Axiomáticas formalizadas

SimbolizaciónEl fin que uno se propone cuando se

coloca bajo forma axiomática una teoría deductiva, es desprenderla de las significaciones concretas e intuitivas sobre las que en primer lugar fue construida, a fin de hacer aparecer claramente el esquema lógico abstracto.

FormalizaciónApenas se cree haber satisfecho a

las ultimas exigencias de la lógica, cuando una exigencia nueva mas útil, sugiere y requiere un esfuerzo suplementario.

El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la formula o estructura de las proposiciones e inferencias.

El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos variables proporcionales y constantes u operadores o conectores lógicos.

Aunque simbolización y formalización sean dos pasos distintos y teóricamente separables, se encuentran, de hecho, estrechamente asociadas: pues la segunda es considerablemente facilitada por la primera, de suerte que la llama casi irresistible.

Del razonamiento al càlculoSe concibe que seria prácticamente

imposible satisfacer exigencias tan estrictas si uno continuara expresándose en el lenguaje usual, con su imprecisión y sus innumerables irregularidades.

Una axiomática formalizada se presenta, así pues, como un conjunto de signos, los unos propios de la teoría, los otros anteriores, provistos de un enunciado de las reglas que se aplicaran en el manejo de estos signos.

Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos:las reglas de estructura, destinadas

a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones).

La metamatemáticaserá en relación a la expresión

matemática lo que la matemática usual es en relación a sus objetos.

El límite de las demostraciones de no-contradicciones

Ya para una lengua formal tan restringida como la aritmética, su no-contradicción no podrá ser demostrada sino mediante una apelación a medios que le sean ajenos.

La axiomatización de la lógica

Una teoría axiomatizada retiraba su significación y su verdad usuales a los términos y postulados sobre los que se edificaba, más para esta edificación hacía un llamado a teorías anteriores cuya verdad y sentido ya se encontraban presupuestos.

El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas.

La metalógica

La axiomatización de la lógica la fuerza al desdoblamiento, no sólo al que es propio de toda axiomática que permite se haga de ella una lectura abstracta o concreta, sino también al que demanda la anterioridad de la actividad constructiva, tomando como referencia toda construcción formal.

La metalogica desempeña en esta forma, en relación con la lógica, el mismo papel que la metamatemática en relación con las matemáticas.