3-errores

03/09/2015

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Métodos Numéricos

Teoría de Errores

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Dra. Norka Bedregal Alpaca

IntroducciónIntroducción

� Magnitud = Resultado de una medición.

� Las magnitudes verdaderas están vedadas para el ser humano

� La magnitud "verdadera" es el promedio estadístico, de varias mediciones.

Ejemplo:

La longitud de un pizarrón es


2

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Metros

2.194

2.192

2.193

2.194

…

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2

Ejemplo:

La longitud de un lápiz es:


3

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Tipo regla Cm.

Regla común 14.3 ?

Vernier 14.32?

Tornillo mic. 14.327?

14.327961734613... ¿Verdadera?



4

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� Pero tampoco son indispensables las medidas verdaderas.

� Desde luego, el total de cifras significativas depe nde del instrumento de medición.

� ¿ Cuantas cifras significativas (que tan preciso de be ser) son necesarias?

Ejemplo

La caja para el colado de un cimiento

� ¿6.38 712693702 mts. ?

� 3 cifras significativas necesarias


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Cifras significativasCifras significativas


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� Cifras significativas:

Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios q ue representan el valor de una magnitud "independiente de las unidades" de medida utilizadas.

� Confiables:

Porque dependen del instrumento de medición utiliza do.

� Necesarias:

Porque depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

Corolarios- Cifras significativasCorolarios- Cifras significativas


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� Corolario 1:

El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.

Ejemplo:

Su estatura es de 1.72 mts = 17.2 dec = 172. Cm (3 ci fras significativas)

� Corolario 2:

Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas.

Ejemplo:

El botón tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 mts = 0.000026 Km. (2 cifras significativas)

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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� Corolario 3:

Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.

Ejemplo:

• 40072 (5 cifras significativas)

• 3.001(4 cifras significativas)

• 0.000203(3 cifras significativas)



8

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� Corolario 4:

Los ceros a la derecha serán significativos solo sí pueden establecerse con alta probabilidad.

Ejemplos:

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ErroresErrores


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� Los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las soluciones exactas

� La discrepancia entre una solución verdadera y una aproximada constituye un error

� Cada vez que se apliquen métodos numéricos es pertinente procurar la minimización de los errores que se pueden presentar.

� Se debe conocer porque se presentan, que tanto se pueden tolerar y que tan buena son las aproximaciones que se obtengan.

� Es importante saber qué se entiende por aproximar y aprender a cuantificar los errores, para poder minimizarlos

Error absolutoError absoluto

� Los errores numéricos se producen con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

� La relación entre un resultado exacto o verdadero X y el valor aproximado X* está dado por:

X = X* + error

� El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no tiene importancia, de manera que el error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:

E = |X - X*|

� El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no toma en cuenta el orden de magnitud de l a cantidad que se está midiendo.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Error absolutoError absoluto

� El error absoluto por si solo no proporciona gran información.

Ejemplo:

EA = | medida verdadera – medida observada|

= 372 mts

¿Error grande o pequeño?


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Error relativoError relativo

� El error relativo normaliza el error absoluto respe cto al valor verdadero de la cantidad medida:

e = |E/X| = |(X - X*)/X|

� El error relativo es adimensional y puede quedar expresado así, en forma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo en términos porcentuales:

e (%) = |E/X| x 100

� Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce el valor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y relativo: E y e sean también verdaderos.

� Normalmente X no se conoce; no tendría sentido considerar una aproximación, si se conociese el val or verdadero


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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� La mejor estimación posible del verdadero valor de X es su aproximación X* y se define entonces una estimac ión del error relativo como:

e* = |E/X*|

� Pero el problema está en cómo estimar E, en ausenci a de conocimiento del verdadero valor de X.

� Algunos métodos numéricos usan un esquema iterativo en los que se hace una aproximación con base en la aproximación previa y esto se hace varias veces, pa ra obtener cada vez mejores aproximaciones:

e* = |(valor actual - valor anterior)/valor actual |

� Los cálculos se repiten hasta que: e* < e 0, donde e 0 es un valor prefijado previamente.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� El error relativo por si solo proporciona bastante información.

Ejemplo:

e = 0.9999927

Error pequeño ?

Observación:

� Los errores pueden compensarse

� Sin embargo, se usa el criterio pesimista, conside rando que los errores se acumulan

� Luego, el error será siempre el error máximo posibl e.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Ejemplo:

Suponga que se tiene que medir la longitud de un pu ente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectiv amente. Los valores son 10 000 y 10 cm, calcule para cada c aso:

a) el error

b) el error relativo porcentual

Solución:

a) El error de medición del puente es

E = 10 000 - 9 999 = 1cm

para el remache es de

e = 10 - 9 = 1cm


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


b) El error relativo porcentual para el puente es de:

e (%) = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

y para el remache es de

e (%) = 1/10 x 100% = 10%

� Por lo tanto ambas medidas tiene un error absoluto de 1 cm

� El error relativo porcentual del remache es mucho m ás grande.

� Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo e n la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Clasificación de ErroresClasificación de Errores

� Los errores numéricos se clasifican, por su origen, en tres tipos:

� errores inherentes,

� errores de redondeo,

� errores por truncamiento

� Cada uno de ellos merece un tratamiento por separad o


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Errores inherentesErrores inherentes

� Se producen por la variabilidad propia de los fenómenos

� Al ser caracterizados a través de cantidades física s, las mediciones conllevan incertidumbre

� Los instrumentos de medición ofrecen sólo una aproximación numérica del valor verdadero de la magnitud medida, pues se calibran para considerar solamente un determinado número de cifras significativas.

� Todas las magnitudes que se manejan en ingeniería son susceptibles a este tipo de errores.

� También provienen de la naturaleza aproximada de la representación, mediante un número finito de dígito s, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el número de dígitos permisible.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Ejemplos:

� Si se necesita usar � en un cálculo, se puede escribir 3.14, 3.1416, 3.1415926535589793..., etc.

� En muchos casos aún una fracción simple no tiene representación decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita de números 3.

� Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es 0.000110011001100. ..


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


Ejemplo

Se mide el largo de un terreno con un dispositivo q ue ofrece una precisión de tres cifras significativas

Se dice que el largo es de 123 m

La longitud realmente puede fluctuar entre 122.5 y 123.5 m.

X ∈ [122.5, 123.5)

X* = 123

� El error inherente absoluto máximo que se puede llegar a cometer cumple con la desigualdad:

Emax �0.5 m;


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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X ∈ [122.5, 123.5)

X* = 123

� El correspondiente error inherente relativo máximo cumple con la desigualdad:

emax � 0.5/122.5 = 0.00408

� El error inherente absoluto medio que se puede cometer cumple con la desigualdad:

Emed � 0.25 m

� El error inherente relativo medio cumple con la desigualdad:

emed � 0.00204


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Equivocaciones humanasEquivocaciones humanas

� Algunos autores consideran dentro de los errores inherentes a las equivocaciones humanas

� Equivocaciones que se cometen al hacer la lectura d e una medida, al transmitirla o al transcribirla

� Estos errores no se pueden estimar en forma sistematizada.

� Por ejemplo, si al transcribir en un documento la densidad de un producto, se anota 1.381 en vez de 1.831, que es la medida leída, la equivocaciones es imposible de manejar y predecir.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Errores por TruncamientoErrores por Truncamiento

� Con el auge cada vez mayor de la informática los sistemas computacionales se han perfeccionado.

� En actualidad los dispositivos digitales pueden realizar un gran número de operaciones sin cometer “errores”, es decir trabajan lo más exacto posible.

� A pesar de ello, al trabajar con estos dispositivos , suele suceder que los procesos u operaciones dan una respuesta equivocada

� Esto puede deberse a:

� Errores humanos (fórmulas incorrectas, errores de lógica en los programas, tipográficos, etc.),

� Errores subyacentes al diseño del método (truncamiento de fórmulas (series))

� Errores inherentes al funcionamiento del dispositivo digital (Aritmética finita).


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un numero infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema.

� Puesto que es totalmente imposible realizar infinit as instrucciones, el proceso debe truncarse.

� En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma.

� Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Ejemplo


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� Esta expresión contiene un número infinito de términos que, desde el punto de vista computacional , resulta imposible evaluar

� Para efectos prácticos es necesario definir cuántos términos de la serie infinita van a usarse para obt ener la precisión deseada

� La siguiente tabla muestra el valor de la serie cu ando x es igual a 1, para diferente número de términos d e la serie

� Puede verse que a medida que aumenta el número de términos incluidos en la evaluación, la diferencia entre los valores consecutivos tiende a cero


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


N° términos e x N° términos e x

1 1.0000 6 2.7167

2 2.0000 7 2.7181

3 2.5000 8 2.7182

4 2.6667 9 2.7183

5 2.7083 10 2.7183

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Errores de redondeoErrores de redondeo

� La representación de los números reales en un ordenador está limitada por el número de cifras de la mantisa

� Luego algunos números no coinciden exactamente con su representación en la máquina.

� Esto es lo que se conoce como error de redondeo.

� El error de redondeo se producen al realizar operaciones aritméticas en las que el resultado produce una mantisa cuyo número de dígitos difiere significativamente del número de dígitos de la mant isa de alguno de los valores numéricos involucrados en la operación.

� Al manejar un determinado número de cifras significativas en los cálculos, el resultado tiene que ser redondeado de alguna manera, sobrestimando o subestimando el valor verdadero.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� Sea X el resultado de una operación aritmética, el cual puede ser expresado mediante notación matemática, en forma normalizada:

F x 10n

� F está formada por m cifras obtenidas en el resulta do, de las cuales, n son enteras.

� Este valor se puede descomponer en dos sumandos, igualmente normalizados:

� el primero formado por t cifras significativas, las t primeras cifras del resultado después del punto decimal: f x 10 n

� el segundo formado por las (m-t) cifras no significativas del resultado: g x 10 n-t


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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� Luego X = F x 10 n = (f x 10n ) + (g x 10n-t )

� En virtud de que F, f y g son números normalizados, su valor absoluto puede tomar algún valor dentro del intervalo semiabierto [0.1, 1).

� F está formado por m dígitos, f está formada por t dígitos y g está formada por (m-t) dígitos.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

0.1 � |F| < 1 ; 0.1 � |f| < 1 ; 0 � |g| < 1

[0.1, 0.999...99] [0.1, 0.999...99] [0, 0.999 ...] m dígitos t dígitos (m-t) dígitos


� El número que se guarda en la memoria del computador puede haber sufrido el redondeo de su última cifra

� En consecuencia, y dado que el computador trabaja con números que tienen una cantidad limitada de dígitos, los errores de redondeo se introducen y propagan a través de operaciones sucesivas.

� El redondeo se puede hacer de dos formas distintas.

� Redondeo Truncado

� Redondeo Simétrico


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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Redondeo truncadoRedondeo truncado� Cuando no se modifica o altera el último dígito que no

se descarta

� Al considerar únicamente t cifras significativas, s e están despreciando (m-t) cifras del resultado

� Es decir, se está redondeando el resultado. Hay do s maneras de hacer ese redondeo:

� la primera consiste en tomar como aproximación numérica X* de la operación realizada el valor

f x 10n

haciendo caso omiso del valor de g x 10 n-t

� la segunda consiste en tomar como aproximación numérica X* el valor

f x 10n

ajustado conforme al valor que tenga el primer dígito de g x 10 n-t


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Redondeo truncadoRedondeo truncado

� Redondeo truncado:

X* = f x 10n (1.7)

� El error absoluto que se comete en cada caso particular es:

E = |g| x 10 n-t

� El error absoluto máximo que se puede llegar a cometer, en cualquier caso, es:

Emax < 1 x 10n-t

� El error absoluto esperado que se puede cometer, considerando una distribución de probabilidad uniforme para los errores, es:

Emed < 0.5 x 10n-t


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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� Redondeo truncado:

X* = f x 10n (1.7)

� El error relativo que se comete en cada caso partic ular es:

e = |g/F| x 10 1-t

� El error relativo máximo que se puede llegar a come ter, es:

emax < 1 x 101-t

� El error relativo esperado o promedio que se puede cometer es:

emed < 0.5 x 101-t


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

� X no se conoce con exactitud, F tampoco, por lo que es imposible calcular los errores verdaderos

� Se recurre a sus estimaciones:

� El error relativo estimado que se comete en cada caso particular es:

e* = |g/f| x 10 1-t

� El error relativo máximo estimado que se puede cometer es:

e*max < 1 x 101-t

� El error relativo esperado estimado que se puede cometer es:

e*med < 0.5 x 101-t


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


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Ejemplo:

Efectuar la suma: 162.4 + 1.769, considerando 4 cif ras significativas con redondeo truncado.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


X = 0.164169 x 103

= 0.1641 x 103 + 0.000069 x 103

= 0.1641 x 103 + 0.6900 x 10-1 n = 3 ; t = 4


36

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� X* = 0.1641 x 103

� E = |X - X*| = |0.164169 x 10 3 - 0.1641 x 103| =

= |0.000069 x 103| = |0.69 x 10 -1|

= 0.69 x 10-1 < 1 x 10-1

� e = |E/X| = |(0.69 x 10 -1)/(0.164169 x 103)|

= 0.4203 x 10-3 < 1 x 10-3

� e* = |E/X*| = |(0.69 x 10 -1)/(0.1641 x 103)|

= 0.4205 x 10-3 < 1 x 10-3

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Redondeo simétricoRedondeo simétrico

� Si el primer dígito que se va a descartar es menor que 5 no se modifica el anterior

� Si el primer dígito que se va a descartar es mayor o igual que 5, el último dígito no descartado aumenta en una unidad.

� Por ejemplo, considere el número real :

� p = 22/ 7 = 3.14285714285142857…

� La representación en coma flotante normalizada con redondeo a seis cifras significativas, tiene los dos resultados siguientes:


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� En las aplicaciones de ingeniería, en general, se u tiliza el redondeo simétrico ya que el redondeo por trunca do supone una pérdida de información.

� Formalizando:


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

f x 10n ; si |g|< 0.5X* =

f x 10n + 1 x 10n-t ; si |g| ≥ 0.5

� El error absoluto que se comete en cada caso particular es:

|g| x 10 n-t ; si |g|< 0.5 E =

|1 - g| x 10 n-t ; si |g| ≥ 0.5

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� El error absoluto máximo que se puede llegar a cometer, en cualquier caso, es:

Emax < 0.5 x 10n-t

� El error absoluto esperado que se puede cometer, considerando una distribución de probabilidad uniforme para los errores, es:

Emed < 0.25 x 10n-t

� El error relativo que se comete en cada caso partic ular es:


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

|g/F| x 10 -t ; si |g| < 0.5e =

|(1-g)/F| x 10 -t ; si |g| ≥ 0.5



emax < 0.5 x 101-t

� Y el error relativo esperado o promedio que se pued e cometer es:

emed < 0.25 x 101-t

� El error relativo estimado que se comete en cada ca so particular es:


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


emax < 0.5 x 101-t

� Y el error relativo esperado o promedio que se pued e cometer es:

emed < 0.25 x 101-t

� El error relativo estimado que se comete en cada ca so particular es:

|g/f| x 10 -t ; si |g| < 0.5e* =

|(1-g)/f| x 10 -t ; si |g| ≥ 0.5

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Ejemplo: Efectuar la suma: 162.4 + 1.769, considerando 4 cifras significativas con redondeo simétrico.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

162.4 = 0.1624 x 103 = 0.1624 x 103

+ 1.769 = 0.1769 x 101 = 0.001769 x 103

_________ ____________164.169 0.164169 x 103

X = 0.164169 x 103

= 0.1641 x 103 + 0.000069 x 103

= 0.1641 x 103 + 0.6900 x 10-1 ; n = 3 ; t = 4

X* = 0.1642 x 103



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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

E = |X - X*| = |0.164169 x 103 - 0.1642 x 103| = |0.000031 x 103| = |0.31 x 10 -1| = 0.31 x 10-1 < 0.5 x 10-1

e = |E/X| = |(0.31 x 10 -1)/(0.164169 x 103)| = 0.1888 x 10-3 < 0.5 x 10-3

e* = |E/X*| = |(0.31 x 10 -1)/(0.1642 x 103)| = 0.1888 x 10-3 < 0.5 x 10-3

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Redondeo simétricoRedondeo simétricoEjercicio: Efectuar la siguiente suma:

0.9999 x 100 0.8888 x 1010.7777 x 1020.6666 x 1030.5555 x 1040.4444 x 1050.3333 x 1060.2222 x 1070.1111 x 108

a) considerando todas las cifras incluidas en los suma ndos.b) efectuando la suma de arriba hacia abajo, con red ondeo

simétrico y t = 4, calcule el error relativo porc entual.c) efectuando la suma de abajo hacia arriba, con re dondeo

simétrico y t = 4, calcule el error relativo porcen tual correspondiente.

d) compare los errores cometidos en los incisos b y c, y saque conclusiones.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

Propagación de erroresPropagación de errores

Sean:X, Y valores exactos

X, Y sus aproximaciones

Ex , Ey los errores absolutos inherentes o por truncamiento, asociados a esas aproximaciones numéricas

ex , ey los errores relativos correspondientes.

Er el error absoluto de redondeo que se puede cometer al realizar cualquier operación aritmética

er el error relativo de redondeo correspondiente.


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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� Suma:

X + Y = (X + Ex) + (Y + Ey) + Er

= (X +Y) + (Ex + Ey) + Er

Ex+y = Ex + Ey + Er

ex+y = (Ex + Ey + Er)/(X + Y)

= [X/(X + Y)](E x/X) + [Y/(X + Y)](E y/Y) + er

ex+y = [X/(X + Y)]e x + [Y/(X + Y)]e y + er


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� Resta: X - Y = (X + Ex) - (Y + Ey) + Er

= X + Ex - Y - Ey + Er

= (X - Y) + (Ex - Ey) + Er

Ex-y = Ex - Ey + Er

ex-y = (Ex - Ey + Er)/(X - Y)

= [X/(X - Y)](E x/X) - [Y/(X - Y)](E y/Y) + er

ex-y = [X/(X - Y)]e x - [Y/(X - Y)]e y + er


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TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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� Producto:

X·Y = (X + Ex)(Y + Ey) + Er

= X·Y + XEy + YEx + ExEy + Er

= X·Y + X Ey + Y Ex + Er

Exy = X Ey + Y Ex + Er

exy = (X Ey + Y Ex + Er)/X Y = Ex/X + Ey/Y + er

exy = ex + ey + er


47

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


� Cociente:

X/Y = (X + Ex)/(Y + Ey) + Er

⁞

= X/Y + Ex/Y – XEy / Y2 + Er

Ex/y = (Ex/Y – XEy) /Y2 + Er

= (YEx - XEy)/Y2 + Er

ex/y = [(YEx - XEy)/Y2 + Er]/(X/Y) = (YEx - XEy)/XY + er

= Ex/X - Ey/Y + er

ex/y = ex - ey + er


48

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

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25


� Los errores se propagan al efectuar las operaciones aritméticas de suma, resta, producto y cociente, respectivamente.

� La propagación de los errores crece en la medida qu e se efectúan más y más operaciones

� Eventualmente llegan a disminuir por efecto de compensación, cuando éstas se combinan.


49

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES


50

FinFin

TE

OR

ÍA D

E E

RR

OR

ES

3-errores

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