3 - estática dos fluidos 2
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Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Forca sobre superfıcies submersas
Johannes Gerson Janzen
14 de junho de 2016
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Table of contents
1 Revisao de FısicaCentroide
2 Forca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
3 Forca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Centroide
Centroide
Centroide
Ponto que define o centrogeometrico de um objeto.
Centroide
Ponto que define a media detodas os pontos do objeto.
Figura: Centroide de umretangulo. Fonte: White (1998,p. 76)
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Centroide
Centroide
xG
xG =
∫xdA
A
yG
yG =
∫ydA
A
x
ρ
y
x
y dA
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Centroide
Inercia e translacao
Inercia
Propriedade da materia emresistir a mudanca em seuestado de repouso oumovimento uniforme.
Inercia na translacao
A inercia de translacao emedida atraves da massa. Boliche Golfe
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
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Centroide
Inercia e translacao
Inercia
Propriedade da materia emresistir a mudanca em seuestado de repouso oumovimento uniforme.
Inercia na rotacao
A inercia de rotacao e medidaatraves do momento deinercia.
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Centroide
Momento de inercia
Momento de inercia
Ixy =
∫xydA
Ixx =
∫y2dA
Iyy =
∫x2dA
x
ρ
y
x
y dA
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Centroide
Retangulo: Momento de inercia e Centroide
Figura: Fonte: White (1998, p. 76).
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Centroide
Triangulo: Momento de inercia e Centroide
Figura: Fonte: White (1998, p. 76).
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Centroide
Cırculo: Momento de inercia e Centroide
Figura: Fonte: White (1998, p. 76).
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Centroide
Semicırculo: Momento de inercia e Centroide
Figura: Fonte: White (1998, p. 76).
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Forca resultante
Forca resultante
F =
∫pdA
F =
∫(pa + γh) dA
...
F = (pa + γhCG )A
F = pCGA
Profundidade
hCG = ξCG sin θ
Figura: Forca hidrostatica e centro de pressaoem uma superfıcie plana arbitraria de area Ainclinada com um angulo θ abaixo da superfıcielivre. Fonte: White (1998, p. 74)
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Centro das pressoes
Centro das pressoes
Ponto de aplicacao da forcaresultante das pressoes sobreuma certa area.
yCP
yCP = −γ sin θIxx
pCGA
xCP
xCP = −γ sin θIxy
pCGA
Figura: Forca hidrostatica e centro de pressaoem uma superfıcie plana arbitraria de area Ainclinada com um angulo θ abaixo da superfıcielivre. Fonte: White (1998, p. 74)
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Pressao atmosferica nos dois lados da area submersa
Forca resultante
F = γhCGA = pCGA
yCP
yCP = − Ixx sin θ
hCGA
xCP
xCP = − Ixy sin θ
hCGA
Figura: Ao analisar forcas hidrostaticas sobresuperfıcies submersas, a pressao atmosfericapode ser subtraıda quando ela atua em ambosos lados da superfıcie. Fonte: Cengel e Cimbala(2006, p. 79).
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
Exemplo
Um tanque de oleopossui um paineltriangular proximo dofundo. Determine (a) aforca hidrostatica e (b) alinha de acao da forca.Despreze a pressaoatmosferica.
Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
Forca resultante
F = ρghCGA
Area do Triangulo
A =6 · 12
2= 36 m2
hCG
hCG = 5 +2 · 12
3sin 30
hCG = 9 m Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
Forca resultante
F = ρghCGA
F = 800 · 9,807 · 9 · 36
F = 2,54MN
Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
yCP
yCP = − Ixx sin θ
hCGA
Ixx
Ixx =bL3
36=
6 · 123
36
Ixx = 288 m4
Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
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Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
yCP
yCP = −288 · sin 30
9 · 36
yCP = −0,444 m
Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
yCP
xCP = − Ixy sin θ
hCGA
Ixy
Ixy =b (b − 2s) L2
72
Ixy =6 (6 − 2 · 6) 122
72
Ixy = −72 m4Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
xCP
xCP = −−72 · sin 30
9 · 36
xCP = 0,111 m
Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
Revisao de FısicaForca hidrostatica sobre uma superfıcie plana submersaForca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Forca resultantePonto de aplicacao da forca resultante
Exemplo
Forca resultante
F = 2,54MN
xCP
xCP = 0,111 m
yCP
yCP = −0,444 m
Figura: Fonte: White (1998, p. 78).
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
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Forca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Figura: Calculo da forca hidrostatica em uma superfıcie curva: (a)superfıcie curva submersa; (b) diagrama do corpo livre do fluido acima dasuperfıcie curva. Fonte: White (1998, p. 79)
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Forca hidrostatica sobre uma superfıcie curva submersa
Forca Horizontal
As forcas horizontais e suaslocalizacoes sao as mesmas que parauma superfıcie plana verticalimaginaria da mesma area projetada.
Forca Vertical
A forca lıquida vertical e igual aopeso do fluido diretamente acima dasuperfıcie. A linha de acao passaatraves do centro de gravidade dovolume de lıquido diretamente acimada superfıcie curva. Figura: Fonte: White
(1998, p. 79).Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
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Exemplo
Exemplo
A barragem e um quarto deum cırculo com 50 m paradentro da “tela”. Determineas componentes verticais ehorizontais da forcahidrostatica contra a barrageme o ponto de aplicacao daforca resultante.
Figura: Fonte: White (1998, p. 115).
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Exemplo
Forca horizontal
FH = γhCGAvert
FH = 9790 · 20
2· 20 · 50
FH = 97,9 MN
Figura: Fonte: White (1998, p. 115).
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Exemplo
yCP
yCP = − Ixx sin θ
hCGA
Ixx
Ixx =bL3
12=
50 · 203
12
Ixx = 33333,33 m4 Figura: Fonte: White (1998, p. 115).
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Exemplo
yCP
yCP = − Ixx sin θ
hCGA
yCP = −33333,33 sin 90
10 · 20 · 50
yCP = −3,33 mFigura: Fonte: White (1998, p. 115).
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Exemplo
Forca vertical
FV = γVbar
FV = 9790 · π4· 202 · 50
FV = 153,8 MN
xCP
xCP =4R
3π
xCP =4 · 20
3π= 8,49 m
Figura: Fonte: White (1998, p. 115).
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Exemplo
Forca resultante
F =√F 2H + F 2
V
F =√
97,92 + 153,82
F = 182,3 MN
Angulo
θ = arctan
(FVFH
)θ = arctan
(153,8
97,9
)= 57,5◦ Figura: Fonte: White (1998, p. 115).
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Exemplo
Exemplo
A cupula hemisferica pesa 30kN e esta cheia com agua efixa ao chao atraves de seisparafusos igualmenteespacados. Qual e a forca emcada parafuso necessaria paramanter a cupula no chao?
Figura: Fonte: White (1998, p. 116).
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Exemplo
= -
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Exemplo
Superfıcie livre imaginaria
Lıquido embaixo dasuperfıcie
A FV sera numericamenteigual ao peso do volumede lıquido imaginarioacima da superfıcie
O lıquido imaginario deveter o mesmo pesoespecıfico do lıquido emcontato com a cupula
O sentido da forca e debaixo para cima Figura: Fonte: White (1998, p. 116).
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Exemplo
Forca vertical
FV = Wcil2 −Whem2 −Wtubo3
Wcil2
Wcil2 = γπr2h
Wcil2 = 9790 · π · 22 · 6
Wcil2 = 738149 N
Figura: Fonte: White (1998, p. 116).
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Exemplo
Forca vertical
FV = Wcil2 −Whem2 −Wtubo3
Whem2
Whem2 = γ1
2
4π
3r3
Whem2 = 9790 · 1
2· 4π
3· 23
Whem2 = 164033 N
Figura: Fonte: White (1998, p. 116).
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Exemplo
Forca vertical
FV = Wcil2 −Whem2 −Wtubo3
Wtubo3
Wtubo3 = γπr2h
Wtubo3 = 9790 · π · 0,032 · 4
Wtubo3 = 28 N
Figura: Fonte: White (1998, p. 116).
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Exemplo
Forca vertical
FV = Wcil2 −Whem2 −Wtubo3
FV = 738149−164033−28 = 574088N
Forca total
FT = 574088 − 30000 = 544088 N
Forca em cada parafuso
FP =544088
6= 90700 N Figura: Fonte: White (1998, p. 116).
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Trabalho
(Paginas 34 a 36 do Manual de Hidraulica). Numa fazendadeseja-se construir uma pequena barragem assentada sobre a rochade comprimento igual a 10 m. Dimensionar uma barragem comsecoes retangular e triangular de modo a satisfazer os criterios deestabilidade.
Se voce possui 1 milhao de reais para o projeto e a barragemsera de concreto, sera possıvel construir a barragem?
Para barragem de concreto, qual barragem e mais barata:Retangular ou triangular?
Considere que a barragem retangular somente possa serconstruıda de alvenaria e a barragem triangular somente commaterial concreto. Para qual valor de h o preco das duasbarragens sera igual?
Johannes Gerson Janzen Forca sobre superfıcies submersas
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Trabalho
Altura da barragemGrupo 1: 1,0mGrupo 2: 1,2mGrupo 3: 1,5mGrupo 4: 1,8mGrupo 5: 0,7mGrupo 6: 2,0mGrupo 7: 2,5mGrupo 8: 3,0m
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