2b. flujo laminar en una rendija estrecha

7/17/2019 2B. FLUJO LAMINAR EN UNA RENDIJA ESTRECHA.

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2B. FLUJO LAMINAR EN UNA RENDIJA ESTRECHA.

(a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos

pare- des paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W de modo

que los !efectos de "orde! carecen de importancia. #acer un "alance diferencial de

cantidad de mo$imiento % o"tener las si&uientes e'presiones para las distri"uciones de

densidad de flujo de cantidad de mo$imiento % de $elocidad

n estas e'presiones * + p , &h + p -&/.

(") 01uál es la relacin de la $elocidad media a la $elocidad má'ima para este flujo3

(c) 4"tener la ecuacin análo&a a la de #a&en-*oiseuille para la rendija.

(d) la"orar un di"ujo si&nificati$o para mostrar por que el análisis anterior no es

aplica"le si B + W.

(e) 01mo puede o"tenerse el resultado del inciso ") a partir de los resultados de

52.63



7i&. 2B.8 7lujo a tra$9s de una rendija con B <i W << :.

SOLUCIÓN:

a) *uesto que el flujo de fluido está en la direccin / $' + ; $% + ; % slo $/ e'iste.

demás $/ es independiente de / % es si&nificati$a a postular que la $elocidad

$/ + $/ (') % la presin p + p (/).

:os =nicos componentes no e$anescentes del tensor de tensiones son >'/ + >/' que

depende slo de '.

1onsideremos ahora una losa rectan&ular del&ada (cáscara) perpendicular a la

direccin ' se e'tiende una distancia W en la direccin ? % una distancia : en ladireccin /.

una tasa de impulso /- equili"rar so"re esta cáscara del&ada de espesor @' en el

lAquido es de la forma

i$idiendo la ecuacin anterior por :W@' % el lAmite se toma como @' se apro'ima a

cero o"tenemos

n este punto tenemos que escri"ir e'plAcitamente qu9 componentes C'/ % C//

están haciendo uso de la definicin de C in qs. D.E-D a 8 % las e'presiones para

>'/ % >// en la ta"la B.D. sto ase&ura que no se pierda nin&una de las formas de

transporte de momento. *or lo tanto o"tenemos



e acuerdo con los postulados que $/ + $/ (') $' + ; $% + ; % p + p (/) $emos que

(i) desde $' + ; el t9rmino $'$/ es cero.

(ii) desde $/ + $/ (') el t9rmino >// es cero.

(iii) desde $/ + $/ (') el t9rmino $/$/ es la misma en am"os e'tremos de la ranura

por lo que los t9rminos con$ecti$os se cancelan.

l lado derecho puede ser compacta % con$enientemente escrito por la introduccin de

la presin * modificado que es la suma de la presin % t9rminos &ra$itacionales.

:a definicin &eneral de la presin modificada es * + p , &h donde h es la distancia

hacia arri"a (en la direccin opuesta a la &ra$edad) a partir de un plano de referencia

de eleccin. *uesto que los puntos del eje / hacia a"ajo en este pro"lema h + - / %

por lo tanto * + p - &/. *or lo tanto *; + p; en / + ; % *: + *: - &:

en / + : entre&a p; - p: , &: + *; - *:.

Fnte&racin conduce a la si&uiente e'presin para la distri"ucin de la tensin.

Gale la pena seHalar que las dos =ltimas ecuaciones se aplican a newtoniana % no a

fluido newtoniano. :a constante de inte&racin 1D se determina despu9s utili/ando

condiciones de contorno.

Sustitu%endo la le% de la $iscosidad de Iewton por >'/ en la ecuacin anterior da

:a ecuacin diferencial de primer orden anterior simplemente se inte&ra para o"tener

el si&uiente perfil de $elocidad

Condiciones límite:



BC1: at x = B; vz = 0

BC2: at x = − B; vz = 0

l uso de estos las constantes de inte&racin pueden ser e$aluados como 1D + ; %

12 + (*; J *:) B2

K (2L:). Sustitu%endo 1D + ; en la ecuacin de tensin la

e'presin final se encuentra para ser lineal dada por

demás la sustitucin de las constantes de inte&racin da la e'presin final para el

perfil de $elocidad como

Se o"ser$a que la distri"ucin de $elocidad de flujo laminar incompresi"le de un fluido

newtoniano en una rendija estrecha es para"lica.

b) :a $elocidad má'ima se produce en ' + ; (donde d$/ K d' + ;). *or lo tanto

:a $elocidad media se o"tiene di$idiendo el caudal $olum9trico por el área de seccintrans$ersal como se muestra a continuacin.



sA la relacin de la $elocidad media a la $elocidad má'ima para el flujo de fluido

newtoniano en una rendija estrecha es 2K8.

sto parece ra/ona"le %a que $/ K $/ ma' + M para el flujo en una tu"erAa circular.

*ara una rendija con un área de seccin trans$ersal más &rande lle$a el fluido queflu%e a una $elocidad ma%or que para el flujo en una tu"erAa circular.

sA $/ K $/ má' para rendijaN $/ K $/ ma' para un tu"o circular.

c) :a tasa de flujo de masa es el producto de la densidad el área de la seccin

trans$ersal (2BW) % el promedio de $elocidad $/.

w = ρ (2BW) v

z

w = ρ (2BW) 2 (P

0− P

L )B

3 2µL

w =2 (P

0− P

L)B Wρ

3 µL

:a $elocidad de flujo frente a la caAda de presin (w $s. @*) e'presin anterior es elanálo&o de hendidura de la ecuacin de #a&en *oiseuille (ori&inalmente para tu"os

circulares).

s un resultado que ca"e destacar porque proporciona el punto de partida para flujo

pro&resi$o en muchos sistemas (flujo radial entre dos discos circulares paralelosO % el

flujo entre dos esferas conc9ntricas estacionarias).

d)l análisis anterior no es aplica"le si B + W de"ido a la presencia de una pared en

%+ ; % + B causarAa $/ $ariar si&nificati$amente en P%Q además de ' entonces$/ + $/ (' %).

Si W + 2B entonces una solucin puede o"tenerse para el flujo en un conducto

cuadrado.

2

3



e)

e 52.6 tenemos

1omo para este caso se tra"aja con un solo fluido entonces se reali/an las si&uientesconsideraciones

D)

*or lo que las ecuaciones se transforman de la si&uiente manera

*or lo tanto

2) " + B

8) Rultiplicar por BW ρ



:a relacin será

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