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UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRÉS BELLO

Facultad de IngenieríaEscuela de Telecomunicaciones

© 2004 by R.Banchs SEÑALES Y SISTEMAS II: FILTROS DISCRETOS DE RESPUESTA IMPULSIVA INFINITA

1

Señales y Sistemas IIMódulo VIII: Filtros Discretos de

Respuesta Impulsiva Infinita




2Contenido de este módulo

1.- Diseño de filtros IIRusando repuesta impulsiva invariante

2.- Diseño de filtros IIRusando la transformación bilineal

3.- Diseño de filtros IIRusando métodos de optimización

4.- Transformaciones de filtros




3Observación importante

REPASAR LOS CONCEPTOS Y MÉTODOS

DE DISEÑO DE FILTROS IIR CONTINUOS:

BUTTERWORTH, CHEBYSHEV Y ELÍPTICOS




4








5Respuesta impulsiva invariante

La forma más intuitiva de diseñar un filtro IIR discreto es

mediante el muestreo de la respuesta impulsiva de un filtro

continuo conocido:

h[n] = Ts hc(nTs )

Este procedimiento se conoce con el nombre de “respuesta

impulsiva invariante”




6Respuesta en frecuencia y aliasing

La respuesta en frecuencia del filtro discreto obtenido h[n]

estará dada, de acuerdo con el teorema de muestreo, por:

, con ω = ΩTs

donde se hace evidente que para evitar aliasing, la respuesta

en frecuencia del filtro continuo original debe ser de banda

limitada: Hc(Ω ) = 0 para |Ω | ≥ π /Ts , de forma que la respues-

ta del filtro discreto sea: H(e jω) = Hc(jω /Ts ) para |ω | ≤ π

H(e jω) = Hc(jω /Ts+ j2πk/Ts )Σk - ∞=

∞




7Construcción del filtro discreto

Supongamos un filtro continuo cuya función de transferencia

Hc(s) y su respuesta impulsiva hc(t) están dadas por:

Aplicando el procedimiento descrito obtenemos h[n]:

h[n] = Ts hc(nTs ) = Ts Ck (esk Ts)n u[n] ΣK

Ck esk t , si t ≥ 0

0, si t < 0

Σk 1=

K

Hc(s) =Σk 1=

KCk

s – skhc(t) =

k 1=




8Función de transferencia obtenida

La función de transferencia del filtro discreto es:

y comparando con la

del filtro continuo:

Ts Ck

1 – esk Ts z –1 H(z) =Σ

k 1=

K

Cks – sk

Hc(s) =Σk 1=

KPoloss = sk

CoeficientesCk

Polosz = esk Ts

CoeficientesTs Ck




9Ubicación de polos en los planos S y Z

Plano ZPlano S

sk = σk + jΩk

X

X|zk| = eσk Ts

zk = e jΩk Ts




10Observaciones importantes

Para la técnica de respuesta impulsiva invariante debe tenerse

en cuenta que:

• Dependiendo del contenido de frecuencia del filtro continuo

original podrá ocurrir solapamiento espectral o aliasing.

• Dado un filtro continuo de partida causal y estable, el filtro

discreto resultante también será causal y estable.

• La ubicación de los polos del filtro discreto resultante zk se

relaciona con la de los del filtro continuo sk mediante la rela-

ción: zk = esk Ts , sin embargo no se puede decir lo mismo delas ubicaciones de los ceros !!!




11Ejercicio VIII.1

• DISEÑO DE UN FILTRO IIR

Se desea diseñar un filtro IIR discreto pasabajo con

frecuencia de corte ωc = π /4.

Utiliza el método de respuesta impulsiva invariante

para diseñar el filtro deseado a partir de un filtro

continuo Butterworth de orden 2.




12Ejercicio VIII.1

• RESPUESTA

La función de transferencia H(s) de un filtro Butterworth

de orden 2 está dada por:

donde la frecuencia de corte de tiempo continuo Ωc se re-

laciona con la frecuencia de corte de tiempo discreto ωc a

través de la expresión: ωc = ΩcTs

1(s /Ωc)2 + (s /Ωc) +12

H(s) =




13Ejercicio VIII.1

• RESPUESTA (continuación)

Reescribiendo H(s) y hallando la ubicación de los polos:

de forma que:

Ωc2

s 2 + Ωc s + Ωc22

H(s) = p1,2 = – Ωc (1+ j) / 2

Ωc2

(s + Ωc (1+ j) / ) (s + Ωc (1 – j) / )2 2H(s) =




14Ejercicio VIII.1


Descomponiendo H(s) en fracciones simples:

y aplicando la transformación vista en la lámina 8:

(s + Ωc (1+ j) / ) (s + Ωc (1 – j) / )H(s) = +2 2

j Ωc / 2 – j Ωc / 2

1 – e z –1 1 – e z –1H(z) = +

j Ωc Ts / 2 – j ΩcTs / 2– (1+j) Ωc Ts / 2 – (1–j) Ωc Ts / 2




15Ejercicio VIII.1


Finalmente, manipulando la expresión de H(z) y usando

ωc = Ωc Ts se obtiene:

de donde se extraen fácilmente los coeficientes de la ecua-

ción en diferencias b0, b1, a0, a1 y a2

ωc e sin(ωc / ) z –1

1 – 2 cos(ωc / ) e z –1 + e z –2H(z) =

– ωc / 22 2– ωc / 22 – ωc 2




16Ejercicio VIII.1


Ubicación de polos y respuesta impulsiva del filtro diseñado

Diagrama de Polos y Ceros Respuesta impulsiva

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

-10 0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

l




17Ejercicio VIII.1


Respuesta en frecuencia H(e jω) del filtro diseñado

Espectro de amplitud (en dB) Espectro de fase

-4

-2

0

2

4

0 π-20

-15

-10

-5

0

0 π




18Ejercicio VIII.1


Respuestas impulsivas del filtrocontinuo original y del filtro discreto diseñado

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

h[n]

hc(t )




19








20La transformación bilineal

Una manera de evitar el problema de aliasing en el diseño defiltros IIR es el uso de la transformada bilineal, la cual se rea-liza mediante la siguiente substitución, o cambio de variable:

De esta forma la función de transferencia del filtro discreto secalcula como:

2Ts

1 – z –1

1 + z–1 s =

1 – z –1

1 + z–1 2Ts

H(z) = Hc




21Relación entre los planos S y Z

La transformación bilineal es una manipulación algebraicaque ofrece un mapeo bidireccional y no lineal entre los planoscomplejos S y Z

Interior delcírculo unitario

Exterior delcírculo unitario

Círculo unitario- π ≤ ω ≤ π

Semiplanoizquierdo

Plano S Plano ZEje imaginario- ∞ ≤ Ω ≤ ∞ z = 1

s = 0

Semiplanoderecho




22Distorsión de la frecuencia

La transformación bilineal tiene como consecuencia una com-presión no lineal del eje de frecuencia de tiempo continuo jΩsobre el eje de frecuencia de tiempo discreto ω .

Dicha compresión está dada por: ω = 2 arctan(ΩTs/2)

π

−π

ω

Ω




23Observaciones importantes

Para la técnica de transformación bilineal debe tenerse en

cuenta que:

• El eje de frecuencia de tiempo continuo es comprimido en

forma no lineal sobre el eje de frecuencia de tiempo discreto.

• Dado un filtro continuo de partida causal y estable, el filtro

discreto resultante también será causal y estable.

• La ubicación de los polos y ceros del filtro discreto resultante

relaciona con la de los del filtro continuo mediante la relación

establecida por la transformación bilineal.




24Ejercicio VIII.2

• DISEÑO DE UN FILTRO IIR

Se desea diseñar un filtro IIR discreto pasabajo con

frecuencia de corte ωc = π /4.

Utiliza el método de la transformación bilineal para

diseñar el filtro deseado a partir de un filtro continuo

Butterworth de orden 2.




25Ejercicio VIII.2

• RESPUESTA

Nuevamente la función de transferencia H(s) de un filtro

Butterworth de orden 2 está dada por:

pero ahora, la frecuencia de corte de tiempo continuo Ωc

se relaciona con la frecuencia de corte de tiempo discreto

ωc a través de la expresión: Ωc = 2/Ts tan(ωc/2)

1(s /Ωc)2 + (s /Ωc) +12

H(s) =




26Ejercicio VIII.2


Aplicando la transformación bilineal:

y la relación entre frecuencias: Ωc = 2/Ts tan(ωc/2)

tenemos que:

2Ts

1 – z –1

1 + z–1 s =

tan2(ωc/2)

2 1 – z –1

1 + z –1+ tan(ωc/2) + tan2(ωc/2)1 – z –1

1 + z –12

H(z) =




27Ejercicio VIII.2


Finalmente, manipulando la expresión de H(z) se obtiene:

tan2(ωc/2)

21 + tan(ωc/2) + tan2(ωc/2)b0 = b2 = b1 = 2 b0

a0 = 12 tan2(ωc/2) – 2

21 + tan(ωc/2) + tan2(ωc/2)a1 =

21 + tan(ωc/2) + tan2(ωc/2)a2 = 21 – tan(ωc/2) + tan2(ωc/2)




28Ejercicio VIII.2


Ubicación de polos y respuesta impulsiva del filtro diseñado

Diagrama de Polos y Ceros

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

2

-10 0 10 20 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Respuesta impulsiva




29Ejercicio VIII.2


Respuesta en frecuencia H(e jω) del filtro diseñado

Espectro de amplitud (en dB) Espectro de fase

-80

-60

-40

-20

0

20

0 π-4

-2

0

2

4

0 π




30Ejercicio VIII.2


Respuestas impulsivas del filtrocontinuo original y del filtro discreto diseñado

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

h[n]

hc(t )




31Comparación entre métodos

Respuestas en frecuencia de los filtros diseñados usandoel método de respuesta impulsiva invariante y el métodode la transformación bilineal

0 1 2 3-4

-2

0

2

4

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Espectros de amplitud Espectros de fase

0 π 0 π

Respuestaimpulsivainvariante

Transformaciónbilineal




32








33Diseño como problema de optimización

Otra metodología de diseño de filtros IIR consiste en plantearel diseño en términos de un problema de optimización:

Para tales efectos se define unafunción de error en términos de la diferencia entre las respuestasdeseada y aproximada.

Luego se procede a minimizar lafunción de error.

H(e jω )Respuestadeseada

Respuestaaproximada

Hd(e jω )

Nota: No es objetivo de este curso entrar en los detalles de la resolución de problemas de optimi-zación. Sólo veremos a modo ilustrativo esta técnica de diseño.




34Método de Deczky

Entre los algoritmos de diseño de filtros IIR que usan métodos de optimización, uno de los más populares es el presentado por Deczky (1972). En este procedimiento, la función de transferencia del filtro di-señado H(z) es representada en forma de productoria:

donde G es la ganancia y * denota conjugación compleja.

(1– zk z –1 ) (1– zk z –1 )(1– pk z –1 ) (1– pk z –1 )H(z) = GΠ

k 1=

K**




35Error total y error de magnitud

Y la función de error se construye en términos de una suma pesada del error de magnitud y el error de retardo de grupo entre la respuesta deseada y la diseñada:

donde el error de la magnitud se define como:

Errortotal = α Errormag + (1– α ) Errorrdeg

Errormag = Wmag (ωi) | Hd(e jωi) – H(e jωi) |2mΣi 1=

N




36Error de retardo de grupo

y el error del retado de grupo se define como:

NOTA: el retardo de grupo RG(e jω) se define como menosla derivada de la fase de la respuesta en frecuencia.

Errorrdeg = Wrdeg(ωi) |RGd(e jωi) –RG(e jωi) + c |2qΣi 1=

N

ddωRG(e jω) = – H(e jω)




37Solución del problema de optimización

De esta forma el error total queda definido como una función

de 4K+2 variables: las magnitudes y fases de los K pares conju-

gados de polos y ceros, la ganancia G y la variable de ajuste c.

El mínimo de la función de error se busca igualando a cero el

gradiente del error, lo cual da origen a un sistema de 4K+2

ecuaciones no lineales que Deczky resuelve utilizando el algorit-

mo iterativo propuesto por Fletcher y Powell (1963).




38Criterio de optimalidad

El método presentado por Deczky tiene la ventaja de ofrecerun criterio de optimalidad variable, el cual es controlado porlos parámetros m y q que aparecen en las expresiones del errorde magnitud y del error de retardo de grupo respectivamente.

De esta forma: • Para m=q=1 se está utilizando el criterio de minimización

del error cuadrático medio.• Para m y q muy grandes (m,q ∞) el criterio de minimiza-

ción aproxima el criterio minimax.




39








40Transformaciones de filtros

Otra estrategia de diseño bastante común es el uso de trans-

formaciones para obtener una respuesta en frecuencia deseada

a partir de un filtro prototipo pasabajo discreto.

Transformación

Filtro Prototipo

0 π

|H(e jω )|Respuesta deseada

0 π

|H(e jω )|




41Transformación pasabajo a pasabajo

Dado un filtro pasabajo con frecuencia de corte θp, se puede

obtener un nuevo filtro pasabajo con frecuencia de corte ωp

mediante el uso de la siguiente transformación:

sin(½[θp–ωp ]) sin(½[θp+ωp ])

z –1 – α1 – α z –1 α =z –1 =

Tomado de Oppenheim & Schafer (1989)




42Transformación pasabajo a pasaalto


obtener un nuevo filtro pasaalto con frecuencia de corte ωp

mediante el uso de la siguiente transformación:

cos(½[θp+ωp ]) cos(½[θp–ωp ])

z –1 + α1 + α z –1 α = –z –1 = –





43Transformación pasabajo a pasabanda


obtener un nuevo filtro pasabanda con frecuencia de corte

inferior ωp1 y frecuencia de corte superior ωp2 mediante el uso

de la siguiente transformación:

z –2 – z–1 +z –1 = –

2α kk + 1

k – 1 k + 1

z –2 – z–1 + 1k – 1 k + 1

2α kk + 1

cos(½[ωp2 +ωp1 ]) cos(½[ωp2 –ωp1 ])

α =

k = cot(½[ωp2 –ωp1 ]) tan(½θp)





44Transformación pasabajo a rechazabanda


obtener un nuevo filtro rechazabanda con frecuencia de corte

inferior ωp1 y frecuencia de corte superior ωp2 mediante el uso

de la siguiente transformación:

z –2 – z–1 +z –1 =

2α1 + k

1 – k 1 + k

z –2 – z–1 + 11 – k 1 + k

2α1 + k

cos(½[ωp2 +ωp1 ]) cos(½[ωp2 –ωp1 ])

α =

k = tan(½[ωp2 –ωp1 ]) tan(½θp)





45

Fin del Módulo VIIIFiltros Discretos de

Respuesta Impulsiva Infinita

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