3. medición de los cristales
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Medición de los cristales
Lic. Carlos Quiñones Monteverde
LEY DE LA CONSTANCIA DE LOS ÁNGULOS 1/2
El cristal es considerado como un cuerposólido de estructura reticular.
Tres nodos que no están en fila determinanla posición de cualquier plano de la red.
La red tiene una infinidad de posiblesplanos ubicados en el espacio de manerabien definida.
Los planos reticulares se diferencian segúnel grado de densidad reticular.
En la formación de las caras del cristal no participan todos los planosposibles de su red.
Las caras limítrofes del cristal se desarrollan según el orden decreciente delas densidades reticulares.
En el cristal se conservan principalmente las caras que corresponden a losplanos de la red de mayor densidad reticular.
Aspectos a considerar en un cristal:
I
II
III
(hkl)
LEY DE LA CONSTANCIA DE LOS ÁNGULOS 2/2
Los cristales de una misma sustancia pueden tener aspectos muydiferentes, según el número y tamaño de las caras; pero los ángulosentre las caras correspondientes permanecen constantes a las mismascondiciones de temperatura y presión.
La tendencia a un reducido número de caras en el cristal y su habilidadpara desplazarse paralelamente a sí mismas durante su crecimiento haservido de base para establecer:
Esta ley fue enunciada por el científico danésNicholas Stensen en 1669, usando el cuarzo(SiO2) y la hematita (Fe2O3).
Posteriormente en 1783, elcientífico francés RoméDelisle confirmó laveracidad de esta ley paralos cristales de todas lassustancias.
MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 1/4
se utilizan diferentes tipos de goniómetros:
Goniómetro de contacto Goniómetro de reflexiónGoniómetro de reflexión
de dos círculos
En el estudio de la forma exterior del cristal se deben medir losángulos diedros entre sus caras. Para este fin se utilizan losaparatos denominados goniómetros.
Dependiendo de:
• el tamaño del cristal
• el número de sus caras y • la precisión de la medida
MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 2/4
Consiste de una tarjeta en la que estáimpreso un arco semicirculargraduado en grados y una regla deceluloide, sujeta en su centro, quepuede girar.
Goniómetro de aplicación o de contacto
Fue construido por Carangeot en 1782.
Aprecian medidas de hasta 30 minutos
Se mide el ángulo suplementario.
Se utilizan en cristales grandes y en aquellos en los que sus caras no estánbien pulidas.
El borde inferior de la tarjeta yel extremo oscuro de la regla deceluloide, se ponen en contactocon las dos caras del cristal.
MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 3/4
cristal
Círculo graduado
anteojo
colimador
N1
N2
a1
a2
Se basa en el principio de lapercepción sucesiva de los rayosde luz reflejados en las caras delcristal.
Permite hacer apreciaciones de 1’.
Fue inventado por Wollaston en 1809.
Se mide el ángulo suplementario.
Se pueden medir los ángulos entre las carasde una zona.
Goniómetro de reflexión
MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS DE LOS CRISTALES 4/4
Goniómetro de dos círculos
Tiene dos ejes de giro mutuamenteperpendiculares
El cristal se monta sobre unacabeza goniométrica.
Feodorov construyó el primer goniómetro teodolito o de dos círculos.
En lugar de medir los ángulos entre las caras, la posición de cada cara sedetermina independientemente de las otras por la medida de suscoordenadas angulares y .
Exige una instalación y verificación previas muy minuciosas.
El eje horizontal de giro y los ejesópticos del colimador y el anteojodeben estar en un plano,perpendicular al eje vertical,además, los cuatro ejes indicadosdeben cortarse en un punto
PROYECCIONES DEL CRISTAL
Para representar los cristales se deben usarmétodos que revelen la dimensión ydisposición relativa de sus ángulos diedros.
Los métodos de representación son lasdiferentes clases de proyecciones que sedescriben a continuación:
Proyección esférica
Proyección gnomónica Proyección estereográfica
PROYECCIÓN ESFÉRICA 1/3
Se trazan normales a todas las caras de un cristal para obtener un haz derectas convergentes en un punto.
Se describe una superficieesférica con centro en estepunto y se prolongan lasnormales hasta queintercepten con la superficieesférica, obtenemos en laesfera un conjunto depuntos que determinanunívocamente la posición delas caras: polos.
El lugar de los polos en laesfera se puede fijarmediante coordenadasesféricas: latitud y longitud, como en geografía.
PROYECCIÓN ESFÉRICA 2/3
Latitud
Se usa un sistema sexagesimalpara asignar valores a lascoordenadas.
El ecuador es 0º y los polos 90ºNorte o Sur
35º
35º N
Polo Norte
Ecuador
Longitud
Referencia Este - Oeste: longitud.
No existe punto natural de origen (1ºmeridiano). Convención: se usa lalínea de longitud que pasa por elobservatorio de Greenwich.
Se asignan valores sexagesimales de 0a 180 .
Longitud
Latitud
Ecuador
GreenwichP
polo
PROYECCIÓN ESFÉRICA 3/3
PROYECCIÓN GNOMÓNICA
El plano de proyección generalmente se toma como el plano horizontal que es tangente al polo norte de la esfera de la proyección esférica.
Se trazan líneas imaginarias desde el centro de la esfera a través de lospolos de las caras del cristal que están ubicados en su superficie y seprolongan hasta que tocan el plano de proyección.
Los círculos máximos de la proyección esférica se convierten en líneas rectascuando pasan a la gnomónica.
Los polos de una serie de caras del cristal que pertenecen a la misma zonaestarán colocados en una línea recta en la proyección gnomónica.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 1/3
El plano de proyección es un plano diametral de la esfera que forma en ellaun círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección.
El punto de vista se ubicaen uno de los polos de laesfera. Las rectas que uneneste punto con los polos delas caras proyectados en laesfera cortan al plano deproyección en puntos.
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 2/3
Se proyecta como una recta
Proyecciones de círculos máximos
Se proyecta como una curva
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 3/3
Relaciones con la proyección esférica
Valores angularesProyecciones de círculos máximos
NET DE WULFF
Es la proyección estereográfica de una esfera en la que se han trazadocírculos meridianos y paralelos
Ejercicio 1
La Figura muestra la
proyección estereográfica
de los polos A, B, C, D, E, y
F sobrepuesta sobre una
net de Wulff. Hallar las
coordenadas de cada uno
de los polos.
Solución.-
Las coordenadas de unpunto sobre una proyecciónestereográfica son dadas entérminos de su latitud ylongitud, medidas desde elcentro de la proyección.
0 N, 50 O 0 N, 70 E
60 N, 80 E
40 N, 80 E60 N, 0 E
40 N, 0 E
Observar la Figura y determinarel ángulo entre los planos delcristal definidos por los polos:(a) A y B, (b) C y D y (c) E y F.
Solución.-
El ángulo entre dos planos delcristal puede ser medido sobrela superficie de la esfera a lolargo del círculo máximo queconecta los polos de los dosplanos. Esta medida puedellevarse a cabo sobre laproyección estereográfica si ysólo si, los polos proyectados seubican en un círculo máximo.
120
Ejercicio 2
20
20
En nuestro caso, los ángulos entre los planos A y B, C y D y E y F puedenmedirse directamente, contando el número de grados que los separa a lolargo del círculo máximo en los que se ubican.
Net de Wulff
Ejercicio 3
La Figura es una proyección
estereográfica de los polos P1 y P2.
Determinar las coordenadas de
cada uno de los polos.
P1P2
Proyección estereográfica
Solución.-
Al sobreponer la proyecciónestereográfica sobre una net deWulff del mismo diámetro seobservarán las coordenadas de lospolos.
Polo P1: 76ºN, 50ºE
Polo P2: 66ºN, 50ºO
Net de Wulff
Ejercicio 4
Determinar el ángulo entre los
polos P1 y P2 de la proyección
estereográfica de la Figura.
P1P2
Proyección estereográfica
Solución.-
Sobreponemos la proyecciónestereográfica sobre una net deWolff del mismo diámetro.
Si los dos polos no se ubican sobreun círculo máximo, entonces laproyección se gira con relación a laNet de Wulff hasta que los polos seubiquen en un círculo máximo,donde puede realizarse la medidadel ángulo deseado.
Ángulo entre P1 y P2: 30º
Net de Wulff
Ejercicio 5
El Polo A, cuyas coordenadas son20 N, 20 O, se gira 60 alrededordel eje NS en sentido antihorariomirando de N a S. Hallar lascoordenadas de la posición final delpolo A y mostrar su recorridodurante el giro.
A’A
Solución.-
Representemos el polo A (20 N,20 O) en una net de Wulff.
Las coordenadas de A’: 20ºN, 40ºE
Giramos el polo A 60 alrededor deleje NS de la net según el paralelo.La dirección del movimiento seráde O a E.
60
Net de Wulff
Ejercicio 6
El Polo B, cuyas coordenadas son40 N, 50 E, se gira 60 alrededordel eje NS en sentido antihorariomirando de N a S. Hallar lascoordenadas de la posición final delpolo B y mostrar su recorridodurante el giro.
B’B
Solución.-
Representemos el polo B (40 N,50 E) en una net de Wulff.
Trasladamos el polo B’ hacia adelante de proyección.
Giramos el polo B 60 alrededor deleje NS de la net según el paralelo.La dirección del movimiento seráde O a E.
20
40
El polo B’ se ubica en las coordenadas 40ºN, 70ºE, detrás de la proyección.
Las coordenadas de B’ serán 40ºS, 70ºO.
B’
Net de Wulff
Ejercicio 7El Polo A, cuyas coordenadas son20 N, 50 E, se gira 60 alrededorde un eje normal al plano de laproyección, en sentido horario alobservador. Hallar las coordenadasde la posición final del polo A ymostrar su recorrido durante elgiro.
A’
A
Solución.-
Representemos el polo A (20 N,50 E) en una net de Wulff.
Las coordenadas de A’: 27ºS, 48ºE
Giramos el polo A 60 alrededor deun eje normal a la net en sentidohorario.
60
La Figura muestra la proyecciónestereográfica de las posiciones inicialesdel polo A1 y el eje de rotación B1. Hallarla proyección estereográfica de larotación de 40 en sentido horario delpolo A1, alrededor del eje B1.
Ejercicio 8
Solución.-
BA
BA