29.- el mapa y el territorio, las geometrías no euclidianas, el infinito y el éter

8/12/2019 29.- El mapa y el territorio, las geometras no euclidianas, el infinito y el ter

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29 El mapa el territorio:las geometras no euclidianas infinito t r


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ab om n i naeuo v ind ic a tl l S E u cli de s ~~l -r e da~ lpl ll1733).El probl~pareca terminado..., solamente parec a

Poco despus de Saccheri, johannHeinrich Larnbert (1728-1777) aborde l asunto. En su libro (escrito en 1766 ypublicado en 1786) Teo r ta de la s r e c ta spara lelas Lambert, como Saccheri, consider las dos posiblesopciones. Tambin como Saccheri, encontr que suponer que no pasa ninguna paralelaconduce a una contradiccin.Sin embargo, cuando analiz la otrahiptesis (que pasan muchas) lleg a resultados muy extraos, como por ejemplo que lo s ngulos interiores de untringulo suman menos que 180 grados. Resultados extrasimos, por cierto, pero que no consriruan ningunacontradiccin lgica.

Y entonces? Y entonces ocurri algofundamental, porque Larnbert avizorel hecho de que cualquier coleccin dehiptesis que no condujera a contradicciones ofrecera una posible geometra, que sera una estructura lgica vlida, aun cuando pudiera tener pocoque ver con e l espacio fsico real y apriori verdadero. Era un paso conceptua l tremendo, abismal, y Lamberc dud frente al precipicio.Pero quien no vacilen absoluto fueGauss, a quien suele considerarse -sibien e l asunto es discutible- el pr in c ep sm themticorum el ms grande matemtico del sigloXIX Hasta el ao 1799Gauss trat, como tantos otros, de de-

postulado euclidiano poda simplificarsemuchsimo si se lo reemplazabapor unoque dijeraque por UD punto exterior auna recta pasa una sola paralela.De hque e l quimo postulado seaconocidocomo e l postulado de las paralelas,como lo llamaremosen adelante.Hubo un segundo tipo de abordaje,que consisti en intentar demostrar elquinto postulado deducindolo de losotros, de tal manera que dejara de sercuestionable. Entre los que emprendieron estecamino, el esfuerzoms importante, por lo menos cronolgicamente,fue hecho por Gerolamo Saccheri(1667-1733), un sacerdote jesuita yprofesor de laUniversidad de Pava.Loque pretendi hacer fue negar el axiomade las paralelasy mostrar que se llegabaa una contradiccin (lo que nosotrosllamamos una demostracin por el absurdo). Negar que por un punto exterior a una rectapasa una sola y nicaparalela es suponer que, o bien no pasaninguna, o bien pasan muchas.

Saccheriempezsuponiendo que nohaba ninguna paralelay, trabajando conestepresupuesto, llega la tan ansiadacontradiccin. Luegoprob con la segunda posibilidad.Acept que por el dichoso punto pasams de una paralelaylogr demostrar muchos teoremas,hastaque llega una propiedad tan extraaque la consider una contradiccin: concluy as que el quinto postulado estabademostrado, y titul su libro, por si a alguien lequedaba alguna duda, Euc l ides452

El misterio el quintopostul oElquinto postulado, como ya lescont en su momemo, era molesto.No tan-to porque hubiera alguna duda sobresuverdadsino a causade su enunciado:imagino que ustedes,amableslectoresdel fascculo,habrn tenido que examinarlo detenidamente para comprenderqu es lo que estdiciendo.seguramente recincuando vieron l dibujo selesaclar e l panorama. Lo cual es lgico,porque ta l y como fue enunciado, l postulado es demasiadocomplicado:pareceartificiosoy carecede la sencillezde losotros.Elpropio Euclideshaba tomadobuena nota de esteasunto y,siempre quepudo, evit recurrir a l De hecho, lquinto postulado y su artificiosatexturase convirtieron en un dolor de cabezapermanente... durante dos mil afias,hasta ta l punto que -en 1759 - D'Alembert llam al problema El escndalodeloselementos de la geornerrfa .Yadesde laAntigedad sehaban hecho intentos por reemplazarlopor algnenunciado que parecierams evidente ysencillo.Hubo muchas propuestas, perola que se impuso y es ms famosahoy enda fue la de john Plavfair(1748-1813),quien recin en 1795 asegur que l

los ngulos menores que dos rectos.Los primeros cuatro son sencillosyno presentan mayoresdificultades. Peroel quineo postulado... daba mucha telapara cortar,

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l quinto postuladola s dos recta s B Dse cortan d e l Ind o e nquc los anguloe (~ y~) suman menos quedos rectos.

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II- E l triunfo l infinitoLa enorm e soliscicacin del pos tuladode las paralelas se d eb la en parte lrecelo de Euclides y de los m atemtico sgri egos en general) ante e l co ncepto deinfinito : las paralel as son rectas 9ue nose cortan ni siquiera en e l in hnito) lugar no definible, donde nadie sabia loque pasaba rea lmente. As, e l postuladode las paralelas estaba re lacionado con e lconcepto de in finito, que no haba sidore suelto jam s por los m atemticos griegos: Euclides , de hecho, segua a A ristteles, qu e aceptaba el in fin ito c omo unacantidad que cr eca sin lm ites es d ecir,un infinito po tencia l) pero negaba la posib ilid ad d el infin ito real o ac tu al), esdecir, del infinito exi stent e aqu y ahora.

La res pues ta a ristotlica o euclidia na esla prim era que se le ocurre a quien tra ta d eresponder acerca de la d ef inicin del i11fi nito desde el sentido com n, o, que eso m ismo, desde la intuicin directa . Unosuele imag inarse una cantidad muy grande. Pero la s cant id ades muy gra ndes, como , d ig amos, e l n me ro de granos de arena de to da s las pla ya s de la tie rra d el qu e,como r eco rd a rn, se ocup A rq umedes ensu momento en su rmario estn lejsim os de ser in fi ni tas, tan lejos como lo est n la s e str ella s q ue v emos en el cielo, fel iz

el siglo x x : se encargara de demostr ar que efectv arnenre era as, y anms, que la geometr a re al d el espaciono es prec isam ente la eucldea. Pero y allegaremos all.

cepto de auto evid encia es una suertede conc esin. Por qu seda auroevid ente e in disc utible qu e, por ejemplo, todare cta lim ita da p ue da prolongarse indefi ni damen te en la m ism a direccin, sa lvopor el hecho de que, efe ctiv am e nte , p areca qu e en la prctica era as? digo pareca porque en la prctica no existen ni las rectas ni los se gm entos abstractos de Eucl id es.) R esul ta , en ton ce s,que lo que R iemann estaba diciendo eraque lo s axiom as d e Euc lides no era n lasfe steja das verdades auroevid entes, sinoque era n sim ples verdades empricas.

D e e ste modo, la cuestin m ism a delespacio , de su na turaleza y su geometr a ,tambaleaba. E l m apa que se h ab a d iseado, que pareca ta n pe rfe cto y hablaconducido a creer en un progreso indefinido y si n obstcul os en la ca rr er a del conocim iento, em peza ba a genera r a lgunassospechas: te na que se r u n m apa eucldeo? O a lo m ejo r co nvena explora r elte rritorio con un mapa no eucldeo, apes ar de sus extraas y antiintu itivas propied ades? Si ste era el c so el terr enoe ra pa ntanoso. Porq ue si cualquier geornetra lgica es decir, que no present a racontr adi cciones internas) poda se r aplicada a l espacio f sic o con x ito , resul tabaque es te espacio fsico en r ea lid ad no eraotra cosa que un esp acio lgico con canta s p osibilidades de ser repr ese nta do como geom etra s no contr adictorias pudieran posru la rs e. D efinitivamente , y noera e l espacio en el que los ci entficos se guros del sig lo X IX se m anejaban.

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Rie rn ann 1826-1866), disc pulo deGaus s y posteriorm ente profesor de m atemticas en Gotinga . En la geometrf ade Riemann no slo no pasa ningunaparalela pp r un punto exterior a unarecta , sin o qu e ni siquiera exist en recta sparalelas. Lo cual parece rars im o, aunque no lo es : para visualizarla , se la pue de pen sa r como si las rec tas fueran losm erid ianos terr estres, que al cortarse enlos polos no conocen el paralelism o.

De re pente toda la construccin de lam ec nica new toniana , que se haba basa do en la idea de un espacio eucldeo absolu to , mostraba la hi lacha. En su conferenc ia e n la F ac ulta d de Filo so fa d e G o tingade 186 8, titulada S o bre las hiptesis quese e ncuentran en los fu ndamentos de lage ometr a , R iern ann re consideraba elproblem a general de l estructura de l e spacio . Y lo hada -esro es lo in teresantede sde una perspec tiva empr ica: y no alc an za ba c on que l geomet ra conta ra conu na l gica in tern a im pla ca ble, sino que lapre gu nta , a ho ra , e ra p or la s c ondicionesque se le pre supona n al p ropio conce ptode espac io a nte s de que se determ inaramediante la experi encia cualqu ie r pro pieda d que pud ie ra p re se nta rs e en e l mundofs ico. Era ro da una novedad: las verdadesa ur oe vid en te s d e Euc lide s p od a n depender de la experi encia .

En verdad, y ac m e veo obligado ahacer un a digresin, es a lgo in justo decirque Eucl id es no hubiera consid er ado es posib ilid ad . A p esa r de oponerse decididamente al empiri sm o, el pro pio con-

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Ahora supongamos que en vez de llegar un solo viajerollegaran infinitos. El conserje, esta vez, indicara l ocupante de la habitacin uno que se mudara a la dos, al de la dos,a la cuatro, al de la tres, a la seis, y otra vez lograda acomodar a la multitud recin venida en las habitaciones impares,que quedaran rodas vacas. Y si l dueo del hotel decidieraclausurar Lamitad de las habitaciones, no por eso la cantidad de cuartos cambiara. Sera la misma y tan infinita como antes. El particular comportamiento del Hotel de Hilbert es apenas una pequea anomala que se presenta al manejarse con l infinito. Hay ms. Digamos de paso que elhotel de Hilbert es una fantasa matemtica que no podratener realidad fsica, ya que, si el universo es finito, no cabra en l, y si no lo es, como en el caso de los granos dearena, tendra una masa y un volumen infinitos, que produciran trastornos en cualquier tipo de universo con e l quenos manejemos.

El gran matemtico David Hilbert ponla como ejemploun hotel de infinitas habitaciones y un viajero que llega durante una noche de tormenta y ve en la puerca el cartel quedice OMPLETOEn un hotel finito, la temible palabrasumira a nuestro viajero en la desesperacin el hotel deHilbert queda a cientos de kilmetros de cualquier otro lugar civilizado, en medio de un pramo, rodeado de cinagasespantosas, habitadas por canbales . Pero en este caso nuesrro viajero pide tranquilamente un cuarro. El conserje no seinmuta en realidad siquiera se sorprende. Levanta el telfono y da una orden general: que el ocupante de la habitacin uno se mude a la habitacin dos, el de la habitacindos a la habitacin tres, el de la tres, a la cuatro, y as sucesivamente. Mediante esta sencilla operacin, la habitacinuno queda vaca, lista para l nuevo husped, todos los ocupantes del hotel tienen, como ames, una habitacin, y elhotel seguir, tambin como ames, completo.

l ho tel de ilbert

ros pares, conjuntos infinitos ambos, laprimera re nra cio n C~ decir que hay m :l snaturales que pares y qu e solamente u -gunos de los naturales son pares. Cantordemostr que la respuesra intuitiva como tantas otras veces, no era coerecta, [c a determinarlo, no habC a ms que poneren correspondencia los dos conjuntos:1 22 44 8y as siguiendo.

Como es evidente, siempre habr un

terriblemente infinitos. Y cuando uno seenfrenta con conjuntos infinitos, enseguida encuentra que funcionan de manera peculiar, para decirlo suavemente sino, miren l famoso ejemplo del hotel deHilbert que cuento en el recuadro .

Cantor pensaba las cosas desde e l punro de vista de la te o rfa de conjuntos. fue justamente trabajando con conjunrosque se dio cuenca de algo muy raro. Dosconjuntos son iguales si se pueden poneren relacin uno a uno sus elementos.Cuando uno se preguma, por ejemplo, sihay ms nmeros narur les o ms nrne-

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rificado Sin embargo l tema del infin i-to no hada sino empezar. Faltaba enfrentarse con las cantidades infinitamenre grandes, y sa fue la tarea deGeorg Cantor 1845-1918 . nto r los infinitos

Para encontrarnos con conjuntos queningn nmero pueda contar debemosrecurrir al mundo de los objetos matemticos. Pero no necesitamos adentrarnos demasiado: ah noms, en el zagun,tenemos a Jos nmeros naturales 1, 2, 3,4, 5, ... , que obviamente son infinitos,


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la tota lidad. Pero a cunto as ciende la to ta lid ad? O mejo rdicho : c untoS libros ha y en la B ibliote ca de B a b e l ? piadosa aritmtica permi te que el clculo sea sim ple. E lem ent ale s multip lica ciones nos indican que en ca da libro hay unmilln tr escientos doce m il esp acios. Un se ncillo razo nam iento perm ite inferir cuntos lib ros difere nt es puedenconstruirse en esas con dici ones. Puesto que en e l primer espacio puede figurar cualquiera de los ve inticin co sig nos quem enciona el au to r, s lo para el prim er lugar hay ya vein ti cin co posib il id ades distintas . Pero esas veinticinco posibili dades se multiplican por veinticinco al llegar al segundo espacio , ya que all tambi n puede aparecer cu alquiera de lossignos ortogrfi cos (debe rec ord ar el lecto r que los libros noneces itan tener sentido, basta que sean posib les). E sas 625(2 5 x 25) posibil idades que brindan los dos primero s lugaresse veinticin co -furcan nuevam ente en e l te rcero, y e n el cuarro , hasta llegar l ltimo espa cio del lt im o rengln de la l-cim a pgin a; para saber cunras posibilidades hay en to ta ltengo ent onces que multip licar 25 por s m ismo un m illntrescie ntas doce m il veces: e l nmero que des cribe el resultado no tiene nombre propio en ningn idioma: es un uno seguido de 1.836.800 ceros. Un hombre dotado de la suficien-

Los hombres siempre acostumbra ron a ju gar con los grandesnmeros: un a de sus piezas maestras , Borges im agina alUniverso como una vas ta biblioteca de hex gonos regularesque extienden sin lm ite en todas direcc io nes: a cada uno delos muros de cada hexgono corres ponden cin co anaq ueles; cada anaquel encie rra treint a y dos libros de fo rm ato unifo rm e;cada libro de cuatrocientas diez pgin as; cada pgina de cuarenta renglones; ca da rengln, de ochenta letras de color negro ,donde prolija rn en re s e a lin ean veinticinco sm bo lo s o rt og r fic os , sin orden ni signi fi ca do a lg un o. E l universo fsic o es unapeno sa s ele ccin de posib il idades: la B iblioteca de Borges, po re l contrario , es total y sus anaquel es registran todos los librosposibles qu e pued en con str uir se c ombinando los veinticincosm bolos ortog rficos: nmero, aun que vast sim o, no infinito .En efecto, e l nmero no es infinito , en efec to es vastsirno.Borge s in tenta in ducir (y lo log ra ) en el lecto r la zozo bra de

E l unive rso que otr os llam an la Bibliotec a) s e c om p one deu n n m er o in defin itk , y ta l vez infin ito , de gak rla s lex agona-les con va stos pozo s de ven ti la ci n en el med io , ce rc adospor ba-r an da s b a js im a s.Jo rge Lui s Borges, aBibliote ca de B abel

a iblioteca de abel el infinito

de una recta.Ias rectas de un plan o. lo snmeros irr ac ion al es . t ienen la potenciadel co ntinuo. En un rec uad ro les de muestro por qu los nmeros irracionale s so n m s que lo s naturales y lo s p ar es .

De modo que si al hotel de H lbert ,que tiene alcph cero habi ta ci ones, llegara n e via je ro s, no hab ra m ane ra .de ubicarlos. aunque e l hotel estuvie ra vado:las habitaciones no alcanzaran. Esta

fu e que los infinitos no so n codos iguales.En efe cto , Caneor mostr que la

cantidad de nmeros irracio nales, o lacantidad de puncos de una recta, es mayor que aleph cero , es decir que hay msnm ero s irracionales que nmeros nat ura les, e nte ros o fraccionarios. El nmerotransfinito que los m ide es m s grandeque aleph ce ro: f .u n iHa rm ente se llamae, la poten cia d el c ontin uo. Los puntos

notado tambin que, sim plificando unpoco, hay la m isma cantidad de nm ero snarurales que de pa re s, c on e l m ismo ra zo nam iento que usara Cantor dos sig losdesp us.

Pero la cosa fU e ms al l: ese raro com por tamiento fue slo la primera sorp res ade las muchas y muy raz onables queCanror tena par a sa c ar d e la g ale ra . siguienre, an m s extraa que la anterio r,

Cantor mostr que la cantidad denmeros irracionales es mayor que NO esdecir que hay ms nmeros irracionalesque nmeros naturales enteros ofraccionarios. El nmero transinito quelos mide es la potencia del continuo


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in con veniente en un a poca poc o indinada hacia la experiencia, y rn ds pro pensa l sueno y la imaglnerla-.

Pero cuan do Descerece 1596-1650de cidi rec on struir l conocimiento sobre bases f irm es , l dio l ter un papelm uy disrin to. Pue de p arecer raro, porque uno dira qu e en e l universo rgidamente mec anicista de Descartes , e l terin coloro, in odoro, in spido y casi purament e metafs ico , en princi p io no parec a un personaje adec uado. Pero com oD escartes no acep tab a la e xistencia de lvado, ya que para l la materia era in se parab le de la ex tensin el es pac io , suun iverso era un plenum , y co mo era unplenum algo ten a que ocup ar codos lo shuecos en lo s que no hubiera nad a. Elcandidato a ocupar es e luga r, naturalm ente , fue el ter, que D escartes des cri b i com o m ateria sutil, infin itament edi vi sib le y sin lm ites en ex tensin,El te r c ar te siano era diferent e delaristot lico; no se lim itaba a llena r, c omo un a mer a pre se ncia ontolg ica qu etranquiliza ba conciencias con horror alvado. N ada de eso: e l ter er a a ctiv o, e staba por todas pa rt es y t rans por taba lasfu erzas mag ntica y gravitator ia ya que,rec ordemos , D escartes tampoco aceptab a la accin a distancia . La fuerza nopoda transm iti rs e sino por la p res in oel imp acto, esto es, sl o po r con ta c to, demodo qu e el ter cartesian o era el encargado de formar los to rb ellinos o v rt ice squ e funcionaban com o vehc ul os de lasaccion es a d istanci a, fuera n cuales fue-

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El te r ar istotlico persisti duran te laEdad M edia como una p ieza de la cosmog ona, como aquello que ocupab alo s e sp aci os vacos, como un a sustanciametafsica y teo lgica no muy implicadaco n la s c os as prcticas , modestamentefu era de al cance de los mortales -locual, dicho sea de paso, no era un gran

in nu bilu s a eth er diu um n um en sed esqu equietae. el te r s in n ub es qte cubre protege a d iv in id ad y S l ilgares depaz) .

ad ivinar, se tra taba del te r, que formaba las esferas y los p lanetas y as eg urabala p erf ecc in del esp acio supralunar,

Record emos que para Aris tteles, disc pul o de Platn a pes ar de la s enorm esdiferencias que se paran sus filosofas, h -b a d os mundos onrolgicamenre diferentes, go bern ado s por leyes dife rent es y form ados p or sustancias di ferentes : el sub lunar , corr up to y camb iante , ye l supralunar, de la rb ita de la Luna para afuera,perfe cto y etern o, dond e el c am b io noe ra p osib le. El hech o es que, co mo co mp on en te e xc lu sivo del mundo sup ra lunar , des de su na cim ienco e l ter no fu ede este mundo: form ab a la s e sfe ra s, p eroms all de cua lqui er alcance. palabragrieg a aetber signif icab a origi nalmente elcielo az ul , o el aire de las alturas, supuestamente m s p uro y distinto de l ai re msb ajo, a l nivel de tierra . L os ro ma no s im-portaron la pal abra , y Lucrec io s iglo 1a.C}, ensu De rerum n atltrahabla del

Biografa etreaYa hemos hab lado de e sro en fascfculos anteriores, p ero vale la p ena rep asarlo para ent ende r el grado de importancia que tuvo la cues tin del ter. C uan do Aristteles acu por dos m ilenioses te feo asuntillo de los cuatro elern entOS t ierr a, a gu a, a ire y fu ego , qu e habatomado de Ernpdocles, in ve nt u nq uin to e le me nto , u na q uin ta esencia para los cie lo s, lib re s d e c orr up cin, sujetos a reg ul ar id ades etern as, y donde elc amb io e sta ba p ro hi bid o. C om o p odrn

Eran pocas de con moc in. El s igl oX IX p are ca haber construido un ed ifi cio de conocimiento gigante sco sobre elque s lo fal ta ba seg uir ag regando p iso sacaso indefinidament e , pero cuyas b ases, se crea, e sta ban tan s lid am ent e estab lec id as qu e nada podra hac erl astambalear. de rep ent e ap arecan nueva s g eomet ras e insos pe ch ad os in fin itos, qu e, por ms abstractos que fuer an,hacan pensar que la e stru ctu ra p odano ser tan fi rme. para colm o, de unmom ento a otro, el Ionge vsim o ter-esa sustancia emprica , m etafsica e in as ib le que se arrastrab a desde los tiem pos de lo s griegos, que se aferraba conu as y di ent es a la existencia , qu e llenaba un iformemente el esp acio y que seenca rgab a de sostener un edi fi ci o cuya sra jaduras ya se tornaban visibles- empez a dar muestras de inexistencia.

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para colmo de un momento a otro ellongevsimo ter es sust nci empricametafsica e inasible que se arrastrabadesde los tiempos de los griegos quellenaba uniformemente el espacioempez a dar muestras de inexistencia


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y pequeos dioses de metal giran en el cielo.No hemos de cambiar nada ha de cambiar?No ha de cambiar la msica?

El hombre es siempre el hombre y el fuegosigue ardiendo en el fogn como hizo siemprepero la oscuridad retrocede asustadaperseguida por nuevas formas de la luz;el celuloide guarda movimiento y la memoriay la voz se conserva en cilindros de metal.

El hombre es siempre e l hombre yel rodesciende hacia el mar como hizo siemprepero nuevos rayos ven tus huesosy los mos

No cambiar la msica?No hemos de cambiar la msica no cambiar?

El hombre es siempre e l hombre yel volcnduerme su sueo de lava de cenizas.Pero las mquinas bajan al fondo del ocanoy prontO treparn a las estrellas.

El hombre es siempre el hombre y la serpientesigue viviendo en su madrigueray el pez oscuro perfora e l fondo del lago pero ahorapesadas mquinas se elevan por el airey las palabras cruzan sin miedo la distancia.

Pero la msica no cambiar.

A la vuelta del siglo todo cambianuevas invenciones alargan los ojos los brazosy los odos oyen lo que nunca pensaron.

El hombre es siempre el hombre y la abejaelabora la miel de siglo en siglopero ahora los instrumentos espan el corazn de la materia.No ha de cambiar la msica no hemos de cambiar t y yo?

V Rock l cam bio de siglo

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