Integrales de funciones de

una variable

APUNTES Y EJERCICIOS

Integrales Trigonométricas

Universidad Tecnológica de Chile

SEDE CALAMA

Guía de Apuntes y Ejercicios

Integrales Página 1

INTEGRALES TRIGONOMETRICA

Integrales Trigonométrica: Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas

elevadas a exponentes Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes casos:

Caso 1 Integrales de la forma y , donde (impar).

Identidad trigonométrica: .

Protocolo a seguir: Transformar la integral en dos funciones, tal que una de ellas

pueda ser reemplazada por la identidad trigonométrica para forzar el uso del método

por cambio de variable.

Ejemplo: . Luego hacemos

. Reemplazamos

. Por lo tanto, se

restituye la variable obteniendo,

.

Caso 2: Integrales de la forma y , donde (par).

Identidad trigonométrica:

.

Protocolo a seguir: Reducir el valor del exponente con la identidad del ángulo doble,

resolver el producto notable para obtener integrales trigonométricas del primer y

segundo caso.

Ejemplo:

Caso 3: Integrales de la forma . Identidad trigonométrica:

,

a. Cuando los dos son impares se toma al menor para que la integral quede más

sencilla y utilizar cambio de variable.

Ejemplo:

b. Cuando los dos son pares

Ejemplo:

Caso 4: Integrales de la forma . También funciona

para las funciones cosecante, cotangente. Identidad trigonométrica:

.

Protocolo a seguir según el caso:

Guía de Apuntes y Ejercicios

Integrales Página 2

a. Si la potencia de la secante es positiva y par, se queda un factor de la secante al

cuadrado y se convierte los restantes en tangente. Al igual que en el caso 1 se fuerza

un cambio de variable.

Ejemplo:

1 3 = 5+ 3 = 66+ 44= 6 6+ 4 4+

b. Si la potencia de la tangente es positiva e impar, se queda un factor secante –

tangente (funciona como la derivada) y convertir el resto en secante.

Ejemplo:

c. Si no hay factores de la secante y la potencia de tangente es positiva, se convierte un

factor tangente cuadrado en secante. Se desarrolla y se repite el proceso tantas

veces como sea necesario

Ejemplo:

d. Si la integral es de la forma secante, con n impar y positivo, se usa la integración por

partes

Ejemplo:

Como aparece el factor secante, se despeja y luego se suman:

e. Si no se aplica ninguno de estos casos, se convierte en integral seno coseno.

Ejemplo:

Guía de Apuntes y Ejercicios

Integrales Página 3

EJERCICIOS

Calcular las siguientes integrales indefinidas de la izquierda:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.