2d busqueda entre adversarios (es) (1)
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Inteligencia Artificial Búsqueda entre adversarios
Primavera 2009
profesor: Luigi Ceccaroni
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Juegos
• En los entornos multiagente (cooperativos o competitivos), cualquier agente tiene que considerar las acciones de otros agentes.
• La imprevisibilidad de estos otros agentes puede introducir muchas contingencias en el proceso de resolución de problemas.
• Los entornos competitivos, en los cuales los objetivos de los agentes están en conflicto, dan ocasión a problemas de búsqueda entre adversarios, a menudo conocidos como juegos.
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3
Juegos
• La teoría matemática de juegos, una rama de la economía, ve a cualquier entorno multiagente como un juego.
• Los “juegos” que se tratan en IA son una clase más especializada:– de suma cero– de dos jugadores (jugador MAX, jugador MIN)– por turnos– de información perfecta (ajedrez, damas, tres
en raya...) vs. información imperfecta (poker, stratego, bridge...) 3
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Juegos• Los juegos son interesantes porque son
demasiado difíciles de resolver.• El ajedrez, por ejemplo, tiene un factor de
ramificación promedio de 35 y los juegos van a menudo a 50 movimientos por cada jugador:– grafo de búsqueda: aproximadamente 1040 nodos
distintos– árbol de búsqueda: 35100 o 10154 nodos
• Los juegos, como el mundo real, requieren la capacidad de tomar alguna decisión (la jugada) cuando es infactible calcular la decisión óptima.
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Decisiones óptimas en juegos
• Un juego puede definirse formalmente como una clase de problemas de búsqueda con los componentes siguientes:– El estado inicial– Una función sucesor, que devuelve una lista
de pares (movimiento, estado)– Un test terminal, que determina cuándo
termina el juego (por estructura o propiedades o función utilidad)
– Una función utilidad5
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios• Aproximación trivial: generar todo el árbol
de jugadas.• Se etiquetan las jugadas terminales,
dependiendo de si gana MAX o MIN, con un valor de utilidad de, por ejemplo, “+1” o “-1”.
• El objetivo es encontrar un conjunto de movimientos accesible que dé como ganador a MAX.
• Se propagan los valores de las jugadas terminales de las hojas hasta la raíz.
• Incluso un juego simple como tic-tac-toe es demasiado complejo para dibujar el árbol de juegos entero.
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios
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Búsqueda entre adversarios• Aproximación heurística: definir una
función que nos indique lo cerca que estamos de una jugada ganadora (o perdedora).
• En esta función interviene información del dominio.
• Esta función no representa ningún coste, ni es una distancia en pasos.
• El algoritmo busca con profundidad limitada.
• Cada nueva decisión por parte del adversario implicará repetir parte de la búsqueda.
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Ejemplo: tic-tac-toe• e (función utilidad) = número de filas, columnas y diagonales completas
disponibles para MAX - número de filas, columnas y diagonales completas disponibles para MIN
• MAX juega con X y desea maximizar e• MIN juega con 0 y desea minimizar e• Valores absolutos altos de e: buena posición para el que tiene que mover• Controlar las simetrías• Utilizar una profundidad de parada (en el ejemplo: 2)
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Ejemplo: tic-tac-toe
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Ejemplo: tic-tac-toe
• Por convención:– las jugadas ganadoras se evalúan a “+∞”– las jugadas perdedoras se evalúan a “-∞”
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Minimax
• Valor-Minimax(n): utilidad para MAX de estar en el estado n asumiendo que ambos jugadores jueguen óptimamente.
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Minimax
• Valor-Minimax(n):– Utilidad(n), si n es un estado terminal
– maxs Sucesores(n)∈ Valor-Minimax(s), si n es un estado MAX
– mins Sucesores(n)∈ Valor-Minimax(s), si n es un estado MIN
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Algoritmo minimax
• Calcula la decisión minimax del estado actual.
• Usa un cálculo simple recurrente de los valores minimax de cada estado sucesor.
• La recursión avanza hacia las hojas del árbol.
• Los valores minimax retroceden por el árbol cuando la recursión se va deshaciendo.
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Algoritmo minimax
• El algoritmo primero va hacia abajo a los tres nodos izquierdos y utiliza la función Utilidad para descubrir que sus valores son 3, 12 y 8.
A
B
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Algoritmo minimax
• Entonces el algoritmo toma el mínimo de estos valores, 3, y lo devuelve como el valor del nodo B.
• …
A
B DC
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Algoritmo minimax
• Realiza una exploración primero en profundidad completa del árbol de juegos.
• Si la profundidad máxima del árbol es m, y hay b movimientos legales en cada punto, entonces la complejidad :– en tiempo es O(bm);– en espacio es
• O(bm) si se generan todos los sucesores a la vez;• O(m) si se generan los sucesores uno por uno.
• Juegos reales: los costos de tiempo son inaceptables, pero este algoritmo sirve como base para el primer análisis matemático y para algoritmos más prácticos.
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Algoritmo minimax
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Algoritmo minimax
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Algoritmo minimax: versión alternativa
función Decisión-Minimax(estado) devuelve una acción
variables de entrada: estado, estado actual del juego
v ← Max-Valor(estado)
devolver la acción de Sucesores(estado) con valor v
función Max-Valor(estado) devuelve un valor utilidad
si Test-Terminal(estado) entonces devolver Utilidad (estado)
v ← -∞
para un s en Sucesores(estado) hacer
v ← Max(v, Min-Valor(s))
devolver v
función Min-Valor(estado) devuelve un valor utilidad
si Test-Terminal(estado) entonces devolver Utilidad (estado)
v ← ∞
para un s en Sucesores(estado) hacer
v ← Min(v, Max-Valor(s))
devolver v
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Poda alfa-beta
• Problema de la búsqueda minimax: el número de estados que tiene que examinar es exponencial con el número de movimientos.
• El exponente no se puede eliminar, pero se puede dividir en la mitad.
• Es posible calcular la decisión minimax correcta sin mirar todos los nodos en el árbol.
• La poda alfa-beta permite eliminar partes grandes del árbol, sin influir en la decisión final.
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Minimax con poda α-βa
cb e = min(-1, ?) = -1
-1 (gana MIN) ?
No tiene sentido seguir buscando los otros descendientes de c.
a
cb
g
f
d
e
0.03
-0.1 -0.05
e= max (-0.1, -0.05) = -0.05
En c: e= min(-0.05, v(g)) por lo tanto en a: e = max(0.03, min(-0.05, v(g))) = 0.03Se pueden pues podar los nodos bajo g; no aportan nada.
?
El valor de la raíz y la decisión minimax son independientes de los valores de las hojas podadas.
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a
cb
id
0.03
he
gf
-0.1
max
min
max
min
max
e(e) = min(-0.1,v(g))Como la rama b ya da un 0.03, Cualquier cosa peor no sirve=> No hay que explorar ge(d) = max(e(e), h)=> Sí hay que explorar h...
La búsqueda minimax es primero en profundidad: en cualquier momento sólo se consideran los nodos a lo largo de un camino del árbol.
Minimax con poda α-β
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Poda alfa-beta• Los dos parámetros alfa y beta describen los
límites sobre los valores que aparecen a lo largo del camino:– α = el valor de la mejor opción (el más alto) que se ha
encontrado hasta el momento en cualquier punto del camino, para MAX
– β = el valor de la mejor opción (el más bajo) que se ha encontrado hasta el momento en cualquier punto del camino, para MIN
• La búsqueda alfa-beta actualiza el valor de α y β según se va recorriendo el árbol y termina la recursión cuando encuentra un nodo peor que el actual valor α o β correspondiente.
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Poda alfa-beta: ejemplo
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Poda alfa-beta: ejemplo
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Poda alfa-beta: ejemplo
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Poda alfa-beta: ejemplo
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Poda alfa-beta: ejemplo
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MAX
Vi
{α, β}Si Vi ≥ β poda βSi Vi > α modificar α
Retornar α
{α, β}Si Vi ≤ α poda αSi Vi < β modificar β
Retornar β
MIN
Vi
Las cotas α y β se transmiten de padres a hijos de 1 en 1 y en el orden de visita de los nodos.
Poda alfa-beta
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Algoritmo Minimax con poda α-βEl recorrido se inicia llamando a la función valorMax con α=-∞ y β=+∞.
En la función valorMax α es el valor que se actualiza.En la función valorMin β es el valor que se actualiza.
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Poda α-β: ejemplo
39
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Poda α-β: ejemplo
40
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Poda α-β: ejemplo
41
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Poda α-β: ejemplo
42
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Poda α-β: ejemplo
43
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Poda α-β: ejemplo
44
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Poda α-β: ejemplo
45
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Poda α-β: ejemplo
46
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Poda α-β: ejemplo
47
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Poda α-β: ejemplo
48
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Poda α-β: ejemplo
49
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Poda α-β: ejemplo
50
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Poda α-β: ejemplo
51
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Poda α-β: ejemplo
52
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Poda α-β: ejemplo
53
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Poda α-β: ejemplo
54
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Poda α-β: ejemplo
55
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A
CB
ED
3
{-∞, +∞}
A
CB
ED
3 5
3{-∞, 3}
A
CB
D
3
HF
{3, +∞}
G
JI
LK
{3, +∞}
{3, +∞}
{3, +∞}
0
Se puede podar I ya que es un nodo min y el valor de v(K) = 0 es < α = 3
{alpha = -∞, beta = +∞}
{-∞, 3}{-∞, +∞}
{3, +∞}
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A
CB
D
3
HF
{3, +∞}
G
J
{3, +∞}
{3, +∞}
5
5
A
CB
D
3
HF
{3, +∞}
G
J
{3, 5}
5
5
NM 7
Podemos podar G pues es un nodo max y el valor de M (7) > β = 5
A
CB
D
3
HF
4
J
4
{3, 5}
5
54