lo que hizo conscientes a los

uVsl

I vrw Ñ

E-14: Identificar el número: i-+

(El multiplicador <uno> ^no lo escribían.)

i,+E-15: Diseñe el lector su propio sistema rniliplicativo.

(Sugerencia: Piense en alguna combinación de símbolos que evite larepetición y después elija multiplicadores adecuados.)

36JI

babilonios dc qrrc bust¿rba con sus dos símpolos. l)irra el 1 y para el 10, parapoder representar cualquier número entero por grirnde que fuese, sin excesi-vas repeticiones. Esto ocurrió hace más de cuatro mil años con la invencióndel sistema de notación posicional, basado en cl nlismísimo principio que esel responsable de la eficacia de nuestro sistema dc numeración actual. Esdecir, que los antiguos babilonios se dieron cucnta de que sus símbolospodían representar un papel doble, triple, cuádruple, etc., simplemente asig-nándoles valores que dependiese de su posición relativa en la representacióngráfrca de un número. Las cuñas que componen la expresión cuneiformepara el 59 están agrupadas estrechamente de manera que lorman casi unúnico símbolo, de forma que espaciando adecuadamente estos grupos decuñas se pueden determinar sin ambigüedad la posición relativa, al leerde derecha a izquierda, que corresponde a las sucesivas potencias crecientes dela base, y así cada grupo tendrá entonces un "valor local" que dependerásolamente de su posición> (Bovrn, 1968, pág. 50).

El sistema babilónico usaba la cuña vertical $) para representar unida-des, del uno hasta el dtez, y la cuña horizontal (() para representar lasdecenas. Era un sistema de agrupamiento simple para los números menoresque 59, y a partir de este número, usaba un criterio posicional. Por ejemplo;

El 3 veces 602 + 4 veces 60 + 3 dieces

y un 3 se representaba:

2.2.6. Sistemas posicionlh'r

Otro día, se daría cucr¡ t r r rh ' r ¡ r re c l urr lc l l hacía que.. . W, N, V, s iempreaparecieran en el mismo lrr¡¡rrr, ¡.1'or r¡rrú cscribirlos? Se entiende lo quequiere decir:

I t | l l lr l u c l

2134

IJn inconveniente se presentaba cn cl primero de los ejemplos: si no seseparaba bien habría lugar a confusión al juntarse los palos. Solución:

¿rechazarlo y tomar el segundo'? o ¿modificarlo? La decisión era crucial, elprogreso futuro depende de este momento. No sabia qué problemas seavecinaban.

¡ Sistema maya

Los mayas zanjaron la cuestión con un sistema de niveles:Escribían sus símbolos en vertical, de abajo a arriba, en cajas o niveles, de

acuerdo con los criterios del agrupamiento simple para los números menoresque 20, y a partir de é1, siguiendo las reglas de los sistemas posicionales,cambiaban de nivel. Con un punto representaban la unidad y con una barrahorizontal el cinco. El caparazón de tortuga era utilizado para representar elcero. ¿Por qué, si no les hacía ninguna falta?

WT tl?t 1. Tvt

67o01 /1 < 892.2.5. Sistema multiplicativo ordenado

No sé qué hay que hacer para tener un relámpago de intuición imaginati-va, pero imagino que la ley del mínimo esfuerzo debe contribuir a ello. Elescriba que utilizaba el sistema multiplicativo, cansado de escribir V, N, W,etc., buscaria alguna forma de ahorrarse trabajo. Un buen día decidiríaescribir los numerales ordenadamente, primero las' unidades, después lasdecenas, después las centenas... No tenía ninguna necesidad de ello, pero erauna buena costumbre, co¡no ponerse los pantalones antes que los zapatos.

l lw tN | i lv I l

¿Y el 20?

l1 t2

El 20

. . 15 16

nivel 2.o

Et 21

nivel 1.o

r18r,13 14l0

I

Identihque el lector el numeral

38

dW uN cV t l

39

Actuando ¡rol iuralogía con el sistema mayit. debemos buscar algunaforma de difcrcnciirr krs distintos nti.veles. Por cjcrrrplo, podemos convenir enrodear los multiplicadores con un círculo multiplicador. Caben otras solu-ciones. Es un momcnto crucial, si no acertamos podcmos provocar el estan-camiento. ¿Les ocurrió así a los babilonios?

Un sistema que prescinde de los simbolos que representan a las potenciasde la base gracias a la adopción de un criterio de orden, es denominadoposicional. En él los numerales actúan como multiplicadores de un símbolosobreentendido.

. El cero

El paso de sistema multiplicativo a posicional, con círculos multiplicado-res da lugar a un nuevo problema:

Ow@NO y Ow@vC

se escriben igual. ¿Qué hacer?

e@ooco@e

La modifrcación del sistema poniendo círculos multiplicadores ha propi-ciado una respuesta rápida y casi evidente al problema, es el hueco. La noexistencia de una determinada potencia de la base, qué mejor que represen-tarla por la no existencia de multiplicadores en el círculo.

Si hubiéramos elegido otro sistema, quizá no hubiéramos tenido respues-ta para este problema, como les pasó a los babilonios: <Los babiloniop noparecen haber sido capaces, al principio, de inventar una manera clara derepresentar una "posición vacía" €n un numeral, es decir, no dispusieron deun símbolo para el cero en su sentido no cardinal, sino posicionab (Bovnn,1968, pág. 51). r

@@

w

w

/ñ

rT)orT\

N

V

. Las cifras

Los sistemas posicionlrlcs rluc ¡rr '¡rb¡rlttrts dc ver presentan la ventaja deque al uti l izar un número l inr¡l irrlo rlc sirrrbokrs son muy fáciles de aprender:

-Tres signos el mayu: cl ¡rrrtrlo. l l barra y el caparazón.-Dos signos el de circulos: cl ¡rlkr vcrtical y el círculo.-Un signo el babilónico: l ir cuñlr, horizontal o vertical.

Sin embargo, la humanidad hl prcfcrido un sistema posicional dondecada multiplicador tiene su propio aspccto, las cifras, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

¿Qué razones han motivado esta docisión?Unavez adoptado el sistema posicional, hay que procurar un sistema de

signos que faciliten la escritura y el verbalismo de los números:

@@,87,

¿Cuál es más fácil de reconocer?Es evidente la brevedad e inmediatez visual de nuestro sistema. Pero, si se

quieren razones más convincentes, piénsese en lo molesto que resulta, desdeel punto de vista de la escritura, arrastrar las cajas de nivel o los círculosmultiplicadores. ¿No es mejor prescindir de ellos? ¿Pero cómo? ¿Quitán-dolos?

@,@l i l | | i l l l

Podría haber confusión si no se separan bastante, pero..., ¿cuántobastante? ., - r

Será mljor retocar algo los símbolos:

En vez de | | se puede poner l--

En vez de I ll se puede poner l-l

En vez de I | | | se puede poner . I

Envezde l l l l l se puede poner. N

Envezdel l l l l lsc pucdcponer. X

40 4l

Bien mirado, óstc ¡lodría ser el origen de nucstro signos actuales. A pocoque uno se fijc krs cncontrará escondidos en el cuadrado dibujado con susdiagonales:

XXXXIXXXX

2.2.7. Numeración y cálculo en los viejos sistemas

Hasta aquí se ha mostrado una hipotética evolución de la nuineraciónescrita basada en satisfacer necesidades de representación de números; debeentenderse que ha sido una estratagema didáctica; no es cierto que la historiareal fuera tan lineal.

La verdad es que el camino fue en zigzfg, lento y plagado de obstáculos yante todo intimamente ligado a las necesidades de cálculo de cada cultura.

Numeración y cálculo van unidos, forman un todo y los cambios, avan-ces o retrocesos que experimente una de sus partes provoca automática-mente un cambio, avance o retroceso en la otra.

Hasta llegar al sistema actual de numeración hubo que esperar a que elmundo adquiriera una complejidad cientihca y económica suficiente parahacerlo necesario. Bien entendido que ninguna cultura puede atribuirse aldescubrimiento simultáneo de todos los principios que lo conforman, son deorigen diverso y únicamente se da por seguro que es de cuna india la idea deponerlos juntos, ya estaban ahi, y costó mucho tiempo prescindir de loshábitos adquiridos hasta llegar a una aceptación generalizada. La historia dela entronización del sistema de numeración indoarábigo en la cultura occi-dental, que más adelante comentaremos, es una buena y elocuente muestrade ello.

. Egipto

La suma y la resta en el antiguo Egipto eran fiel reflejo de las característi-cas aditivas de su sistema de numeración. Bastaba con escribir los signos y...,¡ya está! .,

35-24

^ lúúrl

XX

Aunque a veces tenían r¡rrc lc¡rl¿nrl)¡u o pcdir prestado:

35 + 26 |

3s-26

nnnII I I I nal l l l l l , , , , , ' , , , , , r I I I i l l l i l l l f

^ /D+f lLa multiplicación y l¿r divisiirrr por l0 se hacía también con facil idad,

bastaba con efectuar un corrimicrrlo dc sienos:

nnoII I I t 35

" t f )

777.. . ' ' . r . ' 350'19

nnnII I I I

En general el producto se obtenía aditivamente por un proceso sucesivo deduplicaciones (véase pág. 136) combinadas en algunos casos con la estrategiaanterior. En la división se invertía parte del proceso, se duplicaba y sedimidía (véase pág. 139).

Estas estrategias les permitieron tabular ordenadamente los resultadosque luego les iban a permitir efectuar rápidamente el cálculo por simpleconsulta. Se conocen tablas de cuadrados, cubos y raíces cuadradas, pero noha sobrevivido ninguna tabla para la división, lo que hace pensar en que seapaiaban con la de multiplicar de la misma forma que lo hace un escolar denuestros días. ¿Memorizó usted la tabla de dividir?

. Babilonia

En Babilonia, el cálculo era similar al egipcio, aditivo y a base de tablas,pero tenían una ventaja, gracias a su sistema posicional pudieron manipularlas fracciones:de una forma moderna, como si fueran enteros, usando elmismo signo para, por ejemplo,2 y 2160. Una doble cuña en distinto lugar.

Esta notación simplificó notablemente la dificil operación de dividir, yaque permitió a los babilonios escribir las tablas de los recíprocos de losnúmeros enteros comprendidos entre I y 60, con ellas las divisiones selimitabah a multiplicaciones por el recíproco (G. CHU-on, 1936, pág. 269).

1

. Grecia

Los griegos desgraciadamente no continuaron la tradición numérica desus vecinos. Hay referencias muy tempranas, 450 a. de C. (M. KI-INe, 1972,pág.32), del sistema ático, pero éste fue pronto sustituido, más o menos en elperíodo alejandrino, por el jónico, en el gue se uti l izaban las letras delalfabeto de una forma entre ordinal, aditiva y multiplicativa.

35+241

nnnl l l l l l nnl l l l l l . - l

/1'lAA+J

. El sistema jónico

El sistema de numeraciónsisuientes valores:

jónico era all irhólico, las letras tenían los

u: l ¿:10 p:100p:2 rc:20 o:200y:3 ) , :30 t :300

6:4 p:40 ¿:400

e:5 v:50 E:500e:6 t :60 x:600(:7 o-70 l ' -70O

4:8 z:80 ro:800

0:9 e:90 J:900

Los números intermedios hasta el mil se representaban aditativamentemediante combinaciones de estos símbolos:

u: l l , $:12 , tT:13

Para los múltiplos de 1.000, el alfabeto se repetía adoptando un principiomultiplicativo.

Empleaban las nueve primeras letras del alfabeto para los nueve primerosmúltiplos de 1.000, precedidas con un acento. Con este sistema, cualquiernúmero menor que 10.000 se escribía como máximo con cuatro letras, y paraevitar la confusión entre número y palabra se dibujaba en la parte superioruna línea: :

Es notable la dihcultad quc prascnta este sistema para interpretar núme-ros elevados. En cualquier caso, aunque la ventaja de esta numeraciónalfabética es tal vez su facilidad para escribir y leer números pequeños, útilpara las breves y rápidas anotaciones comerciales, se erró al perder el sentidooperacional que presentaba la notación babilónica, en particular su trata-miento de las fracciones. He aquí un ejemplo del terrorífico aspecto queadquirieron sus tablas alejandrinas:

Figura 2.1

E-19: Si el lector es paciente debe ser capaz de rellenar el hueco.

Sorprende que los griegos, que utilizaron un criterio de orden (escribíande mayor a menor en orden de magnitudes), un criterio multiplicativo (múlti-plos de mil) y un sistema cifrado (letras del alfabeto), no fueran, sin embargo,

Al llegar a las decenassistema ático acompañada

1987 -

a+n(

de millar se expresaban mediante la lefia M deldel multiplicador puesto en la parte superior:

\ ;

6

M

40.000

dArMMM

10.000 20.000 30.000

o, a continuación, separando el número de unidades de diez mil del resto delnúmefo mediante un punto. Así:

22.222.222 -

MBorcf .,forcl)

E-18: Hace mil mil lorrcs t l t ' st ' ¡r .rrrrt lor ¡rún no habían nacido los que hoytienen treinta y un ;ui()s, l tscl ibi l cn jónico el número de cumple-segundos que potlr i¡ur hrr lr tr t 'c lcbrado si la humanidad no hubreraconvenido en cclcbru sir lo los crrmnleaños.

A I I :10 P:100

8..2 K:20 t :200l ' :3 A:30 T:300

L,:4 M:40 Y:400

E:5 N:50 <D:500

c):6 E:60 X:600

Z: '7 O:70 Y:700

H:8 n:80 c):800

@:e q:e0 J:e00 I 8 r Á t s z t I I f i I r 0 n ( P TI I t I t € I ¡ 0 I I I I 0 t¡ q ? t I

I s H E u IC ü f t I P Pf PT P: PN T f I

0 t8 n It f¡ u u I PÍ Pfl PN TTT() f I rls I u Íll A8 '¡lc Pf P: t ¡x r: Y 0 I

ft t tlt I rt P PT T Itl I Yfl 0 tA tfrciÍ8 TH fta m II I ot x ,l! F

T8 ll( :r 0 PT TI m Itl Yf I 'll I

:Á 08 n P: :r Tf Y YN0: xlt ,lI H

m q PN t0 T: Yt{0[ xÁúÍ 0 I ,10 I

P T T T 0 I I 0 l il ,8 I

t I 0 tA rI ill , I I ,tn t8 , l f

I ,lÍ , ló ,l0i 8? rBl rBt t f ' Ít

rlX ,8 rtl r l r[[ r[I Á rt . I

¿8{t l tfl ú . la ¡[ t l tl

44 45

capaces de redcscrrbri l cl critcrio posicional. ¡Les faltó tan poco! Apenas unpaso, tal vez reducil lrl¡lo más el número de signos <¡ue empleaban.

¿Por qué cu¿rndo opt¿lron por repetir signos lo hicieron a parfir de losmúltiplos de mil, y no dc los múltiplos de diez'l ¡El sistema posicionaldecimal estuvo al alc¿tncc dc su mano!

. La numeración romana

La numeración romana expresa los números por medio de las siguientesletras:

5

CDM

100 500 1.000

En la escritura y lectura de estos números deben tenerse en cuenta lasreglas siguientes:

l. Una misma cifra repetida varias veces suma sus valores. Asi, XX selee 20¡' p€ro no puede emplearse la misma cifra más de tres vecesseguidas.

2. Una cifra antenuesta a otra de mayor valor que ella se resta del valorde aquélla, y si va pospuesta, se suma; así, IV vale 4 y VI vale 6.

3. Una cifra colocada entre otras dos mayores que ella, resta su valor desu inmediata de la derecha. Asi, XIV se lee 14.

4. Una cifra representa un valor 1.000 veces mayor cuando lleva encimauna raya horizontal. Así, D vale 500.000.

E-20: Escribe la cifra de cumple-segundos del ejercicio anterior en numera-ción romana.

La numeración romana, aunque presenta una clara influencia griega_enla adopción de letras para ciertas unidades como X, C y M, .muestra unmarcado retorno a los primeros métodos cardinales: iteración, aditividad ypor primera vez sustractividad.

A pesar de que ha permanecido hasta nuestros días se dará uno cuenta dela pobreza y esterilidad de este simbolismo al intentar efectuar una suma conlas cifras romanas, ¡y ya flo hablemos de recurrir a ellas para la multiplica-ción!

2.2.8. La herencia hinrll¡

Sabemos que trescicnt()s ¡trl()s ¡rr¡lcs dc Jesucristo se conocía en la Indiaun sistema no posic ionl l (br¡rhr l i ) p i r rccic lo al jónico:

fh ' l \2d o ¿ x J - l

5(,789102030405060

Este sistema es el germen que fructificaria en nuestro sistema de cifras.Un buen día, un desconocido hindú tomó la decisión de suprimir algunos delos símbolos que venía manejando, y se quedó con los nueve primeros (alprincipio no utilizaron el cero). ¿Qué fue lo que pasó por su cabeza? ¿Influen-cia griega, babilónica? Talvez,lo que es cierto es que se había dado el granpaso. No habían inventado nada, pero se dieron cuenta de que con las nueveprimeras cifras podian también representar los múltiplos de diez, y tambiénlos de cien, etc. Su contribución fue la idea de reunir por primera vez las trescaracterísticas fundamentales de nuestro sistema: decimal, cifrado y posi-cional.

George Ifrach (1985) aporta datos que permiten imaginar como fue estepaso: Los eruditos hindúes venian utilizando un sistema de numeraciónverbal -con todas las letras- en lengua sánscrita, que era algo así como ellatín en la Europa medieval, la lengua culta que permitía que gentes dedistintas hablas se entendieran.

Primero asignaban a cada uno de los nueve primeros números naturalesun nombre particular:

eka dui tri catur pañca sat sapta asta naua

123456789

(Obsérvese el parecid o: du i- do s, c a tur - crJatr o, s a p t a-siete, n au e - nuev e.)

Después asignaban un nombre particular a cada una de las potencias dediez y por último daban nombres compuestos a todos los demás números. Elorden de presentación era el contrario del que usamos actualmente --{eizquierda a derecha en sentido creciente de potencias en lugar del sentidodecreciente actual.

A diferencia de nuestro sistema no se apoyaban en una unidad determi-nada para organizarse por ciclos: millar, decena de millar, centena de millar;millón decena de millón, centena de millón, unidad de millar de millón; etc.,sino que el sistema hindú asignaba nombres independientes en cada caso:

Y

1234

L

50

X

l0

dasa sata sahara ayuta

r0 r00 1.000 10.000laksa

100.000

46 47

Este sistema alc¿rnzir, por empuje de la necesidad de abreviar, una simpli-hcación trascendcnlc. A¡lroximadamente en el siglo v se suprimió cualquierreferencia a las palabras que usaban para nombrar las potencias de la baseporque es fácil sobrecntenderlas cuando se mantienc cl orden de las unidades.

El problema que supuso la ausencia de unidades se sorteó diciendosimplemente sunya que queria decir <vacío>. Por ejemplo, 301 se escribía así:

eka sunya triuno vacío tres

Podemos afrrmar, asegura documentadamente lfrach, que a mediados delsiglo v el procedimiento ya estaba generalizado incluso más allá de losmedios eruditos. A partir de aquí los hindúes disponían de todos los ingre-dientes:

. lJna numeración cifrada. lBrahmi)

. IJna numeración posicional. (Sánscrita)

. IJna numeración decimal.

. La idea de <<cero>.

Su acertada combinación produjo la forma gráfrca de la numeración quenosotr?s llamamos indoarábiga.

\2)Ú\f-

India, 876 d. de c

Números indios, dijeron los eruditos al principio, también les llamaroncifrae, perversión de al-cifr, traducción al árabe de la palabra sunya y cuyalatinización culta es zephirae o zephirum que dio lugar a la palabra ((cero).

Como suele ocurrir con las innovaciones su aceptación no fue inmediata;la forma oral era preferida por temor a los errores que las transcripcionesprovocaban. Los hindúes daban una forma poética a la verbalización de losnúmeros cuya perfecta rima hacía imposible la equivocación y facilitaba lamemorización.

Lo que es evidente es que antes o después las necesidades de cá(culoimpusieron la forma cifrada. El ábaco jugó un papel determinante en Steproceso de aceptación. Las técnicas operacionales con guijarros o huesecitosresultaban largas, complicadas y requerían de tal habilidad que las hacíancosa de superespecialistas, Un serio inconveniente venía dado por la dificul-tad de conservar los cálculos intermedios, cada nuevo movimiento modifrca-ba el precedente y en caso de error era necesario rehacer todo el cálculo, sies que llegaba a descubrirse que había habido tal error.

En una primera etapa la sustitución de guijarros por el dibujo de lascifras, sobre polvo por ejemplo, simplihcó-, notablemente cl proceso e hizo

48

posible registrar en un n) i r rptrr l ¡ ¡ ( l t ¡c sc <lcseara. No en vano uno de lossistemas de cifras árabcs crir t lclonrirrirtkl <ghobarD que signihca <polvo>.Esta idea fue conocida ¡ror ( iu lrr.r to tL¡ Aurillac (siglo x), el cuál utilizóItchas con las cifras árabcs clil'rrrj:rtlirs cn sus caras para manipular sobre el<tablero contador>, lo quc lc crcil no pocos problemas, entre ellos la acusa-ción de satanismo que provoc<i siglos después el proceso por el cual se abriósu tumba para ver si su cuerpo aún reposaba allí.

El registro de los movimientos intermedios en un aparte, bien sobrepolvo o papel pudo muy bien conducir un día, por fuerza de la costumbre, aprescindir del dibujo de las líneas del ábaco poniendo en pie 1o que hoyentendemos por aritmética de columnas.

Gracias a las cifras el cálculo progresó espectacularmente, pero no sepuede olvidar su contribución en otros campos. Las cifras han permitidodescubrir determinadas propiedades que hubiera sido imposible localizar sinellas, reglas y leyes que las antiguas numeraciones no dejaban vislumbrar.Con ellas se ha constituido un lenguaje universal que ha facilitado la co-municación, el despegue científico y cultural, y el desarrollo de la moder-na tecnología: <sin el cero y el principio de posición nunca se hubierapodido solucionar ni el problema de la mecanizaciín ni el de la automatiza-ción del cálculo> InR¡cH (1985, pág. 306).

Sin embargo, las cifras no tuvieron siempre el mismo aspecto, han varia-do a 1o largo del tiempo e incluso de un país a otro, debido al estilo personalde los copistas y a las características de su forma de escritura. Reseñar susdistintas formas es una tarea imposible. En el Museo Británico hay unacolección del año l9l4 de doscientas series de números arábigos obtenidosde fuentes medievales (Munnnv, 1978, pág. 189). Nos conformaremos conmostrar algunos ejemplos. En el primero no aparece el cero, y corresponde alCodex Vigilanus, del monje riojano Vigila, que es considerado como lareferencia más antigua en un texto europeo de los números indios o ará-bieos:

lL¿ ? 9L189 t / .H f a I t v A 1España,976 d. de C. Arabe oriental, siglo x.

t J { t Y¿ISC do / z) 0. (d, \8 t o

Irak, 1 000 d de C. Europa, siglo xv.

I z 3 < f 6 z I t " l L, 4 5 d 7 1 f +Arabe occidental, siglo x ltalia, siglo xvr.

I

49

Y

Todos est()s silrn()s son muy diferentes de los que hoy aparecen en lasimpresoras matrici¿rlcs o cn las pantallas de los aparatos eleCtrónicos;

9xt2

t l iE: j I5ñ] EIFigura 2.2

En España, se nombran con voces que proceden del latín:

Uno, de unus; dos, de duos; tres, de tres; cuatro, de quattuor;cinco, de quinque; seis, de sex; siete, de septum; ocho, de octu;nueve, de nouem; diez, de decum, y cero, de zephirum.

2.2.9. Europa: un camino plagado de dificultades

una constante cultural de todos los pueblos conocidos ha sido, y es,expresar los datos relativos a cantidades y ordenaciones mediante un sistemade signos y reglas al que, en términos generales, se denomina sistema denumeración.

cuatro grandes periodos pueden distinguirse en la evolución y formaciónde un mejor sistema de representación de números.

. Período inicial. corresponde a las culturas del paleolítico,,y comien-zos del Neolítico; en esta época se representaban los objetos ----cáda uno-mediante uh signo, que progresivamente va siendo más abstracto.Lad mar-cas o puntos sirven para representar la extensión de un conjunto, se suelemarcar el tiempo (meses lunares) y los animales (rebaño, caza, etc.). corres-ponde a una fase muy primitiva, en donde la economía es la del hombrecazador (antes del 6.000 a. de C.).

. Período de los grandes impericis ¡luuiates o cultura,s de ra edad delBronce. Se descubre el principio de agrupami€nto, con aparición de distin-

50

tos símbolos para la basc y srr* l)()lcnl't¡ts strccsivas. En general, cada signo serepite tantas veces conr() scrr ncecs¡n'io h¿rsla l legar a la unidad superior. Asítenemos los sistemas cgi¡rcio ¡crogli l ' ico, rnicénico, sumerio y babilónico pri-mitivo. Esta fase corrcsl' lontlc rr l¡r ctl irt l dcl Bronce, que comienza alrededordel 6000 a. de C., y aclqrricrc su nrixirna potencia en el tercer milenio a. de C.Estos sistemas dan exprcsirin a cconomias con gran desarrollo, en las que elhombre se ha hecho agricultor y ganadero y vive dentro de un sistemajerárquico, con un poder central de fuerte contenido religioso que controlaesa economía.

El mejor sistema de esta época es el babilónico, que realiza su evoluciónhasta lograr un sistema de tipo posicional que corresponde plenamente alsiguiente período, y que se emplea con gran potencia en Astronomia yEconomía.

. Tercer período o período alfabético. Con la invención del alfabeto acomienzos de la Edad del Hierro, entre 1800 y 1600 a. de C., todas lasculturas del Mediterráneo incorporan este nuevo código a la representaciónde números, dando lugar a diferentes ensayos de sistemas mixtos, ordinales,posicionales. Los signos disminuyen y va tomando importancia la posición,pero su propia relación con el alfabeto y la carencia conceptual de cero -ypor tanto de su símbolo- supone una limitación grave para la consolida-ción de un sistema coherente. Aunque son útiles para las transaccioneseconómicas tiene serias limitaciones operacionales y para escribir grandescantidades, también para el estudio de las propiedades aritméticas.

. Cuarto período. Con la incorporación del cero a comienzo de la eracristiana ----en sentido cardinal ya era usado mucho antes- se consolida elprincipio posicional, adquiriendo coherencia el sistema decimal de numera-ción. Su aceptación fue lenta y su expansión no llegó a rcalizarse hasta laépoca del imperio musulmán. Su difusión y asimilación en el mundo europeose hizo muy despacio y tuvo que competir con el sistema romano.

Tres fechas claves en esta difusión fueron: las últimas décadas del siglo x-recuperación del cálculo con ábaco por el Papa Silvestre II-, 1202 -pu-blicación del Liber Abaci, de Fibonacci- y el final del siglo xv -apariciónde las primeras aritméticas comerciales.

. La oscuridad

Antes del milenio el conocimiento occidental de la aritmética era real-mente pobre y se sumergia en una profunda oscuridad. No se tenía el sentidooperativo actual, era mirs bien una esforzada y solitaria inmersión en el

i : il i\j ' il l{SIUAD Dl STRLTALÉi1TiI '¡ i iSCÜ JÜ5i DE CALDAS

SlSTElrtA DE Bl BLi 0ThCAsI

t a o

o a o

a c a

51

manejo de rcco¡rrl ireiorrcs dc ciertas enigmáticas tablas de olvidado origen,talvez sirias o cgi¡reiirs; o cn la búsqueda de las claves para meditar sobre losagrado interprcl:rrrtkr l¡rs l,)scrituras, plagadas de números misteriosos, apo-calípticos o cronolirgicos.

Las referencias quc tcncmos se reducen a los circulos eclesiásticos en unaépoca en que se cerr¿rr()n las fuentes de información para la Europa cristiana,tras la invasión de los birrbaros del norte, lo que limitó el trabajo científico alestudio y transmisión dc los pocos tratados griegos que no fueron destruidos.

La creación literaria de la época, limitada a escasísimos originales y alcopiado manual y monacal de los mismos, raramente presentaba innova-crones.

En la antigua Grecia la palabra aritmética estaba más relacionada conteoria de números que con técnicas de cálculo. Este es el sentido de la obraLa Introductio Arithmeticae de Nicómaco, escrita entorno al año 100 y quetrata sobre propiedades elementales de números, incluida una poco novedo-sa tabla de multiplicar hasta 10 x l0 (Se conocen tablas babilónicas dosmilenios más antiguas), que sirvió como modelo para los escasos escritoresposteriores, más bien imitadores y comentaristas, que iban de resumen enresumen. Bo¡cIo (siglo v), primer autor de libros de texto, entre cuyas obrasse encuentra un resumen de la aritmética de Nicómaco. C,csloooRo (siglo v-vr), su discípulo, hizo el resumen del resumen y más tarde San Isidoro deSevilla (siglo vl-vn) la volvió a resumir aún más. Beda, el venerable (siglo vn-vnI), del cual se asegura que (no copió jamás sin haber entendido> (Cnounrc,1959,pá9.34) mejoró el texto de San Isidoro y añadió una representación delos números por medio de dedos de la que se dijo que transformaba elcálculo en <gesticulaciones de bailarines>.

El cálculo apenas existía y no iba más allá del legado romano. El interésse centraba en el calendario, en una época donde era necesario precisar yunilicar las fechas parala celebración de efemérides cristianas. Es conocida ladisputa sobre el aniversario de la resurrección de Cristo en la Inglaterra delsiglo vn. Con el hn de calcular la fecha de la Pascua era necesario combinarla duración del año solar, calendario solar juliano, con la del mes lunar,calendario judío. La difrcultad básica es que ambos ciclos son inconmensura-bles, es necesario al hacer el calendario efectuar, sohsticados ajustes. Laconfusión era tal, hasta que Beda puso en orden al,personal, que la rei-na ayunaba un día y el rey otro (Para más informacióh ver Crombie, 1959,pág. 33-34, Murray, 1978). Los computi como se llamaban los tratadosdedicados al arte de calcular el calendario, adquirieron tal importancia quefueron disciplina obligatoria entre aquellas que debían estudiarse en lasescuelas episcopaleS y monacales que comenzaban a florecer.

La influencia de la cultura romana disminuyó el interés por la matemáti-ca. La tradición literaria era hostil a los números. Todo lo que no era latinoera sospechoso. Para Cicerón las matemáticas no eran respetables. La imper-

52

fección de los números rom¿ur()s cr¡ unir eultura que basaba la educacitln cnlo escrito bloqueaba la exploltre iri¡r, l ,¡r i l l tolerancia, el enfrentamicnto cntrelos pueblos musulmán y cristi i ttto iru¡l idió el acceso a las fuentes griogas yegipcias a los estudiosos dc occidcrrtc. l) if ici lmente la cristiandad podia haceruna contribución original. l-o rn¿is quc hizo fue conservar lo que quedabagracias a la aparición de las cscuclas monacales. El <trivium> (Gramática,lógica y retórica) y el <quadrivium> (geometría, aritmética, arte y música)eran el programa ofrcial.

. El alborear

Hubo que esperar a las últimas décadas del siglo x para acabar con elestancamiento; el despegue se atribuye a Gerberto de Aurillac, que seríadespués el Papa Silvestre II, quien tras estudiar en España, único lugar de laCristiandad donde se enseñaban matemáticas (Murray, 1978, pá9. 180) (re-calco esto por lo que me toca), dió a conocer su libro De numerorum diuisionedonde expone nuevas reglas de cálculo ¡Cómo lo haría, que sus discipulos sesecaban la frente 10 años despueS al acordarse de lo mucho que sudabancuando estudiaban! (Murray, 1978, pá9. 179).

Gerberto recuperó para occidente el ábaco que operaba con fichas y quellevaba grabadas las nueve cifras (el cero no era necesario). La reacción delos eruditos fue tibia y hubo que esperar a Fibonacci para que los númeroshindo-arábigos rompieran el maleficio.

Poco a poco el tablero contador fue haciéndose cada vez más popular,volviendo la espalda a la escritura (fenómeno similar al que se da cn laactualidad con las calculadoras).

El ábaco dio acceso al cálculo con números grandes, facilitó la contabili-dad de haciendas y negocios y popularizó el cálculo más allá de los conven-tos. Pero al tiempo que se divulgaba preparaba su propio eclipse. Una vezconocido tenía que ser manejado y ello formaba la mente de los operadores.La evaporabilidad de las operaciones y el recurso al valor posicional de lascuentas o cálculos, entraba en contradicción con la imposición contable deregistrar o congelar los resultados y que para más inri debía hacerse en elsistema romano. Si había error, el abacista tenía que rehacer todo el cálculo.Para evitar esto, no era mala cosa registrar los cálculos intermedios y quémejor que con los mismos signos que aparecían en los surcos o columnascomo si fuera la imagen en un espejo de lo que ocurría en el ábaco.

Así es posible aceptar los números que vienen del sur, las hguras indias(Indorumfigurae) como fueron denominadas en el Liber Abaci de Leonardode Pisa, alias Fibonacci, que no significa otra cosa que <el hijo de Bonifacio>(siglo xIIr). No como un neocolonialismo cultural extranjero, como se diríaahora. sino como solución a una necesidad sentida e insatisfecha.

I53

-T

El nombre Lil¡rt ,. l l¡ttt ' i no debe hacer pensar en un texto sobre el ábaco.En realidad es urr irrn¡rl io tratado que empieza con la introducción de lasnueve cifras, añaclc cl ccro, se ocupa de las operaciones con los enteros:multiplicación, suma, r'csta y división, da reglas de cálculo, incorpora tablasde sumar y multiplicar y aporta las pruebas del 7, del 9 y del 11, y sigue conotros aspectos, fraccioncs, reglas de tres, progresiones, raíces e incluso algode geometría y álgebra. (Para más información, ver REy Pnsron y BnnrNr,1984, pág. 186.)

. Innovación contra conservadurismo

Poco a poco los algoritmos de lápiz y papel van penetrando en el tejidooccidental. El proceso fue lento y no sin grandes dihcultades:

La complejidad de la idea de valor de posición, la no aceptación del cerocomo numeral, el esfuerzo de cálculo mental que conllevan, la escasez depapel y la poca necesidad de efectuar cálculos con números grandes setuvieron que enfrentar con la sencillez del cálculo abacista, el hábito adquiri-do y la familiaridad, influencia y extensión del sistema de notación romano.

Resulta hoy día casi imposible euocar el estado de espíritu de aquelloscalculistas que para multiplicar, pongomos por caso,82.243 por 9.621, ya no seuerían obligados a recurrir al tablero calculador, sino que les bastaba unasimple hoja de papel. ¡Se creían conuertidos en nigromantes!

(Counus, 1959, pág. 6.)

Al principio la Iglesia y la banca fueron beligerantes. Se prohibieron losasientos contables en números arábigos, al parecer porque no los compren-dian, ¿desconfiaban de una doble contabilidad?, aunque al final la creciente eíntima relación entre aritmética y dinero estimuló su aceptación. Se haafirmado que la modernización contable salvó a la Banca de los Papas de laquiebra (Munnrv, 1978, pág. l9 l ) .

Es la hora de la aritrnética mercantil y en colaboración con un inventodel demonio, la imprenta, se da paso a un nuevo tipo de libro que reúnecaracterísticas propias de los l ibros modertos, el l ibro comercial. Surgen lasaritméticas comerciales, principalmente italianas y germánicas. Entre lasprimeras cabe señalar por su destacada influencia la <Summa de Arithmeti-cd, Geometría, Proportioni et Proportionalitá> de Lucn PncIor-r (1494)escrita en lengua vernácula y cuya parte aritmética, probablemente inspiradaen la anónima <Aritmética de Treviso> ,(1478), trata (con mucho detalle,diversos artif icios para multiplicar y para hallar raices cuadradas> (Boven,página 358.)

54

Figura 2.3El grabado muestra el enfren-tamiento entre un algorista yun abacista, representadospor Boecio y Pitágotas, bajola atenta mirada de La Arit-mética. Margarita Philosop-hica Nova. Gregorius Reish(1512). Museum of History ofScience. Oxford Universitv.

Por lo que se reliere a Alemania, sus numerosas aritméticas son dcci-sorias a la hora de desplazar la hegemonia de la notación italiana, crrparticular <plus y minus> hacia la simbología germánica: + y -. A dcstac¿rrla Die Coss de Adam Riese, influyente escritor en la transición del cirlcultrabacista al cálculo de lápiz y papel, y cómo no, la Arithmetica integra dcMrcHn¡l Srrner (1544).

En adelante los historiadores dan todo por hecho en Cálculo elemental ysus comentarios sobre la historia de la matemática discurren a la busca ycaptura de las innovaciones en otros campos, álgebra, estadística, análisis,etc. Pero esto es la historia de los historiadores, el interés está puesto en elcamino y no en la aventura. Quedan muchas cuestiones sin respuesta.

¿Cómo nacieron realmente los algoritmos? ¿Qué problemas los origina-ron? ¿Qué variantes se han sucedido? ¿Qué grado de uniformidad hubo enlas distintas épocas y países? ¿Qué influencias de las formas antiguas decálculo recibieron? ¿Cuál fue realmente la aportación de los árabes, de losindios o de los chinos?. etc.

2.2.10. El sistema decimal

El principio básico en el que se fundamenta la elección de un númerolimitado de signos cs un principio de agrupación extendido que consiste endescomponer los cnlcros cn sumas de cantidades sucesivas, cada una de las

I

55

cuales es un múltiplo cntero de la anterior; en gencral este múltiplo se toma

como valor fijo y se llama base del sistema. La basc de nuestro sistema es

diez, y es por esto que nuestro sistema Se llama deci¡nal. Por ello en nuestro

sistema los distintos órdenes son las sucesivas potcncias de 10, que reciben

nombres especiales: unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de

millar, etc., 1o que facilita la lectura de números de muchas cifras:

. Modo de leer un número de muchas cifras

Para leer un número de muchas cifras, se divide de derecha a izquierda enperíodos de seis cifras que se señalan con los subíndice l, 2, 3, ".; cadaperíodo se divide luego en dos clases por medio de punto o coma. Cada clase(cxceptuando a veces la 1.u de la izquierda) comprende así tres órdenes.

Ejemplo:

2s407 620039 184 : 25 1407.620 1039.184

Luego se van enunciando las diferentes clases empezando por la izquier-

da, diciendo <mil> en donde haya punto o coma, y <millones>>, <billones>,

<tri l lones>... donde estén los subíndices 1,2, 3,...: Veinticinco bil lones, cuatro

cientos siete mil seiscientos veinte millones, treinta y nueve mil ciento ochen-

ta y cuatro unidades.

. Caracteristicas

Al añadir al principio de agrupación el principio multiplicativo cifrado y

el principio posicional, se configura un sistema cuyas características se rese-

ñan a continuación:

- La base del sistema ,es diez y se escribe 10.-Todo número es sutha de potencias de la base.- Adopta un símbolo especíhco para cada uno de los números inferiores a la

base l lamados cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, '7, 8, 9.- Una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediata-

mente supenores.- Cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que

ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples, la

segunda, unidades de segundo orden, la tercera de tercer orden, etc.-Cada unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inferior.

Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden sc emplea el

cero, 0.

. Desarrollo curricular

La enseñanza del sistemit t lt ' t irrr;rl "c

l l irt 'c cn nuestra escuela actualmenteen los c inco pr imeros años t l r ' r 'srol¡rrr r l r r t l . Aunque no es fáci l d i ferenciarentre el concepto de númcnr -y e I srslt 'rnrr t lccirnal, hemos dedicado otro l ibrode esta colección: <Números y (rlrcrirci()ncs)) a la iniciación y adquisición delconcepto de número; por cllo n()s viulr()s ir l imitar a esbozar algunas ideassobre el desarrollo del sistcnlr t[:c:i l l lul

De hecho la edad de inici¿rciirn ¿rl sistcma de numeración y a los mecanis-mos de cálculo podría ser postcri()r y esperar a que el niño consolide supensamiento, o al menos alcancc una etapa más equilibrada pasados los 8años. Sin embargo, por razones sociales muy discutibles, se ha preferido nohacerlo así sino iniciar el aprendizaje organizado casi desde el comienzo desu posibilidad. Pero esto obliga a que dicho aprendizaje se realice respetandolas limitaciones del alumno, siguiendo sus propias pautas de asimilación yacomodación, avanzando al mismo ritmo según el cual el alumno asimila losconceptos, sin prisas infundadas. De aquí que el aprendizaje de la numera-ción y de las operaciones se haga durante un período tan dilatado de tiempo:de los 6 a los 10 años, ya que la única defensa que puede tener un aprendiza-je en el límite de lo prematuro, que casi se adelanta a las posibilidades decomprensión, es que no desborde nunca esta capacidad de comprensión sinoque la acompañe y motive.

. IJso de material estructurado

Asociar cada nuevo orden a una representación material permite alalumno pensar los números como cantidades concretas, compararlos y orde-narlos lísicamente, tener una idea de su tamaño relativo y por supuesto,resolver sus dudas sobre alguna operación o relación reproduciéndola ymanipulándola.

Si se construye, aunque sea con carácter restringido al menos una vezen clase- una representación de cada uno de los órdenes del sistema deci-mal, el niño dispondrá de una imagen de lo grande que son los números quemanejan en relación con la unidad elegida. ¿Cuán grande es un millón? Paraun niño que ha trabajado con una unidad igual a un cubito de un centímetrocúbico, la respuesta puede ser que (un millón es como la lavadora de mimamá> y tal vez aventure una descripción de un billón o un trillón. ¿Seatreve usted querido lector?

- Unidad: cubito (centímetro cúbico).-Decena: barra (10 centímetros cúbicos).-Centena: placa (l(X) ccntimetros cúbicos).-Unidad de nril lrrr: bloque (1 decímetro cúbico).

¡

56 57

F-Decena dc nr i l l l r : barra de bloques (10 decirnctros cúbicos).-Centena dc rnil lar: placa de bloques (100 dccirnetros cúbicos).- Unidad de millón: caia (1 metro cúbico).etcétera

La posibil idad de pensar y representar los números con material concretoestructurado facilita la comprensión y empleo del sistema de numeración.No conviene olvidar que el aprendizaje de los números directamente sólo serealiza con los 20 primeros, el resto del aprendizaje numérico se realizamediante el aprendizaje del sistema.

Idea importante es también el hecho de que se trabaja dentro de unsistema en el que se actúa de acuerdo con unas reglas que se reiteran. Así:diez unidades forman una decena que se escribe l0; diez decenas forman unacentena, que se escribe lü); e, igualmente, diez centenas forman un nuevoorden: unidad de millar, que se escribe 1.000, etc.

La formación de nuevos números: de tres cifras después de los de dos, decuatro cifras después de los de tres, sigue siempre los mismos principios; lomismo ocurre con las operaciones, suma y resta con los nuevos números seajustan a las mismas normas que con los anteriores. Esta es la idea delsistema: con unos principios básicos se procesa la nueva información, quepermite incorporarla a un esquema general de funcionamiento. Por ellomismo, los primeros pasos dentro del sistema: números de dos, tres y cuatrocifras deben recibir un tratamiento especial y detallado, sin prisas, dedicán-dole todo el t iempo que sea necesario y realizando con ellos el máximonúmero de actividades -no sólo las de carácter repetitivo sino también detipo creativo.

. La integración del contexto

Cada vez que se trabaje un nuevo orden no estará de más utilizarejemplos en los que aparezcan cantidades de cada una de las magnitudesanteriores. Trabajando sobre estas situaciones, todo el aprendizaje que serealice con los números y operaciones del orden considerado tendrá unsignihcado práctico inmediato, que permitirá desde el comienzo plantearsesituaciones reales y resolver problemas que afectán e interesan directamenteal alumno, dando sentido a ese aprendizaje.

Veamos algunos ejemplos:

l0o: Personas de una unidad familiar. Dimensiones de las habitacionesde una vivienda. Tiempo semanal. Precio de una golosina: chicle,caramelo, etc. Peso de la compra: patatas, etc.

101: Personas que hay en un aulá. Dimensiones del pasillo del colegio.Edad de una persona. Precio de un cuaderno. Peso de una persona.

58

102: Personas que viven en un bloque. Dimensiones del patio dcl cole-gio. Edad de acontecimientos históricos. Precio de alimentos habi-tuales. Peso de animales grandes: vaca, toro, etc.

l0r: Pcrsonas que viven en un pueblo. Longitud de una avenida. Edadde los acontecimientos de las primeras civil izaciones. Precio de laropa. Peso en el transporte de mercancias.

El lector puede continuar buscando ejemplos en los órdenes siguientes ycomprobará que no siempre es sencil lo encontrarlos con sentido real para elalumno de Educación General Básica. Puede esto servir de reflexión paraentender que no conviene ayanzar excesivamente rápido en la presentación yestudio del sistema decimal de numeración, ya que éste carecerá de significa-do real para los niños sino hay situaciones prácticas sobre las que puedaneJercltarse.

2.2.11. Aritmética y sistema de numeración

Aunque hemos descrito la evolución histórica de los sistemas de numera-ción como un código cuya utilidad consiste en representar números y enfacil i tar las operaciones que se pueden hacer con las cantidades que dcscri-ben, esto es sólo un aspecto. Los números no aparecen como cnticlaclcsseparadas, sino como un sistema de relaciones mútuas, con sus rcglas lrlobjeto de la aritmética es precisamente estudiar el sistema de los núlmcrosjunto con sus relaciones mútuas y sus reglas. Los números no tienen propic-dades en sí; si preguntamos por las propiedades de un número, 12 porejemplo, decimos que es 2 más que 10 o bien 3 veces 4; las propiedades de unnúmero dado consisten precisamente en sus relaciones con otros números.

Toda aritmética es solidaria del sistema de numeración mediante el quese expresa. Veremos que las diferentes reglas para la obtención de un resulta-do en una operación son coherentes con el sistema en el que se trabaja. Estaes una de las razones por las que nuestro sistema decimal ha logradoimponerse: facilita el cálculo y el estudio de las propiedades y relacionesentre los números empleando fundamentalmente las propias representacio-nes y simbolizaciones numéricas, sin necesidad de mecanismos auxiliares.Esta potencialidad del sistema decimal no se emplea a fondo en nuestraescuela, salvo las rutinas de todos conocidas.

2.2.12. Aritmética y enseñanza obligatoria

El aprendizaje clc l¿r Aritmética es un conocimiento socialmente úti l yaque es una de las forrn¿rs bírsicas de razonamiento; sistematiza el estudio de

I

59

T

las cantidadcs. sr¡ si¡t lrolización y sus relaciones. Sin embargo no es un

aprendizaje gcnútico. ¡rotlriit no realizarse, y de hecho han existido grandes

colectivos humaltos. y tlt¡rante períodos de tiempo muy dilatados' cuyas

nociones aritmóticls h¿¡n sidcl rudimentarias y casi inexistentes (culturas en

las que cualquier cantidad superior a tres se designa con el término <mu-

chos>). En otros casos. cn los que el sentido aritmético estaba más desarro-

llado, no han sabido sustracrse de los objetos concretos.

El aprendizaje de la aritmética es un hecho social, determinado por el

grado de evolución y desarrollo de cada sociedad. Son las necesidades

colectivas de unas normas básicas y generales de dominio cuantitativo de la

realidad las que imponen el aprendizaje de la aritmética. Esto se hizo eviden-

te en Europa desde el siglo xv, y a partir de entonces se puede datar la

introducción de la aritmética -tal y como hoy la conocemos- en los planes

generales de formación. Esto se observa ya en la división clásica del saber en

áo, tu-ut generales: Trivio (gramática, lógica y retórica) y Cuatrivio (aritmé-

tica, música, geometría y astronomia). En algunos casos, cuando las necesi-

dades lo impusieron, hubo escuelas especiales de algoritmistas.

La situación actual de aprendizaje de la aritmética desde la escuela básica

obligatoria tiene una antiguedad de unos dos siglos, en el cóntexto europeo.

lJna vez decidido que el aprendizaje de la aritmética era útil y necesario' que

su carencia irhplicaba un analfabetismo destacado, el problema consistió en

determinar cuándo y cómo hacerlo más eficazmente. Estos dos últimos siglos

han sido la época en la que se ha estudiado con mayor intensidad todos los

problemas relativos a la pedagogía de la aritmética.

En la presentación del libro <Elementos de Aritmética y Algebra, parala

instrucción de la juventud> (1786), de D. Manuel Poy y Comes, se dice:

<España, que entre sus sabios cuenta profundísimos matemáticos, carece de

unoi El.-éntos de Aritmética propios para los jóvenes...>. De entonces acá

muchas han sido las formas con las que se ha enfocado el trabajo escolar

sobre esta materia, algunas de las cuales pueden resultarnos familiares:

(Pregunta: ¿Qué es Aritmética?Respuesta: La ciencia que trata de aueriguar las relaciones y propiedades de los

números.¡

( Aritmética de niños, para uso de las Escuelas del Reino; 1798;M. J. Vnnn¡o.)

(Maestro' ¿Qué es Aritmética?Discipulo; El arte de contar, o la ciencia de los números, que consídera su

naturaleza y propiedades, y suministra medios fácíles para exPresar-

Ios, componerlos y resoluerlos, que es lo que llamamos calcular'>

(Principios de Aritmética; 1789;

Toncunro Tonio on I-n Rlv¡ v H¡nnrno.)

mientras que otras nos parecen l lgo co¡¡f i¡s¿5'

(Pregunta: ¿Qué es Arifntltit tt.'Respuesta: La ciencia qu( trutu dc lu <'unridad discreta.P.. ¿Qué es cantidadTR..' Todo Io que puede uumentur t¡ disminuir.P.: Bajo este punto de uista, ¿lodo lo que existe en el uniuerso es cantídad?R..' Sí, señor; todo es cantidad, excepto Dios.>

(Aritmética completa para niños; 1876;A. Gnr¡-¡co CHevns.)

Hoy se ha abandonado este estilo didáctico de preguntas y respuestas,que necesariamente debe comenzar dando una definición, cosa que actual-mente parece absurda. Sin embargo, el estudio de los números, su represen-tación, sus relaciones, propiedades y operaciones, sigue teniendo una impor-tancia destacad,a, la sufrciente como para que el sistema escolar le sigadedicando un tiempo considerable.

Una de las series de numerales cretenses tenía este

I

a) ¿Qué características presenta?b) Describe en nuestro sistema decimal el siguiente número

representado en cretense:

aspecto:

AY10.00010

I Iil

E-222 Describe las características de cada uno de los sistemas representadosen el cuadro:

R. S. i l l l l l l l i l i l r lA. S. il-$ftF+ll-ll4 | o VVVIIA. M. w \A\^w!\vi l t lS. M,

A.M O.

S. P.

ow@ | ovo\A_ ow@\Aovo I

o oo@

o100

oo

It.¡*lI

60 6l

F-23: Completar la tabla:

E-?AZ En la mili se hacen tartitas: 3 raciones en cada tartita, 3 tartitas en cadatartera, 3 tarteras en una plancha, 3 planchas en un horno y 3 hornosparacada cocinero. ¿Cuántos cocineros hay que emplear para el postrede los 3.000 soldados del cuartel?

Raciones, tartitas, tartera... permiten diseñar un sistema de numera-ción gastronómico. Escribe en código el número de raciones diariasque hay que preparar

Si reúno 5 cucharaditas, obtendré el contenido de la mitad de unacopita; si reúno 5 copitas, obtendré el contenido de la mitad de unvaso; si reúno 5 vasos, obtendré la mitad de un litro. ¿Cuántas cuchara-ditas hacen falta para tener un litro?

Cucharaditas, copitas, vasos, botellas, toneles, camiones... permitendiseñar un sistema de numeración para beodos. Escribir en códigosecreto la previsión de necesidades para el cuartel del ejemplo anteriory explicar el código que se ha seguido.

¿Qué caracteristicas presenta el sistema correspondiente a la expresiónhoraria (horas, minutos y segundos?

E-252

E-27: ¿Diseñe su propio sistema posicional.

Sugerencia: Lo importante es evitar la escritura de los simbolos querepresentan a las potencias de la base.

E-2E: ¿Cuántos dedos tienen los marcianos en sus manos, sabiendo que en suplaneta el 17 se escribe 2l?

Hallar una base de numeración distinta de diez en la oue 121 seá uncuadrado perfecto. Y después otra, y otra, ...

E-30: Si eres capaz de hallar la diferencia entre la mitad de una decena dedecenas y tres decenas de decenas. Quizá seas capaz de hallar ladiferencia entrc la mitad de uira docena de docenas y ties docenas dedocenas.

E-26:

E-292

Indo-arhbigo Babilónico Egipcio Romano El suyo propio

83

V <YYY2n ln l l

62 63

E-32t,

E-33:

Un viejo sistema clr i l to ut i l i¿lrh¡t l l rrr¡ los números menores que ladecena, los siguientcs sinrlrolos

r il ill i l i l I I l | i lT l ' l -y para los múlt iplos t lr : t l icz, cstos otros:

1r+tCon ellos y alternando la posición de derecha a izquierda se puederepresentar cualquier número, por ejemplo er 43.9g7 se escribiria así:

L

Si 1/4 de 20 no fuera 5 sino 4, ¿cuánto valdría ll2 de I0? y ¿ll4 de 102

El-sistema de niveles maya admite una réprica horizontar que recuerdaa un viejo instrumento de cálculo:

El ábaco utiliza en lugar de cajas separadoras y signos para ras unida-des, varillas y bolas insertadas en Ias mlsmas:

Describe sus caracteristicas.

Leer el número 754!2ü00400)000000000.

Escribir el número siete trillones, setenta mil siete billones, siete millo-nes, setenta y siete.

Escriba en una tabla la equivarencia entre ras denominaciones de rosdiferentes órdenes de nuestro sistema y ras distintas potencias de r0;llegue hasta l0 elevado a 15.

Continúe la secuencia: mil lón, bil lón, tri l lón. ...Exprese estos órdenes mediante potencias de diez.

Haga un resumen de las principales caracteristicas y principios denuestro sistema dccimal de numeración.

E-34:

E-35:

E-3ó:

Cálculo mental.Cálculo pensado

3.i. CALCULO MENTAL. CALCULO PENSADO

La mayoría del cálculo que cotidianamente se hace fuera de la escuela esmental. No siempre se puede usar lápiz y papel, ni tampoco es necesario.Muchas veces la respuesta no tiene por qué ser exacta, basta con unaaproximación. Incluso cuando se utiliza la calculadora es normal asegurarsede que se teclearon bien los datos contrastando el resultado con algunaestimación obtenida por redondeo o cualquier otro procedimiento.

Este tipo de cálculo se caracteriza porque:

. Es de cabeza.

. Se puede hacer rápidamente.

. Se apoya en un conjunto limitado de hecho numéricos.

. Requiere ciertas habilidades: Conteos, recolocaciones, compensaciones,descomposiciones, redistribuciones, etc., buscando sustituir o alterarlos datos iniciales para trabajar con otros más cómodos, o más fácilesde calcular.

Cuando se le pedía (se refiere al calculista profesional Zerah Colburn)multiplicar 21.734 por 543, decía inmediatamente 11.801.562. Al preguntarlecómo lo había hecho, explicó que 543 es igual a 181 ueces 3. Y como era másfácil multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero 21.734 por 3y luego el resultado por l8l.

(GeoNnn, M., 1984, págs. 80-81.)

Parece claro, que en este tipo de cálculo, la concentración, el hábito, laatención, y el interés (Horr, 1985, pág. 372) son factores determinantes paralograr resultados espectaculares.

65

Naturalmcntc, óslo no es un objetivo para la escuela, los sofisticadosmétodos de cálculo rncntal son inapropiados para las mentes infantiles, peroeso no quiere decir quc desde el principio no se puedan sentar las bases paralograr al f,rnal de la escolaridad una destreza, eficacia y rapidez razonablepara las situaciones de cálculo más habituales.

No es necesario esperar a entrar en la Caja de Ahorros para comenzar atratar con métodos más sohsticados como: compensación, descomposición,factorización, etc. Pueden hacerse aparecer incluso con las combinacionesnuméricas básicas:

9 + 6 :9 + (1 + 6 _ 1) : (9 + 1) + (6 _ 1) : 10 + 5

A medida que el niño crece necesita ir desanollando los métodos de cálculomental que empleará a lo largo de su uida y que tal uez difieran de los queutilice en el trabajo escrito. En los años de primaria debe practicarse con lamanipulación del dinero, la deuolución de cambío tal como se hace en lastiendas, el cálculo de tiempos de desplazamiento...

(Cocrcnonn, 1982, pá9. ll4.)

¿Cuánto me tienen que devolver de una moneda de 100 pesetas, sabiendoque lo que quiero comprar vale 87?

¿A quién se le ocurre hacer uso del algoritmo estándar?:

10087

Es más fácil y se llega antes al resultado simplemente contando haciaarriba.

Puestos a precisar, conviene distinguir entre el cálculo mental del tipoestímulo-respuesta y el cálculo mental que implica toma de decisiones yelección de estrátegias. La mayor parte de las tablas, combinaciones numéri-cas básicas, son un buen ejemplo del primer tipo. El segundo suele ser frutode una reflexión personal y es raramente desarrollado en la escuela:

Creemos que la decadencia del trabajo oral y mental en las clases dematemáticas es consecuencia de la falta de reconocimiento de la importanciaque el cálculo mental tiene en esta asignatura. Incluso los métodos de cálculosobre papel utilizados tradicionalmen(e se basan en la realización mental dede terminadas operaciones.

I

¡Cuán complicado resultir i l vcr'cs, r 'n cl b¿rr, en el restaurante, averiguar acuánto sale cada uno! No L:s r¡u() o i l 'c¡ t l t lcs ocasiones ¡Qué lo haga elmatemático! o ¡Yo me ec¡trivoco sicrrr¡rlc! Algunos callan, deseando no pare-cer idiotas, y esperan quc algrrie rr lcs sirc¡uc del apuro.

Sorprende esta actitud, si sc ticnc cn cusnta que en casi todos los trabajosse valora la capacidad de rcalizar algunos cálculos mentales pensados eincluso se otorga el calilicativo dc inteligentes a las personas que son capacesde hacerlos con fluidez.

Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en lasclases, y es que la mayoría de las personas que son consideradas hábiles paracalcular rara yez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelenrecurrir a manipular los números para facllifarse la tarea.

A pesar de ello, la mayoria de nosotros hemos aprendido en la escuela uncálculo plagado de rigideces. Palabras y formas de presentar los datos seconectan en nuestra mente de tal manera que la respuesta está fuertementecondicionada.

Resuélvase:

547- 189

¿Por qué no lo hizo asi:

547-189:1+10+347?

Pruebe ahora:

539 - 189: . . . . . .

Si lo hizo así: 539 - 189 : I + 10 + 339, le cacé. Ha sido condicionadopor el cálculo anterior. ¿Por qué no hizo otra cosa? Por ejemplo:

s39 - 18e : (s39 - 39) - (189 - 39) : 500 - 1s0

539 - 189 : 540 - 190 : 540 - 140 - 50 : 400 - 50

A poco que se reflexione sorprende la variedad de enfoques posibles.Explorarlos, inspeccionar todas las posibilidades, optar por una de ellas,determinar el orden de actuación, estudiar las transformaciones más apro-piadas, valorar el resultado, etc., convierte el cálculo a secas, en cálculopensado. Es un pequeño desafio, una labor inteligente, divertida, personal.

Y

I66

(Cocrcnor,r, 1982, pág. 92.)

67

EJERCICIO

Resuelva 539 ltlg dc todas las formas que se le ocurran' Diga cuál le

parece más apropiada y Por qué.

Después compare con las que se sugieren más adelante cuando se hable de

las estrategias de cálculo aditivo y de acuerdo con ellas formule explicitamente

los pasos seguidos.

En la escuela se nos enseña cómo calcular de una cierta manera' pero no

cómo hacer para calcular de la mejor manera. No es cierto que esto sea una

cuestión de aptitudes o capacidades, o de fanáticos del cálculo ultrarrápido;

ni tampoco es cierto que con cada par de números haya que actuar de una

manera. Si no se tiene confranza en las propias posibilidades es porque no se

ha intentado y sobre todo porque en la escuela no se nos ha enseñado nada

sobre ello. Hay un número limitado de reglas, estrategias y caminos que

facilitan la tarea. Lo que ocurre es que muchos maestros y profesores no

tienen ellos mismos consciencia de los procesos que aplican cuando calculan

mentalmente y nunca se han parado a otganizarlos sobre un papel con la

finalidad de enseñárselos a sus alumnos.Entre las razones que me impulsan a escribir este capítulo quiero señalar

el convencimiento de que si en la escuela se ha reflexionado sobre las

diversas estrategias de cálculo mental que se pueden utllizar, no sólo se

estará en condiciones de aplicar la mejor en cada momento y rechazat la

común tendencia a (conmigo que no cuenten)) porque no se tienen expectati-

vas de éxito, sino que, puesto que el cálculo pensado supone ser parte activa

en el proceso, se habrá contribuido a la disminución de errores debidos a

respuestas rutinarias o a actuaciones no comprendidas.Por ello:

Aun cuando muchos alumnos descubren pcr sí mismos que los métodos delcálculo por escrilo a menudo no son apropiados para el cálculo mental, con-sideramos que para mucltos oftos resultará de gran utilidad que el profesorseñale explícitamente y comente en clase los diuerso.s métodos utilizables.

(Cocrcnorn, 1982, pág. 93.)

3.2. CALCULO MENTAL. LAS TABLAS

No es posible una buena destreza en cálculo mental sino se dispone de

buenos puntos de apoyo. El soportc usual es un suficiente dominio de la

68

secuencia contadora y de las corr¡br¡lrt iorrcs aritméticas básicas conoci{ascomo <tablas>.

Estos soportes no sólo son inrlx)rtirntcs porque permiten dar respues-tas rápidas, sino porque dan pic ir algoritmos que permiten efectuar cual-quiera de las operaciones elcmcntalcs con un número de conocimientos l i-mitados. Gracias a las tablas cs posible calcular sin preocuparse por eltamaño de los números en cuanto se dominan los métodos que permitenreducir la manipulación de los simbolos numéricos a aquellos que aparecenen ellas.

Hay un punto de vista tradicional que aboga por el aprendizaje <aciegas> o memorístico de las tablas, y otro que defiende que esto no esnecesario ya que la mayoría logra un dominio efectivo del cálculo cuandorecurre a desarrollar estrategias personales.

Los defensores del primer punto de vista alegan, por contra, que no todoslos niños son capaces de hacer algo así; muchos de ellos, a lo sumo, seráncapaces de dominar las tablas después de una cantidad desproporcionada deesfuerzos y algunos nunca lograrán resultados satisfactorios por sí mismos,(Horn, 1985, pág. 378).

El debate se centra en si hay que dedicar tiempo para hacer ejerciciosdestinados exclusivamente a la memorización, hjación, mantenimiento yrehabilitación de las tablas; o si, por el contrario, basta con ayudar al niño adesarrollar sus propias estrategias para que puedan obtenerlas asegurándosede su buen funcionamiento, uso y consolidación.

Para tomar una decisión sobre cuál es la linea de actuación más ade-cuada, conviene tener presente que quizá un planteamiento conduce alotro. Aunque esto no se da en los dos sentidos: El uso de estrategias pue-de acabar en memorización de resultados, pero la memorización de resul-tados no sólo no conduce al diseño de estrategias, sino que las obstruye(Hencn, 1985).

Por un lado, la práctica en el uso de estrategias irá aumentando lavelocidad en las respuestas de tal modo que la frontera entre resultadosmemorizados y <obtenidos> tenderá a difuminarse, y, por otro, la tendenciaa apoyar el cálculo en un número limitado de combinaciones básicas haráque sus resultados se repitan con tanta frecuencia que se estará incidiendofuertemente en su retención memorística.

I

¿Memorizó usted la tabla de multiplicar por 998? ¿Se siente capaz d.ediseñar una estrategia para obtenerla? ¿Cómo? Utilice este ejercicio parareflexionar sobre su propio proceso de aprendizaje.

69

VEn lo que siguc nos limitaremos a tÍatar el acceso a las tablas a partir de

la manipulación de símbolos, soslayando otras vías, como por ejemplo el

conteo de objetos fisicos, el tratamiento con materiales didácticos, el recurso

a la recta numérica o cualquier tipo de arreglo que corresponda a un nivel

conceptual propiamente.

3.2.1. La tabla de sumar

Entendemos por tabla de sumar a las 11 x l1 combinaciones aritméticasbásicas que se pueden hacer con los dígitos 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 y 10. Deellas, algunas son tan inmediatas que no requieren ningún esfuerzo de me-

moria, de otras se puede prescindir gracias a la propiedad conmutativa de la

adición. Unas pocas se obtiene a través de otras más familiares. Al final elnúmero de combinaciones básicas que hay que retener es tan reducido que lagran mayoría de las personas las conservan en su memoria sin difrcultad.

¿Pero cuál es este número reducido de combinaciones?

l. Ceros (C): La suma de ceros no supone ningún problema. Cuando se

suma cero todo queda igual.

2. Conmutatiuidad (Co\: Se usa incluso antes de tener consciencia de ello

y se ahanza con tal fuerza que aun sabiendo el resultado de una pareja de

números, mucha gente se siente más segura si lo obtiene conmutándolos. La

tendencia general, considera más fácil empezar por el sumando mayor: 5 + 4

en lugar de 4 * 5, aunque esto no se puede alirmar que sea cierto (CenreN-

rnn y MosEn, 1983, pág. 9).

3. Conteo ascendente (l): Cuando se domina la secuencia contadora y se

sabe subirla de dos en dos, de tres en tres, sumar 1,2 o 3 a cualquier número

es algo sencillo de resolver. Aunque al principio haya que apoyarse en los

dedos para llevar la cuenta.Esta estretegia es utilísima por cuánto resuelve sin apenas gasto de

memoria el cálculo de 27 de las sumas básicas restantes después de descontar

las 66 que resuelven los ceros y la conmutatividad. ¿Cuántas quedan?

4. Dieces (Di): Sumar l0 a un número dígito es muy simple cuando se

dominan las reglas sintácticas de nuestro sistema de numeración.

En el lenguaje escrito basta con incorporar un 1 a la izquierda del

número dado, o lo que es lo mismo, sustituir el 0 del 10 por el número en

cuestión.En el lenguaje oral el énfasis hay que ponerlo en la difcrente construcción

semánt ica entre 10 y 1,2,3,4 o 5 (once, doce, t rece, catorcc o quince) y, 10 y

6,7,8 o 9 (diez y seis, s iete, ocho o nueve).

Complete la tabla.

5. Dobles (D): Las parejas formadas con números iguales (8 + 8) son engeneral más fáciles de retener que el resto de parejas comparables en tamaño(CnnenNrnn y MosEn, 1983, 9). En general, no requieren instrucción especial,sin embargo, algunos juegos como el dominó o situaciones frecuentes de lavida diaria suponen un buen refuerzo en caso de dificultad:

Losojos, l+1.Las ruedas de un coche. Las patas de una mesa,2 + 2.Dos triciclos. Dos trimestres, 3 * 3. Dos triángulos.Las ruedas traseras de un camión. Dos perros, 4 + 4.Los dedos de las manos, 5 + 5.Dos <packs>> de cerveza. Dos medias docenas de huevos, 6 + 6.Los días de dos semanas. 7 + 7.

Ejemplos para 8 + 8 y para 9 * 9 son más dificiles de encontrar.¿Cuántas ruedas traseras tiene un camión <Trailer>? Pruebe el lector aejercitar su ingenio.

El dominio de los dobles llega a alcanzarse con tanta seguridad quegenera una estrategia de cálculo, doblar, que prácticamente es una operaciónpor sí misma, con sus propios algoritmos y estrategias. Muchas personasrecurren a doblar cada vez que tienen que multiplicar por dos.

Yendo en el autobús tuve ocasión de oír la siguiente conversación¿Entonces, tú llevas en la empresa el doble de años que yo?si.Pues, yo recuerdo que en una ocasión me di j istes que l levabas el

tr iple.Si Eso fr¡c h¿rcc dos años.

¿Cuántos :rños l lcva cada uno en la empresa' l

l0

0I

456789

10

cC

cC

cC

cccC

c

C

Co

Co

D

III

I

III

I ) l

NM

N

Di

l)

I )+

( '( ' r l

(o

( i r

( 'o

('o

D

DiDi

ccccCo Co Co Co

Co Co Co Co

Co Co Co Co

Co Co Co Co

Co Co Co Co

Co Co Co Co

DCoCoCo

DCoCo

DCo

DiDiDiD

E-38:

70 71

E-39: Dame una manzana y tendré el doble que tú.Eso sería injusto. Es preferible que tú me des a mí una manzana, y

entonces tendremos las mismas.

6. Los dobles más uno (D+): Son los vecinos del piso de arriba de losdobles (5 + 6). Para resolverlos basta con aumentar una unidad a estosúl t imos(s + 6:5 * 5 + 1).

Aunque esta estrategia hace pensar en otra paralela, los dobles menosuno, esto no es así: 5 + 6, no es resuelto nunca como 6 + 6 - 1.

7. El número misterioso (NM): Es el nombre de una estrategia pocofrecuente, pero no por ello menos útil. Cuando se está ante una pareja denúmeros casi vecinos, números entre los cuáles hay otro número escondido,7 + 9 o 6 + 8, entonces es posible resolver la situación hallando el doble delnúmeromister ioso,8enT * 9o7en6 * 8.

8. Los nueues (N): Sumar nueve es como sumar diez menos uno. Comosumar diez es incorporar un 1 a la izquierda del número dado, sumar nuevees como poner y quitar un uno adecuadamente.

9 + 7 : (incorporando l) l(7 - 1) (quitando 1). Total 16

Y------f t------Y

9. La familia del diez (FD): Aproximarse a las sumas básicas por fami-lias es un enfoque digno de tener en cuenta. Se trata de organizar los datospor parejas que sumen lo mismo. La mano extendida es un magníficosoporte para la familia del cinco. Las regletas Cuisenaire con su coloridoayudan a descubrir todas las parejas posibles de una cierta familia. Ahorabien, entre todas las familias hay una que hay que dominar a la perfección, esla más importante, la familia de sumandos del diez. Aparece tantas veces enel cálculo de columnas debido al criterio de agrupamiento decimal, que nohay que despreciar ninguna ayuda que facilite la retención. Por ejemploilustraciones como el triángulo de dieces o contrucciones como el rectángulode resletas:

9

8

7

6

5

4

12

J

A

5

6

7

8

9

t

Figura 3.1

El patrón numérico que muestran las dos figuras anteriores le sirvió aGauss para establecer la suma de los 100 primeros números:

Como dice la historia después de proponer el problema, el profesor caminópor su escuela europea del siglo xvttt, de una sola sala, obseruando el garrapa-teo de los estudiantes al trabajar. Pronto, sin embargo, notó que un estudiantede l0 años de edad, Karl Gauss, estaba simplemente sentado. A punto dereprender al muchacho, el profesor se dio cuenta de que el jouen Gauss ya habiaencontrado coruectamente que la suma era 5050.

(Wnneren, 1982, pág. 45.)

- l )+n

No obstante, todas las estrategias que llevamos vistas, quedan por cubrirlassiguientescombinaciones:7 + 4,8 + 4y 8 + 5.¿Cómolasresuelveusted?

10. Buscqndo el diez (BD): A veces, cabe la posibilidad de recurrir a ladescomposición de uno de los sumandos de tal manera que se pueda comple-tar el otro a diez:

7+4:(7+3)+r8+4:(8+2)+28+5:(8+2)+3

2

72 I5

Esta es una estrategia trascendental para el posterior despegue de uno delos más habituales métodos de cálculo rápido, el redondeo:

t6 + t7 : (16 + 4) + (10 + 3) : 20 + t3

11. Patrones: A veces los resultados con ciertos números, organizadosadecuadamente, adoptan aspectos chocantes o curiosos, otras veces siguenreglas o patrones, algunos resultan sumamente fáciles de recordar:

8+6:14:6+818+6:24:16+828+6:34:26+838+6:44:36+848+6:54:46+8

E-40: El patrón anterior permite conocer sumas en sucesión creciente dedecenas. ¿Cómo es la regla para la tabla completa del 8? (Sugerencia:8 + 7:15,8 + 8:16I

E-41:1:1

l+l l :12

l+11+l l l :123

1+11+111+l l l l :1234

¿Cierto o falso? ¿Hasta cuándo se cumple? ¿Por qué?

E-42t

81 7t 61 51 41 31 2L-18 -17 -16 -15 - t4 -13 -12

63'-54' 45' 36' n ' 18' 09

¿Cuál es el patrón? ¿Cuál su campo de validez? ¿Qué'¡elación tiene con latabla del nueve?

74 IJ

. Las tablillas de Lucas

Eouenoo Lucls (s. xtx), coftocldo por ru obra Matemáticas recreatiuas,inventó unas tablas p¿rr¿r srrnt¡rr númoro; pares e impares gracias a ciertospatrones que se dan cn clk¡s, l,¡t t¡rblill¡m. como asi se conocen, son especial-mente útiles para el cirlcukr nrclrtrrl:

(4)

1l) '+0 2 ;ó - . t t +(8)I+

(ó)

Tabla para los números pares

Siguiendo la dirección de la flecha (izquierda a derecha) se obtienen losnúmeros de dos en dos. Así:

2, 4,12, 14,

848

636

030

0,10,20,

68.16, 18 (Se repiten con un uno delante)

, (Se repiten con un dos delante)

Si se empieza por arriba, se obtiene la lista de los números de cuatro en cuatro:

4, 8,24, 28,

12, 16, 2032, 36,

Si se empieza por abajo se suman seises, y si se empieza por la derecha sesuman ochos:

12 1842 48

24 l0s4140

1656

3272

24g

Para los números impares, dejaremos que sea ellista de números. La tablilla es así:

lector el que escriba la

(4)

.t(2)--+r - 3 - 5

7 - 9 e(8)

w

(6)

Los siguientcs cjcrr¡rkrs sc apoyan en diversas estrategias, descríbalas el lectory escriba todas las v¡rriuntcs que se le ocurran.

-T

Los ejemplos mt¡cslr iu l ( ' l pr . r ( r ' . i r r

4 ' I t l I I l ' l l

ut

r ¡ rcrr l l l :

I l . l

( r . r | 14.28)+28

t7t t I I t4t ,

( / i / , l , l )

3.2.2. La tabla de multiplicar

Hay un etapa en la instrucción del cálculo multiplicativo, en quesin conocer totalmente la tabla es posible hallar los próductos si a unose le da oportunidad para ello y si ha alcanzado un buen dominio de laadición.

Algunas de las estrategias que se desarrollan en esta fase se adhieren contanta fuerza. que incluso después, cuando ya se ha memorizado la tabla sesigue conñando en ellas. Esto es así hasta el punto de que Ia respuesramemorizada de algunos valores de la tabla va a ir siempre acompañada decierto titubeo, de cierta inseguridad.

1. conmutar: Aun sabiendo cuánto es 8 x 7, muchas personas prefierenconmutar mentalmente, 7 x 8, antes de contestar. Es como si se hubierannegado a memorizar el valor de 8 x 7.

x2 x3 x4 xg

Resulta divertido prcg,unlrrsc tlui: scri rnultiplicar por 5 o por 6:

843: ¿Doblar y añadir r: l t loblc' /

¿Añadir el doble dcl d<¡blc' l

¿Añadir el doble y doblar'l

Compruebe su respuesta con los ejemplos que siguen:

6 x 7 : (7 + t4,21) + 2l

5x7:7+(14+14)

3. Añadir un cero: La multiplicación por 10 es tan fácil (10 x 6 : 60)que se retiene inmediatamente. La mayoría de las veces como un truco, sinsaber por qué ocurre. Tanto es así, que mucha gente se sorprende de quebaste con añadir un cero y son incapaces de explicar por qué es asi. Fnsu-DENTHAL (1983, pág. 123) señala que hay que tener en cuenta, primero laconmutatividad: 10 doses son 2 dieces, 10 treses son 3 dieces, ... y después elhecho de que en nuestro sistema de numeración decimal se promociona de 2unos a 2 dieces, de 3 unos a 3 dieces, etc., simplemente añadiendo un cero ala derecha.

4. Cero y mitad: Cuando se ha trabajado el doble y mitad, resultacómodo multiplicar por 5, multiplicando primero por 10 y hallando despuésla mitad del resultado: 5 x 6, (10 x 6) 60, (6012) 30.

Hay que hacer notar que en el caso de los números impares hay un pelínde dificultad: 5 x 7, 70, 35.

5. Descomposiciones:

Uno más: Una estrategia frecuente, en particular para el 6 y para el 3,consiste en incrementar un producto próximo más familiar:

6 x 8,(5 + l ) x 8,40 + 8

3x8,(2+l)x8,16+8

Uno menos: Como en cl caso anterior, pero disminuyendo un productopróximo. Es una estrategia prácticamente reservada al 9:o ol@ ololo o

o o o o o olo o

I

76

oo

e t l . (10- l )x8.80-8

71

Particiones: Efcctuar la partición de los factores es una manera de resol-ver la situación acudiendo a factores más pequeños:

8x7

vJ

4veces4y4veces4 4x4 + 4x4

3veces4y3veces4 3x4 + 3x4

Con esta estrategia se prevee de paso la eliminación del misterio de latécnica de multiplicar números de varias cifras. Nótese la analogía:

43x12

2veces40+ 2veces3+ 80+6 -+ 86

10 veces 40 + l0 veces 3 -

400 * 30 + 430

6. Patrones: Sin necesidad de efectuar ningún cálculo, simplemente rete-niendo efectos llamativos o chocantes se puede saber cuánto valen ciertosproductos:

y4

43x12

Crece

I D..r"..JT

1 x 9:09

2 x 9: 18

3 x 9:274 x 9:36

5x9:45

6 x 9:54' l x 9:63

8x9:72

9x9:81

10 x 9:90

I rL+ Uno menos

+3

Suman nueve o múltiplo de nueve

CreceI Dec.eceJJ99: l lx9

108:12 x 9l l7:13x9

126:14x9

13 5:15 x 9144:16x9

153:17x9

| 62: 18 x 9

17l :19x9180:20x9

1lL Dos menos

z

+

10

A la vista de la tabla anterior, y sin efectuar el cálbulo, diga el lectorcuánto es 27 x 9. Compruebe y átrévase a enunciar una regla paramultiplicar 9 por números de dos cifras.

78 79

Explicite todr¡s krs patf+rn¡r¡ oh¡erveble¡ en la tabla del 91:

* --r| ¡ r) l - 09t (10).r ¡ 9 l : l t l2 ( l l )I ¡ r)t .- 273 (12).r ' et - ló4 (t3)5 x ( l l - 455 (14)(r x 91 54ó (15)7 x el ' . ó37 (16)It x el . 728 (17)9 x 9l - l l l9 (18)

Explicite los patrones observables en la tabla de1 3:

11x3:3312x3:3613x3:3914x3:4215x3:4516x3:48l '7 x3:5118x3:5419x3:5720x3:60

¿Coinciden los suyos con éstos?:Las decenas cambian cada tres. Cada diez se repite la pauta de

unidades. 12 y 2l que son simétricos distan 3 productos, 24 y 42, distan6, 15 y 51, 12,27 y 72, 15 . . . ¿Algo más?

Compruebe con la calculadora los siguientes patrones y complételoshasta que pueda decir algo sobre su campo de validez:

-1

:10: 100: 1000= 10000

1x3:032x3:063x3:094x3:125 x 3 : 156x3:18I X J : ¿\

8x3:249x3:27

10x3:30

0x9+1: l1x9+2: l l

12 x 9 + 3 : l l l123x9+4:1111

1234x9+5:11111

1x8+1:912x8+2:98

123x8+3:9871234x8+4:9876

0x9*1x9+

1lx9+111x9+

1111x9+

9x9+798x9+6

987x9+59876x9+4

:88: 888: 8888: 88888

c) 32:9652-562 :33'z:1089

333'z : 11088965652 -- 56562 = 33332 : 11108889

656565, - 565(1562 : 3333332 : 1111088889

d)

e)

Í)

Si los trcscs tienen un patrón, también lo tendrán los nueves. ¿Y ...?Busquc, c()nlpuro y si encuentra alguna relación entre ellos, dígalo.

12 - I

l l2 : l2 llll2 : 12321

ilil, : 1234321

9'z:81992 : 9801

999'z : 99800199992 :99980001

Explique o justifique el siguiente patrón:

oe6,'atr lXLzz666 x 667 :444222

Sugerencia: 66 : 2 x 3 x 11 y 3 x 67 : 201,2 x ll : 22

¿Es posible ir más allá con el siguiente patrón, por ejemplo para trescifras?

3x1:3x37: l1 l3x2= 6x37:2223x3:9x37:3333x4:12x37:4443x5:15x37:5553x6:18x37:6663x7:21x37:7773x8:24x37:8883x9:27x37:999

Nota:3367:37x91

33x3367:111.11166x3367:222.22299x3367:333.333

132x3367:444.444165x3367:555.555798 x 3367 :666.666231 x3367:777.7772i lx3367:888.888297x3367:999.999

E-48:

E-49:

a)

¿Cuál es el número de una cifra que menos te gusta? ¿El 6? Entonces, lovas a multiplicar por 12345679, y lo que te dé lo multiplicas por 9.¿Qué te da?

123456't9x6

abcdefghyx9

6666666666 ¿Puedes explicar por qué?¿Ocurre con otfos números?

Explica los siguientes trucos:

Para multiplicar por 5:

9 x 5, se halla la mitad de 9, 4,5 y se quita Ia coma, 458 x 5,4,0,407 x 5, 3,5,35

80 81

b)

c)

d)

e)

Para multiplic¿tl pot' tl

6 x 9, se hal l¿r l¡r r tr i t¡rr l r l ¡ . nurrv(,,4,1, nc lc quita la coma,45 y se lesuma 9. 54

6 x 8, 4,0, 40, 40 | 8, 4lt6 x '1,3,5,35, 35 | 7. 4 l

Para multiplicar por 4

4 x 9, como en el caso ¿urlcrior pcro rcstando: 4,5, 45, 45 - 9,364 x 8,4,0,40,40 - t l . 324 x 7,3,5,35 - 7,28

Para multiplicar por 15

15 x 9, añadir un cero, 90, y sumar la mitad de lo que resulta,90 + 45, 135-

15 x 8,80, 80 + ,f0, 12015 x 7,70,70 + 35, 105

Para multiplicar por 11

11 x 9, se añade un cero,90 y se suma 9, 9954xl l=540+54:594

Para multiplicar por 99:

Para multiplicar por 99, se añaden dos ceros y se resta el multiplicando.

Enuncia la regla para multiplicar por 998.

También la multiplicación tiene su tablilla, aunque no se parece grancosa a las de Lucas (pág. ???):

| 2 f - -@f-s--b ' - -Y-@ e rott @, 13 14 t5 t6 r7 18 19 20

2r z4 zt 24 25 26 27 28 2s 30

31¡A3334353637383940

4r@'$4445464i4849s0

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Para multiplicar dos números, como por ejemplo 3 x 14. Se cuentade cuatro en cuatro tres veces (4,8, l2), a partir del 4.

A continuación se desciende tres pasos en la columna del 12.Explique el lector lo que ocurre, y averigue para qué números

funciona y cómo.

f)

c)

E-50:

Todos est()s trucos tienen un sitio en la escuela, haciendo que el niñojuege con ellos, quc in(cnte descubrir algunos o que busque explicaciones seconsigue que cl c¿ilculo deje de ser rutinario, se fomenta la utilización deestrategias y en cualquier caso se consigue, por lo menos, que adopte unaactitud más participativa de lo que viene siendo habitual.

3.3. LA MULTIPLICACION CON LOS DEDOS

Hay una etapa intermedia en el aprendizaje de la adición en que seacepta que el niño recurra a los dedos como ayuda para <dlevar la cuenta>.También es posible el recurso a los dedos en la multiplicación:

. Cada dedo está asociado a un número.

Figura 3.2

. Para multiplicar dos de esos números se juntan los dedos correspon-dientes hasta tocarse.

¡ Los dedos que se tocan y los que quedan por arriba valen diez cadauno.

. Los que quedan por debajo se multiplican: los de una mano por los deotra.

+10+10

3,

2x3

Figura 3,3

+

82 83

. Se suman los result¿rrkr¡ ohlentrkrr : l0 + l0 + 10 + 10 + 10 - l 2 x 3

¿Cuál es la razón dc c¡rrc cstrr vlein lóclrlc¡r, muy popular en el renacimien-to (GlnNnn,1984), no lo sc¡r clt l lr ¿rt'turrlitlrrd'f

No vale ocultarse cn cl tcrr¡or rr lrr tlcpcrrtlencia de los dedos, hay argu-mentos más poderosos conl{) ¡rol cjclrr¡rlo, kl artificial e incomprensible queresulta, aunque no más quc cuirlt¡rricr¡r tlc ltls algoritmos usuales en opiniónde muchos de nuestros escollrcs.

Se puede dar la vuelta al argurrrcnlo y hnccr de él un problema matemáti-co: ¿En qué se basa, en qué se fundanlcnta'l ¿,(lómo pudo alguien descubrirla?

¿Adónde nos conducirá utilizar cstas prcguntas como punto de partidapara una verdadera exploración'l

Justiticación:

Una mirada al proceso muestra que el producto se obtiene a través de loscomplementarios a diez de los factores, y se ajusta o completa con un ciertonúmero de decenas. ¿Cuántas?

iJ : ab - (10 - a)(10 - b) : roa+ l0ó - tm : 10((¿ - 5) + (á - 5))

Luego

o6 : (r0 _ a)(10 _ b) + l((a _ 5) + (á _ 5))

La regla adquiere su significado digital, si imaginamos una mano de diezdedos:

7x8 7b : (r0 - 7X10 - b) + 10(7 - 5Xá - s)

Los 2 x l0 de l0 (7 - 5) se pueden obrenervalorando a l0 los dedos que se tocan y losde arriba, que son dos.

Los 3 de abajo que hay que multiplicar sonlos de (10 - 7).

Figura 3.4

Ahora bien, utilizar la regla de los dedos para multiplicar por diez esrizar el rizo. Es más fácil añadir un cero al multiplicando. ¿Se podrá modifi-car la regla para que en lugar de asociar a los dedos los números entre 6 y l0asocie los números entre 5 y 9?

l0+10+10

Es lógico pcnsar que si, ya que la justificación algebraica muestraque la regla es válida independientemente del valor de a y á. Por ejemplo,7x6.

l0+10*3x4

Figura 35

<<Los de arriba valen diez, y los que se tocan y los que quedan por debajode éstos se multiplican entre sí>.

Y también debe funcionar con números mayores. En efecto:

16 x l7:7 x 6 + 10(16 + 17 - 10)

Reiterando:

16 x L7 :3 x 4 + 10(6 + 7 - 10) + lq16 + 17 - 10) : 3 x 4 + 10 x 2(6 + 7)

No es posible disfrutar ahora de una bonita expresión digital, pero almenos es un buen algoritmo para cálculo mental.

Estudiar la regla para 26 x 27 y similares. Y después, ... Después sepuede llegar hasta donde se quiera:

a x b: (100 - a) x (100 - b) + 100((a - s0) x (á - 50))

Para hallar la tabla del nueve con los dedos, se extienden las dosmanos, se asignan ordenadamente los números del I al l0 a cada dedoy se procede como sigue:

3x9

*\ r.:\ Figura 3'6

\rJ.84

<Se dobla el tcrccr rlarlo l,o¡ quc qucdan extendidos dan el produc-to. La cifra dc lus tlct'crr¡¡¡ lr¡ rl¡r cl r¡írntcro de dedos a la izquierda delque se ha dobllr lo y ln r ' i l i l ¡ le lur ¡¡nidudes, el número de dedos quequeda a la dcrcch¡r.r¡

¿Puede just i l ic lr l rr lcglrr ' lSugerenciu. vcr los prtlrrtltcs cn l¡¡ tabla de multiplicar.

3.4. CALCULO PENSADO

3.4.1. Cálculo pensado aditivo

No tiene sentido que el niño aprenda las combinaciones aditivas básicas,si no aprende a arreglar los números para poder recurrir a ellas. Dicho deotra manera, el niño debe aprender un bagaje de métodos y estrategias que lepermitan operar, reduciendo la manipulación de simbolos a aquellos másconocidos o más fáciles. Naturalmente, la clave de todo este proceso estaráen la idea de valor de posición y la expresión multiplicativa del número.

Los métodos y estrategias de cálculo mental aditivo no son tan ricos yvariados como los multiplicativos, que es el cálculo mental por excelencia.La mayoría de ellos consisten en la descomposición de los sumandos, laalteración de su orden de colocación o la búsqueda del redondeo (trabajarcon números que arrastren ceros).

l. Recolocación

47 + 86 + 53 + 14 : (47 + 53) + (86 + 14)

Se trata de recolocar mentalmente los números agrupándolos según lasfamilias de sumandos de la unidad seguida de ceros.

2. Descomposicién

77 + t4B: 70 + 7 + 130 + t8 : (70 + 130) + (18 + 2) + s243 - 75: 100 + (100 - 751 + 43: 100 + 25 + 43

El caso general consiste en descomponer uno de los términos para trans-formar la operación en otra equivalente más cómoda.

3. Redondeo

Se trata de alterar los dos términos de la operación buscando el redondeoa ceros, al menos de uno de ellos. En la suma, es flrecuente la compensación:

ivEtslDAD 0lSTR|.TAL 8s. i i ISiO JOSE Di IALDAS

Jl STÉiúÁ Dt iJl Bt.iOTEC¡IS

añadir a un sumando lo que se le quita a otro. En la resta, la conservación:añadir o quitar a iguitlcs.

Compensat'i(tn

57 + 38 : (57 + 3) + (38 - 3) : 60 + 3557 + 38 : (51 - 2) + (38 + 2) : 55 + 40

Conseruación

. Añadiendo (Redondeo por arriba)

547 - r89 : (s47 + I + 10) - (189 + I + 10) : 558 - 200

Obsérvese el paralelismo con el método seguido en el algoritmo estándar:

a)

b)

a)

b)

47-29

+

4- lo+2

10+79

Llama la atención el hecho de que aunque de las dos maneras se añade lamisma cantidad, en un caso es para buscar ceros lo que contrasta fuerte-mente con lo temidos que son en el otro caso, el del algoritmo usual:

1007328

o Quitando (Redondeo por abajo)

2s2 - 59 : (200 + s2) - (s2 + 7),: 200 + (s2 - s2) - 7

4. Conteo

Cuando se tiene una cierta destreza, resulta cómodo trabajar de izquier-da a derecha manejando cientos, dieces y unidades:

Ascendente

c283 1- 435:(283 + 400),683 + 30,713 + 5,718 (Expandido)..283 -r 435:(2 + 4),6,683 + 35, (68 + 3),71,713 + 5,718 (Breue).. 82 - 74: De 74 a 80, 6 y 2 más, 8 (Global).

Descendente

Distancia:

62 - 27: De 62 a 60, 2, de 60 a 30, 30, de 3O a 27, 3.Total,2 + 30 + 3, 35.

86 87

Eliminación:

62 - 27: A 6l le t¡rrito 20, 42, y le quito 7, 35.

Esta estrategia ha dc tcncrsc en cucnt¡r para rebatir la afirmación deque sólo es posible sum¿rr unid¡rtlcs c<ln unidades, decenas con decenas, etc.En el ejemplo expandido (a) sc vc quc lo que se suma es un númerocon las centenas del otro y luego con sus decenas, y luego con sus uni-dades.

E-52: Describe la estrategia seguida en los ejemplos siguientes:

l ) 371+ 634:1000+l+4.2) 6rs - 234:(615 - 200),4r5, -f4,(4rs - 30),385, -4,38r.3\ 73 - 2't: 53 - 7,56 - 10,46

3.4.2. Cálculo pensado multiplicativo

La multiplicación es por excelencia la operación del cálculo mental. Aquíes donde los famosos profesionales del cálculo mental ultrarrápido, Aitken,Colburn, etc., hacían gala de sus mejores recursos.

En lo que sigue destacaremos tres grandes métodos y varias estrategiaspara cada uno de ellos. Como referencia nos hemos apoyado en la clasifrca-ción establecida por Horr (1987 y 1985), y en nuestra propia impresiónacerca de los movimientos fundamentales de cada estrategia. Las denomina-ciones vienen sugeridas por estos movimientos.

l. Como con lápiz y papel

25 x 48:

<5 x 8es40, l levo 4,5 x 4,20y4,24y elcero240,2 x 8,16llevo una, 2 x 4,8 y 1, 9, y el 6,96. Sé que 96 se pone debajo de 240pero corrido un espacio, en total 1200.)

Se trata de manipular mentalmente los símbolos como en la formaescrita. En la estrategia general se actúa dígito a dígito y se efectúa la sumafinal imaginando la disposición que tendría con lipiz y papel.

En el caso dc quc un factor sea de una cifra, el orden de actuación seinvierte:

8 x 42l l :

<(8 x 4) es 32, (8 x 2) es 16, 336, (8 x 1) es 8, 3368, (8 x 1)es 8, 33688>

Quizá sea porque se sigue más de cerca el orden posicional del número, yporque se libera más memoria de corto plazo al actualizar y almacenar losdatos a medida que se incorporan los cálculos parciales. El secreto está enque sólo se conserva el último dato obtenido.

Variantes:

a) Repetición de grupo.25 x 48:

<5,x 8es40, l levo 4,5 x 4,20y4,24,y elcero 240y2 x 48(doblahdo), 96. Sé que 96 se corre un espacio..., etc.>

<<48 x 25,8 x 25,200 y 4 x 25, 100, pero este último se corre unespacio. Total 1200.>

b) Partición:

<5 x 48, (1012) x 48,240 y 2 x 48 que es 96, este último se correun espacio. Total (24 + 96 y se añade el cero).>

c) Arrastre. S x 999:

<Sé que 8 x 9 es 72, después7?y T2endiagonal, total 2 y a suizquierda (7 + 2),9, 92 y a su izquierda (7 + 2), 9, y por último 7.Total7992.>

Esta es una estrategia muy rápida y de poco coste en memoria.Aplicable cuando se está ante productos parciales que se repiten.Sólo hay que imaginar la disposición en que quedarían si se escribie-se el cálculo sobre un papel.

Ejercítese el lector resolviendo el siguiente ejemplo:

lx l : lt lx l l : l2 l

111 x '111 : . . .1111 x 1111: . . .

11111 x 11111: . . .

88 89

2. Distribución

Se trata de transfonnirr r¡no o trrrir l irelrlrcs cn sumas o diferencias con elfin de aplicar la propicclirrl t l islribrrtivrr. l,¿r cstrategia general se l imita adescomponer el númcro c¡t sr¡ f ir¡ 'nrir rrrult iplicativa o polinómica:

8 x 4211:

<(8 x 4Mil), 32Mil. (tl x 2('icntos), Mil 6Cientos, total 33Mil6Cientos, (8 x l0), 80, total 33Mil 6Cientos 80, (8 x 1), 8, total33688.))

Otras estrategias siguen el criterio de buscar equivalentes numéricos apartir de sumas, diferencias, expresiones cuadráticas o binarias, que impli-quen cálculos especialmente sencillos.

a) Aditiuas.25 x 48:

<<25 x (40 + 8), 25 x 40 que es 1.000 más 25 x 8 que es 200.Total 1.200>

b) Sustractiuas.25 x 48:

<<25 x (50 - 2),25 x 50,1.250 menos 25 x 2, 50.Total 1.200>

c) Cuadráticas:

Se trata de apoyarse en alguna de las siguientes formas cuadrá-tlcas:

(a+b)2:a2*2ab+b2

(a-b)t :a2-2ab+b2

(a+b)(a-b):a2-b2

49 x 51: (50 +1)(50 - 1) , que es 502 - 12

Total 2.499

E-53: Explica la estrategia seguida en el siguiente ejemplo:

98ó x 997 : (986 - 3) x 1000 + 3 x 14 : 983000 + 42

Esta estratcgia cs cxtremadamente sencilla cuando se trata de calcularcuadrados:

432 : (43 - 3) x (43 + 3) + 32 : 46 x 40 + 32

y alcanza el grado de magnílica cuando se trata de hallar el cuadrado de unnúmero de dos cifras acabado en cinco:

<Multiplicar la cifra de las decenas por sí misma aumentada enuna unidad y añadir a la derecha del resultado 25.>

852 es 8 x (8 + l),72 y añadiendo 25 se tiene 7.225

E-l: Explicar la regla anterior.

(Sugerencia: (10a + 5) x (10a + 5))

d) Agrupamiento binario. 15 x 52:

<15 x 50, 2 cincuentas son 100, 4 cincuentas 200, 8,.400, 16, 800,como son 15, son 800 menos 50,750 y 15 x 2,que es 30 más 750,son en total 780.>

Variantes:

25x48

(20 + 5) x 48, 20 x 48 que es 960 (Aditiva, repetición de grupoy arrastre de ceros) y 5 x 48, (l0l2) x 48 (partición), 240.Total 1.200.>

3. Factorización

se trata de sustituir uno o más de los factores por un equivalente numéri-co en forma de serie de productos o cocientes. La estrategia general consisteen la descomposición factorial y la posterior aplicación de las propiedadesasociativa y conmutativa de la multiplicación respecto de la suma.

25 x 48:

<5 x 5 x 48, es tambien 5 x 5 x 6 x 8, (5 x 8)(5 x 6), ztO x 30.Total 1.200.>

90

a) Doble y mitad. 2.5 x {fl;

<Sé que es ig,tutl ¡t l0 i !4 y rrltrtrrt caben varias estrategias porejemplo: 100 x 12. 2(Xl x 0. 4(X) x 3.Total 1.200.>

á) Partes alícuotas.

25 x 48:(25 x 4) x @8lal, que es 100 x 12.Total 1.200>

Es una extensión de la estrategia anterior; es útil en aquellos casos en quese trabaja con número como 25, 50, 125, etc.

Por último, cabe destacar que con la ejercitación, con la práctica, acabanmemorizándose algunos resultados más o menos frecuentes o curiosos. Es elcaso de ciertas potencias o ciertos números mágicos. En estos casos lacaracterística fundamental del cálculo mental es que no hay que calcular.

Si conoce la progresión de potencias de 5:

<<25, 125, 625, 3.125, . . . .>>

Entonces:

25 x 125 :3.125, ya que 3.125 : 5s : 52 x 53 : 25 x 125

Si se sabe que 143 : l00ll7. Entonces:

777 x 143 :

777 x ( l00l l7), que es l l l l l l

A veces se prefiere recurrir a una especie de equilibrio:

Para calcular 25 x 48 es mejor calcular 24 x So,que es más fácil y valelo mismo.

Enefecto, a25 x 48lefal tan2vecesparatener25 x 50,ya24 x 50le faltan una vez 50 para tener 25 x 50.

3.5. EXPLORANDO EN ARITMETICA

La maravillosa regla de cálculo mental cuadrático para hallar los cuadra-dos de números de dos dígitos acabados en cinco, admite una transcripción

9l

escrita que pcrmilc i¡ctuar por columnasción:

como en el algoritmo de la adi-

85 8+1:x85

- + 7.225

Sería bueno que esta regla fuera aplicable a otras parejas de números:

8+1=

+ 7.224(Compruebe con calculadora)

83 8+1:x87 x

72121 + 7.221(Compruebe con calculadora)

84x86

+

82x88

8+1: 91 ,x 8l 8

721t6 + 7.216(Compruebe con calculadora)

Para desconcertar a mis alumnos y provocar la exploración, solicito unnúmero de dos digitos a la audiencia, el otro, naturalmente lo pongo yo.Después les muestro mi habilidad y dejo caer el truco. Su trabajo consiste endeterminar el campo de validez y ver si es posible extender la regla aunquehaya que modificar las condiciones de partida:

¿Se atreve alanzar una conjetura? Haga algunos ensayos con su calcula-dora para asegurarse.

<La regla es válida para números de dos dígitos con las cifras de lasdecenas iguales y tales que las cifras de las unidades sumen diez.D

JustiJicación:

Aunque no es necesario cabe la posibilidad de recurrir al algebra:

(l}a + b) x (l\a + c) : 100a2 + !\ab + l\ac l bc: lCf],a2 ++ 10a(á + c) + bc:7C[,a2 * 100a * bc: l@a(a + 1)) + ác

b+c:10

92 93

Aunque se podría hahcr irrlelrlntlo ctrn ndtmeros: (80 + 4) (80 + 6) : ... ydespués, si lo que se qr.ricrr. cB lull demonlrnción basta con poner una letradonde hay un número.

Para extender la rcgll l silrr¡rciorrcn rncn()s rcstrictivas es bueno procedersistemáticamente, modificurrdo krs drrlos plso a paso (GnrnNwooo, 1977).

1. La clfra de las unidadcs no sunr¿rn dicz:

Lance la conjetura.

2. La clfra de las decenas no son iguales:

Complete la tabla y haga la conjetura.

3. Ni las cifras de las decenas son iguales, ni las cifras de las unidadessuman diez. ¿Qué puede decir sobre ello?

Cuando la técnica se domina se puede adaptar al cálculo mental de unamplio surtido de números (Moonn, 1986, Gónrnz y Jarrr,re, 1983).

También se puede actuar así:

JJ

x38412+l

' l l r12116 + 1.216+38

CasoDiferencia

con 33 x 37Resul tado

calculadoraResultado

reglaDiferenciaresultados

33x38 1.254 1.224 30:1x30

33x39 2 1.287 r.22'l 60:2x30

34x39 J 1.326 1.236 90:3x30

CasoDiferencia

con 33 x 37Resultado

calculadoraResultado

reglaDiferenciaresultados

43x37 I

53x37 2

43x37 J

53x62

óx5

J

7+52t + 3.02r+ 5x53(265):3.286

s.62sl + 7s121

30

82xt ló + 82 x 88 - 82 x 2:7.216 + 164

En particular con decimales: 4,9 x 6,1 : 4,9 x 4,1 t 4,9 x 2

Y con números de más cifras:

. Las unidades suman diez

7s7 76 17x 753 + x 7513 +

. Suman 100

738 8138x762 , t laz

+ 56 1 60 - 12) x (50 + 12) : 502 - 122 : ...

. Con cuatro cifras, con cinco ...:

r l r l ,1,x 7 | 5 l1s 13

1.075x 1.025

15.120x 15.880

16 lr20x 151880

3.6. LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Los humanos no solemos prestar atención a multitud de cosas que nosson familiares. Es conocida la anécdota del marido contestando a la esposaque al regresar de la peluquería, le pregunta: ¿Me encuentras diferente,cariño? ¡Que falda tan bonita te has comprado! Contestó é1.

El almacenamiento de datos numéricos en contacto unos con otros nosuele despertar ningún entusiasmo en nuestros alumnos hasta que comien-zan a descubrir su magia. Las tablas de doble entrada dan pie a unaexploración en busca de efectos observables, recurrencias o patrones dignosde ser resaltados y que, cuando menos,.acostumbrarán a ver cuando se miraa los que están habituados a mirar y no ver; algo que requiere ciertoadiestramiento.

94

Cualquiera que hayir plrrrrlenrln elr ¡tr cln¡e crrtc t ipo de ejercicios se habrápercatado que al principio cl ¿llrrrruro lro vc nudn y no sabe tampoco que eslo que tiene que miritr. ¡rt 'ro cn crr¿ullo cnlpicz¿t a percibir las primerascuriosidades, su trabajo se vuclvc l iclr(. l i t,o c imparable.

El a lumno puede c()nslrui l srr ¡ r ro¡r i l r t i rh l ¡ r c in ic iar la búsqueda encualquier dirección. El t¡rnl¡rño cs ¡r t l iscl 'ccii)r¡ i lr¡nque depende de los efectosque se quieran estudiar.

Conviene resaltar con coltlrcs o rccrr¡rrlr<ls los descubrimientos. de esamanera se deja constancia do krs nlislllos y sc constituye un registro deconocimientos fácilmente disporriblcs sin ncccsidad de ser memorizados.

l. En el caso de las tablas de sumar y multiplicar un primer efecto que hayque poner en evidencia es que las opcraciones inversas están implícitas.Sobre la tabla, los extremos son los sumandos o factores, y los números queaparecen en las casillas interiores, las sumas o productos. Por lo tanto,para hallar la resta y el cociente sólo hay que buscar el extremo correspon-diente conocidos los otros datos, es decir el sumando perdido o el factorperdido.

r23456789 123456789

I2J

456789

23344556677889910

10 t l

45656767 87 898 91091011

10 11 t2l1 t2 t3t2 t3 t4

7898 91091011

t0 11 12t l 12 13t2 t3 t4t3 14 rst4 15 t6t5 t6 r7

l0l11213t41516t718

I2J

456789

123452 4 6 8103 6 912154 81216205101520256121824307142128358162432409r8273645

67 8 9t2 14 t6 t8r8 21 24 2724 28 32 3630 35 40 4536 42 48 5442 49 56 6348 56 64 7254 63 72 8r

2. En la tabla de sumar se puede continuar resaltando la diagonal principal(descendente de izquierda a derecha). ¿Qué muestra?

. Los dobles.

. La simetría de la tabla.¿Qué signifrca todo ello?

3. ¿Qué ocurre con las diagonales en general? ¿Por qué?

¡ Los datos son todos pares o impares.. Las ascendentes de izquierda a derecha son constantes.. La secuencia de sumas de todos los números de cada una de ellas es

fácil de recordar si se tiene en cuenta la regla que siguen.

95

4. En la figura sc ha señalado el cuadrado A. El cuadrado Bsiguiente, quc conticnc al cuadrado A; C es el siguiente cuadrado,suceslvamente:

89

910

l0 11

11 12

LZ IJ

13 14

14 15

15 16

16 t7

17 18

a) Calcule el lector la suma de los datos que están en el perímetro decada cuadrado; ¿cómo es la sucesión de números obtenida?

b) Divídase cada una de las sumas anteriores entre el perímetro delcuadrado A; ¿qué sucesión se obtiene ahora?

c) Cuéntese el número de datos que hay en el perímetro de cada cuadra-do ¿cómo se relacionan con los datos de la sucesión anterior.

d) Repitiendo el proceso a partir de otro cuadrado de cuatro cifras ¿seobtendrán nuevas regularidades?

e) Tal vez tomando rombos en lugar de cuadrados pase algo similar.Anímese, rodee el 8 con un círculo y comience a dibujar rombo tras romboen orden creciente.

f) Hay otras posibilidades ----€n matemáticas no se acaba nunca-,búsquense regularidades sobre las figuras que aparecen dibujadas en la tabla;e incluso, si el lector es peleón, puede probar con las figuras que se le ocurran.

01A

t,-.?t> lz- J

1,-,+tYl

¿'-'5

56

67

78

89

es ely así

0r234567

t2345678D

2-3-4-5-6-7-E-9

\ o-5-69r-r-n ,bI I u-r1r- , ro r lJ ¿ | *1,

'b t n

L + ¿ f -tb tlt tz 13I I J -, '-,t-t l t l , ,to8 9 -10-1t- t2-r3-r4 15

J -ro-,r-r 2- t3- t4-ts- ,6

DE?--3-.+ 5 q. 7- ,q 9

i , :+<'{ o i - ;a<-ó 'o4,-5-\6 z g,-s i lb l l

to. tltá! 13 ,lo 1s"(r6 ,1,

96

9 ro l l t2 13 t4 r3'- 16- rr-'l's

97

5. En la tabla de multiplicur, ¿,cérrro ven ls¡ li las y columnas?

. De dos en dos, de lrc,r ( , , t t ' . , , \ , , ,¡ l t tn' t¡ t té?

¿Qué hay en la diagorrirl ¡rlincr¡rrrl do¡cendcntc de izquierda a derecha?¿Hay simetría?¿Qué muestran las diagonitlcs secr¡lrclurius'l¿Qué figura muestran los prodrrctos ¿rcabados en cero?¿Los números qu€ empiczan por ll rnisma cifra?¿Recortando un cuadrado y rnultiplicando los extremos en cruz resultasiempre lo mismo? ¿Por quó?

Las sumas de los pares de números de cada diagonal en los cuadrados de2 por 2, son consecutivos ¿Por qué? ¿Qué pasa con los cuadrados de 3 por 3,4 por 4, etc.?

El cuadrado A tiene tantos puntos-número como indica el punto-númerodel vértice inferior derecha. ¿Por qué? ¿Qué cuadros cumplen esta regla?

El cuadrado G tiene las lilas igual que las columnas del J, ¿es un casoexcepcional?, ¿por qué?

Este tipo de trabajo puede tener continuación con otro tipo de tablas,por ejemplo:

. Tablas de dobles

t 'c0 0 0 0 0r-0-,0 0 0--¡

o r-1,r t \ " , t " [ , ¿¡Jl .x l B t . ' - . - t G

0 2',-'4 f.7i'-

t0-''2 14- 16--118o 3 6 9'--t'2 15 l8 zt 'z+' h

H 24 )t-rr-:*o

Í.. t

7t,t 16

D2o0 5 '10- f5 20-25 30 35 q 45o l¿'A'[ rf¿ib telor-.¡p s4o 7 ,o!rr-,r,r 35 k-'-tt'' lp -*o 8 lo"zq. ' l¿ e kt*- ' . I t , ,o e lt'j.ri:* 4s s4 63 iz'-.\t

261014

4122028

8244056

16 48 80 tr2

32 96 160 224

64 192 320 448

911131517

18 22 26 30 34

36 44 52 60 68

72 88 lM t20 t36

144 176 208 240 272

288 352 416 480 s44

5't6 7M 832 960 1088

-¿Cuál es cl primcr número que no está en la primera columna? ¿Y enla segunda'l... ¿,Quó clase de números son?

-¿No parecc quc hay más pares que impares? ¿Es esto posible?-¿Si un número acaba en cero en qué hla hay que buscarlo?-¿Se repetirá algún número en la tabla completa?¿Estarán todos?- ¿Ala vista de la columna del tres, se puede construir la del 15? ¿En qué

otros casos ocurre esto?- ¿Qué se encuentra en la intersección de una fila y una columna?- ¿Adónde hay que buscar el producto de dos números de la primera

fila?- Explica la frase: <El producto de dos dobles de impar es un doble de

impan. Extiéndela.

. La tabla de cuadrados

t4

t2t 144

441 484

96r 1024

1681 1764

2ffi1 2704

3721 38M

91625

169 196 225

529 576 625

1089 115ó 1225

1849 1936 2025

2809 29t6 3025

3969 4096 4225

36 49

256 289

676 .29

1296 1 .69

2tr6 22W

3136 3249

4356 4489

64 81 100

324 361 400

.84 .4r 900

| .44 | .21 1600

2304 2401 2500

3364 3481 3600

4624 4761 4900

Lo primero que salta a la vista es que en las columnas se repiten las cifrasde las unidades. También ocurren algunas cosas más, pero eso lo dejamospara el lector, aquí vamos a hjarnos en las filas:

En la primera hla, las cifras de las unidades forman un período simé-trico:

| 4 9 16 25 3/6 4/9 6t4 8t1

A continuación, a partir de 100, se inicia otro período para las dosúltimas cifras de los cuadrados, busque el punto de inflexión y el otroextremo del período.

Después vienen las hlas de los cuadrados correspondientes a las decenasdel cuarenta y del cincuenta, ¿qué pautas siguen?

t6l8l 17164 18149 1936 2025 2tr6 2209 2304 2401 2500

26101 27104 28109 2916 302s 3136 3249 3364 3481 3600

98 99

Las hlas correspondicrtlc¡ e lo¡ t 'uatlrAdo¡ dcl diez y del sesenta tienen lasdos últimas cifras igualcs, ¿,('udrrrthr volys¡¡t r¡ ocurrir esto? ¿Encuentras algoremarcable en las olrls cil i lr¡ ' l

l2l 144 ló9 le(r :25 256 289 324 361 400

3721 3844 3969 40e6 4225 4.156 4489 4624 4761 4900

Terminada la exploraciíln cn busca dc recurrencias, cabe hacerse otrotipo de preguntas:

r ¿Qué cuadrados están escritos con todas sus cifras diferentes?o ¿Qué parejas de cuadrados prcsentan las mismas cifras, pero en orden

inverso? ¿Cómo son sus respectivas raíces?

E-55: Complete:

lo:E+!+O

E-5ó: Completar con los signos o cifras que haga falta:

a) 56:(n x ! )+fn " n)b) 76:(4OrrtO(4O8)c) 6:6O(6O6)O6d) 66:(6OolCo)Ooe) s:sC(5C5)O5

f ) s5:(soslcs)os

E-57: 125 x 80 es igual a1.250 x 8. Sin efectuar el cálculo, señala que otrosproductos valen también lo mismo.

25x40; 1.000x1 ;500x20 ;25x16

Siga buscando

a)

b)

x . ,

13299

842: Siga hasta el final según el¿Cuándo conviene pararse?

E-58: Para el jucgo dc factores siguiente, es conveniente que los productossean adccuados, es decir, que sea ventajoso recurrir a é1.

75 25x3x24 4x6

- " "

Escribir varios ejemplos adecuados.

E-59: Una reacción en cadena es un eiercicio como este:

El-a-tr}-@-fl-@l\-{n-od

Escriba otras.

E-ó0: Sustituye por números para que sea verdad que

TOC x TOC: ENTRE

E-ól: Haga el favor de completar las operaciones:

12. .x.9

, . ,32

esquema. ¿Qué estrategia se emplea?

l -Ls 761jn-6' f T+o

¡nl l

E{3: La respuesta a 482 - 153, aparece misteriosamente debajo de unasuma. ¿Cuál es el método empleado?

482 282-153

---..-* + 47329

E{,4z Podemos separar los dígitos 1,2, 4,7 y 8 en dos grupos de tres o bienen tres grupos de dos, manteniendo su orden. Estos grupos puedensumarse:

124+578:702 t 12+45 +78:135

Reordénense los mismos dígitos de modo que al separarlos en dosgrupos de tres y en tres grupos de dos las sumas respectivas sean 999v 99.

100 101

E{5:

E-ó6:

Si el número 1.147(' \ l r ' l l i l l l l l l l t rr por lu mitad, la suma de sus dos

partes: 234 y 765 stttttrttt rJrJU lrudetno¡ comprobar con una calculadora

que este númcto cs r l tvl¡ l l r lc el l l l l t ¡ t l ) . i ,$e trata de una coincidencia?

La mayoria dc lrr ¡¡ctr lc lr 'ettctt ln qtrc .165 cs cl número de los dias que

tiene el año. pcto t ' tr i ¡ l t lot¡ r t tbctt t¡ t te cs la suma de tres cuadrados

consecutivos. I I¡r l lórrsc,También cs l¡ t srt¡rt l t t l t : t l t ts ct¡¡tdt ' i t t los consecutivos. ¿Cuáles?

¿Conoce algírrt otro t t i t t t tcro i t l t¡ trc lc ocurra algo parecido?

J2 22:3+242-32=4+352-42:5+4

¿Se cumple siempre? ¿Por qué?

Continúe cada uno de estos patrones:b)

22-02:4

32-12:8A2 12-11

32-02:9

42-12:15

52-22:21

52-12:2462-22:32

72-32:40

7z-22:45

82-32:5592-42:65

Los algoritmos

4.I. LOS ALGORITMOS

Pocas veces se puede encontrar en matemáticas un término tan maldehnido y sin embargo con tantas defrniciones. Parece como si cada vez quesé quiere explicar lo que es, cada cual hiciera de su capa un sayo y optarapor cualquier argucia que le permitiera salir del paso:

. La etimologla:

Algoritmo: Latinización del nombre del matemótico persa Al Khwarizmi,autor, allá por el año 830 d. de C., de un libro titulado en su aersión latina<Algoritmi de numero indorum> reelaborado como <Liber algorismi de practi-ca arithmetica> por fuan de Seuilla en el siglo nI (REY PASroRv BABINI,1984, pág. 159), considerado como la mayor contribución a la diuulgación enoccidente de los métodos y numerales, guarismos (peruersión de Khwarizmi),del sistema numérico índico, llamado indo-arábigo. La corrupción del título deotro de sus libros <Hisab al-jabr w'al-muqabala> es el origen de ota palabrade uso coniente en la actualidad: Algebra (al-jabr).

.- El .i.conloquio:

Con frecuencia las operaciones aritméticas elementales implican númerosde más de una cifra. Como no es posible memorizar lodos los resultados, sehace necesaria alguna forma de organizar las expresiones numéricas que coninteruención de alguna técnica permita procesarlos. Organización y técnica,configuran un mecanismo que hemos dado en llamar algoritmo.

103

. El misterio:

o Los ejemplos:

o Lo cotidiano:

. La ironía:

< Lu pulttltrtt ulgoritmo significa tanto procedimiento escrito de cálculobasado en tut. th'terminada escritura de signos, denfto de un sistema armónicoque ejecuÍu uutt¡nittitamente una parte del trabajo mental que nos hace accesi-bles regionc.s que nucstra imaginación no podría jamas facilmente alcanzar, opor lo menos, cn que podría extrat)iarse.,

(Cor-nnus, E., 1959, páe.7)

Un problema habitual, susceptible de repetirse con ciertafrecuencia, afaltade modificar algunos dafos, genera una respuesta algorítmica:

¿Qué hacer para cambiar la rueda delantera del coche?

. Abrir el capó.

. Sacar la llaue.

. Sacar la rueda de recambio.

¿Qué haría si tuuiera que cambiar la rueda trasera?Por supuesto, lo mismo. ¿No?, pero en la rueda trasera.

Es un error creer que un algoritmo necesariamente describe una operaciónaritmética. Hoy en día, con el extendido desarrollo y uso de los ordenadores, laimportancia de los algoritmos ua más alla del dominio de las propias matemáti-cas. Instrucciones para cómo manejar una lauadora, o como prepara un pastelpueden seruir, también, como ejemplos de algoritmos.>

(Prnnra NrsHnn, 1986, pirg. 2)

Algoritmo: un procedimiento para realizar un problema, por lo común abase de repetir pasos enormemente aburridos a menos que un ordenador losrealice por usted. Aplicamos algoritmos al multiplicar dos números grandes, alhacer las cuentas de la casa, al lauar los platos o cortar el césped.

104

(Menrn Ger>unR, 1984; pág. 10)

105

4.2. Los algoritmos d(, lAph y pe¡rc|

Esta es la denominlrurirrr r¡rrr ' (. lull l(rnnros ir mcnudo para referirnos a losalgoritmos usuales clc cii lculo rlc lrr cruicr\nnzrt clemental, las cuatro reglas.No hay ambigüedad 0n l l¡rnrirrlos ¡tsi, yl l quc probablemente son los únicosalgoritmos que se ensoilun cn l ir nur-yr)tirr t lc nuestras escuelas.

Técnicamente: <Un al¡¡oritnro cs unir scric f inita de reglas a aplicar en undeterminado orden a urt nirnlcro l ' ini lo t lc datos, para l legar con certeza (es

decir, sin indeterminaci(rn rri arnbigi. iccladcs) on un número hnito de etapas acierto resultado, y esto indcpcnclicntclncntc de los datos.

Por lo tanto, un algoritmo no rcsuolvo solamente un problema único sinotoda una clase de problemas quo no diflcrcn más que por los datos, pero queestán gobernados por las mismas prescripciones.> (BouvmR, A. y GEoRGn,M., 1984).

Históricamente, los algoritmos en su origen fueron los que se elaboraronpara resolver las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir, sinemplear elementos auxiliares como el ábaco o los dedos, y contando única-mente con los datos de las tablas correspondientes para cada una de lasoperaciones y unas pocas reglas. Dichas reglas de cálculo, que permitenextender las operaciones con dígitos a operaciones entre números de cuales-quiera cifras, son los algoritmos de las operaciones.

Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a sualgoritmo que se suele confundir cada operación con el algoritmo usual que

la resuelve. Por eso mismo, nos resulta a veces tan extraño comprobar que

hay varias técnicas distintas para resolver una misma operación.También estos algoritmos que hoy día conocemos, que empleamos con

tanta facilidad y que nos parecen la quinta esencia de cada operación, son unproducto histórico. No siempre se ha calculado como hoy dia lo hacemos.Nuestros algoritmos actuales son producto de una tecnología específica: ladel lápiz y el papel, o la de la tiza y la pizarra, que es similar. Cuando secalculaba sobre arena o ceniza los cálculos fueron distintos, al igual que erandistintos cuando se realizaban con el ábaco; e igualmente en un futuro -con

la integración de la calculadora en el currículo escolar- los algoritmosvolverán a variar (de hecho ya se están produciendo variaciones con elabandono de las multiplicaciones y divisiones excesivamente largas).

Tampoco en todos los casos nuestros algoritmos usuales son la versiónmás sencilla que puede emplearse para llegar a un resultado (por ejemplo, lamultiplicación con el método de la celosía es evidentemente más sencilla). Sinembargo <los algoritmos que empleamos en la actualidad constituyen unsistema coherente, que se ajustan a unas reglas comunes, evitando que encada caso se sigan esquemas distintos. En cuanto a la presentación, secolocan consecutivamente los términos de la operación que se va a realizar,en un orden creciente y en posición vertical ----excepto para la división, en

donde el divisor sc cokrca a la derecha del dividendo y separado de él por uncaja . Se va opcrirndo dc derecha a izquierda en todos los casos, es decir,comenzando la opcración por las unidades de orden inferior y avanzandoconsecutivamente a las de mayor orden; de nuevo la división presenta unaexcepción inicial ya quc se comienza a dividir por las cifras de mayor ordendel dividendo, y por tanto a formar el cociente por sus cifras de mayor or-den, pero a partir de ahi el esquema se coordina con el de las demásoperaciones ya que la cifra del cociente se multiplica por el divisor de modocreciente y se va restando del divisor en el mismo orden>. (Cnsrno, E. yotros, 1985).

¡ Características

Los algoritmos de lápiz y papel se caracterizan porque son:

1. Escritos, en el sentido de que permanecen sobre el papel y pueden sercorregidos.

2. Regulares o estándar. Todo el mundo los hace igual.

3. Abreviados. Resumen varias líneas de ecuaciones ocultando pasos quetiene que ver con las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva.

4. Automáticos. No hace falta pensar, ni reflexionar. Ni siquiera necesitanser comprendidos para poder ser ejecutados.

5. Simbólicos. Se trata de manipular símbolos sin referencia alguna al mun-do real.

6. Generales, en el sentido de que funcionan con cualquier número.

7. Analíticos. Los números se consideran rotos, descompuestos. Las cifras semanipulan separadamente.

8. Tradicionales. Son <los de toda la vida>.

9. De confianza. Porque funcionan siempre.

10. Familiares. Son los nuestros, los de nuestros padres y abuelos.

4.3. LOS ALGORITMOS EN EL CURRICULO

. El pasado reciente: Un mundo plácido

Tradicionalmente la prioridad en las matemáticas escolares era las cuatroreglas y sus aplicaciones a los problemas de pesas y medidas. Esta era unareferencia para considerar a alguien <educado>. Cálculo era sinónimo de Mate-

106

máticas. Los padres sc scrrli¡ur ¡rrllrlcr'hor, cntcndian los manuales que sushijos estudiaban y lo (luc un tllr¡ lrte htrelto prtra ellos era bueno para susvástagos.

La introducción a los irl¡¡orrtnros er¡ur ltn breve que casi no existía,prácticamente se reducilr rr lrr ¡rlo¡riir nl¡ulcrit dc cjecutarlos. Aprendizaje erasinónimo de ejercitaciin, tlc cnllr:rr¡rrricnlo, Los niños eran adiestrados másque enseñados. Repetir, rc¡rctil y rc¡rctir'.

. Ayer: Lo moderno. La malcmuticu modcrna. La enseñanzamoderna de la matemática. La modcrna enseñanzade la matemática

En 1957 la URSS lanza su primer Spuknik y el mundo occidental domi-nado por los EE.UU. se inquieta ante su retraso tecnológico. La moderniza-ción industrial está despegando. En 1959 la OCDE, un organismo económi-co, oÍganiza un seminario: <El coloquio de RoyaumonD cuyo objetivo espromover una reforma del contenido y de los métodos de enseñanza de lamatemática. En 1967-1968 la reforma está en ebullición, se crea el C.I.E.M.(Comisión internacional para la enseñanza de la matemática). Los sucesos demayo del 68 ponen nerviosos a los gobiernos. El sistema escolar se tambalea.En 197O-1971 salen a la luz los nuevos programas. La tecnocracia al poder.La ideología es el progreso técnico, hay que elevar el nivel y las matemáticasson el instrumento. Lenguaje y razonamiento, las matemáticas enseñan apensar, son el lenguaje de la ciencia, la vía de acceso para comprenderla. Haymatemáticas en todo, pero no cualquier matemática, sino la matemática denuestro tiempo, la matematica moderna. Lógica y estructura. Probabilidad yestadística. Algebra y topología. Cuanto antes se les dé a los niños mejor.

En este orden de cosas ¿qué ocurre con los algoritmos?Como se ha señalado en el primer libro de esta colección, la falta de

propuestas didácticas clamaba al cielo. Las orientaciones ministeriales nofueron más allá de:

- Primer niuel: Adiciín de números, sustracción de números. Problemasy ejercicios simultáneos. Automatismo de dichas operaciones con nú-meros de una y dos cifras.

- Segundo niuel: Multiplicación de números naturales. Automatizaciónde esta operación.

- Tercer nioel: División entera. Automatización.

¿Qué cabe esperar con este planteamiento? ¿Cómo hay que lograr estosobjetivos? 1l$

La respuesta viene de la mano de las editoriales comerciales. Pedagogos ypsicólogos se incorporan a la redacción de los libros. ¿Qué dicen los mate-máticos profesionalcs? Aparecen en el mercado multitud de textos, diferentes

t07

líneas, incluso pr'ccdcntcs de la misma editorial. No hay que perder (cuotade mercado>>. sc intcnta satisfacer tanto a la parte m¿i inerte del sistemaescolar como a l¡r m¿is innovadora. ¿eué libro damos este año? ¿con quécriterios se elige'l (lomicnza la función.

o ¿Qué está pasando aquf?

- La reforma produjo desorientación en el trabajo escolar, inseguridad en

la evaluación de los alumnos, enfrentó a los enseñantes, hizo cótidiana laexpresión fracaso escolar y cuestionó el papel de la matemáticaen la socie-dad y en la escuela.

Diversas corrientes y tendencias comenzaron a aflorar, desde los conser-vadores que afirmaban que cualquier tiempo pasado era mejor, hasta los quese refugiaron en la historia como terapéutica contra el dogmatismo; ir a lasfuentes, ir a la forma como se ha elaborado la matemáticu. éru .. la manerade darle sentido.

Algunos partidarios de la reforma dijeron que se había pervertido elespíritu de la misma y buscaron refugio en la pedagogía moderna. Lapalabra clave es estructura, y Piaget el sumo pontílice. El áprendizaje de lasestructuras matemáticas debe corresponder al desarrollo de las estructurasintelectuales del niño. El problema es que piaget habla de pedagogia activa,la actividad es el motor del desarrollo intelectual. De la u"iión á ü abstrac-

o La respuesta oficiaL ¡Pepito no sabe sumar quebrados!

En l98l se replantea la progamación. con la denominación, programasrenovados, se reordena la EGB buscando la racionalización, entendida comoeficacia: <Es necesario reconocer que no se han.arcanzado las.cotas de

108

rendimiento que ser iarr . l ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ l ¡ l1r¡ ' lR. l ) , g. 1- t i l ) . El caso es que se dictanunos niveles básicos rle rclcrclrtrlu t¡rrc lor ulumnos deben alcanzar y seestablece una lista dc ¡rcl rvrtl¡rrh.¡ . l rclrlnl ivrs para alcanzarlos:

Propuesta.s fl.t(lt'(, ()ltt'tttt tt,ttt,\ th. t1¡tt1¡ intlicutlas, el alumno ha de disponerlasadecuadamentc ¡xtrtt lrt \unttt r't(,ttlt.'ru i',tttt. Dcspués se le dira que cambie elorden de k¡s sutttuttltt.t t't(,ntlnt.'1,( rl rtsultudo.

Iniciar la automari:aciir¡ la lu ,pcruciint dc multiplicar por un cifra. Realizarmultiplicaciones menralnu'nrc ptr lu unidud ,reguida de ceros. Hallar con ma-terial y mentalmente doble-mitud, tiDle-terck¡.

Iniciar la automatización de la diuisión cuando en el diuidendo hay hasta doscifras y en el diuisor una.¡¡

No conviene dejar nada en el tintero. Así que también se señala lasecuencialización adecuada que hay que seguir:

t . Exposición de lo que significa la operación y la relación que tiene conla teoría de conjuntos para que la operación tenga un sentido para elalumno.La traducción simbólica de la misma.La automatizaciín de la operación, conocer el algoritmo, saber cómose realiza.

o Enseñar comprensiblemente

si hay un mensaje claro en la literatura escolar de los años 75-g0 es quehay que incidir en la comprensión. Eso sí, no todos entienden lo mismo iorcomprensión. Para unos, se trata de comprensión instrumental, es décirsaber aplicar las reglas en cada caso concreto sin necesidad de tener quecomprender su funcionamiento. Para otros, comprensión relacional, saberqué ha de hacerse en los casos concretos y estar en condiciones de relacionarestos procedimientos con conocimientos matemáticos más generales, propie-dades de la numeración de posición, propiedades de las operaciones: asocia-tiva, conmutativa, etc. unos cuantos hablan de comprensión integral, saberreconstruir el camino que conduce al resultado conociendo las razones de lospasos que se siguen. Es, en cierto modo, laboratorio, artesanía, exploración ydescubrimiento.

2.3.

r09

Hay que scirir l lu cl cirnrbio de rol que se asigna a la ejercitación, no es yalaviapara el aprurdizir. jc, sino laviapara la consolidación. Se desea que losniños practiqucn las nttnipulaciones necesarias hasta que puedan llevarlas acabo con el suficicrrtc irutomatismo. Hay quien prefiere hablar de fluidez,mejor f luidez que automatismo, ya que automatismo denota aprendizajemaquinal.

¡ El debate

Se dice que los algoritmos no son matemáticas, y que esta es una de susgrandes ventajas: <Un algoritmo es bueno, si permite hacer algo sin necesi-dad de tener que pensar acerca del signihcado de cada paso.) Se identificaalgoritmo con automatismo. Pero el algoritmo es automático una vez que seha asimilado el proceso mediante el que se desarrolla y se ha comprendido lalógica que lo sustenta. Previamente hay que recrearlo. Sin embargo, cuandoel algoritmo se introduce a edades muy tempranas, el énfasis se sitúa en laobtención correcta y rápida del resultado, se da prioridad al automatismo endetrimento de la comprensión. Con este planteamiento, la enseñanza de losalgoritmos está marcada por el maquinismo. No tener que pensar acerca delo que se hace, lo importante es aprender a manejar unos símbolos deacuerdo con las reglas aunque no se sepan las razones de estas reglas. Es elautomatismo y para ello lo mejor es la estandarizaci6n, la ejercitación yel orden. Todos el mismo, todos los días por el mismo camino y todos de lamisma manera.

Siguiendo este camino la frnalidad de la enseñanza de los algoritmos seenquista, el objetivo son los propios algoritmos. Los problemas que resuel-ven, eso es algo secundario, para después y únicamente como ejercicios parapracticar.

Gran error, se olvida que el algoritmo por sí mismo no tiene razón de ser.El algoritmo es una herramienta y su importancia está en la medida en que

rs la respuesta a situaciones prohlemáticas I no al contrario.Si claro, pero no se puede negar que la estandarizaciín y el orden

influyen a favor de la eficacia en la ejecución del algoritmo y puesto que aúnnadie ha logrado demostrar que comprender lo que ocurre mejora la ejecu-ción del algoritmo, ...

Estos y otros argumentos forman parte de la discusión. El debate estáservido:

Automatismo porque es más fácil y rápido de enseñar, y porque es lo quese ha enseñado en los últimos cien años, o autonomía y comprensión porquees lo moderno y lo que la gente necesita en la actualidad cuando no tieneuna calculadora a mano.

Por un lado, utilizar como argumentos rapidez y tradición es cuando

110

menos peligroso. Con lir lr¡rrlrt rritr re ¡r¡¡¿.¡ls¡¡ rcchazar innovaciones valiosasy puede signil icar no irrlnrrlr lrr rr 'r¡rrrrrlrr ¡rersonal, especialmente si ésta noviene dada por el prolcso¡ lf¡rsr'¡rrrrLr ln rrr¡rit lcz s0 corre el riesgo de identif i-car lentitud con incapircit l;rrl

Por otro, la no coln¡rrcr¡srir¡r t lc lo t¡trc ()curre conlleva ciertos efectosperniciosos que hay quc cvilrrr, crrl lc cllos r¡lr¡r iclca equivocada de cómo es yfunciona la matemática, r¡r) nlcn()slrt 'ccio dc l lr propia inteligencia, una fuentede errores, se hipoteca cl óxito lr l ir lgo ¡'r l lrzo antc la imposibil idad de recons-truir los pasos (no hay razilrr ni sr¡slcnlo para recordarlos), y una falta deconocimientos para aplicar o Ílcluirr con f ' lcxibil idad ante nuevas situacionesde cálculo.

Es evidente que el aprendizajc dcsdc la comprensión presenta seriasdilicultades, sobre todo en aulas supcrmasificadas y programas recargados.Enseñar los algoritmos comprendiendo el sentido que enlaza los pasos y losprincipios y razones que subyacen en los mismos, no es tarea fácil ni rápida.Diseñar una secuencia con situaciones o modelos en los cuales el niño sesienta seguro y por ello pueda experimentar, reñnando y acortando susmétodos hasta llegar a un proceso que pueda automatizar, no es moco depavo. Es delicado plantear submetas y organizar pre-etapas que vayanaumentando su nivel de concisión hasta culminar en la lista de instruccionesque conñguran el algoritmo. Además, ¡no es lo que me han enseñado a mí!

La última reforma del año 1985, en Francia, ha optado por incorporarnuevas nociones y términos en esta línea. Se habla de construcción, transfor-mación, elaboración, y obtención por métodos empíricos. Mientras tanto ennuestro país, se duerme el sueño de los justos.

. La estandarización

Durante siglos los tratados de aritmética se han empeñado en mostrar elcálculo como si sólo hubiera un camino, y además de sentido único:

En el informe Cocrcnorr (1985, pág. 10) se señala: <Hubo otro grupoque englobaba a quienes, aunque eran capaces de realizar los cálculos que seles exigían normalmente, tenían un sentimiento de insuficiencia, porque eranconscientes de que no usaban lo que para ellos era el método "adecuado"; enotras palabras, no utilizaban los métodos normales que se enseñan en lasclases para realizar cálculos por escrito. De hecho, el estudio, aunque revelóuna gran variedad de métodos para resolver las cuestiones planteadas, tam-bién puso de manifiesto que muchos individuos tenían sólo un método paraabordar un problema dado. Si éste fallaba, o si el cálculo planteado se haciademasiado incómodo, carecian de la capacidad y seguridad para afrontarlocon un método difercnte. Ni siquiera, en algunos casos, eran conscientes de

l l l

Diuiderulo tolalProduclo lr inrro .. . . . . . . . . .Resta primera

-y litidcndosegundo . . . . . . . . . .

Producto segundo .. . . . . . . . . . .Resta segunda 7 diaidendo

letcero , , , . . . . . . . . . .Produc to \ercerl . . . . . . . . . . . . . . .Resla tercera 1t diuidendo

cuar lo. . . . . , , . . . . . .Producto cuai lo . . . . . . . . . . . . . . .Resta cuarta 1t diuidendo

qutntro . . . . . . . . . . . .Produc lo quinto .. . . . . . . . . . . . . .Resta quinta I diaidendo

sexto . , , , . . , , , . . . . .Producto suctl . . . . . . . . . . . . . . . . .Resla sexta 7 diuidendo

séptim0... . . . . . . . .Producto séptimo .. . . . . . . . . . . .

Séptima 1 última resta .....

DE LA ARITMETICA

r76012,2

63o84537ro68 l4gzSoT432so7 [358s?8 i]F-

r98338t3 substracción sepundar73oo2rt5

253355'7 Substraccíón tercera

2r0253'5

37ro22'r Subsrracción cuarra34ooo5ro

25o¡65'0 Substracción ouinta

2rO253r5

339r15'6 Substracción sexta302754'9

s62fu2'l substracción sébtima34Ooo5rO

(Tomado del Arte de escribir por reglas y con muestras según la doctrina de losmejores autores antiguos y modernos, extranjeros y nacionales: acompañadode unos principios de Aritmética, Gramática y Ortografia Castellana, Urbanr-dad y varios sistemas para la formación y enseñanza de los principales caracte-res que se usan en Europa.

Compuesto por D. Torquato Torío de la Riva y Herrero. MadridMDCCXCVIII. En la imprenta de la viuda de D. Joaquin lbarra. Con laslicencias necesarias.

En un grupo compuesto por muchos extranjeros se tuuo un día la sorpresa aluer presentar cuatro técnicas diferentes de la sustracción... cada persona quepresentaba una de ellas estaba persuadida que la suya era la única posible.

(Prceno y GrRoDEr, 1976, pig. 4)

que podían existir otros métodos alternativos, y posiblemente más fá-ciles.)

Además de sus dificultades intrínsecas nuestra escuela ha añadido dificul-tades complementarias al aprendizaje de los algoritmos. La más usual con-siste en que los datos intermedios que aparecen en las operaciones no seescriben, sino que se opera con ellos mentalmente y de modo inmediato; asítenemos el llevarse en cada una de las columnas de 14 suma y en cada uno de

t12

los productos parcialcs tlc lrr nrrrltl¡rltescitin. cl prestar o <llevarse> en laresta, y el realizar los rcslos ltl(.nltcrltoñ rle nlcmoria en la división.

Todas estas operilciorrt.r rr ptr,r(,ur'¡ul re¡tlizar rápidamente y empleandoexclusivamente la mcmor i¡t. krs r'¡ik'tthrs ll lcnl¿tlcs que imponemos a nuestrosalgoritmos dificultan cnonrrcnrcntc cl tr¡rh¡rio cn la operación correspondien-te y muchas veces son illncecsirrios. li l coklcar lo que nos llevamos de unacolumna de la suma sobrc lir colrrnrnlr siguicntc, o bien elrealizar el cálculoanotando los cálculos intcrnrcdios. dislrrirruyc las dificultades y permite aho-rrar errores innecesarios. Sin cmbarg() n() ui usual que evitemos dilicultadescomplementarias a nuestros ¿rlumnos.

. Hoy: La tragedia

La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la manode las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.

Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currícu-lo escolar hace 20 años, ha empezado a ser considerado como algo que vaperdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculomental y estimativo. La estandanzación, quizá tuviera sentido en otra época,cuando la extensión de los cálculos hacía necesario la supervisión por otrapersona. Hoy en día el cálculo es personal y no va más allá de aquél que sepuede hacer mentalmente, el resto es con calculadora y con ésta sólo seescriben los resultados. ¿No es razonable pensar que el niño sólo deberíaaprender a hacer aquello que no pueden hacer las máquinas o que él puedehacer mejor que ellas? En un informe del año 1983, ya viejo, <Schoolmathematics: Options for 1990s>, se señala refiriéndose al efecto de lascalculadoras sobre los algoritmos estándares: <Algunas destrezas tales comola división larga, son obsoletas. Sólo recomendando que no sea enseñada, seliberaría un tercio del curso de las alumnos rápidos y probablemente un añode los lentos para enseñar otras cosas.)

Los primeros artículos reclamando la abolición han empezado a apare-cer. Los primeros maestros que ya no enseñan los algoritmos largos hanllegado ya. Los primeros alumnos de Magisterio que nunca aprendieron ladivisión larga ya estan ahí. La Aritmética de columnas, los algoritmos están-dar están en el filo de la navaja. En el futuro es de esperar que la presión delos abolicionistas vaya en aumento:

¿Qué ibamos a hacer en nuestras escuelas si esto ocurriera? ¿En quéibamos a entretener a nuestros alumnos sino podemos mantenerlos ocupa-dos con la ejercitación de los viejos y anticuados algoritmos?

Quizá la respuesta esté en el equilibrio razonable entre aritmética decolumnas y aritmética mental. ¿Por qué presentarlas como oponentes? ¿Nohay una tercera via?

113

o El Panorama: l,u cxploración actual. Líneas

No wty u duir que los algoritmos de lápiz y papel no deberían enseñarse,pero si diré quc solamente deberían enseñarse como parte del arsenal detécnicas de que disponemos para ayudar a comprender los números y no porquesean útiles.

(GlnlrNc cit. Fl¡r-rrn, 1986, pág. 106)

La construcción de los algoritmos usuales de cálculo puede ser utilizadacomo estereotipo de donde sacar modelos y líneas de actuación.

Permite hacer comprender que una tarea matemática puede ser realizadade diferentes formas y que éstas pueden venir determinadas por uno mismo yno por el maestro o el libro de texto. (Este es un primer paso para eltratamiento personalizado de los algoritmos). Da pie a conversar acerca decómo se ha resuelto y por qué, a conversar acerca de los pasos alternativos,de sus ventajas e inconvenientes, de la forma de transcribirlos y esquemati-zarlos con lápiz y papel, a abrir la crítica a las soluciones aportadas por loscompañeros, etc. Con todo ello se configura un surtido de disposicionesprácticas, variantes de las formas escritas del algoritmo, que originan discu-siones sobre su conveniencia, sencillez, eftcacia, etc. ¿No es esto el diseño delalgoritmo, ponerse en el sitio del inventor y entender las razones que looriginaron?

El grupo Wiscobas (IOWO) ha experimentado un programa que atiendea la progresiva esquematizaciín y abreviación. Empezando por un contextoproblemático, dan pie a la exploración y al descubrimiento a partir de lamanipulación (ábacos y bloques de 10, básicamente). Cuando se ha resueltoel problema a este nivel se pasa a un esquema transaccional y por último alestándar.

Es incorrecto esperar que todos los niños de una misma clase o aula,adquieran el mismo nivel de competencia del mismo algoritmo y en el mismotiempo. Como la progresiva construcción, abreviación y esquematizaciónofrece pre-algoritmos en grado creciente de dificultad, tiene la ventaja de quesatisface a todos los alumnos, incluso a los menos dotados que nuncallegarán al hnal. ¿Por qué el objetivo ha de ser todos el mismo algoritmo?Cada uno que haga el que pueda hacer mejor.

Conviene señalar que la construcción progresiva de que hablamos, notiene el sentido de que hay que dominar primero el algoritmo con dos cifraspara pasar al algoritmo con tres, desde el primer momento se puede trabajarcon números grandes. La dihcultad no está en el tamaño del número sino enel nivel de abreviación.

r14 115

. ¿Qué ocurrirá mañanu?

Se puede contestar cor¡ro lrr lrr¡o t ' l rrrt ' lcor'ír logo al que se le preguntó quequé tiempo haría al dil sr¡lrrrcrrtt ' ,, lr l rrrisrrro r¡rrc hoy> dijo, convencido deequivocarse lo mínimo. Itc:ro l¡urrlri 'n st' l tuctlc arriesgar algo y lanzat vnarespuesta atrevida: Mañ¿rnrr rrrl lr¡rl lr¡i ir lgorilrnos de cálculo en nuestrasescuelas, más allá de aqucl (l irc sc ¡rrrcrl ir l t irccr mentalmente.

4.3.1. Algoritmos para la suma

A menudo la suma implica a parcjas de números distintas de aquéllascuyo resultado ha sido retenido por nuestra memoria y cuyo considerabletamaño obliga a organizar su procesamiento de tal manera que no se vuelvainterminable.

. La presentación instrumental

La forma instrumental de presentación admite varias versiones:

. La iustificación relacional

Las ideas necesarias para comprender cómo funciona el algoritmo desdeel punto de vista relacional implican:

. La estructura del sistema de numeración decimal haciendo hincapié enla transferencia entre las expresiones multiplicativa y posicional.

. Las sumas básicas.r Las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva.

En la jerga usual, se explican diciendo que en la suma se puede prescincir

del orden pero hay que sumar ordenadamente (¡horror!): En lugar de surnarcentenas, decenas y unidades con centenas, decenas y unidades, que es comovienen dados los números, hay que sumar centenas con ccntenas, decenas

Expandido

40+ 5+30+ 8

70+13

(70+10)+3

Extendido

45+38

IJ

'70

Abreviado

45+38

(7 + 1)3

Estándar

45+38

83

con decenas y unidudcs con unidades. ¡Claro! Las manzanas con las manza-nas y no con las pcrrts,

45 + 38 : ¡ql0) + 5l + [3(10) + 8] : Estructura Decimal= t4(10) + 3(10)l + [5 + 8] : Asociativa y Conmutativa: [(a + 3Xl0)] + [5 + 8] : Distributiva: 7(10) + 13 : Sumas básicas: t7(10)l + I(10) + 3l : Estructura Decimal:(7 + lx l0) +3 = Distr ibut iva:8(10) +3: Sumasbásicas: 83 Estructura Posicional

¡ La construcción progresiva

Desde el punto de vista progresivo el camino puede pasar por los mate-

riales manipulativos hasta que el niño esté en condiciones de efectuar la

transcripción al lenguaje escrito:

45+38:

<-\-t

é aor¡

35+38

(7 + l)3

lJnz vez se llega a la forma escrita regular o estándar del algoritmoaparece una dificultad puramente técnica, el esfuerzo mental que suponeretener das que se llevan>>, las que han de ser añadidas a la columna

116

U58

13

J

B

4J

7I

8

II

5+8

-c-I- oo5é Í+)lr :

siguiente. En la práctic¡t. rc r¡hvle el prOhlemA recurriendo a una estratage-ma, registrar la cantid¡td (luc he HIfA¡lftl On 018ún lugar estratégico mediantenúmeros, marcas o scil¿tlcs.

I486

+753 |

H7 (7 | 1. 12, pongo una marca, 2 + 9,11, otra

6,4l l i l rrúnrcro dc marcas

irrt l icn lt contidad que hay que llevar39

. La progresiva esquematización

La construcción paso a paso del algoritmo se puede organizar a partir dela manipulación exclusiva de números, de esta manera se introducen pre-algoritmos o pre-etapas del estándar o dehnitivo. Por ejemplo, los algorit-mos con sumas parciales:

486+ 758

Extendidos

400+80+6+700+50+8

400+80+6700+50+8

+400 + 700

80+506+8

400+700+80+50+6+81100 + 130

Resumido

486

+ 758

t4130

+ 1100

+14t 100130l4

Abreviado

486

+ 758

I413

11

Es importante establecer pre-algoritmos por varias razones' unas porqueexplican la versión abreviada ftnal, y otras porque los niños raramente tienenocasión en la escuela de examinar otros modos de actuar que no sean losusuales.

Los algoritmos con sumas parciales

Los algoritmos con sumas parciales desempeñaron un papel digno, enuna época en la que no había calculadoras, eran utilizados como prueba

t17

(Pnnnsou, 1913ó) prrrrr l l suma, en el sentido de comprobante. Hoy 1o pode-mos contemplar dc olra manera:

. Al no tencr quc llcvar ninguna cantidad es un algoritmo aconsejablepara principiantos o para niños con dificultades de atención.

. Al mostrar todas las sumas parciales, en caso de error en la ejecución,éste salta a la vista y no hay que rehacer todo el cálculo.

. La similitud que presenta con el algoritmo de la multiplicación, haráque éste sea menos misterioso cuando llegue.

486 486x 758 + 758

Cada fila debe comenzar justo debajo de la columna de la cifra que laorigina, son los desplazamientos a la derecha que tantos problemas dan a losniños, sobre todo, cuando hay ceros intercalados.

Cuando todo este trasfondo ha sido comprendido ya se puede sumar encualquier orden, lo que supone, cuando menos, aumentar el grado de auto-nomía v libertad del alumno:

38882430

3402

(1)486

+ 7581l13t4

t413

l l

(2)486

+ 75813

11t4

E-68: El algoritmo (1) se ejecuta en el mismo orden en que se leen y escribenlos números, de izquierda a derecha. ¿Se puede sumar de izquierda aderecha con el algoritmo usual? Explica por qué y cómo.

Un inconveniente que presenta el algoritmo con sumas parciales, es que amedida que aumenta el número de cifras de los sumandos, aumenta elnúmero de filas. ¡Once cifras, once filas! La disposición en diagonal obviaeste contratiempo:

486+ 758

486+ 758

+111134

1244I l2 l4 l4

118 lt9

En cualquier caso, y si r':ln dlr¡rorlcídtn €ceandaliza, siempre se puedeescribir horizontalmentc:

4l l f r75H

1l t . ] l4 t ( l

En última instancia, ¿,¡'ror t¡rri:parejas?

: 1244

ejecución sumando por

I lx . l I l )4

r to ¡r l r tcvi¡r r la

342223

564725

(56 + 40,96 + 7, r03 + 20, 123 + 5,128)

28

E-69: Sumarle a un número el que resulta de invertir sus dígitos, producesituaciones chocantes. Por ejemplo:

132 e 231 132

+ 231

363

El número 363 se lee de derecha a izquierda igual que de izquierdaa derecha. Encuentra otros números que se comporten como el 132 yda una regla para hallarlos.

4.3.2. Algoritmos para la resta

La resta, con la suma, implica muchas veces números considerablementegrandes, lo que obliga a introducir algún procedimiento que reduzca elcálculo a la manipulación de un número mínimo de digitos.

. La forma instrumental

326

Expandido Extendido Abreviado Estándar

500 + 60 + 7 567 567 567

-200+40+l -241 -241 -241

300+20+6 620

300

326

Los conocimicntos necesarios para entenderlo desde un punto de vistarelacional implican a la estructura del sistema de numeración decimal, ciertafluidez en el conteo y cn las sumas básicas y habilidades con las propiedadesasociativa. conmutativa y distributiva.

. La justificación relacional

s67 -24r: [s(101+ 6(10) +7f- \2(ro '1)+ 4(10)+ l ] : Estr .decimal: [5(10'z) -2(r0 'z) ] + [6(10)-4(10)] +17 -r) : As.yConm.: t(5 - 2)0011+ [(ó - 4x10)] + u - t): Distribut.:3(10'?) + 2(10) + 6: ConteooSumasbásicas: 326 Estructura posicional

. El bloqueo

En la práctica, el niño ha sido iniciado en la sustracción a través de una ovarias de las siguientes formas:

a) Separar y contar: 62 - 27 : ?

I 3 13 23 33.35r r t t ¡ r l

28' 30 40 50 60 62

Sumando perdido o complemento aditivo: 27 + ? : 62

1313233335t l t t | | l l l

21 30 40 50 60 62

Quitar, hasta (el sustraendo): 62 = 27 : ?

t2 12 22 32 35l r | | | | | l l

62' 60 50 40 30 ' ,27

d) Quitar, el (sustraendo): 62 - 27 : ?

I t0 2Q., . . , .27I I iltl---.l.--].-]*']-

62 52 42" ' 35

En esencia se trata de contar o descontar, en función del tamaño oproximidad de los números, situándose sobre el mayor que es visto en sutotalidad, no como unidades, decenas, etc., que es lo que ocurre en el

r20

272010

b)

c)

algoritmo, donde la ejccuciírrr ñc roali¿[ uinlundo los dígitos y emparejandolos que corresponden al nrisr¡¡o r¡r'rlglt o rrrismo valor de posición.

El problema surge cuantkr r¡no rle krr dlgit<ls del minuendo es menor queel correspondiente del sustr¡rcrrtkr, crrlonccs se produce el bloqueo. ¿Quéhacer?

-5t

¿Cuál de las formas anteriores hay que usar ahora?

. Pedir y pagar

La salida a esta situación es en la mayoría de nuestras escuelas, lo queen la jerga se denomina <pedir y pagaD, sencillamente una (suma de igua-les>:

527 : 5(102) + 2(10) + 7 + 5(t0r) + 12(10) + 7- 2s4 : 2(102) + 5(10) + 4-3(102) + 5(10) + 4

2001 + 7(10)+3

No parece que éste sga un método para principiantes, a menos que hayahabido un previo y adecuado entrenamiento en el principio en el que seapoya:

a-b:c:(a*x)-(b*x)

Los materiales manipulativos son un recurso eficaz en esta tarea. La ideaa resaltar es que si se suma la misma cantidad al minuendo y al sustraendo elresultado no varía:

2754'¡3

6-4

7-5

6+l-4+l

En particular:

6-4

l6-12

6+10-4+10

r21

El niño puede usar bloques de base diez, regletas Cuisenaire,numéricas, etc., parl (vcr)) como se conserva la diferencia:

Difcrcncia

Ér / É @

líneas

Bloques

Ooqooo

Diferencia

Er.o cloot l

1- Ff ,d'd@

Diferencia

6-4 t6-14

Se avanza un paso haciendo ver como esta propiedad es útil para elimi-nar el bloqueo. El ábaco de diez, muestra el camino:

Se aumenta el dígito del minuendo que ha producido el bloqueo endiez unidades, diez bolas sobre su propia varilla. Se aumenta la mismacantidad al sustraendo, pero esta vez se hace uso del hecho de que sobreel ábaco el diez se puede representar de otra manera, no sólo con diezbolas, sino también con una sola bola en la varilla inmediata de la iz-quierda.

Esta estrategia, en la jerga se denomina <pedir y pagaD: Se piden diezpara la primera varilla del minuendo y se pagan diez en la segunda varilladel sustraendo.

r22

Minuendo Sustraendo

t(10+3)

. Pedir refuerzos

Para el niño debc scr l l¡tslulrle clrocn¡rlc y artif icial proceder de esamanera, a poco que so lc t lc' ie, crrrrk¡rricl tcntutiva suya más o menos autóno-ma para resolver el bloquco tlcbc colrducirlc por otros derroteros:

343-126:343+4 126t4 t47 t30

. Pedir prestado

343 - 126 : (300 + 40 + 3) - 126 : [300 + (40 - 10) + (10 + 3)] - 126

Esta segunda estrategia, denominada en la jerga <pedir prestado>, espreferida por algunos profesores que la consideran más comprensible. Enrealidad es el camino natural, véase sino cómo es la resta con los bloquesmultibase o con los sistcm¿rs de numeración no posicionales.

r23

. Eliminando cl bloquco

Toda esta parafcrnalia, toda la jerga es consecuencia de contemplar laresta en un campo tan limitado como es el de los números naturales. Elbloqueo no existe cuando se trabaja con enteros:

Expandido

300+40+3-100+50+2

200-10+l:191

Es evidente que esta técnica es más fácil de ejecutar que las anteriores ymenos susceptible de error. Además, con una adecuada preparación con laayuda de materiales estructurados, no es más dificil de comprender para unniño (Dlvrns, H.B., pág. 15-16).

No obstante, hay otras formas de eliminar el bloqueo. A veces basta conrestar por pareJas:

Abreviado3 4 3

- l 522- l l1 9l

J

a

043139

30143- 2rl3e

9 lo4

. El algoritmo de Lagrange

Caben otras posibilidades. Los complementarios a 9 son tan fáciles deobtener que el siguiente algoritmo, atribuido a Lagrange (PnnnsoN E., 1986,pág. 39) puede ser útil a poco que se esfuerce uno en dominarlo:

Supongamos que se quiere efectuar la resta: 5436 - 3851.Para empezar se determina el complemento a diez de la primera cifra del

sustraendo:

(10) <De 1a 10,9, +6, 15. Escribo 5 y l levo 1>.543 6

-3 8 5 I5

A continuación se repite el proceso sustrayendo con respecto al comple-mentario a nueve, y se suma la cifra correspondiente del minuendo:

9995436

-3 8 51<De 5 a 9,4, +3,7, más 1de antes,8. Escr ibo 8De 8 a 9, l, +4,5. Escribo 5De 3 a 9, ó, +5, 11. Escribo 1y 4o 11. ¿Sabes por qué?>

t24

1585

r25

Este algoritmo, se puctlc clrlcndcf lonl€ndo cn cuenta que:

a-b:c ¡ ( l ( l l ( l l , l tu =10.. .n. . .0+c

Donde n, número dc ccros. sc lont¡t igrrrrl ul número de cifras de a. Ahorabien, en lugar de escribir 10...r...0 sc rrtil iz¡r l¡r forma 99......90 * 10, queaparece escrita de esta mancr¿t:

99.. . . . .9( t0).

Con estas ideas, para obtener <o>, hay quc restar á de 999...(10), sumarle(d) y como el resultado final estará incrementado en 999...(10) que es 100...0,habrá que volver a restar esta cantidad.

E-70: ¿A qué hora debo poner mi despertador, siendo que me cuesta I hora y40 minutos desde que suena la campana hasta que ficho a las ocho ymedia? ¿Qué clase de algoritmo se utiliza para averiguarlo?

4.3.3. Algoritmos para la multiplicación

l. <Los niños ya estaban familiarizados con la multiplicación por una cifra.El objetivo era, ahora, introducir el algoritmo de la multiplicación escritapor multiplicadores de dos y tres cifras. Comenzamos con un problemaestrechamente relacionado a los estudios del medio ambiente recientementerealizados por los niños. El problema era: ¿Cuántas horas hay en un año?>

Con estas palabras da comienzo el relato de una lección de matemáticaspara introducir la técnica de la multiplicación.

¿Cómo podrían efectuar el cálculo los niños, si no disponían de ningúnalgoritmo sencillo a mano?

<Casi todos los niños lograron, en defrnitiva, la respuesta correcta: 8.760horas. Pero, lo que resultó realmente interesante fue la variedad de caminospor los cuales llegaron a resolver el problema:

. Solución I. Utilizando únicamente la adición. El número de días delaño, 365, se escribe en columna 24 veces y efectuando la suma seencuentra el resultado, es decir, 8.760.

. Solución 2. Se descompone el número de horas del día, es decir, 24, enla suma l0 + 10 * 4 y se multiplica el número 365, sucesivamente por10, por 10 y por 4. La suma de los tres productos obtenidos da lamisma respuesta correcta.

. Solución 3. En esta solución el número 24 se descompone en 20 + 4.Se multiplica, después, 365 por 20 y por 4 y se suman los dos productosobtenidos.

. Solución 4. lrl número de días del año sc descompone en 300 + 60 +5 y se multiplicl. 24 sucesivamente por 300, por 60 y por 5 sumando,

Itnalmentc, lrts trcs productos.. Solución 5. lista solución implica una doble descomposición. Se des-

compone 365 cn 300 + 60 + 5, y 24 en 20 + 4. Se calculan los seisproductos, 300 x 20, 60 x 20,5 x 20, 300 x 4,60 x 4,5 x 4 ' La

suma de los scis da, una vez más, la respuesta correcta, 8.760.>

Tras señalar el interés que despertó en los niños esta manera de actuar en

clase. el autor continúa:

<Pero el maestro permanente de la clase no compartió este entusiasmo y

objetó: "¿Dónde se hizo la instrucción sencilla y clara del algoritmo?" "¿Por

qué se gastó tanto tiempo permitiendo a los niños utilizar sus <viejos proce-

dimientos?" "¿No hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseñando el nuevo

algoritmo a los niños?".>

Como era cierto que no se había llegado al algoritmo usual, la lección

continuó aprovechando el trabajo ya hecho.<Los niños debían discutir sus soluciones y debían explicar sus propios

procedimientos.>Más adelante señala:

<Después de estas consideraciones, el algoritmo corriente se introduciría

en la segunda parte de la lección como una forma abreviada de multiplica-

ción que no sería completamente nueva, sino que estaría muy cercana a los

métodos que algunos niños habían utilizado.>> (WeLrHnn Gennlno, 1983,

págs. 85-87).

2. Fijate cómo hace María la multiplicación:

SETE poq ÍaÉ5 5o¡¿ 2l €€c¡tao- EA t EN LA @L(¡VI¡{A OE LAg

rrnro¡oes I ME LLEVO 2

Figura 4.1

126 127

Estos dos modos clt¡c ¡rr '¡¡lruirrlr rle prrrntlrtr reflejan formas extremada-mente opuestas de tr¿rtiu cl l¡r r.¡r 'rrr. la el rrl¡¡oritmo de la multiplicación.Reflexione el lector soblc t 'uirl r.r lrr rrre¡or'. Si l icne dudas, siempre puederesponder a la defensiva: ¿,Mc¡rrr'/, r:, i l tcl(rl ¡rrrrrr qué?

A lo largo de la histrtri¡t sc l¡¡rr¡ t lesl¡rcirt lo dos líneas para resolver lasmultiplicaciones de multicl i¡¡itos: r¡n¡r irbo¡tl¡r la manipulación de los fac-tores digito a dígito y la otras los corrsidcnt cn su totalidad, sin descom-ponerlos. El ejemplo más not¿rblc dc la prinrcra línea es nuestro algoritmousual o corriente, de la segunda, cl cjcmplo mits conocido es el algoritmoegipcio.

. El algoritmo usual

La idea esencial para llevar a buen puerto la multiplicación en la formacorriente, es la descomposición de los factores de acuerdo con la expresiónmultiplicativa del número en nuestro sistema de numeración decimal. Lo quese pretende es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respectode la adición, en la jerga <todos los de uno por todos los del otro>, parasimplificar el cálculo reduciéndolo al de las combinaciones multiplicativasbásicas.

Los conocimientos que se necesitan implican:

1. Un signihcado del término <multiplicacióu.2. Capacidad para efectuar transferencias entre las expresiones posicio-

nal y multiplicativa.

434e400+30+4

3. Destreza con las combinaciones multiplicativas básicas, tablas y re-glas para el arrastre de ceros (es lo que en la forma escrita llamamos arrastrede posiciones).

1ü x 10-: 1ü

4. Habilidad con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.En el sentido de ser capaz de establecer con exactitud los productos que hayque efectuar, ni uno más, ni uno menos, y de saber recombinar los resultadosde forma conveniente.

Unavez que todos estos conocimientos han sido procesados el resultadopodría ser una cadena como la que sigue:

e La iustificación rcl¡cional

36 x 434:

-- 36 x (,100 + 30 + 4) Transferencia: (36 x ,100) + (3ó x 30) + (36 x 4) Distributiva: t (30+6) x 4001 +[(30+6) x 30] +[(30+ Qxaf Transferencia: (30x400)+(6 x400)+(30 x 30)+(6 x 30)+(30 x 4)+(6x4) Distr ibut ivaj 12.000 + 2.M + 900 + l8O + l2O + 24 Comb. mult. bás.: 12.000 + 2.000 + 400 + 900 + 100 + 80 + lN + 20 + 24 Transferencia:12.000 + 2.000 + (400+900+100+ 100)+(80+20)+24 Conmut.yAsoc.: 14.000 + 1.500 + 10O + 24: 14.000 + 1.000 + 500 + lú + 24: 15.000 + 6N + 24: 15.624

Aunque en la práctica se recurre a algo más breve.

. La presentación instrumental

Por un digito:

Expandido Extendido Abreviado Estándar

¿100+30+4x6

4O0x6*30x6*4x6

2400+180+24

434x6

1802400

2604

34x6

44+1)(8+2)4

434x6

2604

Por dos dígitos:

Expandido Extendido Abreviado Estándar

¿100+30+4x 30+6

400x6+30x6+4x6+400x30+30x30+4x30

2400+180+24+ 12000 + 900 + 120

434x36

24180

2Mr20900

+ 1200015624

434x3 6

2(4+1)(8+2)4r2l9 + t)20

434x36

260/.+ 13020

15624

r28 129

. La progresiva esqucmullzr¡clón

Imaginemos sobrc cl cjcrrr¡rlo l. l ' 14 que el problema es nuevo paranosotros. En principio, no lriry lrot r¡tc clctcornponer el 12y el14 en 10 + 2y 10 + 4. Para reducir cl c¡i lcrrkr rr lus colr¡hinaciones básicas hay otrasposibil idades. Previamcrrtc u l ir clccciirrr lrrrbrír que sopesarlas.

14:10 +4.-9 t5 t t l6 ,7+7

12: lO + 2 :9 + I - tJ -{ 4 - 7 + 5 : 6 + 6

Ejercitarse completando tablas como las que siguen ayudará a encon-trar argumentos para justificar la elección.

En segundo lugar, tampoco es evidente la ventaja de disponer los cálculosen columnas. En opinión de FReuon¡NrAL (1983, pá9. 125) la imagennatural es la distribución bidimensional, la tabla de doble entrada:

Un factor se escribe en la forma ordinaria, horizontalmente, las unidadesa la derecha y progresando hacia la izquierda de acuerdo con las potenciasde la base 10; el otro, verticalmente. En los cruces (filas y columnas) se sitúanlos productos parciales:

4x100+3x10+

3x10+

6

12 x 1000 9x100 t2 X l0

24 x 100 18x10 .A

Obsérvese que los productos parciales que se encuentran sobre lamisma diagonal (en el sentido /) corresponden a unidades del mismoorden, lo que sugiere la forma de recombinarlos en la suma final:

x l0 ' + lü- t + l0 ' -2

10.+

l0 ' - t

+l0^-2

En la práctica no cs necesario escribir los ceros que pueden sersobreentendidos gracias a la posición que ocupan los dígitos.

a)

b)

. El enrejado

En estos dos ¡rrincipios se basa el algoritmo conocido como del enrejado,<gelosia>, isabelino o musulman, que ya era utilizado por Karaji, matemáti-co persa considerado el sucesor de Al-Khwarizmi,hacia finales del siglo x oprincipios del xr. Si bien, no se divulgó propiamente hasta que aparecen laAritmética de Tnevrso (1478,Italia) y las regletas de Neper (Narnn, Escocia1550-1617) (Przwnsu y M.a.unIcnN, 1983).

A J 4 X

| , , ' l , / l I , /, / r l . /n l . / ,-2, / l t , /12.r '/ " 41/" 81. / 4

)

6

El multiplicando se sitúa horizontalmente en la cabecera superior. Elmultiplicador se coloca verticalmente en sentido descendente, en la columnadel extremo. Los productos parciales de los respectivos digitos se descompo-nen en decenas y unidades dentro de los cuadros en que se ha subdividido elrectángulo principal. El producto se obtiene sumando en diagonal dentro delas franjas de izquierda a derecha.

Las razones que hicieron abandonar este algoritmo y cómo se llegó alnuestro son dificiles de establecer, quizá dificultades para imprimir o di-bujar la red (D. H. Smith, cit. Matemática moderna para profesores de ense-ñanza elemental, 1976, 163). En cualquier caso, no parece que se optarapor eliminar pura y simplemente la reticula, ni aún retorciéndola previa-mente:

97x47

434x36

434x36

t0r292212

+ 484

130

¿ """", | 6 veces 4oo +

131

Quizá hubo que durbreentender los ceros'J Sidolos:

rrr¡rrt' lrR alrtlr, ¡,|, 'uo precipitada la decisión de so-¡¡si lrrela, ltrrlrr' ln qtrc cfectuar la suma arrastrán-

4

24

|20

414x36

2400+180+24+ 12000 + 900 + 120

( 'or t t l l in¡r t t r l t lkrs ¡rrod rrclos¡ lu c i i r lcs.

434x36

El algoritmo aditivoaconseja disponer lossumandos en columnas.

434x36

1A

1824

t29

t2

2(4+I)(8+2)4+ l2(9 + l)20

434x3 6

434x36

1802400r20900

+ 12000

2604+ 13020

t5624

Los algoritmos con productos parciales presentan ventajas para los quese inician. Al no esconder resultados intermedios. en caso de error éste sedescubre sin necesidad de rehacer la operación. Además, el orden en laejecución es indiferente. Se puede empezar por la izquierda, por el medio, noimporta.

. La construcción progresiva

Desde el punto de vista docente, el tratamiento con tablas de dobleentrada no tiene por qué hacerse a bocajarro. Caben aproximaciones gra-duales apoyadas en:

l. Expresiones orales:

36 x 434 es 36 veces 434

x la0030 r..* | 30

+30 +430 veces | 30 veces 400 * 30 veces 30 + 30 vcccs 4

6 veces 30 * 6 vcccs 4

2. Expresioncs uditivas:

zmO+30+4zl00+30+4

400+30:4

400+30+4

xl0

x10

30+4

30+4

30+4

30+4

400 +

zl00 +

400 +

400 +

,f00 + 30 + 4l x30400 + 30 + 4lx 6

] " ' .

l "

,100+30:4

400+30+4

,100+30:4

,{00+30+4

400 + 30

3. Diagramas que escenifiquen el producto:

a) El retículo: El producto viene dado por el número de cruces:

3x4

I

Para números mayores hay que apretar mucho las líneas, un criterio parafacilitar latarea puede ser agruparlas de 10 en 10. ¿Por qué no convenimosen utilizar una raya gorda?

l0T

J

l0+J

132

10+4l0+4

133

Anotar

10

el número rlc rrrlcrrcelirrnr,r quc huy en los cruces gruesos:

Abreviando

'o@@,@@

b) La cuadrícul¿.' Se trata de descomponer el rectángulo, cuyos lados

corresponden a los factores, de manera que la partición se haga de acuerdo

con las lineas que marca la forma multiplicativa decimal del número:

I t l t r ' ¡ t rrrhct el lol¡¡ lsc ¡rrx l r iurr ¡ rFrup¡trIos r:ruct:s ¡t l incs:

4 x 12+

102

El objetivo es poner de manihesto que de esta manera se evitan conteosinnecesarios al hacer aparecer siempre el mismo tipo de subrectángulos:

l4 104

l0

Una vieja técnica china seguía este procedimiento, pero con la diferencia deque utilizaba distintas frguras para indicar el valor de las intersecciones. Crucesafines se señalan con el mismo dibujo:

12 x 43-_ l0t r = 400O = 40.= L

A pesar dc l ir cvidcnte similitud entre estos dos modelos, la ventaja delretículo sobrc l l cuirdricula (Monrnv, AnrHuR, págs.9-13) está en la posibil i-dad de contracr o rcsumir el número de líneas a medida que se avanza. Esmás rápido y mcnos aburrido dibujar una línea gorda que un rectángulodelOx1.

E-71:, Explica qué estrategias se siguen en cada uno de los ejercicios siguien-tes:

t) 43x59

3Z

672l05

2537

(1)

43x59

2580-+J

2537

43x59

t290t2902480

_43

253'l

(3)

43x12

258

5r6

472 4739x42 x357

944 33t73944 65865944 69n23

19824

(4)

( Sugerencias: Productos parciales en diagonal. Descomposiciones delmultiolicador en sumandos. en factores. ...)

N

p

+

+

43

NN'-N

172

172

172

2Ml,'iguru 4.2

134 135

. Las regletas o rodilkrs dr. Nr,¡rur

Material: Cartón ri¡l ir lo. nr¡rrlet¿r rl i . l l¡r l¡rr, ctc.

Se construye un baslit lor. (luc pcrrr¡rl¡r l¡r i l¡scrción de nueve regletas, unapara cada una de las t¿rbl¡rs r lc rr r r r l l r ¡ r l r t iu. ( : ( ) r ) l ( ) muestra laFig.4.3.

Figura 4.3

Para calcular por ejemplo: 758 x 6, se insertan en el bastidor las regletascorrespondientes a los números 7, 5 y 8 en este orden:

Figura 4.4

El producto lo da la fila del 6.

Ejercicio: ¿Qué hay que hacer cuando cl rrrrrlti¡rlierrdor cs clc dos cifras?

. La multiplicación cgipcia

De acuerdo con las características de su sistema de numeración, la multi-plicación egipcia era aditiva. Supongamos que desearan calcular el producto18 x 5. Para ello, procedían a escribir sobre dos columnas lo siguiente: En laprimera encabezada por la unidad, los dobles, y en la segunda, encabezadapor el multiplicando, los dobles de éste:

Notación

Egipcia Indoarábiga

flllllfl n t8

tl l l l l l lnnn 2 36

iltl l l . \^^^. \ñ 4 72

ilil1^ñña\ñ^ñ^^

5(4 + 1) (r8 + 72)90

Sobre dos columnas,la primera encabezadapor uno, y la segundapor el multiplicando, seprocede a duplicar su-cesivamente.

Cuando la columna de la izquierda contenga numerales que sumadosden el multiplicador, la suma de los correspondientes numerales a su derechada el producto.

En el ejemplo:

Como5 : 4 + l ,entonces5 x 18 : (4 + 1) x 18 : 72 + 18 : 90

Lo que sorprende de este método es que funcione cualquiera que sea elmultiplicador. ¿Qué permite asegurar que todo número se puede obtener apartir de la duplicación sucesiva de la unidad?

Aunque es dificil saber cómo llegaron los egipcios a constatarlo, nosotrospodemos dar una justifrcación moderna:

5 x 18 :(1 x 22 +0 x 2 + t x 20) x 18

<Todo número siempre se puede escribir descompuesto multiplicativa-mente en base dos.> En realidad en cualquier base, esto permite diseñaralgoritmos como el egipcio, pero que en lugar de duplicar se tenga quetriplicar, cuadruplicar, etc.

E-73: Con ayuda del ejemplo anterior, establece las reglas para multiplicar ala egipcia triplicando.

136 r37

Es evidente que ll jrrsti l icHr'tf in . 'nto(l€rna)) que acabamos de dar no esadecuada para un niño, cs rrre¡or har.ol v6r que cualquier cantidad-númerosiempre se puede orgarrizrrl r le rfurc t ' lr rku, rle tres cn tres, etc. (Agrupamientomúltiple.)

l l lrll l l l l l l l l l , 'f / ')

( r(ril)(i l r) (r; 1¡

o_ l ' - i l DI'igurr 4.5

@t

rlDo@o

. La multiplicación rusa o campesina

Mientras que el multiplicando se duplica sucesi-vamente, el multiplicador se reduce por mitades.Cuando este último sale impar, se pone un uno asu izquierda.

El resultado se obtiene sumando <los dobles>del multiplicando que corresponde a los unos dela izquierda.

A primera vista sorprende y desconcierta el parecido con el algoritmoegipcio. ¿Cómo es posible que habiendo invertido el proceso en una de lascolumnas, al final se llegue al mismo resultado y por el mismo camino,sumando dobles del multiplicando?

La justificación algebraica explica lo queentre ambos algoritmos:

Doble y mitad: x'y : (2'x)(yl2)

ocurre, pero no el parecido

t l l

l2lImpar-par: x 'y: x(y - 1) + x

t1

35 x 82 : 70 x 4l :70 x 40+ 70 xl l l

I : 140 x 20 *70: 280 x 10 + 70:

2l

:560 x 5+ 70 x I :560 x 4+ 560 x I + 70 x I :

: l l20 x 2+ 560 r | +70 x l :2240 x 1 + 560 x | * 70 x l :2870

En el fondo, cl ulgoritmo ruso y el egipcio se apoyan en el mismoprincipio. Se tlirt¡r tlc obtener el producto a partir de descomponer el multi-plicador en basc ir krs agrupamientos del dos y esto se puede hacer conside-rándolo descompucsto cn unidades, y agrupándolas de dos en dos (empezarpor la unidad, doblar, redoblar, ..., egipcio) o bien, considerándolo en suglobalidad y dividióndolo sucesivamente por dos. Los restos de esta divisiónvan a ir dando el número de grupos de dos unidades que se pueden hacercon é1.

82:41x2:(20x2+l)x2

82 lzoEtlz

r l2o-0

lzt-0-

0

: ((10 x: ((s

2

2)x2+l)x2x2)x2)x2+l)x2

: (((2 x 2) + r) x 2) x 2) x 2 + r)x 2

2 120 t l

Es decir:

82:1010010, o 82:1 x26 +O x2s + | x2a +0 x 23 +0 x22 +l x2+0x20

. Un algoritmo de izquierda a derecha, o una técnicade multiplicar con el ábaco

A continuación se describe un algoritmo que se basa en una vieja técnicahindú para el ábaco. Es tan fácil de entender que no necesita palabras, perosi el lector encuentra problemas puede consultar la obra de Ifrach: <Lascifras> (1987, pá9. 263).

28 x 325

l+2 141 I Il6 l3 l ' ls l12l8l I I

I ,1. , ' l : l , lI 12l8l I

+48 t4 2t5

t062

+49t0 t6

2

058

138 139

Efectúe el lector l i t rntrl lr¡rlt lur ir i l t r lc ).4 x 2(¡7, o de cualquier otro par de

númerOS, Según capricllo, t 'ottt ' r 'ottt¡ttulrttt: i Írtt dC que ha entendidO el meCa-

nlsmo.

4.3.4. Algoritmos dc l¡r rlivisil¡n

Figura 4.ó. División por el método de la galera, delsiglo xvI, procedente de un manuscrito no publicado deun monje veneciano. El título de la obra es: Opus Arithme-tica D. Honorati ueneti monachj coenobij S. Laureitg.

1)2)3)4)5)

88:1788:1788:1788:1788:17

:(88:10)+(88:7):(88:10)-(88:7):(88:7)-(88:10): (88: 10): 7:(88:7):10

¿Cree usted, sin resolver, que alguna de estas formas da la solucióncorrecta?

Si no sabe, no contesta, reflexione sobre qué hacía un chico como usteden la escuela o sobrc quó lc enseñó su maestro acerca de la división.

Si, por el contrario. ustcd es una persona decidida y está por afirmar que

Q > t f pafug

r '+ f I o q

Liil 7{2 Í.',t( . t '1.1 | / t o^g.r j.?t '10¡¡6 ' ré1ó, t ' t o, t ,e I t t '+ it ' to. t6 l ' l7t" l -f lz ' ¡ ' / l l f +¡ ' l

#ii#

alguna de esas f<¡rmas da la solución correcta. Resuelva y compruebe con elalgoritmo usual. Si no encuentra ningún problema, no sé... Probablementeusted no es de liar.

Pero si tiene dificultades, entonces, usted debe ser uno más entre los milesde personas que cree que la división sólo es esto:

78315 | ¡063 2n527r19515)

¿Para qué necesita saber más, si con este algoritmo es capaz de resolversus problemas?

Supongamos que optó por el número l) de las formas presentadas en laintroducción. Resolvamos:

88 : 17 : (88 : 10) + (88 : 7) : g resto 8 * l2resto4 :: 8 + 12resto8 + 4 : 20resto 12

Comprobando:

20 x 17 + 12 -- ¡Cielos!

Insistiré en que la resuelva. Como es de pocas cifras, es un poco tontorecurrir al papel y el lápiz. No debe ser dificil de hacer mentalmente. Leruego que lo haga.

¿Lo hizo así: 88 :

17 : 2 + (54 : 17) : 2 + 2 + (20 : 17) : 5, resto 3?

Imagino que no. Ni siquiera estoy seguro de que entienda lo que hehecho. No es que dude de su inteligencia, de lo que dudo es de que tengaganas de hacer el esfuerzo para entenderlo siendo que usted ya sabe dividirde una cierta manera.

Me gustaría abundar en esta rigidez. El algoritmo de la división es conmucho el más rigido de todos. ¿Quién hace uso de estrategias particulares?¿Quién transforma los términos de la división en otros equivalentes, quefaciliten la tarea? En la suma uno altera el orden de los sumandos a conve-niencia, en la multiplicación decide cuál prefiere que sea el multiplicador, enla resta se plantea si le conviene compensar o redondear previamente aejecutarla, etc. Nada de todo esto se hace con la división. La división esclaramente diferente.

140

. CaracterÍsticas diferenciudorn¡ dol rl¡orltmo de la división

a) Es un algor i tmo dc i / ( ¡ l ( . t r l l t u t lc lcclr¡ t .b) Hay que buscar, rro ulr rr.rrrl l¡¡rhr, t irtr l t lus: cociente y resto.c) Conlleva ciertas prolrrhlt 'rolrcs:

t t ¡ ,7 : 16

d) Es un algoritmo scrnirrrrlonlrit ieo: l l iry quc descomponer, estimar,encuadrar, comprobar y si ¡rroccdc rchaccr:

o Descomponer, para dccidir colt quó parte del dividendo empezar.¿Cuántas cifras separo'?

. Estimar, para aproximarsc a la cifra del cociente. ¿A cuánto cabe?

. Encuadrar. La cifra obtenida en la estimación debe dar lugar a unproducto que no sobrepase la cantidad separada en el primer paso,pero que sea el más próximo posible.

. Comprobar, hay que asegurarse de que esto es así efectuando elcálculo adecuado.

. Rehacer, si se estimó mal.

e) Necesita de los otros algoritmos y de su logistica. En particular de laresta llevando y de la tabla de multiplicar.

Todo esto hace que el algoritmo de la división, sea el más dificil de todos.Si no se domina el punto e) el fracaso es seguro, si se titubea con el d)

aumenta el margen de error. Los puntos a) y b) provocan desconcierto, y elpunto c) lo complica hasta el aburrimiento.

No es de extrañar que desde el punto de vista instrumental el esfuerzo secentre en la ejercitación, repetir, repetir y repetir.

. La presentación instrumental

Expandido

78315 | 36- 72000 2ns

6315- 3600

Extendido

78315 | 36- 72 Tls

63-36

Abreviado

7831s | 3663 2175271195l5)27t5

- 2520195

- 180l5

271- 252

195- 180

15

(r) (rr)

La iustif icación, m¿is o menos así:

( I I I )

t41

o La justificación instrumental

- Extendida

78315 :36 Se cogen tantas cifras del dividcndo como tiene el divisor.Si el número que resulta es mayor, vale, y si no, se cogeuna más.

Decimos: 78:36(7:3 2x3:6)-@ x 36:72<78 - 78315 | 36t¿ 2175

Decimos: 63:36(6:3-2 x 3:6) -2 x 36 :72 >2x36>63>@x36 +

Decimos: 271:36(27:3-3 x 9 :27)-9 x 36 : 306>8x36

8 x 36 >271> @ x 36 -_Decimos: 195:36(19:3-6 x 3 : 18) 6 x 36:216>

6x36>195>Ox36--------- -

- Expandida

63-36

271

- 252195

- 18015 Resto

78315 : 36 - 78315 : 36. s * r78315 : 36 x 2000 + r : 72900 * r_--712 l0 l0 lo l : :o x

r: 78315 - 72000 : $6;; - l6lTlTlTl

6315:36 - 6315:36 x e ' I r '6315 : 36 x r00 r r' : lqJ::' __'-Jag|g| : 36 x

r ' : 63t5 - 3600 : 27t5 > s ' 2 17 l t 15 |

2715 :36 - 2715 : 36 x a" + r"2715 : ró x 70 * r" : A{-:__----_-:?l i l¿l

g | : :o'

r" :2715 -2520: r95> a" l l 19l5 |

195 :36- 195 : 36 x a" ' + r" 'res : 36 x 5 + r : 4::_..--- I r l8 l! | : lo "

r : re5 - 180 : 15 < q"' -l-lTlTl

Resto

lvr lc lo lu l lv lc ln lu? lTlTl I ltl : ro " ltlTl7ll

' l ' l ' l '

l r lo lo

I l7 l0

142

| | ls

t43

La mala conciencia qrrc ¡rrorlrrlr. cl Hllo l lrrl ice clc fracaso con este algorit-mo hace que, incluso los lrir ' , ¡rt i 'rrrutrr rlt: lcrtsrlrcs del instrumentalismoopten por introducir lo crr r ¡ r r torr l r r ln ¡r to l l lc t t t r i t ico, b ien del t ipo repartodistr ibut ivo, b ien del t ipo rc¡r i r r ln \u\ l r ¡ r ( l tv( | l

d2 caramelos rcplrr l r r los o¡ l rc l rcs rr i r ios. ¿,( luántos caramelos paracada niño?> (Repar lo t l is l r ibulrvo,)

<12 caramelos reparlid()s tlc cu¡rtro cn cuatro. ¿Para cuántos niños?>(Reparto sustractivo )

. El algoritmo en el contexto del reparfo distributivo

En el reparto distributivo es frecuente optar por la motivación económi-ca. Supongamos que se trata de repartir un botin, las ganancias de un juego,

etcétera, y que el dinero viene dado de la siguiente manera:

40002 billetesde mil.

3 monedasde cien,

3 valesde diez,

¿Qué podemos hacer si hay que repartirlo entre 7 compinches?

La estrategia de reparto viene condicionada por la forma de presentar el

botín. Como lo que en última instancia se pretende, es mostrar un paralelis-

mo con la estructura multiplicativa del número: Millares, centenas, decenas y

unidades, el profesor se ve forzado a modificar el sistema monetario (vales de

l0 ptas.).

¡No hay bastantes billetes de mil! (Es mejor empezar a repartir por logordo.) Hay que ir al banco a por cambio. Es necesario tomar una decisión.

¿Lo cambiamos todo en pesetas? será lo más sencillo: Una para ti, otra para

éste, otra para aquéI, ... Demasiado lento, demasiado peso. ¿No es mejor

cambiar en monedas de cien? Sí, pero, ¿cuántas?Este tipo de situaciones se tratan en la escuela a varios niveles:

. Manipulación dc ob.ictos (incluido material didáctico).

. Ilustraciones.o Esquemas.

Dz

o2

€s6

a¡i:

r

s

o(J

r

+N

o

oI

r

N

o

=

144

. El algoritmo en el contoxll¡ ¡l¡l l¡rprtlo rürlr¡clivo

En el reparto sustraclivo, cl cr¡lcteoll¡rrt es el problema de empaquetar oenvasar. Imagine que sc l lrrlrr rk' lrrret'r ¡r¡¡¡¡¡¡etes dc 7 caramelos con un totalde 2538. Naturalmentc qttc r.:slo se ¡tttr:rlc lt¡tc:cr pitqucte a paquete (IV) o conuna máquina que imprint¡r vr,krt ' ir l i tt l (V) (()lt ' i t vcz forzando la solución):

(rv) 2538:7- 7 Primer paquctc

2s3r l i l i l t l- 7 Segundo paquctc

('u¡urckr lo que interesa es el resulta-do, cstc rnodo de proceder es desafortu-rr lrdo. Ningún niño va a aguantar hastacl linll. Nadie está dispuesto a restar,rcsl i l r y rcstar.

Este esquema se puede refor-zar, enla iniciación, con una ta-bla de múltiplos del 7 (técnica

rusa).x7x10

1 7 'tO 7002.r4.140.1400

I l i l t l

(V) ¿No aprendimos la multiplicación para evitar adiciones repetidas?

2538- 700 Cien paquetes

1838- 700 Cien paquetes

I 138

Se puede aumentar el ritmo, en lugar de 700 + 700 + ... ¿Por qué nousar la tabla de multiplicar para encuadrar el dividendo entre dos múltiplosde la unidad seguida de ceros?

'l,i; i1;,J : ; : i':'il : #'Ahora, hay que elegir entre sustraer y reiterar (VI), o descomponer y

reiterar (VII) (parece lo mismo, ¿no?).

2538

-702468-70

Diez paquetes

Diez paquetes

. Sustraer

(Yr) 2s38-2100:7x3x100

438- 42O:7 x6 x 10 < 438 < 7

1814 : 7 x 2 < 18 < 7 x 3

+

Resto 4,3 x 100 + (r x l0 + 2

3.214.28

: 362 cociente . .. . .

210 .2t00280 . 2800

.,, ir, ' ,r, PS Inon Df sTRflff i.f i l l i f . l t_t l rLr ; . ¡ ; , , , : . . . . . . ; . . . : .

( l i j , r rJrJSLtr¡r t e! {J: i . , , . . . , , , . -

La ventaja clc uti l izar una tabla de múlti¡rlt ls está en que presenta ladivisión de nrultidígitos igual que si fuera urr¿r división por una cifra. Elencuadramiento sc hace simplemente consulta¡ldo la tabla; si se ha compren-dido el proceso, no hay posibilidad de error.

Si no se necesita, no es preciso escribirla tocla, se puede reducir sin másque escribir en una parte únicamente los produclos parciales que van salien-do. Alguno de ellos podrá servir varias veces cn el cálculo (técnica sueca).

Conviene señalar que es importante no ocultar las sustracciones, tal ycomo hemos venido haciendo, al menos hasta que no esté consolidado elalgoritmo. No se puede justihcar su supresión por una economía de escritu-ra. La técnica que resulta puede parecer más rápida pero será fuente deerrores por la acumulación de las tareas mentales que hay que llevar a cabo.Si se escriben las restas parciales se estarán separando los productos de lassustracciones y en caso de error será fácil de hallar y no habrá que rehacertotalmente el algoritmo.

Un detalle práctico. No es necesario escribir el cociente en la forma:3 x 100, 6 x 10 y 2. Gracias a que se sigue una estrategia de reparto enfunción de las potencias de diez se pueden ir acoplando las cifras a medidaque salen, de izquierda a derecha. Esto justihca el uso de la caja de Fibonac-ci, que no es tan universal como se puede pensar. En efecto, hay una técnicamuy divulgada en el mundo sajón que coloca las cifras del cociente encimadel dividendo, justo encima de la última cifra signif,rcativa de la resta parcialcorrespondiente.

La ventaja de esta técnica está en que es imposible olvidar los cerosintercalados o los ceros del final. Además el número de cifras del cocientequeda, con esta forma de escribir, reflejado de entrada, en cuánto se hapuesto la primera cifra en su sitio.

El secretO cuando sc lrrrbrrjrr cott r,:sl lt tócnicit, cstá en adecuar la estima-

ción de tal manera quc sc cvi tc l r c i lculos i t t l lcccsar ios.Pruebe con:

154: l l , a part i r dc c¡ t rc l l0 : 11 x l0

675 : 9, a Part ir dc c¡trc 63 : 9 x 7

r54 : 1r0 + 44 | ' ts : 630 + 45

: l t t : l t t : l t t | , ls , le , le14 :10 + 4 75 :70 + 5

Si en lugar de escribir en filas, se escribe en columnas, el algoritmopresenta un aspecto más familiar, pero no debe confundirse con el usual ya

que en éste la estimación se hace sobre la totalidad del número 154, y no

sobre la descomposición: 154 en 15 y 4

. Descomponer

(VID 2538 : 2100 I . l lH

,11 ,173 x l (X)

. ' l t ) t t I t1t) | l t l t

l /\ . to

2100+350+ 63 + 21,17 1793

L44:8- 144: 72 + 72

: t8 '189+9

144:8+144:U0+64

l ll0 t t ' l

6751e630 70+545

483:7 >483:420 + 63,17 ,1160+ 9

483:7 -483:490_7l l

70- l

15411044

Cociente + 3627) 2s38

2l

Tiene la ventaja de que es imposibleolvidar los ceros intercalados o los ce-ros del final.

El número de cifras del cociente estáreflejado de entrada en cuanto se hapuesto la primera en su sit io.

43AA

18l4

A

E-74: ¿Podría ocurrir, en la técnica sajona, que dos cifras del cociente fuerana ocupar el mismo lugar? ¿Por qué?

(Sugerencia No se resta 21 de 25, sino 21 centenas de 2538, quecorresponden a 3 centenas de veces el 7.)

La ventaja de la estimación-descomposición es que no tiene la rigidez de

otras técnicas. Hay más posibilidades:

154: 11 + 154: 99 + 55: l t t : l t t9+5

l

146¿Se le ocurrctt ttt i ts' l

r47

(rx) 9458203160343

l l

. La cábala

uno de los aspectos que han caracterizad<r ir l.s algoritmos durante añosha sido su aspecto misterioso o enigmático par.ir los no iniciados:

do dado, como cl f ( r7 '1. , ' r l r 'un¡r , l t l r ' r t ' r t r t ¡ t r l ¡ t t l r t como la 2957,no f igurantodos el los neces¿rr i t r i l rc l r l ( . r ' r r l ¡ r r i l t1 i l r ¡ r l r l ; r . y r¡ r tc los sustraendos aparecenescr i tos por deba. jo t lc l : t l i r r r ' , r I r 'n l r i r l v l ¡ rs t l ¡ lcrc l tc ias por encima.

. La inversión dcl algoritr¡¡o dt' lr l lrrrl l i¡r l ieleión

Hasta aqui hcmos visto los ( iurur()s r¡srr i r lcs para introducir la div is ióncon ayuda de un contcxlo: t l rs l r r l r r r ( rvo () sustr i rct ivo. Esta forma de procederes empobrecedora ya quc l)r()v()eir r¡nir it lctt l i f icación, división-problema deuna cierta clase, quc n<l cs rc¿rl lrrclrrso h¿rsta el punto de otorgarle alproblema la categoría dc dcflniciirrr.

División: Operación quc l icnc por ob.icto averiguar cuántas veces unnúmero l lamado dividcndo contiene a otro l lamado divisor.

División: Operación que tienc por objeto repetir un número l lamadodividendo en tantas partes iguales como indica el divisor.

Cabe la posibilidad de completar el cuadro con otra definición queatienda a un propósito más general, como puede ser presentar la divisióncomo una inversión de la multiplicación:

División: Es la operación que tiene por objeto, dado un producto y unode sus factores, hallar el otro.

Vistas así las cosas, habrá que tener cuidado en no presentar el algorit-mo, como algo separado e independiente del correspondiente a la multiplica-ción. Ambos algoritmos pueden ser presentados como un camino de ida yvuelta, es decir, que si se eligió una determinada estrategia parala multiplica-ción, en la división hay que invertirla; en otras palabras, hay que desandar loandado.

Con números de una cifra la inversión no presenta problemas, basta conacudir a la tabla de multiplicar a partir del resultado.

9

27:9 + x ?27

Con números multidígitos, la inversión se complica. Hay que pensar:

a) Lo que era aditivo... podría ser sustractivo:

71061204

61351

(x) e4s7242

2252ll56

987

282

26

8 172r3l

(XD La galera

z71

v98167t34t977vF77t

7F77f i

117382

Podríamos dar una justificación formal de los algoritmos (IX) y (X) (véaseGóunz y Jnlue, 1983, pág. 62), pero esto no los explicaria a nivel intuitivo.En cambio si ambos se contemplan en términos de reparto la cosa es másclara. Esto puede sorprender. ¿Acaso hay estrategias de reparto distintas dela distributiva o la sustractiva?

Las estrategias de reparto que se enseñan en la escuela están forzadas,cncaminadas a justificar un determinado algoritmo. se difumina el hecho deque pueden aparecer otras posibilidades a poco que se dé algo de autonomía.Si asi se hiciera, las consecuencias... podrian ser tal vez otros algoritmos.

Hemos visto (el algoritmo en el contexto del reparto distributivo), unreparto que empieza por los millares, lo que sobra se acumula a las centenasy se reparte el nuevo total, lo que sobra se acumula a las decenas y, etc.Reparto, acumulación, reparto, acumulación, etc. En (IX) se reparten losmillares y se aparta lo que sobra, se reparten las centenas y se apárta lo quesobra, etc., después se juntan todos los restos y se reitera el proceso. La únicaprecaución hay que tenerla con los ceros que hay que intercalar para mante-ner la estructura posicional.

En el algoritmo (X) la clave está en la descomposición del divisor, sereparte primero entre 70 y el resultado después se reparte después a los dosrestantes como si fuera un reparto distributivo.

En el algoritmo (XI), procedente de un manuscrito veneciano del sigloxvl, el dividendo aparece en el medio y las restas se hacen cancelando losdigitos y poniendo las diferencias encima de ros minuendos y no debajo. Elproceso es fácil de seguir si sc tiene en cuenta que los digitos dc un sustraen-

148

z.t

x?

598+I

598:23 + 598¿5

¿3

23

z5

¿-)23

598

r49

b) Si sc trabir.jr'r sobre la cuadrícula, habrir que tantear: 598 :23

E-75: Terminar Ia división.

c) Sobre el enrejado:

El número de cifras del cociente queda determinado al escribir eldividendo en los extremos de las diagonales. Ponemos <?>.

Como la multiplicación terminó por la izquierda, ahora debemosempezar por ese lado. Se puede probar con 556 : 58, o mejor con560 : 60 (9)

Sehacenlosproductos,5 x 9y8 x 9(58 x 90)ysecolocanlascifras de los resultados en su celda correspondiente.

Como 7 + 5 + x ha de ser un número acabado en 5, esto quieredecir que x es 3. Por lo tanto, ? debe ser 6 o 7.El resto es inmediato.

La técnica c¡lt¡tt'ttlTambión l¡r t ltvtrtr 'r lt e¡l¡rclu crtt t¡t l i t iva, y como ocurría con la

multiplicaciir¡ sc lrrrlrrt¡rt lrtt ¡ollrc tft ls cgltlmnas, una para la unidad

y la otra pl t r l t c l { l lv l r ( t l lSupongutt tos ( l t r ( ' sc t ¡ r r ic lc t l iv i t l i r l9 : 8

l ( r .x

Se duplica y se dimidc cl divisor sobre la segunda columna, hastaobtener números cuya suma sea el dividendo. Con una contraseña seseñalan los términos correspondientes en la primera columna y cuyasuma dará el cociente.

Sobre la primera columna se repite el proceso de duplicar y

dimidir seguido con el divisor, pero a partir de la unidad. Una líneahorizontal indica que se está ante una fracción.

19:8 + 2+II

z

E-76: Pruebe el lector a explicar en qué idea se basa este algoritmo

(Sugerencia: Se ha obtenido 19 a base de ochos y partes o fraccto-nes del mismo)

E-772 Dividir a la egipcia 47 : 8

E-78: ¿Cree que es posible dividir 5558 : 168 de esta manera?

168:3x7x8

5558

d)

598

- 460138

-t

20

' l*2

2*4

81ó*

l4l2*

I l *

4 +8

l lr l4 r l8

+8

I

4

t?t -

l7l8

E-792 Una broma en el cuartel.Dicen qtrc en un cuartel

donde la prcpitr i tci(rn teóricade caballeria de cierto estado ignoto,

de los oficiales era ... como se verá.

9 ,|X

4J

.x

Y 57

2-r

85 I 0

r50151

recibieron cl ¿rviso de que enviaban 28 caballos para repartirlos entre 7compañías. til primer oficial calculó la distribución así:

8 entre 7, a l, que va al cociente1por7,7:aBvalbajo 2,21 entre 7, a 3, que va al cociente.3 por 7,21; a 21,0 ¡Exacto!

28 172t 130 Anexo 1:

La raíz cuadrada

1.1. EL ALGORITMO DE LA RAIZ CUADRADA

Huelga decir que el algoritmo de la raiz cuadrada es con mucho el másmisterioso de todos. Cuando la mayoría de la gente se plantea resolver, porejemplo !/Ion, efectúa una serie de pasos cuya explicación permanece en elmás absoluto de los secretos.

y ordenó al soldado: <Cuando lleguen los caballos, mandas 13 a cadacompañía>. Los caballos llegaron, y el soldado, al no poder distribuir-los acudió al ohcial segundo: ((veamos -drjo éste- la prueba de laoperación que te han dado hecha>. Y multiplicó así:

7 por 3,21, lo escribo7 por l, 7,1o escribo.2l y 7,28. ¡Correcto!

Y en conclusión: <Debes hacer el reparto como se te ha mandado>. Elsoldado entonces, naturalmente, acude al oficial tercero, que decide:<No puede uno fiarse de las multiplicaciones. Vamos a la suma, que eslo sesuro). Y escribe:

Empezando por abajo, sumemos la colum-na ascendente de treses,

3 y 3, 6, y 3, 9, y 3, . . . , y 3, 2 l

sigamos ahora bajando la columna de unos:

2lv

y en conclusión, otrasegún la orden>.

vez, <4a suma sale 28, el reparto debe hacerse

t3x72l

t1TI

28

t3l3131313131328,y

al La forma usual

1. Se divide en grupos de doscifras, empezando por la derecha.

2. Se extrae la raiz cuadrada delprimer grupo de la izquierda, y deéste se resta el cuadrado de la cifrahallada.

I

152153

3. A la deroch¿r dcl resto se bajael grupo siguiente, se separa la cifrade la derecha, y a la parte de laizquierda se la divide por el duplode la raiz hallada.

4. l i l ¡rúmero formado por el di-visor y cl cociente (63) se multiplicapor óstc (3) y si el producto se puederestar clcl dividendo (182) entonces,el cocicntc, 3, es la segunda cifra dela raiz; en otro caso se repite el pro-ceso con un número inferior.

Nota histórica: Bn otto lrcnrpo, cl signo de raiz era la letra mayírscrrl ir l{,y junto a ella se escribía la inicirrl dc quadratus, señalando con ello quc lrr nriza extraer era cuadrad¿r. l iscri[ 'rían, por ejemplo:

R. q. 1082

En la actualidad se utiliza el signo / Ou" es tan sólo una variante de lar, letra inicial de la palabra latina radix, cuyo significado es obvio.

1.1.1. Un tratamiento manipulativo. (Laboratorio, bloques)

. Problema preliminar o de partida

He pensado en hacerme un mosaico cuadrado con el lin de venderlo. Mepuedo gastar unas 25.000 ptas. y en la tienda me han ofrecido cuadritos decerámica de I cm2 a 15,25 o 50 ptas. según calidad.

¿Puestos a hacer un mosaico con todas las piezas de la misma calidad.De cuántas piezas puedo hacerlo?

Debido al transporte se han deteriorado algunas piezas de modo que sólohan quedado útiles 1082. Los mosaicos se pagan en función de su tamaño.

¿Cuánto mide el mosaico que se puede hacer con las 1082 piezas úti lcs'/

¿Cuántas piezas, como mínimo, debo encargar si no quiero que mc sohrcttpiezas?

Otra posibil idad que tengo es uti l izar las piezas sobrantes parit :tttr¡ 'r l irtrun viejo mosaico cuadrado. Si así lo hiciera podría aumentar el lado dcl vici<rmosaico en una pieza y al hnal todavía me sobrarían 7 piez:as. ¿,('ulintrrspiezas tiene el antiguo?

. La situación de partida

Ante esta presentación, no es de extrañar que muchos profesores optenpor abandonar el tema argumentando que la enseñanza de este algoritmocarece de interés. <Durante mucho tiempo el cálculo de raíces cuadradas fueuno de los martirios más practicados en la escuela. No se sabe quién sufríamás, si el profesor o el alumno. Por suerte para ambos, las calculadoras debolsillo les han evitado tales sufrimientos)) (Grupo cero, 1987).

Debe entenderse que el martirio está en la presentación usual del algorit-mo y en la reiteración abusiva y rutinaria del mismo, lo que no significa queno existan otras formas de presentación y otros tratamientos que puedanresultar interesantes para los alumnos y valiosos desde el punto de vistaformativo.

Si se aborda el diseño del algoritmo a partir de una rica situación departida, el tanteo, la busqueda de una estrategia, la estimación de la solución,la planifrcación de los pasos, la transcripción al lenguaje del papel y ellápiz,etc., harán que la extracción de raíces cuadradas sea un problema secunda-rio, relegado a la calculadora, lo fundamental es que se estará en condicionesde saber lo que ocurre, de extender el proceso seguido a otros casos, y comono, se estará actuando en una experiencia educativa distinta, formativa,estimulante y participativa.

154

4

II

ú tfe ---------------- c

Un número y su raiz cuadrada pueden ser interpretados como la medidadel área de un cuadrado y de su lado. De ahí se sigue un procedimientoalgorítmico para calcular raíces cuadradas:

,6

'q

\Eifr

155

. Trazando urr phrr

Para avcriguur l¿r raiz cuadrada de un núrncro se podría construir uncuadrado dc hrc¿r igual a ese número. El valor clcl lado de ese cuadrado es laraiz ctadrada dcl número.

PuIc Aonu (1956) resolvía esta situación, haciendo manipular a susalumnos un material concreto, broches automáticos, también llamados<clics>. Estos broches tenían la particularidad de que se vendían en hojaspunteadas, lo que permitía recortar tiras, cuadrados o rectángulos en lacantidad que se desease.

El material de Dienes, Bloques Multibase, permite seguir un procesoanálogo. Escójanse cubitos, barras y placas. Pueden fabricarse en cartulinaresistente. Usese la base diez.

Para números grandes se necesita abreviar la construcción del cuadrado.Una buena planihcación de los pasos y su posterior transcripción al lenguajedel papel y el lápiz dejará perhlado con toda seguridad un buen algoritmo.

Para diseñar un plan es bueno ponerse a trabajar. ¿Qué se puede hacer

para calcular ta {OSZ? No vamos a poner un cubito y luego otro y luegootro.

Un primer paso puede ser el tanteo. Comparar con los números cuadra-dos (aquellos que nos dicen cuántas unidades se necesitan para hacer uncuadrado). Como algunos se memorizan con rapidez se puede acudir a laestimación mental y ahorrar tiempo:

t, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81,100 400 900 1600 3600 4900, 6400, 8100,10000, 40000, 90000, 160000, 250000,

A la vista de estos números cuadrados y con el material que hemosadoptado para trabajar (recuérdese: cubos unidad, barras de diez y placas decien), hay que echar mano de placas. Concretamente de 9 o 16 placas, queson 9 o 16 centenas de cubos unidad.

Es fácil optar por 9 o 16 placas si uno fija su atención en el 10 de 1082.Esto es, si uno separa los dos cifras de la derecha del número del que sequiere determinar la raiz cuadrada (primera instrucción).

9 < 10 < 16 ; 900( 1082 < 1600

I302 (30 + -]r)'z 402

La opción placas que se ha tomado para empezar a construir el cuadradopermite decir cosas sobre la raíz buscada. Ya se puedc cstimar el valor del

156

lado del cuadrado bust:rr lo. r" , l , r r r r t ' r r rpr( 'n( l r ( l ( ) ct t t re el cuadrado de lado30 (9 placas) y el cuat l l r r lo r l t ' l ; r r l r ' .1() ( l ( r ¡ r l i rerrs) l )or lo tanto, laraiz es de 2ci f ras y la pr imera cs . l 1st 'grrrrr l i r r r r r l r r r t ' t i i r r r ) .

Para encontrar la segunda cifra hay que decidir qué hacer con el resto delos cubos (1082 - 900) si se ha optado por construir el cuadrado de 9 placaso con el exceso (1600 - 900) si se ha optado por construir el cuadrado de1600 cubos (tercera instrucción).

<Se resta el cuadrado de la cifra significativa hallada, delprimer grupo de la izquierda y se baja el grupo siguiente.>

En un caso el sobrante debe destinarse a ampliar el cuadrado base y en elotro, el exceso, debe eliminarse. Se puede actuar paso a paso, lentamente:

E

9$+2x30+1:961

0

2x2x3O+22

E

: 1024

,<l, l rs ci lras de las centenas del radican-tlo tlarr la cifra de las unidades de lar'¡iz. >>

Por defecto

900 +

Por exceso

1024 : 900 + @' 2 x 30 + 22 < 1082< 1600 - @ " 2 x 40 * 62 : 1156

l f f i -2x40+l:1519 1600-2x2x40+22:1436

157

l-.r seg,rrr¡1l.rrl r¡rrt t l ;r lrt práctica y el afán de avanzar hace que pronto serc( urr . r . r l . r r . l i r r r . r , r i r r u lcntal . El número de cubos que hay que añadir ot l r r i l i r r t ' : . r ( r r l ) r ( r r : l t loblc del lado del cuadrado base más el número deerr l ¡os t l r ' l . r is t ¡ r r r r r ; r l ;s decir que el resto 182 o el exceso 518 ha deeonr\r(lcl irrsc ( n l);r(lr.rctcs dc tamaño 2 x 30 más algo, el valor de la esquina,tr I r -l(! u)cn()s l lgo, rcspectivamente. Dividiendo 182 o 5tr8 por 2 x 30 opor 2 x 4() rcspcclivrlrnentc, se puede estimar el número de paquetes:

<Dccilel doble del lado del cuadrado base es decir el duplodc la raiz parcial hallada>.

Dividiendo por el duplo de la raiz parcial hallada se tieneuna estimación de la sesunda cifra de la raiz:

xx182:2x30:3' o yx 518:2 x40:6'

Hay que asegurarse que el número estimado de paquetes es la soluciónco.rrecta. Téngase en cuenta que hay una esquina en el cuadrado incomodan-do. Dicho de otra manera,3' y 6' son cotas máxima parz la x y mínimá parala y.

<Si se emplearan todos los cu-bos en tres paquetes, el cuadrado noestaría completo, hay que cubrirtamb.ién la esquina. Haciéndolo seemplearían 3 x (2 x 30) + 32 :6'3 x 3 : 189; 189 es mayor que'182, por lo tanto sólo se puedenhacer dos paquetes que emplean2 x (2 x 30) + 22 : 124 < 182,)

6x2x40-62:444 < 5t8

7x2x40-72:: 511 < 518Luego y : 3

/ rq8, l3o+x-9

r822x30t82:2 x: 3 ' , . . .

30

3x2x30+32-:63x3:189> 1822x2x30+22-: 124 < 182Luego x :2

<Si se retiraran 6 paquetes, seretiraria el cuadrado_de la esquinados veces. En la manipulación-sólose reduce en 6 x (2 x 40) - 62 :444 < 518 cubos. Retirando 7 pa-quetes 7 x (2 x 40) - 72 : 5ll.Retirando 8 paquetes se llega alcuadrado buscado.>

158 159

1,1;2¿ Un tratamiento ¡rltnétlco. (Llplz y papel)

. Problema preliminar o de prrtldr

¿Cuántos números cuadrados hay entre 625 y 1082?

. La situación de partida:

1+3 l+3+5+7

12

. Trazando un plan

Puesto W;r'es la sunia de,los n primeros impares, basta con averiguarde cuántos impares es suma cada uno de los números del problema prelimi-nar. En la diferencia está la solución.

LV relaciín en{re números impares y números cuadrados sugiere unpiocedimibnto para calcular raíces cuadradas (Elcr 1.,1979). Por ejemplo, sise quiore,saber la raiz cuadrada de 1298 se puede proceder a restar imparescomo sigue:

Jr2e8- l1297

1294-51289

a

:

Al frnal el número total de impares sustraido es la solución. No es malprocedimiento cuando los números son pequeños' sencillo' seguro' perolento e interminable guando los números son Srandes'

Conviene buscar alguna estrategia que abrevie. ¿En vez de restar uno auno los impares, por qué no hacerlo de golpe?

_ql0

_ql 000

l+3+5

ol oloI

0 0lo000

J-

0000

22

0

Se puede intsrrtar con los cinco, seis o sictc primeros impares, con losdiez, veinte, treinta o cuarenta primeros, con los cuatrocientos o quinientos,etcétera. No hay limite porque sabemos cuánto suman:

Los 10 primeros impares suman ... 100 (10'?)Los 20 primeros impares suman ... 400 (202)Los 30 primeros impares suman ... 900 (30'z)(...)Los 40.000 primeros impares suman ... 1600.000.000 (40.000'?)(. . . )

Con esta idea es fácil decidir qué número de impares sustraer, basta concomparar el radicando, en nuestro ejemplo 1298, con estos números.

900< 1298 <1600

t t l302 Qo + x)2 402

Trabajar con estos cuadrados, tiene sus ventajas. Son números fáciles derecordar (siempre los cuadrados de los nueve primeros números seguidos deun número par de ceros). Deja ver el tamaño delaraiz, en el ejemplo entre30 y 40. Lo que significa que la primera cifra de laraiz es 3, y ésta es de doscifras.

Sustraer 61,6--1, ( r5, r ' ¡ , , ( ' r . r r r r l t r r l r t ' \ ( ) r i t ' l l r t l ' (1, pero lento.

Hay formas clc hrccr lo r l r ' ¡1,r1¡rr '

6l j ( , .1

6l + 6.1 t t ' . r6 l+61t65t676l+(r3+65 167 t6961 +63+(r5t(r7+(r9*

x2x3x4x5x6

62636465

71 66

-900398-61

JJ/

-63

274-65

398

En la práctica las dos cifras de la de-recha, no intervienen en esta parte delproceso, por lo que se pueden dejar delado. Poner una coma y apartar.

2 x 30 + 1 (El 31 número impar, esdecir el doble de la raiz parcial halladamás uno)

(El 32 número impar)

Si se busca entre los productos de la columa aquel que más se aproxime,por defecto, al resto que llevamos, 398, es seguro que habremos dado con elnúmero de impares que faltan por sustraer.

398

Necesariamente x : 6, ya que66x6<398<67x7

a) ¿Es casualidad que la suma de impares anteriores sea de la forma6x x x? ¿En qué casos ocurre esta agradable circunstancia? ¿Secumple siempre en la forma anterior de calcular raíces cuadradas?

b) ¿La división de 398 por el 6 de 6x x x, permitirá estimar el valorde x? ¿Por qué?

Sugerencias:

a) (a + l ) * (a -r 3) + (a+ 5) + (a + 7)+ . . . + (a + (2 x n - 1)) :

b) 398 > 60 x x I x2 + 398:60 >- x

1.1.3. Un tratamiento algebraico. (Lápiz y papel)

. Problema preliminar:

Resolver la ecuación 1298 : x2 (No debe usarse ningún algoritmoestándar ni calculadora)

. La situación de partida:

Una vez tomada la decisión de sustraer el primer paquete de impares, los30 primeros en nuestro ejemplo, debe continuarse con el siguiente y con elsiguiente de éste, y ...

El siguiente número impar, el 31, es 2 x 30 + 1. (El dohle de la raizparcial hallada más uno>.

r@l 30+ x

r60

x: lOa+b

161

Es de suponer que a la vista de la situación dc partida, cualquier algebris-ta se sentirá impelido a intentar resolver la ecuación preliminar reescrita dela siguiente forma:

1298 :.(10 x a + b)2

¿Dificil papeleta?

l29g : (10 x a)2 + 2 x 10 x a x b + b2

Es decir:

12 x lü) + 98 : ¿2 x 100 * 20 x a x b + bz

En consecuencia, la primera cifra, la a, ha de ser un número cuvocuadrado es menor que 12.

ala2 4l2, ya que a2 x 700 ( 12 x 100 -

o < JtZ ::> a:3(1." instrucción)

Sustituyendo:

1200+98 :900* 20 x 3 x b + b2 + 20 x 3 x b + b2 : 1200+98 -900:

398(2." instrucción)

398 : 20 x 3 x b I b2 :60 x b * b2 : (60 + b) x bDe la forma 6b x b (3.' instrucción)

¿Qué número puede ser á?

t62 163

Anexo 2:

Los materialesmanipulativos

La representación simbólica suele ir acompañada de significados directa-mente relacionados con representaciones pictóricas o ilustraciones:

1/Á . 4\. r - - qZLimitándose a la pizarra y al papel impreso, no siempre es posible

aportar suliciente orientación para que se aprecie toda la riqueza de signifi-cados e interrelaciones que se alcanzan cuando la manipulación de lossímbolos y sus representaciones se complementan con la manipulación deobjetos.

No sólo en los primeros años de escolaridad, por cuanto, el nivel deabstracción de los niños y su capacidad de atención dependen, como essabido de la edad, sino porque los materiales manipulativos, aquellos quese pueden ver, tocar, coger y mover, implican acciones irreproducibles en lapizarra y construcciones que pueden dejarse sobre la mesa mientras seatiende a cuestiones al margen. Potencian la participación, la autonomía, eltrabajo en grupo, la ftrmeza y seguridad en la presentación de resultados ydescubrimientos. Permiten la comprobación, la reversibilidad y la correc-ción, y porque, ..., para qué extendernos más.

La importancia del material manipulativo didáctico ha sido ampliamentereconocida en las últimas decadas. Recientemente el NCTM que hace cua-renta años ya había defendido públicamente la utilización de estos materialesen NCTM's Eighteenth Yearbook <Multi-Sensory Aids in the Teaching ofMathematics> dedicó íntegramente a este tema su diario oficial AritmeticTeacher (febrero de 1986, n.o 6 vol. 23) mostrando así su deseo de renovar suapoyo.

En nuestro país, el importante trabajo de P¡pno Pulc Aonu (1956), la

Iabor de divulgirciirrr dc Claleb Gategno y la conrcrcializaci,bn de los materia-les Cuisenairc y l) icncs,junto con la efervescencia pedagógica, el prestigio dealgunas reunioncs, grupos y movimientos dc profesores han contribuidopoderosamentc a cxtonder este clima de aceptación.

Sin embargo, aunque la mayoría de los maestros están de acuerdo con laidea de que el material es un buen recurso para facilitar el aprendizaje de lasmatemáticas, sobre todo en el nivel más elemental, pocos reconocen utilizar-lo en sus aulas.

La ruzón no es tanto la dificultad en salvar el puente entre el mundoconcreto y el abstracto como cabria pensar, o en la asignación de unadeterminada interpretación o signihcado en detrimento de otros, sino conpreferencia, de otro tipo, a saber: La falta de manuales actualizados, elelevado coste, el excesivo número de alumnos por aula, el impacto de la malllamada matemática moderna, la tendencia a la enseñanza estándar de librode texto único y la explosión de las nuevas tecnologías.

Además, los materiales por muy estructurados que sean, bonitos o diver-tidos, no realizan ninguna labor didáctica por sí mismos. Es imprescindiblela actuación del profesor y ésta depende de su habilidad, información, cono-cimiento, estilo, gusto personal, fines que persiga y, cómo no, de las caracte-rísticas de los alumnos. Todo ello provoca inseguridad e insatisfacción en elprimer intento, haciendo que muchos abandonen con un sentimiento defracaso.

De cualquier modo, conviene señalar que el papel del material es el dedescubrir y comprobar, pero es necesario que vaya más allá, que el materialno sea sólo una herramienta para hacer ver sino, y esto es lo importante, unahcrramienta para convencef y para hacer comprender, y después, cuando elniño ha comprendido bien una circunstancia, el paso siguiente será hacerc¡uc la evoque y la maneje mentalmente.

Entre el surtido de materiales manipulativos que se puede encontrar en elmercado centraremos nuestra atención en aquellos que reproducen caracte-rísticas propias de la numeración y que nos serán útiles para la presentaciónde los algoritmos elementales de cálculo: Los ábacos, los bloques multibasede Dienes y los números en color.

2.1. LOS ABACOS

Los ábacos son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre lasque se deslizan bolas o frchas como en un collar. Reproducen las caracteristi-cas comunes de los sistemas posicionales simples.

Desde el punto de vista pedagógico, los ábacos son un material conside-rado de refuerzo, no de iniciación. El criterio posicional en que se apoyandebe ser aceptado por el niño sin ninguna razón que lo justifique. Una vez

164

logrado esto, e l ábaco c ' urr r r r ' ,1, l , ' , , , r , r , t ( ) quc proporclona act tut t iont 'sparalelas y análogas :r l ; r ' . , ¡ r r , ' . , l r , r , , r { n r ' l c i r lculo con lápiz y pa¡.rc l

Un poco de c. jcr t r t r ( ) { i l r r r ' l , r l ' , r , , ' ¡ t , ' r t r r i tc apreciar su popular id l r t l . yrrque además de su glrrr , . t ' r r , ¡ l l , ¡ ,1, ' r , r r r ' . l r r t c ión y manejo proporciortrr r r t t : rforma fáci l y rápidrr r l t 'ck ' r t r r ¡ r r r , r l tu los, s in necesidad de retencr nir tgúndato o resul tado pi t rc i l r l t ' t t l ; r r t tct t rot t : r

Suan Pan (chino) Soroban (japonés)

Existen variantes que pretendiendo resaltar el distinto valor que tiencn

las bolas cuando están puestas en varillas diferentes, utilizan formas vutiutl¿tso colores distintos en función de la posición que van a ocupar.

( I \I¡

ti,)I,I)

¡

a D f ¡

bolas debe tener cada varilla? ¿Por qué?

165

2.1.1. Abacos rlccimales

. Cada bola rcplcscnta una unidad como cn los sistemas de representa-ción simplc

o Bolas en varillas diferentes representan unidades de distintos órdenes.Es el valor dc posición. Sobre cada varilla una potencia de la base.

. Con nueve bolas por varilla se puede representar cualquier número.

. Con más bolas, la representación ya no es única.

El ábaco de diez bolas presenta ventajas sobre el de nueve desde el puntode vista del aprendizaje inicial. En efecto, las dos formas de representar el l0que admite y sus correspondiente transcripciones escritas preparan al niñopara comprender la relación entre <decena)) y (un I a la izquierda de un 0>,situándole así en condiciones de efectuar las transferencia que llamamos<llevar>, (reagrupar o pedir prestado> y <pedir y pagaD) en la adición ysustracción por columnas:

Este trabajo dc preparación al cii lerrkr dc columnas es importante por

cuanto, hasta ese momento, la estructtrrtt l lrcnlal aditiva del niño, no es por

(paquetes): unidades COn unidades, cloccltits cgn deCenaS, Centenas con cen-

ténai, etc.; sino que es l ineal, es el seguir conlando en Ia escala numérica. Más

o menos como en el siguiente ejemplo:

18 + 5 : 18 + (2 + 3): (18 + 2) + 3 : 20 + 3 : 23

A medida que profundizaenel cálculo se le exigirá que la sustituya por

otra via ya que aquélla es inviable con números grandes:

18 + 5 : (10+ 8)+ 5 : 10+(8 + 5): 10+ 13 : 10+ 10 + 3

Nótese que para que en el ábaco se puedan representar simultáneamentc

dos sumandos, se necesitan 18 bolas en cada varilla, por 1o menos (9 + 9).

ción.Conviene tener en cuenta que el ábaco de 10 permite efectuar el cálculo

con independencia del orden de actuación. Se puede empezar por la derecha,

por la iiquierda o por el centro, no importa. Cosa que no ocurre con el

así de ser una herramienta para calcular a Ser un instrumento para compren-

der.

2.2. LOS BLOQUES MULTIBASE

Otro material diseñado para reproducir las características propias de los

sistemas de numeración es el denominado bloques multibase (DIENEs, l96l)

Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de

numeración. Constan de cubos, barras, placas y bloques de madera pulida,

sin color, marcadaS con unas ranuras Separadas entre si un ccntímetro con el

fin de dar la impresión de que las unidades se han pegado cntre si ' De esta

manera se pretende facil i tar el reconocimiento de los valorcs numéricos que

representan.

29+35 +

l levar

, ln+315 + +5114+614+64

Pedir prestado

, l r 2 l ts-219

- -21 9 + 016+6

Pedir y pagar

315 3115-219 + -31 9 + 0ló-6

35-29 +

35-29 +

I

166 167

En esencia son una colección de unidades agrupadas según los criteriosde los sistemas de numeración por agrupamiento múltiple. Cada pieza co-rresponde a una potencia de la base.

Desde el punto de vista pedagógico, los bloques multibase, son un mate-rial para el rediseño o construcción paso a paso de las reglas de la numera-ción y de los algoritmos de cálculo.

Partiendo de un montón de cubitos unidad se hace ver lo cómodo demanipular con las piezas de mayor tamaño posible. Esta es la regla de oro delos bloques. Es el agrupamiento siempre que es posible, es más cómodomanipular piezas que cubitos. No se caen cuando se coje una placa y sabescuántos hay. Decir, una placa, dos barras y tres cubitos, permite hacerse unaidea de la cantidad mientras que cuando se considera un montón de cubitossólo es un montón de cubitos.

La descripción de la cantidad con los bloques corre paralela a la descrip-ción en el sistema de numeración: Cientos, dieces y unos es como placas,barras y cubos. Es la fase de agrupamiento multiplicativo. El paso posterior,la transcripción al lenguaje escrito es lo que dejará perfilado el criterioposicional:

Una placa, nueve barras y tres cubitos unidad(Agrupamiento multiplicativo)

Pali l los, cordones, o cualquier otro material cotidiano, enlazados o distri-buidos en cajitas, haciendo grupos de diez unidades, reproduccn las caracte-

168

rísticas de los blot¡rrcs inrtrque no presentan las formas geométricas: la placa

es cuadrada, y cl lr l,rr¡rrc cúbico, como el cuadrado y el cubo de diez.

2.2.1. Diferencias entre los bloques y los ábacos

La diferencia más notable entre los bloques y los ábacos, es que los

primeros no se encuentran en una fase posicional aunque se llega a ella en la

transcipción al lenguaje escrito.Los bloques se encuentran en una fase de agrupamiento múltiple y dan

una imagen del tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las

unidades, cosa que no ocurre con los ábacos. Una barra también son diez

cubos, mientras que una bola en la segunda varilla de la izquierda es igual a

una bola en la primera. No obstante, el tratamiento pedagógico es muy

similar: juegos que fuercen el reagrupamiento, la sustitución de unidades por

grupos de unidades, el uso de nombres-etiqueta (unidad, barra, placa, ..'

unidad, decena, centena, ...) y la transcripción a un lenguaje abreviado posi-

cional.

2.2.2. Actividades

A título de sugerencia los pasos a seguir pueden ir en la siguiente direc-

ción:

L Conocimiento del material: ¿Cuántas unidades hacen una barra?

¿Cuántas barras hacen una placa?, etc.2. Juegos de agrupamiento: Con dados. Sobre una situación dada. <El

ganador es el primero que logra una placa.>

t69

3. Juegos dc dcscripción del agrupamictrto.

Representa con números el resultado anterior

Blnlblc l-l-l-l-l

Forma lo que señala el cuadro y escribe el resultado:

-l+l+l+l s ffiForma con el material, 20ll y l2ll.

4. Juegos de iniciación al cálculo:

Explica paso a paso qué hay que añadir a l2ll para tener 2011.Investiga si el paquete hallado resuelve lo que queda cuando a 20llse le qui ta 1211.

2.3. LOS NUMEROS EN COLOR

Los números en color también llamados regletas de Cuisenaire, constitu-yen un conjunto de longitudes coloreadas y permiten reproducir caracterís-ticas propias de los sistemas de agrupamiento simple.

Las maderitas que conforman el material tienen forma de prisma cua-drangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varíancentímetro a centímetro desde uno hasta diez.

Con las regletas se trata de, apoyándose en la medida, utilizar longitudes

170

1

como si fueran númcros; y apoyándose en los colores, lo que permite idontifi-carlas rápidamente, considerarlas como un modelo algebraico, más quccomo un aparato aritmético (G.r,rrrcNo 1963, (a), 103), ya que es posiblenombrarlas sin decir nada sobre números y enseñar las matemáticas comoun conjunto de relaciones... (GlrrncNo, (a), 1963).

Se puede pensar que las regletas serían más tácilmente asociables alnúmero si estuviesen subdivididas mediante hendiduras o relieves en tantaspartes como centímetros miden. Pero esta solución quitaría a las regletas sucarácter de longitud continua y las constreñiría a ser únicamente un conjun-to de unidades (como sucede en los bloques multibase de Dienes). La negra,porejemplo,seríaentoncesl + 1+ 1+ 1+ 1+ I + lynadamásque eso.

Otra posibilidad podría ser grabar en un extremo de cada regleta unsímbolo numérico en código o en escritura ordinaria. Pero eso es algo asícomo colocar una etiqueta numérica, en contra de la idea esencial de que lasregletas no deben identificarse rígidamente con un número, impidiendo otrotipo de asociaciones como, por ejemplo, con los números racionales. (Si sctoma como uno la marrón, entonces la blanca es 1/8, la roja 114,etc)

2.3.1. La estructura

Las relaciones fundamentales y los movimientos básicos con llrs rcgletas son:

. Ser del mismo color signil ica ser de la misma longitud.

. Ser de la misma loneitud es ser del mismo color.

-t

I

" lmnR

L

rb

t7 l

. Los distintos tamaños permiten ordenar lits regletas, formar escaleras'

La escalera mayor contiene todos los c<tlt¡rcs y todos Sus escalones Son

igual de altos.. Uniendo por los extremos distintas reglctas se pueden obtener longitu-

des iguales, y adosándolas se forman placas o muros que permiten

establecer y comparar relaciones aritméticas.

2.3.2. Operaciones

Toda regleta se puede sustituir por un número entero de blancas y

aunque sólo se dispone de diez clases de regletas, es fácil imaginar que da

escalera> es prolongable más allá de todo limite sin más que tomar una

regleta, por ejemplo, la naranja que es la más grande, como base para la

prolongación de modo análogo a como se hace en los sistemas de numera-

ción por agrupamiento simple. Se genera así un sistema fonético que resulta

ser ordinal e ilimitado y con características propias de un orden total y de un

buen orden. La comparación con el sistema fonético ordinal de los números

naturales es inmediata. A partir de aquí, los movimientos básicos con las

regletas, empalmar o hacer filas y adosar o hacer placas, conducen a situa-

ciones que pueden ser leídas o transcritas al lenguaje de las palabras y los

signos di diversas formas, pero con características propias de las operaciones

aritméticas elementales:

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^

N:a*a

N:2xa; a: l l2N

N-a:a; N- l lzN: l l2N:a

N:2:a I N:a:2

Como las regletas no son un material cerrado, se pueden ampliar con

placas cuadradas y bloques cúbicos de lado igual a la naranja, centena y

millar de blancas respectivamente. Se logra así un material que presenta

todas las caracteristicas de los bloques de Dienes de base diez, con lo que se

puede completar el ciclo aritmético al ser posible abordar el tratamiento de

los algoritmos elementales de cálculo y su fundamento, la estructura polinó-

mica o multiplicativa del número escrito.

t72 173

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