28. Un examen consta de 20 cuestiones. Cada respuesta correcta se valora con 3 puntos, y por cada cuestión incorrectamente contestada se restan 2 puntos. Si al final de la prueba un alumno consiguió 30 puntos, ¿cuántas cuestiones contestó bien y cuántas mal? Respuestas correctas: x Respuestas incorrectas: y

20 20

3 2 30 3 2 (20 ) 30 3 40 2 30 5 70

14 respuestas correctas

6 respuestas incorrectas

x y y x

x y x x x x x

x

y

29. Halla dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 unidades a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor. Dos números consecutivos: x y x + 1

1 110 ( 1) 55 22 10 ( 1) 13 1101 13

2 5 11 110 110

1330110 110 55 22 10 10 1 430 133 1330 10

133

x x x x x x xx

x x x x x x

Los números son el 10 y 11.

30. Dos números que difieren en cinco unidades son tales que la diferencia de sus cuadrados es 95. ¿Cuáles son dichos números?

7512,1210

2595952510

95)2510(95)5(

5

95

5222222

yxx

xxxxx

xy

yx

yx

31. Dos números suman 176 y, al dividirlos, se obtiene 6 de cociente y 1 de resto. Indica cuáles son dichos números.

1511256

257

17517511767176)16(

16

176

x

yyyyyx

yx

32. Si a la raíz cuadrada de un número le sumamos su quinta parte, el resultado es diez. Calcula dicho número.

2

2

22 2

21

2

50 5010 10

5 5 5 5

2 500 10025 2 500 100 125 2 500 0

25

100 , no es válido125 125 4 2 500 125 75

252 2

x x x xx x x x

x xx x x x x x

xx

x

33. El precio de un artículo es 12 € más barato si se le aplica un descuento del 30 % que si se le aplica un descuento del 25 %. ¿Cuánto cuesta ese artículo?

€24005,0

121205,01270,075,0 xxxx

34. La suma de tres números pares consecutivos es 42. Calcula dichos números.

Pares consecutivos: .42,22,2 xxx

66

3636642642)42()22()2( xxxxx

Los números son: 12, 14 y 16. 35. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 265. Calcula dichos números.

2 2 2 2 2

12

2

( 1) 265 2 1 265 2 2 264 0

111 1 4 132 1 23132 0

12 , no es válida2 2

x x x x x x x

xx x x

x

Los números son 11 y 12.

36. Un padre tiene 48 años, y su hijo, 8. ¿Cuántos años han de pasar Para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? Padre: 48 años. Cuando pasen x años tendrá 48 + x años. Hijo: 8 años. Cuando pasen x años tendrá 8 + x años.

48 3 (8 ) 48 24 3 2 24 12 años han de pasar.x x x x x x

37. La suma de un número y su inverso es de 𝟓𝟎

𝟕. Calcula dicho número.

2

2 2

12

2

1 50 1 507 ( 1) 50 7 50 7 0

7 7

750 50 4 7 7 50 48

114 14

7

xx x x x x

x x

x

xx

El número 7. SOLUCIONES PÁG. 55 38. La suma de una fracción que tiene 5 por numerador y su inversa da como

resultado 𝟑𝟒

𝟏𝟓. Halla dicha fracción.

2 2

2

22

1

2

5 34 25 34 25 343 (25 ) 34

5 15 5 15 3

34 34 4 3 75 34 163 34 75 0

6 6

3

25, no es una solución válida.

3

x x xx x

x x x

x x x

x

x

Solución: 5

3 .

39. Una persona emplea el 55 % de su sueldo mensual en el alquiler de su

vivienda, y 𝟐

𝟑 partes del resto, en alimentación y recibos domiciliados de gas, luz

y teléfono. Si dicha persona dispone de 210 € mensuales para gastos personales, ¿a cuánto asciende su sueldo?

€400115,0

21021015,021045,0

3

255,01

21045,03

255,021045,0

3

255,0

xxx

xxxxxx

40. La población de un cultivo de hongos experimenta un incremento mensual del 15 %. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la población se triplique?

0

0 0

P ( ) 1,15 P

P ( ) 3 P 1,15 P 1,15 3 ln 1,15 ln 3 ln 1,15 ln 3

ln 37,86 meses 8 meses

ln 1,15

t

t t t

t

t t

t

41. Un campo rectangular de 216 m2 de área se valla haciendo uso de 60 m de alambrada. ¿Cuáles son las dimensiones que tiene dicho campo?

2

2

22 2

1 1

2 2

216A 216 m

216 216Per 2 2 60 m 30 30 30

30 30 4 216 30 6216 30 30 216 0

2 2

18 m 12 m

12 m 18 m

x y yx

xx y x y x

x x

x x x x x

x y

x y

42. Calcula el valor de m para que la solución de la ecuación x2 + mx + (m – 1) = 0 sea única y doble.

2

2

2 2

m m 4 (m 1)m (m 1) 0

2

4 16 16m 4 (m 1) 0 m 4m 4 0 m 2

2

x x x

43. La suma de dos números naturales es 21, y su producto, 90. Calcula dichos números.

156

615

2

921

2

9042121

09021902190)21(

21

90

21

22

112

22

yx

yxx

xxxxxx

xy

yx

yx

44. Se quiere construir un recipiente con una cartulina rectangular de 214 cm de perímetro; para ello, se recorta en cada esquina un cuadrado de 10 cm de lado. Al doblar las caras de la figura resultante, tal y como se indica en la figura, se obtiene un recipiente cuyo volumen es de 10 320 cm3. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho recipiente?

2

2 2

1 1

2

2 ( 20) 2 ( 20) 214 2 2 214 40 40

10 10 320 1032

2 2 164 67 67

1032 1032 (67 ) 1032

67 67 4 1032 67 1967 1032 67 1032 0

2 2

43 cm 24 cm

24 cm

x y x y

x y xy

x y x y y x

xy xy x x

x x x x x

x y

x

2 43 cmy

Las dimensiones son 43 x 24 x 10 cm.

45. El precio de la compra de dos artículos es de 1 575 €. Tras aplicar un descuento del 16 % al primer artículo y un descuento del 8 % al segundo, el precio queda en 1 383 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

1575 1575

0,16 0,08 1575 1383 192 0,16 0,08 (1575 ) 192

660,16 126 0,08 192 0,08 192 126 66 825 €

0,08

1575 825 750 €

x y y x

x y x x

x x x x

y

El que está rebajado un 16 % vale 825 € y el otro, 750 €.

46. La diagonal de un rectángulo mide 𝟔√𝟓 cm, y uno de sus lados es 6 unidades

mayor que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

2

2 2 2 2 2

2

6 5 ( 6) 36 5 12 36 2 12 144 0

612 12 4 144 12 36

12, no es una solución válida.4 4

x x x x x x x

x

Las dimensiones son 6 x 12 cm.

47. Margarita ha comprado 15 entradas para el cine y 5 para la ópera por un importe total de 295 €. Por su parte, Pedro ha comprado 6 entradas para el cine y 10 para la ópera, pagando 374 €. ¿Cuál es el precio unitario de la entrada para el cine? ¿Y de la entrada para la ópera? Cine: x Ópera: y

€329359

€912

10810829518712187152953

187)359(53

359

18753

593

374106

295515

y

xxxx

xx

xy

yx

yx

yx

yx

El precio de la entrada de cine es de 9 €, y para la ópera de 32 €. 48. Determina dos números sabiendo que al dividir el mayor entre el menor se obtiene 4 de cociente y 4 de resto y que la diferencia entre el doble del mayor y el triple del menor es 33.

2455

25

833533388333)44(23332

44

xy

yyyyyyx

yx

Solución: 24 y 5.

49. La suma de las áreas de dos cuadrados es 113 cm3, y la suma de sus perímetros, 60 cm. Calcula las dimensiones de cada uno de estos cuadrados.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

21 1

2 2

113 113 (15 ) 113

4 4 60 15 15

225 30 113 2 30 112 0 15 56 0

8 cm 7 cm15 15 4 56 15 1

7 cm 8 cm2 2

x y x y x x

x y x y y x

x x x x x x x

x yx

x y

Solución: 7 y 8 cm.

50. En un supermercado, una caja de cereales, tres pizzas y dos paquetes de jamón serrano cuestan 20 €. Calcula el precio unitario de cada producto sabiendo que cinco cajas de cereales cuestan lo mismo que un paquete de jamón serrano, y que diez pizzas valen igual que seis paquetes de jamón serrano. Cereales: x Pizza: y Jamón: z

3,1

510020

5

3

10

6

5

1001092025

33

5

610

5

2023

yx

zz

zzy

zx

zzzzzz

zy

zx

zyx

Cereales: 1 € Pizza: 3 € Jamón: 5 €

51. Un grupo de amigos con gustos dispares ha comprado 7 entradas para el cine, 4 para el teatro y 2 para la pista de patinaje, y ha abonado por todas ellas 286 €. Calcula el precio de cada entrada sabiendo que cuatro entradas para la pista de patinaje cuestan lo mismo que una entrada para el teatro; y que una entrada para el teatro y otra para la pista de patinaje tienen el mismo precio que seis entradas para el cine. Cine: x Teatro: y Patinaje: z

€48124€125

60

€10143

1430

14301296352865

62

5

6447

5

66564

6

4

286247

yz

x

xxxxx

x

xzxzxzz

xzy

yz

zyx

Cine: 10 € Teatro: 48 € Patinaje: 12 €

52. La ecuación de posición de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

responde a la expresión 𝒆 = 𝒆𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐, donde e0 es la posición inicial del

móvil respecto al origen del sistema de referencia, v0 es la velocidad inicial del móvil, y a es la aceleración. Halla la ecuación de la posición de un móvil sabiendo que en t = 1 s se encuentra a 15 m de su posición inicial; en t = 5 s, a 55 m, y en t = 10 s, a 150 m.

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 1 2 0

0 1 3

15 12 2 2 3025

55 5 2 10 25 1102

2 20 100 300100

150 102

2 2 30 2 2 30

8 24 80 ( ) 8 24 80

18 99 270 ( ) 360 720 (1

ae v

e v aa

e v e v a

e v aa

e v

e v a e v a

v a E E v a

v a E E a

2 3

2

2

0

0

8 8 )

7202 m/s

360

24 2 804 m/s 10 4

8

30 2 4 210 m

2

E E

a

v e t t

e

53. Un cajero automático admite billetes de 50 €, 20 € y 10 €. Un día se depositan en el cajero 225 billetes por un importe de 7 000 €. Averigua el número de billetes de cada valor, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 € y de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €. 50 €: x 20 €: y 10 €: z

1 2

1 2

225 225

50 20 10 7 000 50 20 10 7 000

2 2 0

225

30 40 4 250 (50 )

3 225 ( )

22575 billetes de 20 €

3

4 250 30 7550 billetes de10 €

40

225 75 50 100 bill

x y z x y z

x y z x y z

x z y x y z

x y z

y z E E

y E E

y

z

x

etes de 50 €

SOLUCIONES PÁG. 56 54. Tres recipientes, A, B y C, almacenan un total de 72 L de disolvente. El recipiente A contiene la tercera parte de la cantidad que hay en B y C juntos. Por otro lado, si de B se pasan 4 L a C y 6 L a A, se iguala la cantidad de disolvente que hay en los recipientes. Halla la cantidad de disolvente que había inicialmente en cada recipiente. A: x B: y C: z

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

727272

4 4 216 (3 )3 0

2 88 ( )163

10 6 4 2 2 74 ( )

72

4 4 216

2 40 ( 2 )

4 80 ( 4 )

4020 litro

2

x y zx y zx y z

y z E Ex y zy zx

y z E Ex y

y x z x z y z E E

x y z

y z

z E E

z E E

z

s

216 4 2034 litros

4

72 34 20 18 litros

y

x

55. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas por sus tres productos estrella, A, B y C. En la primera de ellas, ofrece un descuento del 4 % en el producto A, del 6 % en el producto B y del 5 % en el producto C. A las dos semanas, pone en marcha la segunda oferta, descontando un 8 % sobre el precio inicial de A, un 10 % sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C. Si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos productos B y tres productos C, se ahorra 16 €; si adquiere durante la segunda promoción tres productos A, un producto B y cinco productos C, se ahorra 29 €, y si compra sin descuentos un producto A, uno B y uno C, debe abonar 135 €. Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.

A: x – B: y – C: z

1 2

1 3

0,04 2 0,06 3 0,05 16 135

3 0,08 0,10 5 0,06 29 4 12 15 1600

135 24 10 30 2 900

135 135

8 11 1060 (4 ) 8 11 1060

202 12120 (14 6 340 (24 )

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

y z E E y z

zy z E E

2 314 8 )

1212060 €

202

11 60 106050 €

8

135 50 60 25 €

E E

z

y

x

56. Un padre tiene dos hijos. Dentro de 5 años, el padre doblará en edad a su hijo menor, mientras que hace 5 años doblaba en edad al mayor. Si entre los tres suman actualmente 90 años, halla la edad que tiene cada uno. Padre: x – Hijo pequeño: y – Hijo mayor: z

1 2

1 3

2 3

5 2 ( 5) 90 90

5 2 ( 5) 2 5 3 85 ( )

90 2 5 3 95 ( )

90

3 85

8 200 ( 3 )

20025 años

8

85 2520 años

3

90 20 25 45 años

x y x y z x y z

x z x y y z E E

x y z x z y z E E

x y z

y z

z E E

z

y

x

57. Calcula el valor de m para que x2 + (m + 2)x + 4m = 0 tenga dos soluciones que difieran en dos unidades.

2

2

2 2

2 2

2 22

2 2 2

(m 2) (m 2) 16m(m 2) 4m 0

2

(m 2) m 4m 4 16m (m 2) m 12m 4

2 2

(m 2) m 12m 4 (m 2) m 12m 42

2 2

m 12m 4 m 12m 42 2 m 12m 4 4

2

m 12m 4 2 m 12m 4 4 m 12m 0

m 0m (m 12) 0

m 12

x x x

x

58. Dos móviles que se mueven con velocidad constante tardan en recorrer una misma distancia 7 h y 10 h, respectivamente. Calcula el tiempo que tardarían en encontrarse si recorrieran esa misma distancia, pero partiendo cada uno de un extremo y en sentidos opuestos.

0

1 1

2 2

7 h7 h

10 h10 h

7 h1

7 10 7 10

10 h

17 701 1 1 h 4,12 h

7 10 7 10 70 17

A

B

x x vt

dt v

dt v

dx t

d d d t tt d t d

dx d t

t t t tt t