2al

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Resolución de ecuacionesde segundo grado(por factorización)

Resolución de una ecuación de segundo gradocon una incógnita por factorización

Forma general:

ax2 + bx + c = 0

Siendo: "a", "b" y "c" constantes:

a 0x Incógnita

Por ejemplo:

* x2 - 1 = 0

* x2 - 4x + 3 = 0

* 2x2 + x - 6 = 0

* x2 + x + 1 = 0

Ejm.:

x - 1 = 0 7x - 5 = 0

Una ecuación cuadrática pura esaquella que carece de término "x".

2

2

OjO

Todo número quesatisface a una ecuacióncon una incógnita recibeel nombre de raíz osolución de esa ecuación.

OjO

9

90

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por factorización)

3er Año de Secundaria

Métodos de Resolución de las Ecuaciones de SegundoGrado.

La resolución de una ecuación cuadrática puederealizarse sea por factorización o completandocuadrados, ambos métodos se basan en los siguientesteoremas.

TEOREMA : Sean "a" y "b" en IR, entonces:

ab = 0[a=0] [b=0]

Como consecuencia de este Teorema tenemos elsiguiente resultado:

TEOREMA: Sean "a" y "b" en IR, entonces:

a2 = b2 [a=b a=-b]

Demostración :

baba 0ba0ba

0)ba)(ba(0baba 2222

Debido a la notación:

)ba()ba(ba

El teorema previo también se puede enunciar como:

TEOREMA: Sean "a" y "b" en IR, entonces:

a2 = b2 a = ± b

1º Método:

Sea: ax2 + bx + c = 0 a 0, c = 0

La ecuación se reduce a:ax2 + bx = 0

Se puede factorizar así:x(ax + b) = 0

Que equivale a dos ecuaciones lineales:x = 0 ; ax + b = 0

Con las soluciones 0 y b/a, que son raíces de lasecuaciones de: ax2 + bx = 0.

Ejercicio básico:

* Completa el siguiente cuadro según la notación pedida:

EcuaciónCuadrática

MenorSolución

MayorSolución

x2 – 3x = 0 0 3

x2 + 5x = 0 -5 0

x2 – 6x = 0

x2 + 7x = 0

3x2 + 5x = 0

2do Método:

Sea: ax2 + bx + c = 0 a 0; b = 0

La ecuación se reduce a:

ax2 + c = 0

Entonces las raíces son:ac

Ejm:

Sea: x2 4 = 0

Se puede factorizar así:(x + 2)(x 2) = 0

Que equivale a las dos ecuaciones lineales:

x + 2 = 0 x 2 = 0

Con las soluciones 2 y 2, que son raíces de x2 4 = 0.

¿ Q u é o p in a s s i re s u e lv e s d ee s ta fo rm a ?

S ie n d o : x 2 – 4 = 0T e n d re m o s :

2x4x 2

O jO

Ejm:

Sea: 2x2 21 = 0

Tendremos:221

x2

y las raíces son:242

221

x


ALGEBRA

Ejm:

Sea: x2 + 9 = 0

Tendremos: x2 = 9

Para este tipo de ecuación necesitas saber que: i1 (este tipo de número lo estudiaremos el próximobimestre). Las raíces son: .i39x

Ejercicio básico

Completa el siguiente cuadro, según la notación pedida.

EcuaciónCuadrática

MenorSolución

MayorSolución

x2 – 16 = 0 -4 4x2 – 25 = 0x2 – 100 = 04x2 – 9 = 049x2 – 81 = 0

3° Método:

Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0

Se puede factorizar así:(mx + n)(px + q) = 0

Siendo:mp = a, nq = c,mq + np = b

Que equivale a dos ecuaciones lineales:

mx + n = 0 px + q = 0

Con las solucionesn q

ym p .

Que son raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0

Ejemplo:

Resolver:

x - 5x + 6 = 02

x

x

-3

-2

(x - 3)(x - 2) = 0


x 3 = 0 x 2 = 0

Con las soluciones 3 y 2, que son raíces de la ecuación:

x2 5x + 6 = 0

Ejemplo:

Resolver:

0)1x)(5x3(1x5x35 = 0x2x3 2

1 x35

x

01x05x3

5C.S. ; 1

3

Ejemplo:

Resolver:

0)2x)(2x(2x2x

04 x4x 2

La ecuación tienela raíz doble x = 2

OjO

2 x2x02x02x

92



4° Método

Cuando una expresión cuadrática: ax2 + bx + c = 0, nose puede factorizar en una forma sencilla entonces setrata de conseguir el CUADRADO DE UN BINOMIO demanera de convertir dicha expresión en otra de la forma:

(x + d)2 + t

donde "d" y "t" pueden ser inclusive negativos o ceros.

De los binomios al cuadrado:(x + d)2 = x2 + 2(d)(x) + (d)2(x d)2 = x2 2(d)(x) + (d)2

Vemos que en un principio debe obtenerse el término2(d)(x) en cualquiera de los dos casos.

1)4x(

15164)x)(4(2x

1544)x)(4(2x

15)x)(4(2x

15)x8x(15x8x

2

22

222

2

22

Este proceso es conocido como la COMPLETACIÓN DECUADRADOS.

Como una regla para este proceso, tenemos que:

1° Al coeficiente de "x", en este caso 8, se le toma la mitadobteniéndose así el valor de "d":

428

d)x)(d(2x8

Ejercicio BásicoResuelve las ecuaciones de segundo grado, marca con en el casillero respectivo a las soluciones de cada ecuación:

x - 3x + 2 = 02

x + 5x + 6 = 02

x - 7x + 12 = 02

x - x - 20 = 02

x + 2x + 1 = 02

x + 6x + 9 = 02

x - 10x + 25 = 02

Ecuaciónde segundo

grado

SOLUCIONES

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2° Luego, se suma y resta "d2", en este caso 16, para queno se altere la expresión original.

3° Por último se establece el cuadrado perfecto y el términoindependiente luego de realizar los cálculoscorrespondientes en forma adecuada. Así obtenemos:

x2 8x + 15 = (x 4)2 1

Ejemplo: Completando cuadrados, resolver: x2 6x + 8 = 0

Sol.: [x2 2(3)x + 32] - 32 + 8 = 0(x 3)2 1 = 0

Se puede factorizar así:(x 3 + 1)(x 3 1) = 0

(x - 2)(x - 4) = 0

Que equivale a dos ecuaciones lineales:x 2 = 0 x 4 = 0

Con las soluciones 2 y 4 que son las raíces de:

x2 6x + 8 = 0

Ejemplo:

Resolver la ecuación: x2 + 4x + 1 = 0

Completando cuadrados:

[x2 + 2(2)x + 22] 22 + 1 = 0(x + 2)2 3 = 0


ALGEBRA

Se puede factorizar así:

0)32x()32x(


032x032x

Con las soluciones 32 y32 que son raícesde: x2 + 4x + 1 = 0

Para aplicar este método el coeficientede x debe ser 1 y el número que hayque sumar a los dos miembros ha de serel cuadrado de la mitad del coeficientede "x".

2

OjO

Recuerda

Ejemplo:

R e s o l v e r : 3 x

2 5x + 1 = 0

Dividiendo por 3.

031

x35

x2

Completando cuadrados.

031

65

65

x65

2x22

2

03613

65

x2

Se puede factorizar así:

0613

65

x613

65

x


0613

65

x0613

65

x

Con las soluciones:613

65

y613

65

que son las

raíces de: 3x2 5x + 1 = 0.

Ejercicios Básicos

* Hallar el término que se debe sumar a las siguientesexpresiones para transformarlas en un cuadradoperfecto.

a) x2 2x

b) x2 + 4x

c) y2 + 5y

* Resuelve formando un cuadrado perfecto:

a) x2 2x 3 = 0

b) x2 4x 5 = 0

c) x2 + 8x + 12 = 0

Ecuaciones reducibles a una forma cuadrática.

El siguiente problema fue descubierto en los escritosdel matemático Hindú Mahavira.

La cuarta parte de un hato de camellos fue vista en elbosque, el doble de la raíz cuadrada del total de camellosdel hato se fue a las laderas de la montaña, y tres vecescinco camellos fueron vistos en la orilla de un río. ¿Cuál esla medida numérica del hato de camellos?

La ecuación x15x2x41

, que modela lasituación descrita por Mahavira no es cuadrática. Noobstante por medio de una sustitución de la variable x, seobtiene una ecuación cuadrática. Para resolverlas, primerohacemos una sustitución y resolvemos para la nuevavariable. Después, sustituimos la variable original yresolvemos de nuevo.

* Ejemplo: Resolver: x4 17x2 + 16 = 0

Sol.: Sea: = x2

Sustituir ""en vez de "x2"2 17+ 16 = 0( 16) ( 1) = 016 = 0 1 = 0= 16 = 1

Ahora sustituir "x2" en vez de "".

x2 = 16 x2 = 1x = 4 x = 1

C.S. {-4; 1; +1; +4}

94



* Ejemplo: Resolver: 1x3x

Transponiendo términos: 1x3x

Elevando al cuadrado: 1x2x3x

O sea: 1x

Finalmente, elevando al cuadrado los dos miembros de

1x se obtiene: x = 1.

Comprobación:

1121131

Es muy importante comprobar losvalores obtenidos ya que al aplicar

este método se introducen,frecuentemente, soluciones extrañasa la ecuación que habrá de rechazar.

OjO

¡No olvides!

Ejercicios básicos

* Resolver:

a) 31x2

b) 64x5

c) 0x31x

* Ejemplo: Resuelve: 04x3x

Sol.: Sea: x

Sustituir ""en vez de x2 3 4 = 0( 4) ( + 1) = 0 4 = 0 + 1 = 0 = 4 = 1

Ahora sustituir x en vez de "".

1x4x x = 16

La ecuación 1x notiene solución pues:

0x

OjO

C.S. {16}

Ejercicio básico

* Resuelve:

a. x4 - 4 = 0

b. x4 - 10x2 + 9 = 0

c. 010x3x

Ecuación irracional

Es aquella que tiene una, o más incógnitas bajo el signode una raíz (radical) por ejemplo:

3

x 3 x 1 y

y y 4 son ecuaciones irracionales.

Para resolver una ecuación irracional, se despeja unode los radicales, aislando en un miembro de la ecuación, yse pasan todos los demás términos al otro miembro.Elevando ambos miembros de la ecuación a una potenciaigual al índice del radical, desaparecería dicha raíz. Esteproceso se continúa hasta que se hayan eliminado todoslos radicales presentes.


ALGEBRA

1. Resolver la siguiente ecuación:x2 - 4x = 0

x1 = ___________; x2 = ___________

2. Resolver la ecuación dada:5x2 +4x = 0

x1 = ___________; x2 = ___________

3. Resolver la siguiente ecuación:x2 = 81

x1 = ___________; x2 = ___________

4. Resolver la ecuación dada:4x2 = 25

x1 = ___________; x2 = ___________

5. Resolver:x2 + 15x + 56 = 0

x1 = ___________; x2 = ___________

96



6. Resolver la siguiente ecuación:3x2 + 11x + 6 = 0

x1 = ___________; x2 = ___________

7. Resolver la ecuación dada:x2 - 16x + 55 = 0

x1 = ___________; x2 = ___________

8. Resolver la ecuación dada:x(x - 5) = 6

x1 = ___________; x2 = ___________

9. Resolver la siguiente ecuación:x2 + 10 = 7x

x1 = ___________; x2 = ___________

10.Resolver la ecuación dada:x4 - 13x2 + 36 = 0

x1 = ___________; x2 = ___________

x3 = ___________; x4 = ___________


ALGEBRA

Bloque I

1. Resolver las ecuaciones siguientes:

a) x2 15x = 0

b) x2 + 6x = 0

c) 3x2 - 5x = 0

2. Resolver las ecuaciones cuadráticas puras siguientes:

a) x2 40 = 9

b) x2 400 = 0

c) 2x2 + 34 = 9 + 3x2


a) x2 + x = 6

c) x2 = 7x + 8

b) x2 = 5x + 24

4. Resolver las ecuaciones siguientes completandocuadrados.

a) x2 + 4x 5 = 0

b) x(x 3) = 4

c) 2x2 = x + 1

5. Resolver las ecuaciones:

a) x4 13x2 + 36 = 0

b) x4 3x2 10 = 0

c) 04x9x2


a) 22xx2

b) 1x2x2

c) 2x7x2

7. Hallar una raíz de: (x + 2)2 + (x + 3)2 = (x + 4)2

a) 1 b) 3 c) 1d) 2 e) 2

8. Resolver:

31

31

x31

x

a)32

b)32 c)

32

d)31

e)31

9. De la figura:

x10

x + 102

Hallar "x"

a) 5 b) 6 c) 16d) 10 e) Hay 2 correctas

10.Resolver:

3x9

x3x

x3

a) 3 b) 3 c) 3d) 9 e) 9

Bloque II

11.Resolver:

32

32

32

32x

a) 2 b) 1 c) 1d) 3 e) 4

12.Si:

...666x

entonces "x" es:

a) -2 b) 0 c) 3d) a y c e) a o c

Ejercicios

98



13.En la ecuación: 0nx2031

x 2

una de sus raíces es 0,8. ¿Cuánto vale la otra raíz?

a) 0,50 b) 0,60 c) 0,75d) 10,5 e) 10

14.Según:

(x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2 + (x + 5)2 =(x + 6)2 + (x + 7)2 + (x + 8)2 + (x + 9)2

Se cumple:

a) 362 + 372 +382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442

b) 212 + 222 +232 + 242 + 252 = 262 + 272 + 282 + 292

c) 302 + 312 +322 + 332 + 342 = 352 + 362 + 372 + 382

d) 102 + 112 +122 + 132 + 142 = 152 + 162 + 172 + 182

e) 152 + 162 +172 + 182 + 192 = 202 + 212 + 222 + 232

15.Sabiendo que "x1" "x2" son raíces de la ecuación:(a2 b2)x2 + (b2 c2)x + (c2 a2) = 0

Indicar: x x

1 1 2 2x x x x2 1

a) 1 b)2

22

acb c)

22

22

caab

d)22

22

baac e)

2

2

ac

16.Resolver:

7)x4()x3(

)x4()x3(22

33

e indicar la raíz

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

17.Resolver la ecuación:

5x1

x21

x1

x2

indicar una solución

a) -2 b)21 c) 1

d)21

e) 4

18.Resolver: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = x(x + 5) + 6dando la suma de soluciones enteras.

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

19.Hallar la suma de valores que verifican la ecuación:

2x

x5621

a) 6 b)9

17c) Sólo cumple 2

d) Sólo 2 e) 3x


71x3xx3x 22

hallar la suma de soluciones

a) 1 b) 2 c) 3d) 3 e) 8


ALGEBRA


a) x2 - 17x = 0

b) 2x x

05 4


a) x2 24 = 40

b) 3x2 243 = 0

3. Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes:

a) x2 x = 12

b) x2 = 7x +18

4. Resolver las ecuaciones siguientes completandocuadrados:

a) x2 + 5x + 6 = 0

b) x(x 2) = 3


a) x4 20x2 + 64 = 0

b) x4 x2 20 = 0


a) 33xx 2

b) 1x5x5

7. Hallar una raíz de: (x 4)2 + (x 3)2 = (x 2)2

8. Si: xz > 0; 6x2 + 5x = 0 5z2 + 6z = 0

hallar el valor de: x z

9. Resolver:

91

41

x41

x

10.Indicar la mayor raíz de: (x 5)(x 2) = 18

1. Determinar un número real, negativo, cuyo cuadradodisminuido en quince unidades es igual a su doble.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

2. Indicar el conjunto solución:

8x55x8xx15x2

a) {11} b) {5} c) {5;11}d) e) {3}

3. Resolver: 2abx2 - (b2 - 6a2)x - 3ab = 0; (ab 0)indicar una solución.

a)ab

b)a2b

c)b2a3

d)ba

e) ab

4. Sea la ecuación:

6x3x13x2 indique el conjunto solución:

a) {-2;-7} b) {6} c) {-9}d) {-2} e) {-7}

5. Resolver:

3x12x3

3x3

5x8

2x7

a) {9} b) {3} c) {3;9}d) {9;11} e) {2;9}

Tarea domiciliaria

Autoevaluaciòn

100



11.De la figura:

x+1 x+2

x+3

hallar "x"

12.Resolver:

2x8

x2x

x4

13.Señale una raíz de:

213x2x5x3x4

2

2

14.Hallar una raíz de:

65

4x1

3x1

15.Resolver:

x2x1

4x2

x2x4x

222

16.Resolver:

10x 3

103

103

103

3

17.Sea:

...121212122x

calcular: x2 + 219.

18.Si una de las dos raíces positivas de la ecuación:2x2 - (p2 - 5)x + 3p = 0; es: 4

hallar la otra raíz.

19.Resolver:

xnm

xmn

nm22

222

20.Resolver: (x2 - 6x)2 - 2(x2 - 6x) = 35indicar la mayor solución.



Radicación

Se llama radicación a la operación matemática a travésde la cual, dada una variable real "x" y un número natural"n", existe un tercer número "r" llamado raíz, siempre que:

rn = x.

Es decir:

nn rxrx:Si

Donde:

n : índice (n IN ; n 2)x : radicando o cantidad subradical.r : raíz n-ésima de "x".

Ejemplos:

33

55

44

1010

27 3 27 3

32 2 32 (2)

1 1 1 181 3 81 3

1024 2 1024 2

OjO

Se omite el índicen n

2=

Ley de signos.

IR

2n

2n

2n 1

2n 1

#Positivo

#Positivo

#Negativo

Recuerda:

OjOnúmero imaginario

Teoremas:

Siendo IN 0{a;b} R ; m,n {1}, entonces:

I. Raíz de un producto

n n nab a. b

Ejemplo:

77 7

5 5 5

6 3. 2

15 5. 3

8 4. 2 2 2

18 9. 2 3 2

II. Raíz de un cociente

n

nn

a a (b 0)

b b

Ejemplo:

* 3

33

2

525

* 5

55

7

373

* 34

27

4274 3

3

33

* 23

4

343

Radicaciónalgebraica10

102

Radicación Algebraica


III. Raíz de una raíz

m n mna a

Ejemplo:

* 637 9 22

* 204 5 219219

* 26464 63

Ejercicio básico

* Calcular:

a) 3 27 __3__ _____ = 27

b) 3 64 _____ _____ = 64

c) 4 625 _____ _____ = 625

d) 3 8 _____ _____ = 8

e) 7 128 _____ _____ = 128

Extraer un factor de un radical.

Para extraer un factor del radical, se descompone elradicando en la multiplicación de otras cantidades, uno delos cuales tiene por exponente el mayor múltiplo del índicey se divide este exponente entre el índice de dicha raíz.

Ejemplo:

* 5653.25.3.25.3.2180 2222

*33333 333 33 10353.253.25.3.2270

*5 2325 25 155 105 21510 cbac.b.acba

Introducir un factor en un radical.

Para introducir un factor en un radical de índice ‘‘n’’, seelevará el factor a la potencia n-ésima y se multiplicará porel radicando.

Ejemplo:

* 205)2(52 2

* 3 3 3 36 2 (6)2 432

* 5 105 5252 yxy)x(yx

Ejercicio básico

* Simplifica los siguientes radicales.

a) _____________12 c) _____________yx3

b) ______________27 d) _________yx3 36

* Simplifica los siguientes radicales:

a) _____________92 c) ________

b

a2

b) ____________647 d) ___________

yx

36

3

n m npa amp

Corolario

Ejemplo:

2 5 105 101 2 2

3 2 3 6 62 2 2 4

16 1

2266 32 2

18 1

448 24 14

2 2 2 4

5 5 5 625

9 3 3 3

x x x x


ÁLGEBRAEjercicio básico

* ¿A qué es igual?

a) 24

4

b) __________276

c) _____________86

d) _____________3210

e) _____________818

Clasificación de los Radicales

Radicales Heterogéneos.

Son aquellos radicales tales que sus índices sondiferentes. Ejemplo:

3

75

33

y2,3x

a,xy

4,2

Radicales Homogéneos.

Son aquellos radicales que tienen igual índice.

Ejemplo:

homogéneosSonxyxy;xx;23;7

homogéneosSonxx7;yx5;x2;3

homogéneosSonxy;x;3;2

55 255

3 2333

Índice: 2

Índice: 3

Índice: 5

Radicales Semejantes

Son aquellos radicales que además de tener el mismoíndice, poseen la misma cantidad subradical.

Ejemplo:

* a; b a; m a; 3 a Son semejantes Índice: 2

Cantidad subradical: a

* 5 5 5 52 xy ; 3 xy ; y xy ; mn xy son semejantes Índice: 5

Cantidad subradical: xy

Escribe tres radicales semejantes a cada uno de lossiguientes radicales:

;a2M 5 _______________________________

;yxxA 3 2 ____________________________

Homogenización de radicales.

Para dos o más radicales heterogéneos que quisiéramosexpresarlos con un índice común, bastará con queencuentres el m.c.m de los índices que será el nuevo índice.

Ejemplo:

63 3;5;2

El M.C.M de (3;2;6) = 6

Luego:

666

623 323 2

3;125;4

3;5;2

Ejercicios básicos

I. Encuentra un índice común a los siguientes radicales.

a) _____________________2;2;2 63

b) ____________________9;7;5 54 33

II. Responde V ó F

a) 4 813 ( )

b) 36 24 ( )

c) 10 2433 ( )

104



Operaciones con radicales

Adición y Sustracción.

La suma o sustracción algebraica de radicalessemejantes se efectúa como la de términos semejantes,es decir, se multiplica la suma de sus coeficientes por elradical común.

Ejemplo:

Calcular la suma indicada:

5032318224M

Sol.:

Primero simplificaremos los términos, en caso de quesea posible. Así tenemos:

25M

2)51264(M

252122624M

2524323224M

225216329224M

5032318224M

Multiplicación y división.

Para multiplicar dos radicales primero se reducen almismo índice, en caso de que sea necesario.

Ejemplo:

3por2rMultiplica 3

Sol.:

El M.C.M. de los índices 3 y 2 es 6; por tanto,convertiremos cada radical al índice 6. Así resulta:

663

21

662

31

3

27333

4222

De donde:

63

663

10832

27432

La multiplicación de expresiones de dos o más términos,ya sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúaal igual que con expresiones algebraicas ordinarias.

Ejemplo:

y3x2pory2x3:rMultiplica

Sol.:

Se ordenan las expresiones y se procede como en lamultiplicación ordinaria, la operación se dispone comosigue:

y6xy5x6

y6xy9

xy4x6

y3x2

y2x3

Para dividir un radical entre otro, estos deben tener elmismo índice.

Ejemplo: Efectuar las divisiones indicadas:

a) 52

10

2

10

b)6

6

6

33

9

27

3

3

c)35 9

35 5

35 14

7

5 2

xx

x

x

x

Ejercicio básico

Efectúa:

a) ________________252322

b) ____________343533 333

c) _____________________52 33

×


ÁLGEBRA

2n 2nx

Teorema

|x|

0x;x0x;x

|x|

OjO

No Olvidar

Ejemplo:

2

4

2

2

100 |10 | 10

(2) | 2 | 2

16 en los reales.

125x 5 5x

5 5x; si : x 0

5 5x;si : x 0

x 4x 4 x 2

x 2;si : x 2 0 x 2;si : x 2 0

Ejercicios Básicos

I. Efectuar:

a) ________________)3( 2

b) _______________)4( 2

II. Reducir las siguientes expresiones:

a) _______________________222

b) ____________________322

106



1. Calcular:543 326252781R

2. Transformar los siguientes radicales:

a) 12

b) 647

c) 385

3. Transformar los siguientes radicales:

a) 22

b) 34

c) 3 25

4. Transformar los siguientes radicales de acuerdo sea el caso:

a) 5 (radical de índice 6)

b) 3 11 (radical de índice 6)

c) 4 4 (radical de índice 2)

d) 6 27 (radical de índice 2)

5. Efectúa:

a) 232522 b) 333 xy2xy3xy8

Test de Aprendizaje


ÁLGEBRA

6. Efectúa:

a) )27()3( 44 b) )52()35(

7. Homogenizar los siguientes radicales:

3 35

8. Efectúa:

a) )23(3 b) )22(25

9. Efectúa:

a) )23()23( b) )35()35(

10.Efectúa:

a) 2)35( b) 2(7 5)

108



Bloque I

1. Expresar los radicales en su forma más simple.

a) 72

b) 182

c) 2a5053

d) 3 762 cba

2. Transformar en radicales enteros, es decir, en radicalesde coeficiente 1, los siguientes radicales:

a) 23

b) 34

c) xx2

d) xxy2

3. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda en elrecuadro entre cada par de radicales.

a) 43 32

b) 3 115

c) 2352

4. Del siguiente grupo de radicales:

x9;x52

;x;m7;x2;m;x5;x4 334333

encierra en un círculo los que son semejantes a:

3 x54

5. Efectuar las siguientes sumas:

a) 124827

b) 18385

c) 32750327

d) 321850298

6. Efectúa:

a) )52()53( b) 1262

c) )12()6( 33 d) 3 23 43 x6x182

7. Realiza las siguientes operaciones:

a) 5)25()35(

b) )323()232(

c) 72)17( 2

d) 2 2(3 2)(6 1)

8. Reducir:

752731248J

a) 2 b) 3 c) 23

d) 23 e) 32

9. Efectuar:

634 93824U

a) 0 b) 1 c) 3

d) 5 e) 2

10.Efectuar:

3233132A

a) 32 b) 0 c) 326

d) 16 e) 316

Bloque II

11.Calcular:

252523232727N

a) 10 b) 11 c) 13d) 15 e) 17

Ejercicios


ÁLGEBRA

12.Calcular:

102

3222

223M

a) 4 b) 7 c) 31d) 6 e) 9

13.Efectuar:

2

3232A

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

14.Efectuar:

131313T 44

a) 1 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

15.Efectuar:

1982220572275382T

a) 104 b) 1040 c) 1024

d) 1052 e) 1054

16.Efectuar:

1313222

132

132

a) 18 b) 9 c)29

d)427

e) 27

17.Simplificar:

5075

5075245S

a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 5

18.Reducir:

6

64

363

1255225

54416K

a)51

b)1251

c)2

125

d)1254

e)52

19.¿Cuál de las raíces es menor?

43 36ó11ó8

a) 8 b) 3 11 c) 3 6

d) 11 e) 6

20.Simplificar:

4x1

2

x4

x1

x42x28Y

22

2

22

a) 2x4 b) 2x42 c) 4x2

d) 4x2 e) 4x2 2

110



1. Reducir:

98])15()15[(])13()13[( 222222

a) 3 b) 2 c) 3 3

d) 4 2 e) 5

2. Hallar el valor de "x" en:

54)2562( x663

a)21

b)31

c)61

d) 2 e)51

3. Efectuar:

4)231827(

9)23812( 22

a) 7 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

4. Reducir:

(5 3 5 3 11 2)(5 3 5 3 11 2)

a) -2 b) -3 c) -4d) -5 e) -7

5. Calcular:

)kk(100

1k

4

indicar la parte racional

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

1. Expresar los radicales en su forma más simple:

a) 45 b) 3 65cab

c) 125 d) 4 943 zyx32

2. Transformar en radicales enteros, es decir en radicalesde coeficiente 1, los siguientes radicales:

a) 32 b) 33 2yx4

c) xx3 d) 5x3y

yx3


a) 4 4 2

b) 3 4 27

c) 5 7 2

d) 52 25

4. Del siguiente grupo de radicales:

444344 m10;a9;m7;m;a32

;m3;a4;m5

Encierra con un círculo los que son semejantes a:

4 m2

5. Efectuar las siguientes sumas.

a) 7298508

b) 753274

c) 333 5416322

6. Efectúa:

a) )23()24( b) 5 255 2 x9x27x

c) )7()52( d) 235

Tarea domiciliaria

Autoevaluaciòn


ÁLGEBRA


a) 10352

b) 2543515

c) 34232

8. Simplificar:

2422325

9. Reducir:

72825032J

10.Efectuar:105336 422439U

11.Efectuar:

12122848327375A

12.Efectuar:

27322123A

13.Calcular:

73732626210210N

14.Calcular:

122

3322

332M

15.Efectuar:

2

8383A

16.Efectuar:

151515T 44

17. ¿Cuál de las raíces es mayor?

2063 32;15;3;6

18.Efectuar:

8 87 7837263T

19.Simplificar:

22 aa4425a10aO

Si: -5 < a < 2

20.Reducir:

2222 aab2bbab2a S siendo: 0 < a < b



Transformación deradicales dobles en

radicales simples

Radicales Dobles

Son aquellos radicales que se caracterizan porque dentrode un radical, se encuentran contenidos uno o más radicalescon otras expresiones a través de operaciones de adición ysustracción.

Ejemplo:

3BA•

DCBA•

BA•

1 caso. Radicales de la forma: BA

A B x y ; (x > 0 y > 0, x > y)

Elevando al cuadrado:

xy2yxBA

De donde:x + y = A

4xy = B 2 B

x Ax 04

2A A Bx

2

Luego:2

BAA2

BAABA

22

Por lo tanto:

A C A CA B

2 2

Donde: BAC 2 Además: A2 - B es cuadrado perfecto

Ejemplo:

Transformar a radicales simples:

a)

232

7112

7118311

723x8211C

23811:tieneSe8311

b)

252

372

37407

3407C407 2

c)

21

25

223

223

53

253C53 2

Regla Práctica

También se puede transformar BA a radicalessimples formando un trinomio cuadrado perfecto para locual debemos recordar lo siguiente:

ab2baba2

Lo aplicaremos de la siguiente manera:

ba

babaab2baBA2

Ejemplo:

353x25232512528

252x5225407

232x3223245

11

114

Transformación de Radicales dobles en Radicales simples


EJERCICIOS BÁSICOS

I. Une las expresiones equivalentes con una línea

• 625 • 22

• 407 • 23

• 608 • 25

• 2611 • 310

• 549 • 5 2

• 12013 • 23

• 326 • 35

II. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda en elrecuadro entre cada par de radicales.

a) 9 2 14 5 2

b) 6 2 10 2 24

c) 7 1 8 28

d) 12 6 3 3 3

e) 16 8 3 223


ÁLGEBRA

1. Descomponer el radical doble en radicales simples:

a) 35212 b) 33214

2. Descomponer los siguientes radicales dobles:

a) 7211 b) 8410

3. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales simples:

a) 3612 b) 5821

4. Transformar los siguientes radicales simples, en un radical doble:

a) 25 b) 37

5. Transformar los siguientes radicales simples, en un radical doble.

a) 522 b) 233

Test de Aprendizaje

116



6. Transformar los siguientes radicales simples, en un radical doble.

a) 23 b) 35

7. Efectuar:

272121227

8. Transformar en radicales simples:

53


7 13

10.Transformar en radicales simples:

6x5x25x2 2


ÁLGEBRA

Bloque I

1. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicalessimples:

a) 1528 = ___________________

b) 63216 = __________________

c) 66217 = __________________

d) 56215 = __________________

e) 65218 = __________________


a) 124 = ____________________

b) 245 = ____________________

c) 206 = ____________________

d) 487 = ____________________

e) 608 = ____________________


a) 2611 = ______________________

b) 348 = ______________________

c) 21217 = _____________________

d) 3819 = ______________________

e) 3612 = ______________________

4. A continuación se presentan radicales simples,transformarlos en radical doble.

a) 27 = _________________________

b) 311 = ________________________

c) 17 = __________________________

d) 15 = __________________________

e) 34 = __________________________

f) 25 = __________________________

g) 322 = ________________________

h) 2 5 4 = _________________________

5. Efectuar:

487124M

a) 22 b) 2 c) -1d) 1 e) 0

6. Efectuar:

320218093A

a) 2 b) 3 c) 5

d) 7 e) 5


2006x;12xx21x2T 2

e indicar uno de ellos.

a) 3x b) 4x c) 6x

d) 2x e) 4x

8. Se tiene:

2T 5x 2 2 6x 7x 3 ax b cx a Calcular: a + b + c

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

9. Transformar en un solo radical doble:

6251528

a) 1027 b) 10210

c) 1027 d) 10210

e) 25

Ejercicios

118



10.Reducir:

S 2 . 2 3 2 . 4 15 5

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

Bloque II

11.Dado 60a ; donde Qa , al descomponer en

radicales simples, uno de ellos es 5 . ¿Cuál es el otro?

a) 22 b) 23 c) 12

d) 6 e) 3

12.Si: b22a2b4a Además: a > b; a, b IN

descomponer en radicales simples:

b6a2ba

a) 25 b) 23 c) 13

d) 12 e) 27

13.Efectuar:2n nM 5 2 6 . 3 2 ; n ZZ ; n > 2

a) n2 2 b) n 2 c) 1

d) 2 e) n32

14.Calcular:

73)75713(A

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

15.Reducir:

7211832833

261140740213T

a) 2 b) 23 c) 123

d) 12 e) 1

16.Simplificar:

4813532

a) 26 b) 23 c) 26

d) 13 e) 13

17.Descomponer en radicales simples:

4487S

a)22

23 b)

22

36

c)23

26 d)

22

26

e)23

32

18.Proporcionar el valor de: 4

a partir de:

IN };{;12211 44

a) 1 b)423

c)32

d)223

e)322

19.Simplificar:

223212....121

Indicando uno de los radicales simples.

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e)22

20.Hallar el valor numérico, convirtiendo los radicales doblesen sencillos de:

12818122322233

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


ÁLGEBRA

1. Descomponer en radicales simples la expresión:

n2n2n2...4321M

a) 1n b) 1n2 c) n

d) n 2 n e) 1n

2. S i : x2 = x + 1; x > 0

reducir:

21x

xxE

a)2x

b)2x2

c)22

d)2

xe) x2

3. Simplificar:

48 3 125 3 2 15M 6 5

612 48 180

a) 3 b) 32 c) 23

d) 25 e) 6

4. Indicar un radical simple de:

1x0;x10x5 2

a) x b) x2 c) 2

d) 2x10 e)22x

5. Si: x > 1; reducir:

21xx

21xx 22

a)2

1x b) 1x2 c) 1x

d) 1x2 e) x

1. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicalessencillos.

a) 48214 = ____________________

b) 54215 = ____________________

c) 55216 = ____________________

d) 70217 = ____________________

2. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicalessencillos:

a) 326 = ______________________

b) 407 = ______________________

c) 488 = ______________________

d) 809 = ______________________

3. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicalessencillos:

a) 5618 = _____________________

b) 21027 = ____________________

c) 3819 = _____________________

d) 6621 = _____________________

4. A continuación se presentan radicales simples,transfórmalos en radical doble.

a) 56 = _____________________

b) 27 = _____________________

c) 16 = ______________________

Autoevaluaciòn

Tarea domiciliaria

120



d) 25 = ______________________

e) 73 = ______________________

f) 34 = ______________________

5. Resolver:

130211526M

6. Efectuar:

3312213819A

7. Indique un radical simple de:

1x0;x1x21M 2

8. Si al resolver:

3x2x1xM 2 se obtienen dos radicales simples, calcular el valornumérico de uno de ellos para x = 7.

9. Si: 3x25

el equivalente de:

6x421x29x62x2 es:

10.Indique: B – A; sabiendo que:

BA122854215

11.Reducir:

457253.2

12.Efectuar:

5375727

13.Efectuar:

n2n549.25M

14.Reducir:

4 15 2 3M

13 120 5 24

15.Hallar el equivalente de:

6622332

16.Reducir:

552624413M

17.Si:

324

21210728

324

21210728M

Hallar: 2M 5MQ

18.A cuánto equivale:

5372

53M

19.Simplificar:

6224

20.Si: 22b 3b x 2 (b 1)

hallar el valor natural de "x".



Racionalización

Es el procedimiento por el cual se transforma uno de loscomponentes de una fracción (numerador o denominador)que se encuentra en forma irracional en otra equivalenteracional.Por lo general, se emplea para eliminar la irracionalidad delos denominadores.

FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.)Se llama factor racionalizante a aquella expresión algebraicairracional que multiplicada por el numerador y denominadorde una fracción permite que uno de estos se transforme enuna expresión algebraica racional.

exp resiónirracional

M F.R. M F.R.I F.R. Racional

Casos que presentan:

CASO I

IRIN a;n,m;mn;a

Nn m

El factor racionalizante es:n mna

aaN

a

a

a

Nn mn

n mn

n mn

n m

* Ejemplo: Racionalizar el denominador de:

3 2

5

Sol.:

245

2

2

2

5 3

3 2

3 2

3

* Ejemplo: Indicar el denominador, luego de racionalizar:

329

7

Sol.:

632.37

2332.37

2.3

2.3

2.3

7 6363

6 53

6 53

63 2

El denominador es 6.

CASO II

N; f(x),g(x)

f(x)g(x)

IR

Expresión FactorRacionalizante Producto

f(x) - g(x)

f(x) - g(x)

* Ejemplo: Racionalizar el denominador de:

25

7

Sol :

3)25(7

25

25

25

7

22

25

* Ejemplo: Indicar el denominador racionalizado de:

15

5

Sol :

4)15(5

15

15

15

5

212

5


12

122

Racionalización


* Ejemplo: Racionalizar el denominador de:x1x

2192

Sol:

)x1x(219x1x

x1x

x1x

219 2

2x2

12x

2

2

2


Caso

III

IV

Expresión Irracional Factor Racionalizante Producto

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

f(x) + g(x)

f(x) - g(x)

f(x) - g(x)

f(x) + g(x)

3

3

3

3

Ejercicios Básicos

1. Racionaliza las siguientes expresiones:

a)3

1= _______________________

b) 3 2

2= ______________________

c) 4 3

3= ______________________

d)5 2

2= ______________________

2. Racionalizar:

a)23

1

= _________________

b)57

2

= _________________

c)12

1

= ___________________

d)311

2

= __________________


ÁLGEBRA

1. Racionalizar las siguientes expresiones:

a) 3

1b)

5 8

1


a) 5 2

2b)

4 3

3


a) 5 2x

5b)

3 2yx

7


a) 23

1b)

67

1

Test de Aprendizaje

124

Racionalización


5. Racionalizar:

a) 57

2b)

811

3

6. Racionalizar:

a) 25

1b)

33

6

7. Racionalizar el denominador de:

218

4E

8. Racionalizar:

a) 1528

2b)

21210

4


ÁLGEBRA

Bloque I

1. Racionaliza el denominador de:

a)23

32

b) 3

3

y3

x7

c) 3 75yx

xy


a)23

32

b)625

62

c)b3a

b4

3. Demostrar que:

a) )0x(2x4x3

x242 3

b)3 23

2

2v36

41

16

v9

9. Reducir:

2

2

25

3M

10.Reducir:

25

3

57

2M

4. La expresión: 1)327( es equivalente a:

a)63

b)123

c)427

d)1613

e)627

5. Racionalizar:

3250188

2J

luego señale su denominador

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

6. Racionalizar el denominador en:

5 113zxy

219A

e indique su valor

a) x y4z3 b) xyz2 c) xyz3

d) xy2z3 e) x2y2z3

7. Racionalizar el denominador en:

6 35 437 42 abbacba

2003N

e indique su valor.

a) abc b) a2b2c2 c) ab2c2

d) a3b3c e) a4b3c2

Ejercicios

126

Racionalización


8. Demostrar que:

a) baab2ba

abba

abba

b)yx

y2x2

yx

yx

yx

yx2

2

9. Efectuar:

125

25

25

3M

a) 5 b) 2 c) 2

d) 5 e) 52

10.Al racionalizar:

23

32A

Se obtiene: 5 + q 6 ; indicar : 5q + 3

a) 3 b) 5 c) 6d) 13 e) 22

Bloque II

11.Efectuar:

1 1 1 1T

8 6 6 2 2 2 2

a) 2 b) -2 c) 1d) -1 e) 0

12.Reducir:

56

1

25

1

32

1

23

1T

a) 26 b) 15

c) 0 d) 23 e) 4

13.Racionalizar:

10a7a

25a

a)2a

10a

b)a210a

c)4a10a

d)4a

10a7a

e)4a

10a7a

14.Indicar el denominador racionalizado de:

21151410

1S

a) 1 b) 2 c) 14d) 5 e) 15

15.Simplificar:

51

11

1

5

11

4

5

4J

a) 0 b) 1 c) 5

d) 6 e) 15

16.Efectuar:

1]

3

13

13

31[

3

2U

a)23

21 b)

23

21

c)23

21 d)

23

21

e) Ninguna anterior

17.Racionalizar:

a) 33 23

1

b)

124

133

18.Si se racionaliza el denominador de la expresión:

14x34x

5x

se obtiene una expresión equivalente cuyo valor para: x = 5es:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2


ÁLGEBRA

19.Racionalizar:

532

1T

e indicar el denominador

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

20.Reducir:

3 233

3xxy

yx

yx

a) x2 b) y2 c) xd) y e) xy2

1. Simplificar:

22

22

212

11

11

1M

a) 2 b) 1 c) 0

d) 12 e) 12

2. Indicar el denominador racionalizado de:

532

4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

3. Efectuar:

2

15

10

53

1T

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Si: 1 < x < 2; reducir:

1x2x7x726x

3

a)26

b) 7 c)2

17

d)2

17 e)

27

5. Si al dividir: 7226 entre 73 se obtiene una

expresión de la forma "ba" donde "a" y "b" sonenteros positivos, entonces "a2 - b" es:

a) 9 b) 15 c) 29d) 2 e) 18

Autoevaluaciòn

128

Racionalización


1. Racionalizar:

a)32

23

b) 3 22 cba

abc


a)2 2

5 3

b)325

73

3. Demostrar que:

a)3 233a 3 312a

4 2a 8

b) yz1021

yzx2

5xyz

2

4. La expresión: 1)28( es equivalente a:

5. Racionalizar:

752712

3J

Luego señalar su denominador.

6. Simplificar e indicar "a - bc" , si:

b33

ca16

24

2

18U

7. Racionalizar el denominador de:

3 1328

2003

zyx

219A

e indicar su valor.

8. Racionalizar y simplificar. Dar como respuesta eldenominador resultante:

53

2

yx32

xy4

9. Demostrar que:

a)7

151247

5233

5233

b)2 3 6

1 3 2 2 32 3

10.Reducir la expresión:

23

423

23M

11.Reducir:

15

2

13

1

35

1A

12.Efectuar:

1032

2

710

3

37

4T

13.Racionalizar:

12m8m

36mT

14.Obtener el equivalente de:

32

32

32

32

15.Indicar el denominador racionalizado de:

6321

219S

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA

16.Simplificar:

13

11

1

3

11

2

3

2K

17.Efectuar:

1]

2

12

32

12[

22

3Y

18.Simplificar:

3

32

14

14

14

1M

19.Si: x = 4y3 - 3y, hallar el valor de "x" para:

26

1y

20.Racionalizar:

a) 33

1

5 2

b) 3 3

1

9 3 1



Resolución de ecuaciones desegundo grado

(por fórmula cuadrática)

MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS.Consiste en completar el cuadrado de un binomio y estábasado en la aplicación del siguiente teorema.

a2 = b2 a = b a = -b

* Ejemplo:

Hallar la solución de: x2 - 2x - 1 = 0Dar como respuesta la menor raíz.

SOLUCIÓN :Como es difícil de factorizar, usamos el método decompletar cuadrados, los pasos a seguir son:

x2 - 2x - 1 = 0

Sumar y restar la mitad del coeficiente de "x":

1)2(21

elevado al cuadrado: (-1)2 = 1, nos queda 1.

2 2 2

2(x 1)2

x 2x 1 1 1 0

Aplicando el teorema: a2 = b2 a = b a = -b

(x - 1)2 = 2 x - 1 = 2 x - 1 = 2

x = 1 + 2 x = 21

}21;21.{S.C

Sea: ax2 + bx + c = 0 , donde a0.Para encontrar las soluciones necesitamos seguir los si-guientes pasos:

F a c t o r i z a m o s e l c o e f i c i e n t e d e " x2".

ax2 + bx + c = 0 a

2 b cx x 0

a a

0ac

xab

x2

Sumar y Restar la mitad del coeficiente de "x":

a2b

ab

21

elevado al cuadrado:

2

a2b

x +2 ba x + b

2a -2 b

2a

2+ c

a = 0 x + b2a - b

4a

2

2 + ca = 0

b2a

xRaíces

2

2

2

2

22

a4

ac4bac

a4

ba2b

x

Si: b2 - 4ac 0, las soluciones son:

ac2ac4b

a2b

xóa2

ac4ba2b

x22

2 2b b 4ac b b 4ac

x ó x2a 2a 2a 2a

2 2b b 4ac b b 4ac

x ó x2a 2a

13

132

Resolución de ecuaciones de segundo grado (por fórmula cuadrática)


Finalmente; las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0,están dadas por:

2b b 4acx

2a

A la expresión b2 - 4ac la llamaremos discriminante y lasimbolizaremos por .Así tenemos: = b2 - 4ac

Ejemplo:

Resolver aplicando la fórmula general:

a) x2 - 3x + 2 = 0

En este caso: a = 1 , b = -3 , c = 2.

Sabiendo que:a2

ac4bbx

2

2,1

Luego:)1(2

)2)(1(4)3()3(x

2

2,1

3 ± 12

x =1,2

3 + 12

= 2

3 - 12 = 2

C.S. {1;2}

b) 4t2 + 12t + 9 = 0En este caso : a = 4 , b = 12 , c = 9.

Luego:)4(2

)9)(4(4)12()12(t

2

2,1

-12 ± 08

t =1,2

-12 + 08

= - 32

-12 - 08

= - 32

C.S.

23

es una raíz doble.

c) 9x2 + 18x - 17 = 0

Tenemos: a = 9 , b = 18 , c = -17

Luego:)9(2

)17)(9(4)18()18(x

2

2,1

1893618

x 2,1

-18 ± 6 2618

x =1,2

-3 + 263

-3 - 263

C.S.

3263

;3

263

Ejercicios básicos

Completa el siguiente cuadro, según la notación pedida.

Ecuación cuadrática

x + x - 1 = 02

Menor solución Mayor solución

x - x - 1 = 02

x + 2x - 2 = 02


ÁLGEBRA

1. Resolver: x2 = 12

x1 = __________; x2 = __________

2. Resolver: (x + 3)2 = 2

x1 = __________; x2 = __________

3. Resolver: (2x - 3)2 = 5

x1 = __________; x2 = __________

4. Resolver: x2 - 2x = 1

x1 = __________; x2 = __________

5. Resolver: x2 - 4x - 1 = 0

x1 = __________; x2 = __________

Test de Aprendizaje

134



6. Resolver: 3x2 - 6x + 1 = 0

x1 = __________; x2 = __________

7. Hallar "x" en: x2 + 1 = 3x

x1 = __________; x2 = __________

8. Resolver:(x + 2) (x + 3) = 3

x1 = __________; x2 = __________

9. Dar la mayor solución de:(2x + 5) (2x - 5) = 3

x1 = __________; x2 = __________

10.Hallar la menor solución de:(x + 1)2 + 3x = 5

x1 = __________; x2 = __________


ÁLGEBRA

Bloque I

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x2 + 3 + 5x = 0 C.S. { ; }

b) x2 + 2x = 5 C.S. { ; }

c) 1 + x = 3x2 C.S. { ; }


a) (x + 2)2 = 15 C.S. { ; }

b) (x - 3)2 = 20 C.S. { ; }

c) (2x + 1)2 = 8 C.S. { ; }


a) (x + 1)(x + 3) = 2 C.S. { ; }

b) (x - 1)(x - 4) = 13 C.S. { ; }

c) (x + 2)(x - 5) = 1 C.S. { ; }

4. Resuelve las ecuaciones siguientes :

a) x(x - 4) = 1 C.S. { ; }

b) x(x + 8) = 5 C.S. { ; }

c) x(x - 1) = 3 C.S. { ; }


a) (x + 5) (x - 5) = 4x - 10 C.S. { ; }

b) (2x + 3)2 = x2 + 5 C.S. { ; }

c) (x + 4)2= 2x + 9 C.S. { ; }

6. Resuelve las ecuaciones siguientes :

a ) x5x

2

C.S. { ; }

b)x5

47x3

C.S. { ; }

c)2

2x2x

x4

C.S. { ; }

Practiquemos

136




a) 2 = x(3 + x) C.S. { ; }

b) 0x

7x2

12 C.S. { ; }

c) 2x3

1x2

C.S. { ; }


a) (x2 - 3)2 = 5 C.S. { ; }

b) (x2 - 7)2 = 2 C.S. { ; }

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación:(x + 1)2 + 2x = 3(x + 1) + 5

10.Resolver: (x + 3)2 + (x - 3)2 = (x - 2)2 + 12indicar una solución.

a) 22 b) 22 c) 22

d) 21 e) 21

Bloque II

11.Halle una raíz de:

1x3

x22

a)4

971 b)

4971

c)8

971 d)

8971

e)8

971

12.Calcular la mayor de las raíces:

2x1x8)1x3( 2

a)2

5511 b)

25511

c)2

5511 d)

25511

e) Más de una correcta

13.Hallar el menor lado del triángulo, comprobar su

existencia.

J

M

Q

4x

x + 2 2

a) 62 b) 236

c) 26 d) 26

e) 26

14.Hallar "x".

1x 2

1312

13 2

a)3

153 b)

3153

c)3

153 d)

353

e) Más de una es correcta.


ÁLGEBRA


2

3x

1x2

e indicar una solución

a) 22 b) 12 c) 12

d)32

e) 2


)1x)(1x(

2x8x3

2x2

1x2x2

32

2

2

e indicar una solución

a)2

136 b)

21326

c)2

136 d)

7 734

e)2

1326

17.Hallar la menor raíz de la ecuación:(k - 2)x2 - (2k - 1)x + k - 1 = 0

sabiendo que su discriminante es 17.

a) 175 b)2

175

c)2

175 d)

2175

e)2

175

18.Indicar la menor solución de la ecuación siguiente:(x2 - 5x)2 - 5(x2 - 5x) + 6 = 0

a)2

335 b)2

335

c)2

375 d)2

375

e) No tiene solución irracional

19.Resolver la siguiente ecuación:

039x3x5x3x 22 indicar una solución irracional.

a)3 117

2

b)41173

c)41173

d)81173

e) No tiene solución irracional

20.Resolver la ecuación:(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 2) = -3

e indicar la mayor de sus raíces.

a)2

211 b)

2211

c)2

131 d)

2131

e)2

211

138




a) x2 + 2 + 7x = 0 C.S. { ; }

b) x2 + x = 3 C.S. { ; }


a) (x + 1)2 = 7 C.S. { ; }

b) (x - 3)2 = 18 C.S. { ; }


a) (x + 2)(x + 3) = 4 C.S. { ; }

b) (x - 2)(x - 1) = 5 C.S. { ; }


a) 2x 1 3x 0 C.S. { ; }

b) 2x 2x 3 C.S. { ; }

1. Resolver e indicar una solución:

0)15(x5x)15( 2

a) 2)15( b) 15 c) 15

d)4

15 e)2

15

2. Hallar el valor de "x" en:

......111x

a)2

51 b)

251

c) 51

d) 51 e)4

51

3. Resolver la ecuación:(x + 1) (x + 2) (x - 3) (x - 2) = -3

e indicar la mayor raíz.

a)2

211 b)

2191

c)2

171

d)2

151 e)

2131

4. Hallar "x" en: 7x2 + x4 = 15(x2 - 1)además: x > 2

a) 3 b) 5 c) 7

d) 11 e) 13

5. Hallar la mayor solución de la siguiente ecuación:

1xx

3

1x

a)2

72 b)

5 22

c)2

73

d)2

23 e)

275


a) (x + 4)(x + 3) = x + 13 C.S. { ; }

b) (2x + 5)(x - 1) = x2 C.S. { ; }


a) x6x

3

C.S. { ; }

b)x4

35x2

C.S. { ; }


a) x(x - 8) = 1 C.S. { ; }

b) x(x - 2) = 5 C.S. { ; }

8. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) (x2 - 9)2 = 2 C.S. { ; }

b) (x2 - 7)2 = 3 C.S. { ; }

Autoevaluaciòn

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA

9. Hallar la menor de las raíces de la ecuación:(x + 2)2 = 3x + 7

10.Resolver:(x - 1)2 + (x + 2)2 = (x - 3)2

11.Resolver: (x + 2)2 + (x + 1)(x - 1) - 3 = 0indicar una raíz

12.Calcular la menor raíz de:

12 x 1

x

13.Calcular la mayor de las raíces:

4x52x3)3x4( 2

14.Hallar el mayor cateto del triángulo rectángulo,comprobar su existencia.

J

M

Q

3x + 1

x + 2

15.Hallar "x"

21

1

12

11

12x


2

2

(x 1)2 1

2 1(x 1)

17.Resolver la ecuación siguiente:2

2 2

2 x 3 x 6x 53x 9 3x 9 (x 3)(x 3)

18.Hallar "k" en la ecuación cuadrática:(k - 1)x2 - 4x + 2 = 0

sabiendo que su discriminante es 8.

19.Indicar la mayor solución de la ecuación siguiente:x2(4x + 5)2 - 6(4x2 + 5x) + 8 = 0

20.Resolver la siguiente ecuación:

7x3x249x9x6 22

indicar la menor solución



Manejo de fórmulas

INCÓGNITA O VARIABLES

Es una cantidad desconocida que representa un valor o magnitud numérica, la cual es posible determinar en unaecuación o fórmula.

FÓRMULAUna fórmula no es más que una igualdad entre expresiones algebraicas que expresan algún principio, regla o resultado

de índole matemático, físico o relativo a cualquier otra ciencia.Desde grados anteriores ya has trabajado con fórmulas, ya sea en matemática o en otras asignaturas, como la física

por ejemplo, conoces fórmulas como:

vm

D (densidad)

td

V (velocidad de un móvil en movimiento rectilíneo uniforme)

DESPEJAR UNA VARIABLE

En la práctica, se presenta muchas veces la necesidad de despejar un elemento particular en una fórmula dada paradeterminar su valor.

Ahora bien, toda fórmula constituye una ecuación. Luego, despejar una variable en una fórmula no es más queresolver una ecuación donde la incógnita es la variable que se va a despejar.

Ejemplo.

Despeja la variable que se indica en la siguiente fórmula:

* "h";2h.b

A

Solución:

2h.b

A

2A = b . h

hbA2

Observa:

Para despejar "h", se transpone el

denominador 2 al otro miembro

multiplicando y el factor "b", pasa

dividiendo.

14

142

Manejo de Fórmulas

3ero Año de Secundaria

En este tipo de problemas debes aislar en unmiembro la variable a despejar y pasando al otromiembro los demás elementos con la operacióninversa a la que estaban realizando originalmente.

Recuerda

* V = V0 + at; "a"

V - V0 = at at

VV0

* an = a1 + (n - 1) d; "n"an - a1 = (n - 1) d an - a1 = nd - d

an - a1 + d = nd nd

daa1n

Ejercicios básicos

* Despeja las variables que se indican:

a) x + y = z; "y"

b) P =2

ba ; "a"

c) h =21

Ec + 3Ep ; "Ec"

EVALUACIÓN DE FÓRMULAS

Consiste en determinar el valor de una incógnita en unafórmula cuando los valores de otras variables son conocidos.

Si deseamos hallar una incógnitapara los diversos valores de otras

incógnitas, es recomendable despejardicha incógnita y luego reemplazar

los valores conocidos de lasdemás variables.

OJO

Ejemplo:

* Despejar la variable que se indica en la siguienteecuación y calcula su valor numérico para los valoresque se dan, en cada caso:

a) x =2

n.m; "m" para: x = 20; n = 5

mnx2

n.mx22n.m

x

Reemplazando:

5)20(2

= m

m = 8

b) a = b3 - cd ; "b" para: a = 10, c = -1; d = 2

a = b3 - cda + cd = b3

bcda3

Reemplazando: b)2)(1(103

b = 2

Ejemplo:

Para un móvil con aceleración constante igual a 2m/s2,durante los 4 primeros segundos de iniciado sumovimiento desarrolló una velocidad final de 10m/s. ¿Conqué velocidad inició su movimiento?

Usar: VF = Vi + at

Siendo: VF : velocidad finalVi : velocidad iniciala : aceleraciónt : tiempo

Solución: Vf = Vi + atVf - at = Vi Despejamos "Vi"10 - 4(2) = Vi Reemplazamos los datos

Vi = 2m/s

Lo cual nos indica que el movimiento se inició con unavelocidad de 2m/s.

Ejercicio básico

Despeja en cada inciso la variable que se indica y calculasu valor para los datos dados:

a) x - y = z, "z" para : x = 10 ; y = 4

b) (x + y)53

= z; "y" para: x = 4; z = 12

c) mn + m2 = p2; "n" para : m = 4; p = 8


ÁLGEBRA

1. Despejar "m" de la siguiente fórmula:E = mc2

2. Despejar "R" de: A = R2

3. Despejar "V" de:

2mV21

Ec

4. Despejar "h" de:

2h

xy3M

5. Despejar "t" de:d = V 0 + 3t2

Test de Aprendizaje

144

Manejo de Fórmulas


6. Despejar "c" de: a2 + b2 - c2 = 0

7. Despejar "x" de: 5x = 8b - rx

8. Despejar "x" de: ax + n2 = a2 - nx

9. Determine la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a 25cm2.Usar: A = L2

siendo: A = área; L = longitud de lado

10.Si el potencial eléctrico de un foco de 400 voltios y su resistencia eléctrica es igual a 25 ohmios, determine la corrienteeléctrica presente.Usar: V = IR

Siendo: V = potencial eléctrico (voltios)I = corriente eléctrica (amperios)R = resistencia eléctrica (ohmios)


ÁLGEBRA

Bloque I

1. Despeja en cada inciso las variables que se indican:

a) A = r2 ; "r".

b) S =2t

Qab; "a".

c) a2 + b2 = h2 ; "b".

2. Despeja en cada inciso la variable que se indica y calculasu valor para los datos dados:

a) 3V = a2h; "a" si: V = 12, h = 1.

b) S =21

g t2 ;"g" si: S = 200, t = 10.

c) V =31r2h; "h" si: V = 24 ; r = 6 .

3. De los siguientes enunciados, despejar "x" determinandosu equivalencia.

a) 3x = 4a + x

b) xy - 3x + 2 = m

c) xa2 + xb + xc = 219


a) x2 - 4 = a(x + 2)

b) ax2 - 9a = mx + 3m

c) mx + m2 = n2 + nx


a) ax - bx = a2 - 2ab + b2

b) cx - 1 = c2 + 2c - xc) bx - b2 = 3x + b - 12

6. Determine el radio de una esfera cuya área es igual a100cm2.

Usar: A = 4R2

Siendo: A: área ; R: radio

7. El área de un trapecio es igual a 72m2, la base mayormide 12 m y la base menor mide 6m. Determine el valorde su altura.

Usar: A =21

(B + b) h

Siendo: A : áreaB : base mayorb : base menorh : altura

8. ¿Cuál será el radio de una esfera, si el volumen es36 cm3?

usar: V =34r3

Siendo: r : radioV: volumen

9. Se sabe que el volumen de un hexaedro regular es iguala 27 000 cm3, determine el valor de su arista.

Usar: V = a3

Siendo: a : aristaV : volumen

10.Determine la altura de un cilindro de 3cm de radio, si lacapacidad volumétrica del cilindro es 27cm3.

Usar: V = r2h

Siendo: r : radio de la baseh : alturaV : volumen

Bloque II

11.Hallar el número de lados de un polígono, siendo la sumade ángulos internos igual a 1260°.

Usar: S = 180°(n - 2)

Siendo: S : suma de ángulos internosn : número de lados

12.En cierto lugar un cuerpo de 50kg tiene un peso de 485N,entonces encontrar la aceleración de la gravedad dedicho lugar.Se sabe: P = mg

Donde: P = peso (N)m = masag = aceleración de la gravedad (m/s2)

Ejercicios

146

Manejo de Fórmulas


13.Una partícula se mueve en una trayectoria circular de2m de radio en 4m/s. Determine su aceleracióncentrípeta.

Se cumple que:RV

a2

c

Si: ac : aceleración centrípetaV : velocidadR : radio

14.Se tiene un poco de gas hidrógeno de volumen 150 litrossometido a una presión de 32 atmósferas. Determine elnuevo volumen, si la presión es incrementada a 100atmósferas. La temperatura permanece constante entodo momento.

Si: Ley de Boyle V1 . P1 = V2 . P2

Siendo: V : volumenP : Presión

15.Si la potencia eléctrica de un foco es de 100 watts y suresistencia eléctrica es igual a 4 ohmios, determine lacorriente eléctrica presente.

Usar: P = I2R

Siendo: P = potencia eléctrica (watts)I = corriente eléctrica (amperios)R = resistencia eléctrica ()

16.Dos móviles parten simultáneamente al encuentro, amboscon movimiento rectilíneo uniforme (aceleración cero),uno de ellos parte con una velocidad de 30km/h. Si ladistancia de separación inicial entre ellos es de 200km yse encuentran luego de 4h de iniciado su movimiento,determine con que velocidad partió el otro móvil.

Usar:21

e VVd

t

Siendo: te = tiempo de encuentrod = distancia de separación inicialV1 , V2 : velocidad de partida

17.Despejar la variable "b" en:

cbbaew 2

18.Se cumple que:

32 TMQ

hmv

hSB

despejar "v".

19.Despejar "x" en:

ktanPxgh2S52 2

20.Despejar "A" en:

x

g2R3

AAR2

T


ÁLGEBRA

1. Dada la figura:Se cumple:

c

a b

m n

xx c = a n + b m - mnc2 2 2

se pide despejar "m"

a)2 2

2

x c anm

b nc

b)ncb

nacxm

2

22

c)nacx

ncbm

22

2

d)

nacx

ncbm

22

2

e)ncb

naxm

2

22

2. De la fórmula:

cbbmpm 2

despejar "b"

a)pc2

mpc4pmmp 22

b)p2

mp4mpp 2

c)pc2

mc4pmm 2

d)pc2

cp4mpmp 22

e)pc2

c4mpm

3. Despejar "S" a partir de:

)s4as4a(21

b 2222

a) 8422

2bba

S

b)4

babS

2

c) 4422

4bba

S

d)2

4 ab bS

4

d) 62

2bab

S

4. Dada la fórmula:

n n

n n

a bM

2a 2x 2b 2x

hallar "M", si: x - an = bn - x

a) an + bn b) (a + b)n c) 1d) a - b e) n

5. De la figura:

c

a bh

h = p(p - a) (p - b) (p - c)2c

donde:2

cbaP

; hallar "h", si a = 3; b = 4; c = 5

a)125

b)95

c)75

d)103

e)65

Autoevaluaciòn

148

Manejo de Fórmulas


1. Despeja, en cada caso, las variables que se indican:

a) F = ma; "m".

b) A =

2

cah; "c".

2. Despeja las variables que se indican en las siguientesecuaciones y calcula su valor numérico para los valoresque se dan, en cada caso:

a) t = m + np ; "n" para: t = 18; m = 3; p = 5.

b) a2 = b2 - bd ; "d" para : a = 2; b = 4.


a) 2x + xy = 3b

b) xa + xb = a - b


a) x2 - 9 = b(x + 3)

b) bx2 - 4b = 5x - 10


a) mx + nx = m2 + 2mn + n2

b) ax - 4 = a2 + 4a - 2x

6. ¿Cuál será el volumen de una esfera cuyo radio es de2 m?

Usar: v =34r3

Siendo: r : radiov : volumen

7. Determine el radio de un sector circular cuya área esigual a 2m2; siendo:

Sector circular: R

R

Usar: A =º360R2

Siendo: R : radioA : área : ángulo interno

8. Se sabe que el volumen de un cono es igual a 80m3 yel radio de la base es 4m. Determinar el valor de sualtura.

Usar: V =3

hR2

Siendo: V : volumenR : radioh : altura

9. La suma "S" de los ángulos interiores de un polígono secalcula por la fórmula S = 180° (n - 2) donde "n" es elnúmero de lados del polígono. ¿Cuántos lados tiene unpolígono, si se conoce que la suma de sus ángulosinteriores es igual a 1080°?

10.El área total de un prisma recto de base rectangularpuede calcularse mediante la fórmula A = 2ab+2(a+b)hdonde "a" y "b" son las aristas de la base y "h" es laaltura del prisma. Si se conoce que el área total es 94u2

y las aristas de la base miden 3u y 4u respectivamente,¿cuál es la altura del prisma?

11.La cifra de unidades de un número de dos cifras es igualal triple de la cifra de las decenas. Si el número se dividepor la cifra de las unidades el cociente es 4 y el resto es1. Hallar el número.

Considera la relación: D = d.q + R

Donde : D : dividendod : divisorq : cocienteR : resto

12.Se deja caer un objeto desde la parte más alta del arcode la entrada a la ciudad Mattociex, que es de 196 metrosde altura. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en llegar alpiso?

Usar: h = 4,9 t2 + V0t

Siendo: h : alturat : tiempoV0 : velocidad inicial

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA

13.0,6 kg de agua al enfriarse desde 90ºC a 15ºC pierde45kcal.Calcular el calor específico del agua.

Usar: Q = mCe (Tf - Ti)

Sabiendo que: Q : cantidad de calor (Kcal)

m : masa (g)

Ce : calor específico

Cºg

cal

Ti : temperatura inicial

Tf : temperatura final

14.Un proyectil es lanzado desde el piso alcanzando unaaltura máxima igual a 500m, determine con quevelocidad fue lanzado.

Usar: hmax = g2Vi

2

Siendo: hmax : altura máximaVi : velocidad de lanzamientog : aceleración de la gravedad

(g=10m/s2)

15.En el siguiente esquema, se pide determinar el radio dela circunferencia mayor, sabiendo que el área sombreada(corona circular) es igual a 9 pies2.

R

r=4pies

Usar: A = R2 - r2

Siendo: A : área de la corona circularR : radio de la circunferencia mayorr : radio de la circunferencia menor

16.¿Cuántos grados Celsius se cumple que la lectura enFarenheit es la misma?

Siendo:5C

=932F

C : grados CelsiusF : grados Farenheit

17.Despejar la variable "t" en la ecuación:

P =

cosx

btF

18.Despejar la variable "A" en:

K = QA2 + FA

19.Despejar la variable "v" en:

M =

2C

2

0

v1

m

20.En base a la ley de gravitación universal de Newton sepuede demostrar que la aceleración de la gravedad auna altura "h" sobre la superficie terrestre es:

g ’ = g 0 2

2

)hR(

R

; Despejar "h".



Sea la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0

a 0 de raíces: "x1" y "x2".

Suma de raíces: x1 + x2 = -ab

• Demostración:

De: x1;2 = 2b b 4ac

2a entonces

1

2

2

2

b b 4acx

2a

b b 4acx

2a

Luego: x1 + x2 = 2b b 4ac

2a + 2b b 4ac

2a =

a2b2

x1 + x2 = -ab

Es decir: "La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente de "x" con signo cambiado entre elcoeficiente de x2".

Producto de raíces: x1 . x2 = ac

• Demostración:

Ahora: x1 . x2 =

2 2b b 4ac b b 4ac2a 2a

x1 . x2 =

22 2

2

(b)b 4ac

4a

x1 . x2 = ac

a4

ac4

a4

)ac4b()b(22

22

Propiedades de las raícesde la ecuación de

segundo grado15

152

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado


Es decir: "El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al término independiente dividido entre elcoeficiente de x2".

OJOLa ecuación de segundo grado

debe reducirse al máximo dándole

la forma general.

Ejemplo:Resolver: x2 - 5x + 6 = 0

Solución:

Factorizando tenemos: (x - 3)(x - 2) = 0

De donde:

3x

2x

2

1

Además por propiedad: x1 + x2 = 5 , (2 + 3)

x1 . x2 = 6 , (2 . 3)

Ejemplo:Resolver: 2x2 - 3x - 4 = 0

Solución:

Aplicando la fórmula tenemos:

x1,2 = 4413

4)4)(2(493

De donde:

4413

x

4413

x

2

1

Además, por propiedad:

x1 + x2 = 23

,

4

4134

413

x1 . x2 = -2,

4

4134

413


ÁLGEBRA

Ejemplo:

* Sea la ecuación: x2 - 7x + 3 = 0

Hallar la suma y producto de las raíces sin resolver la ecuación.

Siendo: a = 1; b = -7; c = 3

Suma de raíces: 71

)7(

Producto de raíces:13

= 3

Ejemplo:

* Sea la ecuación: 7x2 + 4x - 13 = 0

Hallar la suma y producto de las raíces sin resolver la ecuación.

Siendo: a = 7; b = 4; c = -13

Suma de raíces:74

7)4(

Producto de raíces:713

713

154



EJERCICIO BÁSICO

* Completa el cuadro, sin resolver las ecuaciones de segundo grado.

ECUACIÓN SUMA DE RAÍCES PRODUCTO DE RAÍCES

ax2 + bx + c = 0ab

ac

x2 - 3x + 2 = 0

x2 - 5x + 6 = 0

3x2 - 5x + 4 = 0

6x2 + 11x + 2 = 0

x2 - 5x = 0

x2 - 7 = 0

Diferencia de raíces: |x1 - x2|=2b 4aca

• Demostración:

Ahora:

x1 - x2 =a2

ac4b2a2

ac4bba2

ac4bb 222

|x1 - x2| =2b 4aca

Ejemplo:

Resolver: x2 - 5x + 4 = 0

Solución:

Factorizando tenemos: (x - 1) (x - 4) = 0

De donde:

4x

1x

2

1 ó

1x

4x

2

1


ÁLGEBRA

Si queremos encontrar:

x1 - x2 = 1 - 4 = -3 ó x1 - x2 = 4 - 1 = 3

|x1 - x2| = 3

* Por propiedad:

|x1 - x2| = 91

)4)(1(4)5( 2

|x1 - x2| = 3

• Ejemplo:

Sea la ecuación: 5x2 - 3x - 1 = 0

Hallar la diferencia de las raíces sin resolver la ecuación.

Solución:

Siendo: a = 5; b = -3; c = -1

|x1 - x2| =5

)1)(5(4)3( 2

|x1 - x2| = 529

x1 - x2 = 529

EJERCICIO BÁSICO

* Sin necesidad de resolver las siguientes ecuaciones, halla la diferencia de sus soluciones.

a) 3x2 - 5x + 1 = 0 Rpta: _______________

b) 2x2 - 4x + 1 = 0 Rpta: _______________

c) 3x2 - 10x + 8 = 0 Rpta: _______________

Ojo: (x1 + x2)2 - (x1 - x2)2 = 4x1x2

Esta propiedad relaciona a las tres propiedades anteriores en una sola.

Definiciones

La ecuación de raíces "x1" y "x2" no nulas en: ax2 + bx + c = 0 / a 0

i) Posee raíces simétricas x1 + x2 = 0

ii) Posee raíces recíprocas x1 x2 = 1

156



EJERCICIO BÁSICO

* Marca con un aspa la casilla respectiva.

ECUACIÓN RAÍCES SIMÉTRICAS RAÍCES RECÍPROCAS

3x2 + 5 = 0

4x2 + 5x + 4 = 0

x2 + 1 = 0

5x2 - 3 = 0

TEOREMA

Si las ecuaciones cuadráticas:

ax2 + bx + c = 0 ; abc 0

mx2 + nx + p = 0 ; mnp 0

Poseen igual conjunto solución, se cumple: pc

nb

ma


ÁLGEBRA

1. Hallar la suma de raíces de:5x2 - 2x - 1 = 0

2. Hallar el producto de raíces de:3x2 + 4x + 7 = 0

3. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x":2x2 + mx - 3 = 0

si sus raíces suman 5.

4. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "y":5y2 + 2y + k = 0

si el producto de sus raíces es -3.

5. Si una solución de la ecuación:x2 + 7x + m = 0; es - 2

hallar el valor de "m"

Test de Aprendizaje

158



6. La siguiente ecuación: 4x2 - 9 = 0¿presenta raíces simétricas o recíprocas?

7. La siguiente ecuación: 2x2 - 5x + 2 = 0¿presenta raíces simétricas o recíprocas?

8. Si la ecuación: 3x2 + (m - 2)x + 5 = 0presenta raíces simétricas. Hallar "m"

9. Si la ecuación: (8 - k)x2 - 5x + (k + 2) = 0presente raíces recíprocas. Hallar "k"

10.Hallar la diferencia de las raíces de:x2 - 2x - 2 = 0


ÁLGEBRA

Bloque I

1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientesecuaciones:

a) x2 + 5x + 2 = 3x - 4

b) (x + 2)2 + 5x = 3

2. Si una solución de la ecuación:x2 + 5x + m = 0 es 2

calcular la otra solución y el valor de "m".

3. Si una raíz de la ecuación:x2 + mx + 8 = 0 es 4, calcular la otra raíz y el valor de"m".

4. Si una solución de la ecuación de segundo grado:mx2 - (m + 4)x + 6 = 0 es 2, encuentre el valor de "m"y la otra solución.

5. Calcular el valor de "m" y "n" para que la ecuaciónmx2 + nx + 2 = 0; tenga por raíces a:

34

xy21

x 21

6. ¿Cuál es el valor de "m", si una raíz es el doble de laotra raíz de la ecuación: x2 - 9x + m = 0?

7. En la ecuación: (2n + 1)x2 + 3(n - 1)x + 1 - n = 0La suma de raíces es 3/4, hallar "n".

a) 0,75 b) 0,5 c) 0,8d) 0,3 e) 1

8. Dada la ecuación:

0)1m(2x2x)1m( 2

Hallar "m + 1", si el producto de sus raíces es igual a launidad.

a) -2 b) 0 c) 4d) 3 e) -1

9. Halla la diferencia de las raíces en las siguientesecuaciones:

a) x2 + 4x + 3 = 2x + 5

b) (x + 2)2 + 5x = 3

c) (x + 3)(x - 3) = 3x - 10

10.Calcular el valor de "m" para que las raíces de laecuación: x2 + mx + 14 = 0 se diferencien en 5.

a) +5 b) ± 5 c) ± 9d) +9 e) -9

Bloque II

11.Si: {x1; x1 + 2} es conjunto solución de la ecuación en"x"; 2x2 - 6x + a + 1 = 0, halle el valor de "a".

12.En la ecuación: x2 - px + 48 = 0; de raíces: {x1;x2}determinar "p" tal que:

24219

x1

x1

21

a) 219 b) 438 c) 2d) 2005 e) 2006

13.Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0 y "x1" y "x2" susraíces. ¿Para qué valores de "m" se cumple la relación

1

2

x 3x 5 ?

a) 16 b) 10 c) 14d) 8 e) 4

14. Si: {m;n} es el conjunto solución de la ecuación:x2 + 2x + 5 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = p.

indicar el valor de "p".

a) -8 b) -6 c) -4d) -2 e) 2

15.Siendo "r" y "s" las raíces de la ecuación: 2x2 - 4x - 1 = 0

Halle el valor de :

s1

r1

1)]1)(s[(r

.

a)3

25

b)

3

52

c)

4

25

d)2

52

e)

4

52

16.Si "a" y "b" son raíces de la ecuación:x2 - 5x + 3 = 0

halle: (a - 4)(b + 2)(b - 4)(a + 2) + 19

a) 4 b) 8 c) 5d) 2 e) 9

Ejercicios

160



17.Siendo "x1" y "x2" las raíces de la ecuación: 2x2 - 3x + 1= 0Hallar el valor de la expresión:

1xx

1xx

M2

2

1

1

a)25

b)65

c)23

d)32

e)56

18.Hallar "a" si las raíces de la ecuación:(a2 + a + 1) x2 + (2a - 5)x + 4aa + 3 = 0son opuestas.

a)21

b) 2 c)25

d) 3 e)27

19.Hallar el valor de "n" para que las raíces de la ecuación:(n + 1)(x2 + 3x) = (5x + 2)(n - 1) sean simétricas.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

20.Hallar "a" para que las raíces de la ecuación en "x":(a2 - 4a)x2 + (3a + 2)x + (6 + a) = 0

son recíprocas.

a)

32

b) {-6;1} c) {-6;-1}

d) {6;-1} e)

32

;0

1. Sea "" una de las raíces de la ecuación:5x2 - 2x + 3 = 0

calcular:210 2

1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Sea: "x1" y "x2" las raíces de:2x2 + 6x + (m + 1) = 0

calcular "m"; si: 12xx 22

21

a) -1 b) 2 c) 5d) 0 e) -4

3. Sean "R" y "S" raíces de: 2x2 + (m - 7)x + m = 8

si:1 1

2R S . Calcular "m"

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. Sean "a" y "b" raíces de la ecuación:(k - 2)x2 - 2kx + 2k - 3 = 0

siendo:710

ba 11

Hallar el valor de: a - b

a)41

b)23

c)34

d)25

e) 1

5. Si: F(x) = x2 - 3x + 5; presenta por ceros a "m" y "n"

calcular:m

1nn

1mA

a)52

b)51 c)

53

d)54 e)

52

Autoevaluaciòn


ÁLGEBRA

1. Halla la suma y el producto de soluciones en las siguientesecuaciones:

a) x2 + 7x + 4 = 5x - 2

b) (x + 3)2 + 2x = 4

2. Si una solución de la ecuación: x2 + 7x + n = 0 es 3,calcular la otra solución y el valor de "n".

3. Si una raíz de la ecuación: x2 + nx + 12 = 0 es -6,calcular la otra raíz y el valor de "n".

4. Si una solución de la ecuación de segundo grado:nx2 + (n - 3)x - 15 = 0 es 3,

encuentre el valor de ''n'' y la otra solución.

5. Calcular el valor de ''m'' y ''n'' para que la ecuación:mx2 + nx + 6 = 0; tenga por raíces a:

52

x1 y53

x2

6. ¿Cuál es el valor de ''m'', si una raíz es el triple de laotra raíz de la ecuación: x2 - 12x + m = 0?

7. La suma de raíces de la ecuación:(m - 1)x2 - (m + 1)x + 4 = 0, es 2

entonces ''m'' es:

8. En la ecuación: (5m - 3)x2 - 2192005 x + 2(m + 2) = 0

Hallar: m - 1, si el producto de sus raíces es65 .

9. ¿Para qué valor de ''a'' la suma y el producto de raícesde: (a - 1)x2 + ax - 2 = 0, tienen el mismo valor?

10.Si "m" y "n" son las dos raíces de la ecuación:x2 - 2x + 2 = 0

calcular:E = mm+n . nmn

11.Hallar la diferencia de las raíces en las siguientesecuaciones:

a) x2 + 3x + 7 = 2x + 8

b) (x - 3)2 + 4x = 8

12.Calcular el valor de "n", para que las raíces de laecuación: x2 + nx + 15 = 0, se diferencien en 2.

13.En la ecuación: 2x2 - (n + 2)x + (n + 4) = 0, hallar ''n'' silas raíces difieren en una unidad.

14.En la ecuación: x2 - 2006x + p = 0 de raíces {x1;x2}determinar ''p'' tal que:

2191003

x1

x1

21

15.Dada la ecuación: 4x2 + mx+ 56 = 0 y "x1" y "x2" susraíces. ¿Para qué valores de ''m'' se cumple la relación:

72

xx

2

1 ?

16.Si {m;n} es el conjunto solución de la ecuación:x2 + 3x + 7 = 0 y se sabe que: m2 + n2 = k, indicar elvalor de ''k''.

17. La ecuación: 5x2 - 2x + 3 = 0, tiene por raíces: "x1" ; "x2"Calcular: M = (1 + x1)(1 + x2)

18.Hallar ''a'' para que las raíces de la ecuación en ''x'':(a2 + 8a)x2 + (7a + 3)x + (a - 12) = 0

sean recíprocas.

19.Para que valor (es) del parámetro ''k'' las raíces de laecuación cuadrática en "x":

(k - 1)x2 + 2(k2 + k - 2)x + 9(k2 - k) = 0

Serán:

i) Simétricas ii) Recíprocas

20.Calcular ''m + n'', de tal manera que las ecuaciones:(n - 1)x2 + 2x + 1 = 09x2 + (m + 1)x + 3 = 0

tengan las mismas raíces.

Tarea domiciliaria



Repaso16Test de aprendizaje previo

1. Hallar el conjunto solución de: (x - 3)2 = 9

2. Efectuar las siguientes operaciones:

a) 323335 b) )53()25(

3. Transformar los siguientes radicales dobles a radicales simples:

a) 33214 b) 35212

4. Racionalizar:

a) 3 4

3b) 3xy

4

164

R e p a s o


5. Racionalizar:

a)27

5

b)

513

11

6. Resolver:

a) x2 + 3x + 1 = 0 b) x2 + 4x + 2 = 0

7. Despejar "R" de la siguiente fórmula: F = 3MR2

8. Hallar la suma y el producto de raíces de las siguientes ecuaciones:

a) x2 - 5x + 7 = 0 b) 3x(x - 2) = 5

9. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces simétricas: 4x2 + (n - 6)x - 36 = 0; hallar "n"

10.De la siguiente ecuación cuadrática de raíces recíprocas: (3m - 2)x2 + 5x + 1 = 0; hallar "m"


ÁLGEBRA

Bloque I


a) x2 = 16

b) x2 = 12

c) 3x2 = 60


a) x2 - 25 = 0

b) x2 - 8 = 0

c) 4x2 - 81 = 0


a) x2 - 5x + 6 = 0

b) x(x - 1) = 2

c) x2 = 6x + 7


a) 3x2 - 2 = 5x

b) 4x4 - 17x2 + 4 = 0

c) 1xx25

5. Expresar los radicales en su forma mas simple:

a) 24

b) 5329

c) 3 9 12a b

6. Transformar en radicales enteros, es decir, en radicalesde coeficiente 1 los siguientes radicales:

a) 24

b) 3 23

c) ba2

7. Efectuar:

a) 55 8 . 4

b) 2482

c) 33 3263

d) 55 75358

8. Agrupa los radicales semejantes del siguiente conjunto:

;ye;x;xy32

;ma7;mm;xy3;x2 33335

3535 xy2005;m219;y5;xy43

;m78

;x2,0

9. Suma o resta. De ser posible, simplifica sumandoradicales semejantes:

a) 12548274

b) 18289

c) 3278327

10.Descomponer los siguientes radicales dobles en radicalessimples.

a) 21210

b) 40213

c) 45214

Bloque II


a) 53

b) 74

c) 215


a) x21x

b) xy52yx5

c) )7x(;4x2x2 2

Ejercicios

166

R e p a s o


13.Calcular "A + B", si:

BA72856215

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

14.Efectuar:

12415283521263216

a) 3 b) 4 c) 2d) 5 e) 6

15.Indicar el denominador racionalizado:

73

37

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 5

16.Efectuar:

22

13

21

12

11

a) 7 b) 5 c) 5

d) 6 e) 25

17.Efectuar:

1528

2

1027

3

625

1A

a) 4 b) 3 c) -1d) 2 e) 0

18.Resolver las ecuaciones:

a) x2 - 6x + 7 = 0

b) (3x - 1)2 = 12

c) (x + 5) (x - 5) = x

19.Resolver: 5x2 + 2 = 8xseñalar la menor raíz

a)2

64 b) 64 c)

464

d)2

64 e)

564

20.Resolver:(x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x - 1) = 7

a)4

171 b)

4131

c)2

151

d)4

151 e)

2171

21.Despejar las variables que se indican:

a) "V";mV21

E 2c

b) h = 2 V 0 + 10t2; "t"

22.Despejar la variable que se indica y calcular su valorpara los datos dados:

a) "y";zxy para: x = 3; z = 6

b)2

2 yx 2x ; " x "

12 para: y = 6

23.De los siguientes enunciados, despejar "x"

a) B3x + Bx = -4 + 2005x

b) x2 - 8y = 16 + 2xy

24.En un banco se deposita $25000; dicho banco ofreceuna tasa de interés del 24% anual. ¿Durante cuántotiempo el capital debe estar ahorrado para que gane uninterés de $3000?

Usar:100

trCI

I : interésC : capitalr : tasa anualt : tiempo (años)

25.Hallar la suma y producto de raíces de las ecuaciones:

a) (x + 3)2 = 5x

b) (3x + 2)2 - (2x + 3)2 = 1


ÁLGEBRA

26.Hallar "n", si la suma de raíces de la ecuación:(n - 1)x2 - 3(n + 5)x + 10 = 0 es 12

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

27.Calcular "m" si en la ecuación:x2 - 6mx + m3 = 0

una de las raíces es el doble de la otra.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

28.Hallar la suma de raíces de:(x + 1)2 + 2x = 3x(x + 1) + 5

a)21 b)

21

c) 1

d) 2 e) -2

29.Si una raíz de la ecuación: x2 + mx + 8 = 0 es 4calcular la otra raíz y el valor de "m"

30.Si una solución de la ecuación de segundo grado:mx2 - (m + 4)x + 6 = 0 es 2

encuentre el valor de "m" y la otra solución.

1. Efectuar:3 63E 2 . 3 1 . 16 2 48

a) 6 2 b) 3 c) 2d) 2 e) 1

2. Calcular "x", si:

43x247x23x5x224x3 2

a) 20 b) 40 c) 25d) 35 e) 30

3. Efectuar:

1152

1152

1152

1152

a)2 5

9b)

354

c)35

d)352

e)954

4. Siendo: x1; x1 + 2 las raíces de la ecuación en "x"2 x

2 - 6x + a + 1 = 0halle el valor de "a"

a) 1 b) 2 c)21

d)23

e)25

5. Calcular el valor de "n" sabiendo que:

42213

1

1228

4

n29

5

a) 3 b) 6 c) 11d) 14 e) 18

Autoevaluaciòn

168

R e p a s o



a) x2 = 8 b) 2x2 = 80


a) x2 - 36 = 0 b) x2 - 20 = 0

3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticassiguientes:

a) x2 - 9x + 18 = 0 b) x(x + 2) = 3

4. Expresar los radicales en su forma mas simple:

a) 75 b) 243

5. Transformar en radicales enteros, es decir, en radicalesde coeficiente 1, los siguientes radicales:

a) 57 b) 3 3a


a) 244

b) 4 273

c) 2552

7. Efectuar:

a) 55 264 b) 33 3812

8. Efectuar:

a) 55 52 29x . 27x . x b) 3 3 32 21 57 5 6


a) 5046373

b) 22 )115()35(

10.Descomponer los radicales dobles en radicales simples:

a) 72218 b) 84219

11.Descomponer los radicales dobles en radicales simples:

a) 9610 b) 7211

12.Descomponer los siguientes radicales dobles en radicalessimples:

a) 9m2m2 2

b) 22m 5 2 m 5m 6

13.Calcular "I + C" en:

CI3321422213

14.Efectuar:

1407124809M

15.Indicar el denominador racionalizado:

15

32

16.Señalar el denominador racionalizado:

)2)(310)(25(

1

17.Al racionalizar el denominador de:

yx

x7

si aumenta en "y2", resulta:

18.Resolver las ecuaciones:

a) x2 + 10x - 1 = 0

b) (5x - 2)2 = 8

19.Resolver: x2 = 7x + 2señalar la mayor raíz.

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA20.Resolver:

4xx

1x

21.Despeja las variables que se indican:

a) "h".;h.A31

V

b) 12

m.mF k ; "m"

r

22.De los siguientes enunciados, despejar la variable "z",indicando su equivalencia.

a) a2 b2 = a2bz + b2az

b) az + bz a2 = 2ab + b2

23.De los siguientes enunciados, despejar la variable ‘‘q’’,indicando su equivalencia.

a) b(q b) = q (2 b)

b) a2 bq = aq b2

24.Determine el radio de una esfera cuya área es igual a100 cm2

Usar: A = 4 R2

Siendo: A = Área ; R = Radio

25.El área de un trapecio es igual a 64 m2, la base mayor13m y la base menor 7m. Determine el valor de su altura.

Usar: h)Bb(21

A

Siendo: A Área ; b base menorB Base mayor h altura

26.Halla la diferencia de soluciones en las siguientesecuaciones:

a) x2 + 7x - 4 = 5x 2

b) (x + 3)2 + 2x = 4

27.Si una solución de la ecuación: x2 + 7x + n = 0 es 3.Calcular la otra solución.

28.Si una raíz de la ecuación: x2 + nx + 12 = 0 es -4.Calcular la otra raíz.

29.Si una solución de la ecuación de segundo gradonx2 + (n + 3)x 15 = 0 es -5, encuentre el valor de "n"

30.Calcular el valor de "m" y "n" para que la ecuación:mx2 + nx + 6 = 0 tenga por raíces a:

43

xy32

x 21

170

R e p a s o


I. Área Conceptual

1. Relaciona las columnas: (4 puntos)

a. ba

b. 2b b 4ac

2a

c. 3 75 ; 10

d. abc = m.n.p

e. bc

f.ca

g. 7 ; 2

h. b2 - 4ac

i. a b cm n p

j. 2b 4aca

1. Fórmula para hallar las 1 ( )r a í c e s d e : a x

2 + bx + c = 0

2. Si: ax2 + bx + c = 0 mx2 + nx + p = 0 2 ( )Tienen las mismas raíces

3. Suma de raíces de: 3 ( )ax2 + bx + c = 0

4. Producto de raíces 4 ( )de: ax2 + bx + c = 0

5. Diferencia de raíces 5 ( )de: ax2 + bx + c = 0

6. Discriminante () de: 6 ( )ax2 + bx + c = 0

7. Radicales homogéneos 7 ( )

8. Radicales heterogéneos 8 ( )

(En: ax2 + bx + c = 0 ; a 0)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: (4 puntos)

a. 3 5 3 ..............................................( )

b. 2(5 2)5 2 ............................( )

c. 3 33 5 2 7 ......................................( )

d. 34 123 . 5 15 ....................................( )

e. 9 32 2

............................................( )

f. 65 125 ..........................................( )

g. 62 2 ........................................( )

h. 20 2 5 ..........................................( )

II. Área procedimental (1 punto c/u)

1. Resolver: x2 = 5x + 24 2. Racionalizar:

2

8 18 50 32

Examen bimestral de ÁlgebraAño 2006


ÁLGEBRA3. Transformar a radicales simples:

a) 8 60 b) 17 12 2

4. Transformar a radical doble:

a) 3 2 b) 5 3

5. Resolver: 2x 3x 1 0Sugerencia: utilizar la fórmula cuadrática.

2

1;2b b 4ac

x a 02a

6. Dada la ecuación:(m+2)x2 + nx + 15 = 0Hallar "m", si el producto de raíces es 3

7. De la fórmula para hallar el volumen del cilindro:V = .r2.h, despeje el radio.

r

h

8. Racionalizar:

1 1 2A

5 3 3 1 5 1

9. Demostrar: (2 puntos)

2

5 1xyz . 10yz

22x yz

10. Siendo "m" y "n" las raíces de la ecuación:x2 - 2x - 2 = 0Hallar: K = (m + 1)(n + 1) (2 puntos)

2al

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