2.8 longitud de arco en forma polar
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LONGITUD DE ARCO EN FORMA POLAR TEMAS DE CΓLCULO VECTORIAL
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR
Sea f una funciΓ³n cuya derivada es continua en un intervalo πΌ β€ π β€ π½. La longitud de lagrΓ‘fica de π = π π , desde π = πΌ hasta π = π½ es:
π = πΌ
π½
π π 2 + πβ² π 2ππ = πΌ
π½
π2 +ππ
ππ
2
ππ
LONGITUD EN UNA CURVA POLAR
EJEMPLO: Encontrar la longitud de una curva polar π = π π = 2 β 2πππ π, 0, 2π
SOLUCIΓN:
π = 2 β 2 cosπ ;ππ
ππ= 2π ππ π
π = πΌ
π½
π2 +ππ
ππ
2
ππ
= 0
2π
2 β 2 cos π 2 + 2 π ππ π 2ππ
= 0
2π
4 β 8 πππ π + 4 cos2 π + 4 π ππ2π ππ
π = 0
2π
4 β 8 πππ π + 4 cos2 π + 4 π ππ2π ππ
= 0
2π
4 β 8 πππ π + 4 cos2 π + π ππ2π ππ
Recordando que:
cos2 π + π ππ2 π = 1
Entonces:
π = 0
2π
4 β 8 πππ π + 4 cos2 π + π ππ2π ππ
= 0
2π
4 β 8 πππ π + 4 1 ππ
= 0
2π
4 β 8 πππ π + 4 ππ
π = 0
2π
4 β 8 πππ π + 4ππ
= 0
2π
8 β 8 πππ πππ
= 0
2π
8 1 β πππ π ππ
= 0
2π
8 1 β πππ πππ
= 8 0
2π
1 β πππ πππ
Antes de continuar:
π ππ2π =1
2β1
2cos 2π
Despejando el tΓ©rmino β1 β cos πβ:
π ππ2π
2=1
2β1
2cos π
π ππ2π
2=1
21 β cos π
2 π ππ2π
2= 1 β cos π
1 β cos π = 2 π ππ2π
2
Continuando:
π = 8 0
2π
1 β πππ πππ
= 8 0
2π
2π ππ2π
2ππ
= 8 0
2π
2 π ππ2π
2ππ
= 8 2 0
2π
π ππ2π
2ππ
= 16 0
2π
π πππ
2ππ
π = 4 0
2π
π πππ
2ππ
Aplicando el mΓ©todo de sustituciΓ³n:
π§ =π
2
2π§ = π
π = 2π§
ππ = 2 ππ§
Entonces:
π = 4 0
2π
π πππ
2ππ
π = 4 0
2π
π ππ π§ 2 ππ§
π = 4 0
2π
π ππ π§(2 ππ§) = 4 2 0
2π
π ππ π§ ππ§
= 8 0
2π
π ππ π§ ππ§
= 8 β cos π§ 02π = 8 βcos
π
20
2π
= 8 βcos2π
2+ cos
0
2
= 8 βcos π + cos 0
= 8 1 + 1 = 16
β΄ π = 16 π’
REPRESENTACIΓN GRΓFICA DE LA LONGITUD DE ARCO DE UNA FUNCIΓN DADA
π = 2 β 2 cos π
BIBLIOGRAFΓAS
Colley, S. J. (2013). CΓ‘lculo vectorial. MΓ©xico: PEARSON EDUCACIΓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). MatemΓ‘ticas 3. CΓ‘lculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). AnΓ‘lisis vectorial. MΓ©xico: McGRAW - HILL.