3 modelo completo de...

Modelo completo de fotosensibilidad

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3 MODELO COMPLETO DE FOTOSENSIBILIDADEn este apartado se propondrá un modelo de fotosensibilidad a nivel

microscópico que permitirá explicar el crecimiento del índice de refracción en cristales de SiO2:GeO2 que, como sabemos, está íntimamente relacionado con las variaciones que sufre el espectro de absorción óptica como consecuencia de las alteraciones de las distribuciones de centros de color, al iluminar estos materiales con luz ultravioleta. Esta redistribución del espectro de absorción se traduce en la variación del índice de refracción, a través de las relaciones de Kramers-Kronig.

Posteriormente, este modelo de fotosensibilidad se implementará con ayuda de un software de programación adecuado de forma que, como resultado de las simulaciones para diferentes condiciones de iluminación, de dopado de la muestra, de concentraciones iniciales de GODC′s, etcétera; se podrán contrastar los resultados experimentales con los que arrojan estas simulaciones. De esta forma se puede comprobar la validez del modelo de fotosensibilidad completo.

En los apartados anteriores se han concretado las expresiones cuantitativas que definen la dinámica del proceso de blanqueo de centros NOMV, mediante la absorción de un fotón, y del proceso de blanqueo de centros GLPC, mediante la absorción de dos fotones, por separado. Sin embargo, a continuación se verá que es posible establecer un comportamiento dinámico conjunto, que constituye el modelo completo y que supondrá la ocurrencia de los dos procesos de forma paralela. Se considerará que la conexión que se establece entre ambos procesos es a través de la dinámica de aparición de los centros GeE’.

Presentamos aquí un resumen de todas las ecuaciones que hemos obtenido anteriormente y que serán la base para el futuro modelo completo de fotosensibilidad.

PROCESO DE CONVERSIÓN DE CENTROS NOMV

( ) [ ] ( )tkeNOMVt ⋅⋅−−⋅⋅−=∆ φεα 11006.506.5 Banda de NOMV (3.1)

( ) [ ] ( ) [ ] fotóntk GeEeNOMVt 14.604.64.6 '1 1 ⋅=−⋅⋅=∆ ⋅⋅− εεα φ

Banda de GeE′ (3.2)

PROCESO DE CONVERSIÓN DE CENTROS GLPC

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅=∆ βα

βα

αεα

2

105.45.4

Banda de GEC (3.3)

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅−=∆ βα

βα

αεα

2

1016.516.5

Banda de GLPC (3.4)

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅=∆ βα

βα

αεα

2

108.58.5

Banda de GLPC + (3.5)


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( ) [ ] fotonesGeEt 24.64.6 '⋅=∆ εα Banda de GeE′ (3.6)

Las ecuaciones (3.2) y (3.6) corresponden a la misma banda de modo que será posible escribir una única ecuación que las englobe a ambas.

3.1 MODELO PREVIAMENTE ESTABLECIDOEn las dos variantes del modelo de fotosensibilidad que se van a estudiar se

considera la llamada reasignación de centros NOMV o creación de NOMV’s intermedios que se basa en considerar que por cada GLPC que se blanquea se crea un NOMV virtual, de forma que a la concentración inicial de NOMV′s que tenga la muestra habrá que añadir la concentración de NOMV′s virtuales que se van induciendo en el proceso de dos fotones, para convertirse en centros GeE’ siguiendo una dinámica aun desconocida. Es decir:

[ ] [ ] [ ]'0 GeENOMVNOMV virtual →+ (3.7)

donde

[ ] ( )tNNOMV dvirtual = (3.8)

En la forma en la que esta concentración de centros NOMV es convertida en centros GeE′ es lo que diferenciará a los dos modelos de fotosensibilidad que se verán a continuación.

Este planteamiento de reasignación de centros NOMV se expone en el artículo "Correlation between oxygen-deficient center concentracion and KrF excimer laser induced defects in thermally annealed Ge-doped optical fiber preforms" del grupo de investigación liderado por Mourad Essid (1999), [Essid-1999]. Se obtienen resultados interesantes si se somete a distintas muestras de una preforma de silicio dopada con germanio a un recalentamiento en presencia de oxígeno durante diferentes periodos de tiempo. Lo que provoca este calentamiento es la eliminación de absorción, es decir, disminuyen la banda inicial del espectro de absorción. También se observa que una de las dos componentes de la absorción a 5 eV, la centrada en 5.06 eV correspondiente a los NOMV′s, es eliminada completamente después de 4 horas de calentamiento y es necesario una nueva gaussiana a 5.14 para ajustar la diferencia del espectro. Esto puede entenderse como una modificación de las concentraciones iniciales de los defectos precursores y nos permite eliminar la contribución de los NOMV′s, aislando así el proceso de blanqueo de centros GLPC.

Después de calentar la red durante distintos periodos de tiempo se la somete a luz procedente de un láser de KrF dando lugar a un espectro de variación de la absorción que puede descomponerse en cuatro gaussianas: tres positivas centradas en 4.5, 5.8 y 6.4 eV y una negativa centrada en 5.16 eV, y que podemos ver en la figura siguiente.


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Figura 3.1- Coeficiente de absorción después del calentamiento y de la exposición al láser de KrF

Se comprueba que la banda debida a Ge(1) (4,5 eV), la banda debida a Ge(2) (5.8 eV) y la banda debida a los GeE′ (6.4 eV) crecen linealmente con la cantidad de banda óptica de GLPC blanqueada, como vemos en la figura 3.2.

∆αGeE′ (cm 1− )

∆αGe(1) (cm 1− )

∆αGe(2) (cm 1− )

∆α GLPC(cm 1− )

Figura 3.2- Relación entre el blanqueo de la banda de GLPC y elcrecimiento de las bandas de Ge(1), Ge(2) y GeE′ paramuestras con diferentes periodos de calentamiento

A la vista de estos resultados cualquier modelo que incluya la generación de centros GEC debe considerar el defecto GLPC como precursor y la generación simultánea de centros GeE′. Este grupo propone una fase intermedia en la que el GLPC se transforma primero en un NOMV que se convierte posteriormente en un GeE′. Este planteamiento se puede modelar mediante la dinámica de reasignación de centros NOMV que ya hemos descrito anteriormente.


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La explicación, dada en los estudios hechos hasta ahora, en concreto en el proyecto fin de carrera [Galo-2004], considera bastante acertada la idea de modelar la dinámica del centro GeE’ como la del proceso de un fotón. Es decir, todos los centros NOMV, tanto los virtuales, que genera el proceso de absorción de dos fotones de blanqueo de centros GLPC, como los que forman parte de la concentración inicial, se convierten en centros GeE’ siguiendo la dinámica vista del proceso de absorción de un fotón. A este modelo de fotosensibilidad lo llamaremos a partir de ahora modelo 1. De forma esquemática:.

PROCESO DE ABSORCIÓN DE UN FOTÓN

1NOMV ( 5.06 eV ) 1GeE′( 6.4 eV ) + 1GeO3 + 1e −

1 hν → K1

Reasignación de NOMV′s

PROCESO DE ABSORCIÓN DE DOS FOTONES

1GLPC ( 5.16 eV ) 1GEC ( 4.5 eV ) + 1GLPC + ( 5.8 eV )+1NOMV ( 5.06 eV ) 2 hν → α, β

Observando este esquema es fácil entender la siguiente expresión para la concentración de centros GeE′ inducidos, que será igual que la concentración de centros NOMV (tanto iniciales como virtuales) blanqueados.

[ ] [ ] ( ){ } ( )tkd etNNOMVGeE ⋅⋅−−⋅+= φ110 (3.9)

con ( ) [ ] ( )[ ]tPPd eGLPC

PtN ⋅⋅+⋅−−⋅⋅

+= βα

βα

α 2

10 (3.10)

Esta ecuación incluye todos los centros GeE′ generados, es decir, este término englobará todas las contribuciones a la banda de 6.4 eV. De esta forma el modelo completo estará gobernado por las siguientes ecuaciones:

MODELO 1

Bandas blanqueadas


( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅−=∆ βα

βα

αεα

2

1016.516.5

Banda de GLPC (3.12)


44

Bandas inducidas

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅=∆ βα

βα

αεα

2

105.45.4

Banda de GEC (3.13)

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅=∆ βα

βα

αεα

2

108.58.5


( ) [ ] [ ] ( )[ ] ( )tktPP eeGLPCP

NOMVt ⋅⋅−⋅⋅+⋅− −⋅

−⋅⋅+

+⋅=∆ φβα

βα

αεα 1

2

11004.64.6

Banda de GeE’ (3.15)

El siguiente diagrama energético, basado en los vistos con anterioridad, puede facilitar la mejor comprensión del modelo de fotosensibilidad descrito.

Figura 3.3- Diagrama energético para el modelo 1 de fotosensibilidad

Sin embargo posteriores simulaciones de este modelo nos proporcionarán resultados contradictorios con los datos experimentales. En concreto, al comparar la evolución de la variación de la absorción al exponer a disparos de KrF que representa la siguiente figura, con la evolución que predice nuestro modelo, éste depara una dinámica excesivamente lenta que no se ajusta a la evolución real. No obstante, cuando se analicen los resultados se entrará en este tema con mayor profundidad.

Banda Prohibida

EEgg == 77..11 eeVV

2hυ1hυ

44..33 eeVV1hυ55 ..

00 66ee VV

66 ..44

ee VV

44 ..55

ee VV

55 ..88

ee VV

5.16

eV

NOMV

GeE’

GEC

GLPC+ GLPC

33..22 eeVVLuminiscencia

Banda de Conducción

Banda de Valencia


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Figura 3.4- Evolución de la variación de la absorción al exponer a láser KrFa) después de 10 pulsosb) después de 60 pulsosc) después de 1000 pulsosd) después de 30000 pulsos

Esto nos lleva a pensar que la dinámica que rige la generación de centros GeE′durante la iluminación con luz de alta potencia es más rápida que la dinámica que sigue la formación de estos centros en el proceso de un fotón.


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3.2 MODELO DEFINITIVOPartiendo del modelo existente hasta ahora, expuesto en el apartado anterior, se

llega a la conclusión de que, cuando se ilumina con luz ultravioleta de alta potencia, el proceso de conversión de centros NOMV (tanto los defectos NOMV iniciales, como los virtuales que genera el proceso de absorción de dos fotones de blanqueo de centros GLPC) puede incluir un término que dependa del flujo de fotones al cuadrado, es decir, estaría controlado por un nuevo proceso de absorción de dos fotones, cuya dinámica podemos ajustar a la real a través de un nuevo parámetro, 2k , que se calcula a partir de resultados experimentales como los de la figura 3.4. De forma esquemática:

PROCESO DE ABSORCIÓN DE UN FOTÓN Y DE DOS FOTONES

1NOMV ( 5.06 eV ) 1GeE′( 6.4 eV ) + 1GeO3 + 1e −

1 hν → K1 2 hν → K2

Reasignación de NOMV′s

PROCESO DE ABSORCIÓN DE DOS FOTONES

1GLPC ( 5.16 eV ) 1GEC ( 4.5 eV ) + 1GLPC + ( 5.8 eV )+1NOMV ( 5.06 eV ) 2 hν → α, β

Resumiendo, los centros GEC, GLPC y GLPC + siguen la dinámica del proceso de dos fotones vista con anterioridad, de forma que la reacción de generación de centros GEC y GLPC + y de blanqueo de centros GLPC, estará controlada por los parámetros αy β , y seguirá siendo más rápida que la que rige la aparición de los centros GeE′. La novedad está en que ahora los centros GeE’ pueden aparecer también siguiendo una nueva dinámica de absorción de dos fotones, además de la generación habitual de centros GeE’ por el proceso de absorción de un fotón.

Por tanto, si se acepta esta segunda variante que se introduce en este proyecto, como corrección al modelo previamente establecido, el proceso de conversión de los centros NOMV (tanto los iniciales como los virtuales) incluye un término que depende del flujo de fotones al cuadrado. A este nuevo modelo de fotosensibilidad lo llamaremos modelo 2, Esto se incluye en la dinámica que se desarrolla en el apartado 2.4.2 de la siguiente forma:

( )( ) ( ) tkkt

⋅⋅+⋅−=

∞∆

∆− 2

214.6

4.61ln φφαα

(3.16)

Siguiendo los mismos pasos que en dicho apartado y tiendo en cuenta, de nuevo, la reasignación de centros NOMV se llegará a la siguiente ecuación:

[ ] [ ] ( ){ } ( )[ ]tkkd etNNOMVGeE ⋅⋅+⋅−−⋅+=

32110

φφ (3.17)


47

con ( ) [ ] ( )[ ]tPPd eGLPC

PtN ⋅⋅+⋅−−⋅⋅

+= βα

βα

α 2

10 (3.18)

Al igual que en el caso anterior este término engloba todas las contribuciones a la banda de 6.4 eV. El modelo de fotosensibilidad completo para esta segunda variante viene determinado por las siguientes ecuaciones:

MODELO 2

Bandas blanqueadas


( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅−=∆ βα

βα

αεα

2

1016.516.5

Banda de GLPC (3.20)

Bandas inducidas

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅=∆ βα

βα

αεα

2

105.45.4

Banda de GEC (3.21)

( ) [ ] ( )[ ]tPPeGLPCP

t ⋅⋅+⋅−−⋅⋅+

⋅=∆ βα

βα

αεα

2

108.58.5


( ) [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]tkktPP eeGLPCP

NOMVt ⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅− −⋅

−⋅⋅+

+⋅=∆2

212

11004.64.6φφβα

βα

αεα

Banda de GeE′ (3.23)

El diagrama energético en este caso se muestra a continuación.


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Figura 3.5- Diagrama energético para el modelo 2 de fotosensibilidad

Puede parecer extraño que el proceso de absorción de dos fotones sea más rápido que el proceso de absorción de un fotón para convertir los centros NOMV en GeE’. Lo lógico sería que la absorción de un fotón al ser un proceso lineal fuera mucho más probable que la de dos fotones. Sin embargo, las simulaciones del modelo anterior depararán una dinámica tremendamente lenta para el proceso de un fotón. Sin entrar en detalle, este hecho se puede entender si se considera que este proceso supone una transición prohibida entre los estados energéticos involucrados, si se tienen en cuenta las reglas de selección que rigen estas transiciones. Esto explica que el nuevo proceso de absorción de dos fotones que hemos incluido sea más rápido que el proceso de absorción de un fotón previamente establecido.

Como ya se ha dicho, a través del parámetro 2k es posible ajustar bastante bien la dinámica de aparición de los centros GeE′ que se pone de manifiesto en la figura 3.6.

Banda Prohibida

EEgg == 77..11 eeVV

2hυ1hυ

44..33 eeVV

1hυ

55 ..00 66

ee VV

66 ..44

ee VV

44 ..55

ee VV

55 ..88

ee VV

5.16

eV

NOMV

GeE’

GEC

GLPC+ GLPC

33..22 eeVVLuminiscencia

Banda de Conducción

Banda de Valencia

2hυ


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Figura 3.6- Evolución de la variación de la absorción al exponer a láser de KrFa) después de 10 pulsosb) después de 60 pulsosc) después de 1000 pulsosd) después de 30000 pulsos

A partir de estos datos es posible el cálculo de 2k , usando la siguiente expresión:

( )( ) ( ) tkkt

⋅⋅+⋅−=

∞∆

∆− 2

214.6

4.61ln φφαα

(3.24)

Los valores de ( )t4.6α∆ se pueden extraer de la figura 3.6 para los distintos tiempos de exposición. Así mismo, ya se sabía que, mientras que los cambios del espectro por debajo de 5 eV saturaban después de 1000 pulsos, los cambios alrededor de 6.4 eV no lo hacían hasta que se alcanzaban los 30000 disparos. Esto nos permite tomar el dato que muestra la gráfica para 30000 pulsos como el valor aproximado de

( )∞∆ 4.6α .Por otro lado, son conocidas las condiciones de iluminación: se usa un láser de

KrF (5 eV) con una densidad de energía de pulsocmmJ

⋅210 , a partir de la cual se

puede obtener el flujo de fotones φ, y una duración de pulso, ONt , de 20 ns. Evidentemente el valor de t vendrá dado por:

pulsosnúmerott ON _⋅= (3.25)

Con toda esta información sólo resta introducir los valores numéricos necesarios. Primero obtenemos el flujo de fotones, φ, a partir de la densidad de energía del láser y teniendo en cuenta que los fotones que emite el láser presentan una energía de 5 eV:

{ }pulsocm

eVeVJscm

JMns

pulsopulsocm

mJ⋅

⋅=⋅==⋅

=⋅⋅ 2

241822 10121.310242.615.0

2010

(3.26)


50

scm

fotoneseV

pulsocmeV

⋅⋅=

⋅⋅

= 223

224

10242.65

10121.3φ (3.27)

El resto de los datos necesarios son conocidos o se pueden obtener directamente de la figura 3.6:

k1 (10%molGeO2:90%molSiO2) 22210921.2 cm−⋅= (3.28)nstON 20= (3.29)

( ) eV94.6 =∞∆α (3.30)

→ para 10 pulsos no es posible obtener el valor de 4.6α∆ con claridad pues los valores son demasiados pequeños.→ para 60 pulsos: st 69 102.1601020 −− ⋅=⋅⋅= (3.31)

( ) eV3.1102.1 64.6 =⋅∆ −α (3.32)

( )( )[ ] 62232

2322 102.110242.610242.610921.293.11ln −− ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

− k

⇒ scmk ⋅⋅= − 4432 10332.3 (3.33)

→ para 1000 pulsos: st 59 10210001020 −− ⋅=⋅⋅= (3.34) ( ) eV4102 5

4.6 =⋅∆ −α (3.35)

( )( )[ ] 52232

2322 10210242.610242.610921.2941ln −− ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

− k

⇒ scmk ⋅⋅= − 4442 10496.7 (3.36)

→ para 30000 pulsos el logaritmo diverge por lo que, tampoco en este caso, podemos obtener un valor para 2k .

A partir de los dos valores de 2k que tenemos, bastante parecidos entre sí, nos quedamos con el valor medio, que será el que se use para las simulaciones.

scmk ⋅⋅= − 4432 10041.2 (3.37)

Hay que señalar que el valor de este parámetro está calculado para unas condiciones determinadas, y puesto que no conocemos las dependencias del mismo, no podemos asegurar que se mantenga constante. De hecho es lógico pensar, que al igual que ocurre con el parámetro k1, el valor de 2k dependa de la temperatura y el contenido de germanio de la muestra. Puesto que todos los experimentos vistos se realizan a temperatura ambiente esta dependencia no influiría en los resultados, pero sí la dependencia con el dopado. Como no tenemos más información acerca de esto, en principio se va a considerar el valor tomado como constante, pero habrá que tener en cuenta que para dopados que no estén en torno al 10%molGeO2:90%molSiO2, el valor de 2k puede ser distinto.

Con todo esto quedan cerrados los dos modelos de fotosensibilidad estudiados. En ambos se establecen las expresiones necesarias para determinar la evolución con el tiempo del pico de absorción asociado a cada banda o centro de color.


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3.3 MODELADO DE LAS BANDAS DE ABSORCIÓN COMO DISTRIBUCIONES GAUSSIANAS

Como ya hemos visto antes es bastante acertado aproximar los cambios que se desencadenan en el espectro en torno a cada banda, por una distribución gaussiana como la que se representa en la siguiente figura.

Figura 3.7- Ejemplo de distribución gaussiana

Como podemos ver los parámetros que caracterizan una función gaussiana son el ancho de banda, BFWHM ⋅= 2 , el valor del pico de absorción, maxα∆ , y la energía del centro de la banda, 0E . La expresión que representa esta distribución es la siguiente:

( )( )

2

20

BEe

max eeG−

−⋅∆= α (3.38)

Por tanto, con toda la información que hemos visto hasta ahora, se tienen todos los datos necesarios para determinar las gaussianas que conforman en el espectro de absorción: por un lado, los picos de absorción, que evolucionan con el tiempo según las expresiones que muestran los modelos de fotosensibilidad y por otro, los valores de los centros y los anchos de banda de las gaussianas. Por lo tanto, se llega a las siguientes expresiones:

( ) ( )( )

2

206.5

06.5, NOMVBe

NOMV etteG−

−

⋅∆= α Banda de NOMV (3.39)

( ) ( )( )

2

216.5

16.5, GLPCBe

GLPC etteG−

−

⋅∆= α Banda de GLPC (3.40)

( ) ( )( )

2

25.4

5.4, GECBe

GEC etteG−

−

⋅∆= α Banda de GEC (3.41)

( ) ( )( )

2

28.5

8.5, ++

−−

⋅∆= GLPCBe

GLPC etteG α Banda de GLPC + (3.42)

∆αmax


52

( ) ( )( )

2'

24.6

4.6' , GeEBe

GeE etteG−

−

⋅∆= α Banda de GeE′ (3.43)

donde los valores de la mitad FWHM, que son obtenidos de la bibliografía, son prácticamente iguales en todos los experimentos realizados y se resumen en la siguiente tabla.

NOMV GLPC GEC GLPC + GeE′ FWHM

(eV) 0.38 0.48 1.31 1.27 1.54

B

(eV) 190.0238.0

= 240.0248.0

= 655.0231.1

= 635.0227.1

= 770.0254.1

=

Conocida cada una de las gaussianas que intervienen en nuestros modelos de fotosensibilidad, será posible determinar el incremento del índice de refracción a partir del espectro de absorción completo que se obtiene cono la suma de todas ellas y que veremos con más detenimiento en el apartado posterior.


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3.4 CONTRIBUCIONES AL ÍNDICE DE REFRACCIÓNComo ya se había adelantado, es a través de las relaciones de Kramers-Kronig la

forma de determinar las variaciones que sufre el índice de refracción del núcleo de la fibra, a lo largo de su eje, cuando ésta es iluminada con luz ultravioleta.

En este apartado se verá que el cambio del índice de refracción inducido puede descomponerse en una componente uniforme y una componente de modulación.

A esta descomposición se llega a partir del artículo titulado "Uniform component of index structure induced in Ge-SiO2 fibers by spatially modulated ultraviolet light" del grupo de investigación liderado por T.Tsai (1998), [Tsai-1998]. Por un lado, se concluye que la concentración de centros GeE′ está relacionada con la modulación del índice y, por otro, se demuestra que la concentración de centros GEC contribuye a la componente uniforme del incremento del índice. Todo esto se debe a que la luz ultravioleta que se hace incidir para hacer crecer la red de difracción está especialmente modulada, y por tanto, presenta máximos y mínimos. Como los centros GeE′ no se "difunden", en el lugar del núcleo de la fibra donde esté incidiendo un máximo se produce una concentración mayor de centros GeE′ que en el lugar donde incide un mínimo. En cambio, los centros GEC si se difunden creando una componente uniforme a lo largo del núcleo.

Como sabemos un centro GEC es una molécula de GeO2 que ha atrapado un electrón, que había sido arrebatado al GLPC. Se establece en este estudio que la longitud de difusión de los electrones es mucho mayor que el periodo de la red Λ, que normalmente se utiliza para la fabricación de redes de difracción de Bragg. Por tanto, los electrones viajan desde las zonas iluminadas hasta las no iluminadas, distribuyéndose por todas partes antes de ser atrapados para formar centros GEC, es decir, se inducen de forma uniforme a lo largo de la fibra.

Al igual que los GeE’ los centros NOMV y GLPC son estructuras fijas en la red, de ahí que los defectos que contribuyen a la componente de modulación serán los NOMV′s, GLPC′s, (GLPC + )′s y GeE′. El único elemento móvil es el electrón y por este motivo solo los centros GEC contribuirán al incremento uniforme del índice.

ILUMINACIÓN CON LUZ ULTRAVIOLETA

Figura 3.8- Distribución de los centros de defectos a lo largo de la fibra

Para calcular los incrementos del índice de refracción medio y de modulación en función del tiempo de exposición o del número de pulsos del láser que llegan a la fibra se van a usar los resultados que se presentan en el artículo "Photoinduced absorption change in germanosilicate preforms: evidence for the color-center model of photosensitivity" del grupo de investigación de L.Dong (1995), [Dong-1995]. Puesto que cada una de las bandas de absorción inducidas se puede aproximar por una

Zona no Iluminada

Zona no Iluminada

GEC

NOMV GLPC

GLPC + GeE′


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distribución gaussiana, el cambio del índice de refracción vendrá dado por la siguiente expresión, que deriva de las relaciones de Kramers-Kronig.

( ) ( )∑−

⋅∆=∆

i i

ii Btctn22,

ϖϖα

πϖ (3.44)

donde c ( )1−⋅ sm es la velocidad de la luz en el vacío, ( )tiα∆ ( )1−m el pico de absorción de la banda i en función del tiempo de exposición, iϖ ( )1−⋅ srad la pulsación del centro de esta misma banda, iB ( )1−s la mitad del ancho de banda y ϖ ( )1−⋅ srad la pulsación de trabajo a la que se calcula el cambio del índice.

Puesto que solo los centros GEC contribuyen al incremento medio del índice se llega a:

( ) ( )tBctn

GEC

GECmedio 5.422, α

ϖϖπϖ ∆⋅

−⋅=∆ (3.45)

El resto de los centros de color son los responsables, como sabemos, del incremento del índice de modulación:

( ) ( ) ( ) +

∆⋅

−+∆⋅

−⋅=∆ t

Bt

BctnGLPC

GLPC

NOMV

NOMV16.52206.522mod

´, α

ϖϖα

ϖϖπϖ

( ) ( )

∆⋅

−+∆⋅

−⋅

+

+

tB

tBc

GeE

GeE

GLPC

GLPC4.622

'

'8.522 α

ϖϖα

ϖϖπ(3.46)

Hay que tener en cuenta que los picos ( )tiα∆ están expresados en 1−m , de forma que si estos incrementos de la absorción vienen dados en 1−cm , que será lo normal, la manera de convertirlos es:

( )( ) ( )( )11 100 −− ∆⋅=∆ cmtmt ii αα (3.47)

Una vez calculados los valores de los incrementos del índice medio y de modulación se obtiene el incremento del índice de refracción del núcleo de la fibra a lo largo del eje de la misma que presentará un perfil periódico en la dirección del eje, como muestra la figura 3.9, y en la que se puede apreciar otro efecto importante que será el de la saturación. Llega un momento en el que se habrán blanqueado todos los defectos precursores, con lo que llegamos a una saturación en la concentración de centros inducidos y, por tanto, a un límite del crecimiento del índice de refracción, dando lugar a formas cuadradas. En la figura podemos observar las formas para distintos tiempos de exposición: en el eje vertical tenemos el índice de refracción fotoinducido, mientras que en el eje horizontal tenemos la longitud del dispositivo expresada en [ 610−×m ].


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Figura 3.9- Crecimiento del índice de refracción del núcleo a lo largo del eje de la fibra para diferentes tiempos de exposición

Por tanto, en nuestro modelo de fotosensibilidad al iluminar durante un determinado tiempo el núcleo de la fibra con luz ultravioleta espacialmente modulada, se obtendrá un incremento medio del índice que se mantiene constante a lo largo de todo el eje de la fibra y un incremento de modulación cuyos máximos coinciden con las zonas iluminadas y los mínimos con las zonas no iluminadas. Gráficamente, lo que ocurre se muestra a continuación.

Figura 3.10- Perfil de variación del índice de refracción de la fibra

Este perfil de variación puede describirse matemáticamente por la siguiente ecuación.

( )

Λ⋅⋅

+∆+∆=∆znnzn ulaciónmedio

π2cos1mod (3.48)

Por tanto, el cambio medio del índice de refracción, es decir, el valor medio de la ecuación anterior se expone a continuación y será el que utilicemos para nuestro modelo de fotosensibilidad.

modnnn medo ∆+∆=∆ (3.49)

z

∆n mod

∆n medio

∆n

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